Egyenletek modulus- és gyökérmegoldási példákkal. Módszerfejlesztés "Egyenletek a modullal

Között példák a modulokhoz gyakran vannak egyenletek, ahol meg kell találni modul gyökerei a modulban, azaz a forma egyenlete
|| a * x-b | -c | = k * x + m.
Ha k = 0, vagyis a jobb oldal egyenlő az állandóval (m), akkor könnyebb megoldást keresni egyenletek modulokkal grafikusan. Alább a technika kettős modulok telepítése a gyakorlatban megszokott példákon. Elemezze jól az egyenletek modulokkal történő kiszámításának algoritmusát, hogy ne legyen problémája a vezérléssel, a tesztekkel és csak azért, hogy tudja.

1. példa Oldja meg a modulusegyenletet modulusban | 3 | x | -5 | = -2x-2.
Megoldás: Mindig kezdje el felfedni az egyenleteket a beltéri modulból
| x | = 0 <->x = 0.
Az x = 0 pontban a modulusegyenletet elosztjuk 2-vel.
x számára< 0 подмодульная функция отрицательная, поэтому при раскрытии знак меняем на противоположный
| -3x-5 | = -2x-2.
Ha x> 0 vagy egyenlő, kibővítjük a kapott modult
| 3x-5 | = -2x-2.
Oldjuk meg az egyenletet negatív változókhoz (x< 0) . Оно разлагается на две системы уравнений. Первое уравнение получаем из условия, что функция после знака равенства неотрицательна. Второе - раскрывая модуль в одной системе принимаем, что подмодульная функция положительная, в иной отрицательная - меняем знак правой или левой части (зависит от методики преподавания).

Az első egyenletből azt kapjuk, hogy a megoldás ne haladja meg a (-1) értéket, azaz.

Ez a korlátozás teljes mértékben ahhoz a területhez tartozik, ahol megoldjuk. Változókat és állandókat viszünk át az egyenlőség ellentétes oldalán az első és a második rendszerben

és megoldást találni


Mindkét érték a vizsgált intervallumhoz tartozik, vagyis gyök.
Tekintsünk egy egyenletet pozitív változók modulusával
| 3x-5 | = -2x-2.
A modult kibővítve két egyenletrendszert kapunk

Az első egyenletből, amely a két rendszerre közös, az ismerős feltételt kapjuk

amely azon halmazsal való metszéspontban, amelyen megoldást keresünk, üres halmazt ad (nincs metszéspont). Tehát a modullal rendelkező modul egyetlen gyökere az értékek
x = -3; x = -1,4.

2. példa Oldja meg az egyenletet || x-1 | -2 | = 3x-4 modulussal.
Megoldás: Kezdjük a beltéri modul bővítésével
| x-1 | = 0 <=>x = 1.
Az almodul függvény előjelet vált egyben. Alacsonyabb értékeknél negatív, magasabb értékeknél pozitív. Ennek megfelelően a belső modul kinyitásakor két egyenletet kapunk a modulussal
x | - (x-1) -2 | = 3x-4;
x> = 1 -> | x-1-2 | = 3x-4.
Ügyeljen arra, hogy az egyenlet jobb oldalát ellenőrizze a modulussal, nagyobbnak kell lennie nullánál.
3x-4> = 0 -> x> = 4/3.
Ez azt jelenti, hogy nem kell megoldani az első egyenletet, mivel az x-re van írva< 1, что не соответствует найденному условию. Раскроем модуль во втором уравнении
| x-3 | = 3x-4 ->
x-3 = 3x-4 vagy x-3 = 4-3x;
4-3 = 3x-x vagy x + 3x = 4 + 3;
2x = 1 vagy 4x = 7;
x = 1/2 vagy x = 7/4.
Két értéket kaptunk, amelyek közül az elsőt elutasítjuk, mert nem tartozik a kívánt intervallumhoz. Végül az egyenletnek van egy megoldása x = 7/4.

3. példa Oldja meg az egyenletet || 2x-5 | -1 | = x + 3 modulussal.
Megoldás: Nyissuk meg a belső modult
| 2x-5 | = 0 <=>x = 5/2 = 2,5.
Az x = 2,5 pont a számtengelyt két intervallumra osztja. Illetőleg, almodul funkció előjelet vált áthaladva 2.5. Írjuk fel a megoldás feltételét a modulusos egyenlet jobb oldalára.
x + 3> = 0 -> x> = - 3.
Tehát a megoldás nem lehet kisebb, mint (-3). Nyissuk meg a modult a beltéri modul negatív értékére
- (2x-5) -1 | = x + 3;
| -2x + 4 | = x + 3.
Ez a modul, ha kibővítjük, 2 egyenletet is ad
-2x + 4 = x + 3 vagy 2x-4 = x + 3;
2x + x = 4-3 vagy 2x-x = 3 + 4;
3x = 1; x = 1/3 vagy x = 7.
Az x = 7 értéket elvetjük, mivel a [-3; 2,5] intervallumban kerestünk megoldást. Most megnyitjuk a belső modult x> 2.5-höz. Egy modulusú egyenletet kapunk
2x-5-1 = x + 3;
| 2x-6 | = x + 3.
A modul bővítésekor a következőket kapjuk lineáris egyenletek
-2x + 6 = x + 3 vagy 2x-6 = x + 3;
2x + x = 6-3 vagy 2x-x = 3 + 6;
3x = 3; x = 1 vagy x = 9.
Az első x = 1 érték nem teljesíti az x> 2.5 feltételt. Tehát ezen az intervallumon van egy gyöke az x = 9 modulusú egyenletnek, és ebből csak kettő van (x = 1/3) A behelyettesítés ellenőrizheti a számítások helyességét
Válasz: x = 1/3; x = 9.

4. példa Keressen megoldásokat a kettős modulusra || 3x-1 | -5 | = 2x-3.
Megoldás: Nyissuk meg az egyenlet belső modulját
| 3x-1 | = 0 <=>x = 1/3.
Az x = 2,5 pont a numerikus tengelyt két intervallumra, az adott egyenletet pedig két esetre osztja. A jobb oldali egyenlet alakja alapján írjuk fel a megoldás feltételét
2x-3> = 0 -> x> = 3/2 = 1,5.
Ebből következik, hogy minket az értékek> = 1,5 érdekelnek. És így moduláris egyenlet két időközönként kell figyelembe venni
,
- (3x-1) -5 | = 2x-3;
| -3x-4 | = 2x-3.
A kapott modult megnyitva 2 egyenletre osztjuk
-3x-4 = 2x-3 vagy 3x + 4 = 2x-3;
2x + 3x = -4 + 3 vagy 3x-2x = -3-4;
5x = -1; x = -1/5 vagy x = -7.
Mindkét érték nem esik az intervallumba, vagyis nem megoldása egy modulusos egyenletre. Ezután kibővítjük a modult x> 2.5-re. A következő egyenletet kapjuk
3x-1-5 = 2x-3;
| 3x-6 | = 2x-3.
A modult kibontva 2 lineáris egyenletet kapunk
3x-6 = 2x-3 ill - (3x-6) = 2x-3;
3x-2x = -3 + 6 vagy 2x + 3x = 6 + 3;
x = 3 vagy 5x = 9; x = 9/5 = 1,8.
A találtak közül a második érték nem felel meg az x> 2,5 feltételnek, ezt elutasítjuk.
Végül megvan az x = 3 modulusú egyenlet gyöke.
Ellenőrzés
||3*3-1|-5|=2*3-3 3=3 .
A modulusos egyenlet gyöke helyesen van kiszámítva.
Válasz: x = 1/3; x = 9.

A modulus a kifejezés abszolút értéke. Ahhoz, hogy egy modult legalább valahogyan jelöljünk, szokás egyenes zárójeleket használni. A szögletes zárójelbe tett érték a modulo érték. Bármely modul megoldásának folyamata ugyanazon zárójelek megnyitásából áll, amelyeket a matematikai nyelvben moduláris zárójeleknek neveznek. Közzétételük bizonyos számú szabály szerint történik. Ezenkívül a modulok megoldásának sorrendjében ott vannak azoknak a kifejezéseknek az értékkészletei is, amelyek a moduláris zárójelben voltak. A legtöbb esetben egy modult úgy bővítenek ki, hogy a szubmoduláris kifejezés pozitív és negatív értékeket, beleértve a nulla értéket. Ha a modul megállapított tulajdonságaiból indulunk ki, akkor a folyamat során az eredeti kifejezésből különböző egyenletek vagy egyenlőtlenségek készülnek, amelyeket ezután meg kell oldani. Találjuk ki, hogyan oldjuk meg a modulokat.

Megoldás folyamata

A modul megoldása úgy kezdődik, hogy felírjuk az eredeti egyenletet a modullal. Annak a kérdésnek a megválaszolásához, hogy hogyan lehet egyenleteket megoldani egy modullal, teljesen ki kell bővítenie azt. Egy ilyen egyenlet megoldásához a modult kibővítjük. Minden moduláris kifejezést figyelembe kell venni. Meg kell határozni, hogy az összetételében szereplő ismeretlen mennyiségek mely értékeinél a zárójelben lévő moduláris kifejezés nullára változik. Ehhez elegendő a moduláris zárójelben lévő kifejezést nullával egyenlővé tenni, majd kiszámítani a kapott egyenlet megoldását. A talált értékeket rögzíteni kell. Ugyanígy meg kell határozni az összes ismeretlen változó értékét az összes modulhoz ebben az egyenletben. Ezután meg kell határoznia és figyelembe kell vennie a változók kifejezésekben való létezésének minden esetét, amikor azok eltérnek a nulla értéktől. Ehhez fel kell írni valamilyen egyenlőtlenségrendszert az összes modul szerint az eredeti egyenlőtlenségben. Az egyenlőtlenségeket úgy kell megtervezni, hogy lefedjék egy változó összes elérhető és lehetséges értékét, amely a számegyenesen található. Ezután meg kell rajzolnia ezt a nagyon numerikus vonalat a megjelenítéshez, amelyen az összes kapott értéket el kell halasztani a jövőben.

Ma már szinte mindent meg lehet tenni az interneten. A modul sem kivétel a szabály alól. Megoldhatja online a sok modern forrás egyikén. A nulla modulban lévő változó összes értéke speciális megszorítás lesz, amelyet a moduláris egyenlet megoldása során használnak fel. Az eredeti egyenletben ki kell bontani az összes rendelkezésre álló moduláris zárójelet, miközben módosítani kell a kifejezés előjelét úgy, hogy a kívánt változó értékei egybeessenek a számegyenesen látható értékekkel. A kapott egyenletet meg kell oldani. Az egyenlet megoldása során kapott változó értékét a modul által meghatározott megszorítással kell összevetni. Ha a változó értéke teljes mértékben kielégíti a feltételt, akkor az helyes. Minden olyan gyöket, amelyet az egyenlet megoldása során kapunk, de nem illeszkednek a megszorításokhoz, el kell dobni.

Az Ön adatainak védelme fontos számunkra. Emiatt kidolgoztunk egy adatvédelmi szabályzatot, amely leírja, hogyan használjuk és tároljuk az Ön adatait. Kérjük, olvassa el adatvédelmi szabályzatunkat, és tudassa velünk, ha kérdése van.

Személyes adatok gyűjtése és felhasználása

A személyes adatok olyan adatokra vonatkoznak, amelyek egy adott személy azonosítására vagy a vele való kapcsolatfelvételre használhatók.

Amikor kapcsolatba lép velünk, bármikor megkérhetjük személyes adatainak megadására.

Az alábbiakban bemutatunk néhány példát arra, hogy milyen típusú személyes adatokat gyűjthetünk, és hogyan használhatjuk fel ezeket az információkat.

Milyen személyes adatokat gyűjtünk:

• Amikor kérést hagy az oldalon, különféle információkat gyűjthetünk, beleértve az Ön nevét, telefonszámát, e-mail címét stb.

Hogyan használjuk fel személyes adatait:

• Az általunk gyűjtött személyes adatok lehetővé teszik számunkra, hogy kapcsolatba léphessünk Önnel, és egyedi ajánlatokról, promóciókról és egyéb eseményekről és közelgő eseményekről számoljunk be.
• Időről időre felhasználhatjuk személyes adatait fontos értesítések és üzenetek küldésére.
• A személyes adatokat belső célokra is felhasználhatjuk, például auditok lefolytatására, adatelemzésre és különféle kutatásokra annak érdekében, hogy javítsuk szolgáltatásainkat, és javaslatokat adjunk Önnek szolgáltatásainkkal kapcsolatban.
• Ha részt vesz egy nyereményjátékon, versenyen vagy hasonló promóciós eseményen, az Ön által megadott információkat felhasználhatjuk e programok lebonyolítására.

Információk közlése harmadik felek számára

Az Öntől kapott információkat nem adjuk ki harmadik félnek.

Kivételek:

• Szükség esetén - törvényben, bírósági végzésben, bírósági eljárásban, és/vagy nyilvános megkeresés vagy a kormányzati szervek az Orosz Föderáció területén - személyes adatainak felfedésére. Akkor is közölhetünk Önnel kapcsolatos információkat, ha úgy ítéljük meg, hogy az ilyen közzététel biztonsági, bűnüldözési vagy egyéb társadalmilag fontos okokból szükséges vagy megfelelő.
• Átszervezés, egyesülés vagy eladás esetén az általunk gyűjtött személyes adatokat átadhatjuk a megfelelő harmadik félnek - a jogutódnak.

Személyes adatok védelme

Óvintézkedéseket teszünk – beleértve az adminisztratív, technikai és fizikai intézkedéseket is –, hogy megvédjük személyes adatait az elvesztéstől, lopástól és visszaéléstől, valamint a jogosulatlan hozzáféréstől, nyilvánosságra hozataltól, megváltoztatástól és megsemmisítéstől.

A magánélet tiszteletben tartása vállalati szinten

Annak érdekében, hogy megbizonyosodjunk arról, hogy személyes adatai biztonságban vannak, munkatársaink elé tárjuk a titoktartási és biztonsági szabályokat, és szigorúan figyelemmel kísérjük a titoktartási intézkedések végrehajtását.

Egy szám abszolút értéke a A távolság az origótól a pontig A(a).

A definíció megértéséhez helyettesítse be a változót a tetszőleges szám, például 3, és próbálja meg újra elolvasni:

Egy szám abszolút értéke 3 A távolság az origótól a pontig A(3 ).

Világossá válik, hogy a modul nem más, mint egy normál távolság. Próbáljuk meg megnézni az origó és az A pont távolságát ( 3 )

Távolság az origótól az A pontig ( 3 ) egyenlő 3-mal (három egység vagy három lépés).

Egy szám modulusát két függőleges vonal jelzi, például:

A 3-as szám modulusát a következőképpen jelöljük: | 3 |

A 4-es szám modulusát a következőképpen jelöljük: | 4 |

Az 5-ös szám modulusát a következőképpen jelöljük: | 5 |

Megkerestük a 3-as szám modulusát, és azt találtuk, hogy egyenlő 3-mal.

Így hangzik: "A hármas modulusa három"

Most próbáljuk meg megtalálni a -3 szám modulusát. Ismét térjünk vissza a definícióhoz, és cseréljük be a -3 számot. Csak pont helyett A használjon új pontot B... Pont A az első példában már használtuk.

Modulo számok - 3 az origó és a pont távolsága B(—3 ).

Az egyik pont és a másik közötti távolság nem lehet negatív. Ezért bármely negatív szám modulusa, mivel távolság, nem lesz negatív. A -3 szám modulusa 3 lesz. Az origó és a B pont távolsága (-3) szintén három egység:

Így hangzik: "A szám mínusz három modulusa egyenlő hárommal"

A 0 szám abszolút értéke 0, hiszen a 0 koordinátájú pont egybeesik az origóval, azaz. távolság a kiindulási ponttól a pontig O (0) egyenlő nullával:

"A nulla modulus nulla"

Következtetéseket vonunk le:

• Egy szám modulusa nem lehet negatív;
• Pozitív szám és nulla esetén a modulus magával a számmal, negatív szám esetén pedig az ellenkező számmal egyenlő;
• Ellentétes számok vannak egyenlő modulok.

Ellentétes számok

Azokat a számokat nevezzük, amelyek csak előjelekben különböznek egymástól szemben... Például a −2 és 2 számok ellentétesek. Csak jelekben különböznek egymástól. A −2 számnak mínusz, a 2-nek plusz jele van, de nem látjuk, mert a pluszt, mint korábban mondtuk, hagyományosan nem írják.

További példák ellentétes számokra:

Az ellentétes számoknak azonos moduljai vannak. Például keressünk modulokat a −2 és 2 számára

Az ábrán látható, hogy az origó és a pontok távolsága A (-2)és B (2) egyenlő két lépéssel.

Tetszett a lecke?
Csatlakozzon új Vkontakte csoportunkhoz, és kapjon értesítéseket az új leckékről

Ebben a cikkben részletesen elemezzük egy szám abszolút értéke... Különféle definíciókat adunk egy szám modulusára, bemutatjuk a jelöléseket és grafikus illusztrációkat adunk. Ebben az esetben különféle példákat fogunk megvizsgálni egy szám modulusának meghatározására. Ezt követően felsoroljuk és indokoljuk a modul főbb tulajdonságait. A cikk végén beszéljünk a modul meghatározásáról és elhelyezkedéséről. összetett szám.

Oldalnavigáció.

Számmodul - definíció, jelölés és példák

Először bemutatjuk számmodulus jelölés... Az a szám modulusa így lesz felírva, azaz a számtól balra és jobbra függőleges kötőjeleket teszünk, amelyek a modulusjelet alkotják. Íme néhány példa. Például a modulo -7 így írható; A 4.125-ös modult így írják, a modult pedig mint.

A modul alábbi definíciója a valós számok halmazának alkotórészeiként az egész számokra, valamint a racionális és irracionális számokra vonatkozik. Beszélünk a komplex szám modulról.

Meghatározás.

A szám modulusa Vagy maga a szám, ha az a pozitív szám, vagy az a számmal ellentétes −a szám, ha a - negatív szám, vagy 0, ha a = 0.

Egy szám moduljának hangos definícióját gyakran a következő formában írják le , ez a jelölés azt jelenti, hogy ha a> 0, ha a = 0, és ha a<0 .

A lemez kompaktabb formában is bemutatható ... Ez a jelölés azt jelenti, hogy ha (a nagyobb vagy egyenlő, mint 0), és ha a<0 .

Rekord is van ... Itt külön tisztázni kell azt az esetet, amikor a = 0. Ebben az esetben van, de −0 = 0, mivel a nullát önmagával ellentétes számnak tekintjük.

Adjunk példák egy szám modulusának megtalálására az artikulált definíciót használva. Például keressük meg a 15 és a számok moduljait. Kezdjük a megtalálással. Mivel a 15-ös szám pozitív, modulusa definíció szerint egyenlő ezzel a számmal, azaz. És mi egy szám abszolút értéke? Mivel negatív szám, modulusa megegyezik az ellenkező számmal, vagyis a számmal ... És így, .

A bekezdés zárásaként egy olyan következtetést mutatunk be, amelyet nagyon kényelmes a gyakorlatban alkalmazni egy szám modulusának megtalálásakor. Egy szám modulusának definíciójából következik, hogy egy szám modulusa egyenlő a modulusjel alatti számmal, annak előjelétől függetlenül, és a fenti példákból ez nagyon jól látható. A megadott utasítás megmagyarázza, hogy miért hívják egy szám modulját is a szám abszolút értéke... Tehát egy szám modulusa és egy szám abszolút értéke egy és ugyanaz.

Számmodulus távolságként

Geometriailag egy szám modulusa úgy értelmezhető távolság... Adjunk egy szám modulusának meghatározása távolságban.

Meghatározás.

A szám modulusa A távolság a koordinátaegyenes origójától az a számnak megfelelő pontig.

Ez a meghatározás összhangban van a szám modulusának az első bekezdésben megadott meghatározásával. Tisztázzuk ezt a pontot. Az origó és a pozitív számnak megfelelő pont közötti távolság egyenlő ezzel a számmal. A nulla az origónak felel meg, ezért az origó és a 0 koordinátájú pont távolsága nullával egyenlő (nem kell elhalasztani egyetlen egységszakaszt és egyetlen olyan szakaszt sem, amely az egységszakasz töredékét alkotja, hogy eljutni O pontból egy 0 koordinátájú pontba). Az origótól a negatív koordinátájú pontig mért távolság egyenlő a pont koordinátájával ellentétes számmal, mivel egyenlő az origó és az ellentétes koordinátájú pont közötti távolsággal.

Például a 9 abszolút értéke 9, mivel az origó és a 9 koordinátájú pont távolsága kilenc. Mondjunk egy másik példát. A −3,25 koordinátájú pont 3,25 távolságra van az O ponttól, tehát .

A szám modulusának hangos definíciója a két szám különbsége modulusának meghatározásának speciális esete.

Meghatározás.

Két szám különbségi modulusa a és b egyenlő az a és b koordinátájú koordinátaegyenes pontjai közötti távolsággal.

Azaz, ha az A (a) és B (b) koordinátaegyenesen pontok vannak megadva, akkor az A pont és a B pont távolsága egyenlő az a és b számok különbségének modulusával. Ha az O pontot (origin) vesszük B pontnak, akkor egy szám modulusának e bekezdés elején megadott definícióját kapjuk.

Egy szám modulusának meghatározása a számtani négyzetgyökön keresztül

Alkalmanként előfordul modulus meghatározása aritmetikai négyzetgyökben.

Például számítsuk ki a −30 számok abszolút értékét és ennek alapján. Nekünk van. Hasonlóképpen kiszámítjuk a kétharmad modulját: .

A szám modulusának az aritmetikai négyzetgyökön keresztüli meghatározása is összhangban van a jelen cikk első bekezdésében megadott meghatározással. Mutassuk meg. Legyen a pozitív szám, míg az −a szám negatív. Azután és , ha a = 0, akkor .

Modul tulajdonságai

A modulnak számos jellemző eredménye van - modul tulajdonságait... Most megadjuk a fő és leggyakrabban használtakat. Ezen tulajdonságok igazolásánál egy szám távolsági modulusának meghatározására fogunk támaszkodni.

Kezdjük a modul legnyilvánvalóbb tulajdonságával - egy szám modulusa nem lehet negatív... Szó szerinti formában ennek a tulajdonságnak tetszőleges a szám alakjának rekordja van. Ez a tulajdonság nagyon könnyen igazolható: egy szám modulusa a távolság, a távolság pedig nem fejezhető ki negatív számként.

Térjünk át a modul következő tulajdonságára. Egy szám abszolút értéke akkor és csak akkor nulla, ha ez a szám nulla... A nulla modulus definíció szerint nulla. A nulla az origónak felel meg, a koordinátaegyenes egyetlen más pontja sem felel meg nullának, mivel minden valós szám egyetlen ponthoz van társítva a koordinátaegyenesen. Ugyanebből az okból kifolyólag minden nullától eltérő szám az origótól eltérő pontnak felel meg. És az origótól az O ponttól eltérő pontig mért távolság nem nulla, mivel két pont távolsága akkor és csak akkor nulla, ha ezek a pontok egybeesnek. A fenti érvelés bizonyítja, hogy csak a nulla modulusa egyenlő nullával.

Lépj tovább. Az ellentétes számoknak egyenlő moduljai vannak, azaz bármely a számhoz. Valójában a koordinátavonal két pontja, amelyek koordinátái ellentétes számok, azonos távolságra vannak az origótól, ami azt jelenti, hogy az ellentétes számok abszolút értéke egyenlő.

A modul következő tulajdonsága a következő: két szám szorzatának modulusa egyenlő e számok modulusainak szorzatával, vagyis . Definíció szerint az a és b számok szorzatának modulusa egyenlő vagy a b, if, vagy - (a b), if. A valós számok szorzásának szabályaiból következik, hogy az a és b számok abszolút értékének szorzata egyenlő vagy a b-vel vagy - (a b), ha, ami bizonyítja a vizsgált tulajdonságot.

Az a-t b-vel osztó hányados egyenlő az a szám modulusának a b-vel való osztásának hányadosával, vagyis . Igazoljuk a modul ezen tulajdonságát. Mivel a hányados egyenlő a szorzattal, akkor. Az előző tulajdonság alapján megvan ... Már csak az egyenlőség használata marad, amely egy szám modulusának meghatározása alapján érvényes.

A modul következő tulajdonsága egyenlőtlenségként van felírva: , a, b és c tetszőleges valós számok. Az írott egyenlőtlenség nem más, mint háromszög egyenlőtlenség... Ennek egyértelművé tételéhez vegyük a koordinátaegyenes A (a), B (b), C (c) pontjait, és vegyük figyelembe az ABC degenerált háromszöget, amelynek csúcsai egy egyenesen helyezkednek el. Definíció szerint a különbség modulusa megegyezik az AB szakasz hosszával, az AC szakasz hosszával és a CB szakasz hosszával. Mivel a háromszög egyik oldalának hossza nem haladja meg a másik két oldal hosszának összegét, az egyenlőtlenség tehát az egyenlőtlenség is igaz.

Az imént bizonyított egyenlőtlenség sokkal gyakoribb a formában ... Az írott egyenlőtlenséget általában a modul külön tulajdonságának tekintik a következő megfogalmazással: „ Két szám összegének abszolút értéke nem haladja meg ezen számok abszolút értékének összegét". De az egyenlőtlenség közvetlenül következik az egyenlőtlenségből, ha b helyett −b-t teszünk, és c = 0-t veszünk fel.

Komplex szám modul

Adjunk komplex szám modulusának meghatározása... Adják meg nekünk összetett szám, algebrai formában írva, ahol x és y néhány valós szám, amelyek egy adott z komplex szám valós és képzetes részét reprezentálják, és egy imaginárius egység.