Kézikönyv: Mathcad program és használata. Ez a rész példákat mutat be olyan problémák megoldására, amelyek egyenlet vagy egyenletrendszer megoldását igénylik

AZ OROSZ FÖDERÁCIÓ OKTATÁSI ÉS TUDOMÁNYOS MINISZTÉRIUMA

Állami szakmai felsőoktatási intézmény

"KAZÁN ÁLLAMI ENERGETIKAI EGYETEM"

L.R. BELYAEVA, R.S. ZARIPOVA, R.A. ISMURATOV

MATHCAD ALAPOK

Útmutató a gyakorlati gyakorlatokhoz

Kazan 2012

UDC 621,37 BBK 32 811,3

Ellenőrzők:

A fizikai és matematikai tudományok doktora, a Kazany Állami Energia Egyetem professzora, E.A. Popov;

A műszaki tudományok kandidátusa, a Kazan Nemzeti Kutatási Technológiai Egyetem docense, M.Yu. Vasziljeva

		Belyaeva L.R.
		A MathCAD-ben való munkavégzés alapjai. Útmutató a gyakorlati gyakorlatokhoz

		/ L.R. Beljajeva, R.S. Zaripova, R.A. Ismuratov – Kazany: Kazany. állapot energia egyetem, 2012.

		A kézikönyv első része alapvető információkat tartalmaz
		Mathcad 13 és a szöveggel, képletekkel és grafikával való munkavégzés technikái
		szerkesztők. Kitér a különböző típusú adatok bevitelére, a numerikus és
		szimbolikus számítások, matematikai függvények ábrázolása, technikák
		integráció és differenciálás MathCAD segítségével.
		A második rész egy példát mutat be a szoftver gyakorlati használatára
		MathCAD csomag számítási feladat megoldása során a „Transformáció
		mérőjelek". A szükséges elméleti információk
		számítási feladatok megoldásai, példaszámítások és egyéni feladatok
		hallgatók.
		A módszertani kézikönyv kontrollkérdéseket is tartalmaz a
		tananyagot és önálló feladatokat tanult, hogy megszilárdítsa a munka alapjait

		A workshop az „Információ
		mérőberendezések és technológiák" irányok 200100 - Műszerek, ill
		a KSPEU más szakainak és területeinek hallgatói is
		„Számítástechnika” és „Információs technológia” tudományágak.

Bevezetés

A MathCAD egy számítógépes matematikai rendszer, amely lehetővé teszi számos tudományos és mérnöki számítás elvégzését, az elemi aritmetikától a numerikus módszerek összetett megvalósításáig. A MathCAD felhasználók diákok, tudósok, mérnökök és műszaki szakemberek.

A MathCAD, ellentétben a legtöbb modern matematikai alkalmazással, az elvnek megfelelően épül fel

WYSIWYG („Amit látsz, azt kapsz” – „amit látsz, azt kapod”). Ezért nagyon könnyen használható, különösen amiatt, hogy nem kell először olyan programot írni, amely bizonyos matematikai számításokat hajt végre, majd futtatni kell a végrehajtáshoz. Ehelyett csak matematikai kifejezéseket kell megadnia a beépített képletszerkesztővel, és azonnal megkapja az eredményt.

A MathCAD 13 számos integrált komponenst tartalmaz, amelyek kombinációja kényelmes számítási környezetet teremt a különféle matematikai számításokhoz, és ezzel egyidejűleg a munka eredményeinek dokumentálásához:

− egy hatékony szövegszerkesztő, amely lehetővé teszi a bevitelt, a szerkesztést

És formázza mind a szöveget, mind a matematikai kifejezéseket;

− számítástechnikai processzor, amely beépített numerikus módszerekkel képes számításokat végezni a beírt képletekkel;

− szimbolikus processzor, amely egy mesterséges intelligencia rendszer;

− a matematikai és mérnöki referenciainformációk hatalmas tárháza, interaktív e-könyvek könyvtára formájában.

A MathCAD szerkesztővel való hatékony munkához elegendő az alapvető felhasználói ismeretek birtoklása. A valós problémák szerint a mérnököknek meg kell oldaniuk a következő problémák közül egyet vagy többet:

− különféle matematikai kifejezések bevitele a számítógépen (további számításokhoz vagy dokumentumok, prezentációk, weboldalak vagy e-könyvek);

− matematikai számítások elvégzése;

− grafikonok készítése számítási eredményekkel;

− forrásadatok bevitele és az eredmények kimenete szövegfájlokba vagy más formátumú adatbázisokat tartalmazó fájlokba;

− munkajelentések készítése nyomtatott dokumentumok formájában;

− weblapok készítése és az eredmények internetes közzététele;

− különféle háttérinformációk beszerzése a matematika területéről.

A MathCAD 13 sikeresen megbirkózik az alábbi feladatokkal:

− A matematikai kifejezések és szövegek bevitele a MathCAD képletszerkesztővel történik, amely képességeit és könnyű kezelhetőségét tekintve nem rosszabb például a beépített képletszerkesztőnél.

− a matematikai számításokat azonnal elvégzik, a megadott képletek szerint;

− a felhasználó választása szerint különféle típusú grafikák gazdag formázási lehetőségekkel közvetlenül beilleszthetők a dokumentumokba;

− lehetőség van adatok bevitelére és kiadására különböző formátumú fájlokba;

− A dokumentumok közvetlenül a MathCAD-ben nyomtathatók a felhasználó által a számítógép képernyőjén látható formában, vagy menthetők

V RTF formátum a szövegszerkesztőkben történő későbbi szerkesztéshez;

− lehetőség van a MathCAD dokumentumok teljes formátumban történő mentésére RTF dokumentumok, valamint weboldalak HTML és XML formátumban;

− lehetőség van a felhasználó által fejlesztett dokumentumok elektronikus könyvekké történő kombinálására;

− A szimbolikus számítások lehetővé teszik analitikus transzformációk végrehajtását, valamint különféle matematikai háttérinformációk azonnali megszerzését.

A már az első verziókban elérhető MathCAD igazi csúcspontja a diszkrét változók támogatása volt, amely lehetővé tette az argumentumértékek teljes tartományához tartozó függvények egyidejű kiszámítását, ami lehetővé tette a táblázatok és grafikonok programozás nélkül történő készítését. operátorok. A felületi gráfok készítésére szolgáló eszközök szinte tökéletesre lettek hozva, lehetővé téve, hogy gráfokból műalkotásokat készítsenek. Az összetett mérnöki és technológiai számítások a MathCAD környezetben sokkal egyszerűbben, áttekinthetőbben és többször gyorsabban hajthatók végre, mint más programokban.

1. rész ELMÉLETI INFORMÁCIÓK

1. fejezet MATHCAD INTERFÉSZ

A MathCAD felület hasonló a többi Windows-alkalmazáshoz. Indítás után a képernyőn megjelenik a MathCAD munkaablak főmenüvel és három eszköztárral: Normál, formázásÉs Math.

A menüsor a MathCAD ablak legfelső részén található. Kilenc címsort tartalmaz, amelyek mindegyikére kattintható

Nak nek a megfelelő menü megjelenése parancsok listájával:

− Fájl – dokumentumfájlok létrehozásához, megnyitásához, mentéséhez, e-mailben történő küldéséhez és nyomtatásához kapcsolódó parancsok;

− Szerkesztés – szövegszerkesztéssel kapcsolatos parancsok (másolás, beillesztés, töredékek törlése stb.);

− Nézet – parancsok, amelyek szabályozzák a dokumentum megjelenését a MathCAD szerkesztő ablakában, valamint parancsok, amelyek animációs fájlokat hoznak létre;

− Insert – parancsok különféle objektumok dokumentumokba való beillesztésére;

− Formátum – szöveg, képletek, grafikonok formázására szolgáló parancsok;

− Eszközök (Szolgáltatás) – parancsok a számítási folyamat és további képességek kezelésére;

− Symbolics – parancsok szimbolikus számításokhoz;

− Ablak – parancsok az ablakok elrendezésének szabályozására a különböző dokumentumokkal a képernyőn;

− Súgó – parancsok a környezetfüggő súgóinformációk, programverzióinformációk, valamint az erőforrásokhoz és e-könyvekhez való hozzáféréshez.

Egy parancs kiválasztásához kattintson az azt tartalmazó menüre, majd ismét a megfelelő menüpontra. Egyes parancsok nem magukban a menükben, hanem almenükben találhatók, amint az az ábrán látható. 1.1. Egy ilyen parancs végrehajtásához, például a Szimbolikus eszköztár megjelenítéséhez, vigye az egeret a Nézet legördülő menü Eszköztárak elemére, és válassza ki a Szimbolikus lehetőséget a megjelenő almenüből.

Rizs. 1.1. Munka a menüvel

Hasonló funkciókat a felső menün kívül előugró menük is végrehajtanak (1.2. ábra). Akkor jelennek meg, ha a jobb gombbal a dokumentum bármely pontjára kattint. Ugyanakkor ezeknek a menüknek az összetétele függ attól a helytől, ahol hívják őket, ezért nevezik kontextuálisnak is. A MathCAD maga „kitalálja” a kontextustól függően, hogy az adott pillanatban milyen műveletekre lehet szükség, és elhelyezi a megfelelő parancsokat a menüben. Ezért könnyebb a helyi menüt használni, mint a felsőt.

Rizs. 1.2. Helyi menü

1.2. Eszköztárak

Az eszköztárak a leggyakrabban használt parancsok gyors (egy kattintással) végrehajtására szolgálnak. Az eszköztárak használatával végrehajtható összes művelet ezen keresztül is elérhető

Főmenü. ábrán. Az 1.3. ábra egy MathCAD ablakot mutat, öt fő eszköztárral közvetlenül a menüsor alatt. A panelek gombjai hasonló parancsműveletek szerint vannak csoportosítva:

− Standard – a legtöbb művelet végrehajtására szolgál, mint például a fájlokkal végzett műveletek, szerkesztés, objektumok beszúrása, súgórendszerek elérése;

− Formázás – szöveg és képletek formázására (betűtípus és -méret módosítása, igazítás stb.) szolgál;

− Matematika – matematikai szimbólumok beszúrására szolgál

És operátorok a dokumentumokban;

− Erőforrások – MathCAD erőforrások meghívására szolgál;

− Vezérlők – szabványos felhasználói felület vezérlőelemek beillesztésére szolgál a dokumentumokba;

− Debug – a MathCAD programok hibakeresésének kezelésére szolgál.

Rizs. 1.3. Fő eszköztárak

Az eszköztárak gombcsoportjait függőleges vonalak – elválasztók – határolják. Ha az egérmutatót valamelyik gomb fölé viszi, egy eszköztipp jelenik meg a gomb mellett (1.4. ábra). Az eszköztippel együtt az állapotsorban található egy részletesebb magyarázat a közelgő műveletről.

Rizs. 1.4. A Matek és a Számológép eszköztár használata

A Math panel további kilenc panel megjelenítésére szolgál (1.5. ábra), amelyek segítségével matematikai műveletek kerülnek be a dokumentumokba. Bármelyik megjelenítéséhez kattintson a megfelelő gombra a Math panelen (1.4. ábra).

Rizs. 1.5. Matematikai eszköztárak

Soroljuk fel a matematikai panelek célját:

− Számológép – alapvető matematikai műveletek beszúrására szolgál, nevét a gombkészletnek egy tipikus számológép gombjaihoz való hasonlóságából kapta;

− Graph – gráfok beillesztésére;

− Mátrix – mátrixok és mátrixoperátorok beszúrásához;

− Értékelés – számítási ellenőrző utasítások beillesztéséhez;

− Calculus (matematikai elemzés) – integrálási, differenciálási, összegzési stb. operátorok beszúrására;

− Boolean (Boole-operátorok) – logikai (Boole-operátorok) beszúrására;

− Programozás – MathCAD használatával történő programozáshoz;

− Görög – görög karakterek beszúrása;

− Symbolic – szimbolikus operátorok beszúrásához. Fontos megjegyezni, hogy amikor az egeret a legtöbbre viszi

A matematikai panelek gombjaira egy eszköztipp jelenik meg, amely a „gyorsbillentyűk” kombinációját is tartalmazza, amelynek megnyomása egyenértékű művelethez vezet.

1.3. Állapotsor

BAN BEN a MathCAD ablak alján, a vízszintes görgetősáv alatt található az állapotsor. Alapvető információkat jelenít meg a szerkesztési módról (1.6. ábra), elválasztókkal elválasztva (balról jobbra):

− kontextusérzékeny utalás a közelgő akcióra;

− számítási mód: automatikus (AUTO) vagy manuálisan meghatározott (Calc F9);

− aktuális ATS billentyűzetkiosztási mód; − aktuális billentyűzetkiosztási mód NUM; − annak az oldalnak a száma, amelyen a kurzor található.

Rizs. 1.6. Állapotsor

2. fejezet MATHCAD ALAPOK

2.1. Navigálás a dokumentumban

A dokumentumot kényelmesen megtekintheti fel-le és balra-jobbra a függőleges és vízszintes görgetősávok segítségével, mozgatva azok csúszkáját (ebben az esetben a sima dokumentum mentén történő mozgás biztosított), vagy az egérrel a két oldal valamelyikére kattintva. a csúszkát (ebben az esetben a dokumentumon keresztüli mozgás ugrásszerű lesz). A lapforgató gombokkal is mozgathatja a kurzort a dokumentumon. ÉS A fenti esetekben a kurzor pozíciója nem változik, de a dokumentum tartalma megtekinthető. Ezenkívül, ha a dokumentum nagy, kényelmesen megtekintheti a tartalmát a menü segítségével

Szerkesztés | Ugrás az oldalra (Szerkesztés | Ugrás az oldalra). Amikor kiválasztja ezt az elemet, megnyílik egy párbeszédpanel, amely lehetővé teszi, hogy a megadott számmal rendelkező oldalra lépjen.

A kurzor mozgatásával fel-le, illetve balra-jobbra való mozgáshoz a megfelelő kurzorvezérlő gombokat kell megnyomni. A képletekkel és szöveggel ellátott régiók területén a kurzor két beviteli sorra változik - függőleges és vízszintes kék. Ahogy a kurzort tovább mozgatja a régión belül, a beviteli sorok egy karakterrel a megfelelő irányba tolódnak el. A régió elhagyásakor a kurzor ismét bemeneti kurzorrá válik piros kereszt formájában. A kurzort a megfelelő helyre kattintva is mozgathatja. Ha egy üres helyre kattintunk, egy beviteli kurzor jelenik meg benne, ha pedig egy régión belül, akkor beviteli sorok jelennek meg.

2.2. Képletek bevitele és szerkesztése

A MathCAD képletszerkesztő lehetővé teszi a matematikai kifejezések gyors és hatékony bevitelét és módosítását.

Soroljuk fel még egyszer a MathCAD szerkesztő felület elemeit:

− Egérmutató - a Windows-alkalmazások szokásos szerepét tölti be, követi az egér mozgását;

− kurzor – a három típus valamelyikébe kell tartoznia:

– beviteli kurzor – piros kereszt, amely egy üres helyet jelöl a dokumentumban, ahová szöveget vagy képletet írhat be;

– beviteli vonalak – kék színű vízszintes és függőleges vonalak, amelyek kiemelik a szöveg vagy képlet egy részét;

– szövegbeviteli sor – függőleges vonal, a szövegterületek beviteli soraihoz hasonló;

− helyőrzők – hiányos képletekben jelennek meg olyan helyeken, amelyeket szimbólummal vagy operátorral kell kitölteni:

− szimbólum helyőrző – fekete téglalap;

− Az operátor helyőrzője egy fekete téglalap alakú keret. Bármely üres helyre beírhat matematikai kifejezést

MathCAD dokumentum. Ehhez az egérrel rákattintva a dokumentumban a kívánt helyre kell helyezni a beviteli kurzort, a billentyűk lenyomásával pedig be kell írni a képletet. Ebben az esetben a dokumentumban egy matematikai terület jön létre, amely a MathCAD processzor által értelmezett képletek tárolására szolgál. Mutassuk be a műveletek sorrendjét az x 5 + x kifejezés bevitelének példáján (2.1. ábra):

1. Kattintson az egérrel a beviteli hely jelzéséhez.

1. MathCAD munkaablak

· Panel Matematika(1.4. ábra).

Rizs. 1.4. Matematika panel

A matematikai eszköztár gombjára kattintva egy további panel nyílik meg:

2. A nyelv elemei MathCAD

A MathCAD matematikai kifejezések alapvető elemei operátorok, konstansok, változók, tömbök és függvények.

2.1 Üzemeltetők

Üzemeltetők -- MathCAD elemek, amelyekkel matematikai kifejezéseket hozhat létre. Ilyenek például az aritmetikai műveletek szimbólumai, az összegek számítására szolgáló előjelek, szorzatok, származékok, integrálok stb.

Az operátor meghatározza:

a) bizonyos operandusértékek jelenlétében végrehajtandó művelet;

b) hány, hol és milyen operandust kell bevinni az operátorba.

Operandus -- az a szám vagy kifejezés, amelyre az operátor cselekszik. Például az 5!+3 kifejezésben a számok 5! és 3 a „+” (plusz) operátor operandusa, az 5 pedig a faktoriális (!) operandusa.

A MathCAD bármely operátora kétféleképpen adható meg:

· egy billentyű (billentyűkombináció) megnyomásával a billentyűzeten;

· a matematikai panel használatával.

A következő utasítások egy változóhoz társított memóriahely tartalmának hozzárendelésére vagy megjelenítésére szolgálnak:

Hozzárendelési jel (a gomb megnyomásával írható be : a billentyűzeten (angol billentyűzetkiosztásban kettőspont), vagy a panel megfelelő gombjának megnyomásával Számológép );

Ezt a feladatot ún helyi. A hozzárendelés előtt a változó definiálatlan, és nem használható.

Globális hozzárendelés operátor. Ez a hozzárendelés bárhol elvégezhető a dokumentumban. Például, ha egy változóhoz a dokumentum legvégén ilyen módon hozzárendelünk értéket, akkor a dokumentum elején is ugyanaz lesz.

Hozzávetőleges egyenlőség operátor (x1). Egyenletrendszerek megoldásánál használatos. Egy billentyű lenyomásával léphet be ; a billentyűzeten (pontosvessző az angol billentyűzetkiosztásban), vagy a megfelelő gomb megnyomásával Logikai panel.

Az operátor (prím egyenlő), amelyet egy állandó vagy változó értékének kinyomtatására használnak.

Egyszerű számítások

A számítási folyamat a következőképpen történik:

Számológép panelek, számítási panelek és becslési panelek.

Figyelem. Ha a teljes kifejezést fel kell osztani a számlálóban, akkor először a billentyűzet szóköz billentyűjének megnyomásával vagy zárójelbe helyezésével kell kiválasztani.

2.2 Állandók

Állandók -- elnevezett objektumok, amelyek olyan értékeket tárolnak, amelyek nem módosíthatók.

Például = 3,14.

Dimenziós állandók -- ezek általánosan elfogadott mértékegységek. Például méter, másodperc stb.

A méretállandó felírásához a szám után be kell írni a * jelet (szorozni) és kiválasztani a menüpontot Beszúrás albekezdésben Mértékegység. A méréseknél a legismertebb kategóriák a következők: Hossz - hossz (m, km, cm); Tömeg -- tömeg (g, kg, t); Idő -- idő (perc, másodperc, óra).

2.3 Változók

Változók elnevezett objektumok, amelyeknek van valamilyen jelentése, amely a program futása során változhat. A változók lehetnek numerikusak, karakterláncok, karakterek stb. A változók értéke a hozzárendelési jel (: =) használatával történik.

Figyelem. A MathCAD a kis- és nagybetűket különböző azonosítóként kezeli.

Rendszerváltozók

BAN BEN MathCAD speciális objektumok kis csoportját tartalmazza, amelyek nem sorolhatók be sem az állandók osztályába, sem a változók osztályába, amelyek értékeit közvetlenül a program indítása után határozzák meg. Helyesebb megszámolni őket rendszerváltozók. Ez például a TOL - a numerikus számítások hibája, az ORIGIN - a vektorok, mátrixok stb. indexértékének alsó határa. Ezen változók értékei szükség esetén eltérően állíthatók be.

Rangsorolt változók

Ezek a változók egy sor rögzített értékkel rendelkeznek, amelyek egész számok vagy egy bizonyos lépésben változnak a kezdeti értéktől a végső értékig.

Rangsorolt változó létrehozásához használja a következő kifejezést:

Név=N kezdődik , (N kezdődik +Lépés)..N vége ,

ahol a Név a változó neve;

N begin -- kezdeti érték;

Step -- a változó megváltoztatásának megadott lépése;

N vége -- végső érték.

A rangsorolt változókat széles körben használják az ábrázolásban. Például valamilyen függvény grafikonjának ábrázolására f(x) először létre kell hoznia egy változóérték-sorozatot x-- ehhez rangsorolt változónak kell lennie.

Figyelem. Ha nem ad meg lépést a változó változási tartományában, a program automatikusan elfogadja 1-gyel egyenlőnek.

Példa . Változó x változás a -16 és +16 közötti tartományban 0,1-es lépésekben

Rangsorolt változó írásához a következőket kell beírni:

Változó neve ( x);

Hozzárendelés jele (:=)

Első tartomány értéke (-16);

Vessző;

A tartomány második értéke, amely az első érték és a lépés összege (-16+0,1);

Ellipszis ( .. ) -- változó módosítása meghatározott határokon belül (az ellipszis beírása a pontosvessző megnyomásával történik az angol billentyűzetkiosztásban);

A tartomány utolsó értéke (16).

Ennek eredményeként a következőket kapja: x := -16,-16+0.1..16.

Kimeneti táblázatok

Az egyenlőségjel után rangsorolt változókat tartalmazó kifejezések kiváltják a kimeneti táblát.

Számértékeket szúrhat be a kimeneti táblázatokba, és módosíthatja azokat.

Változó indexszel

Változó indexszel-- egy változó, amely független számok halmazához van hozzárendelve, amelyek mindegyikének saját száma (indexe) van.

Az index bevitele a billentyűzet bal oldali szögletes zárójelének megnyomásával vagy a gombbal történik x n a panelen Számológép.

Indexként használhat konstanst vagy kifejezést. Egy változó indexszel történő inicializálásához meg kell adnia a tömb elemeit, vesszővel elválasztva őket.

Példa. Index változók bevitele.

A számértékek vesszővel elválasztva kerülnek be a táblázatba;

Adja ki az S vektor első elemének értékét;

Az S vektor nulla elemének értékének megjelenítése.

2.4 Tömbök

Sor -- véges számú numerikus vagy szimbolikus elem egyedi elnevezésű gyűjteménye, valamilyen módon rendezve és meghatározott címekkel.

A csomagban MathCAD A két leggyakoribb tömbtípust használják:

egydimenziós (vektorok);

kétdimenziós (mátrixok).

A mátrix- vagy vektorsablont a következő módok egyikén jelenítheti meg:

válassza ki a menüpontot Beszúrás - Mátrix;

nyomjon meg egy billentyűkombinációt Ctrl + M;

nyomja meg a gombot Panel És vektorok és mátrixok

Ennek eredményeként megjelenik egy párbeszédpanel, amelyben beállíthatja a szükséges sorok és oszlopok számát:

Sorok-- sorok száma

Oszlopok-- oszlopok száma

Ha egy mátrixhoz (vektorhoz) nevet kell rendelni, akkor először adja meg a mátrix (vektor) nevét, majd a hozzárendelési operátort, majd a mátrixsablont.

Például:

Mátrix -- egy M n, m nevű kétdimenziós tömb, amely n sorból és m oszlopból áll.

A mátrixokkal különféle matematikai műveleteket végezhet.

2.5 Funkciók

Funkció -- kifejezés, amely szerint néhány számítást argumentumokkal hajtanak végre, és meghatározzák a számértékét. Példák a függvényekre: bűn(x), Cser(x) satöbbi.

A MathCAD csomag függvényei lehetnek beépítettek vagy felhasználó által meghatározottak. A soron belüli függvény beszúrásának módjai:

Válassza ki a menüpontot Beszúrás - Funkció.

Nyomja meg a billentyűkombinációt Ctrl + E.

Kattintson a gombra az eszköztáron.

Írja be a funkció nevét a billentyűzeten.

A felhasználói függvényeket általában akkor használják, ha ugyanazt a kifejezést többször is kiértékelik. Felhasználói funkció beállításához:

· írja be a függvény nevét az argumentum kötelező megjelölésével zárójelben, például f(x);

· írja be a hozzárendelés operátorát (:=);

· Adjon meg egy számított kifejezést.

Példa. f (z) := sin(2 z 2)

3. Számok formázása

A MathCAD-ben megváltoztathatja a számkimeneti formátumot. A számításokat általában 20 számjegy pontossággal hajtják végre, de nem minden jelentős számjegy jelenik meg a képernyőn. A számformátum megváltoztatásához kattintson duplán a kívánt számszerű eredményre. Megjelenik egy számformázó ablak, nyissa meg a lapon Szám Formátum (Számformátum) a következő formátumokkal:

o Tábornok (Fő) -- alapértelmezés szerint elfogadott. A számok sorrendben jelennek meg (például 1,2210 5). A mantissza jeleinek számát a terepen határozzák meg Exponenciális Küszöb(Exponenciális jelölési küszöb). A küszöb túllépése esetén a szám sorrendben jelenik meg. A tizedesvessző utáni helyek száma változik a mezőben Szám nak,-nek decimális helyeken.

o Decimális (Tizedes) -- A lebegőpontos számok decimális ábrázolása (például 12,2316).

o Tudományos (Tudományos) -- A számok csak sorrendben jelennek meg.

o Mérnöki (Műszaki) -- a számok csak a három többszörösében jelennek meg (például 1,2210 6).

Figyelem. Ha a számformázó ablakban a kívánt formátum beállítása után válassza a gombot rendben, a formátum csak a kiválasztott számhoz lesz beállítva. És ha kiválasztja a Beállítás alapértelmezettként gombot, a formátum a dokumentumban szereplő összes számra vonatkozik.

A számok automatikusan nullára kerekednek, ha kisebbek egy beállított küszöbértéknél. A küszöbérték a teljes dokumentumra van beállítva, nem egy konkrét eredményre. Ahhoz, hogy a kerekítési küszöböt nullára módosítsa, ki kell választani a menüpontot Formázás – Eredményés a lapon Megértés , mezőben Nulla küszöb adja meg a szükséges küszöbértéket.

4. Munka szöveggel

A szövegrészletek olyan szövegrészek, amelyeket a felhasználó látni szeretne a dokumentumában. Ezek lehetnek magyarázatok, linkek, megjegyzések stb. Beszúrása a menüpont segítségével történik Beszúrás - Szöveg régió.

Formázhatja a szöveget: módosíthatja a betűtípust, annak méretét, stílusát, igazítását stb. Ehhez ki kell választani, és a betűtípus panelen vagy menüben kiválasztani a megfelelő opciókat Formázás - Szöveg.

5. Grafikával való munka

Sok olyan probléma megoldása során, ahol egy függvényt tanulmányozunk, gyakran meg kell alkotni a grafikonját, amely egyértelműen tükrözi a függvény viselkedését egy bizonyos intervallumon keresztül.

A MathCAD rendszerben különféle típusú gráfok készítésére van lehetőség: derékszögű és poláris koordinátarendszerben háromdimenziós gráfok, forgástestek felületei, poliéderek, térbeli görbék, vektormező gráfok. Megnézzük néhányuk elkészítésének technikáit.

5.1 Kétdimenziós gráfok felépítése

Egy függvény kétdimenziós grafikonjának elkészítéséhez szüksége lesz:

· funkció beállítása;

· helyezze a kurzort arra a helyre, ahol a grafikont fel kell építeni, válassza ki a Graph gombot a matematikai panelen és az X-Y Plot gombot a megnyitott panelen;

· a megjelenő kétdimenziós gráfsablonban, amely egy üres téglalap adatcímkékkel, írja be a változó nevét a központi adatcímkében az abszcissza tengely (X-tengely) mentén, és írja be a függvény nevét a helyére a központi adatcímke az ordináta tengely (Y-tengely) mentén (2.1. ábra);

Rizs. 2.1. 2D grafikon sablon

Kattintson az egérrel a diagramsablonon kívül – a függvénygrafikon létrejön.

Az argumentumtartomány 3 értékből áll: kezdő, második és végső.

Legyen szükséges egy függvény grafikonja a [-2,2] intervallumon 0,2 lépéssel. Változó értékek t tartományként vannak megadva a következők szerint:

t:= -2, - 1.8 .. 2 ,

ahol: -2 -- a tartomány kezdeti értéke;

1,8 (-2 + 0,2) -- a tartomány második értéke (kezdeti érték plusz lépés);

2 -- a tartomány végső értéke.

Figyelem. Az angol billentyűzetkiosztáson a pontosvessző lenyomásával írhat be hárompontos jelet.

Példa. Függvény ábrázolása y = x 2 a [-5,5] intervallumon 0,5 lépéssel (2.2. ábra).

Rizs. 2.2. Függvény ábrázolása y = x 2

A grafikonok készítésekor a következőket kell figyelembe venni:

° Ha az argumentumértékek tartománya nincs megadva, akkor alapértelmezés szerint a grafikon a [-10,10] tartományban van ábrázolva.

° Ha egy sablonban több grafikont kell elhelyezni, akkor a függvények neveit vesszővel elválasztva jelezzük.

° Ha két függvénynek különböző argumentumai vannak, például f1(x) és f2(y), akkor a függvények nevei az ordináta tengelyen (Y) vannak feltüntetve, vesszővel elválasztva, és mindkét változó neve a abszcissza tengely (X), szintén vesszővel elválasztva.

° A grafikonsablon szélső adatcímkéi az abszcissza és az ordináta határértékeinek jelzésére szolgálnak, pl. beállítják a grafikon léptékét. Ha ezeket a jeleket üresen hagyja, a skála automatikusan beáll. Az automatikus skála nem mindig a kívánt formában tükrözi a grafikont, ezért az abszcissza és az ordináta határértékeit manuális változtatással kell szerkeszteni.

Jegyzet. Ha az ábrázolás után a grafikon nem a kívánt formát ölti, a következőket teheti:

· csökkentse a lépést.

· módosítsa a grafikon ábrázolási intervallumát.

· csökkentse az abszciszák és ordináták határértékeit a grafikonon.

Példa. Olyan kör szerkesztése, amelynek középpontja a (2,3) pontban van és sugara R = 6.

Egyenlet egy kör középpontjával egy pontban koordinátákkal ( x 0 ,y 0) és sugár Rígy van írva:

Fejezzük ki ebből az egyenletből y:

Így egy kör felépítéséhez két függvényt kell megadni: a felső és az alsó félkört. Az argumentumértékek tartományát a következőképpen számítjuk ki:

Kezdeti tartomány értéke = x 0 - R;

Tartomány végértéke = x 0 + R;

Célszerű a 0,1-es lépést megtenni (2.3. ábra).

Rizs. 2.3. Kör felépítése

Egy függvény paraméteres grafikonja

Néha kényelmesebb a téglalap alakú koordinátákkal kapcsolatos egyenes egyenlet helyett xÉs y, tekintsük az úgynevezett parametrikus vonalegyenleteket, amelyek az aktuális x és y koordinátákra adnak kifejezéseket valamilyen változó függvényei formájában t(paraméter): x(t) És y(t). Paraméteres gráf készítésénél egy argumentum függvényeinek neveit az ordináta és az abszcissza tengelyen tüntetjük fel.

Példa. Középpontos kör szerkesztése egy (2,3) koordinátájú és sugarú pontban R= 6. A kör paraméteres egyenletét használjuk a szerkesztéshez

x = x 0 + R kötözősaláta( t) y = y 0 + R bűn( t) (2.4. ábra).

2.4. Kör felépítése

Grafikonok formázása

Grafikon formázásához duplán kell kattintania a grafikon területére. Megnyílik a Grafikon formázása párbeszédpanel. A diagram formázási ablakának lapjai a következők:

§ x- Y Axes-- koordinátatengelyek formázása. A szükséges négyzetek bejelölésével a következőket teheti:

· Napló Skála- numerikus értékek megjelenítése a tengelyeken logaritmikus skálán (alapértelmezés szerint a számértékek lineáris skálán vannak ábrázolva)

· Rács Vonalak-- vonalrács alkalmazása;

· Számozott-- számok elrendezése koordinátatengelyek mentén;

· Auto Skála- a tengelyeken lévő számértékek automatikus kiválasztása (ha ez a jelölőnégyzet nincs kijelölve, a maximális számított értékek lesznek a határértékek);

· Előadás Jelző-- jelölések elhelyezése a grafikonon vízszintes vagy függőleges pontozott vonalak formájában, amelyek megfelelnek a tengelyen megadott értéknek, és maguk az értékek megjelennek a sorok végén (minden tengelyen 2 beviteli hely jelenik meg megadhat számértékeket, nem írhat be semmit, írhat be egy számot vagy konstans betűjelet);

· Auto Gmegszabadulni-- a rácsvonalak számának automatikus kiválasztása (ha ez a jelölőnégyzet nincs kijelölve, a sorok számát a Rácsok száma mezőben kell beállítani);

· Keresztezve-- az abszcissza tengely átmegy a nulla ordinátán;

· Dobozos-- az x tengely a grafikon alsó széle mentén fut.

§ Nyom-- függvények vonaldiagramjainak formázása. Mindegyik diagramnál külön-külön módosíthatja:

· szimbólum (Symbol) a csomópontok diagramján (kör, kereszt, téglalap, rombusz);

· a vonal típusa (Solid - folytonos, Pont - pontozott, Dash - kötőjelek, Dadot - kötőjel-pontozott);

· vonalszín (Color);

· a grafika típusa (Típusa) (Vonalok - vonal, Pontok - pontok, Bar vagy Solidbar - sávok, Lépés - lépésdiagram stb.);

· vonalvastagság (Tömeg).

§ Címke -- címet a grafikon területén. A terepen Cím (Cím) beírhatja a cím szövegét, kiválaszthatja pozícióját - a diagram tetején vagy alján ( Felett - a csúcson, Lent -- az alján). Szükség esetén megadhatja az argumentum és a függvény nevét ( Tengelycímkék ).

§ Alapértelmezések -- Ezen a lapon visszatérhet az alapértelmezett grafikonnézethez (Változás az alapértelmezettre), vagy a grafikonon végrehajtott módosításokat alapértelmezettként használhatja a dokumentum összes grafikonjához (Használat az alapértelmezett értékekhez).

5.2 Poláris gráfok felépítése

Egy függvény poláris gráfjának elkészítéséhez a következőket kell tennie:

· állítsa be az argumentumértékek tartományát;

· funkció beállítása;

· helyezze a kurzort arra a helyre, ahol a grafikont fel kell építeni, válassza ki a Graph gombot a matematikai panelen és a Polar Plot gombot a megnyíló panelen;

· azokon a helyeken, ahol beírja a megjelenő sablont, meg kell adnia a függvény szögargumentumát (alul) és a függvény nevét (balra).

Példa. Bernoulli lemniszkátus felépítése: (2.6. ábra)

2.6. Példa poláris gráf felépítésére

5.3 Felületi ábrázolás (3D vagy 3D ábrázolás)

Háromdimenziós grafikonok készítésekor a panelt használják Grafikon(grafikonja) a matematikai panelről. A főmenüből meghívott varázsló segítségével háromdimenziós grafikont készíthet; grafikont készíthet két változó függvényértékeinek mátrixának létrehozásával; használhatja a gyorsított építési módszert; Meghívhatja a CreateMech és CreateSpase speciális függvényeket, amelyek funkcióértékek tömbjének létrehozására és egy grafikon ábrázolására szolgálnak. Megvizsgálunk egy gyorsabb módszert a 3D-s gráf készítésére.

Gyors rajzolás

Egy függvény háromdimenziós grafikonjának gyors elkészítéséhez a következőket kell tennie:

· funkció beállítása;

· helyezze a kurzort arra a helyre, ahol a grafikont ábrázolni kell, válassza ki a gombot a matematikai panelen Grafikon(Diagram) és a megnyíló panelen a gomb ( Felszíni diagram);

· a sablon egyetlen helyére írja be a függvény nevét (változók megadása nélkül);

· kattintson az egérrel a grafikon sablonon kívül - a függvénygrafikon létrejön.

Példa. Függvény ábrázolása z(x,y) = x 2 + y 2 - 30 (2.7. ábra).

Rizs. 2.7. Példa egy gyors felületi ábrázolásra

Az összeállított ütemterv szabályozható:

° a grafikon elforgatása az egérmutató ráhelyezése után történik, miközben lenyomva tartja a bal egérgombot;

° a grafikon méretezése az egérmutató ráhelyezése után történik, miközben egyidejűleg lenyomja a bal egérgombot és a Ctrl billentyűt (ha mozgatja az egeret, a grafikon nagyít vagy kicsinyít);

° A diagram animációja ugyanúgy történik, de a további Shift billentyű lenyomásával. Csak el kell kezdenie forgatni a grafikont az egérrel, ekkor az animáció automatikusan végrehajtásra kerül. A forgatás leállításához kattintson a bal egérgombbal a grafikon területén belül.

Egy rajzon egyszerre több felületet is meg lehet építeni. Ehhez mindkét függvényt meg kell adni, és a diagramsablonon meg kell adni a függvények nevét, vesszővel elválasztva.

Grafikon gyors ábrázolásakor mindkét argumentum alapértelmezett értéke -5 és +5 között van kiválasztva, a szintvonalak száma pedig 20. Az értékek megváltoztatásához a következőket kell tennie:

· kattintson duplán a diagramra;

· a megnyíló ablakban válassza ki a Quick Plot Data fület;

· adjon meg új értékeket az ablakterületen Tartomány1 - az első argumentumhoz és Tartomány2 - a második argumentumhoz (kezdet - kezdeti érték, vége - végső érték);

· a # of Grids mezőben módosítsa a felületet lefedő rácsvonalak számát;

· Kattintson az OK gombra.

Példa. Függvény ábrázolása z(x,y) = -sin( x 2 + y 2) (2.9. ábra).

A grafikon összeállításakor jobb, ha kiválasztja a határértékeket mindkét argumentum értékének -2-ről +2-re történő megváltoztatására.

Rizs. 2.9. Példa egy függvény ábrázolására z(x,y) = -sin( x 2 + y 2)

Mertmattító 3D diagramok

A grafikon formázásához duplán kell kattintania a nyomtatási területre - megjelenik egy több lappal rendelkező formázási ablak: Kinézet, Tábornok, Axes, Világítás, Cím, Hátlapok, Különleges, Fejlett, Gyors Cselekmény Adat.

A lap célja Gyors Cselekmény Adat fentebb volt szó.

Tab Kinézet lehetővé teszi a grafikon megjelenésének megváltoztatását. Terület Tölt Lehetőségek lehetővé teszi a kitöltési paraméterek, mező módosítását Vonal választási lehetőség-- vonalparaméterek, Pont Lehetőségek-- pont paraméterei.

A lapon Tábornok (általános) a csoportban Kilátás mindhárom tengely körül kiválaszthatja az ábrázolt felület elfordulási szögeit; csoportban Kijelző mint Megváltoztathatja a grafikon típusát.

A lapon Világítás(világítás) a négyzet bejelölésével szabályozhatja a világítást Engedélyezze Világítás(kapcsold fel a villanyt) és kapcsold be Tovább(bekapcsol). A 6 lehetséges világítási séma egyike van kiválasztva a listából Világítás rendszer(világítási diagram).

6. Egyenletek megoldási módszerei in MathCAD

Ebben a részben megtudjuk, hogyan lehet a legegyszerűbb egyenleteket az F( x) = 0. Egy egyenlet analitikus megoldása azt jelenti, hogy megtaláljuk az összes gyökerét, azaz. Az ilyen számokat az eredeti egyenletbe behelyettesítve megkapjuk a helyes egyenlőséget. Az egyenlet grafikus megoldása a függvény grafikonjának az OX tengellyel való metszéspontjainak megtalálását jelenti.

6. 1 Egyenletek megoldása a gyök(f(x),x) függvény segítségével

Egy F( formájú ismeretlennel rendelkező egyenlet megoldásához x) = 0 van egy speciális függvény

gyökér(f(x), x) ,

Ahol f(x) -- nullával egyenlő kifejezés;

x-- érvelés.

Ez a függvény adott pontossággal visszaadja annak a változónak az értékét, amelynél a kifejezés f(x) egyenlő 0-val.

Figyeleme. Ha az egyenlet jobb oldala 0, akkor normál formába kell hozni (mindent át kell helyezni a bal oldalra).

A funkció használata előtt gyökér argumentumra kell állítani x kezdeti közelítés. Ha több gyök van, akkor minden gyökér megtalálásához meg kell adni a saját kezdeti közelítését.

Figyelem. Megoldása előtt célszerű megszerkeszteni a függvény grafikonját, hogy ellenőrizzük, vannak-e gyökök (metszi-e a gráf az Ox tengelyt), és ha igen, hány. A kezdeti közelítés a metszésponthoz közelebbi grafikonból választható ki.

Példa. Egyenlet megoldása függvény segítségével gyökérábra mutatja be a 3.1. Mielőtt folytatnánk a megoldást a MathCAD rendszerben, vigyünk át mindent az egyenletben a bal oldalra. Az egyenlet a következő formában lesz: .

Rizs. 3.1. Egyenlet megoldása a gyökérfüggvény segítségével

6. 2 Egyenletek megoldása a Polyroots(v) függvény segítségével

Egy polinom összes gyökének egyidejű megkereséséhez használja a függvényt Polyroots(v), ahol v a polinom együtthatóinak vektora, a szabad taggal kezdve . A nulla együtthatók nem hagyhatók ki. A funkcióval ellentétben gyökér funkció Polyroots nem igényel kezdeti közelítést.

Példa. Egyenlet megoldása függvény segítségével sokgyökerekábra mutatja be a 3.2.

Rizs. 3.2. Egyenlet megoldása a polyroots függvény segítségével

6.3 Egyenletek megoldása a Find(x) függvény segítségével

A Keresés funkció az Adott kulcsszóval együtt működik. Tervezés Adott - megtalálja számítási technikát használ, amely a felhasználó által megadott kezdeti közelítési pont közelében lévő gyökér keresésén alapul.

Adott az egyenlet f(x) = 0, akkor a blokk segítségével a következőképpen oldható meg Adott - megtalálja:

Állítsa be a kezdeti közelítést

Írjon be egy függvényszót

Írd fel az egyenletet az előjel segítségével! félkövér egyenlő

Írjon egy keresési függvényt, amelynek paramétere ismeretlen változó

Ennek eredményeként az egyenlőségjel után a talált gyökér jelenik meg.

Ha több gyök van, akkor ezeket úgy találhatjuk meg, hogy az x0 kezdeti közelítést a kívánt gyökérhez közelire változtatjuk.

Példa. Az egyenlet megoldása a find függvény segítségével a 3.3. ábrán látható.

Rizs. 3.3. Egyenlet megoldása a Find függvény segítségével

Néha szükségessé válik néhány pont megjelölése a grafikonon (például egy függvény metszéspontja az Ox tengellyel). Ehhez szüksége van:

· jelezze egy adott pont x értékét (az Ox tengely mentén) és a függvény értékét ebben a pontban (Oy tengely mentén);

· kattintson duplán a grafikonra és a lap formázási ablakában Nyomok A megfelelő vonalhoz válassza ki a grafikon típusát - pontok, vonalvastagság - 2 vagy 3.

Példa. A függvény metszéspontja az Ox tengellyel van jelölve a grafikonon. Koordináta x ezt a pontot az előző példában találtuk: x= 2,742 (az egyenlet gyöke ) (3.4. ábra).

Rizs. 3.4. Egy függvény grafikonja megjelölt metszésponttal

A lapon lévő diagram formázási ablakban Nyomok Mert nyom2 megváltozott: grafikon típusa - pontok, vonalvastagság - 3, szín - fekete.

7. Egyenletrendszerek megoldása

7.1 Lineáris egyenletrendszerek megoldása

Egy lineáris egyenletrendszer megoldható m mátrix módszer (vagy az inverz mátrixon keresztül, vagy a függvény használatával megoldani(A,B)) és két függvény használatával megtaláljaés funkciókat Minerr.

Mátrix módszer

Példa. Az egyenletrendszer adott:

Ennek az egyenletrendszernek a mátrix módszerrel történő megoldását a 4.1. ábra mutatja be.

Rizs. 4.1. Lineáris egyenletrendszer megoldása mátrix módszerrel

A funkció használata megoldani(A, B)

Lmegoldani(A,B) egy beépített függvény, amely X vektort ad vissza egy lineáris egyenletrendszerhez, adott egy A együttható mátrixa és egy B szabad tagok vektora. .

Példa. Az egyenletrendszer adott:

Ennek a rendszernek az lsolve(A,B) függvény segítségével történő megoldásának módszere a 4.2. ábrán látható.

Rizs. 4.2. Lineáris egyenletrendszer megoldása az lsolve függvény segítségével

Lineáris egyenletrendszer megoldása használva funkciókatÉs megtalálja

Ezzel a módszerrel az egyenletek beírása mátrixok használata nélkül történik, azaz. „természetes formájában”. Először is meg kell adni az ismeretlen változók kezdeti közelítését. Ezek tetszőleges számok lehetnek a definíción belül. Gyakran összetévesztik őket az ingyenes tagok oszlopával.

Lineáris egyenletrendszer megoldása számítási egység segítségével Adott - megtalálja, szükséges:

2) írjon be egy függvényszót Adott;

félkövér egyenlő();

4) írjon egy függvényt megtalálja,

Példa. Az egyenletrendszer adott:

Ennek a rendszernek a megoldása számítási egység segítségével Adott - megtaláljaábrán látható 4.3.

Rizs. 4.3. Lineáris egyenletrendszer megoldása a Find függvény segítségével

Hozzávetőleges plineáris egyenletrendszer megoldása

Lineáris egyenletrendszer megoldása a függvény segítségével Minerr függvényt használó megoldáshoz hasonlóan megtalálja(ugyanazt az algoritmust használjuk), csak a függvényt megtalálja pontos megoldást ad, és Minerr- hozzávetőleges. Ha a keresés nem eredményezi a megoldás aktuális közelítésének további finomítását, Bányászr ezt a közelítést adja vissza. Funkció megtalálja ebben az esetben hibaüzenetet ad vissza.

· Választhat más kezdeti közelítést is.

· Növelheti vagy csökkentheti a számítások pontosságát. Ehhez válassza ki a menüből Math > Lehetőségek(Matek - Opciók) lapon Épült- Ban ben Változók(Beépített változók). A megnyíló lapon csökkentenie kell a megengedett számítási hibát (Konvergencia Tolerancia (TOL)). Alapértelmezett TOL = 0,001.

BAN BENFigyelem. A mátrix megoldási módszerrel az együtthatók átrendezése szükséges a növekvő ismeretlenek szerint x 1, x 2, x 3, x 4.

7.2 Nemlineáris egyenletrendszerek megoldása

A MathCAD nemlineáris egyenletrendszereit számítási egység segítségével oldják meg Adott - megtalálja.

Tervezés Adott - megtalálja számítási technikát használ, amely a felhasználó által megadott kezdeti közelítési pont közelében lévő gyökér keresésén alapul.

Egyenletrendszer megoldása blokk segítségével Adott - megtalálja szükséges:

1) állítson be kezdeti közelítéseket minden változóra;

2) írjon be egy függvényszót Adott;

3) írjon fel egyenletrendszert az előjel segítségével félkövér egyenlő();

4) írjon egy függvényt megtalálja, az ismeretlen változók függvényparaméterekként való felsorolásával.

A számítások eredményeként a rendszer megoldási vektora lesz levezetve.

Ha a rendszernek több megoldása van, az algoritmust meg kell ismételni különböző kezdeti közelítésekkel.

jegyzet. Ha két egyenletből álló, két ismeretlennel rendelkező egyenletrendszert oldunk meg, akkor annak megoldása előtt célszerű függvénygráfokat készíteni annak ellenőrzésére, hogy van-e gyöke a rendszernek (az adott függvények gráfjai metszik-e egymást), és ha igen, hányat. A kezdeti közelítés a metszésponthoz közelebbi grafikonból választható ki.

Példa. Adott egyenletrendszer

A rendszer megoldása előtt függvénygráfokat készítünk: parabolákat (első egyenlet) és egyenest (második egyenlet). Egy egyenes és egy parabola grafikonjának egy koordinátarendszerben való felépítését a 4.5. ábra mutatja:

Rizs. 4.5. Két függvény grafikonjának ábrázolása egy koordinátarendszerben

Egy egyenes és egy parabola két pontban metszi egymást, ami azt jelenti, hogy a rendszernek két megoldása van. A gráf segítségével kiválasztjuk az ismeretlenek kezdeti közelítését xÉs y minden megoldáshoz. Az egyenletrendszer gyökereinek megtalálását a 4.6. ábra mutatja be.

Rizs. 4.6. Nemlineáris egyenletrendszer gyökereinek megtalálása

Annak érdekében, hogy a grafikonon jelöljük a parabola és az egyenes metszéspontjait, a rendszer megoldása során talált pontok koordinátáit, megadjuk az Ox tengely mentén (értékek x ) és az Oy tengely mentén (értékek nál nél ) vesszővel elválasztva. A lapon lévő diagram formázási ablakban Nyomok Mert nyom3 És nyom4 változtassunk: grafikon típusa - pontok, vonalvastagság - 3, szín - fekete (4.7. ábra).

Rizs. 4.7. Függvénygrafikonok jelölt metszéspontokkal

8 . Példák a fő funkciók használatára MathCAD néhány matematikai probléma megoldására

Ez a rész példákat mutat be olyan problémák megoldására, amelyek egyenlet vagy egyenletrendszer megoldását igénylik.

8. 1. A függvények lokális szélsőségeinek megkeresése

A folytonos függvény szélsőértékének (maximumának és/vagy minimumának) szükséges feltétele a következőképpen fogalmazódik meg: szélsőség csak azokon a pontokon fordulhat elő, ahol a derivált vagy egyenlő nullával, vagy nem létezik (különösen a végtelenbe megy). Egy folytonos függvény szélsőértékének megtalálásához először keressük meg a szükséges feltételt kielégítő pontokat, vagyis keressük meg az egyenlet összes valós gyökerét.

Ha egy függvény grafikonját ábrázoljuk, azonnal láthatjuk, hogy egy adott pontban elértük-e a maximumot vagy a minimumot x. Ha nincs gráf, akkor a talált gyökerek mindegyikét megvizsgáljuk a következő módok egyikén.

1 Val vel módszer . VAL VEL egyenlő e származékos jelek . Határozzuk meg a derivált előjelét a pont közelében (a függvény szélsőpontjától kis távolságra lévő pontokban, ellentétes oldalon). Ha a derivált előjele „+”-ról „-”-ra változik, akkor egy adott ponton a függvénynek maximuma van. Ha a jel „-”-ról „+”-ra változik, akkor ezen a ponton a függvénynek van minimuma. Ha a derivált előjele nem változik, akkor nincsenek szélsőségek.

2. s módszer . BAN BEN kiszámítja e második derivált . Ebben az esetben a szélsőpont második deriváltját számítjuk ki. Ha kisebb, mint nulla, akkor egy adott ponton a függvénynek van maximuma, ha nagyobb nullánál, akkor minimuma.

Példa. Egy függvény szélsőértékének (minimum/maximum) megkeresése.

Először készítsük el a függvény grafikonját (6.1. ábra).

Rizs. 6.1. Függvény ábrázolása

Határozzuk meg a grafikonból az értékek kezdeti közelítését x, amely a függvény lokális szélsőértékének felel meg f(x). Keressük meg ezeket a szélsőségeket az egyenlet megoldásával. Ennek megoldására a Given - Find blokkot használjuk (6.2. ábra).

Rizs. 6.2. Helyi szélsőségek megtalálása

Határozzuk meg az extrémák típusát elsőilyen módon, feltárja a derivált előjelének változását a talált értékek közelében (6.3. ábra).

Rizs. 6.3. Az extrémum típusának meghatározása

A derivált értékek táblázatából és a grafikonból jól látható, hogy a derivált jele a pont közelében x Az 1 pluszról mínuszra változik, tehát ezen a ponton a függvény eléri a maximumot. És a pont környékén x 2, a derivált előjele mínuszról pluszra változott, tehát ezen a ponton a függvény eléri a minimumot.

Határozzuk meg az extrémák típusát keddilyen módon, a második derivált előjelét számítva (6.4. ábra).

Rizs. 6.4. Az extrémum típusának meghatározása a második derivált segítségével

Ez a ponton látható x 1 másodperces derivált kisebb, mint nulla, ami pontot jelent x Az 1 a függvény maximumának felel meg. És a ponton x 2 a második derivált nagyobb nullánál, ami a pontot jelenti x 2 a minimális funkciónak felel meg.

8.2 Folyamatos vonallal határolt ábrák területének meghatározása

Egy görbe trapéz területe, amelyet egy függvény grafikonja határol f(x) , egy szegmens az Ox tengelyen és két függőleges x = AÉs x = b, a < b, a következő képlet határozza meg: .

Példa. Egy alak vonallal határolt területének megkeresése f(x) = 1 - x 2 és y = 0.

Rizs. 6.5. Egy alak vonallal határolt területének megkeresése f(x) = 1 - x 2 és y = 0

Az ábra területe a függvénygrafikonok között f1(x) És f2(x) és egyenes x = AÉs x = b, a következő képlettel számítjuk ki:

Figyelem. A területszámítási hibák elkerülése érdekében a függvények különbségét modulo-ra kell venni. Így a terület mindig pozitív érték lesz.

Példa. Egy alakzat vonallal határolt területének megkeresése és. A megoldást a 6.6. ábra mutatja be.

1. Készítsünk függvénygráfot.

2. Keresse meg a függvények metszéspontjait a gyökérfüggvény segítségével! A kezdeti közelítéseket a grafikonból határozzuk meg.

3. Talált értékek x behelyettesítés a képletbe, mint az integráció határai.

8. 3 Görbék készítése adott pontokból

Két adott ponton átmenő egyenes építése

Két ponton átmenő egyenes egyenletének összeállítása A( x 0,y 0) és B( x 1,y 1), a következő algoritmust javasoljuk:

Ahol aÉs b-- az egyenes együtthatói, amelyeket meg kell találnunk.

2. Ez a rendszer lineáris. Két ismeretlen változót tartalmaz: aÉs b

Példa. Az A(-2,-4) és B(5,7) pontokon átmenő egyenes építése.

Helyettesítsük be ezeknek a pontoknak a közvetlen koordinátáit az egyenletbe, és kapjuk meg a rendszert:

Ennek a rendszernek a megoldását MathCAD-ben a 6.7. ábra mutatja be.

Rizs. 6.7. Rendszermegoldás

A rendszer megoldása eredményeként a következőket kapjuk: A = 1.57, b= -0,857. Ez azt jelenti, hogy az egyenes egyenlete így fog kinézni: y = 1.57x- 0,857. Szerkesszük meg ezt az egyenest (6.8. ábra).

Rizs. 6.8. Egyenes vonal építése

Parabola felépítése, három megadott ponton áthaladva

Három A() ponton átmenő parabola megalkotása x 0,y 0), B( x 1,y 1) és C( x 2,y 2), az algoritmus a következő:

1. Egy parabolát az egyenlet ad meg

y = fejsze 2 + bx + Val vel, Ahol

A, bÉs Val vel-- a parabola együtthatói, amelyeket meg kell találnunk.

A pontok megadott koordinátáit behelyettesítjük ebbe az egyenletbe, és megkapjuk a rendszert:

2. Ez a rendszer lineáris. Három ismeretlen változó van: a, bÉs Val vel. A rendszer mátrix módszerrel oldható meg.

3. A kapott együtthatókat behelyettesítjük az egyenletbe, és összeállítunk egy parabolát.

Példa. Az A(-1,-4), B(1,-2) és C(3,16) pontokon átmenő parabola felépítése.

A pontok megadott koordinátáit behelyettesítjük a parabola egyenletbe, és megkapjuk a rendszert:

Ennek az egyenletrendszernek a megoldását a MathCAD-ben a 6.9. ábra mutatja be.

Rizs. 6.9. Egyenletrendszer megoldása

Ennek eredményeként a következő együtthatókat kaptuk: a = 2, b = 1, c= -5. Megkapjuk a parabola egyenletét: 2 x 2 +x -5 = y. Szerkesszük meg ezt a parabolát (6.10. ábra).

Rizs. 6.10. Parabola felépítése

Három megadott ponton átmenő kör szerkesztése

Három ponton átmenő kör megszerkesztéséhez A( x 1,y 1), B( x 2,y 2) és C( x 3,y 3), használhatja a következő algoritmust:

1. A kört az egyenlet adja meg

ahol x0,y0 a kör középpontjának koordinátái;

R -- a kör sugara.

2. Helyettesítsd be a megadott koordinátákat a kör egyenletébe.........

1. MathCAD munkaablak

· Panel Matematika(1.4. ábra).

Rizs. 1.4. Matematika panel

A matematikai eszköztár gombjára kattintva egy további panel nyílik meg:

2. A nyelv elemei MathCAD

A MathCAD matematikai kifejezések alapvető elemei operátorok, konstansok, változók, tömbök és függvények.

2.1 Üzemeltetők

Az operátor meghatározza:

a) bizonyos operandusértékek jelenlétében végrehajtandó művelet;

b) hány, hol és milyen operandust kell bevinni az operátorba.

A MathCAD bármely operátora kétféleképpen adható meg:

· egy billentyű (billentyűkombináció) megnyomásával a billentyűzeten;

· a matematikai panel használatával.

A következő utasítások egy változóhoz társított memóriahely tartalmának hozzárendelésére vagy megjelenítésére szolgálnak:

Hozzárendelési jel (a gomb megnyomásával írható be : a billentyűzeten (angol billentyűzetkiosztásban kettőspont), vagy a panel megfelelő gombjának megnyomásával Számológép );

Ezt a feladatot ún helyi. A hozzárendelés előtt a változó definiálatlan, és nem használható.

Az operátor (prím egyenlő), amelyet egy állandó vagy változó értékének kinyomtatására használnak.

Egyszerű számítások

A számítási folyamat a következőképpen történik:

Számológép panelek, számítási panelek és becslési panelek.

Figyelem. Ha a teljes kifejezést fel kell osztani a számlálóban, akkor először a billentyűzet szóköz billentyűjének megnyomásával vagy zárójelbe helyezésével kell kiválasztani.

2.2 Állandók

Állandók -- elnevezett objektumok, amelyek olyan értékeket tárolnak, amelyek nem módosíthatók.

Például = 3,14.

Dimenziós állandók -- ezek általánosan elfogadott mértékegységek. Például méter, másodperc stb.

2.3 Változók

Figyelem. A MathCAD a kis- és nagybetűket különböző azonosítóként kezeli.

Rendszerváltozók

Rangsorolt változók

Ezek a változók egy sor rögzített értékkel rendelkeznek, amelyek egész számok vagy egy bizonyos lépésben változnak a kezdeti értéktől a végső értékig.

Rangsorolt változó létrehozásához használja a következő kifejezést:

Név=N kezdődik , (N kezdődik +Lépés).N vége ,

ahol a Név a változó neve;

N begin -- kezdeti érték;

Step -- a változó megváltoztatásának megadott lépése;

N vége -- végső érték.

Figyelem. Ha nem ad meg lépést a változó változási tartományában, a program automatikusan elfogadja 1-gyel egyenlőnek.

Példa . Változó x változás a -16 és +16 közötti tartományban 0,1-es lépésekben

Rangsorolt változó írásához a következőket kell beírni:

- változó neve ( x);

- hozzárendelési jel (:=)

— a tartomány első értéke (-16);

- vessző;

— a tartomány második értéke, amely az első érték és a lépés összege (-16+0,1);

- ellipszis ( . ) -- változó módosítása meghatározott határokon belül (az ellipszis beírása a pontosvessző megnyomásával történik az angol billentyűzetkiosztásban);

— a tartomány utolsó értéke (16).

Ennek eredményeként a következőket kapja: x := -16,-16+0.1.16.

Kimeneti táblázatok

Az egyenlőségjel után rangsorolt változókat tartalmazó kifejezések kiváltják a kimeneti táblát.

Számértékeket szúrhat be a kimeneti táblázatokba, és módosíthatja azokat.

Változó indexszel

Változó indexszel-- egy változó, amely független számok halmazához van hozzárendelve, amelyek mindegyikének saját száma (indexe) van.

Az index bevitele a billentyűzet bal oldali szögletes zárójelének megnyomásával vagy a gombbal történik x n a panelen Számológép.

Indexként használhat konstanst vagy kifejezést. Egy változó indexszel történő inicializálásához meg kell adnia a tömb elemeit, vesszővel elválasztva őket.

Példa. Index változók bevitele.

A számértékek vesszővel elválasztva kerülnek be a táblázatba;

Adja ki az S vektor első elemének értékét;

Az S vektor nulla elemének értékének megjelenítése.

2.4 Tömbök

Sor -- véges számú numerikus vagy szimbolikus elem egyedi elnevezésű gyűjteménye, valamilyen módon rendezve és meghatározott címekkel.

A csomagban MathCAD A két leggyakoribb tömbtípust használják:

egydimenziós (vektorok);

kétdimenziós (mátrixok).

A mátrix- vagy vektorsablont a következő módok egyikén jelenítheti meg:

válassza ki a menüpontot Beszúrás - Mátrix;

nyomjon meg egy billentyűkombinációt Ctrl + M;

nyomja meg a gombot Panel És vektorok és mátrixok

Ennek eredményeként megjelenik egy párbeszédpanel, amelyben beállíthatja a szükséges sorok és oszlopok számát:

Sorok-- sorok száma

Oszlopok-- oszlopok száma Ha egy mátrixhoz (vektorhoz) nevet kell rendelni, akkor először adja meg a mátrix (vektor) nevét, majd a hozzárendelési operátort, majd a mátrixsablont.

Például:

Mátrix -- egy M n, m nevű kétdimenziós tömb, amely n sorból és m oszlopból áll.

A mátrixokkal különféle matematikai műveleteket végezhet.

2.5 Funkciók

Funkció -- kifejezés, amely szerint néhány számítást argumentumokkal hajtanak végre, és meghatározzák a számértékét. Példák a függvényekre: bűn(x), Cser(x) satöbbi.

A MathCAD csomag függvényei lehetnek beépítettek vagy felhasználó által meghatározottak. A soron belüli függvény beszúrásának módjai:

Válassza ki a menüpontot Beszúrás — Funkció.

Nyomja meg a billentyűkombinációt Ctrl + E.

Kattintson a gombra az eszköztáron.

Írja be a funkció nevét a billentyűzeten.

A felhasználói függvényeket általában akkor használják, ha ugyanazt a kifejezést többször is kiértékelik. Felhasználói funkció beállításához:

· írja be a függvény nevét az argumentum kötelező megjelölésével zárójelben, például f (x);

· írja be a hozzárendelés operátorát (:=);

· Adjon meg egy számított kifejezést.

Példa. f (z) := bűn (2 z 2)

3. Számok formázása

o Decimális (Tizedes) -- A lebegőpontos számok decimális ábrázolása (például 12,2316).

o Tudományos (Tudományos) -- A számok csak sorrendben jelennek meg.

o Mérnöki (Műszaki) -- a számok csak a három többszörösében jelennek meg (például 1,2210 6).

4. Munka szöveggel

A szövegrészletek olyan szövegrészek, amelyeket a felhasználó látni szeretne a dokumentumában. Ezek lehetnek magyarázatok, linkek, megjegyzések stb. Ezek beszúrása a menüpont segítségével történik Beszúrás — Szöveg régió.

Formázhatja a szöveget: módosíthatja a betűtípust, méretét, stílusát, igazítását stb. Ehhez ki kell jelölnie, és a megfelelő opciókat kell kiválasztania a betűtípus panelen vagy a menüben Formázás — Szöveg.

5. Grafikával való munka

Sok olyan probléma megoldása során, ahol egy függvényt tanulmányozunk, gyakran meg kell alkotni a grafikonját, amely egyértelműen tükrözi a függvény viselkedését egy bizonyos intervallumon keresztül.

A MathCAD rendszerben különféle típusú gráfok készítésére van lehetőség: derékszögű és poláris koordinátarendszerben háromdimenziós gráfok, forgástestek felületei, poliéderek, térbeli görbék, vektormező gráfok. Megnézzük néhányuk elkészítésének technikáit.

5.1 Kétdimenziós gráfok felépítése

Egy függvény kétdimenziós grafikonjának elkészítéséhez szüksége lesz:

· funkció beállítása;

· helyezze a kurzort arra a helyre, ahol a grafikont fel kell építeni, válassza ki a Graph gombot a matematikai panelen és az X-Y Plot gombot a megnyitott panelen;

Rizs. 2.1. 2D grafikon sablon

Kattintson az egérrel a diagramsablonon kívül – a függvénygrafikon létrejön.

Az argumentumtartomány 3 értékből áll: kezdő, második és végső.

Legyen szükséges egy függvény grafikonja a [-2,2] intervallumon 0,2 lépéssel. Változó értékek t tartományként vannak megadva a következők szerint:

t:= —2, - 1.8 . 2 ,

ahol: -2 -- a tartomány kezdeti értéke;

1,8 (-2 + 0,2) -- a tartomány második értéke (kezdeti érték plusz lépés);

2 -- a tartomány végső értéke.

Figyelem. Az angol billentyűzetkiosztáson a pontosvessző lenyomásával írhat be hárompontos jelet.

Példa. Függvény ábrázolása y = x 2 a [-5,5] intervallumon 0,5 lépéssel (2.2. ábra).

Rizs. 2.2. Függvény ábrázolása y = x 2

A grafikonok készítésekor a következőket kell figyelembe venni:

° Ha az argumentumértékek tartománya nincs megadva, akkor alapértelmezés szerint a grafikon a [-10,10] tartományban van ábrázolva.

° Ha egy sablonban több grafikont kell elhelyezni, akkor a függvények neveit vesszővel elválasztva jelezzük.

° A grafikonsablon szélső adatcímkéi az abszcissza és az ordináta határértékeinek jelzésére szolgálnak, azaz beállítják a grafikon léptékét. Ha ezeket a jeleket üresen hagyja, a skála automatikusan beáll. Az automatikus skála nem mindig a kívánt formában tükrözi a grafikont, ezért az abszcissza és az ordináta határértékeit manuális változtatással kell szerkeszteni.

Jegyzet. Ha az ábrázolás után a grafikon nem a kívánt formát ölti, a következőket teheti:

· csökkentse a lépést.

· módosítsa a grafikon ábrázolási intervallumát.

· csökkentse az abszciszák és ordináták határértékeit a grafikonon.

Példa. Olyan kör szerkesztése, amelynek középpontja a (2,3) pontban van és sugara R = 6.

Egyenlet egy kör középpontjával egy pontban koordinátákkal ( x 0 ,y 0) és sugár Rígy van írva:

Fejezzük ki ebből az egyenletből y:

Így egy kör felépítéséhez két függvényt kell megadni: a felső és az alsó félkört. Az argumentumértékek tartományát a következőképpen számítjuk ki:

— kezdeti tartomány értéke = x 0 — R;

— a tartomány végértéke = x 0 + R;

— jobb a 0,1-nek megfelelő lépést megtenni (2.3. ábra).

Rizs. 2.3. Kör felépítése

Egy függvény paraméteres grafikonja

Példa. Középpontos kör szerkesztése egy (2,3) koordinátájú és sugarú pontban R= 6. A kör paraméteres egyenletét használjuk a szerkesztéshez

x = x 0 + R kötözősaláta( t) y = y 0 + R bűn( t) (2.4. ábra).

Rizs. 2.4. Kör felépítése