Milyen feltételek mellett alkalmazzák a teljes valószínűségi képletet. A Bayes-tétel egyszerű magyarázata
Legyenek ismertek a valószínűségeik és a hozzájuk tartozó feltételes valószínűségek. Ekkor az esemény bekövetkezésének valószínűsége egyenlő:
Ezt a képletet ún képletek teljes valószínűséggel
... A tankönyvekben egy tétellel fogalmazzák meg, melynek bizonyítása elemi: szerint események algebra, (az esemény megtörtént és vagy esemény történt és után jött az esemény vagy esemény történt és után jött az esemény vagy …. vagy esemény történt és után jött az esemény)... Hipotézisek óta 
nem kompatibilis, és az esemény függő, akkor a összeadási tétel az inkonzisztens események valószínűségére (első lépés)és szorzási tétel a függő események valószínűségére (második lépés):
Valószínűleg sokan sejtik az első példa tartalmát =)
Bárhová köpsz - mindenhol egy urna:
1. probléma
Három egyforma urna van. Az első urnában 4 fehér és 7 fekete golyó van, a másodikban csak fehér, a harmadikban pedig csak fekete golyó. Véletlenszerűen kiválasztanak egy urnát, és véletlenszerűen húznak belőle egy labdát. Mennyi a valószínűsége, hogy ez a golyó fekete?
Megoldás: fontolja meg az eseményt - egy véletlenszerűen kiválasztott urnából egy fekete golyót húznak ki. Ez az esemény az alábbi hipotézisek valamelyikének megvalósítása eredményeként következhet be:
- 1. urna kerül kiválasztásra;
- a 2. urna kerül kiválasztásra;
- a 3. urna kerül kiválasztásra.
Mivel az urnát véletlenszerűen választják ki, a három urna bármelyike választható ugyanúgy lehetséges, ennélfogva: 
Felhívjuk figyelmét, hogy a felsorolt hipotézisek formálódnak teljes eseménycsoport, azaz feltétel szerint fekete golyó csak ezekből az urnákból jelenhet meg, és pl. biliárdasztal... Végezzünk egy egyszerű köztes ellenőrzést: 
, OK, menjünk tovább:
Az első urnában 4 fehér + 7 fekete = 11 golyó van, mindegyik klasszikus meghatározás:
- a fekete golyó kihúzásának valószínűsége azzal a feltétellel hogy az 1. urna lesz kiválasztva.
A második urnában csak fehér golyók vannak, szóval ha választják a fekete golyó megjelenése válik lehetetlen: .
És végül, a harmadik urnában csak fekete golyók vannak, ami azt jelenti, hogy a megfelelő feltételes valószínűség a fekete golyó kivonása lesz (az esemény érvényes).
- annak a valószínűsége, hogy egy fekete golyót eltávolítanak egy véletlenszerűen kiválasztott urnából.
Válasz:
Az elemzett példa ismét azt sugallja, hogy mennyire fontos az ÁLLAPOTBA KÉRJÜK. Vegyük ugyanazokat a problémákat urnákkal és labdákkal - külső hasonlóságukkal a megoldási módok teljesen eltérőek lehetnek: valahol csak alkalmazni kell a valószínűség klasszikus meghatározása, valahol események független, valahol függő, de valahol hipotézisekről beszélünk. Ugyanakkor a megoldási út kiválasztásának nincs egyértelmű formai kritériuma - szinte mindig el kell gondolkodni rajta. Hogyan javíthatja a képesítését? Döntünk, döntünk és még egyszer döntünk!
2. feladat
A lőtéren 5 különböző pontosságú puska található. Egy adott lövő célba találásának valószínűsége rendre 0,5; 0,55; 0,7; 0,75 és 0,4. Mennyi annak a valószínűsége, hogy célt talál, ha a lövő egy véletlenszerűen kiválasztott puskával ad le egy lövést?
Rövid megoldás és válasz az oktatóanyag végén.
A legtöbb aktuális probléma esetében a hipotézisek természetesen nem egyformán valószínűek:
3. probléma
A piramisban 5 puska található, amelyek közül három teleszkópos irányzékkal van felszerelve. Annak a valószínűsége, hogy a lövő eltalálja a célt egy távcsöves irányzékkal ellátott puskából 0,95; teleszkópos irányzék nélküli puskánál ez a valószínűség 0,7. Határozza meg annak valószínűségét, hogy a célpontot eltalálják, ha a lövő egy véletlenszerűen vett puskából ad le egy lövést.
Megoldás: ebben a feladatban a puskák száma pontosan ugyanannyi, mint az előzőben, de csak két hipotézis létezik:
- a lövő teleszkópos irányzékkal ellátott puskát választ;
- a lövő teleszkópos irányzék nélküli puskát választ.
Által a valószínűség klasszikus meghatározása: 
.
Ellenőrzés:
Tekintsük az eseményt: - A lövő eltalálja a célt egy véletlenszerűen vett puskával.
Feltétel szerint:.
A teljes valószínűség képlete szerint:
Válasz: 0,85
A gyakorlatban teljesen elfogadható a feladat formalizálásának rövidített módja, amelyet Ön is ismer:
Megoldás: a klasszikus definíció szerint: 
- az optikai irányzékkal ellátott és anélküli puska kiválasztásának valószínűsége, ill.
Feltétel szerint, 
- a megfelelő típusú puskák célba találásának valószínűsége.
A teljes valószínűség képlete szerint:
- annak a valószínűsége, hogy a lövő egy véletlenszerűen kiválasztott puskából célba talál.
Válasz: 0,85
A következő feladat a önálló döntés:
4. probléma
A motor három üzemmódban működik: normál, kényszerített és alapjáraton. Üres üzemmódban a meghibásodás valószínűsége 0,05, normál üzemmódban - 0,1, kényszerített üzemmódban - 0,7. A motor az esetek 70%-ában normál üzemmódban, 20%-ában kényszer üzemmódban működik. Mennyi a valószínűsége a motor meghibásodásának működés közben?
Minden esetre hadd emlékeztesselek – a valószínűségek értékének kiszámításához a százalékokat el kell osztani 100-zal. Legyen nagyon óvatos! Megfigyeléseim szerint a teljes valószínűség képletéhez gyakran próbálják összekeverni a feladatfeltételeket; és kifejezetten kiválasztottam egy ilyen példát. Elárulok egy titkot - majdnem összezavarodtam =)
Megoldás a lecke végén (rövid keretben)
Bayesi képlet problémák
Az anyag szorosan kapcsolódik az előző bekezdés tartalmához. Hagyja, hogy az esemény valamelyik hipotézis megvalósításának eredményeként következzen be 
... Hogyan határozható meg annak a valószínűsége, hogy ez vagy az a hipotézis megvalósult?
Azzal a feltétellel azt az eseményt már megtörtént, hipotézisek valószínűsége túlértékelt a képletek szerint, amelyek megkapták Thomas Bayes angol pap vezetéknevét:
- a hipotézis megvalósulásának valószínűsége; 
- a hipotézis megvalósulásának valószínűsége;
…
- annak a valószínűsége, hogy a hipotézis megvalósult.
Első pillantásra teljes abszurdumnak tűnik - miért kell újraszámolni a hipotézisek valószínűségét, ha már ismertek? De valójában van különbség:
- ez eleve(becsült előtt tesztek) valószínűségek.
- ez a posteriori(becsült után tesztek) ugyanazon hipotézisek valószínűsége, az „újonnan felfedezett körülmények” kapcsán újraszámítva – figyelembe véve azt a tényt, hogy az esemény hitelesen történt.
Vegye figyelembe ezt a különbséget konkrét példa:
5. probléma
A raktárba 2 tétel érkezett: az első 4000 darab, a második 6000 darab. A nem szabványos cikkek átlagos százaléka az első tételben 20%, a másodikban pedig 10%. A raktárból véletlenszerűen kiszedett termék szabványosnak bizonyult. Határozza meg annak valószínűségét, hogy: a) az első kötegből, b) a második kötegből származik.
Első rész megoldásokat a teljes valószínűség képletének használatából áll. Más szóval, a számításokat azzal a feltételezéssel végezzük, hogy a teszt még nem gyártottákés esemény "A termék szabványosnak bizonyult" amíg meg nem jött.
Tekintsünk két hipotézist:
- a véletlenszerűen vett termék az 1. tételből lesz;
- a véletlenszerűen vett termék a 2. tételből lesz.
Összesen: 4000 + 6000 = 10000 darab raktáron. A klasszikus definíció szerint:
.
Ellenőrzés:
Tekintsünk egy függő eseményt: - egy raktárból vett véletlenszerű cikk akarat alapértelmezett.
Az első tételben a standard termékek 100% - 20% = 80% -a, ezért: 
azzal a feltétellel hogy az 1. félhez tartozik.
Hasonlóképpen a második tételben 100% - 10% = 90% a standard termékek és 
- annak a valószínűsége, hogy a raktárból véletlenszerűen kivett termék szabványos lesz azzal a feltétellel hogy a 2. félhez tartozik.
A teljes valószínűség képlete szerint:
- annak a valószínűsége, hogy a raktárból véletlenszerűen kivett termék szabványos lesz.
Második rész. Hagyja, hogy a raktárból véletlenszerűen kivett termék szabványos legyen. Ez a kifejezés közvetlenül a feltételben van megfogalmazva, és kimondja azt a tényt, hogy az esemény történt.
Bayes képlete szerint:
a) annak a valószínűsége, hogy a kiválasztott standard termék az 1. tételhez tartozik;
b) - annak a valószínűsége, hogy a kiválasztott standard termék a 2. tételhez tartozik.
Után átértékelés hipotézisek természetesen továbbra is formálódnak teljes csoport:
(vizsgálat;-))
Válasz: 
Ivan Vasziljevics segít megérteni a hipotézisek újraértékelésének jelentését, aki ismét szakmát váltott, és az üzem igazgatója lett. Tudja, hogy ma az 1. műhely 4000 darabot, a 2. műhely 6000 darabot szállított a raktárba, és ő jön, hogy megbizonyosodjon erről. Tegyük fel, hogy minden termék azonos típusú és egy tartályban van. Iván Vasziljevics előzetesen természetesen kiszámolta, hogy azt a terméket, amelyet most vizsgálat céljából kivon, nagy valószínűséggel az 1. műhely, és nagy valószínűséggel a második is gyártja majd. De miután a kiválasztott elem szabványos, felkiált: „Micsoda menő csavar! - inkább a 2. bolt adta ki." Így a második hipotézis valószínűsége túlbecsült jobb oldala, és az első hipotézis valószínűségét alábecsüljük:. És ez az újraértékelés nem alaptalan - elvégre a 2. műhely nemcsak több terméket gyártott, hanem 2-szer jobban is működik!
Tiszta szubjektivitás, azt mondod? Részben - igen, ráadásul maga Bayes tolmácsolta a posteriori valószínűségek mint bizalmi szint... Azonban nem minden ilyen egyszerű – a bayesi megközelítésben van egy objektív szál. Végül is annak a valószínűsége, hogy a termék szabványos lesz (0,8 és 0,9 az 1. és 2. műhely esetében) ez előzetes(a priori) és átlagos becslések. De filozófiailag minden folyik, minden változik, beleértve a valószínűségeket is. Lehetséges, hogy a kutatás idején sikeresebb 2. műhely növelte a standard termékek arányát (és/vagy az 1. workshop csökkentett), és ha nagyobb mennyiséget vagy mind a 10 ezer raktáron lévő terméket ellenőriz, akkor a túlbecsült értékek sokkal közelebb állnak az igazsághoz.
Mellesleg, ha Ivan Vasziljevics kivonat egy nem szabványos alkatrészt, akkor éppen ellenkezőleg - jobban "gyanítja" az 1. üzletet, és kevésbé - a másodikat. Azt javaslom, hogy erről Ön is győződjön meg:
6. probléma
A raktárba 2 tétel érkezett: az első 4000 darab, a második 6000 darab. A nem szabványos cikkek átlagos százaléka az első tételben 20%, a másodikban - 10%. A raktárból véletlenszerűen kiszedett termékről kiderült nem alapértelmezett. Határozza meg annak valószínűségét, hogy: a) az első kötegből, b) a második kötegből származik.
A feltételt két betű különbözteti meg, amelyeket félkövérrel kiemeltem. A probléma a semmiből megoldható, vagy felhasználhatja a korábbi számítások eredményeit. A mintában költöttem komplett megoldás, hanem hogy ne legyen formai átfedés az 5. feladattal, az eseménnyel "A raktárból véletlenszerűen kivett termék nem szabványos lesz"által jelölve.
A valószínűségek túlbecslésére szolgáló bayesi séma mindenütt jelen van, és különféle csalók is aktívan kihasználják. Gondoljunk csak a köznévvé vált hárombetűs részvénytársaságra, amely vonzza a lakosság betéteit, állítólag befekteti valahova, rendszeresen fizet osztalékot stb. Mi történik? Napról napra, hónapról hónapra, és egyre több új tény, amelyet reklámon és szájhagyományon keresztül közvetítenek, csak növeli a bizalmat pénzügyi piramis (Post hoc Bayes-féle átértékelés a múltbeli események miatt!)... Vagyis a betétesek szemében folyamatosan növekszik annak a valószínűsége "Ez egy komoly iroda"; míg az ellenkező hipotézis valószínűsége az ("Ezek a következő csalók"), természetesen csökken és csökken. A többi szerintem érthető. Figyelemre méltó, hogy a megszerzett hírnév időt ad a szervezőknek, hogy sikeresen elrejtőzzenek Ivan Vasziljevics elől, aki nemcsak csavarok, hanem nadrágok nélkül is maradt.
A nem kevésbé érdekes példákra kicsit később visszatérünk, de egyelőre a sorban következő talán a leggyakoribb eset három hipotézissel:
7. probléma
Az elektromos lámpákat három gyárban gyártják. Az 1. üzem az összes lámpa 30% -át állítja elő, a 2. - 55%, a 3. - a többit. Az 1. üzem termékei 1% hibás lámpát tartalmaznak, a 2. - 1,5%, a 3. - 2%. Az üzlet mindhárom gyár termékeit fogadja. A vásárolt lámpa hibásnak bizonyult. Mennyi a valószínűsége, hogy a 2. üzem termelte?
Jegyezze meg, hogy a Bayes-képletek problémáinál a feltételben szükségszerűen van egy bizonyos mi történt esemény, jelen esetben egy lámpa vásárlása.
A rendezvények száma nőtt, ill megoldás kényelmesebb „gyors” stílusban rendezni.
Az algoritmus pontosan ugyanaz: első lépésben megkeressük annak a valószínűségét, hogy a megvásárolt lámpa egyáltalán majd kiderül hibás.
A kezdeti adatok felhasználásával a százalékokat valószínűségekre fordítjuk:
- annak a valószínűsége, hogy a lámpát az 1., 2. és 3. gyár gyártja.
Ellenőrzés:
Hasonlóképpen: - a hibás lámpa gyártásának valószínűsége az adott gyárak számára.
A teljes valószínűség képlete szerint:
- annak valószínűsége, hogy a vásárolt lámpa hibás lesz.
Második lépés. Tegyük fel, hogy a vásárolt lámpa hibásnak bizonyult (az esemény megtörtént)
Bayes képlete szerint: 
- annak valószínűsége, hogy a megvásárolt hibás lámpát egy második üzem gyártotta
Válasz:
Miért nőtt a 2. hipotézis kezdeti valószínűsége az újraértékelés után? Végül is a második üzem átlagos minőségű lámpákat gyárt (az első jobb, a harmadik rosszabb). Akkor miért nőtt meg a posteriori annak a valószínűsége, hogy a hibás lámpa a 2. gyárból származik? Ez már nem a "hírnévnek" köszönhető, hanem a méretnek. Mivel a 2-es számú üzem termelte a legtöbbet nagyszámú lámpák, akkor őt hibáztatják (legalábbis szubjektíven): "Valószínűleg onnan származik ez a hibás lámpa".
Érdekes megjegyezni, hogy az 1. és 3. hipotézis valószínűségét a várt irányban túlbecsülték, és egyenlővé váltak:
Ellenőrzés: 
, amelyet ellenőrizni kellett.
Egyébként az alul- és túlbecsült becslésekről:
8. probléma
Egy diákcsoportban 3 fő van magas szint képzés, 19 fő - átlagos és 3 - alacsony. Valószínűségek sikeres szállítás ezeknek a hallgatóknak a vizsgái rendre egyenlőek: 0,95; 0,7 és 0,4. Ismeretes, hogy egy diák sikeres vizsgát tett. Mennyi a valószínűsége annak, hogy:
a) nagyon jól felkészült;
b) átlagosnak készült;
c) rosszul volt felkészülve.
Végezzen számításokat és elemezze a hipotézis újraértékelésének eredményeit.
A feladat közel áll a valósághoz, és különösen elfogadható a levelező hallgatók egy csoportja számára, ahol a tanár gyakorlatilag nem ismeri ennek vagy annak a hallgatónak a képességeit. Ebben az esetben az eredmény egészen váratlan következményeket okozhat. (főleg 1. félévi vizsgákhoz)... Ha egy rosszul felkészült diáknak szerencséje van a jegyhez, akkor a tanár valószínűleg jó tanulónak vagy akár erős tanulónak fogja tekinteni, ami a jövőben jó hasznot hoz. (természetesen "emelni kell a lécet" és meg kell őrizni az imázst)... Ha egy diák 7 napon és 7 éjszakán keresztül tanított, zsúfolt, ismételt, de egyszerűen nem volt szerencséje, akkor a további események a lehető legrosszabb módon alakulhatnak - számos ismétléssel és a távozás küszöbén egyensúlyozással.
Mondanunk sem kell, hogy a hírnév a legfontosabb tőke, nem véletlen, hogy sok cég viseli alapító atyái nevét, akik 100-200 évvel ezelőtt vezették a vállalkozást, és kifogástalan hírnevükről váltak híressé.
Igen, a bayesi megközelítés bizonyos mértékig szubjektív, de ... így működik az élet!
Konszolidáljuk az anyagot egy utolsó ipari példával, amelyben az eddig nem találkoztakról fogok beszélni technikai bonyodalmak megoldások:
9. probléma
Az üzem három műhelye azonos típusú alkatrészeket gyárt, amelyeket közös konténerben küldenek összeszerelésre. Ismeretes, hogy az első bolt 2-szer több alkatrészt gyárt, mint a második, és 4-szer többet, mint a harmadik bolt. Az első üzletben a selejt 12%, a másodikban - 8%, a harmadikban - 4%. Az ellenőrzéshez egy részt kivesznek a tartályból. Mennyi annak a valószínűsége, hogy hibás lesz? Mennyi annak a valószínűsége, hogy a visszaszerzett hibás alkatrészt a 3. műhely engedte el?
Taki Ivan Vasziljevics újra lóháton =) Biztosan happy end lesz a film =)
Megoldás: az 5-8. feladattal ellentétben itt kifejezetten felteszik a kérdést, amit a teljes valószínűség képletével oldunk meg. De másrészt a feltétel egy kicsit "titkosított", és a legegyszerűbb egyenletek összeállításának iskolai készsége segít megoldani ezt a rejtvényt. Kényelmes "x"-nek venni legkisebb érték:
Legyen a harmadik műhely által gyártott alkatrészek aránya.
Feltétel szerint az első bolt 4-szer többet termel, mint a harmadik, így az 1. bolt részesedése az.
Ráadásul az első műhely 2-szer több terméket gyárt, mint a második műhely, ami azt jelenti, hogy az utóbbi részaránya:.
Állítsuk össze és oldjuk meg az egyenletet:
Így: - annak a valószínűsége, hogy a konténerből kivett részt az 1., 2. és 3. bolt engedte el.
Vezérlés: . Ezenkívül nem lesz felesleges újra megnézni a kifejezést "Ismert, hogy az első boltban 2-szer több terméket gyártanak, mint a másodikban, és 4-szer többet, mint a harmadikban."és győződjön meg arról, hogy a kapott valószínűségi értékek valóban megfelelnek ennek a feltételnek.
Kezdetben az 1. vagy a 2. műhely részesedését "X"-re lehetne venni - a valószínűségek ugyanazok lesznek. De így vagy úgy, a legnehezebb szakaszon már túl van, és a megoldás bekerül a recézett kerékvágásba:
A feltételből a következőket találjuk:
- a hibás alkatrészek gyártásának valószínűsége az adott műhelyekben.
A teljes valószínűség képlete szerint: 
- annak a valószínűsége, hogy a tartályból véletlenszerűen kivett alkatrész nem szabványos lesz.
Második kérdés: mekkora a valószínűsége annak, hogy a visszaszerzett hibás alkatrészt a 3. műhely engedte el? Ez a kérdés feltételezi, hogy az alkatrészt már lekérték, és hibásnak találták. Újraértékeljük a Bayes-hipotézist: 
A szükséges valószínűség. Teljesen elvárható - elvégre a harmadik műhely nem csak a legkisebb alkatrészeket gyártja, hanem minőségben is vezet!
Ebben az esetben muszáj volt egyszerűsítsen egy négyemeletes törtet, amit a Bayes-képletek problémáiban elég gyakran meg kell tenni. De ehhez a leckéhez véletlenül olyan példákat vettem fel, amelyekben sok számítás elvégezhető közönséges törtek nélkül.
Mivel a feltétel nem tartalmaz "a" és "b" elemeket, ezért jobb, ha szöveges megjegyzésekkel adjuk meg a választ:
Válasz: 
- annak a valószínűsége, hogy a tartályból eltávolított alkatrész hibás lesz; - annak a valószínűsége, hogy a helyreállított hibás alkatrészt a 3. műhely engedte el.
Amint látja, a teljes valószínűségi képlet és a Bayes-formulák problémái meglehetősen egyszerűek, és valószínűleg ezért is próbálják oly gyakran bonyolítani a feltételt, amelyet már a cikk elején említettem.
További példák a fájlban találhatók kész megoldások F.P.V. és Bayes képletei, emellett valószínűleg más forrásokban is lesznek, akik szeretnének mélyebben megismerkedni ezzel a témával. A téma pedig tényleg nagyon érdekes – ami csak egyet ér Bayes paradoxon, ami alátámasztja azt a mindennapi tanácsot, hogy ha valakinél diagnosztizálják ritka betegség, akkor van értelme egy második, sőt két ismételt független vizsgálat elvégzésére. Úgy tűnik, hogy ez csak a kétségbeesés miatt történik... - de nem! De ne beszéljünk szomorú dolgokról.
- annak a valószínűsége, hogy egy véletlenszerűen kiválasztott diák sikeres vizsgát tesz.
A tanuló tegye le a vizsgát. Bayes képlete szerint:
a)
- annak a valószínűsége, hogy a sikeres vizsgát végző hallgató nagyon felkészült volt. Az objektív kezdeti valószínűség túlbecsültnek bizonyul, hiszen szinte mindig egyes "középparasztoknak" van szerencséje a kérdésekkel, és nagyon határozottan válaszolnak, ami a kifogástalan felkészültség téves benyomását kelti.b)
- annak a valószínűsége, hogy a sikeres vizsgát végző hallgató átlagosan felkészült. A kezdeti valószínűség kissé túlbecsültnek bizonyul, mivel Általában az átlagos képzettségű hallgatók vannak többségben, ráadásul itt a sikertelenül megválaszolt "kiváló tanulók" és esetenként egy-egy rosszul teljesítő tanuló is szerepel a jeggyel.v)
- annak a valószínűsége, hogy a sikeres vizsgát végző hallgató rosszul volt felkészülve. Az eredeti valószínűséget túlbecsülték a rosszabbra. Nem meglepo.Vizsgálat:
Válasz :
Az események formálódnak teljes csoport ha legalább az egyikük szükségszerűen bekövetkezik a kísérlet eredményeként és páronként összeférhetetlen.
Tegyük fel, hogy esemény A csak néhány páronként összeférhetetlen esemény egyikével együtt fordulhat elő, amelyek egy teljes csoportot alkotnak. rendezvényeknek nevezzük ( én= 1, 2,…, n) hipotéziseket további tapasztalat (a priori). Az A esemény bekövetkezésének valószínűségét a képlet határozza meg teljes valószínűséggel :
16. példa. Három urna van. Az első urnában 5 fehér és 3 fekete, a másodikban 4 fehér és 4 fekete, a harmadikban 8 fehér golyó található. Az egyik urnát véletlenszerűen választják ki (ez például azt jelentheti, hogy egy segédurnából kell választani, ahol három 1-es, 2-es és 3-as golyó van). Ebből az urnából véletlenszerűen egy labdát húznak. Mennyi annak a valószínűsége, hogy fekete lesz?
Megoldás. Esemény A- a fekete golyót eltávolítják. Ha ismert lenne, hogy melyik urnából húzták ki a labdát, akkor a klasszikus valószínűségi definíció szerint ki lehetne számítani a kívánt valószínűséget. Vezessünk be feltételezéseket (hipotéziseket) arra vonatkozóan, hogy melyik urnát választjuk a labda kiemelésére.
A labda kivehető vagy az első urnából (hipotézis), vagy a másodikból (hipotézis), vagy a harmadikból (hipotézis). Mivel egyenlő eséllyel választhatunk bármelyik urnát, akkor 
.
Ebből következik tehát
17. példa. Az elektromos lámpákat három gyárban gyártják. Az első üzem az elektromos lámpák teljes számának 30% -át állítja elő, a második - 25% -át.
a harmadik pedig a többi. Az első üzem termékei 1% hibás izzót tartalmaznak, a második - 1,5%, a harmadik - 2%. Az üzlet mindhárom gyár termékeit fogadja. Mennyi a valószínűsége annak, hogy a boltban vásárolt lámpa hibás?
Megoldás. Feltételezni kell, hogy melyik gyárban gyártották az izzót. Ennek ismeretében megállapíthatjuk annak valószínűségét, hogy hibás. Bemutatjuk az események jelölését: A- a vásárolt izzó hibásnak bizonyult, - a lámpát az első üzem készítette, - a lámpát a második üzem készítette,
- a lámpát a harmadik üzem gyártja.
A szükséges valószínűséget a teljes valószínűség képlete határozza meg:
Bayes képlete. Legyen páronként összeférhetetlen események (hipotézisek) teljes csoportja. A– véletlenszerű esemény... Azután,
Az utolsó képlet, amely lehetővé teszi a hipotézisek valószínűségének túlbecslését a teszteredmény ismertté válása után, amelynek eredményeként megjelent az A esemény, az ún. Bayes képlete .
18. példa.Átlagosan a betegségben szenvedő betegek 50%-a kerül speciális kórházba NAK NEK, 30% - betegséggel L, 20 % –
betegséggel M... A betegség teljes gyógyulásának valószínűsége K betegségek esetén 0,7 Lés M ezek a valószínűségek 0,8 és 0,9. A kórházba került beteget egészségesen hazaengedték. Határozza meg annak valószínűségét, hogy ennek a páciensnek egészségügyi állapota volt K.
Megoldás. Vezessünk be hipotéziseket: - a beteg valamilyen betegségben szenvedett NAK NEK L, - a beteg betegségben szenvedett M.
Akkor a probléma körülményei szerint megvan. Mutassunk be egy eseményt A- a kórházba került beteget egészségesen hazaengedték. Feltétel szerint
A teljes valószínűség képletével a következőket kapjuk:
Bayes képlete szerint.
19. példa. Legyen öt golyó az urnában, és minden feltételezés a fehér golyók számáról egyformán lehetséges. Az urnából véletlenszerűen kivettek egy labdát, fehérnek bizonyult. Mi a legvalószínűbb feltevés az urna kezdeti összetételével kapcsolatban?
Megoldás. Legyen az a hipotézis, hogy az urnában a fehér golyókat 
, azaz hat feltételezés lehetséges. Akkor a probléma körülményei szerint megvan.
Mutassunk be egy eseményt A- a véletlenszerűen vett labda fehér. Számoljunk. Azóta Bayes képletével a következőt kaptuk: 
Így a legvalószínűbb hipotézis az, hogy mivel.
20. példa. A számítástechnikai eszköz három egymástól függetlenül működő eleme közül kettő meghibásodott. Határozza meg annak valószínűségét, hogy az első és a második elem meghibásodott, ha az első, a második és a harmadik elem meghibásodásának valószínűsége rendre 0,2; 0,4 és 0,3.
Megoldás. Jelöljük azzal A esemény - két elem nem sikerült. A következő hipotéziseket lehet felállítani:
- az első és a második elem meghibásodott, és a harmadik elem működik. Mivel az elemek egymástól függetlenül működnek, a szorzási tétel érvényes:
Munka célja: a valószínűségelmélet problémamegoldó képességeinek kialakítása a teljes valószínűség és a Bayes-képlet segítségével.
Teljes valószínűségi képlet
Az esemény valószínűsége A, ami csak akkor fordulhat elő, ha az inkompatibilis események valamelyike megjelenik B x, B 2, ..., B p, egy teljes csoportot alkotva egyenlő az egyes események valószínűségeinek szorzatával az A esemény megfelelő feltételes valószínűségével:
Ezt a képletet ún teljes valószínűségi képlet.
A hipotézisek valószínűsége. Bayes képlet
Legyen az esemény A előfordulhat, ha az inkompatibilis események valamelyike bekövetkezik B b B 2, ..., B p, teljes csoportot alkotva. Mivel nem ismert előre, hogy ezek közül az események közül melyik fog bekövetkezni, ezeket hipotéziseknek nevezzük. Az esemény valószínűsége A a teljes valószínűség képlete határozza meg:
Tegyük fel, hogy egy tesztet végeztek, aminek eredményeként megjelent az esemény A... Meg kell határozni, hogyan változtak (annak a ténynek köszönhetően, hogy az esemény A már megtörtént) a hipotézisek valószínűsége. A hipotézisek feltételes valószínűségeit a képlet határozza meg
Ebben a képletben az index / = 1,2
Ezt a képletet Bayes-képletnek nevezik (az angol matematikus neve után, aki levezette; megjelent 1764-ben). Bayes képlete lehetővé teszi, hogy túlbecsülje a hipotézisek valószínűségét, miután a teszt eredménye ismertté válik, amelynek eredményeként egy esemény jelent meg A.
1. cél. A gyár egy bizonyos típusú alkatrészt gyárt, mindegyik alkatrésznek 0,05 valószínűséggel van hibája. Az alkatrészt egy ellenőr vizsgálja meg; hibát észlel 0,97 valószínűséggel, és ha nem talál hibát, átadja az alkatrészt a készterméknek. Ezenkívül az ellenőr tévedésből visszautasíthat egy olyan alkatrészt, amelynek nincs hibája; ennek a valószínűsége 0,01. Határozza meg a következő események valószínűségét: A - az alkatrészt elutasítják; B - az alkatrészt elutasítják, de tévesen; C - az alkatrész hibásan kerül át a késztermékbe.
Megoldás
Jelöljük ki a hipotéziseket:
N= (szabályozásra szabvány alkatrész érkezik);
N= (ellenőrzés érkezik nem szabványos részlet).
Esemény A =(a rész elutasításra kerül).
A probléma feltételéből megtaláljuk a valószínűségeket
RN (A) = 0,01; Pfi (A) = 0,97.
A teljes valószínűség képletével megkapjuk
Annak a valószínűsége, hogy egy alkatrészt tévedésből elutasítanak
Határozzuk meg annak a valószínűségét, hogy az alkatrész hibásan kerül be a késztermékbe:
Válasz:
2. cél. A termék szabványosítását három áruszakértő egyike ellenőrzi. Annak a valószínűsége, hogy a termék az első árusítóhoz kerül, 0,25, a másodikhoz 0,26 és a harmadikhoz 0,49. Annak a valószínűsége, hogy a terméket a standard első árucikk-szakértő felismeri, 0,95, a második - 0,98, a harmadik - 0,97. Határozza meg annak valószínűségét, hogy egy szabványos elemet egy második ellenőr is ellenőriz.
Megoldás
Jelöljük ki az eseményeket:
L. =(a termék a kereskedőhöz kerül ellenőrzésre); / = 1, 2, 3;
B =(a termék szabványosnak minősül).
A probléma feltételének megfelelően a valószínűségek ismertek:
Ismeretesek a feltételes valószínűségek is
A Bayes-képlet segítségével meghatározzuk annak valószínűségét, hogy egy szabványos terméket egy második ellenőr ellenőriz:
Válasz:"0,263.
Feladat 3. Két automata gép olyan alkatrészeket gyárt, amelyek közös szállítószalagra mennek. A nem szabványos alkatrész megszerzésének valószínűsége az első gépen 0,06, a másodikon pedig 0,09. A második gép teljesítménye kétszerese az elsőnek. Egy nem szabványos alkatrészt vettek le a szállítószalagról. Határozza meg annak valószínűségét, hogy ezt az alkatrészt a második gép készítette.
Megoldás
Jelöljük ki az eseményeket:
A. =(a szállítószalagról kivett alkatrészt a / -edik gép állítja elő); / = 1,2;
V= (a részvétel nem szabványos lesz).
Ismeretesek a feltételes valószínűségek is
A teljes valószínűség képletével azt találjuk
A Bayes-képlet segítségével meghatározzuk annak valószínűségét, hogy a nem szabványos alkatrészt a második gép állítja elő:
Válasz: 0,75.
4. feladat. Teszt alatt van egy két egységből álló eszköz, amelyek megbízhatósága 0,8, illetve 0,9. A csomópontok egymástól függetlenül meghibásodnak. A készülék meghibásodott. Ennek figyelembevételével keresse meg a hipotézisek valószínűségét:
- a) csak az első csomópont hibás;
- b) csak a második csomópont hibás;
- c) mindkét csomópont hibás.
Megoldás
Jelöljük ki az eseményeket:
D = (a 7. csomópont nem fog meghibásodni); én = 1,2;
D - megfelelő ellentétes események;
A= (a teszt során a készülék meghibásodik).
A feladat feltételéből kapjuk: P (D) = 0,8; P (L 2) = 0,9.
Ellentétes események valószínűségének tulajdonsága alapján
Esemény A egyenlő a független események szorzatainak összegével
Az inkonzisztens események valószínűségeinek összeadási tételét és a független események valószínűségeinek szorzásának tételét felhasználva megkapjuk
Most megtaláljuk a hipotézisek valószínűségét:
Válasz:
5. feladat. A gyárban három gépen készülnek a csavarok, amelyek a teljes csavarszám 25%-át, 30%-át, illetve 45%-át állítják elő. A szerszámgépgyártásban 4%, 3% és 2% a selejt. Mennyi annak a valószínűsége, hogy egy beérkező termékből véletlenül kivett csavar hibás lesz?
Megoldás
Jelöljük ki az eseményeket:
4 = (a véletlenszerűen kiválasztott csavar a / -edik gépen készült); én = 1, 2, 3;
V= (a véletlenszerűen kiválasztott csavar hibás lesz).
A probléma feltételéből a képlet alapján klasszikus valószínűség megtaláljuk a hipotézisek valószínűségét:
Ezenkívül a klasszikus valószínűségi képlet segítségével megtaláljuk a feltételes valószínűségeket:
A teljes valószínűség képletével azt találjuk
Válasz: 0,028.
6. feladat. Az elektronikus áramkör a három fél egyikéhez tartozik 0,25 valószínűséggel; 0,5 és 0,25. Annak a valószínűsége, hogy az áramkör a garantált élettartamon túl fog működni minden egyes tétel esetében, 0,1; 0,2 és 0,4. Határozza meg annak valószínűségét, hogy egy véletlenszerűen kiválasztott séma a garanciaidőn túl is működni fog.
Megoldás
Jelöljük ki az eseményeket:
4 = (véletlenszerűen vett diagram: r párt); i = 1, 2, 3;
V= (a véletlenszerűen kiválasztott séma a garanciaidőn túl is működik).
A probléma feltétele alapján ismertek a hipotézisek valószínűségei:
A feltételes valószínűségek is ismertek:
A teljes valószínűség képletével azt találjuk
Válasz: 0,225.
7. feladat. A készülék két blokkot tartalmaz, amelyek mindegyikének szervizelhetősége szükséges a készülék működéséhez. A hibamentes működés valószínűsége ezeknél az egységeknél 0,99, illetve 0,97. A készülék nem működik. Határozza meg annak valószínűségét, hogy mindkét egység meghibásodik.
Megoldás
Jelöljük ki az eseményeket:
D = ( z-edik blokk el fog bukni); én = 1,2;
A= (az eszköz meghibásodik).
A feladat feltételéből az ellentétes események valószínűségének tulajdonsága alapján a következőt kapjuk: DD) = 1-0,99 = 0,01; DD) = 1-0,97 = 0,03.
Esemény A csak akkor következik be, ha legalább az egyik esemény D vagy A 2. Ezért ez az esemény egyenlő az események összegével A= D + A 2 .
Az együttes események valószínűségeinek összeadási tételével azt kapjuk, hogy
A Bayes-képlet segítségével meghatározzuk annak valószínűségét, hogy az eszköz mindkét egység meghibásodása miatt meghibásodott.
Válasz:
Önálló megoldási feladatok 1. cél. A televíziós stúdió raktárában az 1. számú üzem által gyártott kineszkópok 70%-a található; a többi kineszkópot a 2-es számú gyár gyártotta. Annak a valószínűsége, hogy a kineszkóp nem fog meghibásodni a szavatossági idő alatt, 0,8 az 1-es számú üzem kineszkópjainál, és 0,7 - a 2-es számú gyári kineszkópoknál. kibírta a garanciális időszakot. Határozza meg annak valószínűségét, hogy a 2. számú üzem gyártotta.
2. cél. Az alkatrészeket három automata gépről szállítják a szerelvényhez. Ismeretes, hogy az 1. gép 0,3% selejtet ad, a 2. - 0,2%, a 3. - 0,4%. Határozza meg annak valószínűségét, hogy egy hibás alkatrészt kapunk összeszerelésre, ha az 1. gépből 1000, a 2. gépből 2000, a 3. gépből 2500 alkatrész érkezett.
3. célkitűzés. Ugyanazokat az alkatrészeket két gépen gyártják. Annak a valószínűsége, hogy az első gépen gyártott alkatrész szabványos lesz, 0,8, a másodikon 0,9. A második gép termelékenysége háromszorosa az elsőnek. Határozza meg annak valószínűségét, hogy egy szabványos alkatrészt véletlenszerűen vesznek el egy szállítószalagról, amely mindkét géptől kap alkatrészeket.
4. feladat. A cég vezetője úgy döntött, hogy a három szállítmányozó cég közül kettő szolgáltatását veszi igénybe. Az áruk idő előtti kézbesítésének valószínűsége az első, a második és a harmadik cég esetében 0,05; 0,1 és 0,07. Összehasonlítva ezeket az adatokat a teherszállítás biztonságára vonatkozó adatokkal, a vezető arra a következtetésre jutott, hogy a választás egyenlő volt, és sorsolás útján döntött. Határozza meg annak valószínűségét, hogy a szállított rakományt időben kézbesítik.
5. feladat. A készülék két blokkot tartalmaz, amelyek mindegyikének szervizelhetősége szükséges a készülék működéséhez. A hibamentes működés valószínűsége ezeknél az egységeknél 0,99, illetve 0,97. A készülék nem működik. Határozza meg annak valószínűségét, hogy a második egység meghibásodott.
Feladat 6. Az összeszerelő műhely három automata gépből kap alkatrészeket. Az első gép a selejt 3% -át adja, a második - 1%, a harmadik - 2%. Határozza meg annak valószínűségét, hogy egy nem hibás alkatrész kerüljön a szerelvénybe, ha minden gépből 500, 200, 300 alkatrész érkezett.
7. feladat. A raktárba három cég termékei érkeznek. Ezenkívül az első cég termékei 20%, a második 46%, a harmadik pedig 34% -ot tesznek ki. Az is ismert, hogy a nem szabványos termékek átlagos százaléka az első cégnél 5%, a másodiknál 2%, a harmadiknál pedig 1%. Határozza meg annak valószínűségét, hogy a véletlenszerűen kiválasztott terméket egy másik cég állította elő, ha az szabványosnak bizonyult.
8. probléma. Az üzem termékeinek hibája a hiba miatt a alapján elutasítottak között van 5%. a a termékek az esetek 10%-ában hibásak R.És hibamentes termékekben a, hiba R az esetek 1%-ában fordul elő. Határozza meg a hiba előfordulásának valószínűségét R minden termékben.
9. probléma. A cégnek 10 új és 5 régi, korábban javítás alatt álló autója van. A helyes működés valószínűsége egy új autónál 0,94, a réginél - 0,91. Határozza meg annak valószínűségét, hogy a kiválasztott autó megfelelően fog működni.
10. probléma. Két érzékelő küld jeleket egy közös kommunikációs csatornára, közülük az első kétszer annyi jelet küld, mint a második. A torz jel fogadásának valószínűsége az első érzékelőtől 0,01, a másodiktól 0,03. Mennyi a valószínűsége annak, hogy az általános kommunikációs csatornán torz jelet kapunk?
11. probléma.Öt tétel van a termékből: három 8 darabos tétel, amelyből 6 szabvány és 2 nem szabványos, valamint két 10 darabos tétel, ebből 7 szabvány és 3 nem szabványos. Az egyik tételt véletlenszerűen választják ki, és ebből a tételből vesznek ki egy részt. Határozza meg annak valószínűségét, hogy a vett rész szabványos lesz.
12. probléma. Az összeszerelő az alkatrészek átlagosan 50%-át az első üzemből, 30%-át a második üzemből és 20%-át a harmadik üzemből kapja meg. Annak a valószínűsége, hogy az első gyári alkatrész kiváló minőségű, 0,7; a második és harmadik növény egyes részeinél 0,8 és 0,9. A véletlenszerűen leszedett alkatrész kiváló minőségűnek bizonyult. Határozza meg annak valószínűségét, hogy az alkatrészt az első gyár gyártotta.
13. probléma. A járművek vámvizsgálatát két ellenőr végzi. Átlagosan 100 autóból 45 halad át az első ellenőrön. Annak a valószínűsége, hogy az ellenőrzés során egy autó megfelel vámszabályok, nem kerül őrizetbe, az első ellenőr 0,95, a második ellenőr 0,85. Határozza meg annak valószínűségét, hogy a vámszabályoknak megfelelő járművet nem tartják vissza.
14. probléma. A készülék összeszereléséhez szükséges alkatrészek két automata gépről származnak, amelyek teljesítménye megegyezik. Számítsa ki annak valószínűségét, hogy szabványos alkatrészt kapjon összeszerelésre, ha az egyik gép átlagosan 3% -kal sérti a szabványt, a másik pedig 2%.
15. probléma. A súlyemelő edző kiszámolta, hogy egy sportolónak 200 kg súlyzót kell nyomnia ahhoz, hogy egy adott súlycsoportban csapatpontokat kapjon. Ivanov, Petrov és Sidorov verseng a csapatba kerülésért. Edzés közben Ivanov 7 esetben próbált ilyen súlyt emelni, ebből 3 esetben emelt. Petrov 13-ból 6-szor emelt, és Sidorovnak 35% az esélye, hogy sikeresen kezeli a lécet. Az edző véletlenszerűen kisorsol egy sportolót a csapatba.
- a) Határozza meg annak valószínűségét, hogy a kiválasztott sportoló pontot szerez a csapatnak!
- b) A csapat nem kapott pontot. Határozza meg annak valószínűségét, hogy Sidorov beszélt.
16. probléma. Egy fehér dobozban 12 piros és 6 kék golyó található. Fekete színben - 15 piros és 10 kék golyó. Dobd a kockát. Ha a pontok száma 3 többszöröse, akkor a labda véletlenszerűen kerül ki a fehér dobozból. Ha más számú pont esik ki, akkor a labda véletlenszerűen kerül ki a fekete dobozból. Mennyi a valószínűsége, hogy megjelenik egy piros golyó?
17. probléma. Két dobozban rádiócsövek találhatók. Az első doboz 12 lámpát tartalmaz, ebből 1 nem szabványos; a másodikban 10 lámpa, ebből 1 nem szabványos. Véletlenszerűen vettünk egy lámpát az első dobozból, és áthelyeztük a másodikba. Határozza meg annak valószínűségét, hogy a második dobozból véletlenszerűen kivett lámpa nem szabványos lesz.
18. probléma. A két golyót tartalmazó urnába egy fehér labdát ejtenek, majd véletlenszerűen vesznek ki belőle egy labdát. Határozza meg annak valószínűségét, hogy az eltávolított labda fehér lesz, ha a golyók kezdeti (szín szerinti) összetételére vonatkozó összes lehetséges feltételezés egyaránt lehetséges.
19. probléma. Egy szabványos alkatrészt egy 3 egyforma alkatrészt tartalmazó dobozba dobunk, majd az egyik alkatrészt véletlenszerűen kihúzzuk. Határozza meg annak valószínűségét, hogy egy szabványos alkatrészt eltávolítottak, ha az eredetileg a dobozban lévő szabványos alkatrészek számára vonatkozó összes lehetséges feltételezés egyformán valószínű.
20. probléma. A rádiókommunikáció minőségének javítása érdekében két rádióvevőt használnak. Annak a valószínűsége, hogy az egyes vevőegységek jelet kapnak, 0,8, és ezek az események (a vevő általi jel vétele) függetlenek. Határozza meg a jel vételének valószínűségét, ha a rádiókommunikációs munkamenet során a hibamentes működés valószínűsége minden vevő esetében 0,9.
Ha az esemény A csak akkor történhet meg, ha az események egyike kialakul összeférhetetlen események teljes csoportja , akkor az esemény valószínűsége A képlettel számítjuk ki
Ezt a képletet ún teljes valószínűségi képlet .
Tekintsük újra az összeférhetetlen események teljes csoportját, amelyek valószínűsége: 
... Esemény A csak bármely eseménnyel együtt történhet, amelyeket mi nevezünk hipotéziseket
... Majd a teljes valószínűség képletével
Ha az esemény A megtörtént, akkor megváltoztathatja a hipotézisek valószínűségét 
.
A valószínűségi szorzás tételével
.
Hasonlóképpen más hipotéziseknél is
A kapott képletet ún Bayes képlete (a bayesi képlet szerint ). A hipotézisek valószínűségeit ún utólagos valószínűségek , míg - előzetes valószínűségek .
Példa. Három vállalkozástól érkezett új termék az üzletbe. E termékek aránya a következő: 20% - az első cég termékei, 30% - a második cég termékei, 50% - a harmadik cég termékei; továbbá az első vállalkozás termelésének 10%-a első osztályú, a második vállalkozásnál - 5%, a harmadiknál - 20% a prémium termékek. Határozza meg annak valószínűségét, hogy egy véletlenül megvásárolt új termék a legmagasabb minőségű.
Megoldás. Jelöljük azzal V prémium termék vásárlásából álló esemény, ezen keresztül az első, második, illetve harmadik vállalkozáshoz tartozó termékek vásárlásából álló eseményeket jelöljük.
Alkalmazhatja a teljes valószínűség képletét, és jelölésünkben:
Ha ezeket az értékeket behelyettesítjük a teljes valószínűség képletébe, megkapjuk a kívánt valószínűséget:
Példa. A három lövöldöző közül az egyiket behívják a tűzvonalba, és két lövést ad le. Annak valószínűsége, hogy az első lövöldözéssel eltalálja a célt, 0,3, a másodiknál 0,5; a harmadiknak - 0,8. A célt nem találják el. Határozza meg annak valószínűségét, hogy a lövéseket az első lövő adta le.
Megoldás. Három hipotézis lehetséges:
Az első lövöldözőt a tűzvonalhoz hívják,
Egy második lövészt is behívtak a tűzvonalba
A harmadik lövöldözőt behívták a tűzvonalba.
Mivel bármelyik lövész tűzvonalába hívása ugyanúgy lehetséges, akkor 
A kísérlet eredményeként a B esemény volt megfigyelhető - a leadott lövések után a célt nem találták el. Ennek az eseménynek a feltételes valószínűségei a felállított hipotézisek alapján a következők:
a Bayes-képlet segítségével a kísérlet után megtaláljuk a hipotézis valószínűségét:
Példa. Három automatán dolgoznak fel azonos típusú alkatrészeket, amelyek feldolgozás után közös szállítószalagra kerülnek. Az első gép a selejt 2%-át adja, a második - 7%, a harmadik - 10%. Az első gép termelékenysége háromszor nagyobb, mint a másodiké, a harmadiké pedig 2-szer kisebb, mint a másodiké.
a) Hány százalékban vannak a szállítószalag hibái?
b) Milyen arányban vannak az egyes szerszámgépek alkatrészei a szállítószalag hibás alkatrészei között?
Megoldás. Vegyünk véletlenszerűen egy darabot a futószalagról, és tekintsük az A eseményt – egy hibás darabnak. Hipotézisekhez kapcsolódik, hogy hol lett megmunkálva ez az alkatrész: - véletlenszerűen kiválasztott alkatrészt megmunkáltak a gépen.
Feltételes valószínűségek (a problémafelvetésben százalékos formában vannak megadva):
A gépek termelékenysége közötti függőség a következőket jelenti:
És mivel a hipotézisek egy teljes csoportot alkotnak, akkor.
A kapott egyenletrendszer megoldása után azt kapjuk, hogy:.
a) Annak a teljes valószínűsége, hogy a szállítószalagról véletlenszerűen vett alkatrész hibás:
Más szóval, az összeszerelősorról leszálló alkatrészek tömegében a selejt 4%.
b) Legyen tudatában annak, hogy a véletlenszerűen vett alkatrész hibás. A Bayes-képlet segítségével megtaláljuk a hipotézisek feltételes valószínűségeit:
Így a szállítószalagon lévő hibás alkatrészek teljes tömegében az első gép részesedése 33%, a második - 39%, a harmadik - 28%.
Gyakorlati feladatok
1. Feladat
Feladatok megoldása a valószínűségszámítás főbb részeiben
A cél a problémamegoldás gyakorlati készségeinek elsajátítása
a valószínűségszámítás szakaszai
Felkészülés a gyakorlati feladatra
Megismerkedni a témával kapcsolatos elméleti anyaggal, tanulmányozni az elméleti tartalmat, valamint az irodalmi források megfelelő szakaszait
A megbízás sorrendje
Az 1. táblázatban megadott feladatlehetőség számának megfelelően oldjon meg 5 feladatot!
Forrásadatok beállításai
Asztal 1
|
feladatszám |
||||||
Az 1. feladat jelentésének összeállítása
5 megoldott feladat a változatszám szerint.
Önálló megoldási feladatok
1 .. Az alábbi eseménycsoportokba tartoznak-e incidensek: a) élmény - érmefeldobás; fejlesztések: A1- a címer megjelenése; A2- egy szám megjelenése; b) tapasztalat - két érme dobása; fejlesztések: AZ 1-BEN- két címer megjelenése; IN 2 - két szám megjelenése; AT 3- egy címer és egy szám megjelenése; c) tapasztalat - kockadobás; fejlesztések: C1 - legfeljebb két pont megjelenése; C2 - három vagy négy pont megjelenése; C3 - legalább öt pont megjelenése; d) tapasztalat - célba lövés; fejlesztések: D1- ütés; D2 - hiányzik; e) tapasztalat - két lövés a célba; fejlesztések: E0- egyetlen találatot sem; E1- egy találat; E2- két találat; f) tapasztalat - két kártya eltávolítása a pakliból; fejlesztések: F1 - két piros lap megjelenése; F2- két fekete kártya megjelenése?
2. Az urnában A fehér és B fekete golyókat. Egy golyó véletlenszerűen kerül ki az urnából. Határozza meg annak valószínűségét, hogy ez a golyó fehér.
3. Az A urnában fehér homok B fekete golyókat. Egy golyót kiveszünk az urnából és félretesszük. Ez a labda fehérnek bizonyult. Ezt követően egy másik labdát vesznek ki az urnából. Határozza meg annak valószínűségét, hogy ez a golyó is fehér lesz.
4. Az A urnában fehérek és B fekete golyókat. Kivettek egy labdát az urnából, és anélkül, hogy megnézték volna, félretették. Ezt követően újabb labdát vettek el az urnából. Kiderült, hogy fehér. Határozza meg annak valószínűségét, hogy az első félretett golyó is fehér.
5. Az A-t tartalmazó urnából fehérek és B fekete golyókat, egyenként vegye ki az összes golyót egy kivételével. Határozza meg annak valószínűségét, hogy az urnában maradt utolsó golyó fehér lesz.
6. Egy urnából, amelyben A fehér golyókat és B feketét, vedd ki sorban az összes benne lévő golyót. Határozza meg annak valószínűségét, hogy a fehér golyót a második helyen veszik ki.
7. Az urnában A fehér és B fekete golyó található (A > 2). Egyszerre két golyót vesznek ki az urnából. Határozza meg annak valószínűségét, hogy mindkét golyó fehér lesz.
8. A fehér és B urnában fekete golyók (A> 2, B> 3). Egyszerre öt golyót vesznek ki az urnából. Keresse meg a valószínűséget R az a tény, hogy kettő fehér lesz, három pedig fekete.
9. Egy X-ből álló játékban elérhető termékek én hibás. A tételből kiválasztva ellenőrzésre I Termékek. Keresse meg a valószínűséget R az a tény, hogy közülük pontosan J az elemek hibásak lesznek.
10. A kockát egyszer dobjuk. Határozza meg a következő események valószínűségét: A - páros számú pont megjelenése; V- legalább 5 pont megjelenése; VAL VEL- megjelenése legfeljebb 5 pont.
11. A kockát kétszer dobjuk. Keresse meg a valószínűséget R az a tény, hogy mindkét alkalommal ugyanannyi pont jelenik meg.
12. Dobj két kockát egyszerre. Keresse meg a következő események valószínűségét: A- a kiesett pontok összege 8; V- a kiesett pontok szorzata 8; VAL VEL- a kiesett pontok összege nagyobb, mint a szorzatuk.
13. Két érmét dobnak. Melyik esemény valószínűbb: A - az érmék ugyanazokra az oldalakra esnek; V - az érmék különböző oldalára esnek?
14. Az A urnában fehérek és B fekete golyókat (A > 2; B > 2). Egyszerre két golyót vesznek ki az urnából. Melyik esemény valószínűbb: A- azonos színű golyók; V - különböző színű golyókat?
15. Három játékos kártyázik. Mindegyikük 10 lapot kapott, és két kártya maradt a sorsolásnál. Az egyik játékos látja, hogy 6 gyémántszínű kártyája van, és 4 - nem gyémántszínű. Ebből a négy lapból kettőt eldob, és magának veszi a vételt. Határozza meg annak valószínűségét, hogy két gyémántot vásárol.
16. Tartalmazó urnából NS az átszámozott golyók közül véletlenszerűen vegye ki belőle az összes golyót egyenként. Határozza meg annak valószínűségét, hogy a kivett golyók számai sorrendben mennek: 1, 2, ..., NS.
17. Ugyanaz az urna, mint az előző feladatnál, de a kiszedés után minden golyót visszahelyezünk és összekeverünk másokkal, és felírjuk a számát. Határozza meg annak valószínűségét, hogy a természetes számsor felíródik: 1, 2, ..., n.
18. Egy teljes kártyacsomagot (52 lap) véletlenszerűen két egyenlő, 26 lapos csomagra osztanak. Keresse meg a következő események valószínűségét: A - mindegyik csomag két ászt tartalmaz; V- az egyik csomagban nem lesz ász, a másikban pedig mind a négy; Tól től az egyik csomagban egy ász, a másikban három lesz.
19. A kosárlabda bajnokságban 18 csapat vesz részt, ebből két, egyenként 9 csapatos csoportot véletlenszerűen alakítanak ki. A versenyen 5 csapat vesz részt
extra osztály. Keresse meg a következő események valószínűségét: A - minden első osztályú csapat ugyanabba a csoportba kerül; V- az egyik csoportba két extraosztályos csapat, a másikba három csapat jut be.
20. Kilenc kártya tartalmaz számokat: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Ebből kettőt véletlenszerűen kiveszünk, és a megjelenés sorrendjében az asztalra tesszük, majd a kapott számot leolvassuk, példa 07 (hét), 14 (tizennégy), stb. Határozza meg annak valószínűségét, hogy a szám páros lesz.
21. Öt kártyára vannak felírva a számok: 1, 2, 3, 4, 5. Ezek közül kettőt egymás után kiveszünk. Határozza meg annak valószínűségét, hogy a második kártyán lévő szám nagyobb lesz, mint az első kártyán.
22. Ugyanaz a kérdés, mint a 21. feladatnál, de a kivétel után az első kártyát visszatesszük és összekeverjük a többivel, és felírjuk a rajta lévő számot.
23. Az A urnában fehér, B fekete és C piros golyók. Az urnából egyenként vedd ki az összes benne lévő golyót, és írd le a színüket. Keresse meg annak valószínűségét, hogy a fehér a fekete előtt jelenik meg ebben a listában.
24. Két urna van: az első A-ban fehérek és B fekete golyók; a második C-ben fehér és D fekete. Minden urnából egy labdát vesznek ki. Határozza meg annak valószínűségét, hogy mindkét golyó fehér lesz.
25. A 24. feladat feltételei mellett határozza meg annak valószínűségét, hogy az eltávolított golyók különböző színűek lesznek!
26. A revolverdobban hét fészek van, ebből öt töltényt tartalmaz, kettő pedig üresen maradt. A dob forgásba van állítva, aminek következtében az egyik rés véletlenszerűen a hengerrel szemben van. Ezt követően megnyomják a ravaszt; ha a cella üres volt, nem adnak le lövést. Keresse meg a valószínűséget R az a tény, hogy miután ezt a kísérletet kétszer egymás után megismételjük, nem fogunk mindkét alkalommal lőni.
27. Ugyanazon feltételek mellett (lásd a 26. feladatot) határozza meg annak valószínűségét, hogy mindkét alkalommal megtörténik a lövés.
28. Az urna A-t tartalmaz; 1, 2, ... számokkal jelölt golyók, Nak nek Az urnából én Egyszerre egy labdát távolítanak el (ÉN<к), feljegyzik a labda számát, és a labdát visszahelyezik az urnába. Keresse meg a valószínűséget R hogy minden rögzített szám más lesz.
29. A "könyv" szó a vágott ábécé öt betűjéből áll. Egy olvasni nem tudó gyerek szétszórta ezeket a betűket, majd véletlenszerű sorrendben összeállította őket. Keresse meg a valószínűséget R hogy ismét megkapta a „könyv” szót.
30. Az "ananász" szó a vágott ábécé betűiből áll. Egy olvasni nem tudó gyerek szétszórta ezeket a betűket, majd véletlenszerű sorrendben összeállította őket. Keresse meg a valószínűséget R az a tény, hogy ismét benne van az "ananász" szó
31. Egy teljes kártyapakliból (52 lap, 4 szín) több lapot húznak. Hány lapot kell húzni ahhoz, hogy 0,50-nél nagyobb valószínűséggel kijelenthessük, hogy lesznek közöttük azonos színű lapok?
32. N egy személy véletlenszerűen ül egy kerek asztalhoz (N> 2). Keresse meg a valószínűséget R hogy két fix arc Aés V közel lesz.
33. Ugyanez a probléma (lásd 32), de a táblázat téglalap alakú, és N egy személy véletlenszerűen ül az egyik oldala mentén.
34. Számok 1-től N. Ezeknek a N két hordót véletlenszerűen választanak ki. Határozzuk meg annak valószínűségét, hogy mindkét hordó száma kisebb, mint k
(2
35.
A lottó hordók számozása 1-től N. Ezeknek a N két hordót véletlenszerűen választanak ki. Határozzuk meg annak valószínűségét, hogy az egyik hordóra k-nál nagyobb szám kerül felírásra ,
és a másik - kevesebb, mint k .
(2
36. Akkumulátor tól Málló csoportra lövöldöző fegyverek N célokat (M< N). A fegyverek egymás után, véletlenszerűen választják ki célpontjaikat, feltéve, hogy két fegyver nem tud ugyanarra a célpontra lőni. Keresse meg a valószínűséget R amely 1, 2, ... számokkal céloz, M.
37 .. Akkumulátor, amely a Nak nek fegyverek, tüzek egy csoportra, amelyből álló én repülőgép (Nak nek< 2). Minden fegyver véletlenszerűen és a többitől függetlenül választja ki a célpontját. Keresse meg annak a valószínűségét, hogy minden Nak nek a fegyverek ugyanarra a célpontra lőnek.
38. Határozza meg annak valószínűségét az előző feladat körülményei között, hogy minden fegyver más-más célpontra lő!
39. Négy golyó véletlenszerűen van szétszórva négy lyukon; minden labda azonos valószínűséggel és a többitől függetlenül találja el az egyik vagy a másik lyukat (nincs akadálya annak, hogy több labda eltalálja ugyanazt a lyukat). Határozza meg annak valószínűségét, hogy az egyik lyukban három golyó lesz, a másikban egy, a másik két lyukban pedig nem lesz golyó.
40. Mása veszekedett Petyával, és nem akar vele ugyanazon a buszon utazni. A szállóból 7-8-ig 5 busz indul az intézetbe. Akinek nincs ideje ezekre a buszokra, az elkésik az előadásról. Hányféleképpen juthat el Mása és Petya különböző busszal az intézetbe, és nem késik el az előadásról?
41. A bank informatikai osztálya 3 elemzőt, 10 programozót és 20 mérnököt foglalkoztat. A munkaszüneti napokon végzett túlórára az osztályvezetőnek egy alkalmazottat kell kijelölnie. Hányféleképpen lehet ezt megtenni?
42. A bank biztonsági szolgálatának vezetőjének naponta 10 őrt kell kihelyeznie 10 álláshelyen. Hányféleképpen lehet ezt megtenni?
43. A bank új elnökének 10 igazgatója közül 2 új alelnököt kell kineveznie. Hányféleképpen lehet ezt megtenni?
44. Az egyik harcos 12, a másik 15 foglyot ejtett el. Hányféleképpen lehet 7 hadifoglyot kicserélni?
45. Petya és Masha videólemezeket gyűjtenek. Petyának 30 vígjátéka, 80 akciófilmje és 7 melodrámája, Masának 20 vígjátéka, 5 akciófilmje és 90 melodrámája van. Hányféleképpen cserélhet Petya és Masha 3 vígjátékot, 2 akciófilmet és 1 melodrámát?
46. A 45. feladat feltételei szerint Petya és Mása hányféleképpen cserélhet 3 melodrámát és 5 vígjátékot?
47. A 45. feladat feltételei szerint Petya és Mása hányféleképpen cserélhet 2 akciófilmet és 7 vígjátékot.
48. Az egyik harcos 15, a másik 16 foglyot ejtett el. Hányféleképpen lehet 5 hadifoglyot kicserélni?
49. Hány autót lehet regisztrálni 1 városban, ha a szám 3 számjegyből és 3 betűből áll (csak azoké, amelyek írásmódja megegyezik a latinokkal - A, B, E, K, M, H, O, P, C, T , U, X )?
50. Az egyik harcos 14, a másik 17 foglyot ejtett el. Hányféleképpen lehet 6 hadifoglyot kicserélni?
51. Hány különböző szót készíthetsz az "anya" szó betűinek átrendezésével?
52. A kosárban 3 piros és 7 zöld alma van. Egy almát kiveszünk belőle. Határozza meg annak valószínűségét, hogy piros lesz.
53. A kosárban 3 piros és 7 zöld alma van. Kivettek belőle egy zöldalmát, és félretették. Ezután vegyen ki még 1 almát a kosárból. Mennyi a valószínűsége, hogy ez az alma zöld lesz?
54. Egy 1000 tételből álló tételben 4 darab hibás. Egy 100 tételből álló köteg van kiválasztva ellenőrzésre. Mennyi annak a valószínűsége, hogy az LLP nem lesz hibás a kontroll kötegben?
56. Az 1980-as években a "sportlottó 5 a 36-ból" játék népszerű volt a Szovjetunióban. A játékos 5 számot jelölt meg 1-től 36-ig a kártyán, és különböző címletű nyereményeket kapott, ha a sorsolási bizottság által meghirdetett számtól eltérő számot tippelt ki. Határozza meg annak valószínűségét, hogy a játékos nem talált ki egyetlen számot sem.
57. Az 1980-as években a "sportlottó 5 a 36-ból" játék népszerű volt a Szovjetunióban. A játékos 5 számot jelölt meg 1-től 36-ig a kártyán, és különböző címletű nyereményeket kapott, ha a sorsolási bizottság által meghirdetett számtól eltérő számot tippelt ki. Határozza meg annak valószínűségét, hogy a játékos kitalál egy számot.
58. Az 1980-as években a "sportlottó 5 a 36-ból" játék népszerű volt a Szovjetunióban. A játékos 5 számot jelölt meg 1-től 36-ig a kártyán, és különböző címletű nyereményeket kapott, ha a sorsolási bizottság által meghirdetett számtól eltérő számot tippelt ki. Határozza meg annak valószínűségét, hogy a játékos kitalált 3 számot.
59. Az 1980-as években a "sportlottó 5 a 36-ból" játék népszerű volt a Szovjetunióban. A játékos 5 számot jelölt meg 1-től 36-ig a kártyán, és különböző címletű nyereményeket kapott, ha a sorsolási bizottság által meghirdetett számtól eltérő számot tippelt ki. Határozza meg annak valószínűségét, hogy a játékos nem találta ki mind az 5 számot.
60. Az 1980-as években a "sportlottó 49-ből 6" népszerű volt a Szovjetunióban. A játékos 6 számot jelölt meg 1-től 49-ig a kártyán, és különböző címletű nyereményeket kapott, ha a sorsolási bizottság által meghirdetett számtól eltérő számot tippelt ki. Határozza meg annak valószínűségét, hogy a játékos kitalál 2 számot.
61. Az 1980-as években a "sportlottó 49-ből 6" népszerű volt a Szovjetunióban. A játékos 6 számot jelölt meg 1-től 49-ig a kártyán, és különböző címletű nyereményeket kapott, ha a sorsolási bizottság által meghirdetett számtól eltérő számot tippelt ki. Határozza meg annak valószínűségét, hogy a játékos nem talált ki egyetlen számot sem.
62. Az 1980-as években a "sportlottó 49-ből 6" népszerű volt a Szovjetunióban. A játékos 6 számot jelölt meg 1-től 49-ig a kártyán, és különböző címletű nyereményeket kapott, ha a sorsolási bizottság által meghirdetett számtól eltérő számot tippelt ki. Határozza meg annak valószínűségét, hogy a játékos mind a 6 számot kitalálta.
63. Egy 1000 darabos tételből 4 darab hibás. Egy 100 tételből álló köteg van kiválasztva ellenőrzésre. Mennyi a valószínűsége egy betéti társaságnak, hogy csak 1 hibás tétel lesz az ellenőrző tételben?
64. Hány különböző szót tudsz alkotni a "könyv" szó betűinek átrendezésével?
65. Hány különböző szót készíthetsz az "ananász" szó betűinek átrendezésével?
66. A liftbe 6 fő szállt be, a szálló 7 szintes. Mennyi a valószínűsége, hogy mind a 6 ember kijön ugyanarra az emeletre?
67. A liftbe 6 fő szállt be, az épület 7 szintes. Mennyi annak a valószínűsége, hogy mind a 6 ember különböző emeleteken jön ki?
68. Zivatar során vezetékszakadás történt az erőátviteli vezeték 40-79 km közötti szakaszán. Feltételezve, hogy a szikla bármely ponton ugyanúgy lehetséges, határozza meg annak valószínűségét, hogy a szikla a 40. és 45. kilométer között keletkezett.
69. A gázvezeték 200 kilométeres szakaszán gázszivárgás lép fel az A és B kompresszorállomások között, ami ugyanígy lehetséges a vezeték bármely pontján. mekkora a valószínűsége annak, hogy a szivárgás legfeljebb 20 km-re történik A-tól
70. A gázvezeték 200 kilométeres szakaszán gázszivárgás lép fel az A és B kompresszorállomások között, ami a vezeték bármely pontján ugyanígy lehetséges. mekkora a valószínűsége annak, hogy a szivárgás közelebb történik A-hoz, mint B-hez?
71. A közlekedési rendőrfelügyelő radarja 10 km/h pontosságú, és a legközelebbi oldalra kerekít. Melyik történik gyakrabban – a sofőr vagy az ellenőr javára kerekítés?
72. Mása 40-50 percet tölt az intézet felé vezető úton, és ebben az intervallumban minden idő ugyanilyen valószínű. Mennyi annak a valószínűsége, hogy 45-50 percet tölt az úton?
73. Petya és Mása megegyezett, hogy 12:00 és 13:00 óra között találkoznak Puskin emlékművénél, de senki nem tudta megjelölni az érkezés pontos idejét. Megállapodtak, hogy 15 percet várnak egymásra. Mennyi a valószínűsége a találkozásuknak?
74. A tóban 120 halat fogtak ki a horgászok, ebből 10 db gyűrűzött. Mennyi az esély a gyűrűs hal kifogására?
75. Vegyük ki sorra az összes almát a 3 piros és 7 zöld almát tartalmazó kosárból. mekkora a valószínűsége annak, hogy a 2. alma piros lesz?
76. Vegyük ki sorra az összes almát a 3 piros és 7 zöld almát tartalmazó kosárból. mekkora a valószínűsége annak, hogy az utolsó alma zöld lesz?
77. A tanulók 50 jegyből 10-et „jónak” tartanak. Petya és Masha felváltva húznak egy jegyet. Mennyi a valószínűsége, hogy Masha „jó” jegyet kapott?
78. A hallgatók 50 jegyből 10 "jó"-nak tartják. Petya és Masha felváltva húznak egy jegyet. Mennyi annak a valószínűsége, hogy mindketten „jó” jegyet kaptak?
79. Mása úgy jött el a vizsgára, hogy a program 25 kérdéséből 20-ra tudta a választ, a professzor 3 kérdést tesz fel. Mennyi a valószínűsége, hogy Mása válaszol 3 kérdésre?
80. Mása úgy jött el a vizsgára, hogy a program 25 kérdéséből 20-ra tudta a választ, a professzor 3 kérdést tesz fel. Mennyi annak a valószínűsége, hogy Mása nem válaszol egyetlen kérdésre sem?
81. Mása úgy jött el a vizsgára, hogy a program 25 kérdéséből 20-ra tudta a választ, a professzor 3 kérdést tesz fel. Mennyi a valószínűsége, hogy Mása válaszol 1 kérdésre?
82. Statisztika kérelmek hitelek a bank a következő: 10% - állam. hatóságok, 20% - egyéb bankok, a többi - magánszemélyek. A hitelek vissza nem fizetésének valószínűsége 0,01, 0,05 és 0,2. A hitelek hány százalékát nem térítik vissza?
83. Annak a valószínűsége, hogy a fagylaltkereskedő heti forgalma meghaladja a 2000 rubelt. tiszta időben 80%, változó felhőzetben 50%, esős időben 10%. Mennyi annak a valószínűsége, hogy a forgalom meghaladja a 2000 rubelt? ha a tiszta idő valószínűsége 20%, a változó felhőzet és az esőzések - egyenként 40%.
84. Az A fehér (b) és B urnában fekete (h) golyók. Két golyót vesznek ki az urnából (egyidejűleg vagy egymás után). Határozza meg annak valószínűségét, hogy mindkét golyó fehér lesz.
85. Az A urnában fehérek és B
86. Az A urnában fehérek és B
87. Az A urnában fehérek és B fekete golyókat. Egy labdát kivesznek az urnából, feljegyzik a színét és visszateszik az urnába. Ezt követően egy másik labdát vesznek ki az urnából. Határozza meg annak valószínűségét, hogy ezek a golyók különböző színűek lesznek.
88. Tartalmaz egy doboz kilenc új teniszlabdát. Három labdát vesznek el a játékhoz; a játék után visszateszik. A labdák kiválasztásakor nem különböztetjük meg a játszott és nem játszott labdákat. Mekkora a valószínűsége annak, hogy három meccs után nem marad labda a mezőnyben?
89. A lakás elhagyása, N minden vendég felveszi saját galósát;
90. A lakás elhagyása, N az azonos cipőmérettel rendelkező vendégek kamuszt viselnek a sötétben. Mindegyikük meg tudja különböztetni a jobb galót a baltól, de nem tudja megkülönböztetni a sajátját a másiktól. Keresse meg annak a valószínűségét minden vendég egy párhoz (talán nem a sajátjához) tartozó kaliszokat vesz fel.
91. Határozza meg a 90. feladat feltételei mellett annak valószínűségét, hogy mindenki a kalósában távozik ha a vendégek nem tudják megkülönböztetni a jobb és a bal kaliszt, és egyszerűen elviszik az első két kaliszt, amivel találkoznak.
92. Lövés folyik a repülőgépen, amelynek sérülékeny részei a két hajtómű és a pilótafülke. Egy repülőgép eltalálásához (letiltásához) elegendő mindkét hajtóművet együtt vagy a pilótafülkét eltalálni. Ilyen tüzelési feltételek mellett az első motor eltalálásának valószínűsége a p1 második motor p2, pilótafülke p3. A repülőgép egyes részeit egymástól függetlenül érik el. Határozza meg annak valószínűségét, hogy a gépet eltalálják.
93. Két lövő egymástól függetlenül két lövést ad le (mindegyik a saját célpontjára). Annak valószínűsége, hogy egy lövéssel célt talál az első lövő számára p1 a másodiknak p2. A verseny győztese az a lövész, akinek a legtöbb lyuk van a célban. Keresse meg a valószínűséget Px mit nyer az első lövész.
94. űrobjektum mögött az objektumot valószínűséggel észlelik R. Egy objektum észlelése minden ciklusban a többitől függetlenül történik. Keresse meg annak valószínűségét NS ciklusban észleli az objektumot.
95. Az osztott ábécé kártyáira az orosz ábécé 32 betűje van írva. Véletlenszerűen egymás után öt lapot veszünk ki, és a megjelenés sorrendjében helyezzük el az asztalra. Határozza meg annak valószínűségét, hogy megkapja a „vége” szót.
96. Két golyó véletlenszerűen és egymástól függetlenül van szétszórva négy cellában, amelyek egymás után, egyenes vonalban helyezkednek el. Minden labda azonos 1/4 valószínűséggel talál el minden cellát. Határozza meg annak valószínűségét, hogy a golyók a szomszédos cellákba esnek.
97. Gyújtólövedékeket adnak le a repülőgépre. A repülőgép üzemanyaga négy, a törzsben egymás után elhelyezett tartályban összpontosul. A tartályok területe megegyezik. A gép begyújtásához elegendő két lövedéket ugyanabba a tartályba vagy a szomszédos tankokba ütni. Ismeretes, hogy két lövedék érte a tartályok területét. Határozza meg annak valószínűségét, hogy a repülőgép kigyullad.
98. Egy teljes kártyapakliból (52 lap) egyszerre négy kártya kerül ki. Határozza meg annak valószínűségét, hogy mind a négy kártya különböző színű.
99. A teljes kártyapakliból (52 lap) egyszerre négy kártya kerül ki, de az eltávolítás után minden kártya visszakerül a pakliba. Határozza meg annak valószínűségét, hogy mind a négy kártya különböző színű.
100. A gyújtás bekapcsolásakor a motor nagy valószínűséggel járni kezd R.
101. A készülék két üzemmódban működhet: 1) normál és 2) abnormális. A normál üzemmód az összes eszköz működési esetének 80% -ában megfigyelhető; kóros - 20%. Az eszköz meghibásodásának valószínűsége idővel t normál üzemmódban 0,1; a kóros - 0,7. Keresse meg a teljes valószínűséget R a készülék meghibásodása.
102. Az üzlet 3 beszállítótól fogad árut: 55% az 1-től, 20% a 2-tól és 25% a 3-tól. A házasságkötési arány 5, 6 és 8 százalék. Mekkora a valószínűsége annak, hogy a vásárolt hibás termék egy második szállítótól érkezett?
103. A benzinkút melletti autóforgalom 60%-a teherautók és 40%-a személygépkocsik. Mennyi a valószínűsége annak, hogy egy kamiont találunk egy benzinkúton, ha a tankolás valószínűsége 0,1, a személygépkocsié pedig 0,3
104. A benzinkút melletti autóforgalom 60%-a teherautók és 40%-a személygépkocsik. Mennyi a valószínűsége annak, hogy egy kamiont találunk egy benzinkúton, ha a tankolás valószínűsége 0,1, a személygépkocsié pedig 0,3
105. Az üzlet 3 beszállítótól fogad árut: 55% az 1-től, 20% a 2-tól és 25% a 3-tól. A házasságkötési arány 5, 6 és 8 százalék. Mennyi annak a valószínűsége, hogy a vásárolt hibás termék az 1. szállítótól érkezett.
106. Az osztott ábécé kártyáira az orosz ábécé 32 betűje van írva. Véletlenszerűen egymás után öt lapot veszünk ki, és a megjelenés sorrendjében helyezzük el az asztalra. Határozza meg annak valószínűségét, hogy megkapja a „könyv” szót.
107. Az üzlet 3 beszállítótól fogad árut: 55% az 1-től, 20% a 2-tól és 25% a 3-tól. A házasságkötési arány 5, 6 és 8 százalék. Mennyi annak a valószínűsége, hogy a vásárolt hibás termék az 1. szállítótól érkezett.
108. Két golyó véletlenszerűen és egymástól függetlenül van szétszórva négy, egymás után, egyenes vonalban elhelyezkedő cellában. Minden labda azonos 1/4 valószínűséggel talál el minden cellát. Határozza meg annak valószínűségét, hogy 2 golyó esik egy cellába
109. A gyújtás bekapcsolásakor a motor nagy valószínűséggel elkezd működni R. Határozza meg annak valószínűségét, hogy a motor elindul, amikor a gyújtást másodszor is ráadják;
110. Gyújtólövedékeket adnak le a repülőgépre. A repülőgép üzemanyaga négy, a törzsben egymás után elhelyezett tartályban összpontosul. A tartályok területe megegyezik. A gép begyújtásához elegendő két lövedékkel eltalálni ugyanazt a tankot. Ismeretes, hogy két lövedék érte a tartályok területét. Határozza meg annak valószínűségét, hogy a repülőgép kigyullad
111. A repülőgépet gyújtólövedékekkel lövik. A repülőgép üzemanyaga négy, a törzsben egymás után elhelyezett tartályban összpontosul. A tartályok területe megegyezik. A gép begyújtásához elegendő két lövedékkel eltalálni a szomszédos tankokat. Ismeretes, hogy két lövedék érte a tartályok területét. Határozza meg annak valószínűségét, hogy a repülőgép kigyullad
112. Az A urnában fehérek és B fekete golyókat. Egy labdát kivesznek az urnából, feljegyzik a színét és visszateszik az urnába. Ezt követően egy másik labdát vesznek ki az urnából. Határozza meg annak valószínűségét, hogy mindkét kivett golyó fehér lesz.
113. Az A urnában fehérek és B fekete golyókat. Egyszerre két golyót vesznek ki az urnából. Határozza meg annak valószínűségét, hogy ezek a golyók különböző színűek lesznek.
114. Két golyó véletlenszerűen és egymástól függetlenül van szétszórva négy, egymás után, egyenes vonalban elhelyezkedő cellában. Minden labda azonos 1/4 valószínűséggel talál el minden cellát. Határozza meg annak valószínűségét, hogy a golyók a szomszédos cellákba esnek.
115. Mása úgy jött el a vizsgára, hogy a program 25 kérdéséből 20-ra tudta a választ, a professzor 3 kérdést tesz fel. Mennyi a valószínűsége, hogy Mása válaszol 2 kérdésre?
116. A hallgatók 50 jegyből 10 "jó"-nak tartják. Petya és Masha felváltva húznak egy jegyet. Mennyi annak a valószínűsége, hogy mindketten „jó” jegyet kaptak?
117. A banki hiteligénylések statisztikája a következő: 10% - állapot. hatóságok, 20% - egyéb bankok, a többi - magánszemélyek. A hitelek vissza nem fizetésének valószínűsége 0,01, 0,05 és 0,2. A hitelek hány százalékát nem térítik vissza?
118. Az osztott ábécé kártyáira az orosz ábécé 32 betűje van írva. Véletlenszerűen egymás után öt lapot veszünk ki, és a megjelenés sorrendjében helyezzük el az asztalra. Határozza meg annak valószínűségét, hogy megkapja a „vége” szót.
119 A banki hiteligénylések statisztikája a következő: 10% - állapot. hatóságok, 20% - egyéb bankok, a többi - magánszemélyek. A hitelek vissza nem fizetésének valószínűsége 0,01, 0,05 és 0,2. A hitelek hány százalékát nem térítik vissza?
120. Annak a valószínűsége, hogy a fagylaltkereskedő heti forgalma meghaladja a 2000 rubelt. tiszta időben 80%, változó felhőzetben 50%, esős időben 10%. Mennyi annak a valószínűsége, hogy a forgalom meghaladja a 2000 rubelt? ha a tiszta idő valószínűsége 20%, a változó felhőzet és az esőzések - egyenként 40%.
