A komplex számok exponenciális felosztása. Komplex számok felosztása algebrai formában

Meghatározás:

Összetett szám = x – yi konjugált számnak nevezzük w = x + yi.

Példák a konjugátumra komplex számok:

–1 + 5énés –1 - 5 én, 2 – 3én és 2 + 3 én.

Két összetett szám algebrai formában történő felosztásához általában kényelmes, ha a tört számlálóját és nevezőjét megszorozzuk a nevező konjugátumával.

4. példa Osztás végrehajtása: = [szorozzuk meg a frakció számlálóját és nevezőjét a nevező konjugátumával] =

vegye észre, hogy
kifejezés, nem szám, ezért nem tekinthető válasznak.

5. példa Kövesd a lépéseket:
=

=


=
.

6. példa Kövesd a lépéseket:
= [szorozzuk meg a frakció számlálóját és nevezőjét mindkét nevező szám konjugátumával] =

1. Egy komplex szám négyzetgyökének kibontása algebrai formában

Meghatározás. Összetett szám
komplex szám négyzetgyökének nevezzük z, ha
.

7. példa Kiszámítja
.

Megoldás. Legyen
= x + yi, azután

Oldjuk meg bi másodfokú egyenlet:

Válasz: (- 3 + 4 én; 3 ‑ 4én}.

Egy másik megoldás lehetséges a komplex szám trigonometrikus jelölési formájának bevezetése után (lásd 14. oldal).

1. Lineáris és másodfokú egyenletek megoldása komplex számokra

A komplex számok terén ugyanazok a képletek igazak a lineáris és másodfokú egyenletek megoldására, mint a valós számok terén.

8. példa Oldja meg az egyenletet: (-2 - én)z = 3 +én.

9. példa Oldja meg az egyenletet:
.

Megoldás. Használjuk a képletet a másodfokú egyenlet gyökereinek megkeresésére:

Válasz: (- 2 + én; ‑2 –én} .

10. példa Oldja meg az egyenletet:
.

Megoldás:

Válasz: (1 - 2 én; 1 –én} .

11. példa Oldja meg az egyenletet:
.

Megoldás:

Számoljunk
:

Összeállítunk egy rendszert úgy, hogy egyenlővé tesszük az egyenlőség bal és jobb oldalának valós és képzeletbeli részét:

Válasz: (2; én} .

12. példa Oldja meg az egyenletrendszert:

Megoldás. A rendszer első egyenletéből a változót fejezzük ki x változón keresztül y:

Megszorozzuk a tört számlálóját és nevezőjét a nevező konjugátumával:

A tört számlálójában kinyitjuk a zárójeleket, és hasonló kifejezéseket adunk:

Helyettesítse a változó eredményét x a rendszer második egyenletébe:

;

Válasz: (1 + én; én}.

1. Trigonometrikus jelölés komplex számokhoz

   1. Komplex számok geometriai ábrázolása

A komplex számok tulajdonságainak tanulmányozása során geometriai értelmezésük nagyon kényelmes. Mivel egy komplex számot valós számpárként definiálunk, minden komplex számot z = a + kettős a sík egy pontja ábrázolja ( x, y) koordinátákkal x = a és y = b. Ilyen síkot hívnak összetett sík, az abszcissza tengely valós (Re z), és az ordináta tengely a képzeletbeli tengely (Im z).

13. példa Rajzoljon a síkon a számoknak megfelelő pontokat:

R megoldás... Szám z Az 1. ábrán a valós rész –2, a képzeletbeli pedig 0. Ezért a szám ábrázolása z Az 1 a pont (–2, 0) (1.1. Ábra).

Szám z A 2. ábrán a valós rész egyenlő 0-val, a képzelt rész pedig 3-mal. Ezért a szám ábrázolása z 2 a pont (0, 3). Szám z A 3. ábrán a valós rész 1, a képzeletbeli rész –4. Ezért a szám ábrázolása z 3 a lényeg (1, -4).

Szám z A 4. ábrán a valós rész 1, a képzelt rész pedig 1. Ezért a szám ábrázolása z 4 az (1, 1) pont.

Szám z Az 5. ábrán a valós rész –3, a képzeletbeli rész pedig –2. Ezért a szám ábrázolása z Az 5 a pont (–3, ‑2).

A konjugált számokat a komplex sík pontjai ábrázolják, szimmetrikusan a Re valós tengelyre z.

A valós számok felosztásának meghatározásával összhangban a következő meghatározást állapítjuk meg.

Meghatározás. Az a + bi komplex szám elosztása az a "+ b" i komplex számmal azt jelenti, hogy megtalálunk egy olyan x + yi számot, amely az osztóval megszorozva megadja az osztalékot.

Sajátos osztási szabályt kapunk úgy, hogy a hányadost törtként írjuk, és ennek a frakciónak a számlálóját és nevezőjét megszorozzuk a nevezőhöz konjugált számmal: (a + bi) :( c + di) =

1. példa Keresse meg a (7 - 4i) hányadost :( 3 + 2i).

A (7 - 4i) / (3 + 2i) törtrész felírása után kiterjesztjük a 3 - 2i szám konjugátumára 3 + 2i-re. Kapunk:

((7 - 4i) (3 - 2i)) / ((3 + 2i) (3 - 2i)) = (13 - 26i) / 13 = 1 - 2i.

Az előző bekezdés 1. példája ellenőrzést nyújt.

2. példa (-2 + 5i) / (- 3 -4i) = ((-2 + 5i) (- 3 - 4i)) / ((- 3 - 4i) (- 3 + 4i)) = (-14 = -23i) / 25 = -0,56 - 0,92i.

Annak bizonyításához, hogy a jobboldal valóban magán, elég, ha megszorozzuk egy "+ b" -vel. Kapunk egy + bi-t.

Egyenletek megoldása komplex változókkal

komplex számösszeadó változó

Tekintsük először a z2 = a legegyszerűbb másodfokú egyenletet, ahol a adott szám, z ismeretlen. A valós számok halmazán ez az egyenlet:

• 1) egy gyöke z = 0, ha a = 0;
• 2) két valós gyöke van z1,2 = ha a> 0;
• 3) nincsenek valódi gyökerei, ha a

A komplex számok halmazán ennek az egyenletnek mindig van gyöke.

1. feladat: Keresse meg az z2 = a egyenlet összetett gyökeit, ha:

• 1) a = -1; 2) a = -25; 3) a = -3.
• 1) z2 = -1. Mivel i2 = -1, ez az egyenlet felírható z2 = i2, vagy z2 - i2 = 0. alakban. Ezért a bal oldalt tényezőkké bővítve (zi) (z + i) = 0, z1 = i , z2 = -i. Válasz. z1,2 = i.
• 2) z2 = -25. Figyelembe véve, hogy i2 = -1, átalakítjuk ezt az egyenletet:

z2 = i2 52, z2 - 52 i2 = 0, (z-5i) (z + 5i) = 0, ahonnan z1 = 5i, z2 = -5i. Válasz:

3) z2 = -3, z2 = i2 () 2, z2 - () 2i2 = 0, (z - i) (z + i) = 0

Válasz: z1,2 = i.

Általában a z2 = a egyenlet, ahol a< 0 имеет два комплексных корня: Z1,2= i.

Az i2 = -1 egyenlőség használatával négyzetgyök tól től negatív számok szokás leírni: = i, = 2i, = i.

Tehát bármely valós számra (pozitív, negatív és nulla) van meghatározva. Ezért bármely olyan másodfokú egyenletnek, amely az2 + bz + c = 0, ahol a, b, c valós szám, 0 pedig gyökere van. Ezek a gyökerek a jól ismert képlet szerint találhatók:

2. Feladat. Oldja meg a z2-4z + 13 = 0 egyenletet. A képlet alapján megtaláljuk: z1,2 = = = 2 3i.

Ne feledje, hogy a probléma gyökere konjugátum: z1 = 2 + 3i és z2 = 2-3i. Keressük meg ezen gyökök összegét és szorzatát: z1 + z2 = (2 + 3i) + (2-3i) = 4, z1z2 = (2 + 3i) (2-3i) = 13.

A 4-es szám az z2-4z + 13 = 0 egyenlet 2. együtthatója, ellentétes előjellel felvéve, és a 13-as szám szabad kifejezés, vagyis ebben az esetben a Vieta-tétel érvényes. Bármely másodfokú egyenletre érvényes: ha z1 és z2 az az2 + bz + c = 0 egyenlet gyökere, z1 + z2 =, z1z2 =.

3. feladat: Készítsen redukált másodfokú egyenletet valódi együtthatókkal, amelyek gyöke z1 = -1-2i.

Az egyenlet második z2 gyöke az adott z1 gyök konjugátuma, vagyis z2 = -1 + 2i. Vieta tételével azt találjuk

P = - (z1 + z2) = 2, q = z1z2 = 5. A válasz z2-2z + 5 = 0.