A felület érintősíkjának meghatározása. Érintő sík

Mégpedig arról, amit a címben lát. Lényegében ez egy „térbeli analóg” érintő problémák kereséseÉs normálisak egy változó függvényének grafikonjára, és ezért nem merülhet fel nehézség.

Kezdjük az alapvető kérdésekkel: MI AZ érintősík és MI A normál? Sokan az intuíció szintjén értik ezeket a fogalmakat. A legegyszerűbb modell, ami eszünkbe jut, egy golyó, amelyen egy vékony lapos kartonlap fekszik. A karton a lehető legközelebb van a gömbhöz, és egyetlen ponton érinti. Ezenkívül az érintkezési ponton egy egyenesen felfelé szúró tűvel rögzítik.

Elméletileg van egy meglehetősen zseniális definíciója az érintősíknak. Képzelj el egy ingyenes felületés a hozzá tartozó pontot. Nyilván sok minden átmegy a lényegen térbeli vonalak, amelyek ehhez a felülethez tartoznak. Kinek milyen egyesületei vannak? =) ...személy szerint egy polipot képzeltem el. Tegyük fel, hogy minden ilyen sor rendelkezik térbeli érintő pontban.

1. definíció: érintő sík egy ponton a felszínre – ez az repülőgép, amely egy adott felülethez tartozó és a ponton átmenő görbék érintőit tartalmazza.

2. definíció: Normál egy ponton a felszínre – ez az egyenes, amely egy adott ponton halad át merőlegesen az érintősíkra.

Egyszerű és elegáns. Egyébként, hogy ne halj bele az unalomba az anyag egyszerűsége miatt, kicsit később megosztok veled egy elegáns titkot, amivel elfelejtheted a különféle definíciók összezsúfolását EGYSZER ÉS MINDENKINEK.

Konkrét példán keresztül ismerkedjünk meg a munkaképletekkel és a megoldási algoritmussal. A problémák túlnyomó többségében meg kell alkotni az érintősík egyenletet és a normál egyenletet is:

1. példa

Megoldás:ha a felületet az egyenlet adja meg (azaz implicit módon), akkor egy pontban egy adott felület érintősíkjának egyenlete a következő képlettel kereshető meg:

Különös figyelmet fordítok a szokatlan parciális származékokra - azok nem szabad összekeverni Val vel egy implicit módon meghatározott függvény parciális deriváltjai (bár a felület implicit módon meg van adva). Ezen származékok megtalálásakor az embernek vezérelnie kell szabályok a három változó függvényének megkülönböztetésére, vagyis ha bármely változóhoz képest megkülönböztetünk, a másik két betűt konstansnak tekintjük:

Anélkül, hogy elhagynánk a pénztárgépet, a részleges származékot a következő helyen találjuk:

Hasonlóképpen:

Ez volt a döntés legkellemetlenebb pillanata, amikor egy hiba, ha nem megengedett, de folyamatosan megjelenik. Van azonban itt egy hatékony ellenőrzési technika, amiről az órán beszéltem. Irányi derivált és gradiens.

Az összes „összetevőt” megtaláltuk, és most gondos helyettesítésről van szó további egyszerűsítésekkel:

– általános egyenlet a kívánt érintősíkot.

Nyomatékosan ajánlom a megoldás ezen szakaszának ellenőrzését is. Először meg kell győződnie arról, hogy az érintőpont koordinátái valóban megfelelnek a talált egyenletnek:

- igazi egyenlőség.

Most „eltávolítjuk” a sík általános egyenletének együtthatóit, és ellenőrizzük, hogy egybeesnek vagy arányosak-e a megfelelő értékekkel. Ebben az esetben arányosak. Ahogy emlékszel analitikus geometria tanfolyam, - Ezt normál vektorérintősík, és ő is az útmutató vektor normál egyenes vonal. Komponáljunk kanonikus egyenletek normálok pont- és irányvektor szerint:

Elvileg a nevezők kettővel csökkenthetők, de erre nincs különösebb szükség

Válasz:

Nem tilos az egyenleteket néhány betűvel jelölni, de miért? Itt már nagyon világos, hogy mi az.

A következő két példa arra szolgál, hogy Ön egyedül oldja meg. Egy kis „matematikai nyelvforgató”:

2. példa

Határozzuk meg az érintősík és a felület normáljának egyenleteit a pontban!

És egy technikai szempontból érdekes feladat:

3. példa

Írjon fel egyenleteket a felület érintősíkjára és normáljára egy pontban!

Azon a ponton.

Minden esély megvan arra, hogy ne csak összezavarodj, hanem nehézségekbe is ütközz a felvétel során az egyenes kanonikus egyenletei. És a normál egyenletek, amint valószínűleg megérti, általában ebben a formában vannak írva. Bár néhány árnyalat feledékenysége vagy tudatlansága miatt a parametrikus forma több mint elfogadható.

Hozzávetőleges példák a megoldások végső végrehajtására az óra végén.

Van-e érintősík a felület bármely pontjában? Általában véve természetesen nem. A klasszikus példa az kúpfelület és pont - az érintők ezen a ponton közvetlenül kúpos felületet alkotnak, és természetesen nem fekszenek ugyanabban a síkban. Könnyű analitikusan ellenőrizni, hogy valami nincs rendben: .

A másik problémaforrás a tény nemlétezés bármely parciális derivált egy pontban. Ez azonban nem jelenti azt, hogy egy adott pontban nincs egyetlen érintősík.

De ez inkább populáris tudomány volt, mintsem gyakorlatilag jelentős információ, és visszatérünk a sürgető kérdésekhez:

Hogyan írjunk fel egyenleteket az érintősíkra és a normálra egy pontban,
ha a felületet explicit függvény határozza meg?

Írjuk át implicit módon:

És ugyanezeket az elveket alkalmazva parciális származékokat találunk:

Így az érintősík képlet a következő egyenletté alakul:

És ennek megfelelően a kanonikus normálegyenletek:

Ahogy sejtheti, - ezek már „igaziak” két változó függvényének parciális deriváltjai ponton, amit korábban „z” betűvel jelöltünk, és 100500-szor találtuk meg.

Felhívjuk figyelmét, hogy ebben a cikkben elegendő emlékezni a legelső képletre, amelyből szükség esetén könnyen levezethető minden más (természetesen alapfokú képzettséggel). Pontosan ezt a megközelítést kell alkalmazni az egzakt tudományok tanulmányozása során, pl. minimális információból arra kell törekednünk, hogy maximum következtetéseket és következtetéseket „levonjunk”. A „megfontoltság” és a meglévő tudás segít! Ez az elv azért is hasznos, mert nagy valószínűséggel megment egy kritikus helyzetben, amikor nagyon keveset tudsz.

Nézzük meg a „módosított” képleteket néhány példával:

4. példa

Írjon egyenleteket a felület érintő síkjára és normáljára! pontban.

Itt van egy kis átfedés a jelölésekkel - most a betű egy pontot jelöl a síkon, de mit tehetsz - ilyen népszerű betű...

Megoldás: állítsuk össze a kívánt érintősík egyenletét a következő képlettel:

Számítsuk ki a függvény értékét a pontban:

Számoljunk I. rendű részszármazékok ezen a ponton:

És így:

óvatosan, ne siess:

Írjuk fel a normális kanonikus egyenleteit a pontba:

Válasz:

És egy utolsó példa a saját megoldásodhoz:

5. példa

Írja fel a pontban lévő felület érintősíkjának és normáljának egyenleteit!

Végső – mert gyakorlatilag az összes technikai pontot kifejtettem, és nincs mit hozzátenni. Még maguk az ebben a feladatban javasolt függvények is unalmasak és monotonok - a gyakorlatban szinte garantáltan találkozunk egy „polinomiával”, és ebben az értelemben a 2. példa exponenssel úgy néz ki, mint egy „fekete bárány”. Egyébként sokkal valószínűbb, hogy egy egyenlettel definiált felülettel találkozunk, és ez a másik oka annak, hogy a függvény kettes számként került be a cikkbe.

És végül a beígért titok: hogyan kerüljük el a definíciók zsúfoltságát? (Persze nem arra a helyzetre gondolok, amikor egy diák lázasan tömködik valamit vizsga előtt)

Bármely fogalom/jelenség/tárgy meghatározása mindenekelőtt a következő kérdésre ad választ: MI AZ? (kik/olyanok/olyanok). Tudatosan Amikor erre a kérdésre válaszol, meg kell próbálnia reflektálni jelentős jelek, egyértelműen egy adott fogalom/jelenség/tárgy azonosítása. Igen, eleinte kissé nyelvesnek, pontatlannak és feleslegesnek bizonyul (a tanár kijavít =)), de idővel egészen tisztességes tudományos beszéd alakul ki.

Gyakoroljon például a legelvontabb tárgyakon, és válaszoljon a kérdésre: ki az a Cseburaska? Ez nem ilyen egyszerű ;-) Ez egy „nagy fülű, szemű, barna szőrű mesefigura”? Messze és nagyon távol van a meghatározástól – soha nem tudhatod, hogy vannak ilyen tulajdonságokkal rendelkező karakterek... De ez sokkal közelebb áll a definícióhoz: "Cseburaska egy karakter, amelyet Eduard Uspensky író talált ki 1966-ban, aki ... (a fő megkülönböztető jegyek felsorolása)". Figyeld meg, milyen jól indult

A felület olyan pontok halmaza, amelyek koordinátái megfelelnek egy bizonyos típusú egyenletnek:

F (x , y , z) = 0 (1) (\displaystyle F(x,\,y,\,z)=0\qquad (1))

Ha a funkció F (x, y, z) (\displaystyle F(x,\,y,\,z)) valamely ponton folytonos és folytonos parciális deriváltjai vannak, amelyek közül legalább az egyik nem tűnik el, akkor ennek a pontnak a szomszédságában az (1) egyenlettel megadott felület lesz a megfelelő felület.

A fentieken kívül a meghatározás implicit módja, a felület meghatározható magától értetődően, ha az egyik változó, például a z, kifejezhető a többivel:

z = f (x, y) (1 ′) (\displaystyle z=f(x,y)\qquad (1"))

Szigorúbban egyszerű felület egy egységnégyzet belsejének homeomorf leképezése (vagyis egy az egyhez és kölcsönösen folytonos leképezés) képének nevezzük. Ennek a definíciónak analitikus kifejezést adhatunk.

Legyen adott egy négyzet egy u és v derékszögű koordinátarendszerű síkon, amelynek belső pontjainak koordinátái kielégítik a 0 egyenlőtlenségeket< u < 1, 0 < v < 1. Гомеоморфный образ квадрата в пространстве с прямоугольной системой координат х, у, z задаётся при помощи формул х = x(u, v), у = y(u, v), z = z(u, v) (параметрическое задание поверхности). При этом от функций x(u, v), y(u, v) и z(u, v) требуется, чтобы они были непрерывными и чтобы для различных точек (u, v) и (u", v") были различными соответствующие точки (x, у, z) и (x", у", z").

Példa egyszerű felület egy félgömb. Az egész szféra nem egyszerű felület. Ez szükségessé teszi a felület fogalmának további általánosítását.

A tér egy részhalmaza, amelynek minden pontjában van egy szomszédság, amely az egyszerű felület, hívott a megfelelő felület .

Felület a differenciálgeometriában

Helicoid

Catenoid

A metrika nem határozza meg egyértelműen a felület alakját. Például egy helikoid és egy katenoid ennek megfelelően paraméterezett metrikái egybeesnek, vagyis a régióik között minden hosszt megőrző megfelelés van (izometria). Az izometrikus transzformációk során megőrzött tulajdonságokat nevezzük belső geometria felületek. A belső geometria nem függ a felület térbeli helyzetétől, és nem változik, ha feszítés vagy összenyomás nélkül hajlítják (például ha egy hengert kúpmá hajlítanak).

Metrikus együtthatók E , F , G (\displaystyle E,\ F,\ G) nemcsak az összes görbe hosszát határozza meg, hanem általában a felületen belüli összes mérés eredményét is (szögek, területek, görbület stb.). Ezért minden, ami csak a metrikától függ, a belső geometriára vonatkozik.

Normál és normál szakasz

Normálvektorok a felületi pontokban

A felület egyik fő jellemzője az Normál- az érintősíkra merőleges egységvektor egy adott pontban:

m = [ r u ′ , r v ′ ] | [ r u ′ , r v ′ ] | (\displaystyle \mathbf (m) =(\frac ([\mathbf (r"_(u)) ,\mathbf (r"_(v)) ])(|[\mathbf (r"_(u)) ,\mathbf (r"_(v)) ]|))).

A normál előjele a koordináták megválasztásától függ.

Egy felületnek egy adott pontban a felületnormálist tartalmazó sík szakasza egy bizonyos görbét alkot, ún normál szakasz felületek. A normál szakasz fő normálja egybeesik a felszín normáljával (az előjelig).

Ha a felületen lévő görbe nem normál metszet, akkor főnormálja bizonyos szöget zár be a felület normáljával θ (\displaystyle \theta ). Aztán a görbület k (\displaystyle k) görbülethez kapcsolódó görbe k n (\displaystyle k_(n)) normál szakasz (ugyanolyan érintővel) Meunier képletével:

k n = ± k cos θ (\displaystyle k_(n)=\pm k\,\cos \,\theta )

A normál egységvektor koordinátáit a felület meghatározásának különböző módszereihez a táblázat tartalmazza:

	Normális koordináták egy felületi pontban
implicit hozzárendelés	(∂ F ∂ x ; ∂ F ∂ y ; ∂ F ∂ z) (∂ F ∂ x) 2 + (∂ F ∂ y) 2 + (∂ F ∂ z) 2 (\displaystyle (\frac (\left(()) \frac (\partial F)(\partial x));\,(\frac (\partial F)(\partial y));\,(\frac (\partial F)(\partial z))\right) )(\sqrt (\left((\frac (\partial F)(\partial x))\right)^(2)+\left((\frac (\partial F)(\partial y))\right) ^(2)+\left((\frac (\partial F)(\partial z))\right)^(2)))))
kifejezett megbízás	(− ∂ f ∂ x ; − ∂ f ∂ y ; 1) (∂ f ∂ x) 2 + (∂ f ∂ y) 2 + 1 (\displaystyle (\frac (\left(-(\frac (\partial f) )(\partial x));\,-(\frac (\partial f)(\partial y));\,1\right))(\sqrt (\left((\frac (\partial f)(\)) részleges x))\jobbra)^(2)+\left((\frac (\partial f)(\partial y))\right)^(2)+1))))
paraméteres specifikáció	(D (y, z) D (u, v) ; D (z, x) D (u, v) ; D (x, y) D (u, v)) (D (y, z) D (u , v)) 2 + (D (z , x) D (u , v)) 2 + (D (x, y) D (u , v)) 2 (\displaystyle (\frac (\left((\frac) (D(y,z))(D(u,v)));\,(\frac (D(z,x))(D(u,v)));\,(\frac (D(x) ,y))(D(u,v)))\jobbra))(\sqrt (\left((\frac (D(y,z))(D(u,v)))\jobbra)^(2 )+\left((\frac (D(z,x))(D(u,v)))\jobbra)^(2)+\left((\frac (D(x,y))(D( u,v)))\jobbra)^(2))))

Itt D (y , z) D (u , v) = | y u ′ y v ′ z u ′ z v ′ | , D (z , x) D (u , v) = | z u ′ z v ′ x u ′ x v ′ | , D (x, y) D (u, v) = | x u ′ x v ′ y u ′ y v ′ | (\displaystyle (\frac (D(y,z))(D(u,v)))=(\begin(vmatrix)y"_(u)&y"_(v)\\z"_(u) &z"_(v)\end(vmátrix)),\quad (\frac (D(z,x))(D(u,v)))=(\begin(vmátrix)z"_(u)&z" _(v)\\x"_(u)&x"_(v)\end(vmátrix)),\quad (\frac (D(x,y))(D(u,v)))=(\ kezdő(vmátrix)x"_(u)&x"_(v)\\y"_(u)&y"_(v)\end(vmátrix))).

Az összes származékot a pontban veszik (x 0, y 0, z 0) (\megjelenítési stílus (x_(0),y_(0),z_(0))).

Görbület

Különböző irányok esetén a felület egy adott pontjában a normál szakasz eltérő görbületét kapjuk, amit ún normál görbület; pluszjelet kap, ha a görbe főnormálja ugyanabba az irányba megy, mint a felület normálja, vagy mínuszjelet, ha a normálok irányai ellentétesek.

Általánosságban elmondható, hogy a felület minden pontjában két merőleges irány van e 1 (\displaystyle e_(1))És e 2 (\displaystyle e_(2)), amelyben a normál görbület minimális és maximális értéket vesz fel; ezeket az irányokat hívják fő-. Kivételt képez az az eset, amikor a normál görbület minden irányban azonos (például egy gömb közelében vagy egy forgásellipszoid végén), akkor egy pontban minden irány fő.

Negatív (bal), nulla (középen) és pozitív (jobb) görbületű felületek.

A főirányú normál görbületeket nevezzük fő görbületek; jelöljük ki őket κ 1 (\displaystyle \kappa _(1))És κ 2 (\displaystyle \kappa _(2)). Méret:

K = κ 1 κ 2 (\displaystyle K=\kappa _(1)\kappa _(2))

Gauss görbületnek, teljes görbületnek vagy egyszerűen felületi görbületnek nevezik. Ott van a kifejezés is görbületi skalár, ami a görbületi tenzor konvolúciójának eredményét jelenti; ebben az esetben a görbületi skalár kétszer akkora, mint a Gauss-görbület.

A Gauss-görbület metrikán keresztül számítható ki, ezért a felületek belső geometriájának tárgya (megjegyezzük, hogy a fő görbületek nem tartoznak a belső geometriához). A felületi pontokat a görbület előjele alapján osztályozhatja (lásd az ábrát). A sík görbülete nulla. Az R sugarú gömb görbülete mindenhol egyenlő 1 R 2 (\displaystyle (\frac (1)(R^(2)))). Van egy állandó negatív görbületű felület is -

Az érintősíkok nagy szerepet játszanak a geometriában. Az érintősíkok felépítése gyakorlati jelentőséggel bír, mivel jelenlétük lehetővé teszi a felület normál irányának meghatározását az érintkezési pontban. Ezt a problémát széles körben alkalmazzák a mérnöki gyakorlatban. Az érintősíkokat zárt felületekkel határolt geometriai alakzatok körvonalainak megalkotására is használják. Elméletileg a felületet érintő síkokat a differenciálgeometriában használják a felület tulajdonságainak tanulmányozására az érintkezési pont tartományában.

Alapfogalmak és definíciók

A felületet érintő síkot a metszősík határhelyzetének kell tekinteni (a görbe érintőjének analógiájára, amelyet a metszés határhelyzeteként is definiálunk).

A felület egy adott pontjában lévő sík érintője az összes egyenes halmaza - egy adott ponton keresztül a felülethez húzott érintők.

A differenciálgeometriában bebizonyosodott, hogy egy közönséges pontban húzott felület minden érintője egysíkú (ugyanahhoz a síkhoz tartozik).

Nézzük meg, hogyan lehet egyenes vonalat rajzolni, amely érinti a felületet. A β felület t érintője a felületen megadott M pontban (203. ábra) a felületet két pontban (MM 1, MM 2, ..., MM n) metsző l j metsző határhelyzetét jelenti, amikor a a metszéspontok egybeesnek (M ≡ M n , l n ≡ l M). Nyilvánvalóan (M 1, M 2, ..., M n) ∈ g, mivel g ⊂ β. A fentiekből a következő meghatározás következik: A felület érintője a felülethez tartozó bármely görbét érintő egyenes vonal.

Mivel a síkot két egymást metsző egyenes határozza meg, a felületet egy adott pontban érintő sík meghatározásához elegendő két tetszőleges, a felülethez tartozó (lehetőleg egyszerű alakú) egyenest ezen a ponton keresztül húzni, és érintőket megszerkeszteni. mindegyik ezen egyenesek metszéspontjában . A megszerkesztett érintők egyedileg határozzák meg az érintősíkot. A α felületet érintő α sík egy adott M pontban történő megrajzolásának vizuális ábrázolása az 1. ábrán látható. 204. Ezen az ábrán a β felület normál n értéke is látható.

A felület normálja egy adott pontban az érintősíkra merőleges és az érintési ponton áthaladó egyenes.

A felület és a normálon átmenő sík metszésvonalát a felület normál szakaszának nevezzük. A felület típusától függően az érintősíknak egy vagy több pontja (egyenese) lehet a felülettel. Az érintővonal egyben lehet a felület és a sík metszésvonala is.

Vannak olyan esetek is, amikor a felületen vannak olyan pontok, amelyeknél nem lehet érintőt rajzolni a felülethez; az ilyen pontokat szingulárisnak nevezzük. A szinguláris pontokra példaként megemlíthetjük a törzsfelület visszatérő éléhez tartozó pontokat, vagy a forgásfelület meridiánjának a tengelyével való metszéspontját, ha a meridián és a tengely nem metszi egymást jobbra. szögek.

Az érintés típusai a felület görbületének természetétől függenek.

Felületi görbület

A felület görbületével kapcsolatos kérdéseket F. Dupin (1784-1873) francia matematikus tanulmányozta, aki egy vizuális módot javasolt a felület normál szakaszainak görbületében bekövetkezett változások megjelenítésére.

Ehhez a szóban forgó felületet érintő síkban az M pontban (205., 206. ábra) e szakaszok megfelelő görbületi sugarainak négyzetgyökével megegyező szegmenseket helyezünk az érintőkre. a normál szakaszok ennek a pontnak mindkét oldalán. Pontok halmaza - a szegmensek végei egy görbét határoznak meg Dupin indikátora. A Dupin-indikátor felépítésének algoritmusa (205. ábra) felírható:

1. M ∈ α, M ∈ β ∧ α β;

2. = √(R l 1), = √(R l 2),..., = √(R l n)

ahol R a görbületi sugár.

(A 1 ∪ A 2 ∪ ... ∪ A n) a Dupin indikátor.

Ha egy felület Dupin-indikátora ellipszis, akkor az M pontot ellipszisnek, a felületet pedig elliptikus pontokkal rendelkező felületnek nevezzük.(206. ábra). Ebben az esetben az érintősíknak csak egy közös pontja van a felülettel, és minden, a felülethez tartozó és a vizsgált pontban metsző egyenes az érintősík egyik oldalán található. Példák az elliptikus pontokkal rendelkező felületekre: forgási paraboloid, forgási ellipszoid, gömb (ebben az esetben a Dupin indikátor egy kör stb.).

Amikor érintősíkot rajzolunk a törzs felületére, a sík egyenes generatrix mentén érinti ezt a felületet. Az ezen az egyenesen lévő pontokat ún parabola, a felület pedig parabolapontokkal rendelkező felület. Dupin indikátora ebben az esetben két párhuzamos egyenes (207. ábra*).

ábrán. A 208. ábra olyan pontokból álló felületet mutat, amelyekben

* Egy másodrendű görbe - egy parabola - bizonyos feltételek mellett két valós párhuzamos egyenesre, két képzeletbeli párhuzamos egyenesre, két egybeeső egyenesre osztható. ábrán. 207 két valódi párhuzamos egyenessel van dolgunk.

Bármely érintősík metszi a felületet. Az ilyen felületet ún hiperbolikus, és a hozzá tartozó pontok hiperbolikus pontok. Dupin indikátora ebben az esetben egy hiperbola.

Egy felület, amelynek minden pontja hiperbolikus, nyereg alakú (ferde sík, egylapos hiperboloid, homorú forgásfelületek stb.).

Egy felületen különböző típusú pontok lehetnek, például a törzsfelületen (209. ábra) az M pont elliptikus; N pont parabola; K pont hiperbolikus.

A differenciálgeometria során bebizonyosodott, hogy azok a normál szakaszok, amelyekben a görbületi értékek K j = 1/R j (ahol R j a vizsgált szakasz görbületi sugara) szélső értékkel rendelkeznek, két helyen helyezkednek el. egymásra merőleges síkok.

Az ilyen görbületek K 1 = 1/R max. A K 2 = 1/R min értéket fő értékeknek, a H = (K 1 + K 2)/2 és K = K 1 K 2 értékeket pedig a felület átlagos görbületének és a teljes ( Gauss) a felület görbülete a vizsgált pontban. K > 0 elliptikus pontok esetén K hiperbolikus pontok

Egy felület érintősíkjának megadása Monge-diagramon

Az alábbiakban konkrét példákon keresztül egy elliptikus (1. példa), parabolikus (2. példa) és hiperbolikus (3. példa) pontokkal rendelkező felület érintő síkjának felépítését mutatjuk be.

1. PÉLDA Szerkesszünk meg egy α síkot, amely érinti a β fordulat felületét elliptikus pontokkal. Tekintsünk két lehetőséget a probléma megoldására: a) M pont ∈ β és b) M pont ∉ β

A lehetőség (210. ábra).

Az érintősíkot a β felület párhuzamos és meridiánjának M pontjában húzott két érintő t 1 és t 2 határozza meg.

A β felület párhuzamos h t 1 érintőjének vetületei t" 1 ⊥ (S"M") és t" 1 || x tengely A t" 2 érintő vízszintes vetülete az M ponton áthaladó β felület d meridiánjára egybeesik a meridián vízszintes vetületével. A t" 2 érintő frontális vetületének megtalálásához a γ(γ) meridiánsíkot ∋ M) a β 1 ​​felület tengelye körüli forgatással, párhuzamosan a π 2 síkkal kerül γ helyzetbe. Ebben az esetben az M pont → M 1 (M" 1, M" 1). A t" 2 rarr; t" 2 1 érintő vetületét (M" 1 S" határozza meg). Ha most visszaállítjuk a γ 1 síkot eredeti helyzetébe, akkor az S" pont a helyén marad (mint ami a forgástengelyhez tartozik), és M" 1 → M" és a t" 2 érintő frontális vetülete meg kell határozni (M" S")

Két t 1 és t 2 érintő, amelyek egy M ∈ β pontban metszik egymást, meghatároz egy α síkot, amely érinti a β felületet.

b lehetőség (211. ábra)

A felülethez nem tartozó ponton átmenő felület sík érintőjének megalkotásához a következő szempontokból kell kiindulni: a felületen kívüli, elliptikus pontokból álló ponton keresztül sok, a felületet érintő sík rajzolható meg. Ezen felületek burkolata valamilyen kúpos felület lesz. Ezért, ha nincsenek további utasítások, akkor a feladatnak sok megoldása van, és ebben az esetben egy γ kúpos felület egy adott β felülethez való érintőjére redukálódik.

ábrán. A 211. ábra a β gömböt érintő γ kúpos felület felépítését mutatja. A γ kúpos felületet érintő bármely α sík érinti a β felületet.

A γ felület vetületeinek megszerkesztéséhez az M" és M" pontokból érintőket húzunk a h" és f" körökhöz - a gömb vetületeihez. Jelölje be az 1 (1" és 1"), 2 (2" és 2"), 3 (3" és 3") és 4 (4" és 4" érintési pontot). Egy kör vízszintes vetülete - a kúpos felület és a gömb érintési vonalát vetítjük [ 1"2"] Ahhoz, hogy megtaláljuk az ellipszis azon pontjait, amelyekbe ez a kör vetítésre kerül a vetítések frontális síkjára, használjuk a gömb párhuzamai.

ábrán. 211 ily módon meghatározzuk az E és F pontok frontális vetületeit (E" és F"). γ kúpos felülettel megszerkesztjük az α érintősíkot. A grafika jellege és sorrendje

Az ehhez szükséges konstrukciókat a következő példa tartalmazza.

2. PÉLDA Szerkesszünk meg egy α síkot, amely a β felület érintőjét parabolapontokkal

Az 1. példához hasonlóan két megoldást veszünk figyelembe: a) N pont ∈ β; b) N pont ∉ β

A lehetőség (212. ábra).

Kúpos felület alatt parabolapontú felületeket értünk (ld. 207. ábra) A kúpos felületet érintő sík egyenes vonal mentén érinti, megalkotásához szükséges:

1) egy adott N ponton keresztül rajzoljunk egy SN generátort (S"N" és S"N");

2) jelölje be a generatrix (SN) metszéspontját a d vezetővel: (SN) ∩ d = A;

3) az A pontban lévő t és d érintőre is fúj.

A generatrix (SA) és az őt metsző t érintő meghatározza a β kúpfelületet érintő α síkot egy adott N* pontban.

A β kúpos felületet érintő és az N ponton átmenő α sík megrajzolása nem tartozik a

* Mivel a β felület parabolapontokból áll (kivéve az S csúcsot), a hozzá tartozó α érintősíkban nem egy N pont, hanem egy egyenes (SN) lesz közös.

adott felület préseléséhez szükséges:

1) egy adott N ponton és a β kúpos felület S csúcsán keresztül húzz egy egyenest a (a" és a") ;

2) határozza meg ennek a H a egyenesnek a vízszintes nyomát;

3) H a-n keresztül rajzoljuk meg a h 0β görbe t" 1 és t" 2 érintőit - a kúpos felület vízszintes nyomát;

4) csatlakoztassa az A (A" és A") és a B (B" és B") érintőpontokat az S (S" és S" kúpos felület csúcsához).

A t 1, (AS) és t 2, (BS) metsző egyenesek határozzák meg a kívánt α 1 és α 2 érintősíkokat

3. PÉLDA Szerkesszünk meg egy α síkot, amely érinti a β felületet hiperbolikus pontokkal.

A K pont (214. ábra) a globoid felszínén (a gyűrű belső felületén) található.

Az α érintősík helyzetének meghatározásához szükséges:

1) húzz párhuzamost a β h(h), h") felülettel a K ponton keresztül;

2) a K" ponton keresztül rajzoljunk egy t" 1 érintőt (t" 1 ≡ h");

3) a meridionális szakasz érintőjének vetületi irányainak meghatározásához meg kell rajzolni a γ síkot a K ponton és a felület tengelyén keresztül, a t" 2 vízszintes vetület egybe fog esni h 0γ-val; megszerkeszteni a t" 2 érintő frontális vetülete, először a γ síkot úgy fordítjuk le, hogy elforgatjuk a forgásfelület tengelye körül a γ 1 helyzetbe || π 2. Ebben az esetben a γ sík szerinti meridionális metszet a frontális vetület bal oldali körvonalához igazodik - g" félkör.

A meridionális metszetgörbéhez tartozó K pont (K, K") a K 1 (K" 1, K" 1) pozícióba kerül. K" 1-en keresztül megrajzoljuk a t" 2 1 érintő frontális vetületét a γ 1 síkkal kombinálva || π 2 pozíciót és jelölje meg metszéspontját az S" 1 forgástengely frontális vetületével. A γ 1 síkot visszahelyezzük eredeti helyzetébe, a K" 1 → K" pont (S" 1 ≡ S" pont) A t" 2 érintő frontális vetületét a K" és S".

A t 1 és t 2 érintők határozzák meg a kívánt α érintősíkot, amely az l görbe mentén metszi a β felületet.

4. PÉLDA Szerkesszen meg egy α síkot, amely érinti a β felületet a K pontban. A K pont egy egylapos fordulathiperboloid felületén található (215. ábra).

Ez a probléma megoldható az előző példában használt algoritmus betartásával, de figyelembe véve, hogy egy lapos fordulathiperboloid felülete olyan szabályzott felület, amelyen két egyenes vonalú generátorcsalád van, és mindegyik generátor egy-egy. család metszi a másik család összes generátorát (lásd 32. §, 138. ábra). Ennek a felületnek minden pontján keresztül két egymást metsző egyenes vonal húzható - generátorok, amelyek egyidejűleg érintik az egylapos fordulathiperboloid felületét.

Ezek az érintők határozzák meg az érintősíkot, vagyis az egylapos fordulathiperboloid felületét érintő sík két g 1 és g 2 egyenes mentén metszi ezt a felületet. Ezen egyenesek vetületeinek megalkotásához elegendő a K pont vízszintes vetületét és a t" 1 és t" 2 érintőket a vízszintesbe vinni.

a kör d" 2 tal vetülete - egy lapos fordulathiperboloid felületének torkája; határozzuk meg azokat az 1" és 2 pontokat, amelyekben a t" 1 és t" 2 metszi az egyiket és a d 1 irányítófelületeket. 1"-ből és 2"-ből találjuk az 1"-et és a 2"-t, amelyek K"-vel együtt meghatározzák a szükséges egyenesek frontális vetületeit.

Egy ponton, és folyamatos parciális deriváltjai vannak, amelyek közül legalább az egyik nem tűnik el, akkor ennek a pontnak a szomszédságában az (1) egyenlettel meghatározott felület lesz a megfelelő felület.

A fentieken kívül a meghatározás implicit módja felülete meghatározható magától értetődően, ha az egyik változó, például z, kifejezhető a többivel:

Van még parametrikus beosztás módja. Ebben az esetben a felületet az egyenletrendszer határozza meg:

Az egyszerű felület fogalma

Pontosabban, egyszerű felület képnek nevezzük homeomorf az egységnégyzet belsejének leképezése (vagyis egy-egy és kölcsönösen folyamatos leképezése). Ez a meghatározás megadható elemző kifejezés.

Legyen adott u és v derékszögű koordinátarendszerű síkon négyzet, amelynek belső pontjainak koordinátái kielégítik a 0 egyenlőtlenséget< u < 1, 0 < v < 1. Гомеоморфный образ квадрата в пространстве с derékszögű koordinátarendszer x, y, z az x = x(u, v), y = y(u, v), z = z(u, v) ( parametrikus felületdefiníció). Ebben az esetben az x(u, v), y(u, v) és z(u, v) függvényeknek folyamatosés úgy, hogy a különböző (u, v) és (u, v") pontokhoz a megfelelő (x, y, z) és (x", y, z") pontok eltérőek legyenek.

Példa egyszerű felület egy félgömb. Minden a régi gömb nem egyszerű felület. Ez szükségessé teszi a felület fogalmának további általánosítását.

A tér egy részhalmaza, amelynek minden pontjában van egy szomszédság, amely az egyszerű felület, hívott a megfelelő felület .

Felület a differenciálgeometriában

Helicoid

Catenoid

A metrika nem határozza meg egyértelműen a felület alakját. Például a metrika helicoidÉs katenoid, ennek megfelelően paraméterezve egybeesik, azaz területeik között minden hosszt megőrző megfelelés van ( izometria). Az izometrikus transzformációk során megőrzött tulajdonságokat nevezzük belső geometria felületek. A belső geometria nem függ a felület térbeli helyzetétől, és nem változik, ha meghajlítjuk nyújtás vagy összenyomás nélkül (például hajlításkor). henger V kúp).

A metrikus együtthatók nemcsak az összes görbe hosszát határozzák meg, hanem általában a felületen belüli összes mérés eredményét is (szögek, területek, görbület satöbbi.). Ezért minden, ami csak a metrikától függ, a belső geometriára vonatkozik.

Normál és normál szakasz

Normálvektorok a felületi pontokban

A felület egyik fő jellemzője az Normál - az érintősíkra merőleges egységvektor egy adott pontban:

.

A normál előjele a koordináták megválasztásától függ.

Egy felületnek egy normált tartalmazó sík metszete (egy adott pontban) egy bizonyos görbét képez a felületen, amelyet ún. normál szakasz felületek. Otthon normális mert egy normál szakasz egybeesik a felszín normáljával (jelig).

Ha a felületen lévő görbe nem normálmetszet, akkor főnormálja egy bizonyos θ szöget zár be a felület normáljával. Aztán a görbület k görbülethez kapcsolódó görbe k n normál szakasz (ugyanolyan érintővel) Meunier képlete :

A normál egységvektor koordinátáit a felület meghatározásának különböző módszereihez a táblázat tartalmazza:

	Normális koordináták egy felületi pontban
implicit hozzárendelés
kifejezett megbízás
paraméteres specifikáció

Görbület

Különböző irányok esetén a felület egy adott pontjában a normál szakasz eltérő görbületét kapjuk, amit ún normál görbület; pluszjelet kap, ha a görbe főnormálja ugyanabba az irányba megy, mint a felület normálja, vagy mínuszjelet, ha a normálok irányai ellentétesek.

Általánosságban elmondható, hogy a felület minden pontjában két merőleges irány van e 1 és e 2, amelyben a normál görbület minimális és maximális értéket vesz fel; ezeket az irányokat hívják fő-. Kivételt képez az az eset, amikor a normál görbület minden irányban azonos (például egy gömb közelében vagy a végén ellipszoid forgatás), akkor a pontban lévő összes irány fő.

Negatív (bal), nulla (középen) és pozitív (jobb) görbületű felületek.

A főirányú normál görbületeket nevezzük fő görbületek; jelöljük őket κ 1 és κ 2. Méret:

K= κ 1 κ 2

hívott Gauss görbület, teljes görbület vagy egyszerűen görbület felületek. Ott van a kifejezés is görbületi skalár, ami az eredményt jelenti csomagokat görbületi tenzor; ebben az esetben a görbületi skalár kétszer akkora, mint a Gauss-görbület.

A Gauss-görbület metrikán keresztül számítható ki, ezért a felületek belső geometriájának tárgya (megjegyezzük, hogy a fő görbületek nem tartoznak a belső geometriához). A felületi pontokat a görbület előjele alapján osztályozhatja (lásd az ábrát). A sík görbülete nulla. Az R sugarú gömb görbülete mindenhol egyenlő. Van egy állandó negatív görbületű felület is - pszeudoszféra.

Geodéziai vonalak, geodéziai görbület

A felületen lévő görbét ún geodéziai vonal, vagy egyszerűen geodéziai, ha a görbe főnormálja minden pontján egybeesik a felület normáljával. Példa: síkon a geodetikus egyenesek és egyenesek szakaszai, gömbön nagykörök és szegmenseik.

Ekvivalens definíció: egy geodéziai egyenes esetében a főnormális vetülete az oszkulációs síkra a nulla vektor. Ha a görbe nem geodéziai, akkor a megadott vetület nem nulla; hosszát nevezzük geodéziai görbület k g görbe a felületen. Van egy kapcsolat:

,

Ahol k- ennek a görbének a görbülete, k n- normál szakaszának görbülete azonos érintővel.

A geodéziai vonalak a belső geometriára utalnak. Soroljuk fel főbb tulajdonságaikat.

• Adott felületi ponton egy adott irányban csak egy geodetikus halad át.
• A felület kellően kis területén két pontot mindig össze lehet kötni geodéziával, sőt, csak egyet. Magyarázat: egy gömbön az ellentétes pólusokat végtelen számú meridián köti össze, és két közeli pontot nem csak egy nagy kör szakasza köthet össze, hanem úgy is, hogy egy teljes körhöz adjuk össze, így az egyediség csak megmarad. a kicsiben.
• A geodetikus a legrövidebb út. Pontosabban: egy kis felületen a legrövidebb út adott pontok között egy geodetikus mentén vezet.

Négyzet

A felület másik fontos tulajdonsága az négyzet, amelyet a következő képlettel számítanak ki:

Koordinátákban a következőket kapjuk:

	kifejezett megbízás	paraméteres specifikáció
terület kifejezés