Bayes -féle képlet levezetése. Teljes valószínűségi képlet és bayes -i képletek

Legyenek ismertek a valószínűségeik és a hozzájuk tartozó feltételes valószínűségek. Ekkor az esemény bekövetkezésének valószínűsége egyenlő:

Ezt a képletet ún képletek teljes valószínűséggel ... A tankönyvekben egy tétel fogalmazza meg, melynek bizonyítása elemi: szerint események algebrája, (esemény történt és vagy esemény történt és miután jött az esemény vagy esemény történt és miután jött az esemény vagy …. vagy esemény történt és az esemény után)... Mivel hipotézisek következetlen, és az esemény függ, akkor összeadási tétel az inkonzisztens események valószínűségére (első lépés)és szorzótétel a függő események valószínűségeire (második lépés):

Valószínűleg sokan képzelik el az első példa tartalmát =)

Bárhol köpköd - mindenütt urnát:

1. feladat

Három egyforma urna van. Az első urnában 4 fehér és 7 fekete golyó található, a másodikban - csak fehér, a harmadikban - csak fekete golyó. Egy urnát véletlenszerűen választanak ki, és véletlenszerűen golyót húznak belőle. Mennyi annak a valószínűsége, hogy ez a golyó fekete?

Megoldás: vegye figyelembe az eseményt - egy véletlenszerűen kiválasztott urnából fekete labdát vonnak ki. Ez az esemény az alábbi hipotézisek egyikének megvalósulása miatt fordulhat elő:
- 1. urna lesz kiválasztva;
- a 2. urnát választják ki;
- a 3. urnát választják ki.

Mivel az urnát véletlenszerűen választják, a három urnának bármelyikét választhatja ugyanolyan lehetséges, Következésképpen:

Felhívjuk figyelmét, hogy a felsorolt ​​hipotézisek kialakulnak események teljes csoportja, azaz feltétel szerint fekete golyó csak ezekből az urnákból jelenhet meg, és például nem repülhet onnan biliárdasztal... Végezzünk egyszerű közbenső ellenőrzést:
, OK, folytassuk:

Az első urnában 4 fehér + 7 fekete = 11 golyó található klasszikus definíció:
- a fekete golyó kivonásának valószínűsége azzal a feltétellel hogy az 1. urnát választják ki.

A második urnában csak fehér golyók vannak, tehát ha választják a fekete golyó megjelenése válik lehetetlen: .

És végül, a harmadik urnában csak fekete golyók vannak, ami azt jelenti, hogy a megfelelő feltételes valószínűség a fekete golyó kivonása lesz (az esemény érvényes).

- annak valószínűsége, hogy egy fekete golyót eltávolítanak egy véletlenszerűen kiválasztott urnából.

Válasz:

Az elemzett példa ismét azt sugallja, mennyire fontos az ÁLLAPOTBAN Fizetni. Vegyük ugyanazokat a problémákat az urnákkal és a golyókkal - külső hasonlóságuk miatt a megoldási módszerek teljesen eltérőek lehetnek: valahol csak alkalmazni kell valószínűség klasszikus meghatározása, valahol események független, valahol függő, de valahol hipotézisekről beszélünk. Ugyanakkor nincs egyértelmű formai kritérium a megoldási út kiválasztásához - szinte mindig gondolni kell rá. Hogyan javíthatja képzettségét? Döntünk, döntünk és újra döntünk!

2. probléma

A lőtéren 5 különböző pontosságú puska található. A célpont eltalálásának valószínűsége egy adott lövő esetében egyenlő 0,5; 0,55; 0,7; 0,75 és 0,4. Mennyi a valószínűsége annak, hogy célba talál, ha a lövő véletlenül kiválasztott puskával lő egy lövést?

Rövid megoldás és válasz az oktatóanyag végén.

A legtöbb aktuális probléma esetében a hipotézisek természetesen nem egyformán valószínűek:

3. probléma

A piramisban 5 puska található, amelyek közül három teleszkópos látószöggel van felszerelve. Annak a valószínűsége, hogy a lövő eltalálja a célt, amikor távcsöves puskából lőnek, 0,95; teleszkópos látószög nélküli puska esetén ez a valószínűség 0,7. Keresse meg annak valószínűségét, hogy a célpontot eltalálják, ha a lövő véletlenszerűen vett puskából lő egy lövést.

Megoldás: ebben a feladatban a puskák száma pontosan megegyezik az előzővel, de csak két hipotézis létezik:
- a lövész távcsöves puskát választ;
- a lövész teleszkópos látvány nélkül puskát választ.
Által valószínűség klasszikus meghatározása: .
Az irányítás:

Tekintsük az eseményt: - A lövő véletlenszerűen vett puskával találja el a célt.
Feltétel szerint:.

A teljes valószínűség képletének megfelelően:

Válasz: 0,85

A gyakorlatban a feladat formalizálásának rövidített módja, amelyet Ön is ismer, teljesen elfogadható:

Megoldás: tovább klasszikus definíció: - annak valószínűsége, hogy optikai látószöggel és anélkül puskát választanak.

Feltétel szerint, - annak valószínűsége, hogy a megfelelő típusú puskákból eltalálják a célt.

A teljes valószínűség képletének megfelelően:
- annak valószínűsége, hogy a lövő véletlenszerűen kiválasztott puskából találja el a célt.

Válasz: 0,85

A következő feladat erre független döntés:

4. feladat

A motor három üzemmódban működik: normál, kényszerített és üresjáratban. Készenléti állapotban a meghibásodás valószínűsége 0,05, normál üzemben - 0,1, kényszerített módban - 0,7. Az idő 70% -ában a motor normál üzemmódban, 20% -a kényszerüzemben működik. Mennyi a valószínűsége a motor meghibásodásának működés közben?

Minden esetre, hadd emlékeztessem önöket - a valószínűségek értékeinek kiszámításához a százalékokat el kell osztani 100 -zal. Legyen nagyon óvatos! Megfigyeléseim szerint a teljes valószínűség képletével kapcsolatos problémák feltételeit gyakran megpróbálják összekeverni; és kifejezetten kiválasztottam egy ilyen példát. Elárulok egy titkot - majdnem összezavarodtam =)

Megoldás az óra végén (rövid keretben)

Bayesi formulaproblémák

Az anyag szorosan kapcsolódik az előző bekezdés tartalmához. Hagyja, hogy az esemény az egyik hipotézis megvalósításának eredményeként következzen be ... Hogyan lehet meghatározni annak valószínűségét, hogy ez vagy az a hipotézis bekövetkezett?

Azzal a feltétellel azt az eseményt már megtörtént, hipotézisek valószínűségei túlértékelt Thomas Bayes angol pap vezetéknevét kapott képletek szerint:

- annak valószínűsége, hogy a hipotézis bekövetkezett;
- annak valószínűsége, hogy a hipotézis bekövetkezett;
…
- annak valószínűsége, hogy a hipotézis bekövetkezett.

Első pillantásra teljesen abszurdnak tűnik - miért kell újraszámítani a hipotézisek valószínűségét, ha már ismertek? De valójában van különbség:

- Ezt eleve(becsült előtt tesztek) valószínűségei.

- Ezt utólag(becsült utána tesztek) ugyanazon hipotézisek valószínűségei, amelyeket az „újonnan felfedezett körülmények” kapcsán számoltak újra - figyelembe véve azt a tényt, hogy az esemény megbízhatóan történt.

Tekintsük ezt a különbséget a konkrét példa:

5. feladat

A raktárba 2 tétel termék érkezett: az első - 4000 darab, a második - 6000 darab. A nem szabványos tételek átlagos százaléka az első tételben 20%, a másodikban - 10%. A raktárból véletlenszerűen vett termék standardnak bizonyult. Keresse meg annak valószínűségét, hogy: a) az első tételből, b) a második tételből.

Első rész megoldásokat a teljes valószínűség képletének használatából áll. Más szóval, a számításokat azzal a feltételezéssel kell elvégezni, hogy a teszt még nem gyártottákés esemény "A termék szabványosnak bizonyult" amíg meg nem jött.

Tekintsünk két hipotézist:
- a véletlenszerűen vett termék az 1. tételből származik;
- a véletlenszerűen vett termék a 2. tételből lesz.

Összesen: 4000 + 6000 = 10000 darab raktáron. A klasszikus definíció szerint:
.

Az irányítás:

Tekintsünk egy függő eseményt: - egy raktárból vett véletlenszerű terméket lesz alapértelmezett.

Az első tételben a standard termékek 100% - 20% = 80% -a, ezért: azzal a feltétellel hogy az 1. párthoz tartozik.

Hasonlóképpen, a második tételben a standard termékek 100% - 10% = 90% -a és - annak valószínűsége, hogy a raktárból véletlenszerűen vett termék szabványos lesz azzal a feltétellel hogy a 2. párté.

A teljes valószínűség képletének megfelelően:
- annak valószínűsége, hogy a raktárból véletlenszerűen vett termék szabványos lesz.

Második rész. Hagyja, hogy a raktárból véletlenszerűen vett termék szabványos legyen. Ez a kifejezés közvetlenül a feltételben szerepel, és azt a tényt rögzíti, hogy az esemény történt.

Bayes képletei szerint:

a) annak a valószínűsége, hogy a kiválasztott standard termék az 1. tételhez tartozik;

b) - annak a valószínűsége, hogy a kiválasztott standard termék a 2. tételhez tartozik.

Utána átértékelés a hipotézisek természetesen még mindig kialakulnak teljes csoport:
(vizsgálat;-))

Válasz:

Ivan Vasziljevics segít megérteni a hipotézisek újraértékelésének jelentését, aki ismét szakmát váltott, és az üzem igazgatója lett. Tudja, hogy ma az 1. műhely 4000 darabot szállított a raktárba, a 2. műhely pedig 6000 tételt, és erről meg is győződik. Tegyük fel, hogy minden termék azonos típusú és egy tartályban van. Természetesen Ivan Vasziljevics előzetesen kiszámította, hogy azt a terméket, amelyet most kivont ellenőrzésre, valószínűséggel az 1. műhely gyárt, és valószínűséggel a második. De miután a kiválasztott elem szabványos, felkiált: „Milyen jó csavar! - inkább a második bolt adta ki. " Így a második hipotézis valószínűsége túlbecsült jobb oldala, és az első hipotézis valószínűségét alábecsülik :. És ez az újraértékelés nem ésszerűtlen - elvégre a 2. műhely nemcsak több terméket gyártott, hanem kétszer jobban működik!

Tiszta szubjektivitás, mondod? Részben - igen, ráadásul Bayes maga értelmezte utólag valószínűségek, mint bizalmi szint... Azonban nem minden ilyen egyszerű - van egy objektív kernel a bayesi megközelítésben. Végül is annak a valószínűsége, hogy a termék szabványos lesz (0,8 és 0,9 az első és a második workshopon) Ez előzetes(a priori) és átlagos becslések. De filozófiai szempontból minden áramlik, minden változik, beleértve a valószínűségeket is. Lehetséges, hogy a kutatás idején sikeresebb 2. workshop növelte a standard termékek százalékos arányát (és / vagy az első műhely csökkentve), és ha nagyobb mennyiséget vagy mind a 10 ezer raktáron lévő terméket ellenőriz, akkor a túlbecsült értékek sokkal közelebb állnak az igazsághoz.

By the way, ha Ivan Vasziljevics kivonatokat nem szabványos részlet, akkor éppen ellenkezőleg - egyre inkább "gyanítani fogja" az első boltot - a másodikat. Javaslom, hogy győződjön meg erről saját maga:

6. feladat

A raktárba 2 tétel termék érkezett: az első - 4000 darab, a második - 6000 darab. A nem szabványos tételek átlagos százaléka az első tételben 20%, a másodikban - 10%. A raktárból véletlenszerűen vett termékről kiderült, hogy az nem alapértelmezett. Keresse meg annak valószínűségét, hogy: a) az első tételből, b) a második tételből.

A feltételt két betű különbözteti meg, amelyeket félkövérrel kiemeltem. A probléma megoldható nulláról, vagy felhasználhatja a korábbi számítások eredményeit. A mintában költöttem teljes megoldás, de úgy, hogy ne legyen formális átfedés az 5. számú feladattal, az eseménnyel "A raktárból véletlenszerűen vett termék nem szabványos lesz" jelöli.

A valószínűségek túlbecslésének bayesi sémája mindenhol megtalálható, és a különböző csalók is aktívan használják ki. Tekintsünk egy hárombetűs részvénytársaságot, amely háztartási névvé vált, amely betéteket vonz a lakosságtól, állítólag valahova befektet, rendszeresen osztalékot fizet stb. Mi történik? Napról napra, hónapról hónapra, és a reklámok és a szájról szájra terjedő újabb és újabb tények csak növelik a bizalmat pénzügyi piramis (Post hoc bayesi átértékelés a múltbeli események miatt!)... Vagyis a betétesek szemében folyamatosan nő annak valószínűsége, hogy "Ez egy komoly iroda"; míg az ellenkező hipotézis valószínűsége az ("Ezek a következő csalók") persze csökken és csökken. A többi szerintem érthető. Figyelemre méltó, hogy a megszerzett hírnév időt ad a szervezőknek, hogy sikeresen elbújjanak Ivan Vasziljevics elől, aki nemcsak egy csavarcsomag, hanem nadrág nélkül is maradt.

Kicsit később visszatérünk a nem kevésbé kíváncsi példákra, de most a sorban következő talán a leggyakoribb eset, három hipotézissel:

7. probléma

Az elektromos lámpákat három gyárban gyártják. Az 1. üzem a teljes lámpaszám 30% -át, a 2. - 55% -ot, a 3. pedig a többit állítja elő. Az 1. üzem termékei 1%hibás lámpát, a 2. - 1.5%, a 3. - 2%-ot tartalmaznak. Az üzlet mindhárom gyárból kap termékeket. A vásárolt lámpa hibásnak bizonyult. Mi a valószínűsége annak, hogy a 2. üzem gyártotta?

Ne feledje, hogy a Bayes képleteinek problémáiban az állapotban szükségszerűen van egy bizonyos mi történt esemény, ebben az esetben lámpa vásárlása.

Az események száma nőtt, ill megoldás kényelmesebb „gyors” stílusban elrendezni.

Az algoritmus pontosan ugyanaz: az első lépésben megtaláljuk annak valószínűségét, hogy a vásárolt lámpa egyáltalán kiderül hibás.

A kezdeti adatok felhasználásával a százalékokat valószínűségekké alakítjuk:
- annak valószínűsége, hogy a lámpát az 1., 2. és 3. gyár állítja elő.
Az irányítás:

Hasonlóképpen: - annak valószínűsége, hogy hibás lámpát gyártanak az adott gyárak számára.

A teljes valószínűség képletének megfelelően:

- annak valószínűsége, hogy a megvásárolt lámpa hibás lesz.

Második lépés. Tegyük fel, hogy a megvásárolt lámpa hibásnak bizonyult (az esemény megtörtént)

Bayes formulája szerint:
- annak valószínűsége, hogy a megvásárolt hibás lámpát egy második üzem gyártotta

Válasz:

Miért növekedett a második hipotézis kezdeti valószínűsége az átértékelés után? Végül is a második üzem átlagos minőségű lámpákat gyárt (az első jobb, a harmadik rosszabb). Akkor miért nőtt utólag annak a valószínűsége, hogy a hibás lámpa a 2. gyárból származik? Ez már nem a "hírnévnek" köszönhető, hanem a méretnek. Mivel a 2. számú üzem termelt a legtöbbet nagyszámú lámpák, akkor őt hibáztatják (legalábbis szubjektíven): "Valószínűleg ez a hibás lámpa onnan származik".

Érdekes megjegyezni, hogy az 1. és a 3. hipotézis valószínűségeit a várt irányokban túlbecsülték és egyenlővé váltak:

Az irányítás: , amelyet ellenőrizni kellett.

Egyébként az alul- és túlbecsült becslésekről:

8. feladat

Egy diákcsoportban 3 fő van magas szint képzés, 19 fő - közepes és 3 - alacsony. Valószínűségek sikeres szállítás ezeknek a diákoknak a vizsgái egyenlőek: 0,95; 0,7 és 0,4. Ismeretes, hogy egy diák sikeres vizsgát tett. Mi a valószínűsége, hogy:

a) nagyon jól felkészült;
b) átlagosan készült;
c) rosszul volt felkészülve.

Végezzen számításokat és elemezze a hipotézis újraértékelésének eredményeit.

A feladat közel áll a valósághoz, és különösen elfogadható a levelező hallgatók egy csoportja számára, ahol a tanár gyakorlatilag nem ismeri ennek vagy annak a diáknak a képességeit. Ebben az esetben az eredmény egészen váratlan következményekkel járhat. (különösen az első félévi vizsgákra)... Ha egy rosszul felkészült tanulónak szerencséje van a jegyhez, akkor a tanár valószínűleg jó tanulónak vagy akár erős tanulónak tartja, ami jó osztalékot hoz a jövőben. (természetesen fel kell emelni a lécet és meg kell őrizni a képét)... Ha egy diák 7 napon és 7 éjszakán át tanított, zsúfolt, ismételgetett, de egyszerűen nem volt szerencséje, akkor a további események a lehető legrosszabb módon alakulhatnak ki - számos ismétléssel és egyensúlyozással az indulás határán.

Mondanom sem kell, hogy a hírnév a legfontosabb tőke, nem véletlen, hogy sok vállalat az alapító atyák nevét viseli, akik 100-200 évvel ezelőtt vezették az üzletet, és kifogástalan hírnevükről váltak híressé.

Igen, a bayesi megközelítés bizonyos mértékig szubjektív, de ... így működik az élet!

Konszolidáljuk az anyagot egy utolsó ipari példával, amelyben az eddig nem teljesítettről fogok beszélni technikai bonyodalmak megoldások:

9. feladat

Az üzem három műhelye azonos típusú alkatrészeket állít elő, amelyeket egy közös tartályban kell összeszerelni. Ismeretes, hogy az első bolt kétszer több alkatrészt gyárt, mint a második, és négyszer többet, mint a harmadik üzlet. Az első üzletben a törmelék 12%, a másodikban - 8%, a harmadikban - 4%. Az ellenőrzéshez az egyik részt kivesszük a tartályból. Mi a valószínűsége annak, hogy hibás lesz? Mennyi annak a valószínűsége, hogy a helyreállított hibás részt a 3. műhely kiadta?

Taki Ivan Vasziljevics visszatért a lóhátra =) A filmnek happy endnek kell lennie =)

Megoldás: az 5-8. számú feladattal ellentétben itt kifejezetten feltesznek egy kérdést, amelyet a teljes valószínűségi képlet segítségével oldanak meg. Másrészt azonban a feltétel kissé "titkosítva" van, és az iskolai készség a legegyszerűbb egyenletek felépítésében segít megoldani ezt a rejtvényt. Kényelmes "x" -re venni legkisebb érték:

Legyen a harmadik műhely által gyártott alkatrészek aránya.

Feltétel szerint az első üzlet 4 -szer többet termel, mint a harmadik üzlet, tehát az 1. üzlet részesedése.

Ezenkívül az első üzlet 2 -szer több terméket állít elő, mint a második üzlet, ami azt jelenti, hogy az utóbbi részesedése :.

Állítsuk össze és oldjuk meg az egyenletet:

Így: - annak valószínűsége, hogy a konténerből kivett részt az 1., a 2. és a 3. üzlet engedi el.

Az irányítás: . Ezenkívül nem lesz felesleges újra megnézni a kifejezést "Ismeretes, hogy az első bolt kétszer többet termel, mint a második bolt, és négyszer többet, mint a harmadik üzlet."és győződjön meg arról, hogy a kapott valószínűségi értékek valóban megfelelnek ennek a feltételnek.

Az "X" esetében kezdetben ki lehetett venni az 1. vagy a 2. műhely részét - a valószínűségek ugyanazok lesznek. De így vagy úgy, a legnehezebb szakaszon túljutott, és a megoldás belép a recézett szakaszba:

Az állapotból a következőket találjuk:
- a hibás alkatrészek gyártásának valószínűsége az adott műhelyben.

A teljes valószínűség képletének megfelelően:
- annak valószínűsége, hogy a tartályból véletlenszerűen vett rész nem szabványos lesz.

Második kérdés: mennyi annak a valószínűsége, hogy a helyreállított hibás részt a 3. műhely kiadta? Ez a kérdés feltételezi, hogy az alkatrészt már lekérték, és hibásnak találták. Újraértékeljük a bayesi hipotézist:
A szükséges valószínűség. Elég várható - elvégre a harmadik műhely nemcsak az alkatrészek legkisebb töredékét állítja elő, hanem minőségben is vezet!

Ebben az esetben muszáj volt egyszerűsítse a négyemeletes töredéket, amit Bayes formuláinak problémáiban elég gyakran kell elvégezni. De ehhez a leckéhez valahogy véletlenül olyan példákat vettem fel, amelyekben sok számítás elvégezhető közönséges törtek nélkül.

Mivel a feltétel nem tartalmaz "a" és "b" elemeket, jobb, ha a választ szöveges megjegyzésekkel adja meg:

Válasz: - annak valószínűsége, hogy a tartályból kivett alkatrész hibás lesz; - annak valószínűsége, hogy a helyreállított hibás részt a 3. műhely kiadta.

Amint láthatja, a teljes valószínűségi képlet és a Bayes -képletek problémái meglehetősen egyszerűek, és valószínűleg emiatt olyan gyakran próbálják bonyolítani a feltételt, amelyet már a cikk elején említettem.

További példák találhatók a fájlban kész megoldások F.P.V. és Bayes képletei, emellett valószínűleg lesz, aki más forrásokban is mélyebben meg akarja ismerni ezt a témát. És a téma valóban nagyon érdekes - ami csak egyet ér Bayes -paradoxon, ami indokolja azt a mindennapi tanácsot, hogy ha egy személyt diagnosztizálnak ritka betegség, akkor van értelme, hogy végezzen egy második, sőt két ismételt független vizsgálatot. Úgy tűnik, hogy ezt kizárólag kétségbeesésből teszik ... - de nem! De ne beszéljünk szomorú dolgokról.

- annak valószínűsége, hogy egy véletlenszerűen kiválasztott tanuló sikeres vizsgát tesz.
A tanuló tegye le a vizsgát. Bayes képletei szerint:
de) - annak valószínűsége, hogy a vizsgán sikeres hallgató nagyon jól felkészült volt. Az objektív kezdeti valószínűséget túlbecsülik, mivel szinte mindig egyes "középparasztok" szerencsések a kérdésekkel, és nagyon határozottan válaszolnak, ami a kifogástalan felkészülés téves benyomását kelti.
b) - annak valószínűsége, hogy a vizsgán sikeres diák átlagosan felkészült volt. A kezdeti valószínűség kissé túlbecsült, mivel az átlagos képzettségű diákok általában többségben vannak, ráadásul itt a tanár a sikertelenül válaszolt "kiváló tanulókat", és esetenként egy gyengén teljesítő diákot is felvesz, akinek nagyon szerencséje volt a jeggyel.
ban ben) - annak valószínűsége, hogy a vizsgán sikeres tanuló rosszul volt felkészülve. Az eredeti valószínűséget rosszra túlbecsülték. Nem meglepo.
Vizsgálat:
Válasz :

Rövid elmélet

Ha egy esemény csak akkor következik be, ha megjelenik az inkompatibilis események teljes csoportját képező események egyike, akkor az egyenlő az egyes események valószínűségeinek szorzatainak összegével a pénztárca megfelelő feltételes valószínűségével.

Ebben az esetben az eseményeket hipotéziseknek, a valószínűségeket pedig a priori -nak nevezzük. Ezt a képletet teljes valószínűségi képletnek nevezzük.

Bayes képletét a gyakorlati problémák megoldására használják, amikor olyan esemény történt, amely az események teljes csoportját alkotó eseményekkel együtt jelenik meg, és szükség van a hipotézisek valószínűségének mennyiségi újraértékelésére. A priori (tapasztalat előtti) valószínűségek ismertek. Kötelező kiszámítani a hátsó (a kísérlet után) valószínűségeket, azaz lényegében meg kell találnia a feltételes valószínűségeket. Bayes formulája így néz ki:

A következő oldal a problémával foglalkozik.

Példa a probléma megoldására

Probléma 1

A gyárban az 1., 2. és 3. gép az összes alkatrész 20% -át, 35% -át és 45% -át állítja elő. Termékeikben a házasság 6%, 4%, 2%. Mi a valószínűsége annak, hogy egy véletlenszerűen kiválasztott termék hibás? Mennyi annak a valószínűsége, hogy előállították: a) 1 -es gép; b) 2. gép; c) 3. gép?

A probléma megoldása 1

Jelöljük azzal az eseménnyel, hogy egy szabványos termék hibásnak bizonyult.

Esemény csak akkor fordulhat elő, ha a három esemény egyike bekövetkezik:

A terméket az 1 -es gépen gyártják;

A terméket a 2 -es gépen gyártják;

A terméket a 3 -as gépen gyártják;

Írjuk fel a feltételes valószínűségeket:

Teljes valószínűségi képlet

Ha egy esemény csak akkor fordulhat elő, amikor az inkompatibilis események teljes csoportját képező események egyike bekövetkezik, akkor az esemény valószínűségét a képlet számítja ki

A teljes valószínűség képletét használva megtaláljuk egy esemény valószínűségét:

Bayes formula

A Bayes -képlet lehetővé teszi az ok és okozat átrendezését: egy esemény ismert tényével számítsa ki annak valószínűségét, hogy egy adott ok okozta.

Annak valószínűsége, hogy hibás terméket gyártottak gépen 1:

Annak valószínűsége, hogy hibás terméket gyártottak gépen 2:

Annak valószínűsége, hogy hibás terméket gyártottak gépen 3:

Probléma 2

A csoport 1 kiváló tanulóból, 5 nagy teljesítményű és 14 közepes tanulóból áll. Egy kiváló tanuló egyenlő valószínűséggel válaszol az 5 -re és a 4 -re, a jó tanuló 5, 4 és 3 -ra egyenlő valószínűséggel, a közepes tanuló pedig a 4,3 -ra és 2 -re egyenlő valószínűséggel. Egy véletlenszerűen kiválasztott tanuló válaszolt 4. Mennyi annak a valószínűsége, hogy egy középszerű diákot hívtak ki?

Megoldás a 2. problémára

Hipotézisek és feltételes valószínűségek

A következő hipotézisek lehetségesek:

Egy kiváló tanuló válaszolt;

A jó ember válaszolt;

- válaszolta egy középszerű diák;

Hagyja, hogy a hallgatói esemény 4.

Feltételes valószínűségek:

Válasz:

Átlagos megoldás költsége próba munka 700 - 1200 rubel (de legalább 300 rubel a teljes megrendelésre). Az árat erősen befolyásolja a döntés sürgőssége (egy napról több órára). A vizsga / teszt online segítségének költsége 1000 rubeltől kezdődik. a jegy megoldásáért.

Az alkalmazást közvetlenül a csevegésben hagyhatja el, miután korábban elvetette a feladatok állapotát, és tájékoztatta Önt a szükséges megoldás feltételeiről. A válaszidő néhány perc.

Bayes tételét külön cikkben mutatjuk be részletesen. Ez egy csodálatos munka, de 15.000 szót tartalmaz. A Kalid Azad cikkének ugyanebben a fordításában a tétel lényege röviden kifejtésre kerül.

• A kutatási és teszteredmények nem események. Van egy módszer a rák diagnosztizálására, és van egy esemény - egy betegség jelenléte. Az algoritmus ellenőrzi, hogy az üzenet tartalmaz -e spamet, de az eseményt (a spam valóban megérkezett a levélben) külön kell tekinteni a munkájának eredményétől.
• Hibák vannak a teszteredményekben. Kutatási módszereink gyakran azonosítják, hogy mi nem (hamis pozitív), és nem fedik fel, hogy mi (hamis negatív).
• A tesztek segítségével megkapjuk egy bizonyos eredmény valószínűségét. Túl gyakran vizsgáljuk a teszteredményeket önmagukban, és figyelmen kívül hagyjuk a módszer hibáit.
• A hamis pozitív eredmények torzítják a képet. Tegyük fel, hogy valami nagyon ritka jelenséget próbál azonosítani (1 000 000 esetből 1). Még ha a módszer pontos is, valószínű, hogy a pozitív eredmény valójában hamis pozitív lesz.
• Kényelmesebb természetes számokkal dolgozni. Jobb, ha 10000 -ból 100 -at mondunk, nem 1%-ot. Ezzel a megközelítéssel kevesebb hiba lesz, különösen szorzáskor. Tegyük fel, hogy tovább kell dolgoznunk ezzel az 1%-kal. A százalékos érvelés ügyetlen: "Az esetek 80% -ában 1% -ból pozitív eredmény született." Sokkal könnyebb információ a következőképpen érzékelhető: "100 -ból 80 esetben pozitív eredményt észleltek."
• Még a tudományban is minden tény csak valamilyen módszer alkalmazásának eredménye. Filozófiai szempontból a tudományos kísérlet csak egy próba, valószínű hibával. Van egy módszer, amely kimutat egy vegyi anyagot vagy valamilyen jelenséget, és ott van maga az esemény - ennek a jelenségnek a jelenléte. Vizsgálati módszereink hamis eredményeket adhatnak, és minden berendezésnek van egy eredendő hibája.

Bayes tétele a teszteredményeket események valószínűségévé alakítja.

• Ha ismerjük egy esemény valószínűségét, valamint a hamis pozitív és hamis negatív eredmények valószínűségét, kijavíthatjuk a mérési hibákat.
• A tétel összefüggésbe hozza egy esemény valószínűségét egy bizonyos eredmény valószínűségével. Összehasonlíthatjuk Pr (A | X): az A esemény valószínűsége, ha X kimenetelt adunk, és Pr (X | A): az X kimenetel valószínűsége, ha A esemény adódik.

Értsük meg a módszert

Az esszé elején hivatkozott cikk az emlőrákot kimutató diagnosztikai módszert (mammográfiát) tárgyalja. Vizsgáljuk meg ezt a módszert részletesen.

• Az összes nő 1% -ának van mellrákja (és ennek megfelelően 99% -a nem)
• A mammográfiák 80% -a akkor észleli a betegséget, amikor valóban az (és ennek megfelelően 20% -a nem észleli)
• A vizsgálatok 9,6% -a észleli a rákot, ha nincs (és ennek megfelelően 90,4% -uk helyesen határozza meg a negatív eredményt)

Most készítsük el a következő táblázatot:

Hogyan kell dolgozni ezekkel az adatokkal?

• A nők 1% -a szenved emlőrákban
• ha a betegnek betegsége van, akkor az első oszlopot nézzük: 80% az esélye annak, hogy a módszer a helyes eredményt adta, és 20% az esélye annak, hogy a vizsgálati eredmény helytelen (hamis negatív)
• ha a betegnél nem diagnosztizáltak betegséget, nézze meg a második oszlopot. 9,6% valószínűséggel azt mondhatjuk, hogy a pozitív teszteredmény helytelen, és 90,4% valószínűséggel azt mondhatjuk, hogy a beteg valóban egészséges.

Mennyire pontos a módszer?

Most nézzük a pozitív teszteredményt. Mennyi annak a valószínűsége, hogy az illető valóban beteg: 80%, 90%, 1%?

Gondolkozzunk:

• Van egy pozitív eredmény. Elemezzük az összes lehetséges eredményt: a kapott eredmény lehet igaz pozitív vagy hamis pozitív.
• A valódi pozitív eredmény valószínűsége: a megbetegedés valószínűsége szorozza meg annak valószínűségét, hogy a vizsgálat ténylegesen feltárta a betegséget. 1% * 80% = .008
• A hamis pozitív valószínűsége egyenlő: annak valószínűsége, hogy nincs betegség, megszorozva annak valószínűségével, hogy a módszer helytelenül észlelte a betegséget. 99% * 9,6% = .09504

A táblázat most így néz ki:

Mi a valószínűsége annak, hogy valaki valóban beteg, ha pozitív mammográfiát kapnak? Az esemény valószínűsége az esemény lehetséges kimenetelének és az összes lehetséges eredménynek az aránya.

Esemény valószínűsége = esemény kimenetele / minden lehetséges kimenetel

Az igazi pozitív valószínűsége 0,008. A pozitív eredmény valószínűsége az igazi pozitív eredmény valószínűsége + a hamis pozitív valószínűsége.

(.008 + 0.09504 = .10304)

Tehát a pozitív teszteredménnyel járó betegség valószínűségét a következőképpen számítják ki: .008 / .10304 = 0.0776. Ez az érték körülbelül 7,8%.

Vagyis a pozitív mammográfiás eredmény csak azt jelenti, hogy a betegség valószínűsége 7,8%, és nem 80% (ez utóbbi érték csak a módszer feltételezett pontossága). Ez az eredmény elsőre érthetetlennek és furcsának tűnik, de figyelembe kell venni: a módszer hamis pozitív eredményt ad az esetek 9,6% -ában (ami elég sok), így sok hamis pozitív eredmény lesz a mintában. Ritka betegség esetén a legtöbb pozitív hamis pozitív lesz.

Menjünk át az asztalon szemünkkel, és próbáljuk meg intuitíven felfogni a tétel jelentését. Ha 100 emberünk van, közülük csak az egyik beteg (1%). Ennek a személynek 80% -os valószínűséggel a módszer pozitív eredményt ad. A fennmaradó 99% -ból 10% -nak lesz pozitív eredménye, ami nagyjából 10 hamis pozitív eredményt ad a 100 -ból. Ha az összes pozitívumot figyelembe vesszük, akkor csak 1 -ből lesz igaz. Így ha pozitív eredményt kapunk, a betegség valószínűsége 1/11.

Fentebb kiszámoltuk, hogy ez a valószínűség 7,8%, azaz a szám valójában közelebb van az 1/13 -hoz, de itt, egyszerű érvelés segítségével, számítás nélküli durva becslést sikerült találnunk.

Bayes tétele

Most írja le gondolatmenetünket a Bayes -tétel nevű képlettel. Ez a tétel lehetővé teszi a kutatási eredmények kijavítását a hamis pozitív eredmények által okozott torzításnak megfelelően:

• Pr (A | X) = a betegség valószínűsége (A) pozitív eredménnyel (X). Pontosan ezt akarjuk megtudni: mi a valószínűsége egy eseménynek pozitív kimenetel esetén. Példánkban ez 7,8%.
• Pr (X | A) = a pozitív eredmény valószínűsége (X) abban az esetben, ha a beteg valóban beteg (A). Esetünkben ez az igazi pozitív értéke - 80%
• Pr (A) = megbetegedés valószínűsége (1%)
• Pr (nem A) = annak valószínűsége, hogy nem lesz beteg (99%)
• Pr (X | nem A) = pozitív vizsgálat valószínűsége, ha nincs betegség. Ez a hamis pozitív számok száma - 9,6%.

Azt a következtetést vonhatjuk le, hogy egy esemény valószínűségének kiszámításához el kell osztani a valódi pozitív eredmény valószínűségét az összes pozitív kimenetel valószínűségével. Most egyszerűsíthetjük az egyenletet:
Pr (X) egy normalizálási állandó. Ő szolgált minket jó szolgáltatás: Enélkül a pozitív teszt eredmény 80% esélyt adna egy eseményre.
Pr (X) bármely pozitív eredmény valószínűsége, függetlenül attól, hogy valódi pozitív lesz -e egy betegvizsgálatban (1%) vagy hamis pozitív egy vizsgálatban egészséges emberek (99%).

Példánkban Pr (X) meglehetősen nagy szám, mert nagy a valószínűsége a hamis pozitívnak.

Pr (X) 7,8%-os eredményt produkál, ami első pillantásra ellentmond a józan észnek.

A tétel jelentése

Vizsgálatokat végzünk a dolgok valódi állapotának kiderítésére. Ha tesztjeink tökéletesek és pontosak, akkor a tesztelés valószínűsége és az események valószínűsége egybeesik. Minden pozitív eredmény valóban pozitív lesz, a negatív pedig negatív. De a való világban élünk. És a mi világunkban a tesztek rossz eredményeket adnak. Bayes tétele figyelembe veszi a torz eredményeket, kijavítja a hibákat, rekonstruálja a sokaságot, és megtalálja a valódi pozitív eredmény valószínűségét.

Spamszűrő

Bayes tételét sikeresen alkalmazták a spamszűrőkre.

Nekünk van:

• esemény A - spam e -mailben
• teszt eredménye - egyes szavak betűtartalma:

A szűrő figyelembe veszi a teszt eredményeit (az üzenet egyes szavainak tartalma), és megjósolja, hogy az üzenet tartalmaz -e spamet. Mindenki megérti, hogy például a "Viagra" szó gyakoribb a spamekben, mint a szokásos e -mailekben.

A feketelistás spamszűrő hátránya, hogy gyakran hamis pozitív eredményeket generál.

A Bayes -tétel spamszűrője kiegyensúlyozott és ésszerű megközelítést alkalmaz: valószínűségekkel működik. Amikor elemezzük az e -mailben szereplő szavakat, kiszámíthatjuk annak valószínűségét, hogy az e -mail spam, és nem igen / nem döntést hoz. Ha annak valószínűsége, hogy a levél spamet tartalmaz, 99%, akkor a levél valóban az.

Idővel a szűrő egyre nagyobb mintán dolgozik, és frissíti a valószínűségeket. Például a Bayes tételén alapuló speciális szűrők több szót ellenőriznek egymás után, és adatként használják.

További források:

Címkék: Címkék hozzáadása

Bayes formula:

A H i hipotézisek P (H i) valószínűségeit a priori valószínűségeknek nevezzük - a kísérletek előtti valószínűségeket.
A P (A / H i) valószínűségeket utólagos valószínűségeknek nevezzük - a H i hipotézisek valószínűségeit, amelyeket a kísérlet eredményeként finomítottak.

1. példa. A készülék kiváló minőségű és normál minőségű alkatrészekből állítható össze. Az eszközök körülbelül 40% -a kiváló minőségű alkatrészekből áll össze. Ha a készüléket kiváló minőségű alkatrészekből állítják össze, akkor megbízhatósága (a hibamentes működés valószínűsége) a t időre 0,95; ha rendes minőségű alkatrészekből, akkor a megbízhatósága 0,7. A készüléket t időtartamra tesztelték, és hibátlanul működött. Keresse meg annak valószínűségét, hogy kiváló minőségű alkatrészekből áll össze.
Megoldás. Két hipotézis lehetséges: H 1 - a készülék kiváló minőségű alkatrészekből áll össze; H 2 - a készülék normál minőségű alkatrészekből áll össze. Ezen hipotézisek valószínűségei a kísérlet előtt: P (H 1) = 0,4, P (H 2) = 0,6. A kísérlet eredményeként az A eseményt figyelték meg - a készülék hibátlanul működött a t idő alatt. Ennek az eseménynek a feltételes valószínűségei a H 1 és H 2 hipotézisek szerint egyenlők: P (A | H 1) = 0,95; P (A | H 2) = 0,7. A (12) képlet segítségével megtaláljuk a H 1 hipotézis valószínűségét a kísérlet után:

2. példa. Két lövész egymástól függetlenül lő egy célpontra, mindegyik egy lövést. Az első lövő célpontjának ütésének valószínűsége 0,8, a másodiké 0,4. A lövés után egy lyukat találtak a célpontban. Feltételezve, hogy két lövész nem találja el ugyanazt a pontot, keresse meg annak valószínűségét, hogy az első lövő eltalálja a célt.
Megoldás. Hagyja, hogy az A esemény - egy lyuk található a célpontban lövés után. A forgatás megkezdése előtt hipotézisek lehetségesek:
H 1 - sem az első, sem a második lövő nem találja el, e hipotézis valószínűsége: P (H 1) = 0,2 · 0,6 = 0,12.
H 2 - mindkét nyíl eltalálja, P (H 2) = 0,8 · 0,4 = 0,32.
H 3 - az első lövő eltalálja, a második pedig nem, P (H 3) = 0,8 · 0,6 = 0,48.
H 4 - az első lövő nem találja el, a második pedig, P (H 4) = 0,2 · 0,4 = 0,08.
Az A esemény feltételes valószínűségei ezekben a hipotézisekben a következők:

A kísérlet után a H 1 és H 2 hipotézis lehetetlenné válik, a H 3 és H 4 hipotézisek valószínűsége
egyenlő lesz:

Tehát a legvalószínűbb, hogy a célpontot az első lövő találta el.

3. példa. Az összeszerelő műhelyben elektromos motor van csatlakoztatva a készülékhez. Az elektromos motorokat három gyártó szállítja. A raktárban a fent említett gyárak villanymotorjai vannak, 19,6, illetve 11 darab mennyiségben, amelyek a jótállási időszak végéig meghibásodás nélkül működhetnek, 0,85, 0,76 és 0,71 valószínűséggel. A munkavállaló véletlenszerűen vesz egy motort, és rögzíti a készülékhez. Keresse meg annak valószínűségét, hogy a jótállási időszak végéig üzembe helyezett és hibátlanul működő motort az első, a második vagy a harmadik gyártó szállította.
Megoldás. Az első teszt az elektromos motor kiválasztása, a második az elektromos motor működése a jótállási időszak alatt. Vegye figyelembe a következő eseményeket:
A - az elektromos motor hibátlanul működik a jótállási időszak végéig;
H 1 - a szerelő elveszi a motort az első üzem gyártásából;
H 2 - a szerelő elveszi a motort a második üzem termeléséből;
H 3 - a szerelő elveszi a motort a harmadik üzem termeléséből.
Az A esemény valószínűségét a teljes valószínűség képletével számítják ki:

A feltételes valószínűségeket a problémajelentés tartalmazza:

Keresse meg a valószínűségeket

Bayes formulái (12) segítségével kiszámítjuk a H i hipotézisek feltételes valószínűségét:

4. példa. Annak a valószínűsége, hogy a három elemből álló rendszer működése során az 1, 2 és 3 számmal rendelkező elemek meghibásodnak, 3: 2: 5 -nek felelnek meg. 5. Ezen elemek meghibásodásának észlelési valószínűsége 0,95; 0,9 és 0,6.

b) Ennek a feladatnak a feltételei között a rendszer működése során hibát észleltek. Melyik elem a legvalószínűbb meghibásodása?

Megoldás.
Legyen A sikertelen esemény. Bemutatjuk a H1 hipotézisrendszert - az első elem meghibásodása, H2 - a második elem meghibásodása, H3 - a harmadik elem meghibásodása.
Megtaláljuk a hipotézisek valószínűségét:
P (H1) = 3 / (3 + 2 + 5) = 0,3
P (H2) = 2 / (3 + 2 + 5) = 0,2
P (H3) = 5 / (3 + 2 + 5) = 0,5

A probléma feltétele szerint az A esemény feltételes valószínűsége egyenlő:
P (A | H1) = 0,95, P (A | H2) = 0,9, P (A | H3) = 0,6

a) Keresse meg a hiba észlelésének valószínűségét a rendszerben.
P (A) = P (H1) * P (A | H1) + P (H2) * P (A | H2) + P (H3) * P (A | H3) = 0,3 * 0,95 + 0,2 * 0,9 + 0,5 * 0,6 = 0,765

b) Ennek a feladatnak a feltételei között a rendszer működése során hibát észleltek. Melyik elem a legvalószínűbb meghibásodása?
P1 = P (H1) * P (A | H1) / P (A) = 0,3 * 0,95 / 0,765 = 0,373
P2 = P (H2) * P (A | H2) / P (A) = 0,2 * 0,9 / 0,765 = 0,235
P3 = P (H3) * P (A | H3) / P (A) = 0,5 * 0,6 / 0,765 = 0,392

A harmadik elem a legnagyobb valószínűséggel rendelkezik.

Kezdjük egy példával. Az urnában előtted egyenlő valószínűséggel lehet (1) két fehér golyó, (2) egy fehér és egy fekete, (3) két fekete. Húzza a labdát, és fehér lesz. Hogyan értékeli most valószínűség ez a három lehetőség (hipotézis)? Nyilvánvaló, hogy a (3) hipotézis valószínűsége két fekete golyóval = 0. De hogyan kell kiszámítani a fennmaradó két hipotézis valószínűségét!? Ez lehetővé teszi a Bayes -képlet elkészítését, amely esetünkben a következő formátumú (a képlet száma megfelel a tesztelt hipotézis számának):

Töltse le a jegyzetet a vagy a formátumban

NS- egy véletlen változó (hipotézis), amely értékeket vesz fel: x 1- két fehér, x 2- egy fehér, egy fekete; x 3- két fekete; nál nél- egy véletlen változó (esemény), amely értékeket vesz fel: 1 -nél- kihúzzák a fehér golyót és 2 -kor- előhúzott egy fekete golyót; P (x 1) Az első hipotézis valószínűsége a labda kihúzása előtt ( eleve valószínűség vagy valószínűség előtt tapasztalat) = 1/3; P (x 2)- a második hipotézis valószínűsége a labda kihúzása előtt = 1/3; P (x 3)- a harmadik hipotézis valószínűsége a labda kihúzása előtt = 1/3; P (y 1|x 1)- feltételes valószínűsége fehér golyó kihúzásának, ha az első hipotézis igaz (fehér golyók) = 1; P (y 1|x 2) – a fehér golyó kihúzásának valószínűsége, ha a második hipotézis igaz (az egyik golyó fehér, a másik fekete) = ½; P (y 1|x 3) – a fehér golyó kihúzásának valószínűsége, ha a harmadik hipotézis igaz (mindkét fekete) = 0; P (y 1)- a fehér golyó kihúzásának valószínűsége = ½; P (y 2)- a fekete golyó kihúzásának valószínűsége = ½; és végül, amit keresünk - P (x 1|y 1) – annak valószínűsége, hogy az első hipotézis igaz (mindkettő fehér golyó), feltéve, hogy kihúztunk egy fehér golyót ( utólag valószínűség vagy valószínűség utána tapasztalat); P (x 2|y 1) – annak valószínűsége, hogy a második hipotézis igaz (az egyik golyó fehér, a másik fekete), feltéve, hogy fehér golyót húztunk ki.

Annak valószínűsége, hogy az első hipotézis igaz (két fehér), feltéve, hogy fehér golyót húztunk ki:

Annak valószínűsége, hogy a második hipotézis igaz (az egyik fehér, a másik fekete), feltéve, hogy fehér golyót húztunk ki:

Annak valószínűsége, hogy a harmadik hipotézis igaz (két fekete), feltéve, hogy fehér golyót húztunk ki:

Mire képes Bayes formulája? Lehetővé teszi a hipotézisek korábbi valószínűségei alapján - P (x 1), P (x 2), P (x 3)- és az események bekövetkezésének valószínűsége - P (y 1), P (y 2)- kiszámítja a hipotézisek utólagos valószínűségeit, például az első hipotézis valószínűségét, feltéve, hogy fehér golyót húznak - P (x 1|y 1).

Térjünk vissza még egyszer az (1) képlethez. Az első hipotézis kezdeti valószínűsége az volt P (x 1) = 1/3. Valószínűséggel P (y 1) = 1/2 kihúzhatnánk a fehér golyót, és a valószínűséggel P (y 2) = 1/2- fekete. Kivettük a fehéret. A fehér kihúzásának valószínűsége, feltéve, hogy az első hipotézis igaz P (y 1|x 1) = 1. Bayes formulája azt mondja, hogy mióta kihúztuk a fehéret, az első hipotézis valószínűsége 2/3 -ra nőtt, a második hipotézis valószínűsége továbbra is 1/3, a harmadik hipotézis valószínűsége pedig nullára fordult.

Könnyű ellenőrizni, hogy ha kihúznánk a fekete golyót, a hátsó valószínűségek szimmetrikusan változnának: P (x 1|y 2) = 0, P (x 2|y 2) = 1/3, P (x 3|y 2) = 2/3.

Íme, amit Pierre Simon Laplace írt Bayes képletéről egy 1814 -ben megjelent művében:

Ez az alapelve a véletlen elemzésnek, amely az eseményekről az okokra való áttérésre vonatkozik.

Miért olyan nehéz megérteni Bayes képletét?! Véleményem szerint, mert a szokásos megközelítésünk okról okra való okfejtés. Például, ha 36 golyó van az urnában, ebből 6 fekete, a többi fehér. Mennyi a valószínűsége annak, hogy kihúzzuk a fehér golyót? A Bayes -képlet lehetővé teszi, hogy az eseményekről az okokra (hipotézisekre) lépjünk. Ha három hipotézisünk volt, és történt egy esemény, akkor ez az esemény (és nem egy alternatív) pontosan hogyan befolyásolta a hipotézisek kezdeti valószínűségeit? Hogyan változtak ezek a valószínűségek?

Úgy vélem, Bayes formulája nem csak a valószínűségekről szól. Megváltoztatja az észlelés paradigmáját. Mi a gondolatmenet a determinisztikus paradigma használatakor? Ha esemény történik, mi az oka? Ha baleset, vészhelyzet, katonai konfliktus történt. Ki vagy mi volt a hibájuk? Mit gondol egy bayesi megfigyelő? Mi a valóság felépítése, amely oda vezetett adott esetben ilyen és olyan megnyilvánulásra ... a Bayes -i megérti, hogy in másképp az eredmény más is lehetett volna ...

Helyezzük a szimbólumokat az (1) és (2) képletbe egy kicsit másképpen:

Beszéljük meg újra, amit látunk. A három hipotézis egyike ugyanolyan kezdeti (előzetes) valószínűséggel igaz lehet. Hasonló valószínűséggel húzhattunk volna fehér vagy fekete golyót. Kivettük a fehéret. Ezen új információk fényében felül kell vizsgálni a hipotézisek értékelését. A Bayes képlet lehetővé teszi számszerűsítést. Az első hipotézis (7. képlet) előzetes valószínűsége az volt P (x 1), fehér golyót húzott elő, az első hipotézis utólagos valószínűsége lett P (x 1|1 -nél). Ezek a valószínűségek faktoronként különböznek.

Esemény 1 -nél bizonyítéknak nevezik, kisebb -nagyobb mértékben, megerősítve vagy cáfolva a hipotézist x 1... Ezt az arányt néha a tanúsítvány teljesítményének is nevezik. Minél erősebb a bizonyíték (minél jobban eltér az együttható az egytől), annál nagyobb a megfigyelés ténye 1 -nél ha a korábbi valószínűség megváltozik, annál jobban különbözik a hátsó valószínűség az előzőtől. Ha a bizonyíték gyenge (együttható ~ 1), a hátsó valószínűség majdnem megegyezik az előzővel.

Bizonyítvány 1 -nél ban ben = 2 az idők megváltoztatták a hipotézis korábbi valószínűségét x 1(4. képlet). Ugyanakkor a tanúságtétel 1 -nél nem változtatta meg a hipotézis valószínűségét x 2 ereje óta = 1 (5. képlet).

Általában a Bayes képlet így néz ki:

NS- egy véletlen változó (egymást kizáró hipotézisek halmaza), amelyek értékeket vesznek fel: x 1, x 2, … , NSn. nál nél- egy véletlenszerű változó (egymást kizáró események halmaza), amelyek értékei: 1 -nél, 2 -kor, … , nál néln. Bayes formulája lehetővé teszi a hipotézis utólagos valószínűségének megtalálását NSén amikor esemény történik y j... A számláló a hipotézis korábbi valószínűségének szorzata NSén – P (xén) esemény valószínűségére y j ha a hipotézis igaz NSén – R (y j| xén). A nevező ugyanazon szorzatok összege, mint a számlálóban, de minden hipotézis esetében. Ha kiszámoljuk a nevezőt, akkor megkapjuk az esemény teljes valószínűségét nál nélj(ha a hipotézisek bármelyike ​​igaz) - R (y j) (mint az 1-3. képletben).

Még egyszer a bizonyságtételről. Esemény y j további információkat nyújt, amelyek lehetővé teszik számunkra, hogy felülvizsgáljuk a hipotézis korábbi valószínűségét NSén... A tanúsítvány ereje - tartalmazza a számlálóban az esemény valószínűségét y j ha a hipotézis igaz NSén... A nevező az esemény bekövetkezésének teljes valószínűsége nál nélj(vagy az esemény bekövetkezésének valószínűsége nál nélj minden hipotézis átlagában). nál nélj a fenti hipotézishez xén mint az összes hipotézis átlaga, akkor a bizonyítékok a hipotézis kezébe kerülnek xén növelve annak utólagos valószínűségét R (y j| xén). Ha egy esemény bekövetkezésének valószínűsége nál nélj hipotézishez alább xén mint az összes hipotézis átlaga, akkor a bizonyíték csökkenti a utólagos valószínűséget R (y j| xén) számára hipotézisek xén. Ha egy esemény bekövetkezésének valószínűsége nál nélj hipotézisre xén megegyezik az összes hipotézis átlagával, akkor a bizonyítékok nem változtatják meg a utólagos valószínűséget R (y j| xén) számára hipotézisek xén.

Íme néhány példa, amelyek remélem megerősítik Bayes képletének megértését.

2. feladat. Két lövész egymástól függetlenül lő ugyanarra a célpontra, mindegyik egy lövést hajt végre. Az első lövő célpontjának ütésének valószínűsége 0,8, a másodiké 0,4. A lövés után egy lyukat találtak a célpontban. Keresse meg annak a valószínűségét, hogy ez a lyuk az első lövőé. ...

3. feladat. A felügyelt objektum két állapot egyikében lehet: H 1 = (működő) és H 2 = (nem működik). Ezen állapotok korábbi valószínűségei P (H 1) = 0,7, P (H 2) = 0,3. Két olyan információforrás létezik, amelyek ellentmondó információkat szolgáltatnak az objektum állapotáról; az első forrás arról számol be, hogy az objektum nem működik, a második, hogy működik. Ismeretes, hogy az első forrás 0,9 valószínűséggel és 0,1 valószínűséggel ad pontos információt. A második forrás kevésbé megbízható: 0,7 valószínűséggel, 0,3 valószínűséggel ad pontos információt. Keresse meg a hipotézisek utólagos valószínűségeit. ...

Az 1–3. Feladatokat ES Ventzel, LA Ovcharov tankönyvéből vették át. Valószínűség -elmélet és műszaki alkalmazásai, 2.6. Szakasz Hipotézis -tétel (Bayes -formula).

A 4. feladat a könyv 4.3. Bayes -tételéből származik.