Milyen értéket tartalmaz a Bayes Formula. A Bayes Theorem egyszerű magyarázata

A képlet visszavonásával teljes valószínűség Feltételezték, hogy a hipotézisek valószínűsége a tapasztalat előtt ismert. A Bayes Formula lehetővé teszi a kezdeti hipotézisek átértékelését az új információk fényében, ami az esemény bekövetkezett. Ezért a Bayes Formula felhívja a finomítási képlet hipotéziseit.

Tétel (Bayes Formula). Ha az esemény csak az egyik hipotézissel fordulhat elő
amely teljes eseménycsoportot képez, majd a hipotézisek valószínűsége, feltéve, hogy az esemény történt, a képlet által kiszámított

,
.

Bizonyíték.

A Bayes képlet vagy a hipotézisek értékelésének Bayesian megközelítése fontos szerepet játszik a gazdaságban, mert Lehetővé teszi a vezetési döntések kiigazítását, az ismeretlen paraméterek értékelését a statisztikai elemzésben stb.

Példa. A villanycsövet két gyárban gyártják. Az első növény az elektrollampok teljes számának 60% -át teszi ki, a második 40%. Az első növény termékei 70% -a szabványos lámpák, második - 80%. A bolt mindkét növény termékei jönnek. A boltban vásárolt fény standardnak bizonyult. Keresse meg az esélyt, hogy a lámpa az első gyárban történik.

A probléma feltételét írjuk a megfelelő megnevezések bevezetésével.

Adott: esemény ez az, hogy a lámpa szabványos.

Hipotézis
ez az, hogy a lámpa az első gyárban történik

Hipotézis
ez az, hogy a lámpa a második gyárban történik

Megtalálni
.

Döntés.

5. Ismételt független tesztek. Bernoulli formula

Tekintsünk egy sémát független tesztek vagy bernoulli Schemeamely fontos tudományos fontossággal és sokszínű gyakorlati alkalmazásokkal rendelkezik.

Hagyjuk előállítani független tesztek, amelyek mindegyike előfordulhat .

Meghatározás. Teszt hívottfüggetlen Ha mindegyikben egy esemény

amely nem függ attól, hogy egy esemény megjelent-e vagy nem jelenik meg
más tesztekben.

Példa. 20 izzólámpát szállítanak a próbapadhoz, amelyeket 1000 órán belül terhelés alatt teszteltek. Az a valószínűsége, hogy a lámpa elviseli a tesztet 0,8, és nem függ attól, hogy mi történt más lámpákkal.

Ebben a példában a tesztet úgy értjük, hogy ellenőrizzük a lámpát, hogy 1000 órán belül ellenálljon a terhelésnek. Ezért a tesztek száma egyenlő
. Minden egyes tesztben csak két kiesés lehetséges:

Meghatározás. Ismételt független vizsgálatok sorozata, amelyek mindegyikében az esemény
ugyanazzal a valószínűséggel jön
nem függő tesztelésre kerülnekbernoulli Scheme.

Az ellenkező esemény valószínűsége jelöli
, továbbá, amint azt fentebb,

Tétel. A Bernoulli-rendszer feltételeiben a valószínűség, hogy független vizsgálati esemény meg fog jelenni
egyszer, a képlet által meghatározott

hol
független vizsgálatok száma;

az események megjelenéseinek száma
;

egy esemény valószínűsége
külön tesztben;

a nem események valószínűsége
külön tesztben;

Események formája teljes csoportHa legalább egyikük szükségszerűen a kísérlet eredményeképpen következik be, és párban érthetetlen.

Tegyük fel, hogy ez az esemény A.lehet, hogy csak az egyik pár páros hiányos esemény, amely teljes csoportot képez. Az eseményeket hívjuk ( ÉN.= 1, 2,…, n.) hipotézisduppress (egy priori). Az A esemény megjelenésének valószínűségét a képlet határozza meg teljes valószínűség :

16. példa.Három urn van. Az első urnában 5 fehér és 3 fekete golyó van, a második - 4 fehér és 4 fekete golyóban, a harmadik - 8 fehér golyóban. Véletlenszerűen kiválasztott az egyik urn (ez például azt jelentheti, hogy a kiegészítő URN kiválasztása elvégzendő, ahol három, 2 és 3 számú golyó van. Ebből az urnából a labdát eltávolítja a labda. Mi a valószínűsége, hogy kiderül, hogy fekete?

Döntés. Esemény A.- Fekete golyó kivonva. Ha ismert volna, hogy melyik gömböt kivonják, akkor a kívánt valószínűséget a valószínűség klasszikus definíciójával lehet kiszámítani. Bemutatjuk a feltételezéseket (hipotézisek), hogy melyik urn van kiválasztva a labda eltávolítása érdekében.

A labda kivonható vagy az első urnából (hipotézis), vagy a második (hipotézis), vagy a harmadik (hipotézis). Mivel ugyanazok az esélyek vannak, ha az urnák közül választhatunk .

Ezért következik, hogy

17. példa.Az elektrollampok három gyárban készülnek. Az első növény az elektrollampok teljes számának 30% -át teszi ki, a második - 25%,
És a harmadik a többi. Az első növény termékei 1% hibás elektrollamp, a második - 1,5%, harmadik - 2%. A bolt az összes három növény terméke. Mi a valószínűsége, hogy a boltban vásárolt lámpa hibás volt?

Döntés. A feltételezéseket be kell vezetni, amellyel a gyárat az elektrollamp készítette. Tudva, hogy megtaláljuk a valószínűséget, hogy hibás. Bemutatjuk a jelölést az eseményekhez: A.- A megvásárolt elektrolimpa hibás volt - a lámpát az első üzem elvégzi, a lámpát a második növény végzi,
- A lámpát a harmadik üzem végzi.

A kívánt valószínűséget a teljes valószínűség képletével találja:

Bayes Formula. Hagyja, hogy teljes csoport legyen párban hiányos események (hipotézisek). DE– véletlen esemény. Azután,

A legutóbbi képlet, amely lehetővé teszi, hogy túlbecsülje a hipotézisek valószínűségét a vizsgálati eredmény után, aminek következtében egy esemény megjelent bayes Formula .

18. példa.A speciális kórház átlagosan 50% -a betegségben szenved NAK NEK, 30% - C-betegség L., 20 % –
Betegséggel M.. A teljes betegség valószínűsége K.0,7 betegséggel egyenlő L.és M.ezek a valószínűségek 0,8 és 0,9. A beteg belépett a kórházba, egészséges volt. Keresse meg annak a valószínűségét, hogy ez a beteg szenvedett a betegségben K..

Döntés. Bevezetjük a hipotéziseket: - a beteg szenvedett a betegségben NAK NEK L.- a beteg szenvedett a betegségben M..

Ezután a feladat feltétele alatt van. Bevezetünk egy eseményt DE- A kórházba belépő beteg egészséges volt. Állapot szerint

A teljes valószínűségi képlet szerint:

A Bayes Formula szerint.

19. példa.Hagyja öt golyót és minden feltevést a fehér golyók számával egyenlő a fehér golyók számával. A labda az urnából vett, fehér volt. Milyen valószínűleg az urn kezdeti összetételére vonatkozik?

Döntés. Hagyja, hogy a fehér golyók urnájában van-e hipotézis , én lehet, hogy hat feltételezés. Ezután a feladat feltétele alatt van.

Bevezetünk egy eseményt DE- A golyó nagyítása fehér. Kiszámítja. Mivel a Bayes Formula van:

Így a legvalószínűbb hipotézis, mivel, t ..

20. példa.A számítástechnikai eszköz három egymástól független elemének kettőt megtagadták. Keresse meg annak a valószínűségét, hogy az első és a második elem elutasította, ha az első, második és harmadik elem megtagadásának valószínűsége 0,2; 0,4 és 0,3.

Döntés. Kijelent DEesemény - elutasította két elemet. A következő hipotéziseket rajzolhatja:

- Elutasította az első és a második elemeket, és a harmadik elem helyes. Mivel az elemek önállóan működnek, a szorzási tétel alkalmazható:

Megfogalmazza és bizonyítja a teljes valószínűségi képletet. Adjon példát az alkalmazására.

Ha az Események H1, H 2, ..., H N párban vannak, akkor következetlen, és ezek közül az eseményeknek legalább az egyik ilyen eseménynek kell előfordulnia, akkor minden esetben az egyenlőség igaz:

P (a) \u003d p h1 (a) p (h 1) + p h2 (a) p (H 2) + ... + P Hn (A) P (H N) egy teljes valószínűségi képlet. Ebben az esetben a H 1, H 2, ..., H N-t hipotéziseknek nevezik.

Bizonyíték:Esemény egy bomlások a lehetőségek: ah 1, Ah 2, ..., ah N. (És előfordul a H 1, stb.) Más szóval, van egy \u003d ah 1 + ah 2 + ... + ah n. Mivel H 1, H 2, ..., H N ellentmondásos, akkor az események ah 1, ah 2, ..., ah n hiányosak. A formulációs szabály alkalmazása, megtaláljuk: p (a) \u003d p (ah 1) + p (AH 2) + ... + P (ah n). A termék jobb oldalának P (Ah i) pontja helyett P hi (a) p (h i), megkapjuk a kívánt egyenlőséget.

Példa:

Tegyük fel, hogy két részletünk van. A valószínűsége, hogy az első készlet részlete a standard 0,8, a második pedig 0,9. Megtaláljuk a valószínűségét, hogy a részletek szabványosak.

P (a) \u003d 0,5 * 0,8 + 0,5 * 0,9 \u003d 0,9 \u003d 0,85.

Szó és bizonyítsa a Bayes képletet. Adjon példát az alkalmazására.

Bayes Formula:

Lehetővé teszi, hogy túlbecsülhesse a hipotézisek valószínűségét, miután a vizsgálati eredmény ismertté válik, eredményeként egy esemény megjelent

Bizonyíték: Hagyja, hogy az A eseményt feltételezzük, hogy az egyik hiányos H 1, H2, ..., H N a teljes csoport kialakításának feltétele. Mivel előzetesen nem ismert, melyik esemény jön, hipotéziseknek nevezik.

Az A esemény megjelenésének valószínűségét a teljes valószínűség képlete határozza meg:

P (a) \u003d p h1 (a) p (h1) + p h2 (a) p (h 2) + ... + p hn (a) p (h n) (1)

Tegyük fel, hogy egy tesztet végeztünk, amelynek eredményeképpen megjelent egy esemény. Meghatározta, hogy megváltozott, mivel az esemény már eljött, a hipotézisek valószínűsége. Más szóval, feltételes valószínűségeket keresünk.

P a (h 1), p a (h 2), ..., p a (h n).

A multiplication theorem van:

P (Ah i) \u003d p (a) p a (h i) \u003d p (h i) p hi (a)

Cserélje ki itt p (a) képletet (1), kapunk

Példa:

A doboz három azonos megjelenése van. Az első fiókban n \u003d 12 fehér golyó, a második m \u003d 4 fehér és n-m \u003d 8 fekete golyó, a harmadik n \u003d 12 fekete golyóban. A kiválasztott központból a dobozt fehér labdát vettek ki. Keresse meg annak a valószínűségét, hogy a labda eltávolításra kerül a második dobozból.

Döntés.

4) A valószínűségre vonatkozó képlet kimenések.a sorozat sikerein.bernoulli-rendszer szerint tesztek.

Fedezze fel az ügyet, ha előállított n. azonos és független kísérletek, amelyek mindegyike csak 2 eredmény ( A;). Azok. Néhány tapasztalat megismétlődik n.egyszer, és minden egyes tapasztalattal rendelkező esemény DEvalószínűséggel megjelenhet P (a) \u003d qvagy nem jelenik meg valószínűséggel P () \u003d q-1 \u003d p .

Az egyes tesztsorozatok elemi eseményeinek helye pontokat vagy szekvenciákat tartalmaz a karakterekről. DEés. Az ilyen valószínűségi teret Bernoulli-rendszernek nevezik. A feladat az, hogy erre van szükség k. Keresse meg annak valószínűségét, hogy mikor n-többszörös ismétlődő tapasztalat esemény DEeljövetel K.idő.

Nagyobb tisztaság érdekében minden esemény minden eseményét figyelembe vesszük. DEtekintsünk sikert DE -milyen sikertelen. Célunk, hogy megtaláljuk a valószínűségét n.kísérletek rivne K.sikeres lesz; Ezt az eseményt ideiglenesen jelöli B.

Esemény BAN BENÚgy tűnik, hogy az események összege - esemény opciók BAN BEN.Egy adott lehetőség javításához meg kell adnia a sikerrel végző kísérletek számát. Például az egyik lehetséges lehetőségek van

. Nyilvánvaló, hogy minden lehetőség nyilvánvalóan, és az egyes lehetőségek valószínűsége a kísérletek függetlenségének köszönhetően egyenlő. Ezért egy esemény valószínűsége BAN BENegyenlő. Hangsúlyozni a kifejezés függőségét n.és k,megjelöl . Így, .

5) A LAPLACE integrált hozzávetőleges képletének felhasználásával a képletet kimutassuk az A esemény viszonylagos frekvenciájának eltérésével az A kezdeti egy kísérletben P valószínűségére.

A Bernoulli-séma feltételei között az N és P meghatározott értékekkel E\u003e 0 esetében becsüljük meg az esemény valószínűségét, ahol K a N kísérletek sikeresek száma. Ez az egyenlőtlenség egyenértékű K-NP | £ en, azaz - K-NP £ en vagy np-en £ k £ np + en. Így arról beszélünk, hogy becslést kapunk egy esemény valószínűségéhez K 1 £ k k 2 £ 2, ahol k 1 \u003d np-en, k 2 \u003d np + en. A Laplace integrált hozzávetőleges képletének felhasználásával kapjuk meg: P (", figyelembe véve a Laplace funkció furcsaságát, hozzávetőleges egyenlőséget kapunk P (2F.

jegyzet : Mivel Az n \u003d 1 állapot alatt helyettesítjük az egység helyett, és megkapjuk a végső választ.

6) engedje X.- diszkrét véletlen érték, amely csak nem negatív értékeket vesz igénybe, és matematikai elvárásokkal rendelkezik m.. Bizonyítsd P.(X.≥ 4) ≤ m /4 .

m \u003d (mert az 1. pozitív, akkor ha eltávolításra kerül, akkor kevesebb lesz) (Cserélje ki a.4, csak kevesebb lesz) ³ = \u003d 4 × P.(X.³4). Innen P.(X.≥ 4) ≤ m /4 .

(4 helyett lehet bármilyen szám).

7) Bizonyítsuk be, hogy ha X. és Y. - független diszkrét véletlen változók, amelyek véges sok értéket vesznek fel M (xy) \u003d m (x) m (y)

x 1	x 2	…
P 1	P 2.	…

a számot hívják M (xy)\u003d x 1 p 1 + x 2 p 2 + ...

Ha véletlen változók X. és Y. Független, akkor a matematikai elvárás munkájuk egyenlő a termék a matematikai elvárások (a tétel a szorzás matematikai elvárások).

Bizonyíték: Lehetséges értékek X. Jelöli x 1, x 2, ...Lehetséges értékek Y - y 1, y 2, ... de p ij \u003d p (x \u003d x i, y \u003d y j). Xy. M (xy) \u003dTekintettel a nagyság függetlenségére X. és Y. Nekünk van: P (x \u003d x i, y \u003d y j) \u003d p (x \u003d x i) p (y \u003d y j). Jelzett P (x \u003d x i) \u003d r i, p (y \u003d y j) \u003d s j, írja át ezt az egyenlőséget az űrlapon p ij \u003d r i s j

Ilyen módon M (xy)\u003d \u003d. A kapott egyenlőség átalakítása, mi befizetés: M (xy) \u003d () () \u003d m (x) m (y),q.E.D.

8) Bizonyítsuk be, hogy ha X.és Y.- A véges sok értéket figyelembe véve diszkrét véletlen változókat M.(X.+Y.) = M.(X.) +M.(Y.).

A diszkrét véletlen változó matematikai elvárása az elosztási törvényhez

x 1	x 2	…
P 1	P 2.	…

a számot hívják M (xy)\u003d x 1 p 1 + x 2 p 2 + ...

A két véletlen változó összegének matematikai várakozása megegyezik az összetevők matematikai elvárásainak összegével: m (x + y) \u003d m (x) + m (y).

Bizonyíték: Lehetséges értékek X. Jelöli x 1, x 2, ...Lehetséges értékek Y - y 1, y 2, ... de p ij \u003d p (x \u003d x i, y \u003d y j). A nagyságrendelosztás törvénye X + Y. a megfelelő táblázat fejezi ki. M (x + y) \u003d . Ezt a képletet az alábbiak szerint lehet átírni: M (x + y) \u003d . A jobb rész első összegét az űrlapon lehet ábrázolni. A kifejezés valószínűsége, hogy bármelyik esemény jön (x \u003d x i, y \u003d y 1), (x \u003d x i, y \u003d y 2), ... ezért ez a kifejezés P (X \u003d X I). Innen . Hasonlóképpen, . Ennek eredményeként: m (x + y) \u003d m (x) + m (y), amelyet be kellett bizonyítani.

9) engedje H. - diszkrét véletlen változó, elosztva a binomiális elosztási törvénynek megfelelően paraméterekkel n. és r. Bizonyítsd M (x) \u003d n, D (x) \u003d np (1-p).

Hagyjuk előállítani n. független tesztek, amelyek mindegyikében egy esemény megjelenhet és valószínűleg rTehát az ellenkező esemény valószínűsége Ā egyenlő q \u003d 1-p. Fontolja meg a Cl. nagyság H. - az események száma DE ban ben n. kísérletek. Képzelje el az eseménymutatók és az egyes tesztek formájában: X \u003d x 1 + x 2 + ... + x n. Most ezt bizonyítjuk M (x i) \u003d p, d (x i) \u003d np. Ehhez fontolja meg az elosztás törvényét. Az értékek, amelyek úgy néznek ki:

H.
R	R	Q.

Nyilvánvaló, hogy M (x) \u003d p, a véletlen x 2 ugyanazt az elosztási törvényt tartalmazza, így D (x) \u003d m (x 2) -m 2 (x) \u003d p-p 2 \u003d p (1-p) \u003d rq. Ilyen módon M (x i) \u003d p, D (x i) \u003d pq. A matematikai elvárások kialakulásával M (x) \u003d m (x 1) + .. + m (x n) \u003d np.A véletlen változók óta X I.független, akkor a diszperziók is összecsuknak: D (x) \u003d d (x 1) + ... + d (x n) \u003d npq \u003d np (1-p).

10) engedje X.- Diszkrét véletlen változó, amely a Poisson törvényének megfelelően oszlik el λ paraméterrel. Bizonyítsd M.(X.) = λ .

Poisson törvénye az asztalra van állítva:

Innen:

Így a Poisson eloszlást jellemző λ paraméter, amely nem más, mint egy matematikai várakozás az X.

11) Legyen X egy diszkrét véletlen érték, amelyet a geometriai törvényben elosztott, p paraméterrel. Bizonyítsa, hogy m (x) \u003d.

Geometriai törvény A disztribúciók a Bernoulli vizsgálati szekvenciájához kapcsolódnak az 1. sikeres eseményhez. Az egy teszt egy teszt megjelenésének valószínűsége egyenlő az ellenkező esemény Q \u003d 1-p. A véletlen változó elosztási törvénye - A tesztek száma van:

H.			…	N.	…
R	R	Pq.	…	PQ N-1	…

A zárójelben rögzített sorokat kellemetlen differenciálódással kapják meg. geometriai progresszió

Ennélfogva, .

12) Bizonyítsuk be, hogy a véletlen változók és az Y korrelációs együtthatója megfelel az állapotnak.

Meghatározás: A két véletlen változó korrelációs együtthatója a kovariancia aránya az ezeknek a mennyiségeknek az átlagos négyzetes eltéréseinek termékére: . .

Bizonyíték: Tekintsük a z \u003d véletlen értéket. Kiszámítja a diszperziót. Mivel a bal oldal nem negatív, akkor a jobboldali nem negatív. Következésképpen | ρ | ≤1.

13) Hogyan számítják ki a diszperziót a sűrűségű folyamatos eloszlás esetében f.(x.)? Bizonyítsuk be, hogy véletlen változóhoz X.sűrűséggel diszperzió D.(X.) Nem létezik, és a matematikai elvárások M.(X.) létezik.

Az x (x) sűrűségfüggvényen és az M \u003d M (x) matematikai várakozású x-es x) diszperzióját ugyanolyan egyenlőség határozza meg, mint egy diszkrét érték

.

Abban az esetben, ha egy abszolút folyamatos x véletlenszerű érték koncentrálódik az intervallumon,

∞ - Az integrált eltérések, ezért a diszperzió nem létezik.

14) Bizonyítsuk be, hogy az X normál véletlenszerű változóhoz az eloszlási sűrűség funkcióval Matematikai elvárás m (x) \u003d μ.

Bizonyítjuk, hogy μ egy matematikai várakozás.

A folyamatos S.V. matematikai elvárásának meghatározása,

Új változót vezetünk be . Innen. Figyelembe véve, hogy az új integrációs korlátok régiek, kapunk

Az első összetevőnek az iránymutatás funkciójának furcsaságának köszönhetően nulla. A második kifejezés egyenlő μ (Poisson Integral ).

Így, M (x) \u003d μ. A normál eloszlás matematikai elvárása megegyezik a paraméterrel μ.

15) Igazoljuk, hogy a normál eloszlású véletlen változó a sűrűsége funkciója a dissision elosztó D (x) \u003d σ 2.

A képlet leírja a valószínűségek normális eloszlásának sűrűségét a folyamatos S.V.

Bizonyítjuk, hogy - a normál eloszlás átlagos négyzetes eltérése. Új változót vezetünk be z \u003d (x-μ) /. Innen . Figyelembe véve, hogy az új integrációs korlátok régiek, kapunk Integrálva az alkatrészekbe, üzembe u \u003d Z., Következésképpen meg fogjuk találni, és a normál eloszlás átlagos eltérése megegyezik a paraméterrel.

16) Bizonyítsuk be, hogy egy folyamatos véletlenszerű változó számára, amely a paraméterrel, a matematikai elvárásokkal rendelkező indikatív jog szerint terjesztett.

Azt mondják, hogy az x véletlenszerű érték, amely csak nem negatív értékeket vesz igénybe, jelentős joggal rendelkezik, ha a sűrűség funkció: sűrűségfüggvény:

A matematikai elvárás megtalálása a képletet használjuk

Valószínűleg ismerjük őket, és a megfelelő feltételes valószínűségeket. Ezután az események valószínűsége megegyezik:

Ezt a képletet nevezték el formulák Teljes valószínűség. A tankönyvekben a tétel által megfogalmazott, amelynek bizonyítéka elemi: szerint események algebra, (esemény történt és vagy Esemény történt és Miután valaha is vagyesemény történt és Miután valaha is vagy …. vagy Esemény történt és miután eljött egy esemény). Hipotézis óta ellentmondásos és egy esemény - attól függően a hiányos események valószínűségének hozzáadásának tétele (első lépés) és a valószínűségi függő események szándéka (második lépés):

Valószínűleg sokan előrejelzik az első példa tartalmát \u003d)

Bárhol is köpködöm - mindenhol urn:

1. feladat.

Három azonos urna van. Az első urnában 4 fehér és 7 fekete golyó van a második - csak fehér és a harmadik - csak fekete golyóban. Maudoku van kiválasztva egy uralt, és egy labdát véletlenszerűen kivonják tőle. Mi a valószínűsége, hogy ez a labda fekete?

Döntés: Tekintsünk egy eseményt - egy fekete labdát kivonnak a választott urn légköréből. Ez az esemény az alábbi hipotézisek egyikének megvalósítása következtében következik be:
- az 1. urnát választják ki;
- a második urnát választják ki;
- A 3. urnát választják.

Mivel az urnát véletlenszerűen választják, a három urnának bármelyikének megválasztása egyenlő, ennélfogva:

Kérjük, vegye figyelembe, hogy felsorolt \u200b\u200bhipotézisek teljes rendezvénycsoport, azaz az állapot szerint egy fekete golyó csak ezekből az urnákból jelenik meg, és például nem repülnek biliárdasztal. Egy egyszerű közbenső ellenőrzést fogunk felhívni:
, OK, menj tovább:

Az első urn 4 fehér + 7 fekete \u003d 11 golyó, klasszikus definíció:
- a fekete golyó kitermelésének valószínűsége feltéve, hogyhogy az 1. urn kerül kiválasztásra.

A második urnában csak fehér golyók, így a választás esetén A fekete golyó megjelenése válik lehetetlen: .

És végül, a harmadik urna egy fekete golyóban, és ezért megfelel feltételes valószínűség Fekete gömb kivonat lesz (Az esemény megbízható).

- annak a valószínűsége, hogy a fekete labdát a választott urn véletlenszerűen kivonják.

Válasz:

A szétszerelt példa ismét azt sugallja, hogy mennyire fontos az állapotba való bejutás. Ugyanazokat a feladatokat használja az urnákkal és golyókkal - ha külső hasonlóság, a megoldások teljesen eltérőek lehetnek: valahol csak akkor kell alkalmazni klasszikus valószínűségi meghatározás, valahol események függetlenvalahol függő, és valahol hipotézisekről beszélünk. Ugyanakkor nincs egyértelmű formai kritérium a megoldás megoldásának kiválasztásához - szinte mindig át kell gondolkodnia rajta. Hogyan javítható a képesítések? Úgy döntünk, hogy újra eldöntjük és megoldjuk!

2. feladat.

A kötőjelben 5 különböző puska-csata pontosság van. A nyíl célpontjának beírásának valószínűsége 0,5; 0,55; 0,7; 0,75 és 0,4. Mi a valószínűsége a cél elérésének valószínűsége, ha a lövő egy lövés egy véletlenszerűen kiválasztott puskát?

Rövid megoldás és válasz a lecke végén.

A legtöbb tematikus feladatokban a hipotézis természetesen nem egyenletesen egyenlő:

3. feladat.

A piramis 5 puskák, amelyek közül három optikai látványos. Annak a valószínűsége, hogy a lövő meg fogja érni a célt, amikor egy puskát készített egy optikai látásra, 0,95-vel; Egy puska optikai látvány nélkül ez a valószínűség 0,7. Keresse meg az esélyt, hogy a cél elcsodálkozik, ha a lövő egy lövést készít egy sorban.

Döntés: Ebben a feladatban a puskák száma pontosan ugyanaz, mint az előzőben, de csak két hipotézis van:
- A lövő optikai látványossággal választja ki a puskát;
- A lövő optikai látvány nélkül válogat egy puskát.
Által a valószínűség klasszikus meghatározása: .
Ellenőrzés:

Tekintsük az eseményt: - A lövész elérje a célt származó véletlenszerűen puska venni.
Állapot szerint :.

A teljes valószínűségi képlet szerint:

Válasz: 0,85

A gyakorlatban meglehetősen rövidített a feladat regisztrálási módja, amelyet is tudsz:

Döntés: Klasszikus definíció szerint: - A puska optikai és optikai látvány nélkül történő kiválasztásának valószínűsége.

Állapot szerint, - a cél elérésének valószínűsége a megfelelő típusú puskákból.

A teljes valószínűségi képlet szerint:
- annak a valószínűsége, hogy a lövő a kiválasztott puska rámpájából fogja elérni a célt.

Válasz: 0,85

Következő feladat Önállóan dönt:

4. feladat.

A motor három üzemmódban működik: normál, kényszerített és üresjáratban. Idling módban a hiba valószínűsége 0,05, normál üzemmódban - 0,1, és kénytelen - 0,7. A motor 70% -a normál üzemmódban működik, és 20% kénytelen. Mi a valószínűsége a motor kudarcának a működés során?

Csak abban az esetben, ha emlékeztessem Önt -, hogy a valószínűségi érdekek százalékos arányt kell osztani 100-ra. Legyen nagyon óvatos! Észrevételeim szerint a teljes valószínűségi képlet feladatainak feltételei gyakran próbálnak felvenni; És kifejezetten felvettem egy ilyen példát. Elmondom neked egy titkot - nem zavartam majdnem \u003d)

Megoldás a lecke végén (rövid úton díszítve)

A Bayes képletek feladata

Az anyag szorosan kapcsolódik az előző bekezdés tartalmához. Hagyja, hogy az esemény az egyik hipotézis végrehajtása következtében történt . Hogyan lehet meghatározni annak valószínűségét, hogy volt egy ilyen hipotézis helye?

Feltéve, hogyez az esemény már megtörténtvalószínűségi hipotézis túlbecsült A képletek szerint, hogy megkapta az angol pap, Thomas Bayes:

- annak valószínűsége, hogy hipotézis volt;
- annak valószínűsége, hogy hipotézis volt;
…
- annak valószínűsége, hogy volt egy hipotézis.

Első pillantásra úgy tűnik, hogy teljes értelmetlen - miért újraszámítja a hipotézisek valószínűségét, ha olyan híresek? De valójában van egy különbség:

- ez eleve (Névleges előtt Tesztek) valószínűsége.

- ez apapery (Névleges utána Tesztek) Az ugyanazon hipotézisek valószínűsége, amelyet az "újonnan felfedezett körülmények" miatt újraszámítanak - figyelembe véve azt a tényt, hogy az esemény megbízható történt.

Tekintsük ezt a megkülönböztetést konkrét példa:

5. feladat.

A Warehouse 2 kötegelt terméket kapott: az első - 4000 darab, a második - 6000 darab. A nem szabványos termékek átlagos százaléka az első tételben 20%, a második - 10% -ban. Raduchi vett a raktárból A termék standard. Keresse meg annak valószínűségét, hogy: a) az első tételből, b) a második tételből.

Első rész megoldások Ez teljes valószínűségi képletet tartalmaz. Más szóval, a számításokat a vizsgálat feltételezésével tartják még nem termelt Esemény "A termék standardnak bizonyult" addig, amíg el nem éri.

Tekintsünk két hipotézist:
- a jobbkezes termék az 1. félből származik;
- A termék határát a 2. féltől származik.

Összesen: 4000 + 6000 \u003d 10 000 termék raktáron. Klasszikus definíció szerint:
.

Ellenőrzés:

Tekintsük a függő eseményt: - a raktárból származó termék nagyítása lesz Alapértelmezett.

Az első köteg 100% - 20% \u003d 80% -a szabványos termékek, így: feltéve, hogyhogy az 1. félhez tartozik.

Hasonlóképpen, a második köteg 100% - 10% \u003d 90% -a szabványos termékek és - annak valószínűsége, hogy a raktárban lévő termék standard lesz feltéve, hogyhogy a 2. félhez tartozik.

A teljes valószínűségi képlet szerint:
- annak a valószínűsége, hogy a raktárban lévő termék standard lesz.

Második rész. Hagyja, hogy a raktárból származó sáros a termék szabványos legyen. Ez a kifejezés közvetlenül az állapotban van, és azt állítja, hogy az esemény bekövetkezett.

Bayes-formulák szerint:

a) - annak a valószínűsége, hogy a kiválasztott szabványos termék az 1. tételhez tartozik;

b) - annak a valószínűsége, hogy a választott szabványos termék a 2. tételhez tartozik.

Utána Átértékelés Természetesen hipotézisek még mindig kialakulnak teljes csoport:
(Jelölje be ;-))

Válasz:

Ivan Vasilyevich segít nekünk megérteni a hipotézisek átértékelésének jelentését, aki ismét megváltoztatta szakmáját, és az üzem igazgatója lett. Tudja, hogy ma az első workshop 4000-et szállított a raktárba, és a 2. üzlet 6000 termék, és megbizonyosodik róla. Tegyük fel, hogy az azonos típusú termék egy tartályban van. Természetesen Ivan Vasilyevich előzetesen kiszámították azt a terméket, amelyet most, amelyet most eltávolít, valószínűleg az 1. műhely, és valószínűséggel - a második. De miután a kiválasztott termék kiderül, hogy standard, felkiáltja: "Milyen hűvös csavar! - Valószínűleg kiadta a 2. boltot. Így a második hipotézis valószínűségét túlbecslik legjobb oldal És az első hipotézis valószínűségét alábecsüljük :. És ez az átértékelés nem mozdul -, mert a 2. üzletben előállított nemcsak több termék, hanem működik 2-szer jobb!

Azt mondod, tiszta szubjektivizmus? Részben igen, ráadásul a Bayes maga értelmezte apapery valószínűségesség bizalmi szint. Azonban nem minden olyan egyszerű - objektív gabona van a Bayesian megközelítésben. Végtére is, annak a valószínűsége, hogy a termék standard lesz (0,8 és 0,9 az 1. és 2. műhelyekhez) ez előzetes (a priori) és középsőbecslések. De filozófiai - minden áramlás, minden változás, és valószínűség, beleértve. Lehetséges, hogy a kutatás idején A sikeresebb második műhely növelte a szabványos termékek százalékos arányát (és / vagy az 1. műhely csökkentette)És ha többet vagy mindössze 10 ezer terméket állít be raktáron, akkor az átértékelt értékek sokkal közelebb kerülnek az igazsághoz.

By the way, ha Ivan Vasilyevich eltávolítja nem szabványos részlet, Éppen ellenkezőleg - ez lesz több "gyanús" az 1. workshop és kevesebb - a második. Azt javaslom, hogy megbizonyosodjunk arról, hogy:

6. feladat.

A Warehouse 2 kötegelt terméket kapott: az első - 4000 darab, a második - 6000 darab. A nem szabványos termékek átlagos százaléka az első tételben 20%, a második - 10% -ban. A raktár termékből származó raduch kiderült nemalapértelmezett. Keresse meg annak valószínűségét, hogy: a) az első tételből, b) a második tételből.

Az állapot két betűvel megkülönböztethető, hogy kiemeltem a merész betűtípust. A feladat megoldható egy "tiszta lap", vagy kihasználhatja az előző számítások eredményeit. A mintában töltöttem teljes megoldás, de annak érdekében, hogy ne legyen formális bélés az 5. feladat, esemény "A raktárból származó termék nem szabványos lesz" keresztül.

A Bayesian Chart a valószínűségek mindenhol történik, és azt aktívan kihasználja a különböző fajta csalók. Tekintsük a negatív JSC-t három betűre, amelyek vonzzák a lakosság betéteit, állítólag valahol befektetnek, megfelelően fizetett osztalékot stb. Mi történik? Nap mint nap, hónap múlva, és egyre több új tény, a reklám és a "sarafan rádió", csak növeli a bizalmi szintet pénzügyi piramis (A Posteriori Bayesov átértékelése az eseményekkel kapcsolatban!). Vagyis a betétesek szemében állandó növekedést mutat a valószínűséggel "Ez egy komoly iroda"; Ebben az esetben az ellenkező hipotézis valószínűsége ("Ezek a következő vésők")természetesen csökken és csökken. Továbbá úgy gondolom, érthető. Érdemes megjegyezni, hogy a szerzett hírnévnek örvend a szervezőknek, hogy sikeresen elrejtse Ivan Vasilyevich-t, aki nemcsak csavaros párt nélkül maradt, hanem nadrág nélkül is.

Nem kevésbé érdekes példákra, akkor visszatérünk egy kicsit később, valamint a sorban, talán a leggyakoribb eset három hipotézisgel:

7. feladat.

Az elektrollampok három gyárban készülnek. Az 1. növény a lámpák teljes számának 30% -át teszi ki, a 2. - 55% -os, és a 3. a többi. Az 1. növény termékei 1% hibás lámpákat, 2. - 1,5%, 3. - 2%. A bolt az összes három növény terméke. A megvásárolt lámpa házasság volt. Mi a valószínűsége, hogy a 2. növény készül?

Ne feledje, hogy a Bayes-formulákban az állapotban van előtt Néhányan megjelennek mi történtesemény ebben az esetben - lámpa megvásárlása.

Események hozzáadva, és döntés Kényelmesebb a "gyors" stílusban.

Az algoritmus pontosan ugyanaz: az első lépésben megtaláljuk a valószínűségét, hogy a megvásárolt lámpa egyáltalán kiderül hibás.

A forrásadatok használatával a valószínűséget fordítjuk:
- annak a valószínűsége, hogy a lámpát az 1., 2. és 3. növények gyártják.
Ellenőrzés:

Hasonlóképpen: - hibás lámpa gyártásának valószínűsége a vonatkozó gyárak számára.

A teljes valószínűségi képlet szerint:

- annak a valószínűsége, hogy a megvásárolt lámpa házasságban lesz.

Második lépés. Hagyja, hogy a megvásárolt lámpa hibás legyen (az esemény történt)

Bayes Formula:
- annak a valószínűsége, hogy a megvásárolt hibás lámpát a második növény végzi

Válasz:

Miért nőtt a második hipotézis kezdeti valószínűsége az átértékelés után? Végtére is, a második növény közepes a lámpa minőségében (első - jobb, a harmadik rosszabb). Miért nőtt apottery A hibás lámpa valószínűsége a 2. növényből származik? Ezt nem magyarázza a "hírnév", de a méret. Mivel a 2. szám megjelentette a legtöbbet nagyszámú Lámpák, majd rajta (legalább szubjektíven) és hab: "Valószínűleg ez a hibás lámpa innen van".

Érdekes megjegyezni, hogy az 1. és 3. hipotézisek valószínűségét átértékelték a várt irányban, és egyenlő:

Ellenőrzés: Mit kellett ellenőrizni.

Egyébként az alulértékelt és túlbecsült becslésekről:

8. feladat.

A hallgatói csoportban 3 ember van magas szint Előkészítés, 19 fő - közepes és 3 - alacsony. Valószínűség sikeres szállítás A diákok adatainak vizsgálata egyenlő: 0,95; 0,7 és 0,4. Ismeretes, hogy néhány hallgató átadta a vizsgát. Mi a valószínűsége, hogy:

a) Nagyon jól készült;
b) az átlagot elkészítették;
B) jól felkészült.

Végezze el a számításokat és elemezze a hipotézisek átértékelésének eredményeit.

A feladat közel van a valósághoz, és különösen hihető az építész diákok csoportjához, ahol a tanár gyakorlatilag nem ismeri a hallgató képességeit. Ebben az esetben az eredmény elég váratlan következményekkel járhat. (különösen az 1. félévben végzett vizsgák esetében). Ha egy rosszul felkészült diák szerencsés volt a jegynek, akkor a tanár valószínűleg jól veszi, vagy akár egy erős hallgató, aki jó osztalékot hoz a jövőben (Természetesen "fel kell emelni a sávot", és fenntartani a képet). Ha egy 7 napos hallgató és 7 éjszaka tanított, megismételte, de egyszerűen nem volt szerencsés, akkor további események alakulhatnak ki a nagyon rossz furnérban - számos felújítással és kiegyenlítéssel az indulás szélén.

Mit kell mondanom, a hírnév a legfontosabb tőke, nem véletlen, hogy sok vállalat viseli az alapító atyáik nevét nevét, aki 100-200 évvel ezelőtt vezetett munkát, és híres volt a kifogástalan hírnevükért.

Igen, a Bayesian megközelítés bizonyos mértékig szubjektív, de ... az élet annyira rendezett!

Rögzítse az anyagot a végső ipari példa alapján, amelyben elmondom, hogy még mindig nem találkozott műszaki finomságok Megoldások:

9. feladat.

Három gyári workshopok olyan hasonló elemeket állítanak elő, amelyek a gyülekezetet közös tartályba adják. Ismeretes, hogy az első műhely 2-szer több részletet ad, mint a második workshop, és 4-szer több, mint a harmadik műhely. Az első műhelyben a házasság 12%, a második - 8% -ban, a harmadik - 4% -ban. A tartály vezérléséhez egy részletet veszünk. Mi a valószínűsége, hogy hibás lesz? Mi a valószínűsége, hogy a kivonott hibás elem kiadta a 3. boltot?

Taki Ivan Vasilyevich újra lóháton \u003d) A filmből boldog kivitelben kell lennie)

Döntés: Az 5-8. Sz. Feladatokkal ellentétben kifejezetten egy olyan kérdésre van szükség, amely a teljes valószínűségi képlet segítségével megengedett. De másrészt az állapot egy kicsit "titkosított", és megoldja ezt a rebust, segít nekünk abban, hogy segítsen az iskolai készségnek a legegyszerűbb egyenletek kialakításában. "X" kényelmes a legkisebb érték:

Legyen - a harmadik műhely által előállított részletek aránya.

Állapot szerint az első bolt 4-szerese a harmadik műhely, ezért az 1. műhely részesedése.

Ezenkívül az első workshop 2-szer több terméket termel, mint a második műhely, ami azt jelenti, hogy az utóbbi megosztás :.

Engedje meg és oldja meg az egyenletet:

Így: - a tartályból kivont rész valószínűsége az 1., 2. és 3. üzletek felszabadulása.

Ellenőrzés :. Ezenkívül nem lesz felesleges, hogy megnézze a kifejezést "Ismeretes, hogy az első üzlet 2-szer többet termel, mint a második workshop, és 4-szer több, mint a harmadik műhely" És győződjön meg róla, hogy a kapott valószínűségi értékek megfelelnek ennek a feltételnek.

Az "x" kezdetben az 1. vagy a 2. műhely részesedésének részesedése volt - a valószínűségek kiemelkednek. De egy vagy más módon, a legnehezebb telek telt el, és a döntés szerepel a hengerelt rutban:

Az állapotból:
- A hibás rész gyártásának valószínűsége a megfelelő műhelyekhez.

A teljes valószínűségi képlet szerint:
- annak a valószínűsége, hogy a tartályból kitermelt teljes részlet nem szabványos.

A kérdés a második: Mi az a valószínűsége, hogy a kivonott hibás rész kiadta a 3. boltot? Ez a kérdés azt sugallja, hogy az elem már kivont, és kiderült, hogy hibás. A Bayes Formula hipotézise felülvizsgálata:
- a kívánt valószínűség. Abszolút várható - mert a harmadik műhely nemcsak a részletek legkisebb részesedését eredményezi, hanem minőséget is vezet!

Ebben az esetben voltam egyszerűsítse a négyszintes lövésthogy a feladatokban a Bayes-formuláknak elég gyakran kell tennie. De ez a lecke miatt valahogy véletlenül felvették a példákat, amelyekben sok számítás végezhető szokásos frakciók nélkül.

Hamarosan nincs pont "A" és "Be", a válasz jobb szöveg megjegyzései:

Válasz: - a tartályból kivont rész valószínűsége hibás lesz; - annak a valószínűsége, hogy a letöltött hibás elem kiadta a 3. boltot.

Amint láthatod, a teljes valószínűséggel és a Bayes-képlet képletével kapcsolatos feladatok meglehetősen egyszerűek, és valószínűleg ezért olyan gyakran próbálják megnehezíteni, hogy megnehezítsd, hogy megnehezítsd azt, amit az említett a cikk kezdete.

További példák a fájlban vannak kész megoldások az f.p.v.-en és Bayes FormulaEzenkívül valószínűleg szeretné, hogy mélyebben megismerje magát e témával más forrásokban. És a téma valóban nagyon érdekes - mi csak egy paradox Bayes.aki igazolja ezt a mindennapi tanácsot, hogy ha egy személyt diagnosztizálnak ritka betegség, értelme van arra, hogy újra és két ismételt független felmérés. Úgy tűnik, hogy kizárólag a kétségbeesés ... - De nem! De nem leszünk szomorúak.

- annak valószínűsége, hogy az önkényes választott diák átadja a vizsgát.
Hagyja, hogy a hallgató átadja a vizsgát. Bayes-formulák szerint:
de) - Az a valószínűség, hogy a vizsga elhunyt hallgató nagyon jól készült. Egy objektív kezdeti valószínűség túlértékelt, mivel szinte mindig valami "közepes" szerencsés kérdésekben, és nagyon erősen reagálnak, ami a kifogástalan képzés hibás benyomását okozza.
b) - Az a valószínűség, hogy a hallgató, aki átadta a vizsgát az átlag szerint. A kezdeti valószínűség enyhén túlértékelt, mert A diákok egy átlagos szintje készítmény általában a legtöbb, ezen kívül a tanár lesz a sikertelen „kiváló diák”, és alkalmanként és rosszul kiadások egy diák, aki nagyon szerencsés jegyet.
ban ben) - annak valószínűsége, hogy a vizsga átadott hallgató jól felkészült. A kezdeti valószínűség a rosszabbra kerül sor. Nem meglepo.
Jelölje be:
Válasz : Formula Bayes.:

A valószínűségi P (H i) H. hipotéziseket elsőbbségi valószínűségnek nevezik - valószínűségek a kísérletek előtt.
A P (A / H i) valószínűségeket a H I i hipotézis kölcsönös valószínűségének nevezik, amelyet a tapasztalat eredményeként finomítanak.

1. példa 1. A készüléket a kiváló minőségű részletekből és a szokásos minőség részleteitől gyűjthetjük. Az eszközök kb. 40% -át a kiváló minőségű részekből gyűjtik össze. Ha a készülék kiváló minőségű részekből áll, megbízhatóságát (a problémamentes működés valószínűsége) 0,95; Ha a szokásos minőség részleteiről - annak megbízhatósága 0,7. A készüléket egy időre teszteltük, és helyesen dolgozott. Keresse meg annak valószínűségét, hogy a kiváló minőségű részletekből áll.
Döntés. Két hipotézis lehetséges: H 1 - A készülék kiváló minőségű részekből áll; H 2 - A készüléket a normál minőség részleteitől szerelik fel. E hipotézisek valószínűsége a kísérlethez: p (h 1) \u003d 0,4, p (h 2) \u003d 0,6. A tapasztalat eredményeként megfigyelték az A-t - az eszközt kidolgozták a t időpontban. Ennek az eseménynek a feltételes valószínűsége a H 1 és H 2 hipotézis alatt: P (A | H 1) \u003d 0,95; P (A | H 2) \u003d 0,7. A (12) képlet szerint megtaláljuk a hipotézis valószínűségét H 1 tapasztalat után:

2. példa 2. szám. Két nyíl, függetlenül attól, hogy egy másik, lőjön egy célt, és mindegyik lövés. Az első nyíl elérésének valószínűsége a 0.8-ra, a második 0,4-re. A cél felvétele után egy bontást találtak. Feltételezve, hogy két nyíl nem tud ugyanabba a pontba jutni, megtalálja az első nyilak valószínűségét a célba.
Döntés. Hagyja, hogy egy esemény a - lövés után a cél, észlelt egy szeletet. A felvétel kezdete előtt lehetséges a hipotézisek:
H 1 - sem az első, sem a második lövő esik, ennek a hipotézisnek a valószínűsége: p (h 1) \u003d 0,2 · 0,6 \u003d 0,12.
H 2 - Mindkét nyíl esik, p (h 2) \u003d 0,8 · 0,4 \u003d 0,32.
H 3 - Az első nyilak esnek, és a második nem lesz esik, p (h 3) \u003d 0,8 · 0,6 \u003d 0,48.
H4 - Az első lövő nem esik le, és a második lesz esik, p (H 4) \u003d 0,2 · 0,4 \u003d 0,08.
Az esemény feltételes valószínűsége az ilyen hipotézisekkel egyenlő:

A H 1 és H 2 hipotézis tapasztalatai lehetetlenné válnak, és a H 3 és H hipotézisek valószínűsége
egyenlő lesz:

Tehát valószínűleg a cél elcsodálkozik az első lövő.

3. példa 3. szám. A telepítési műhelyben az elektromos motor csatlakozik az eszközhöz. Az elektromos motorokat három gyártóval szállítják. Raktáron vannak villanymotorok ezek a növények, illetve az összeg 19,6 és 11 db, amelyeket biztonságosan működtethető, amíg a végén a garanciális időszak, illetve a valószínűségek 0,85, 0,76 és 0,71. A munkavállaló esélye van egy motorra, és szerelje fel az eszközre. Keresse meg a garanciális időszak végét a jótállási időszak végéig, illetve az első, második vagy harmadik gyárgyártónak.
Döntés. Az első teszt az elektromos motor kiválasztása, a második az elektromos motor működése a jótállási időszak alatt. Tekintsük a következő eseményeket:
A - Az elektromos motor gondtalanul dolgozik a jótállási időszak végéig;
H 1 - A Monter a motort az első növény termékéből fogja elvégezni;
H 2 - A Monter a motort a második növény termékeiből fogja elvégezni;
H 3 - A Monter a motort a harmadik üzem termékétől fogja elvégezni.
Az A esemény valószínűségét a teljes valószínűség képletével számolják:

A feltételes valószínűségeket a feladat tekintetében adják meg:

Valószínűség

A Bayes-formulák (12) szerint kiszámítja a hipotézisek feltételes valószínűségét H I:

4. példa 4. A rendszer, hogy a rendszer működése során, amely három elemből áll, megtagadja az elemeket az 1., 2. és 3. számmal rendelkező elemeket, 3: 2: 5. Az említett elemek észlelésének valószínűségei 0,95-nak felelnek meg; 0,9 és 0,6.

b) Ennek a feladatnak a feltételei mellett a rendszer során elutasították az elutasítást. Melyik elem valószínűleg elutasította?

Döntés.
Legyen a hiba eseménye. Bemutatjuk a H1 hipotézis rendszert - az első elem meghibásodása, H2 a második elem meghibásodása, a H3 a harmadik elem elutasítása.
Megtaláljuk a valószínűségi hipotéziseket:
P (H1) \u003d 3 / (3 + 2 + 5) \u003d 0,3
P (H2) \u003d 2 / (3 + 2 + 5) \u003d 0,2
P (H3) \u003d 5 / (3 + 2 + 5) \u003d 0,5

A probléma feltétele szerint az esemény feltételes valószínűsége egyenlő:
P (A | H1) \u003d 0,95, p (A | H2) \u003d 0,9, p (A | H3) \u003d 0,6

a) Keresse meg a rendszer meghibásodásának észlelésének valószínűségét.
P (a) \u003d p (h1) * p (A | H1) + P (H2) * P (A | H2) + P (H3) * P (A | H3) \u003d 0,3 * 0,95 + 0,2 * 0,9 + 0,5 * 0,6 \u003d 0,765

b) Ennek a feladatnak a feltételei mellett a rendszer során elutasították az elutasítást. Melyik elem valószínűleg elutasította?
P1 \u003d P (H1) * P (A | H1) / p (A) \u003d 0,3 * 0,95 / 0,765 \u003d 0,373
P2 \u003d P (H2) * P (A | H2) / p (A) \u003d 0,2 * 0,9 / 0,765 \u003d 0,235
P3 \u003d p (h3) * p (a | h3) / p (a) \u003d 0,5 * 0,6 / 0,765 \u003d 0,392

A harmadik elem maximális valószínűsége.