Miért nem lehet nullával osztani? Szemléltető példa. Osztás nullával: miért ne

Azt mondják, akkor lehet nullával osztani, ha meghatározzuk a nullával való osztás eredményét. Csak ki kell bővítenie az algebrát. Különös egybeesés folytán nem lehet találni legalább néhány, de jobban érthető és egyszerű példát egy ilyen kiterjesztésre. Az internet javításához vagy egy ilyen kiterjesztési mód bemutatására van szükség, vagy annak leírására, hogy ez miért nem lehetséges.

A cikk a trend folytatásaként készült:

Jogi nyilatkozat

Ennek a cikknek az a célja, hogy „emberi nyelven” elmagyarázza, hogyan működnek a matematika alapvető alapjai, strukturálja a tudást, és helyreállítsa a matematika ágai között elmulasztott ok-okozati összefüggéseket. Minden érv filozófiai, az ítéletek tekintetében eltér az általánosan elfogadottaktól (ezért nem a matematikai szigornak nevezi). A cikk az olvasó szintjének készült, "sok évvel ezelőtt átment a tornyon".

A számtan alapelveinek megértése, elemi, általános és lineáris algebra, matematikai és nem szabványos elemzés, halmazelmélet, általános topológia, projektív és affin geometria - kívánatos, de nem kötelező.

A kísérletek során egyetlen végtelen sem sérült meg.

Prológus

A túllépés az új tudás keresésének természetes folyamata. De nem minden keresés hoz új tudást és ebből eredő hasznot.

1. Igazából rajtunk már minden fel van osztva!

1.1 A számegyenes affin kiterjesztése

Kezdjük azzal, amivel valószínűleg minden kalandozó kezd nullával osztva. Idézzük fel a függvény grafikonját .

A nullától balra és jobbra a függvény a „nemlétezés” különböző irányaiban távozik. A nulla ponton általában van egy "medence", és semmi sem látható.

Ahelyett, hogy hanyatt-homlok rohannánk be a "medencébe", nézzük meg, mi folyik be és mi folyik ki onnan. Ehhez a határértéket fogjuk használni - a matematikai elemzés fő eszközét. A fő "trükk" az, hogy a határ lehetővé teszi, hogy egy adott ponthoz a lehető legközelebb menj, de nem "lépj rá". Egy ilyen "kerítés" az "örvény" előtt.

Eredeti

Nos, a „kerítést” felállították. Már nem olyan ijesztő. Két ösvényünk van az „örvényfürdőhöz”. Menjünk balra - meredek ereszkedés, jobb oldalon - meredek emelkedő. Hiába mész a „kerítéshez”, nem kerül közelebb. Az alsó és felső „nemlétezést” semmiképpen nem lehet átlépni. Felmerül a gyanú, körbejárunk? Bár nem, a számok változnak, tehát nem körben. Turkáljunk még a ládában a matematikai elemzés eszközeivel. A "kerítéssel" megadott határokon kívül a készlet pozitív és negatív végtelent is tartalmaz. A mennyiségek teljesen absztraktak (nem számok), jól formalizáltak és használatra készek! Nekünk megfelel. Egészítsük ki „lényünket” (a valós számok halmazát) két előjeles végtelennel.

Matematikai nyelv:

Ez az a kiterjesztés, amely lehetővé teszi, hogy a végtelenbe hajló érvvel felvegye a határt, és a határ felvétele eredményeként végtelent kapjon.

A matematikának két ága van, amelyek ugyanazt a dolgot különböző terminológiával írják le.

Összefoglaljuk:

A száraz maradékban. A régi módszerek nem működtek. A rendszer összetettsége, egy halom „ha”, „mindenkire, de” stb. formájában, megnőtt. Csak két bizonytalanságunk volt, 1/0 és 0/0 (nem vettük figyelembe a teljesítményműveleteket), most öt van. Egy bizonytalanság nyilvánosságra hozatala több bizonytalanságot generált.

1.2 kerék

Az előjel nélküli végtelen bevezetése nem állt meg itt. A bizonytalanságból való kilábaláshoz második szélre van szükség.

Tehát sok valós számunk van, és két bizonytalanságunk van: 1/0 és 0/0. Az első kiküszöbölésére végrehajtottuk a számegyenes projektív kiterjesztését (azaz előjel nélküli végtelent vezettünk be). Próbáljuk meg kezelni a 0/0 forma második bizonytalanságát. Tegyük ugyanezt. Egészítsük ki a számhalmazt egy új, a második bizonytalanságot reprezentáló elemmel.

Az osztási művelet meghatározása a szorzáson alapul. Nem illik hozzánk. Válasszuk le a műveleteket egymástól, de tartsuk meg a valós számoknál szokásos viselkedést. Definiáljunk egy unáris osztási műveletet, amelyet "/" jelöl.

Bővítsük ki a műveletek definícióját.

Ezt a szerkezetet "keréknek" nevezik. A kifejezést a számegyenes és a 0/0 pont projektív kiterjesztésének topológiai képével való hasonlóság miatt vettük fel.

Minden jól néz ki, de az ördög a részletekben rejlik:

Az összes jellemző rendezésére az elemkészlet bővítése mellett bónusz is jár, nem egy, hanem két elosztási törvényt leíró identitás formájában.

Matematikai nyelv:

Az általános algebra szempontjából egy mezőt operáltunk. És a mezőben, mint tudod, csak két művelet van meghatározva (összeadás és szorzás). Az osztás fogalmát az inverz, és ha még mélyebb is, akkor az egységelemeken keresztül vezetjük le. Az elvégzett változtatások átalakítják a mieinket algebrai rendszer monoidba mind összeadással (nulla semleges elemmel), mind szorzással (egy semleges elemmel).

A felfedezők írásaiban a ∞ és a ⊥ szimbólumokat nem mindig használják. Ehelyett a jelölés / 0 és 0/0 formában található.

A világ már nem olyan szép, igaz? Ne siess azonban. Vizsgáljuk meg, hogy az elosztási törvény új identitásai megbirkóznak-e kiterjesztett halmazunkkal .

Ezúttal sokkal jobb az eredmény.

Összefoglaljuk:

A száraz maradékban. Az algebra remekül működik. Azonban a „nem definiált” fogalmat vették alapul, amit elkezdtek létezőnek tekinteni és azzal működni. Egyszer valaki azt mondja, hogy minden rossz, és az adott "definiálatlan"-t fel kell bontani néhány további "definiálatlanra", de kisebbre. Az általános algebra azt mondja: "Semmi baj, tesó!".
Valami ehhez hasonló további (j és k) képzeletbeli egységeket feltételez a kvaterniókban Adjon hozzá címkéket

A nullával való osztás matematikai szabályát egy általános iskola első osztályában minden ember megtanulta. „Nem lehet nullával osztani” – tanítottak mindannyiunknak, és megtiltották, hogy egy fejcsapás fájdalma miatt nullával osszuk, és még meg is beszéljük ezt a témát. Bár néhány általános iskolai tanár még mindig a legegyszerűbb példákkal próbálta megmagyarázni, miért lehetetlen nullával osztani, ezek a példák annyira logikátlanok voltak, hogy könnyebb volt megjegyezni ezt a szabályt, és nem kérdezni feleslegesen. Mindezek a példák azonban logikátlanok voltak abból az okból, hogy ezt a tanárok nem tudták logikusan elmagyarázni nekünk az első osztályban, hiszen az első osztályban még azt sem tudtuk, mi az egyenlet, és logikusan ez a matematikai szabály csak a egyenletek segítségével.

Mindenki tudja, hogy ha bármilyen számot elosztunk nullával, akkor üresség marad. Hogy miért pont az üresség, azt később megvizsgáljuk.

Általában a matematikában csak két számokkal rendelkező eljárást ismernek el függetlennek. Ez összeadás és szorzás. A többi eljárás e két eljárás származékának tekintendő. Nézzünk egy példát.

Mondd, mennyi lesz pl 11-10? Mindannyian azonnal azt válaszoljuk, hogy 1 lesz. Hogyan találtunk ilyen választ? Valaki azt fogja mondani, hogy ez érthető, hogy lesz 1, valaki azt fogja mondani, hogy 11 almából vett 10-et, és megszámolta, hogy az egy alma. A logika szemszögéből nézve minden helyes, de a matematika törvényei szerint ezt a feladatot másképp oldják meg. Emlékeztetni kell arra, hogy az összeadás és a szorzás a fő eljárások, ezért meg kell alkotnia a következő egyenletet: x + 10 = 11, és csak akkor x = 11-10, x = 1. Figyeljük meg, hogy először az összeadás következik, és csak ezután tudjuk az egyenlet alapján kivonni. Úgy tűnik, miért olyan sok eljárás? Végül is a válasz már nyilvánvaló. De csak az ilyen eljárások magyarázhatják a nullával való osztás lehetetlenségét.

Például ezt a matematikai feladatot csináljuk: el akarjuk osztani a 20-at nullával. Tehát 20: 0 = x. Ahhoz, hogy megtudja, mennyi lesz, emlékeznie kell arra, hogy az osztási eljárás a szorzásból következik. Más szóval, az osztás a szorzás származéka. Ezért a szorzásból egyenletet kell alkotnia. Tehát 0 * x = 20. Itt egy zsákutca. Bármelyik számot is megszorozzuk nullával, akkor is 0 lesz, de nem 20. Itt következik a szabály: nullával nem lehet osztani. A nullát bármilyen számmal eloszthatja, de egy számot nullával - sajnos nem.

Ez újabb kérdést vet fel: osztható-e nulla nullával? Tehát 0: 0 = x, tehát 0 * x = 0. Ez az egyenlet megoldható. Vegyük például az x = 4-et, ami azt jelenti, hogy 0 * 4 = 0. Kiderült, hogy ha a nullát elosztod nullával, akkor 4-et kapsz. De itt sem minden olyan egyszerű. Ha például azt vesszük, hogy x = 12 vagy x = 13, akkor ugyanaz a válasz jön ki (0 * 12 = 0). Általánosságban elmondható, hogy bármilyen számot is helyettesítünk, akkor is 0 lesz. Ezért ha 0: 0, akkor a végtelen lesz. Itt van egy ilyen egyszerű matematika. Sajnos a nulla nullával való osztásának eljárása is értelmetlen.

Általában a nulla szám a matematikában a legérdekesebb. Például mindenki tudja, hogy bármely nulla fokos szám egyet ad. Természetesen egy ilyen példával be való élet nem találkozunk, de az élethelyzetek nagyon gyakran találkoznak a nullával való osztással. Ezért ne feledje, hogy nem oszthat nullával.

Valójában a nullával osztott történet kísértette feltalálóit (a). De az indiánok filozófusok, akik hozzászoktak az elvont problémákhoz. Mit jelent a semmire osztani? Az akkori európaiak számára ilyen kérdés egyáltalán nem létezett, mivel nem tudtak a nulláról vagy a negatív számokról (amelyek a skálán a nullától balra vannak).

Indiában vonjon ki többet a kevesebbből, és kapjon negatív szám nem volt gond. Végül is mit jelent az, hogy 3-5 = -2 hüvelyk hétköznapi élet? Ez azt jelenti, hogy valaki tartozik valakinek 2-vel. A negatív számokat adósságnak nevezték.

Most ugyanilyen könnyen kezeljük a nullával való osztás kérdését. Még i.sz. 598-ban (gondoljunk csak bele, milyen régen, több mint 1400 éve!) Indiában született Brahmagupta matematikus, aki szintén a nullával való osztáson töprengett.

Azt javasolta, hogy ha veszel egy citromot és elkezded részekre osztani, akkor előbb-utóbb arra a következtetésre jutunk, hogy a szeletek nagyon kicsik lesznek. Képzeletünkben eljuthatunk odáig, hogy a lebenyek egyenlővé válnak nullával. Tehát a kérdés az, hogy ha egy citromot nem 2, 4 vagy 10 részre osztunk, hanem a végtelenbe hajló részekre, akkor mekkora a szeletek?

Végtelen számú "nulla szelet" lesz. Minden nagyon egyszerű, a citromot nagyon finomra vágjuk, végtelen sok részből álló tócsát kapunk.

De ha felveszed a matematikát, az valahogy logikátlannak bizonyul

a * 0 = 0? Mi van, ha b * 0 = 0? Jelentése: a * 0 = b * 0. És innen: a = b. Vagyis bármely szám bármely számmal egyenlő. Az első nullával való osztás helytelen, menjünk tovább. A matematikában az osztást veszik figyelembe fordított művelet szorzás.

Ez azt jelenti, hogy ha 4-et osztunk 2-vel, meg kell találnunk egy számot, amelyet 2-vel megszorozva 4-et kapunk... Oszd el a 4-et nullával - meg kell találnod azt a számot, amely nullával szorozva 4-et ad. Vagyis x * 0 = 4? De x * 0 = 0! Megint balszerencse. Tehát megkérdezzük: "Hány nullát kell bevinned, hogy 4-et kapj?" Végtelenség? A végtelen számú nulla még mindig nullát ad.

És a 0 elosztása 0-val általában bizonytalanságot ad, mert 0 * x = 0, ahol x egyáltalán bármi. Azaz számtalan megoldás.

Illogikus és elvont A nullával végzett műveletek az algebra szűk keretei között nem megengedettek, pontosabban ez egy határozatlan művelet. Kell neki egy készülék komolyabb - felsőfokú matematika. Tehát bizonyos értelemben nem lehet nullával osztani, de ha nagyon akarod, akkor nullával oszthatsz, de készen kell állnod olyan dolgok megértésére, mint a Dirac delta függvény és más nehezen érthető dolgok. Osztani egészségi állapot szerint.

Sokan gyakran felteszik a kérdést, hogy miért nem használható a nullával való osztás? Ebben a cikkben részletesen bemutatjuk, honnan származik ez a szabály, és milyen műveleteket lehet végrehajtani nullával.

Kapcsolatban áll

A nullát az egyik legérdekesebb számnak nevezhetjük. Ennek az alaknak nincs jelentése, a szó legigazibb értelmében ürességet jelent. Ha azonban bármelyik számjegy mellé nullát tesz, akkor ennek a számjegynek az értéke többszörösére nő.

A szám önmagában nagyon titokzatos. Az ősi maja emberek használták. A majáknál a nulla a "kezdetet" jelentette, és a naptári napok visszaszámlálása is nulláról indult.

Magasan Érdekes tény az, hogy a nulla és a bizonytalanság jele hasonló volt. Ezzel a maják azt akarták megmutatni, hogy a nulla ugyanaz, mint a bizonytalanság. Európában a nulla megjelölése viszonylag nemrég jelent meg.

Emellett sokan ismerik a nullához kapcsolódó tilalmat. Bárki ezt fogja mondani nem lehet nullával osztani... Ezt mondják a tanárok az iskolában, és a gyerekek általában szót fogadnak. Általában a gyerekeket vagy egyszerűen nem érdekli, hogy ezt tudják, vagy tudják, mi történik, ha egy fontos tiltás hallatán azonnal megkérdezik: „Miért nem lehet nullával osztani?”. De ha idősebb leszel, felébred az érdeklődés, és többet szeretnék tudni az ilyen tilalom okairól. Vannak azonban ésszerű bizonyítékok.

Nulla akció

Először is meg kell határoznia, hogy milyen műveleteket lehet végrehajtani nullával. Létezik többféle akció:

• Kiegészítés;
• Szorzás;
• Kivonás;
• Osztás (nulla szám szerint);
• Hatványozás.

Fontos! Ha az összeadás során bármely számhoz nullát ad, akkor ez a szám ugyanaz marad, és nem változtatja meg a számértékét. Ugyanez történik, ha bármely számból kivonjuk a nullát.

A szorzással és osztással a dolgok egy kicsit másképp állnak. Ha tetszőleges számot megszorozzuk nullával, akkor a szorzat is nullává válik.

Nézzünk egy példát:

Ezt írjuk kiegészítésként:

Összesen öt nullát adunk hozzá, így kiderül, hogy ez

Próbáljunk meg szorozni egyet nullával... Az eredmény is nulla lesz.

A nullát el lehet osztani bármely más számmal, amely nem egyenlő vele. Ebben az esetben kiderül, aminek az értéke is nulla lesz. Ugyanez a szabály vonatkozik a negatív számokra is. Ha a nullát elosztjuk egy negatív számmal, akkor nullát kapunk.

Tetszőleges számot is építhetsz nulla fokig... Ebben az esetben kiderül, hogy 1. Fontos megjegyezni, hogy a "nullától nulláig" kifejezés teljesen értelmetlen. Ha megpróbálja nullát emelni bármely hatványra, akkor nullát kap. Példa:

A szorzás szabályával 0-t kapunk.

Tehát lehetséges-e nullával osztani

Tehát elérkeztünk a fő kérdéshez. Tudsz osztani nullávaláltalában? És miért nem lehet elosztani a számot nullával, tekintve, hogy minden más nullával rendelkező művelet létezik és alkalmazzák? A kérdés megválaszolásához a magasabb matematikához kell fordulni.

Kezdjük a fogalom meghatározásával, mi az a nulla? Iskolai tanárok azt állítják, hogy a nulla semmi. Üresség. Azaz, ha azt mondod, hogy 0 tollad van, az azt jelenti, hogy egyáltalán nincs tollad.

A felsőbb matematikában a "nulla" fogalma tágabb. Egyáltalán nem jelent ürességet. Itt a nullát bizonytalanságnak nevezzük, mert ha kicsit kutakodunk, kiderül, hogy ha nullát elosztunk nullával, akkor bármilyen más számot kaphatunk, ami nem feltétlenül nulla.

Tudtad, hogy azok az egyszerű aritmetikai műveletek, amelyeket az iskolában tanultál, nem annyira egyenlőek egymás között? A legalapvetőbb műveletek a következők összeadás és szorzás.

A matematikusok számára nincs olyan, hogy "" és "kivonás". Mondjuk: ha ötből kivonsz hármat, akkor kettő lesz. Így néz ki a kivonás. A matematikusok azonban így írják:

Így kiderül, hogy az ismeretlen különbség egy bizonyos szám, amelyet hozzá kell adni 3-hoz, hogy 5-öt kapjunk. Vagyis nem kell semmit kivonni, csak meg kell találni egy megfelelő számot. Ez a szabály az összeadásra vonatkozik.

Kicsit más a helyzet vele szorzás és osztás szabályai. Ismeretes, hogy a nullával való szorzás nulla eredményt ad. Például, ha 3: 0 = x, akkor ha megfordítja a rekordot, akkor 3 * x = 0. A 0-val megszorzott szám pedig nullát ad a szorzatban. Kiderült, hogy nem létezik az a szám, amely egy nullával rendelkező szorzatban a nullától eltérő értéket adna. Ez azt jelenti, hogy a nullával való osztás értelmetlen, vagyis megfelel a szabályunknak.

De mi történik, ha megpróbálod elosztani a nullát önmagával? Vegyünk x-nek valamilyen határozatlan számot. Az egyenlet 0 * x = 0. Meg lehet oldani.

Ha x helyett nullát próbálunk venni, akkor 0-t kapunk: 0 = 0. Logikusnak tűnik? De ha megpróbálunk x helyett bármilyen más számot felvenni, például 1-et, akkor 0-t kapunk: 0 = 1. Ugyanez a helyzet lesz, ha bármilyen más számot és helyettesítse be az egyenletben.

Ebben az esetben kiderül, hogy bármilyen más számot is vehetünk tényezőnek. Az eredmény a különböző számok végtelen sokasága lesz. Néha ennek ellenére van értelme a 0-val való osztásnak a felsőbb matematikában, de ilyenkor általában megjelenik egy bizonyos feltétel, aminek köszönhetően mégis kiválaszthatunk egy megfelelő számot. Ezt a műveletet "a bizonytalanság feltárásának" nevezik. A közönséges aritmetikában a nullával való osztás ismét elveszti értelmét, mivel nem választhatunk ki egyetlen számot sem a halmazból.

Fontos! A nullát nem lehet nullával osztani.

Nulla és végtelen

A végtelen nagyon gyakori a felsőbb matematikában. Mivel egyszerűen nem fontos, hogy az iskolások tudják, hogy vannak még matematikai műveletek a végtelennel, ezért a tanárok nem tudják megmagyarázni a gyerekeknek, miért lehetetlen nullával osztani.

A hallgatók csak az intézet első évében kezdik el megtanulni az alapvető matematikai titkokat. A felsőbb matematika számos olyan feladatot kínál, amelyekre nincs megoldás. A leghíresebb problémák a végtelennel kapcsolatosak. Ezzel meg lehet oldani matematikai elemzés.

A végtelenbe is lehet jelentkezni elemi matematikai műveletek:összeadás, szorzás egy számmal. Általában a kivonást és az osztást is használják, de végül mégis két egyszerű műveletre csapódnak le.

Mindannyian az iskolából legalább két megingathatatlan szabályt alkottunk: "zhi és shi - írj I betűvel" és " nem lehet nullával osztani". És ha az első szabály az orosz nyelv sajátosságával magyarázható, akkor a második teljesen logikus kérdést vet fel: "Miért?"

Miért nem lehet nullával osztani?

Nem teljesen világos, hogy miért nem beszélnek erről az iskolában, de a számtan szempontjából nagyon egyszerű a válasz.

Vegyük a számot 10 és oszd el azzal 2 ... Ez azt jelenti, hogy vettük 10 bármilyen elemet, és helyezze el azokat 2 egyenlő csoportok, vagyis 10: 2 = 5 (tovább 5 elemek a csoportban). Ugyanez a példa felírható az egyenlet segítségével x * 2 = 10(és NS itt egyenlő lesz 5 ).

Most egy pillanatra képzelje el, hogy oszthat nullával, és próbálja meg 10 Oszd el 0 .

Az eredmény a következő: 10: 0 = x, ennélfogva x * 0 = 10... De a számításaink nem lehetnek helyesek, hiszen ha bármilyen számot megszorozunk 0 mindig működik 0 ... A matematikában nincs olyan szám, hogy ha megszorozzuk 0 mást adna, mint 0 ... Ezért az egyenletek 10: 0 = xés x * 0 = 10 nincs megoldása. Erre tekintettel azt mondják, hogy nem lehet nullával osztani.

Mikor lehet nullával osztani?

Van egy olyan változat, amelyben a nullával való osztásnak még van értelme. Ha magát a nullát elosztjuk, akkor a következőt kapjuk 0: 0 = x, ami azt jelenti x * 0 = 0.

Tegyünk úgy, mintha x = 0, akkor az egyenlet nem vet fel kérdéseket, minden tökéletesen konvergál 0: 0 = 0 és innentől 0 * 0 = 0 .

De mi van ha NS≠ 0 ? Tegyünk úgy, mintha x = 9? Azután 9 * 0 = 0 és 0: 0 = 9 ? Mi van ha x = 45, azután 0: 0 = 45 .

Igazán megoszthatjuk 0 tovább 0 ... De ennek az egyenletnek végtelen számú megoldása lesz, hiszen 0:0 = bármi.

Miért 0:0 = NaN

Próbáltad már megosztani 0 tovább 0 az okostelefonon? Mivel a nulla nullával osztva abszolút tetszőleges számot ad, a programozóknak keresniük kellett a kiutat ebből a helyzetből, mert a számológép nem hagyhatja figyelmen kívül az Ön kéréseit. És találtak egyfajta kiutat: ha nullát osztunk nullával, akkor azt kapjuk NaN (nem szám - nem szám).

Miért x: 0 =∞ a x: -0 = — ∞

Ha bármilyen számot megpróbál nullával osztani az okostelefonon, a válasz a végtelen lesz. A lényeg az, hogy a matematikában 0 néha nem „semminek”, hanem „végtelenül kicsi értéknek” tekintik. Ezért ha bármely számot elosztunk egy végtelenül kis értékkel, akkor végtelenül nagy értéket kapunk (∞) .

Szóval lehet osztani nullával?

A válasz, ahogy az lenni szokott, nem egyértelmű. Az iskolában az a legjobb, ha feltöröd az orrod nem lehet nullával osztani- ez megóvja Önt a szükségtelen nehézségektől. De ha bekerülsz az egyetem matematika karára, akkor is nullával kell osztani.