Markov -folyamatok: példák. Markov véletlenszerű folyamat
Nagyon kényelmes leírni a véletlenszerű események előfordulását a rendszer egyik állapotából a másikba való átmenet valószínűsége formájában, mivel ebben az esetben feltételezzük, hogy miután átment az egyik állapotba, a rendszernek nem szabad tovább haladnia figyelembe véve a körülményeket, hogyan került ebbe az állapotba.
A véletlenszerű folyamatot ún Markov -folyamat(vagy utóhatás nélküli folyamat) ha minden egyes pillanatban t a rendszer bármely állapotának valószínűsége a jövőben csak a jelen állapotától függ, és nem attól függ, hogyan került a rendszer ebbe az állapotba.
Tehát kényelmes Markov -folyamatot definiálni az állapotról állapotra való átmenet grafikonjával. A Markov -folyamatok leírására két lehetőséget fogunk megvizsgálni - diszkrét és folyamatos idővel.
Az első esetben az egyik állapotból a másikba való átmenet előre meghatározott időpontban történik - kullancsok (1, 2, 3, 4, ...). Az átmenetet minden egyes lépésnél végre kell hajtani, vagyis a kutatót csak azok az állapotok érdeklik, amelyeken véletlenszerű folyamat megy keresztül fejlődésében, és nem érdekli, hogy pontosan mikor történt az átmenet.
A második esetben a kutatót érdekli, hogy az államok láncolata egymást változtassa, és hogy milyen pillanatokban történtek ilyen átmenetek.
És tovább. Ha az átmenet valószínűsége nem függ az időtől, akkor a Markov -láncot homogénnek nevezzük.
Diszkrét idő Markov -folyamat
Tehát a Markov -folyamat modelljét gráf formájában ábrázoljuk, amelyben az állapotok (csúcsok) összefüggésekkel (átmenetek én-adik állam j-adik állapot), lásd az ábrát. 33.1.
Minden átmenetet az jellemez átmenet valószínűsége P ij... Valószínűség P ij megmutatja, milyen gyakran ütés után én-adik állapot kerül végrehajtásra, majd áttérés j-ez az állapot. Természetesen az ilyen átmenetek véletlenszerűen fordulnak elő, de ha kellően hosszú ideig mérjük az átmenetek gyakoriságát, akkor kiderül, hogy ez a frekvencia egybeesik az adott átmeneti valószínűséggel.
Világos, hogy minden állapot esetében az összes másik állapotba való átmenet (kimenő nyilak) valószínűségének összegének mindig 1 -nek kell lennie (lásd 33.2. Ábra).
(az i-edik állapotból való átmenetek
véletlenszerű események teljes csoportja)
Például a teljes grafikon úgy nézhet ki, mint az ábrán. 33.3.
 |
A Markov -folyamat megvalósítása (modellezésének folyamata) az állapotból az állapotba való átmenet sorozatának (láncának) kiszámítása (lásd 33.4. Ábra). Ábrán látható lánc. A 33.4 egy véletlenszerű sorozat, és más megvalósításokkal is rendelkezhet.
ábrán látható Markov -grafikon szerint. 33.3
Annak meghatározásához, hogy a folyamat melyik új állapotba kerül a jelenlegi állapotból én-edik állapot, elegendő az intervallumot méret alatti részintervallumokra osztani P én 1 , P én 2 , P én 3, ... ( P én 1 + P én 2 + P én 3 +… = 1), lásd ábra. 33,5. Ezután az RNG használatával meg kell kapnia a következő véletlen számot egyenletesen elosztva az intervallumban r pp és határozza meg, hogy az intervallumok melyikébe esik (lásd 23. előadás).
a Markov -lánc állapotait a j -ben használva
véletlenszám -generátor
Ezt követően átmenet történik az RNG által meghatározott állapotba, és a leírt eljárást megismétlik egy új állapotra. A modell működésének eredménye egy Markov -lánc (lásd 33.4 ) .
Példa. Szimulált lövés ágyúról célpontra... Annak érdekében, hogy szimulálni tudjuk az ágyú lövését egy célpontra, felépítünk egy Markov véletlenszerű folyamat modelljét.
Határozzuk meg a következő három állapotot: S 0 - a cél nem sérült; S 1 - a cél megsérült; S 2 - a célpont megsemmisül. Állítsuk be a kezdeti valószínűségek vektorát:
| S 0 | S 1 | S 2 | |
| P 0 | 0.8 | 0.2 | 0 |
Jelentése P A 0 mindegyik állapot esetén az objektum minden egyes állapotának valószínűségét mutatja az égetés előtt.
Definiáljuk az állapotátmeneti mátrixot (lásd 33.1. Táblázat).
| 33.1. Táblázat Átmeneti valószínűségi mátrix diszkrét Markov -folyamat |
|||||||||||||||||||
| BAN BEN S 0 | BAN BEN S 1 | BAN BEN S 2 | Valószínűségek összege átmenetek |
|
| Tól től S 0 | 0.45 | 0.40 | 0.15 | 0.45 + 0.40 + 0.15 = 1 |
| Tól től S 1 | 0 | 0.45 | 0.55 | 0 + 0.45 + 0.55 = 1 |
| Tól től S 2 | 0 | 0 | 1 | 0 + 0 + 1 = 1 |
A mátrix meghatározza az egyes állapotokból az egyesekbe való átmenet valószínűségét. Vegye figyelembe, hogy a valószínűségeket úgy állítják be, hogy egy bizonyos állapotból a többi állapotba való átmenet valószínűségeinek összege mindig egyenlő legyen (a rendszernek el kell mennie valahová).
A Markov -folyamat modellje a következő grafikon formájában vizualizálható (lásd 33.6. Ábra).
ágyúból lövés szimulálása a célpontra
A modell és a statisztikai modellezési módszer segítségével megpróbáljuk megoldani a következő problémát: meghatározni a célpont teljes megsemmisítéséhez szükséges lövedékek átlagos számát.
Szimuláljuk a felvételi folyamatot egy véletlen számok táblázata segítségével. Legyen a kezdeti állapot S 0. Vegyünk egy sorozatot a véletlen számok táblázatából: 0,31, 0,53, 0,23, 0,42, 0,63, 0,21, ... (véletlen számok például ebből a táblázatból vehetők).
0.31
: a cél az államban van S 0 és az államban marad S 0 0 óta< 0.31
< 0.45;
0.53
: a cél az államban van S 0 és belép az államba S 1, 0.45 óta< 0.53
< 0.45 + 0.40;
0.23
: a cél az államban van S 1 és az államban marad S 1, 0 óta< 0.23
< 0.45;
0.42
: a cél az államban van S 1 és az államban marad S 1, 0 óta< 0.42
< 0.45;
0.63
: a cél az államban van S 1 és megy az államba S 2, 0.45 óta< 0.63
< 0.45 + 0.55.
Amióta az államot elérték S 2 (tovább, a cél innen megy S 2 állapotban S 2 1 -es valószínűséggel), akkor a célt eltalálják. Ehhez a kísérlethez 5 héj kellett.
Ábrán. A 33.7. Ábra a leírt szimulációs folyamat során kapott időzítési diagramot mutatja. A diagram azt mutatja, hogy az állapotváltozás folyamata hogyan történik az idő múlásával. A szimulációs ciklus ebben az esetben fix értékű. Számunkra fontos az átmenet ténye (milyen állapotba kerül a rendszer), és nem mindegy, hogy mikor történik.
 |
egy Markov -gráfban (szimulációs példa)
A cél megsemmisítési eljárását 5 óra ciklusban fejezték be, vagyis ennek a megvalósításnak a Markov -lánca így néz ki: S 0 S 0 S 1 - S 1 - S 1 - S 2 ... Természetesen ez a szám nem lehet a probléma megoldása, mivel a különböző megvalósítások eltérő válaszokat kapnak. És csak egy válasz lehet a problémára.
Ezt az utánzást megismételve például több ilyen megvalósítást kaphat (ez attól függ, hogy milyen véletlen számok esnek ki): 4 ( S 0 S 0 S 1 - S 1 - S 2 ); 11 (S 0 S 0 S 0 S 0 S 0 S 1 - S 1 - S 1 - S 1 - S 1 - S 1 - S 2 ); 5 (S 1 - S 1 - S 1 - S 1 - S 1 - S 2 ); 6 (S 0 S 0 S 1 - S 1 - S 1 - S 1 - S 2 ); 4 (S 1 - S 1 - S 1 - S 1 - S 2 ); 6 (S 0 S 0 S 1 - S 1 - S 1 - S 1 - S 2 ); 5 (S 0 S 0 S 1 - S 1 - S 1 - S 2 ). Összesen 8 célpontot semmisítettek meg. Az égetési eljárás átlagos ciklusszáma a következő volt: (5 + 4 + 11 + 5 + 6 + 4 + 6 + 5) / 8 = 5,75 vagy felfelé kerekítve. Ez a töltények száma átlagosan ajánlott egy ágyú a harci állományban az ilyen találati valószínűségű pusztítási célpontok számára.
Most meg kell határoznia a pontosságot. A pontosság mutatja meg, mennyire bízhatunk a megadott válaszban. Ehhez kövessük nyomon, hogyan konvergál a véletlenszerű (közelítő) válaszok sorrendje a helyes (pontos) eredményhez. Emlékezzünk vissza, hogy a központi határtétel szerint (lásd 25. előadás, 21. előadás) a véletlen változók összege nem véletlenszerű mennyiség, ezért a statisztikailag megbízható válasz megszerzése érdekében figyelemmel kell kísérni a kapott héjak átlagos számát számos véletlenszerű felismerésben.
A számítások első szakaszában az átlagos válasz 5 kagyló volt, a második szakaszban az átlagos válasz (5 + 4) / 2 = 4,5 kagyló, a harmadikban - (5 + 4 + 11) / 3 = 6,7. Továbbá a statisztikák halmozódásával egy sor átlag így néz ki: 6.3, 6.2, 5.8, 5.9, 5.8. Ha ezt a sorozatot grafikonként ábrázolja a cél eléréséhez kilőtt lövedékek átlagos méretéről, a kísérlet számától függően, akkor azt tapasztalja, hogy ez a sorozat egy bizonyos értékhez konvergál, ami a válasz (lásd 33.8. Ábra).
Vizuálisan megfigyelhetjük, hogy a grafikon "megnyugszik", a szórás a számított áramérték és annak elméleti értéke között idővel csökken, statisztikailag pontos eredményre jut. Vagyis a grafikon egy bizonyos ponton belép egy bizonyos „csőbe”, amelynek mérete határozza meg a válasz pontosságát.
A szimulációs algoritmus így fog kinézni (lásd 33.9. Ábra).
Ismét megjegyezzük, hogy a fentebb tárgyalt esetben közömbösek vagyunk abban, hogy az átmenet melyik pillanatában következik be. Az átmenetek ütemről ütemre mennek. Ha fontos megjelölni, hogy az átmenet mely időpontban következik be, mennyi ideig marad a rendszer az egyes állapotokban, akkor folyamatos idejű modellt kell alkalmazni.
Markov véletlenszerű folyamatok folyamatos idővel
Tehát ismét a Markov -folyamat modelljét ábrázoljuk gráf formájában, amelyben az állapotok (csúcsok) összefüggésekkel (átmenetek én-adik állam j-adik állapot), lásd az ábrát. 33.10.
 |
folyamatos időbeli folyamat
Most minden átmenetet az átmenet valószínűségi sűrűsége jellemez λ ij... Definíció szerint:
Ebben az esetben a sűrűséget időbeli valószínűségi eloszlásként értjük.
Átmenet a én-adik állam j-es véletlenszerű időpontokban fordul elő, amelyeket az átmenet intenzitása határoz meg λ ij .
Az átmenetek intenzitására (itt ez a fogalom jelentése egybeesik a valószínűségi sűrűség időbeli eloszlásával t) áthalad, ha a folyamat folyamatos, vagyis idővel eloszlik.
A 28. előadáson már megtanultuk, hogyan kell dolgozni az áramlás intenzitásával (és az átmenetek az események áramlása). Az intenzitás ismerete λ ij a szál által generált események előfordulását, akkor szimulálhat egy véletlenszerű intervallumot a szál két eseménye között.
ahol τ ij- a rendszer jelenléte közötti időintervallum én th és j th állapot.
Továbbá nyilvánvalóan bármely rendszer én-adik állam mehet több állam egyikébe j , j + 1 , j+ 2, ... átmenetek társítják hozzá λ ij , λ ij + 1 , λ ij+ 2,….
BAN BEN j-ez az állapot, amelyen keresztülmegy τ ij; ban ben ( j+ 1) -edik állapot, amelyen keresztül fog menni τ ij+ 1; ban ben ( j+ 2) -adik állapot, amelyen keresztül fog menni τ ij+ 2 stb.
Világos, hogy a rendszer innen indulhat én-edik állapot csak ezen állapotok egyikében, és abban, hogy az átmenet korábban következik be.
Ezért az idők sorából: τ ij , τ ij + 1 , τ ij+ 2, stb., Ki kell választania a minimumot, és meg kell határoznia az indexet j, amely jelzi, hogy melyik állapotba kerül az átmenet.
Példa. A gép működésének szimulációja... Szimuláljuk a gép munkáját (lásd 33.10. Ábra), amely a következő állapotokban lehet: S 0 - a gép üzemképes, szabad (tétlen); S 1 - a gép üzemképes, foglalt (feldolgozás); S 2 - a gép jó állapotban van, szerszámcsere (váltás) λ 02 < λ 21 ; S 3 - a gép nem működik, javítás alatt áll λ 13 < λ 30 .
Állítsuk be a paraméterértékeket λ gyártási körülmények között kapott kísérleti adatok felhasználásával: λ 01 - feldolgozási folyamat (átállás nélkül); λ 10 - szolgáltatás áramlása; λ 13 - a berendezés meghibásodásának áramlása; λ 30 - restaurációk folyama.
A megvalósítás a következő lesz (lásd 33.11. Ábra).
Markov -folyamat vizualizációval egy időben
a diagram (a tiltottak sárgával vannak jelölve,
kék - megvalósult állapotok)
Különösen az ábra. A 33.11 mutatja, hogy a megvalósított lánc így néz ki: S 0 S 1 - S 0 Az átmenet a következő időpontokban történt: T 0 T 1 - T 2 - T 3 -, ahol T 0 = 0 , T 1 = τ 01, T 2 = τ 01 + τ 10.
Egy feladat . Mivel a modell azért készült, hogy megoldhassunk rajta egy problémát, amire a válasz korábban egyáltalán nem volt nyilvánvaló számunkra (lásd a 01. előadást), ezért egy ilyen problémát fogunk megfogalmazni ebben a példában. Határozza meg, hogy a gép hány napig telt el a nap folyamán (számolja az ábráról) T cf = ( T + T + T + T)/N .
A szimulációs algoritmus a következő lesz (lásd 33.12. Ábra).
Markov -folyamat a szerszámgép -szimuláció példáján
Nagyon gyakran a Markov -folyamatok készülékét használják a számítógépes játékok, a számítógépes hősök akcióinak modellezésére.
A műveletek kutatása során gyakran kell olyan rendszerekkel foglalkozni, amelyeket újrahasználásra terveztek az azonos típusú problémák megoldása során. Az így létrejövő folyamatokat ún szolgáltatási folyamatok,és rendszerek - sorban állási rendszerek (QS). Ilyen rendszerek például a telefonrendszerek, javítóműhelyek, számítógépes rendszerek, jegyirodák, üzletek, fodrászok és hasonlók.Minden QS bizonyos számú szolgáltatási egységből (eszközök, eszközök, pontok, állomások) áll, amelyeket mi fogunk hívni csatornák szolgáltatás. A csatornák lehetnek kommunikációs vonalak, működési pontok, számítógépek, eladók stb. A csatornák számának megfelelően a CMO -k fel vannak osztva egycsatornásés többcsatornás.
A pályázatok általában nem rendszeresen, hanem véletlenül érkeznek a KPSZ-hez, kialakítva az ún az alkalmazások véletlenszerű folyamata (követelmények).Általánosságban elmondható, hogy a követelések kiszolgálása is folytatódik bizonyos ideig. A kérések áramlásának és a kiszolgálási időnek a véletlenszerűsége azt eredményezi, hogy a QS egyenetlenül van betöltve: bizonyos időszakokban nagyon sok kérelem halmozódik fel (vagy belépnek a sorba, vagy elhagyják a QS -t), más időszakokban a QS alul- vagy alapjáraton működik.
A sorbanállás elméletének tárgya olyan matematikai modellek felépítése, amelyek összekapcsolják a QS adott működési feltételeit (a csatornák száma, azok teljesítménye, az alkalmazások áramlásának jellege stb.) a QS hatékonysági mutatóival, amelyek leírják, hogy képes megbirkózni a alkalmazások áramlását.
Mint teljesítménymutatók QS -t használnak: az átlagos (a továbbiakban az átlagértékek a megfelelő véletlen változók matematikai elvárásai), az időegységenként kiszolgált kérések száma; a sorban lévő alkalmazások átlagos száma; a szolgáltatás átlagos várakozási ideje; a szolgáltatás megtagadásának valószínűsége várakozás nélkül; annak valószínűsége, hogy a sorban lévő alkalmazások száma meghalad egy bizonyos értéket, stb.
A közös piacszervezés két fő típusra (osztályra) oszlik: CMO elutasításokkal és href = "cmo_length.php"> CMO várakozással (sor). A visszautasított QS -ben az összes csatorna foglalt pillanatában érkezett kérelem elutasítja, elhagyja a QS -t, és nem vesz részt a további szervizelési folyamatban (például telefonbeszélgetés kérése abban a pillanatban, amikor minden csatorna elfoglalt, elutasítást kap, és kiszolgálatlanul hagyja a QS -t). A várakozási sorban állási rendszerben a kérés, amely akkor érkezik, amikor minden csatorna foglalt, nem távozik, hanem sorba lép a szolgáltatásért.
A várakozási sorban állási rendszereket a sorrendtől függően különböző típusokra osztják: korlátozott vagy korlátlan sorhosszal, korlátozott várakozási idővel stb.
A KPSZ munkájának folyamata az véletlenszerű folyamat.
Alatt véletlenszerű (valószínűségi vagy sztochasztikus) folyamat bármely rendszer állapotának időbeli változásának folyamata a valószínűségi törvényeknek megfelelően érthető.
A folyamatot ún folyamat diszkrét állapotokkal, ha lehetséges S 1, S 2, S 3 ... állapotait előre fel lehet számolni, és a rendszer állapotból állapotba való átmenete azonnal (ugrásszerűen) történik. A folyamatot ún folyamat folyamatos idővel, ha a rendszer állapotról állapotra történő lehetséges átmenetének pillanatait nem rögzítik előre, hanem véletlenszerűek.
A QS működési folyamat véletlenszerű folyamat, diszkrét állapotokkal és folyamatos idővel. Ez azt jelenti, hogy a QS állapota hirtelen megváltozik bizonyos események megjelenésének véletlenszerű pillanataiban (például új kérelem érkezése, a szolgáltatás befejezése stb.).
A QS munkájának matematikai elemzése nagyban leegyszerűsödik, ha e munka folyamata Markov. A véletlenszerű folyamatot ún Markov vagy véletlen folyamat következmények nélkül, ha a t 0 bármely pillanatában a folyamat valószínűségi jellemzői a jövőben csak az adott pillanat t állapotától függenek, és nem attól függnek, hogy a rendszer mikor és hogyan került ebbe az állapotba.
Példa egy Markov -folyamatra: Az S rendszer egy taximéter. A rendszer t időbeli állapotát az autó által a pillanatig megtett kilométerek (tized kilométerek) jellemzik. Legyen a t 0 pillanatban a számláló S 0. Annak a valószínűsége, hogy a t> t 0 pillanatban a számláló ezt vagy azt a kilométerszámot (pontosabban a megfelelő rubelszámot) mutatja S 1, függ S 0 -tól, de nem attól függ, hogy a számláló melyik időpontban az értékek a t 0 pillanatig változtak.
Sok folyamat megközelítőleg Markovi -folyamatnak tekinthető. Például a sakkozás folyamata; S rendszer -
sakkfigurák csoportja. A rendszer állapotát a t 0 időpontban a táblán maradt ellenfél darabjai jellemzik. Annak valószínűsége, hogy a t> t 0 pillanatban az anyagi előny az egyik ellenfél oldalán áll, elsősorban a rendszer t 0 pillanatnyi állapotától függ, nem pedig attól, hogy a darabok mikor és milyen sorrendben tűntek el a tábla t 0 -ig .
Számos esetben a vizsgált folyamatok története egyszerűen elhanyagolható, és Markov -modellek segítségével tanulmányozható.
Véletlen folyamatok diszkrét állapotokkal történő elemzésekor célszerű geometriai sémát használni - ún grafikon állapota.Általában a rendszer állapotait téglalapok (körök) ábrázolják, és az állapotok közötti lehetséges átmeneteket - az állapotokat összekötő nyilak (orientált ívek).
1. célkitűzés.
Készítse el a következő véletlen folyamat állapotgráfját: az S eszköz két csomópontból áll, amelyek mindegyike véletlenszerűen meghibásodhat, majd a csomópont javítása azonnal megkezdődik, ismeretlen véletlenszerű ideig.
Megoldás.
A rendszer lehetséges állapotai: S 0 - mindkét csomópont működik; S 1 - az első egységet javítják, a második üzemképes; S 2 - a második egységet javítják, az első üzemképes; S 3 - mindkét egység javítás alatt áll. A rendszer grafikonja az 1. ábrán látható.
Rizs. egy
Az S 0 -ról S 1 -re irányított nyíl a rendszer átmenetét jelenti az első csomópont meghibásodásának pillanatában, S 1 -ről S 0 -ra - az átmenetet a csomópont javításának befejezésekor.
Nincsenek nyilak a grafikonon S 0, S 3 és S 1 és S 2 között. Ennek oka az a tény, hogy a csomópont meghibásodásait egymástól függetlennek feltételezzük, és például két csomópont egyidejű meghibásodásának valószínűsége (S 0 -ról S 3 -ra való átmenet) vagy két csomópont javításának egyidejű befejezése (átmenet S 3 -tól S 0 -ig) elhanyagolható.
Eseményfolyam
A diszkrét állapotokkal és folyamatos idővel rendelkező Markov véletlenszerű folyamat matematikai leírásához a QS -ben folytatva megismerkedünk a valószínűségelmélet egyik fontos fogalmával - az események áramlásának fogalmával.Alatt események folyama alatt értjük a homogén események sorozatát, amelyek egymást követik bizonyos véletlenszerű pillanatokban (például a hívások áramlása a telefonközpontban, a számítógép hibái, a vevők áramlása stb.).
A patakra jellemző, hogy intenzitásl- az események előfordulásának gyakorisága vagy a QS -be belépő események átlagos időegység szerinti száma.
Az események folyamát ún szabályos, ha az események szabályos időközönként követik egymást. Például a termékek áramlása a futószalagon lévő szállítószalagon (állandó sebességgel) szabályos.
Az események folyamát ún helyhez kötött, ha valószínűségi jellemzői nem függnek az időtől. Különösen az álló áramlás intenzitása állandó érték: l (t) =l. Például az autók áramlása a városi sugárúton napközben nem áll, de ez az áramlás állónak tekinthető nappal, mondjuk csúcsidőben. Felhívjuk figyelmét, hogy az utóbbi esetben az elhaladó autók tényleges száma időegységenként (például percenként) jelentősen eltérhet egymástól, de átlagos számuk állandó lesz, és nem függ az időtől.
Az események folyamát ún áramlás utóhatás nélkül, ha bármely két szétválasztott t 1 és t 2 időszegmens esetében - az egyikre eső események száma nem függ a többire eső események számától. Például a metróba belépő utasok áramlásának gyakorlatilag nincs utóhatása. És mondjuk a pultról vásárlással távozó ügyfelek áramlásának már van utóhatása (már csak azért is, mert az egyes ügyfelek közötti időintervallum nem lehet kevesebb, mint mindegyikük minimális szolgáltatási ideje).
Az események folyamát ún rendes, ha két vagy több esemény valószínűsége, hogy kis (elemi) Dt időintervallumot ér el, elhanyagolható egy esemény ütés valószínűségéhez képest. Más szóval, az események áramlása szokványos, ha az események egyedül jelennek meg benne, és nem csoportokban. Például az állomásra érkező forgalom rendes, az autók pedig nem rendesek.
Az események folyamát ún a legegyszerűbb ( vagy álló Poisson), ha egyidejűleg stacionárius, rendes és nincs utóhatása. A "legegyszerűbb" elnevezést az magyarázza, hogy a legegyszerűbb folyamatokkal rendelkező QS rendelkezik a legegyszerűbb matematikai leírással. Ne feledje, hogy a rendszeres adatfolyam nem "egyszerű", mivel utóhatása van: az eseményekben bekövetkező események pillanatai mereven rögzítettek.
A legegyszerűbb áramlás, mint korlátozó, a véletlenszerű folyamatok elméletében jön létre, ugyanolyan természetesen, mint a valószínűség -elméletben, a normál eloszlást korlátosként kapjuk meg a véletlen változók összegére: amikor kellően nagy számú n független, helyhez kötött és közönséges áramlás (intenzitásukban összehasonlítható) szuperpozíciója (szuperpozíciója) l 1 (i = 1,2, ..., n) olyan áramlást kapunk, amely közel van a legegyszerűbbhez intenzitással l, egyenlő a bejövő áramlások intenzitásának összegével, azok.
Tekintsük az Ot időtengelyt (2. ábra) az események legegyszerűbb folyamata, mint véletlenszerű pontok korlátlan sorozata.
Rizs. 2
Megmutatható, hogy a legegyszerűbb folyamathoz a szám T tetszőleges t időintervallumra eső események (pontok) oszlanak el Poisson törvénye
, (1)
amelyekre a véletlen változó matematikai elvárása megegyezik a szórásával: a =s 2 =lt.
Különösen annak valószínűsége, hogy egyetlen esemény sem fog bekövetkezni a t (m = 0) időben, (2)
Keresse meg az időintervallum eloszlását T a legegyszerűbb folyamat tetszőleges két szomszédos eseménye között.
A (15.2) pontnak megfelelően annak valószínűsége, hogy a későbbi események egyike sem jelenik meg egy t hosszúságú időszegmensben (3)
és az ellenkező esemény valószínűsége, azaz véletlen változó eloszlásfüggvénye T, igen (4)
Egy valószínűségi változó valószínűségi sűrűsége az eloszlásfüggvényének deriváltja (3. ábra), azaz
(5)
Rizs. 3
Az (5) valószínűségi sűrűség vagy az (4) eloszlásfüggvény által megadott eloszlást nevezzük indikatív(vagy exponenciális).Így a két szomszédos tetszőleges esemény közötti időintervallum exponenciális eloszlással rendelkezik, amelyre a matematikai várakozás megegyezik a véletlen változó szórásával (6)
és fordítva az áramlás intenzitása szempontjából l.
Az exponenciális eloszlás legfontosabb tulajdonsága (csak az exponenciális eloszlás velejárója) a következő: ha az exponenciális törvény szerint elosztott időintervallum már tart egy ideig t, akkor ez semmilyen módon nem befolyásolja a az intervallum fennmaradó része (Tt): megegyezik a teljes T intervallum eloszlási törvényével.
Más szóval, a T időintervallumra Egy exponenciális eloszlású folyam két egymást követő szomszédos eseménye között az intervallum elteltével kapcsolatos információ nem befolyásolja a fennmaradó rész eloszlási törvényét. Az exponenciális törvény ezen tulajdonsága lényegében a "nincs utóhatás" kifejezés egy másik megfogalmazása - a legegyszerűbb folyamat fő tulajdonsága.
A legegyszerűbb, l intenzitású áramlás esetén az ütés valószínűsége elemi (kicsi) legalább egy áramlási esemény Dt időintervalluma a (4) szerint
(7)
(Vegye figyelembe, hogy ez a hozzávetőleges képlet a függvény cseréjével kapott e -lDt csak a Dt hatványainak sorozatában való bővítésének csak az első két feltétele, annál pontosabb a kisebb Dt).
A sorbanállás elmélete a valószínűségelmélet egyik ága. Ez az elmélet figyelembe veszi valószínűségi feladatok és matematikai modellek (előtte determinisztikus matematikai modelleket vettünk figyelembe). Emlékeztessük erre:
Determinista matematikai modell egy tárgy (rendszer, folyamat) viselkedését tükrözi nézőpontból teljes bizonyosság a jelenben és a jövőben.
Valószínűségi matematikai modell figyelembe veszi a véletlenszerű tényezők befolyását egy tárgy (rendszer, folyamat) viselkedésére, és ezért bizonyos események valószínűsége szempontjából értékeli a jövőt.
Azok. itt, mint például a játékelméletben, a problémákat veszik figyelembe körülmények közöttbizonytalanságok.
Először nézzünk meg néhány fogalmat, amelyek a "sztochasztikus bizonytalanságot" jellemzik, amikor a probléma bizonytalan tényezői véletlenszerű változók (vagy véletlenszerű függvények), amelyek valószínűségi jellemzői vagy ismertek, vagy a tapasztalatokból megszerezhetők. Ezt a bizonytalanságot "kedvezőnek", "jóindulatúnak" is nevezik.
A véletlen folyamat fogalma
Szigorúan véve a véletlenszerű zavarok minden folyamatban rejlenek. Könnyebb példákat mondani egy véletlenszerű folyamatra, mint egy „nem véletlenszerű” folyamatra. Még például az óra folyamata (úgy tűnik, hogy szigorúan ellenőrzött munka - "úgy működik, mint egy óra") véletlenszerű változásoknak van kitéve (előrehaladás, lemaradás, megállás). De amíg ezek a zavarok jelentéktelenek, és kevés hatással vannak a minket érdeklő paraméterekre, elhanyagolhatjuk őket, és determinisztikusnak, nem pedig véletlenszerűnek tekinthetjük a folyamatot.
Legyen valami rendszer S(műszaki eszköz, ilyen eszközök csoportja, technológiai rendszer - szerszámgép, telephely, műhely, vállalkozás, iparág stb.). A rendszerben S folyik véletlenszerű folyamat, ha idővel megváltoztatja állapotát (egyik állapotból a másikba megy), ráadásul véletlenszerűen ismeretlen módon.
Példák: 1. Rendszer S- technológiai rendszer (szerszámgép rész). A gépek időről időre meghibásodnak és javításra kerülnek. A folyamat ebben a rendszerben véletlenszerű.
2. Rendszer S- egy repülőgép, amely meghatározott magasságban repül egy meghatározott útvonalon. Zavaró tényezők - meteorológiai viszonyok, személyzet hibái stb., Következmények - "rögösség", a repülési menetrend megsértése stb.
Markov véletlenszerű folyamat
A rendszerben egy véletlenszerű folyamatot hívunk Markovszkij ha bármelyik pillanatban t A folyamat valószínűségi jellemzői a jövőben csak az adott pillanatnyi állapotától függenek t 0, és nem attól függ, hogy a rendszer mikor és hogyan lépett ebbe az állapotba.
Legyen a t 0 pillanatban a rendszer egy bizonyos állapotban S 0. Ismerjük a rendszer jelenlegi állapotának jellemzőit és mindent, ami volt t<t 0 (folyamattörténet). Megjósolhatjuk -e (megjósolhatjuk) a jövőt, azaz mi lesz vele t>t 0? Pontosan nem, de a folyamat bizonyos valószínűségi jellemzői megtalálhatók a jövőben. Például annak a valószínűsége, hogy egy idő után a rendszer S képes lesz S 1 vagy állapotban marad S 0, stb.
Példa... Rendszer S- légi harcban részt vevő repülőgép -csoport. Legyen x- a "piros" repülőgépek száma, y- a "kék" repülőgépek száma. Abban az időben t 0 a túlélő (nem lelőtt) repülőgépek száma, ill. x 0 ,y 0. Érdekel bennünket annak valószínűsége, hogy az adott pillanatban a számszerű előny a „piros” oldalán áll. Ez a valószínűség a rendszer akkori állapotától függ t 0, és nem arról, hogy a lövés mikor és milyen sorrendben halt meg t 0 repülőgép.
A gyakorlatban a tiszta formájú Markov -folyamatokkal általában nem találkozunk. De vannak folyamatok, amelyeknél az "őstörténet" hatása elhanyagolható. Az ilyen folyamatok tanulmányozásakor pedig Markov -modellek alkalmazhatók (a sorbanállás elméletében nem a Markov -sorrendeket veszik figyelembe, hanem az ezeket leíró matematikai apparátus sokkal bonyolultabb).
A műveletek tanulmányozásakor nagy jelentőségűek a Markov véletlenszerű folyamatok, amelyek diszkrét állapotokkal és folyamatos idővel rendelkeznek.
A folyamatot ún diszkrét állapotú folyamat ha lehetséges állapotait S 1 ,S 2, ... előre meghatározható, és a rendszer állapotról állapotra való áttérése "ugrásszerűen", szinte azonnal történik.
A folyamatot ún folyamatos időbeli folyamat ha az állapotból állapotba való esetleges átmenet pillanatai nincsenek előre rögzítve, hanem határozatlanok, véletlenszerűek és bármely pillanatban előfordulhatnak.
Példa... Technológiai rendszer (helyszín) S két gépből áll, amelyek mindegyike egy -egy véletlenszerű pillanatban meghibásodhat (meghibásodhat), ezt követően azonnal megkezdődik az egység javítása, amely szintén egy ismeretlen, véletlenszerű időben folytatódik. A következő rendszerállapotok lehetségesek:
S 0 - mindkét gép jó állapotban van;
S 1 - az első gép javítás alatt áll, a második működőképes;
S 2 - a második gép javítása folyamatban van, az első üzemképes;
S 3 - mindkét gép javítás alatt áll.
Rendszerátmenetek Sállapotról állapotra szinte azonnal, egyik vagy másik gép meghibásodásának véletlenszerű pillanataiban vagy a javítás végén jelentkeznek.
Véletlen folyamatok diszkrét állapotokkal történő elemzésekor kényelmes a geometriai séma használata - állapotgráf... A gráf csúcsai a rendszer állapotai. Grafikaívek - lehetséges átmenetek állapotból állapotba
1. ábra. Rendszerállapot -grafikon
feltétel. Példánkban az állapotgráfot az 1. ábra mutatja.
Jegyzet. Átmeneti állapot S 0 hüvelyk S 3 nem látható az ábrán, mert feltételezzük, hogy a gépek egymástól függetlenül meghibásodnak. Figyelmen kívül hagyjuk mindkét gép egyidejű meghibásodásának valószínűségét.
Az események folyamán homogén események sorozatának nevezzük, amelyek véletlenszerűen jelennek meg egymás után. Példák: hívásáramlás a telefonközpontban; a számítógépes hibák áramlása; a számítástechnikai központban az elszámolások iránti kérelmek áramlása stb.
Az események áramlását grafikusan ábrázolja egy sor abszcisszával rendelkező pötty Q 1, Q 2, ..., Q n, ...(6.15. ábra) közötti időközökkel: T 1 = Q 2 - Q 1, T 2 = Q 3 -Q 2, ..., T n = Q n +1 - Q n... Valószínűségi leírásában az események áramlását véletlenszerű változók sorozataként lehet ábrázolni:
Q 1; Q 2 = Q 1 + T 1; Q 3 = Q 1 + T 1 + T 2; stb.
A pöttyös sorozatú ábra nem magát az események áramlását ábrázolja (véletlenszerű), hanem csak egy konkrét megvalósítását.
Az események folyamát ún helyhez kötött, ha annak valószínűségi jellemzői nem függnek az origó megválasztásától, vagy pontosabban, ha annak valószínűsége, hogy bármely időintervallumon belül egy vagy másik esemény bekövetkezik, csak ennek az intervallumnak a hosszától függ, és nem attól függ, hogy pontosan hol tengely 0-t ez található.
6.15. Ábra - Az események áramlásának megvalósítása
Az események folyamát ún rendes, ha az elemi időintervallumon két vagy több esemény ütésének valószínűsége elhanyagolható ahhoz képest, hogy egy eseményt hogyan üt meg.
6.16. Ábra - Az események áramlása véletlenszerű folyamatként
A hétköznapi események véletlenszerű folyamatként értelmezhetők X (t) - a t idő előtt megjelenő események száma (6.16. ábra). Véletlenszerű folyamat X (t) pontonként hirtelen egy egységgel nő Q, Q 2, ..., Q n.
Az események folyamát ún áramlás utóhatás nélkül, ha bármelyik időintervallumra eső események száma nem attól függ, hogy hány esemény esik bármely más, vele nem metsző intervallumra. Az utóhatások szinte hiánya a folyamban azt jelenti, hogy a folyamot alkotó események bizonyos időpontokban egymástól függetlenül jelennek meg.
Az események folyamát ún a legegyszerűbb, ha álló, rendes és nincs utóhatása. Időintervallum T a legegyszerűbb folyamat két szomszédos eseménye között exponenciális eloszlású
(nál nél t> 0); (6.21)
ahol / H [T] az intervallum átlagértékének reciproka T.
Az események hétköznapi áramlását utóhatás nélkül hívják Poisson. A legegyszerűbb áramlás az álló Poisson -áramlás speciális esete. Intenzitás Az események áramlása az időegységre eső események átlagos száma. Álló áramláshoz; nem stacionárius áramlás esetén általában az idő függvénye :.
Markov véletlenszerű folyamatok... A véletlenszerű folyamatot ún Markov ha a következő tulajdonsággal rendelkezik: bármely pillanatban t 0 a rendszer bármely állapotának valószínűsége a jövőben(nál nél t> t 0) csak a jelen állapotától függ(nál nél t = t 0) és nem attól függ, hogyan került a rendszer ebbe az állapotba.
Ebben a fejezetben csak a diszkrét állapotú Markov -folyamatokat fogjuk figyelembe venni S 1, S 2, ..., S n... Kényelmes az ilyen folyamatokat az állapotgráf segítségével szemléltetni (5.4. Ábra), ahol az állapotokat téglalapok (vagy körök) jelölik S 1, S 2,… Az S rendszerből a nyilak jelzik az állapotból az állapotba való lehetséges átmenetet (a grafikonon csak a közvetlen átmenetek vannak megjelölve, más állapotokon átmenetek nem).
5.4. Ábra - Véletlenszerű folyamat állapotainak grafikonja
Néha az állapotgráfon nemcsak az állapotról állapotra való lehetséges átmeneteket jegyzik fel, hanem az előző állapot lehetséges késéseit is; ezt egy adott állapotból arra irányított nyíl ("hurok") ábrázolja, de lehet nélküle is. A rendszer állapotainak száma lehet véges vagy végtelen (de számolható).
Markov véletlenszerű folyamat diszkrét állapotokkal és diszkrét időveláltalában Markov -láncnak nevezik. Egy ilyen folyamathoz pillanatok t 1, t 2... amikor a rendszer S megváltoztathatja állapotát, kényelmes a folyamat egymást követő lépéseinek tekinteni, és érvként, amelytől a folyamat függ, nem az idő t,és a lépésszám: 12,. ... ., k;…. Ebben az esetben egy véletlenszerű folyamatot állapotállapot jellemez
ha S (0)- a rendszer kezdeti állapota (az első lépés előtt); S (1)- a rendszer állapota közvetlenül az első lépés után; ...; S (k)- a rendszer állapota közvetlenül a k lépés után ....
Esemény S i , (i = 1,2, ...) véletlen esemény, ezért az állapotok sorozata (5.6) véletlen események sorozatának tekinthető. Kezdeti állapot S (0) lehet előre beállított vagy véletlenszerű. A szekvencia eseményei (5.6) Markov -láncot alkotnak.
Fontolja meg a folyamatot n lehetséges állapotok S 1, S 2, ..., S n... Ha jelöljük X (t) annak az állapotnak a száma, amelyben az S rendszer pillanatnyilag van t, akkor a folyamatot egy egész véletlen függvény írja le X (t)> 0, amelyek lehetséges értékei 1, 2, ..., n... Ez a függvény adott időpontokban egyik egész számról a másikra ugrik t 1, t 2,... (5.5. Ábra), és bal oldalon folyamatos, amit az ábrán pontok jeleznek. 5.5.
5.5. Ábra - Véletlenszerű folyamat grafikonja
Tekintsük az X (t) véletlen függvény egydimenziós eloszlási törvényét. Jelöljük annak valószínűségével, hogy utána k-lépés [és előtte ( k + 1) -edik] S rendszer képes lesz rá S i (i = 1,2, ..., n)... Valószínűségek p i (k) hívják állapotok valószínűségei Markov láncok. Nyilván bármelyikre k
. (5.7)
Az állapotok valószínűségi eloszlása a folyamat elején
p 1 (0), p 2 (0), ..., p i (0), ..., p n (0)(5.8)
hívott kezdeti valószínűségi eloszlás Markov lánc. Különösen, ha a kezdeti állapot S (0) az S rendszerből például pontosan ismert S (0) = S i, akkor a kezdeti valószínűség P i(0) = 1 és az összes többi nulla.
Átmenet valószínűsége a k-lépés az államtól S i Egy államban S j azt a feltételes valószínűséget nevezzük, amelyet a rendszer után k lépésre képes lesz S j feltéve, hogy közvetlenül előtte (utána k - 1 lépések) állapotban volt S i. Az átmeneti valószínűségeket néha „átmeneti valószínűségeknek” is nevezik.
A Markov -lánc ún homogén, ha az átmeneti valószínűségek nem a lépésszámtól függenek, hanem csak attól, hogy melyik állapotból és melyikbe hajtják végre az átmenetet:
A homogén Markov -lánc átmeneti valószínűségei Р ij négyzet alakú táblázatot (mátrixot) alkotnak n* n:
(5.10)
. (5.11)
Egy ilyen tulajdonságú mátrixot hívunk sztochasztikus. Valószínűség Р ij nincs más, mint annak valószínűsége, hogy a rendszer, amely adott lépésre jutott az állapotban S j, benne marad, és elhúzódik a következő lépésnél.
Ha a kezdeti valószínűségi eloszlást (5.8) és az átmeneti valószínűségek mátrixát (5.10) egy homogén Markov -láncra adjuk meg, akkor a rendszer állapotainak valószínűségei 
a visszatérő képlet alapján határozható meg
(5.12)
Inhomogén Markov -lánc esetén az (5.10) mátrix és az (5.12) képlet átmeneti valószínűsége a lépésszámtól függ k.
A homogén Markov -lánc esetében, ha minden állapot lényeges, és az állapotok száma véges, akkor van egy határ 
az egyenletrendszerből határozzuk meg és Az átmenet valószínűségeinek összege a mátrix bármely sorában egyenlő eggyel. 
Az (5.12) képletet használó tényleges számításoknál nem minden állapotot kell figyelembe venni S j, de csak azokat, amelyeknél az átmenet valószínűsége eltér a nullától, azaz amelyeknek az állapotgráfján a nyilak az állapothoz vezetnek S i.
Markov véletlenszerű folyamat diszkrét állapotokkal és folyamatos idővelnéha "folyamatos Markov -láncnak" is nevezik... Egy ilyen folyamat esetében az állapotból való átmenet valószínűsége S i ban ben S j minden pillanatban nulla. Átmenet valószínűsége helyett p ij fontolóra veszik átmeneti valószínűségi sűrűség amelyet az állapotból való átmenet valószínűségének arányának határaként definiálunk S i Egy államban S j a pillanathoz közeli rövid ideig t, ennek a résnek a hosszáig, amikor hajlamos a nullára. Az átmenet valószínűségi sűrűsége lehet állandó () vagy időfüggő. Az első esetben egy Markov véletlenszerű folyamatot nevezünk diszkrét állapotokkal és folyamatos idővel homogén. Az ilyen folyamat tipikus példája a véletlenszerű folyamat. X (t), ami a jelenlévők számát jelenti t események a legegyszerűbb folyamban (5.2. ábra).
Ha diszkrét állapotú és folyamatos időtartamú véletlenszerű folyamatokat veszünk figyelembe, célszerű ábrázolni az S rendszer állapotról állapotra való átmenetét, mint bizonyos eseményáramok hatására bekövetkező eseményeket. Ebben az esetben az átmenet valószínűségi sűrűségei megkapják a megfelelő eseményfolyamok intenzitásának jelentését (amint az első intenzitású esemény bekövetkezik, a rendszer az állapotból S i beleugrik Sj)... Ha mindezek a folyamatok Poisson, akkor az S rendszerben a folyamat Markov lesz.
Figyelembe véve Markov véletlenszerű folyamatait diszkrét állapotokkal és folyamatos idővel, kényelmes használni az állapotgráfot, amelyen az állapotból vezető minden nyíllal szemben S i, ban ben S j a rendszert ezen nyíl mentén mozgató események áramlásának intenzitása csökken (5.6. ábra). Az ilyen állapotgráfot ún megjelölve.
Annak valószínűsége, hogy az S rendszer az állapotban van S i elemi időintervallum () átmegy az állapotba S j(az átmenet valószínűségének eleme S i ban ben S j), fennáll annak a lehetősége, hogy ez idő alatt dt lesz legalább egy szál esemény, amely lefordítja a rendszert S tól től S i - S j. Ez a valószínűség a végtelen számú magasabb rendig terjed .
Áramlási átmenet valószínűsége ki az államból Si ban ben Sj a mennyiséget hívják (itt az intenzitás lehet időfüggő és időfüggetlen is).
Tekintsük azt az esetet, amikor az S rendszer véges számú állapottal rendelkezik S 1, S 2,..., S o. Az ebben a rendszerben előforduló véletlen folyamat leírásához állapot -valószínűségeket használunk
(5.13)
ahol p i (t) - annak valószínűsége, hogy a rendszer S ebben a pillanatban tállapotban van S i:
. (5.14)
Nyilván bármelyikre t
A valószínűségek (5.13) megtalálásához meg kell oldani a differenciálegyenletek (Kolmogorov -egyenletek) rendszerét, amelynek formája
(i = 1,2, ..., n),
vagy kihagyva az érvet t a változókat p én,
(i = 1,2, ..., n).
(5.16)
Ne feledje, hogy az ij áramlási sebesség az időtől függhet .
Az (5.16) egyenletek kényelmesen összeállíthatók a címkézett rendszerállapotgráf és a következő mnemonikus szabály segítségével: az egyes állapotok valószínűségének deriváltja egyenlő az összes valószínűségi áram összegével, amely más állapotokból átmegy az adott állapotba, mínusz az összes ebből az állapotból másba átvitt valószínűségi áramok összege. Például az S rendszerre , ábrán látható a címkézett állapotgráf. A 10.6. Ábra szerint a Kolmogorov -egyenletrendszer formája
(5.17)
Mivel bárkinek t feltétel (5.15) teljesül, bármely valószínűség (5.13) kifejezhető a többivel, és így eggyel csökkenti az egyenletek számát.
A differenciálegyenletek rendszerének (5.16) megoldása az állapot valószínűségeire p 1 (t) p 2 (t), ..., p n (t), be kell állítania a kezdeti valószínűségi eloszlást
p 1 (0), p 2 (0), ..., p i (0), ..., p n (0), ( 5.18)
amelynek összege egyenlő.
Ha különösen a kezdeti pillanatban t= 0, az S rendszer állapota pontosan ismert, például S (0) = S i, és p i (0)= 1, akkor a kifejezés fennmaradó valószínűsége (5.18) nulla.
Sok esetben, amikor a folyamat a rendszerben elég sokáig tart, felmerül a kérdés a valószínűségek korlátozó viselkedésével kapcsolatban p i t). Ha a rendszer állapotból állapotba történő átvitelének minden eseményfolyama a legegyszerűbb (azaz állandó Poisson állandó intenzitással), akkor bizonyos esetekben végső (vagy korlát) állapotok valószínűségei
, (5.19)
független az S rendszer kezdeti állapotától. Ez azt jelenti, hogy az idő múlásával a rendszer S létrejön a helyhez kötött rezsim korlátozása, amely során állapotról állapotra halad, de az állapotok valószínűsége nem változik. Ebben a korlátozó módban minden végső valószínűség értelmezhető átlagos relatív időként a rendszer ebben az állapotban maradjon.
Azt a rendszert nevezzük, amelyben a végső valószínűségek léteznek ergodikus. Ha az S rendszernek véges számú állapota van S 1, S 2 ,. ... ... , S n, akkor a végső valószínűségek meglétére elég, nak nek a rendszer bármely állapotából lehetséges volt(bizonyos lépésekben) menj máshoz. Ha az államok száma S 1, S 2 ,. ... ... , S n, végtelen, akkor ez a feltétel megszűnik elegendőnek lenni, és a végső valószínűségek megléte nemcsak az állapotok grafikonjától, hanem az intenzitásoktól is függ.
Az állapotok végső valószínűségeit (ha vannak) megoldással lehet megszerezni lineáris algebrai egyenletrendszerek, a Kolmogorov-féle differenciálegyenletekből nyerjük, ha a bal oldalt (deriváltakat) nullával egyenlővé tesszük. Kényelmesebb azonban ezeket az egyenleteket közvetlenül az állapotgráfból összeállítani a mnemonikus szabály segítségével: minden állapot esetében a teljes kimeneti valószínűségi áram egyenlő a teljes bemenettel. Például egy S rendszer esetében, amelynek címkézett állapotgráfja a p 
van. Az 5.7. Ábrán a végső állapot valószínűségeinek egyenletei formájúak
(5.20)
Így kiderül (a rendszer számára S n -velállamok) rendszerét n homogén lineáris algebrai egyenletekkel n ismeretlen 1., 2. o, ..., o. Ebből a rendszerből ismeretlenek találhatók 1. o, 2. o, . . . , p p s pontosság tetszőleges tényezőig. A pontos értékek megtalálásához 1. o,..., p p, adjuk hozzá az egyenletekhez normalizálási feltétel p 1 + p 2 +…+ o= 1, amellyel bármely valószínűség kifejezhető p i a többieken keresztül (és ennek megfelelően dobja el az egyik egyenletet).
Ismétlő kérdések
1 Mit nevezünk véletlen függvénynek, véletlen folyamatnak, egy véletlen folyamat egy szakaszának, megvalósításának?
2 Miben különböznek a véletlenszerű folyamatok szerkezetükben és időbeni lefolyásuk jellegében?
3 A véletlen függvény milyen eloszlási törvényeit használják egy véletlen függvény leírására?
4 Mi a véletlen függvény matematikai elvárási függvénye, mi a geometriai jelentése?
5 Mi a véletlen függvény varianciafüggvénye, mi a geometriai jelentése?
6 Mi a véletlen folyamat korrelációs függvénye, és mit jellemez?
7 Milyen tulajdonságai vannak a véletlenszerű folyamat korrelációs függvényének?
8 Miért vezetik be a normalizált korrelációs függvény fogalmát?
9 Magyarázza el, hogyan lehet kísérleti adatokból becsléseket szerezni egy véletlen folyamat jellemzőinek funkcióiról?
10 Mi a különbség a keresztkorrelációs függvény és az autokorrelációs függvény között?
11 Milyen véletlen folyamatot nevezünk szűk értelemben vett és tágabb értelemben álló folyamatnak?
12 Mi a stacionárius véletlen folyamat ergodikus tulajdonsága?
13 Mit jelent egy stacionárius véletlen folyamat spektrális bomlása és miért van rá szükség?
14 Milyen összefüggés van a korrelációs függvény és az álló véletlen függvény spektrális sűrűsége között?
15 Mit nevezünk a legegyszerűbb eseményfolyamnak?
16 Milyen véletlen folyamatot nevezünk Markov -láncnak? Mi az állapotainak kiszámítási módja?
17 Mi az a Markov véletlenszerű folyamat diszkrét állapotokkal és folyamatos idővel?
M (U) = 10, D (U) = 0,2.
6.5 Keresse meg a véletlen függvények normalizált keresztkorrelációs függvényét X (t) = t * Ués Y (t) = (t + 1) U, ahol U Egy véletlen változó, és a szórás D (U) = 10.
Sok olyan művelet, amelyet elemezni kell az optimális megoldás kiválasztásakor, véletlenszerű folyamatokká alakul, amelyek számos véletlenszerű tényezőtől függenek.
Számos, véletlenszerű folyamat formájában kialakuló művelet matematikai leírásához sikeresen alkalmazható az úgynevezett Markov-véletlenszerű folyamatok valószínűségelméletében kifejlesztett matematikai apparátus.
Magyarázzuk el a Markov -sztochasztikus folyamat fogalmát.
Legyen valami rendszer S, amelynek állapota idővel változik (a rendszer alatt S bármi érthető: ipari vállalkozás, műszaki eszköz, javítóműhely stb.). Ha a rendszer állapota S véletlenszerűen, korábban kiszámíthatatlan módon változik az idő, azt mondják, hogy a rendszerben S folyik véletlenszerű folyamat.
Példák véletlenszerű folyamatokra:
árfolyam -ingadozások a tőzsdén;
ügyfélszolgálat fodrászatban vagy javítóműhelyben;
a vállalatcsoport ellátási tervének teljesítése stb.
Mindegyik folyamat konkrét menete számos véletlenszerű, korábban kiszámíthatatlan tényezőtől függ, például:
kiszámíthatatlan hírek a tőzsdei politikai változásokról;
az ügyfelektől érkező alkalmazások (követelmények) véletlenszerű jellege;
az ellátási terv végrehajtásának véletlen megszakadása stb.
MEGHATÁROZÁS. A rendszerben egy véletlenszerű folyamatot hívunk Markov(vagy folyamat következmények nélkül) ha a következő tulajdonsággal rendelkezik: az idő minden egyes pillanatára t 0 a rendszer bármely állapotának valószínűsége a jövőben (pl t> t 0) csak a jelen állapotától függ (mert t = t 0)és nem attól függ, hogy a rendszer mikor és hogyan került ebbe az állapotba (vagyis hogyan alakult a folyamat a múltban).
Más szóval, egy Markov véletlenszerű folyamatban a jövőbeni fejlődése csak a jelenlegi állapottól függ, és nem függ a folyamat „előtörténetétől”.
Nézzünk egy példát. Hagyja a rendszert S egy olyan tőzsde, amely egy ideje létezik. Érdekel bennünket, hogy a rendszer hogyan fog működni a jövőben. Világos, legalábbis első közelítésként, hogy a jövőbeli teljesítmény jellemzői (az egyes részvények árának egy héten belüli esésének valószínűsége) a rendszer pillanatnyi állapotától függnek (különböző tényezők, például a kormány döntései) vagy a választási eredmények közbeavatkozhatnak), és nem attól függenek, hogy a rendszer mikor és hogyan érte el jelenlegi állapotát (nem függ ezen részvények múltbeli ármozgásának jellegétől).
A gyakorlatban gyakran találkoznak véletlenszerű folyamatokkal, amelyek egy vagy másik közelítéssel Markovi -félenek tekinthetők.
A Markov -sztochasztikus folyamatok elmélete sokféle alkalmazási lehetőséget kínál. Elsősorban a Markov -féle véletlenszerű folyamatok elméletének alkalmazására leszünk kíváncsiak a műveletek matematikai modelljeinek felépítésére, amelyek menete és kimenetele lényegében véletlenszerű tényezőktől függ.
A Markov -féle véletlenszerű folyamatok fel vannak osztva osztályok attól függően, hogy az S rendszer hogyan és milyen időpontokban változtathatja meg állapotát.
MEGHATÁROZÁS. A véletlenszerű folyamatot ún folyamat diszkrét állapotokkal, ha lehetséges a rendszer állapítja meg s x, s 2, s v... sorolhatók (számozhatók) egymás után, és maga a folyamat az, hogy időről időre a rendszer S ugrás (azonnal) ugrik egyik állapotból a másikba.
Például projektfejlesztés S két osztály közösen hajtja végre, amelyek mindegyike hibázhat. A következő rendszerállapotok lehetségesek:
5, - mindkét osztály normálisan működik;
s 2 - az első osztály hibázott, a második normálisan működik;
s 3 - a második osztály hibázott, az első normálisan működik;
s 4 - mindkét osztály hibázott.
A rendszerben lejátszódó folyamat abból áll, hogy véletlenszerűen, bizonyos időpillanatokban állapotról állapotra halad ("ugrik"). A rendszernek összesen négy lehetséges állapota van. Előttünk egy folyamat diszkrét állapotokkal.
A diszkrét állapotú folyamatok mellett vannak véletlenszerű folyamatok folyamatos állapotokkal: ezeket a folyamatokat az állapotról az állapotra való fokozatos, zökkenőmentes átmenet jellemzi. Például a világítási hálózat feszültségváltozásának folyamata véletlen folyamat, folyamatos állapotokkal.
Csak véletlenszerű, diszkrét állapotú folyamatokat veszünk figyelembe.
Véletlen folyamatok diszkrét állapotokkal történő elemzésekor nagyon kényelmes a geometriai séma - az úgynevezett állapotgráf - használata. Állapotgráf geometriailag ábrázolja a rendszer lehetséges állapotait és esetleges állapotról állapotra való átmenetét.
Legyen egy rendszer S diszkrét állapotokkal:
Mindegyik állapotot egy téglalap jelöli, az esetleges átmeneteket („ugrásokat”) az állapotból az ezeket a téglalapokat összekötő nyilak jelzik. Az állapotgráfra példa látható az ábrán. 4.1.
Vegye figyelembe, hogy a nyilak csak közvetlen átmeneteket jelölnek állapotból állapotba; ha a rendszer át tud állni az állapotból s 2 53 után csak utána s y akkor a nyilak csak az átmeneteket jelölik s 2-> és l, 1 -> 5 3, de nem s 2 -» s y Nézzünk néhány példát:
1. Rendszer S- olyan vállalkozás, amely az öt lehetséges állapot egyikében lehet: s]- nyereséggel dolgozik;
s 2- elvesztette fejlődési kilátásait és megszűnt nyereséges lenni;
5 3 - a potenciális felszívódás tárgyává vált;
s 4- külső ellenőrzés alatt áll;
s 5- a felszámolt társaság vagyonát aukción értékesítik.
A cég állapotgrafikája az ábrán látható. 4.2.
Rizs. 4.2
- 2. Rendszer S- bank két fiókteleppel. A következő rendszerállapotok lehetségesek:
- 5, - mindkét ág nyereségesen működik;
s 2 - az első osztály nyereség nélkül dolgozik, a második nyereséggel;
5 3 - a második ág nyereség nélkül működik, az első nyereséggel;
s 4 - mindkét ág nyereség nélkül működik.
Feltételezzük, hogy az állapot nem javul.
Az állapotdiagram az ábrán látható. 4.3. Vegye figyelembe, hogy a grafikon nem mutat lehetséges átmenetet az állapotból s] közvetlenül a s 4, ami valóra válik, ha a bank azonnal veszteségesen fog működni. Az ilyen esemény lehetőségét elhanyagolhatjuk, amit a gyakorlat is megerősít.
Rizs. 4.3
3. Rendszer S- befektetési társaság, amely két kereskedőből (osztályból) áll: I. és II. mindegyikük valamikor veszteségesen kezdheti meg működését. Ha ez megtörténik, akkor a vállalat vezetése azonnal intézkedik az osztály jövedelmező működésének helyreállítása érdekében.
Lehetséges rendszerállapotok: s- mindkét osztály tevékenysége nyereséges; s 2- az első osztályt helyreállítják, a második nyereséggel dolgozik;
s 3- az első osztály nyereséggel dolgozik, a másodikat helyreállítják;
s 4- mindkét osztályt helyreállítják.
A rendszerállapot -grafikon az ábrán látható. 4.4.
4. Az előző példa körülményei között az egyes kereskedők tevékenységét, mielőtt elkezdi helyreállítani az osztály jövedelmező munkáját, a vállalat vezetése megvizsgálja annak érdekében, hogy intézkedéseket tegyen annak javítására.
A kényelem kedvéért a rendszer állapotait nem egy, hanem két mutatóval számozzuk; az első az első kereskedő állapotát jelenti (1 - nyereséggel dolgozik, 2 - tevékenységét a vezetőség tanulmányozza, 3 - visszaállítja az osztály jövedelmező tevékenységét); a második - ugyanazok a feltételek a második kereskedő számára. Például, s 23 jelentése: az első kereskedő tevékenységét tanulmányozzák, a második egy nyereséges munka helyreállítását jelenti.
Lehetséges rendszerállapotok S:
s u- mindkét kereskedő tevékenysége nyereséges;
s l2- az első kereskedő nyereséggel dolgozik, a második tevékenységét a vállalat vezetése tanulmányozza;
5 13 - az első kereskedő nyereséggel dolgozik, a második helyreállítja az osztály jövedelmező tevékenységét;
s 2l- az első kereskedő tevékenységét a vezetőség tanulmányozza, a második nyereséggel dolgozik;
s 22 - mindkét kereskedő tevékenységét a vezetőség tanulmányozza;
- 5 23 - az első kereskedő munkáját tanulmányozzák, a második kereskedő helyreállítja az osztály jövedelmező tevékenységét;
- 5 31 - az első kereskedő helyreállítja az osztály jövedelmező tevékenységét, a második nyereséggel dolgozik;
- 5 32 - az osztály nyereséges tevékenységét az első kereskedő helyreállítja, a második kereskedő munkáját tanulmányozzák;
- 5 33 - mindkét kereskedő helyreállítja osztályának jövedelmező munkáját.
Összesen kilenc állam van. Az állapotdiagram az ábrán látható. 4.5.
