Extrema, οι μεγαλύτερες και οι μικρότερες τιμές συναρτήσεων. Λειτουργία Extremum

Η συνάρτηση αυξάνεται σε μια αύξηση ορίσματος που τείνει στο μηδέν. Για να το βρείτε, χρησιμοποιήστε τον πίνακα παραγώγων. Για παράδειγμα, το παράγωγο της συνάρτησης y = x3 θα είναι ίσο με y ’= x2.

Ορίστε αυτό το παράγωγο στο μηδέν (στην περίπτωση αυτή x2 = 0).

Βρείτε την τιμή της δεδομένης μεταβλητής. Αυτές θα είναι οι τιμές όταν το δεδομένο παράγωγο είναι ίσο με 0. Για να γίνει αυτό, αντικαταστήστε αυθαίρετα ψηφία στην παράσταση αντί για x, στα οποία ολόκληρη η έκφραση γίνεται μηδέν. Για παράδειγμα:

2-2x2 = 0
(1-x) (1 + x) = 0
x1 = 1, x2 = -1

Σχεδιάστε τις ληφθείσες τιμές στη γραμμή συντεταγμένων και υπολογίστε το πρόσημο του παραγώγου για καθένα από τα ληφθέντα. Σημεία σημειώνονται στη γραμμή συντεταγμένων, τα οποία λαμβάνονται ως αρχή. Για να υπολογίσετε την τιμή στα διαστήματα, αντικαταστήστε τις αυθαίρετες τιμές που ταιριάζουν στα κριτήρια. Για παράδειγμα, για την προηγούμενη συνάρτηση, έως -1, μπορείτε να επιλέξετε μια τιμή -2. Από -1 έως 1, μπορείτε να επιλέξετε 0 και για τιμές μεγαλύτερες από 1, επιλέξτε 2. Συνδέστε αυτούς τους αριθμούς στο παράγωγο και μάθετε το πρόσημο του παραγώγου. Σε αυτή την περίπτωση, το παράγωγο με x = -2 θα είναι -0,24, δηλ. αρνητικό και θα υπάρχει ένα σύμβολο μείον σε αυτό το διάστημα. Εάν x = 0, τότε η τιμή θα είναι ίση με 2 και τοποθετείται ένα σύμβολο σε αυτό το διάστημα. Εάν x = 1, τότε το παράγωγο θα είναι επίσης ίσο με -0,24 και τίθεται μείον.

Εάν, κατά τη διέλευση από ένα σημείο στη γραμμή συντεταγμένων, το παράγωγο αλλάζει το πρόσημό του από μείον σε συν, τότε αυτό είναι ένα ελάχιστο σημείο, και εάν από συν σε μείον, τότε αυτό είναι ένα μέγιστο σημείο.

Σχετικά βίντεο

Χρήσιμη συμβουλή

Για να βρείτε το παράγωγο, υπάρχουν διαδικτυακές υπηρεσίες που υπολογίζουν τις απαιτούμενες τιμές και εμφανίζουν το αποτέλεσμα. Σε τέτοιους ιστότοπους, μπορείτε να βρείτε ένα παράγωγο έως την 5η τάξη.

Πηγές:

• Μία από τις υπηρεσίες υπολογισμού παραγώγων
• μέγιστο σημείο λειτουργίας

Τα μέγιστα σημεία μιας συνάρτησης, μαζί με τα ελάχιστα σημεία, ονομάζονται ακραία σημεία. Σε αυτά τα σημεία, η συνάρτηση αλλάζει τη συμπεριφορά της. Τα άκρα προσδιορίζονται σε περιορισμένα αριθμητικά διαστήματα και είναι πάντα τοπικά.

Οδηγίες

Εύρεση διαδικασίας τοπικά άκραονομάζεται συνάρτηση και εκτελείται με ανάλυση του πρώτου και του δεύτερου παραγώγου της συνάρτησης. Βεβαιωθείτε ότι το καθορισμένο εύρος τιμών ορίσματος είναι έγκυρες τιμές πριν από την εξέταση. Για παράδειγμα, για τη συνάρτηση F = 1 / x, η τιμή του ορίσματος x = 0 δεν είναι έγκυρη. Or, για τη συνάρτηση Y = tg (x), το όρισμα δεν μπορεί να έχει την τιμή x = 90 °.

Βεβαιωθείτε ότι η συνάρτηση Υ είναι διαφοροποιήσιμη σε ολόκληρο το δεδομένο τμήμα. Βρείτε την πρώτη παράγωγο Υ ". Προφανώς, πριν φτάσετε στο σημείο του τοπικού μέγιστου, η συνάρτηση αυξάνεται και όταν περνάει από το μέγιστο, η συνάρτηση μειώνεται. Η πρώτη παράγωγος, με τη φυσική της έννοια, χαρακτηρίζει το ρυθμό μεταβολής της συνάρτησης . Ενώ η συνάρτηση αυξάνεται, ο ρυθμός αυτής της διαδικασίας είναι θετικός. Η συνάρτηση αρχίζει να μειώνεται μέσω τοπικού μέγιστου και ο ρυθμός μεταβολής της συνάρτησης γίνεται αρνητικός. Πραγματοποιείται η μετάβαση του ρυθμού μεταβολής της συνάρτησης στο μηδέν στο σημείο του τοπικού μέγιστου.

Για παράδειγμα, η συνάρτηση Y = -x² + x + 1 στο διάστημα από -1 έως 1 έχει ένα συνεχές παράγωγο Y "= -2x + 1. Στο x = 1/2, το παράγωγο είναι ίσο με το μηδέν και όταν περνά μέσω αυτού του σημείου, η παράγωγος αλλάζει πρόσημο από " +" Σε " -". Το δεύτερο παράγωγο της συνάρτησης Υ "= - 2. Σχεδιάστε τη συνάρτηση Y = -x² + x + 1 κατά σημεία και ελέγξτε αν το σημείο με την περίσταση x = 1/2 είναι ένα τοπικό μέγιστο σε ένα δεδομένο τμήμα του αριθμητικού άξονα.

Λένε ότι μια συνάρτηση έχει ένα εσωτερικό σημείο
περιοχές ρε τοπικό μέγιστο(ελάχιστο) εάν υπάρχει τέτοια γειτονιά του σημείου
, για κάθε σημείο
που ισχύει η ανισότητα

Εάν η συνάρτηση έχει στο σημείο
τοπικό μέγιστο ή τοπικό ελάχιστο, τότε λένε ότι έχει σε αυτό το σημείο τοπικό άκρο(ή απλά ένα άκρο).

Θεώρημα (απαραίτητη προϋπόθεση για την ύπαρξη ενός άκρου). Εάν η διαφοροποιήσιμη συνάρτηση φτάσει σε ένα άκρο στο σημείο
, τότε κάθε μερικό παράγωγο της πρώτης τάξης της συνάρτησης εξαφανίζεται σε αυτό το σημείο.

Τα σημεία στα οποία εξαφανίζονται όλα τα παράγωγα πρώτης τάξης ονομάζονται στάσιμα σημεία της συνάρτησης
... Οι συντεταγμένες αυτών των σημείων μπορούν να βρεθούν με επίλυση του συστήματος από εξισώσεις

.

Η απαραίτητη προϋπόθεση για την ύπαρξη ενός άκρου όρου σε περίπτωση διαφοροποιήσιμης λειτουργίας μπορεί να διατυπωθεί εν συντομία ως εξής:

Υπάρχουν περιπτώσεις όπου σε μερικά σημεία ορισμένα παράγωγα έχουν άπειρες τιμές ή δεν υπάρχουν (ενώ τα υπόλοιπα είναι ίσα με το μηδέν). Τέτοια σημεία ονομάζονται κρίσιμα σημεία της συνάρτησης.Αυτά τα σημεία θα πρέπει επίσης να θεωρούνται ως "ύποπτα" για ένα εξτρέμ, καθώς και στάσιμα.

Στην περίπτωση συνάρτησης δύο μεταβλητών, η αναγκαία συνθήκη extreme, δηλαδή η ισότητα στο μηδέν των μερικών παραγώγων (διαφορικό) στο ακραίο σημείο, έχει μια γεωμετρική ερμηνεία: εφαπτομενο επιπεδο στην επιφανεια
στο ακραίο σημείο πρέπει να είναι παράλληλη με το επίπεδο
.

20. Επαρκείς προϋποθέσεις για την ύπαρξη ενός εξτρέμ

Η εκπλήρωση της αναγκαίας προϋπόθεσης για την ύπαρξη ενός εξτρέμ σε κάποια στιγμή δεν εγγυάται καθόλου την παρουσία ενός εξτρέμ εκεί. Για παράδειγμα, μπορούμε να πάρουμε μια παντού διαφοροποιήσιμη συνάρτηση
... Τόσο τα μερικά παράγωγά του όσο και η ίδια η συνάρτηση εξαφανίζονται στο σημείο
... Ωστόσο, σε οποιαδήποτε γειτονιά αυτού του σημείου υπάρχουν και τα δύο θετικά (μεγάλα
) και αρνητικό (μικρότερο
) τις τιμές αυτής της συνάρτησης. Κατά συνέπεια, σε αυτό το σημείο, εξ ορισμού, δεν παρατηρείται κανένα εξτρέμ. Ως εκ τούτου, είναι απαραίτητο να γνωρίζουμε επαρκείς συνθήκες κάτω από τις οποίες ένα σημείο ύποπτο για ένα άκρο είναι ένα ακραίο σημείο της υπό μελέτη λειτουργίας.

Εξετάστε την περίπτωση μιας συνάρτησης δύο μεταβλητών. Ας υποθέσουμε ότι η συνάρτηση
είναι καθορισμένο, συνεχές και έχει συνεχή μερική παράγωγα μέχρι τη δεύτερη τάξη συμπεριλαμβανομένων σε μια γειτονιά κάποιου σημείου
, το οποίο είναι το στάσιμο σημείο της συνάρτησης
, πληροί δηλαδή τις προϋποθέσεις

,
.

Ας εισαγάγουμε τη σημείωση:

Θεώρημα (επαρκείς προϋποθέσεις για την ύπαρξη ενός άκρου). Αφήστε τη λειτουργία
πληροί τις παραπάνω προϋποθέσεις, δηλαδή: διαφοροποιήσιμο σε κάποια γειτονιά του στάσιμου σημείου
και είναι δύο φορές διαφοροποιήσιμο στο ίδιο το σημείο
... Τότε αν

Αν
τότε η συνάρτηση
στο σημείο
φτάνει

τοπικό μέγιστοστο
και

τοπικό ελάχιστοστο
.

Γενικά, για τη συνάρτηση
επαρκή προϋπόθεση για την ύπαρξη στο σημείο
τοπικόςελάχιστο(το μέγιστο) είναι ένα θετικός(αρνητικός) την οριστικότητα της δεύτερης διαφορικής.

Με άλλα λόγια, η ακόλουθη δήλωση ισχύει.

Θεώρημα . Αν στο σημείο
για τη λειτουργία

για οποιοδήποτε μη ίσο με το μηδέν ταυτόχρονα
, τότε σε αυτό το σημείο η συνάρτηση έχει ελάχιστο(ομοίως το μέγιστο, αν
).

Παράδειγμα 18.Βρείτε τα τοπικά ακραία σημεία της συνάρτησης

Λύση... Βρείτε τα μερικά παράγωγα της συνάρτησης και εξισώστε τα με το μηδέν:

Λύνοντας αυτό το σύστημα, βρίσκουμε δύο σημεία ενός πιθανού άκρου:

Ας βρούμε τα μερικά παράγωγα της δεύτερης τάξης για αυτήν τη συνάρτηση:

Στο πρώτο στάσιμο σημείο, λοιπόν,
Ως εκ τούτου, απαιτείται πρόσθετη έρευνα για αυτό το σημείο. Τιμή συνάρτησης
ισούται με μηδέν σε αυτό το σημείο:
Περαιτέρω,

στο

ένα

στο

Επομένως, σε οποιαδήποτε γειτονιά του σημείου
λειτουργία
παίρνει τις τιμές τόσο μεγάλες
και μικρότερα
, και, ως εκ τούτου, στο σημείο
λειτουργία
, εξ ορισμού, δεν έχει τοπικό άκρο.

Στο δεύτερο στάσιμο σημείο



επομένως, επομένως, από τότε
τότε στο σημείο
η συνάρτηση έχει τοπικό μέγιστο.

ΤΟΠΙΚΟ ΜΕΓΙΣΤΟ

ΤΟΠΙΚΟ ΜΕΓΙΣΤΟ

(τοπικό μέγιστο)Η τιμή μιας συνάρτησης που είναι μεγαλύτερη από οποιαδήποτε παρακείμενη τιμή του ορίσματος ή του συνόλου των επιχειρημάτων της, dy / dx = 0 είναι απαραίτητη προϋπόθεσηγια να επιτευχθεί ένα τοπικό μέγιστο y = f (x);εάν πληρούται αυτή η προϋπόθεση, είναι επαρκής προϋπόθεση για την επίτευξη τοπικού μέγιστου d2y / dx2 0. Το τοπικό μέγιστο μπορεί επίσης να είναι το απόλυτο μέγιστο εάν δεν υπάρχει τιμή NS,στο οποίο στοπερισσότερο. Ωστόσο, αυτό μπορεί να μην συμβαίνει πάντα. Εξετάστε τη λειτουργία y = x3-3x.dy / dx = 0 πότε x2 = 1; και d2y / dx2 = 6x. στοέχει μέγιστο στο x = - 1, αλλά αυτό είναι απλώς ένα τοπικό, όχι ένα απόλυτο μέγιστο, αφού στομπορεί να γίνει απείρως μεγάλο όταν του δοθεί μια αρκετά μεγάλη θετική τιμή NS... Δείτε επίσης: ανύψωση στο μέγιστο του άρθρου (μέγιστο).

Οικονομία. Επεξηγηματικό λεξικό... - Μ.: "INFRA-M", Εκδοτικός οίκος "Ves Mir". J. Black. Γενική έκδοση: Διδάκτωρ Οικονομικών Επιστημών Osadchaya I.M.. 2000 .

Οικονομικό Λεξικό. 2000 .

Δείτε τι είναι το "LOCAL MAXIMUM" σε άλλα λεξικά:

τοπικό μέγιστο- - [A.S. Goldberg. Το αγγλικό ρωσικό ενεργειακό λεξικό. 2006] Θέματα ενέργειας γενικά EN τοπικό μέγιστο ... Οδηγός τεχνικού μεταφραστή

τοπικό μέγιστο- lokalusis maksimumas statusas T sritis automatika atitikmenys: angl. τοπικό μέγιστο vok. Lokalmaximum, n rus. τοπικό μέγιστο, m pranc. μέγιστη τοπική, m… Αυτόματος τερματισμός žodynas

τοπικό μέγιστο- vietinė smailė statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. τοπικό μέγιστο? τοπική κορυφή vok. lokales Maximum, n rus. τοπικό μέγιστο, m pranc. μέγιστη τοπική, m? pic local, m ... Fizikos terminų žodynas

Τοπικό μέγιστο, τοπικό ελάχιστο- (τοπικό μέγιστο, τοπικό ελάχιστο) βλέπε Λειτουργία extreme ... Λεξικό Οικονομικών και Μαθηματικών

- (μέγιστη) Η υψηλότερη τιμή της συνάρτησης που λαμβάνει για οποιαδήποτε τιμή των ορισμάτων της. Το μέγιστο μπορεί να είναι τοπικό ή απόλυτο. Για παράδειγμα, η συνάρτηση y = 1 - x2 έχει απόλυτο μέγιστο στο y = 1 στο x = 0. δεν υπάρχει άλλη τιμή για το x ... Οικονομικό Λεξικό

- (τοπικό ελάχιστο) Η τιμή της συνάρτησης, η οποία είναι μικρότερη από οποιαδήποτε γειτονική τιμή του ορίσματος ή του συνόλου των ορισμάτων της, dy / dx = 0 είναι απαραίτητη προϋπόθεση για την επίτευξη τοπικού ελάχιστου y = f (x). αν πληρούται αυτή η προϋπόθεση, αρκεί ... ... Οικονομικό Λεξικό

Extremum (λατ. Extremum extreme) στα μαθηματικά είναι η μέγιστη ή η ελάχιστη τιμή μιας συνάρτησης σε ένα δεδομένο σύνολο. Το σημείο στο οποίο επιτυγχάνεται το άκρο ονομάζεται ακραίο σημείο. Κατά συνέπεια, εάν επιτευχθεί το ελάχιστο, το ακραίο σημείο ... ... Wikipedia

Οι αλγόριθμοι τοπικής αναζήτησης είναι μια ομάδα αλγορίθμων στους οποίους η αναζήτηση πραγματοποιείται μόνο με βάση την τρέχουσα κατάσταση και οι προηγούμενες καταστάσεις που έχουν περάσει δεν λαμβάνονται υπόψη και δεν θυμούνται. Ο κύριος σκοπός της αναζήτησης δεν είναι να βρει τη βέλτιστη διαδρομή για ... ... Wikipedia

- (παγκόσμιο μέγιστο) Η τιμή της συνάρτησης ίση ή μεγαλύτερη από τις τιμές της, αποδεκτή για οποιαδήποτε άλλη τιμή ορίσματος. Μια επαρκής προϋπόθεση για το μέγιστο μιας συνάρτησης ενός ορίσματος, το οποίο συνίσταται στο γεγονός ότι η πρώτη παράγωγός του σε ... ... Οικονομικό Λεξικό

- (αγγλ. κατεύθυνση τάσης, τάση) κατεύθυνση, τάση ανάπτυξης της πολιτικής διαδικασίας, φαινόμενο. Έχει μαθηματική έκφραση. Ο πιο δημοφιλής ορισμός μιας τάσης προέρχεται από τη θεωρία Dow. Ανοδική πορεία ....... Πολιτικές επιστήμες. Λεξικό.

Το ακραίο σημείο μιας συνάρτησης είναι ένα σημείο στον τομέα μιας συνάρτησης στο οποίο η τιμή μιας συνάρτησης λαμβάνει μια ελάχιστη ή μέγιστη τιμή. Οι τιμές της συνάρτησης σε αυτά τα σημεία ονομάζονται άκρα (ελάχιστο και μέγιστο) της συνάρτησης.

Ορισμός... Σημείο Χ1 τομέα λειτουργιών φά(Χ) λέγεται μέγιστο σημείο της συνάρτησης αν η τιμή της συνάρτησης σε αυτό το σημείο περισσότερες αξίεςλειτουργούν σε σημεία αρκετά κοντά του, που βρίσκονται δεξιά και αριστερά από αυτό (δηλαδή, η ανισότητα φά(Χ0 ) > φά(Χ 0 + Δ Χ) Χ1 το μέγιστο.

Ορισμός... Σημείο Χ2 τομέα λειτουργιών φά(Χ) λέγεται το ελάχιστο σημείο της συνάρτησης, εάν η τιμή της συνάρτησης σε αυτό το σημείο είναι μικρότερη από τις τιμές της συνάρτησης σε αρκετά κοντά σημεία της, που βρίσκεται δεξιά και αριστερά από αυτήν (δηλαδή, η ανισότητα φά(Χ0 ) < φά(Χ 0 + Δ Χ) ). Σε αυτή την περίπτωση, η συνάρτηση λέγεται ότι έχει στο σημείο Χ2 ελάχιστο.

Ας πούμε σημείο Χ1 είναι το μέγιστο σημείο της συνάρτησης φά(Χ). Στη συνέχεια, στο διάστημα έως Χ1 η λειτουργία αυξάνεται, οπότε το παράγωγο της συνάρτησης είναι μεγαλύτερο από μηδέν ( φά "(Χ)> 0), και στο διάστημα μετά Χ1 η συνάρτηση μειώνεται, επομένως, και παράγωγο μιας συνάρτησης λιγότερο από το μηδέν (φά "(Χ) < 0 ). Тогда в точке Χ1

Ας υποθέσουμε επίσης ότι το σημείο Χ2 είναι το ελάχιστο σημείο της συνάρτησης φά(Χ). Στη συνέχεια, στο διάστημα έως Χ2 η συνάρτηση μειώνεται και το παράγωγο της συνάρτησης είναι μικρότερο από μηδέν ( φά "(Χ) < 0 ), а в интервале после Χ2 η συνάρτηση αυξάνεται και το παράγωγο της συνάρτησης είναι μεγαλύτερο από μηδέν ( φά "(Χ)> 0). Σε αυτή την περίπτωση, επίσης στο σημείο Χ2 το παράγωγο της συνάρτησης είναι μηδέν ή δεν υπάρχει.

Θεώρημα Fermat (απαραίτητο κριτήριο για την ύπαρξη ενός άκρου μιας συνάρτησης)... Αν σημείο Χ0 είναι το ακραίο σημείο της συνάρτησης φά(Χ), τότε σε αυτό το σημείο η παράγωγος της συνάρτησης είναι ίση με μηδέν ( φά "(Χ) = 0) ή δεν υπάρχει.

Ορισμός... Τα σημεία στα οποία η παράγωγος μιας συνάρτησης είναι μηδενική ή δεν υπάρχει ονομάζονται κρίσιμα σημεία .

Παράδειγμα 1.Ας εξετάσουμε μια συνάρτηση.

Στο σημείο Χ= 0, το παράγωγο της συνάρτησης είναι ίσο με το μηδέν, επομένως, το σημείο Χ= 0 είναι το κρίσιμο σημείο. Ωστόσο, όπως φαίνεται στο γράφημα της συνάρτησης, αυξάνεται σε ολόκληρο τον τομέα του ορισμού, επομένως το σημείο Χ= 0 δεν είναι το ακραίο σημείο αυτής της συνάρτησης.

Έτσι, οι προϋποθέσεις ότι το παράγωγο μιας συνάρτησης σε ένα σημείο είναι ίσο με το μηδέν ή δεν υπάρχει, είναι απαραίτητες προϋποθέσεις για ένα άκρο, αλλά όχι επαρκείς, καθώς άλλα παραδείγματα συναρτήσεων για τις οποίες πληρούνται αυτές οι συνθήκες, αλλά η συνάρτηση δεν έχει μπορεί να δοθεί ένα εξτρέμ στο αντίστοιχο σημείο. Να γιατί πρέπει να έχετε επαρκή σημάδια, επιτρέποντας να κρίνουμε αν υπάρχει ακραίο σημείο σε ένα συγκεκριμένο κρίσιμο σημείο και ποιο είναι το μέγιστο ή το ελάχιστο.

Θεώρημα (το πρώτο επαρκές κριτήριο για την ύπαρξη ενός άκρου συνάρτησης).Κρίσιμο σημείο Χ0 φά(Χ), εάν το παράγωγο της συνάρτησης αλλάζει πρόσημο όταν περνάει από αυτό το σημείο και αν το πρόσημο αλλάξει από "συν" σε "μείον", τότε το μέγιστο σημείο και αν από "μείον" σε "συν", τότε το ελάχιστο σημείο Το

Αν είναι κοντά στο σημείο Χ0 , στα αριστερά και στα δεξιά του, η παράγωγος διατηρεί το πρόσημο, αυτό σημαίνει ότι η συνάρτηση είτε μειώνεται είτε αυξάνεται μόνο σε κάποια γειτονιά του σημείου Χ0 ... Στην περίπτωση αυτή, στο σημείο Χ0 δεν υπαρχει ακραίο.

Ετσι, για να προσδιορίσετε τα ακραία σημεία της συνάρτησης, πρέπει να κάνετε τα εξής :

1. Βρείτε το παράγωγο της συνάρτησης.
2. Εξισώστε το παράγωγο στο μηδέν και προσδιορίστε κρίσιμα σημεία.
3. Νοητικά ή σε χαρτί, σημειώστε τα κρίσιμα σημεία στον αριθμητικό άξονα και προσδιορίστε τα σημάδια της παραγώγου της συνάρτησης στα διαστήματα που λαμβάνονται. Εάν το πρόσημο της παραγώγου αλλάξει από "συν" σε "μείον", τότε το κρίσιμο σημείο είναι το μέγιστο σημείο και αν από "μείον" σε "συν", τότε το ελάχιστο σημείο.
4. Υπολογίστε την τιμή της συνάρτησης στα ακραία σημεία.

Παράδειγμα 2.Βρείτε τα άκρα μιας συνάρτησης .

Λύση. Ας βρούμε το παράγωγο της συνάρτησης:

Ας θέσουμε το παράγωγο στο μηδέν για να βρούμε τα κρίσιμα σημεία:

.

Δεδομένου ότι για οποιεσδήποτε τιμές του "x" ο παρονομαστής δεν είναι ίσος με μηδέν, τότε εξισώνουμε τον αριθμητή στο μηδέν:

Έχω ένα σημείο ανατροπής Χ= 3. Ας καθορίσουμε το πρόσημο της παραγώγου στα διαστήματα που οριοθετούνται από αυτό το σημείο:

στην περιοχή από μείον άπειρο έως 3 - το σύμβολο μείον, δηλαδή, η συνάρτηση μειώνεται,

στην περιοχή από 3 έως συν άπειρο - το σύμβολο συν, δηλαδή, η συνάρτηση αυξάνεται.

Αυτό είναι το θέμα Χ= 3 είναι το ελάχιστο σημείο.

Ας βρούμε την τιμή της συνάρτησης στο ελάχιστο σημείο:

Έτσι, βρίσκεται το ακραίο σημείο της συνάρτησης: (3; 0) και είναι το ελάχιστο σημείο.

Θεώρημα (το δεύτερο επαρκές κριτήριο για την ύπαρξη ενός άκρου συνάρτησης).Κρίσιμο σημείο Χ0 είναι το ακραίο σημείο της συνάρτησης φά(Χ) εάν η δεύτερη παράγωγος της συνάρτησης σε αυτό το σημείο δεν είναι μηδέν ( φά ""(Χ) ≠ 0), και αν το δεύτερο παράγωγο είναι μεγαλύτερο από μηδέν ( φά ""(Χ)> 0), τότε το μέγιστο σημείο και αν το δεύτερο παράγωγο είναι μικρότερο από μηδέν ( φά ""(Χ) < 0 ), то точкой минимума.

Παρατήρηση 1. Αν στο σημείο Χ0 τόσο το πρώτο όσο και το δεύτερο παράγωγο εξαφανίζονται, τότε σε αυτό το σημείο είναι αδύνατο να κριθεί η παρουσία ενός ακραίου με βάση το δεύτερο επαρκές κριτήριο. Σε αυτή την περίπτωση, είναι απαραίτητο να χρησιμοποιήσετε τον πρώτο επαρκή δείκτη του άκρου της λειτουργίας.

Παρατήρηση 2. Το δεύτερο επαρκές κριτήριο για το άκρο μιας συνάρτησης είναι επίσης μη εφαρμόσιμο εάν η πρώτη παράγωγος δεν υπάρχει στο στάσιμο σημείο (τότε δεν υπάρχει ούτε η δεύτερη παράγωγος). Σε αυτή την περίπτωση, είναι επίσης απαραίτητο να χρησιμοποιήσετε τον πρώτο επαρκή δείκτη του άκρου της λειτουργίας.

Ο τοπικός χαρακτήρας των άκρων της συνάρτησης

Από τους παραπάνω ορισμούς προκύπτει ότι το άκρο μιας συνάρτησης έχει τοπικό χαρακτήρα - αυτή είναι η μεγαλύτερη και μικρότερη τιμή της συνάρτησης σε σύγκριση με τις πλησιέστερες τιμές.

Ας υποθέσουμε ότι εξετάζετε τα κέρδη σας σε διάστημα ενός έτους. Εάν κερδίσατε 45.000 ρούβλια τον Μάιο και 42.000 ρούβλια τον Απρίλιο και 39.000 ρούβλια τον Ιούνιο, τότε τα κέρδη του Μαΐου είναι το μέγιστο της συνάρτησης κερδών σε σύγκριση με τις πλησιέστερες τιμές. Αλλά τον Οκτώβριο κερδίσατε 71.000 ρούβλια, τον Σεπτέμβριο 75.000 ρούβλια και τον Νοέμβριο 74.000 ρούβλια, οπότε τα κέρδη του Οκτωβρίου είναι το ελάχιστο της συνάρτησης κερδών σε σύγκριση με τις κοντινές αξίες. Και μπορείτε εύκολα να δείτε ότι το μέγιστο μεταξύ των τιμών Απριλίου-Μαΐου-Ιουνίου είναι μικρότερο από το ελάχιστο Σεπτεμβρίου-Οκτωβρίου-Νοεμβρίου.

Σε γενικές γραμμές, μια συνάρτηση μπορεί να έχει πολλά άκρα στο διάστημα και μπορεί να αποδειχθεί ότι οποιοδήποτε ελάχιστο της συνάρτησης είναι μεγαλύτερο από κάθε μέγιστο. Έτσι, για τη συνάρτηση που φαίνεται στο παραπάνω σχήμα ,.

Δηλαδή, δεν πρέπει να σκεφτεί κανείς ότι το μέγιστο και το ελάχιστο μιας συνάρτησης είναι, αντίστοιχα, οι μεγαλύτερες και μικρότερες τιμές της σε ολόκληρο το θεωρούμενο διάστημα. Στο μέγιστο σημείο, η συνάρτηση έχει τη μεγαλύτερη τιμή μόνο σε σύγκριση με τις τιμές που έχει σε όλα τα σημεία αρκετά κοντά στο μέγιστο σημείο και στο ελάχιστο σημείο - τη μικρότερη τιμή μόνο σε σύγκριση με τις τιμές που έχει σε όλα τα σημεία αρκετά κοντά στο ελάχιστο σημείο.

Ως εκ τούτου, είναι δυνατόν να τελειοποιήσουμε την παραπάνω έννοια των ακραίων σημείων μιας συνάρτησης και να ονομάσουμε τα ελάχιστα σημεία ως τοπικά ελάχιστα σημεία και τα μέγιστα σημεία - τοπικά μέγιστα σημεία.

Ingάχνετε για ακρότητες μιας συνάρτησης μαζί

Παράδειγμα 3.

Λύση: Η συνάρτηση είναι καθορισμένη και συνεχής σε ολόκληρη την αριθμητική γραμμή. Το παράγωγό του υπάρχει επίσης σε ολόκληρη την αριθμητική γραμμή. Επομένως, σε αυτή την περίπτωση, τα κρίσιμα σημεία είναι μόνο εκείνα στα οποία, δηλ. , από πού και. Κρίσιμα σημεία και χωρίστε ολόκληρο τον τομέα της συνάρτησης σε τρία διαστήματα μονοτονίας :. Ας επιλέξουμε ένα σημείο ελέγχου σε καθένα από αυτά και βρίσκουμε το πρόσημο της παραγώγου σε αυτό το σημείο.

Για το διάστημα, το σημείο ελέγχου μπορεί να είναι: εύρεση. Λαμβάνοντας ένα σημείο στο διάστημα, παίρνουμε και παίρνοντας ένα σημείο στο διάστημα, έχουμε. Έτσι, στα διαστήματα και, και στο διάστημα. Σύμφωνα με το πρώτο επαρκές κριτήριο για ένα εξτρέμ, δεν υπάρχει ακραίο σημείο στο σημείο (αφού η παράγωγος διατηρεί το πρόσημό της στο διάστημα) και στο σημείο η συνάρτηση έχει ένα ελάχιστο (αφού η παράγωγος αλλάζει πρόσημο από μείον σε συν όταν περνά μέσω αυτού του σημείου). Ας βρούμε τις αντίστοιχες τιμές της συνάρτησης :, α. Στο διάστημα, η συνάρτηση μειώνεται, αφού σε αυτό το διάστημα, και στο διάστημα, αυξάνεται, αφού σε αυτό το διάστημα.

Για να διευκρινίσουμε την κατασκευή του γραφήματος, θα βρούμε τα σημεία της τομής του με τους άξονες συντεταγμένων. Για, λαμβάνουμε μια εξίσωση της οποίας οι ρίζες και, δηλαδή, δύο σημεία (0; 0) και (4; 0) της γραφικής παράστασης της συνάρτησης βρίσκονται. Χρησιμοποιώντας όλες τις πληροφορίες που λαμβάνονται, δημιουργούμε ένα γράφημα (δείτε στην αρχή του παραδείγματος).

Παράδειγμα 4.Βρείτε τα άκρα της συνάρτησης και δημιουργήστε το γράφημα της.

Ο τομέας της συνάρτησης είναι ολόκληρη η αριθμητική γραμμή, εκτός από το σημείο, δηλ. ...

Για να συντομεύσετε την έρευνα, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε το γεγονός ότι αυτή η συνάρτηση είναι άρτια, αφού ... Επομένως, η γραφική παράσταση του είναι συμμετρική ως προς τον άξονα Oyκαι η εξερεύνηση μπορεί να πραγματοποιηθεί μόνο για το διάστημα.

Βρείτε την παράγωγο και τα κρίσιμα σημεία της συνάρτησης:

1) ;

2) ,

αλλά η συνάρτηση σπάει σε αυτό το σημείο, οπότε δεν μπορεί να είναι ένα ακραίο σημείο.

Έτσι, η δεδομένη συνάρτηση έχει δύο κρίσιμα σημεία: και. Λαμβάνοντας υπόψη την ισοτιμία της συνάρτησης, ας ελέγξουμε μόνο το σημείο με το δεύτερο επαρκές κριτήριο του άκρου. Για να γίνει αυτό, βρίσκουμε τη δεύτερη παράγωγο και καθορίζουμε το πρόσημό του στο: παίρνουμε. Αφού και, τότε είναι το ελάχιστο σημείο της συνάρτησης, ενώ .

Για να έχετε μια πιο ολοκληρωμένη εικόνα του γραφήματος μιας συνάρτησης, ας μάθουμε τη συμπεριφορά της στα όρια του τομέα ορισμού:

(εδώ το σύμβολο δηλώνει την επιθυμία Χστο μηδέν στα δεξιά, και Χπαραμένει θετικό? ομοίως σημαίνει φιλοδοξία Χστο μηδέν στα αριστερά, και Χπαραμένει αρνητικό). Έτσι, αν, τότε. Περαιτέρω, βρίσκουμε

,

εκείνοι. αν τότε.

Το γράφημα της συνάρτησης δεν έχει σημεία τομής με τους άξονες. Η εικόνα βρίσκεται στην αρχή του παραδείγματος.

Συνεχίζουμε να ψάχνουμε για ακρότητες της συνάρτησης μαζί

Παράδειγμα 8.Βρείτε τα άκρα της συνάρτησης.

Λύση. Ας βρούμε τον τομέα της συνάρτησης. Δεδομένου ότι η ανισότητα πρέπει να ικανοποιηθεί, λαμβάνουμε από.

Ας βρούμε το πρώτο παράγωγο της συνάρτησης:

Ας βρούμε τα κρίσιμα σημεία της συνάρτησης.

ΜΕΓΙΣΤΟ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΟ ΣΗΜΕΙΟ

σημεία στα οποία λαμβάνει τη μεγαλύτερη ή μικρότερη τιμή στον τομέα του ορισμού · τέτοια σημεία ονομάζονται. επίσης σημεία απόλυτου μέγιστου ή απόλυτου ελάχιστου. Αν η f ορίζεται σε τοπολογική. διάστημα Χ, τότε το σημείο x 0που ονομάζεται σημείο τοπικού μέγιστου (τοπικό ελάχιστο), εάν υπάρχει τέτοιο σημείο x 0,ότι για τον περιορισμό της λειτουργίας που εξετάζεται σε αυτή τη γειτονιά το σημείο x 0είναι το σημείο του απόλυτου μέγιστου (ελάχιστο). Υπάρχουν σημεία αυστηρού και μη αυστηρού μέγιστου (ελάχιστο) (απόλυτο και τοπικό). Για παράδειγμα, το σημείο καλείται. ένα σημείο ενός μη αυστηρού (αυστηρού) τοπικού μέγιστου μιας συνάρτησης f εάν υπάρχει τέτοια γειτονιά του σημείου x 0,που ισχύει για όλους (αντίστοιχα, f (x) x 0). )/

Για συναρτήσεις που ορίζονται σε τομείς πεπερασμένων διαστάσεων, από την άποψη του διαφορικού λογισμού, υπάρχουν προϋποθέσεις και κριτήρια για ένα δεδομένο σημείο να είναι ένα σημείο ενός τοπικού μέγιστου (ελάχιστο). Αφήστε τη συνάρτηση f να οριστεί σε μια συγκεκριμένη γειτονιά της δέσμης x 0 του αριθμητικού άξονα. Αν x 0 -σημείο μη αυστηρού τοπικού μέγιστου (ελάχιστο) και σε αυτό το σημείο υπάρχει f "( x 0), τότε είναι ίσο με το μηδέν.

Εάν μια δεδομένη συνάρτηση f είναι διαφοροποιήσιμη σε μια γειτονιά του σημείου x 0,εκτός, ίσως, του ίδιου του σημείου, στο οποίο είναι συνεχές, και του παραγώγου f "σε κάθε πλευρά του σημείου x 0διατηρεί ένα σταθερό πρόσημο σε αυτή τη γειτονιά, στη συνέχεια για x 0ήταν ένα σημείο ενός αυστηρού τοπικού μέγιστου (τοπικό ελάχιστο), είναι απαραίτητο και επαρκές το παράγωγο να αλλάζει το σύμβολο από συν σε μείον, δηλαδή ότι f "(x)> 0 στο x<.x 0και f "(x)<0 при x>x 0(αντίστοιχα, από μείον σε συν: στ "(NS) <0 στο x<x 0και f "(x)> 0 για x> x 0). Ωστόσο, όχι για κάθε λειτουργία διαφοροποιήσιμη σε μια γειτονιά του σημείου x 0,μπορούμε να μιλήσουμε για αλλαγή στο πρόσημο της παραγώγου σε αυτό το σημείο. ... "

Αν η συνάρτηση f έχει στο σημείο x 0 tπαράγωγα, και στη συνέχεια προκειμένου να x 0ήταν ένα σημείο αυστηρού τοπικού μέγιστου, είναι απαραίτητο και επαρκές να είναι ομοιόμορφα και ότι f (m) ( x 0)<0, и - локального минимума, чтобы m было четно и f (m) (x 0)>0.

Αφήστε τη συνάρτηση f ( x 1 ..., x σελ] ορίζεται σε μια γ-γειτονική γειτονιά ενός σημείου και μπορεί να διαφοροποιηθεί σε αυτό το σημείο. Εάν το x (0) είναι ένα σημείο ενός μη αυστηρού τοπικού μέγιστου (ελάχιστο), τότε η συνάρτηση f σε αυτό το σημείο είναι ίση με μηδέν. Αυτή η συνθήκη ισοδυναμεί με την ισότητα στο μηδέν σε αυτό το σημείο όλων των μερικών παραγώγων της 1ης τάξης της συνάρτησης f. Εάν μια συνάρτηση έχει 2 συνεχόμενα μερικά παράγωγα στο σημείο x (0), όλα τα 1α παράγωγά της εξαφανίζονται στο x (0) και η απόκλιση δεύτερης τάξης στο σημείο x (0) είναι αρνητική (θετική) τετραγωνική μορφή , τότε το x (0) είναι ένα σημείο αυστηρού τοπικού μέγιστου (ελάχιστο). Οι συνθήκες είναι γνωστές για τις διαφοροποιήσιμες συναρτήσεις M. και m.t όταν επιβάλλονται ορισμένοι περιορισμοί στις αλλαγές στα ορίσματα: πληρούνται οι εξισώσεις περιορισμών. Οι απαραίτητες και επαρκείς συνθήκες για το μέγιστο (ελάχιστο) μιας πραγματικής συνάρτησης, η οποία έχει πιο περίπλοκη δομή, μελετώνται σε ειδικά τμήματα μαθηματικών: για παράδειγμα, σε κυρτή ανάλυση, μαθηματικός προγραμματισμός(δείτε επίσης Μεγιστοποίηση και ελαχιστοποίηση των συναρτήσεων). M. και M. t. Οι λειτουργίες που ορίζονται στις πολλαπλές μελέτες στο ο λογισμός των παραλλαγών γενικά, a M. και M. t. για συναρτήσεις που ορίζονται στις λειτουργικούς χώρους, δηλ., για τα λειτουργικά στο λογισμός παραλλαγών.Υπάρχουν επίσης διαφορετικές μεθόδουςαριθμητική κατά προσέγγιση εύρεση Μ. και Μ. t.

Αναμμένο: Il'in V.A., Poznya E.G., Fundamentals of Mathematical Analysis, 3rd ed., Part 1, Moscow, 1971; Kudryavtsev L. L. D. Kudryavtsev.

Εγκυκλοπαίδεια Μαθηματικών. - Μ .: Σοβιετική εγκυκλοπαίδεια... I. M. Vinogradov. 1977-1985.

Δείτε τι είναι το "MAXIMUM AND MINIMUM POINT" σε άλλα λεξικά:

Η διακριτή μέγιστη αρχή του Pontryagin για διαδικασίες διακριτού χρόνου ελέγχου. Για μια τέτοια διαδικασία, το M. σ. Μπορεί να μην εκπληρωθεί, αν και για το συνεχές του αναλογικό, το οποίο λαμβάνεται με την αντικατάσταση του τελεστή πεπερασμένης διαφοράς με έναν διαφορικό τελεστή ... ... Εγκυκλοπαίδεια μαθηματικών

Ένα θεώρημα που εκφράζει μία από τις κύριες ιδιότητες της αναλυτικής ενότητας. λειτουργίες. Έστω f (z) μια κανονική αναλυτική ή ολομόρφη συνάρτηση n-μιγαδικών μεταβλητών σε έναν τομέα D ενός μιγαδικού αριθμού χώρου που είναι διαφορετικός από μια σταθερά, M. m.p. σε ... ... Εγκυκλοπαίδεια μαθηματικών

Η μεγαλύτερη και, αντίστοιχα, η μικρότερη τιμή της συνάρτησης που λαμβάνει πραγματικές τιμές. Το σημείο του πεδίου ορισμού της υπό εξέταση συνάρτησης, στο οποίο λαμβάνει ένα μέγιστο ή ελάχιστο, καλείται. αντίστοιχα, ένα μέγιστο ή ένα ελάχιστο σημείο ... ... Εγκυκλοπαίδεια μαθηματικών

Δείτε τη συνάρτηση Μέγιστη και Ελάχιστη, Σημείο Μέγιστη και Ελάχιστη ... Εγκυκλοπαίδεια μαθηματικών

Η τιμή μιας συνεχούς συνάρτησης που είναι το μέγιστο ή το ελάχιστο (βλ. Μέγιστο και ελάχιστο σημείο). Ο όρος LE ... Εγκυκλοπαίδεια μαθηματικών

Δείκτης- (Δείκτης) Ένας δείκτης είναι ένα πληροφοριακό σύστημα, ουσία, συσκευή, συσκευή που εμφανίζει αλλαγές σε μια παράμετρο. Δείκτες των διαγραμμάτων της αγοράς συναλλάγματος, τι είναι και πού μπορούν να μεταφορτωθούν; Περιγραφή των δεικτών MACD, ... ... Εγκυκλοπαίδεια επενδυτών

Αυτός ο όρος έχει άλλες έννοιες, βλέπε Extremum (αποσαφήνιση). Extremum (λατ. Extremum extreme) στα μαθηματικά είναι η μέγιστη ή η ελάχιστη τιμή μιας συνάρτησης σε ένα δεδομένο σύνολο. Το σημείο στο οποίο φτάνει το άκρο ... ... Wikipedia

Ο διαφορικός λογισμός είναι ένας κλάδος της μαθηματικής ανάλυσης που μελετά τις έννοιες των παραγώγων και των διαφορικών και πώς αυτές εφαρμόζονται στη μελέτη των συναρτήσεων. Περιεχόμενα 1 Διαφορικός υπολογισμός συναρτήσεων μιας μεταβλητής ... Wikipedia

Lemniscata και οι εστίες της Lemniscate Bernoulli επίπεδη αλγεβρική καμπύλη. Ορίζεται ως ο τόπος των σημείων, το προϊόν ... Wikipedia

Απόκλιση- (Απόκλιση) Η απόκλιση ως δείκτης Στρατηγική συναλλαγών με απόκλιση MACD Περιεχόμενα Περιεχόμενα Ενότητα 1. στις. Ενότητα 2. Απόκλιση ως. Η απόκλιση είναι ένας όρος που χρησιμοποιείται στα οικονομικά για να αναφερθεί στην κίνηση κατά μήκος αποκλίνων ... ... Εγκυκλοπαίδεια επενδυτών