Komplex számok felosztása. Komplex számok felosztása algebrai formában

Meghatározás:

Komplex szám = x – yi vonatkozásában konjugált számnak nevezzük w = x + yi.

Példák a konjugált komplex számok:

–1 + 5énés –1–5 én, 2 – 3én és 2 + 3 én.

Két összetett szám felosztására algebrai formaáltalában kényelmes megszorozni a tört számlálóját és nevezőjét a nevező konjugátumával.

4. példa Osztás végrehajtása: = [megszorozzuk a tört számlálóját és nevezőjét a nevező konjugátumával] =

vedd észre, azt
kifejezés, nem szám, ezért nem tekinthető válasznak.

5. példa Kövesd a lépéseket:
=

=


=
.

6. példa Kövesd a lépéseket:
= [megszorozzuk a tört számlálóját és nevezőjét mindkét nevező szám konjugáltjaival] =

1. Egy komplex szám négyzetgyökének kivonása algebrai formában

Meghatározás. Összetett szám
komplex szám négyzetgyökének nevezzük z, ha
.

7. példa Kiszámítja
.

Megoldás. Legyen
= x + yi, azután

Oldjuk meg bi másodfokú egyenlet:

Válasz: (- 3 + 4 én; 3 ‑ 4én}.

Egy másik megoldás is lehetséges a komplex szám trigonometrikus jelölési formájának bevezetése után (lásd 14. o.).

1. Lineáris és másodfokú egyenletek megoldása komplex számokra

A komplex számok területén ugyanazok a képletek igazak a lineáris és másodfokú egyenletek megoldására, mint a valós számok területén.

8. példa Oldja meg az egyenletet: (-2 - én)z = 3 +én.

9. példa Oldja meg az egyenletet:
.

Megoldás. A képlet segítségével keressük meg a másodfokú egyenlet gyökereit:

Válasz: (- 2 + én; ‑2 –én} .

10. példa Oldja meg az egyenletet:
.

Megoldás:

Válasz: (1-2 én; 1 –én} .

11. példa Oldja meg az egyenletet:
.

Megoldás:

Számoljunk
:

Rendszert építünk fel az egyenlőség bal és jobb oldalának valódi és képzelt részének egyenlítésével:

Válasz: (2; én} .

12. példa Oldja meg az egyenletrendszert:

Megoldás. A rendszer első egyenletéből fejezzük ki a változót x változón keresztül y:

A tört számlálóját és nevezőjét megszorozzuk a nevező konjugátumával:

A tört számlálójában kinyitjuk a zárójeleket, és hasonló kifejezéseket adunk:

Helyettesítse be a változó eredményét x a rendszer második egyenletébe:

;

Válasz: (1 + én; én}.

1. Trigonometriai jelölés komplex számokhoz

   1. Komplex számok geometriai ábrázolása

A komplex számok tulajdonságainak tanulmányozásakor geometriai értelmezésük nagyon kényelmes. Mivel egy komplex szám valós számpárként van definiálva, minden egyes komplex szám z = a + kettős a sík egy pontja ábrázolja ( x, y) koordinátákkal x = a és y = b. Az ilyen síkot ún összetett sík, az abszcissza tengely valós (Re z), az ordinátatengely pedig a képzeletbeli tengely (Im z).

13. példa Rajzoljon a síkra a számoknak megfelelő pontokat:

R megoldás... Szám z 1, a valós rész –2, a képzelt rész pedig 0. Ezért a szám ábrázolása z 1 a pont (-2, 0) (1.1. Ábra).

Szám z 2, a valós rész 0, a képzelt rész pedig 3. Ezért a szám ábrázolása z 2 a pont (0, 3). Szám z A 3. ábra szerint a valós rész 1, a képzelt rész pedig –4. Ezért a szám ábrázolása z 3. pont (1, –4).

Szám z 4, a valós rész 1, a képzelt rész pedig 1. Ezért a szám ábrázolása z 4 a pont (1, 1).

Szám z Az 5. ábra szerint a valódi rész –3, a képzeletbeli rész –2. Ezért a szám ábrázolása z 5 a pont (-3, -2).

A konjugált számokat a komplex sík pontjai jelzik, szimmetrikusak a Re valós tengely körül z.

A valós számok osztásának definíciójával összhangban a következő meghatározás jön létre.

Meghatározás. Az a + bi komplex számot elosztani az a " + b" i komplex számmal azt jelenti, hogy találunk egy ilyen x + yi számot, amelyet az osztóval megszorozva osztalékot kapunk.

Egy speciális osztási szabályt kapunk, ha a hányadost törtként írjuk, és ennek a törtnek a számlálóját és nevezőjét megszorozzuk a nevezőhöz konjugált számmal: (a + bi) :( c + di) =

1. példa Keresse meg a hányadost (7 - 4i) :( 3 + 2i).

Miután leírtuk a (7 - 4i) / (3 + 2i) törtet, kiterjesztjük a 3 - 2i konjugált számra 3 + 2i -re. Kapunk:

((7 - 4i) (3 - 2i)) / ((3 + 2i) (3 - 2i)) = (13 - 26i) / 13 = 1 - 2i.

Az előző bekezdés 1. példája ellenőrzést biztosít.

2. példa (-2 + 5i) / (- 3 -4i) = ((-2 + 5i) (- 3- 4i)) / ((- 3i- 4i) (- 3 + 4i)) = (-14 -23i) / 25 = -0,56 -0,92i.

Annak bizonyítására, hogy a jobb oldal valóban privát, elég, ha megszorozzuk egy "+ b" -vel. Kapunk egy + bi -t.

Egyenletek megoldása komplex változókkal

komplex számadalék változó

Nézzük először a legegyszerűbb másodfokú egyenletet z2 = a, ahol a adott szám, z ismeretlen. A valós számok halmazán ez az egyenlet:

• 1) egy gyökér z = 0, ha a = 0;
• 2) két valódi gyöke van z1,2 = ha a> 0;
• 3) nincs valódi gyökere, ha a

A komplex számok halmazán ennek az egyenletnek mindig van gyöke.

1. feladat. Keresse meg a z2 = a egyenlet összetett gyökeit, ha:

• 1) a = -1; 2) a = -25; 3) a = -3.
• 1) z2 = -1. Mivel i2 = -1, ez az egyenlet z2 = i2 vagy z2 - i2 = 0 formában írható fel. Ezért a bal oldalt tényezőkké bővítve kapjuk a (zi) (z + i) = 0, z1 = i , z2 = -i. z1,2 = i.
• 2) z2 = -25. Figyelembe véve, hogy i2 = -1, ezt az egyenletet átalakítjuk:

z2 = i2 52, z2 -52 i2 = 0, (z -5i) (z + 5i) = 0, innen z1 = 5i, z2 = -5i. Válasz:

3) z2 = -3, z2 = i2 () 2, z2 - () 2i2 = 0, (z - i) (z + i) = 0

Válasz: z1,2 = i.

Általában a z2 = a egyenlet, ahol a< 0 имеет два комплексных корня: Z1,2= i.

Az i2 = -1 egyenlőség használatával négyzetgyök tól től negatív számok szokás így írni: = i, = 2i, = i.

Tehát minden a valós számra (pozitív, negatív és nulla) van definiálva. Ezért minden másodfokú az2 + bz + c = 0 egyenlet, ahol a, b, c valós számok és 0, gyökerei. Ezek a gyökerek a jól ismert képlet szerint találhatók:

2. feladat. Oldja meg a z2-4z + 13 = 0 egyenletet. A képlet szerint azt találjuk: z1,2 = = = 2 3i.

Vegye figyelembe, hogy a probléma gyökerei konjugátumok: z1 = 2 + 3i és z2 = 2-3i. Keressük meg ezeknek a gyököknek az összegét és szorzatát: z1 + z2 = (2 + 3i) + (2-3i) = 4, z1z2 = (2 + 3i) (2-3i) = 13.

A 4-es szám a z2-4z + 13 = 0 egyenlet 2. együtthatója, ellentétes előjellel, és a 13-as szabad tag, vagyis ebben az esetben Vieta tétele érvényes. Bármilyen másodfokú egyenletre érvényes: ha z1 és z2 az az2 + bz + c = 0 egyenlet gyökei, z1 + z2 =, z1z2 =.

3. feladat. Készítsen csökkentett másodfokú egyenletet valódi együtthatókkal, amelyek z1 = -1-2i gyök.

Az egyenlet második z2 gyöke az adott z1 gyök konjugátuma, azaz z2 = -1 + 2i. Vieta tétele alapján megtaláljuk

P = - (z1 + z2) = 2, q = z1z2 = 5. A válasz z2-2z + 5 = 0.