Adott az abc háromszög csúcsai, hozzon létre egyenletet a magasságra. Adott a háromszög csúcsainak koordinátái

Az 1-20. feladatokban az ABC háromszög csúcsai adottak.
Keresse meg: 1) az AB oldal hosszát; 2) az AB és AC oldalak egyenletei és szögegyütthatói; 3) A belső szög radiánban, 0,01 pontossággal; 4) a CD magasságának és hosszának egyenlete; 5) egy kör egyenlete, amelynek a CD magassága az átmérője; 6) az ABC háromszöget meghatározó lineáris egyenlőtlenségek rendszere.

A háromszög oldalainak hossza:
|AB| = 15
|AC| = 11,18
|BC| = 14,14
d távolság az M ponttól: d = 10
A háromszög csúcsainak koordinátái adottak: A(-5,2), B(7,-7), C(5,7).
2) A háromszög oldalainak hossza
Az M 1 (x 1 ; y 1) és M 2 (x 2 ; y 2) pontok közötti d távolságot a következő képlet határozza meg:

8) Egy egyenes egyenlete
Az A 1 (x 1 ; y 1) és A 2 (x 2 ; y 2) pontokon átmenő egyenest a következő egyenletek ábrázolják:

Az AB egyenes egyenlete


vagy

vagy
y = -3/4 x -7/4 vagy 4y + 3x +7 = 0
Az AC egyenes egyenlete
Az egyenes kanonikus egyenlete:

vagy

vagy
y = 1/2 x + 9/2 vagy 2y -x - 9 = 0
A BC egyenes egyenlete
Az egyenes kanonikus egyenlete:

vagy

vagy
y = -7x + 42 vagy y + 7x - 42 = 0
3) Az egyenesek közötti szög
Az AB:y = -3 / 4 x -7 / 4 egyenes egyenlete
AC:y egyenes egyenlet = 1/2 x + 9/2
A két egyenes közötti φ szöget, amelyet az y = k 1 x + b 1 és y 2 = k 2 x + b 2 szögegyenletek adnak meg, a következő képlettel számítjuk ki:

Ezen vonalak lejtése -3/4 és 1/2. Használjuk a képletet, és vegyük annak jobb oldali modulját:

tg φ = 2
φ = arctan(2) = 63,44 0 vagy 1,107 rad.
9) A C csúcson keresztüli magasság egyenlete
Az N 0 (x 0 ;y 0) ponton átmenő és az Ax + By + C = 0 egyenesre merőleges egyenesnek van egy irányvektora (A;B), és ezért az egyenletek ábrázolják:



Ez az egyenlet más módon is megtalálható. Ehhez keressük meg az AB egyenes k 1 meredekségét.
AB egyenlet: y = -3 / 4 x -7 / 4, azaz. k 1 = -3/4
Határozzuk meg a merőleges k szögegyütthatóját két egyenes merőlegességi feltételéből: k 1 *k = -1.
Ha ennek az egyenesnek a meredekségét helyettesítjük k 1 helyett, a következőt kapjuk:
-3/4 k = -1, innen k = 4/3
Mivel a merőleges átmegy a C(5,7) ponton, és k = 4 / 3, az egyenletét a következő formában fogjuk keresni: y-y 0 = k(x-x 0).
Ha behelyettesítjük x 0 = 5, k = 4/3, y 0 = 7 értékét, a következőt kapjuk:
y-7 = 4/3 (x-5)
vagy
y = 4/3 x + 1/3 vagy 3y -4x - 1 = 0
Keressük meg az AB egyenes metszéspontját:
Van egy két egyenletrendszerünk:
4 év + 3x +7 = 0
3 év -4x - 1 = 0
Az első egyenletből kifejezzük y-t és behelyettesítjük a második egyenletbe.
Kapunk:
x = -1
y=-1
D(-1;-1)
9) A C csúcsból húzott háromszög magasságának hossza
Az M 1 (x 1 ;y 1) pont és az Ax + By + C = 0 egyenes közötti d távolság egyenlő a mennyiség abszolút értékével:

Határozza meg a C(5;7) pont és az AB egyenes közötti távolságot (4y + 3x +7 = 0)


A magasság hossza egy másik képlettel is kiszámítható, a C(5;7) pont és a D(-1;-1) pont távolságaként.
A két pont távolságát a következő képlet fejezi ki koordinátákkal:

5) egy kör egyenlete, amelynek a CD magassága az átmérője;
Az E(a;b) pontban lévő R sugarú kör egyenlete a következő:
(x-a) 2 + (y-b) 2 = R 2
Mivel a CD a kívánt kör átmérője, ennek E középpontja a CD szakasz felezőpontja. A szegmens felezésére szolgáló képleteket használva a következőket kapjuk:


Ezért E(2;3) és R = CD / 2 = 5. A képlet segítségével megkapjuk a kívánt kör egyenletét: (x-2) 2 + (y-3) 2 = 25

6) az ABC háromszöget meghatározó lineáris egyenlőtlenségek rendszere.
Az AB egyenes egyenlete: y = -3 / 4 x -7 / 4
Az AC egyenes egyenlete: y = 1/2 x + 9/2
A BC egyenes egyenlete: y = -7x + 42

1. AB és BC oldalak és szögegyütthatóik egyenlete.
A hozzárendelés megadja azoknak a pontoknak a koordinátáit, amelyeken ezek az egyenesek áthaladnak, ezért a két megadott ponton átmenő egyenes egyenletét használjuk: $$\frac(x-x_1)(x_2-x_1)=\frac(y-y_1) (y_2-y_1)$ $ helyettesítse, és kapja meg az egyenleteket
az AB egyenes egyenlete $$\frac(x+6)(6+6)=\frac(y-8)(-1-8) => y = -\frac(3)(4)x + \frac( 7 )(2)$$ az AB egyenes meredeksége egyenlő \(k_(AB) = -\frac(3)(4)\)
a BC egyenes egyenlete $$\frac(x-4)(6-4)=\frac(y-13)(-1-13) => y = -7x + 41$$ a BC egyenes meredeksége egyenlő \ (k_( BC) = -7\)

2. B szög radiánban, két számjegy pontossággal
A B szög az AB és BC egyenesek közötti szög, amelyet a következő képlettel számítunk ki: $$tg\phi=|\frac(k_2-k_1)(1+k_2*k_1)|$$ helyettesíti a szögegyütthatók értékeit ezekből a sorokból a $$tg\ phi=|\frac(-7+\frac(3)(4))(1+7*\frac(3)(4))| = 1 => \phi = \frac(\pi)(4) \körülbelül 0,79 $$
3. AB oldal hossza
Az AB oldal hosszát a pontok közötti távolságként számítjuk ki, és egyenlő: \(d = \sqrt((x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2)\) => $$d_(AB) = \sqrt((6+6)^2+(-1-8)^2) = 15$$
4. A CD magasságának és hosszának egyenlete.
A magassági egyenletet egy adott C(4;13) ponton adott irányban átmenő egyenes képletével fogjuk megtalálni - az AB egyenesre merőlegesen a \(y-y_0=k(x-x_0) képlet segítségével. \). Határozzuk meg a \(k_(CD)\) magasság szögegyütthatóját a merőleges egyenesek \(k_1=-\frac(1)(k_2)\) tulajdonságával, a következőt kapjuk: $$k_(CD)= -\frac(1 )(k_(AB) ) = -\frac(1)(-\frac(3)(4)) = \frac(4)(3)$$ Behelyettesítünk egy egyenest az egyenletbe, kapjuk $$y - 13 = \frac(4)(3) (x-4) => y = \frac(4)(3)x+\frac(23)(3)$$ A magasság hosszát fogjuk keresni, mint a távolság a C(4;13) ponttól az AB egyenesig a $$d = \frac(Ax_0+By_0+C)(\sqrt(A^2+B^2))$$ képlet alapján a számlálóban az egyenlet az AB egyenest redukáljuk erre a \(y = -\frac(3)(4)x + \frac(7)(2) => 4y+3x-14 = 0\) alakra, helyettesítsük az így kapott egyenlet és a pont koordinátái a képletbe $$d = \frac(4*13+3*4-14 )(\sqrt( 4^2+3^2)) = \frac(50)(5) = 10 $$

5. Az AE medián és a K pont koordinátáinak egyenlete, ennek a mediánnak a metszéspontja a CD magassággal.
A medián egyenletét egy adott A(-6;8) és E ponton átmenő egyenes egyenleteként fogjuk keresni, ahol az E pont a B és C pontok felezőpontja, koordinátái pedig a formula \(E(\frac(x_2+x_1) (2);\frac(y_2+y_1)(2))\) helyettesíti a pontok koordinátáit \(E(\frac(6+4)(2); \frac(-1+13)(2))\) = > \(E(5; 6)\), akkor a medián AE egyenlete a következő lesz: $$\frac(x+6)(5+ 6)=\frac(y-8)(6-8) => y = - \frac(2)(11)x + \frac(76)(11)$$Keressük meg a metszéspont koordinátáit a magasságok és a medián, azaz. Keressük meg a közös pontjukat. Ehhez létrehozunk egy $$\begin(cases)y = -\frac(2)(11)x + \frac(76)(11)\\y = \frac rendszeregyenletet (4)(3)x+ \frac(23)(3)\end(esetek)=>\begin(esetek)11y = -2x +76\\3y = 4x+23\end(esetek)=>$$$ $\begin(esetek)22y = -4x +152\\3y = 4x+23\end(esetek)=> \begin(esetek)25y =175\\3y = 4x+23\end(esetek)=> $$ $$\begin(esetek) y =7\\ x=-\frac(1)(2)\end(esetek)$$ A metszéspont koordinátái \(K(-\frac(1)(2);7 )\)

6. Az AB oldallal párhuzamosan a K ponton átmenő egyenes egyenlete.
Ha az egyenes párhuzamos, akkor szögegyütthatójuk egyenlő, azaz. \(k_(AB)=k_(K) = -\frac(3)(4)\), a \(K(-\frac(1)(2);7)\) pont koordinátái is ismertek , azaz . egy egyenes egyenletének megtalálásához alkalmazzuk az adott ponton egy adott irányban átmenő egyenes egyenletének képletét \(y - y_0=k(x-x_0)\), behelyettesítjük az adatokat és kapunk $ $y - 7= -\frac(3)(4) (x-\frac(1)(2)) => y = -\frac(3)(4)x + \frac(53)(8)$ $

8. Az A pontra szimmetrikus M pont koordinátái a CD egyeneshez képest.
Az M pont az AB egyenesen fekszik, mert A CD ennek az oldalnak a magassága. Keressük meg CD és AB metszéspontját, ehhez oldjuk meg a $$\begin(cases)y = \frac(4)(3)x+\frac(23)(3)\\y = - egyenletrendszert. \frac(3)(4) x + \frac(7)(2)\end(esetek) =>\begin(esetek)3y = 4x+23\\4y =-3x + 14\end(esetek) => $$$$\begin(esetek )12y = 16x+92\\12y =-9x + 42\end(esetek) =>
\begin(esetek)0= 25x+50\\12y =-9x + 42\end(esetek) => $$$$\begin(cases)x=-2\\y=5 \end(esetek)$$ A D pont koordinátái(-2;5). Az AD=DK feltétel szerint ezt a pontok közötti távolságot a \(d = \sqrt((x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2)\ Pitagorasz képlet határozza meg, ahol AD ​​és DK a egyenlő derékszögű háromszögek hipoténuszai, és \(Δx =x_2-x_1\) és \(Δy=y_2-y_1\) ezeknek a háromszögeknek a lábai, azaz. keressük meg az M pont szárait és koordinátáit. \(Δx=x_D-x_A = -2+6=4\), és \(Δy=y_D-y_A = 5-8=-3\), majd a koordinátákat az M pont egyenlő \ (x_M-x_D = Δx => x_D +Δx =-2+4=2 \), és \(y_M-y_D = Δy => y_D +Δy =5-3=2 \), azt találtuk, hogy a \( M(2;2)\) pont koordinátái

Hogyan lehet megtanulni megoldani az analitikus geometriai feladatokat?
Tipikus probléma egy síkon lévő háromszöggel

Ez a lecke az Egyenlítő megközelítéséről szól, a sík geometriája és a tér geometriája között. Jelenleg szükség van a felhalmozott információk rendszerezésére és egy nagyon fontos kérdés megválaszolására: hogyan lehet megtanulni megoldani az analitikus geometriai feladatokat? A nehézséget az jelenti, hogy végtelen számú geometriai feladattal lehet előállni, és egyetlen tankönyv sem tartalmazza a példák sokaságát és sokféleségét. Nem függvény deriváltjaöt megkülönböztetési szabállyal, táblázattal és számos technikával….

Van megoldás! Nem fogok hangosan beszélni arról, hogy valamiféle grandiózus technikát fejlesztettem ki, de véleményem szerint a vizsgált problémának van egy olyan hatékony megközelítése, amely lehetővé teszi, hogy egy komplett próbabábu is jó és kiváló eredményeket érjen el. Legalábbis a geometriai feladatok megoldásának általános algoritmusa nagyon világosan formálódott a fejemben.

MIT KELL TUDNOD ÉS KÉPESEN TENNI
geometriai feladatok sikeres megoldásához?

Ez alól nincs menekvés – ahhoz, hogy ne piszkálja véletlenszerűen az orrával a gombokat, el kell sajátítania az analitikus geometria alapjait. Ezért, ha most kezdte el tanulni a geometriát, vagy teljesen elfelejtette, kezdje a leckével Vektorok bábokhoz. A vektorokon és a velük végzett műveleteken kívül ismernie kell a síkgeometria alapfogalmait, különösen, egy síkban lévő egyenes egyenleteÉs . A tér geometriáját cikkek mutatják be Sík egyenlet, Egy egyenes egyenletei a térben, Alapfeladatok egyenesen és síkon és néhány egyéb leckét. Az íves vonalak és a másodrendű térfelületek kissé eltávolodnak egymástól, és nincs is velük olyan sok konkrét probléma.

Tegyük fel, hogy a hallgató már rendelkezik alapvető ismeretekkel és készségekkel az analitikus geometria legegyszerűbb problémáinak megoldásában. De ez így történik: elolvasod a probléma kijelentését, és... le akarod zárni az egészet, bedobod egy távoli sarokba, és elfelejted, mint egy rossz álom. Ráadásul ez alapvetően nem a képzettséged szintjén múlik, én magam is időről időre találkozom olyan feladatokkal, amelyekre nem egyértelmű a megoldás. Mi a teendő ilyen esetekben? Nem kell félni olyan feladattól, amit nem értesz!

Először, telepíteni kell - Ez „lapos” vagy térbeli probléma? Például, ha a feltétel két koordinátájú vektorokat tartalmaz, akkor természetesen ez egy sík geometriája. És ha a tanár megrakta a hálás hallgatót egy piramissal, akkor egyértelműen ott van a tér geometriája. Már az első lépés eredménye is egész jó, mert hatalmas mennyiségű, ehhez a feladathoz felesleges információt sikerült levágnunk!

Második. A feltétel általában valamilyen geometriai alakzatra vonatkozik. Valóban, sétáljon végig szülőföldje egyetemének folyosóin, és sok aggódó arcot fog látni.

A „lapos” feladatokban, nem beszélve a nyilvánvaló pontokról és vonalakról, a legnépszerűbb figura a háromszög. Nagyon részletesen elemezzük. Ezután következik a paralelogramma, és sokkal kevésbé gyakoriak a téglalap, négyzet, rombusz, kör és egyéb alakzatok.

Térproblémákban ugyanazok a lapos figurák + maguk a síkok és a közös háromszög alakú, paralelepipedonos piramisok repülhetnek.

Második kérdés - Mindent tudsz erről a figuráról? Tegyük fel, hogy a feltétel egy egyenlő szárú háromszögről beszél, és nagyon homályosan emlékszel, hogy milyen háromszögről van szó. Kinyitunk egy iskolai tankönyvet, és egy egyenlő szárú háromszögről olvasunk. Mit tegyek... az orvos azt mondta, hogy rombusz, az azt jelenti, hogy rombusz. Az analitikus geometria analitikus geometria, de a problémát maguknak az ábráknak a geometriai tulajdonságai fogják megoldani, amit az iskolai tananyagból ismerünk. Ha nem tudja, mennyi egy háromszög szögeinek összege, sokáig szenvedhet.

Harmadik. MINDIG próbálja követni a rajzot(tervezeten/befejező példányon/mentálisan), még akkor is, ha ezt a feltétel nem írja elő. A „lapos” problémáknál maga Eukleidész utasította, hogy vegyen fel egy vonalzót és egy ceruzát - és nemcsak azért, hogy megértse az állapotot, hanem önellenőrzés céljából is. Ebben az esetben a legkényelmesebb skála az 1 egység = 1 cm (2 notebook cella). A gondatlan diákokról és a sírjukban forgó matematikusokról ne is beszéljünk – ilyen feladatokban szinte lehetetlen hibázni. A térbeli feladatokhoz vázlatos rajzot készítünk, amely az állapot elemzését is segíti.

Egy rajz vagy sematikus rajz gyakran lehetővé teszi, hogy azonnal láthassa a probléma megoldásának módját. Természetesen ehhez ismernie kell a geometria alapjait és meg kell értenie a geometriai formák tulajdonságait (lásd az előző bekezdést).

Negyedik. Megoldási algoritmus kidolgozása. Sok geometriai probléma többlépcsős, így a megoldást és annak kialakítását nagyon kényelmes pontokra bontani. Gyakran az algoritmus azonnal eszébe jut a feltétel elolvasása vagy a rajz befejezése után. Nehézségek esetén a feladat KÉRDÉSÉVEL kezdjük. Például az „egyeneset kell építeni...” feltétel szerint. Itt a leglogikusabb kérdés: „Mit elég tudni ennek az egyenesnek a megalkotásához?” Tegyük fel, hogy „tudjuk a pontot, ismernünk kell az irányvektort”. Feltesszük a következő kérdést: „Hogyan találjuk meg ezt az irányvektort? Ahol?" stb.

Néha előfordul egy „hiba” - a probléma nem oldódik meg, és ennyi. A leállás okai a következők lehetnek:

– Komoly hiányosságok az alapismeretekben. Más szóval, nem tudsz és/vagy nem látsz valami nagyon egyszerű dolgot.

– A geometriai alakzatok tulajdonságainak nem ismerete.

– Nehéz volt a feladat. Igen, előfordul. Nincs értelme órákig gőzölni és zsebkendőbe gyűjteni a könnyeket. Kérjen tanácsot tanárától, diáktársaitól, vagy tegyen fel kérdést a fórumon. Sőt, jobb, ha konkretizálja a kijelentését - a megoldás azon részével kapcsolatban, amelyet nem ért. Kiáltás "Hogyan oldjuk meg a problémát?" nem néz ki túl jól... és mindenekelőtt a saját hírnevét illeti.

Ötödik szakasz. Döntünk-ellenőrizzük, döntünk-ellenőrizzük, döntünk-ellenőrizzük-válaszolunk. Célszerű a feladat minden pontját ellenőrizni közvetlenül a befejezése után. Ez segít azonnal észrevenni a hibát. Természetesen senki sem tiltja a teljes probléma gyors megoldását, de fennáll annak a veszélye, hogy mindent újra átírnak (gyakran több oldalt).

Talán ezek azok a fő szempontok, amelyeket a problémák megoldása során be kell tartani.

Az óra gyakorlati részét síkgeometriában mutatjuk be. Csak két példa lesz, de nem tűnik elégnek =)

Menjünk végig annak az algoritmusnak a szálán, amelyet most néztem meg kis tudományos munkámban:

1. példa

Adott egy paralelogramma három csúcsa. Keresse meg a tetejét.

Kezdjük megérteni:

Első lépés: Nyilvánvaló, hogy „lapos” problémáról beszélünk.

Második lépés: A feladat egy paralelogrammával foglalkozik. Mindenki emlékszik erre a paralelogramma alakra? Nem kell mosolyogni, sokan 30-40-50 évesen vagy annál idősebb korban kapják meg az oktatást, így az egyszerű tények is kitörölhetők az emlékezetből. A paralelogramma definíciója a lecke 3. példájában található A vektorok lineáris (nem) függése. A vektorok alapja.

Harmadik lépés: Készítsünk egy rajzot, amelyen három ismert csúcsot jelölünk. Vicces, hogy nem nehéz azonnal megszerkeszteni a kívánt pontot:

Megkonstruálni persze jó, de a megoldást analitikusan kell megfogalmazni.

Negyedik lépés: Megoldási algoritmus kidolgozása. Az első dolog, ami eszünkbe jut, az az, hogy egy pont megtalálható egyenesek metszéspontjaként. Nem ismerjük az egyenleteiket, ezért ezzel a kérdéssel kell foglalkoznunk:

1) A szemközti oldalak párhuzamosak. Pontok szerint Keressük meg ezen oldalak irányvektorát. Ez a legegyszerűbb probléma, amelyet az órán megvitattak. Vektorok bábokhoz.

Jegyzet: Helyesebb azt mondani, hogy „egy oldalt tartalmazó egyenes egyenlete”, de itt és a továbbiakban a rövidség kedvéért az „oldal egyenlete”, „egy oldal irányvektora” stb.

3) A szemközti oldalak párhuzamosak. A pontok felhasználásával megkeressük ezen oldalak irányvektorát.

4) Hozzunk létre egy egyenes egyenletet egy pont és egy irányvektor segítségével

Az 1-2 és 3-4 bekezdésekben tulajdonképpen kétszer oldottuk meg ugyanazt a problémát, egyébként a lecke 3. példájában volt szó róla. A legegyszerűbb feladatok egy síkban lévő egyenessel. Lehetett hosszabb utat megtenni - először keresse meg az egyenesek egyenleteit, és csak ezután „húzza ki” belőlük az irányvektorokat.

5) Most már ismertek az egyenesek egyenletei. Már csak a megfelelő lineáris egyenletrendszer összeállítása és megoldása van hátra (lásd ugyanezen lecke 4., 5. példáját). A legegyszerűbb feladatok egy síkban lévő egyenessel).

A lényeg megvan.

A feladat meglehetősen egyszerű és a megoldása kézenfekvő, de van rövidebb út is!

Második megoldás:

A paralelogramma átlóit metszéspontjuk felezi. Megjelöltem a pontot, de hogy ne legyen összezavarva a rajz, magukat az átlókat nem rajzoltam meg.

Állítsuk össze pontról pontra az oldal egyenletét :

Az ellenőrzéshez gondolatban vagy tervezetben be kell cserélnie az egyes pontok koordinátáit a kapott egyenletbe. Most keressük meg a lejtőt. Ehhez átírjuk az általános egyenletet meredekségi együtthatójú egyenlet formájában:

Így a lejtő:

Hasonlóképpen megtaláljuk az oldalak egyenleteit. Nem látom sok értelmét ugyanazt leírni, ezért azonnal közlöm a kész eredményt:

2) Határozza meg az oldal hosszát! Ez az osztály legegyszerűbb problémája. Vektorok bábokhoz. Pontokért képletet használjuk:

Ugyanezt a képletet használva könnyű megtalálni a többi oldal hosszát. Az ellenőrzés nagyon gyorsan elvégezhető egy rendes vonalzóval.

A képletet használjuk .

Keressük a vektorokat:

És így:

Egyébként útközben megtaláltuk az oldalak hosszát.

Ennek eredményeként:

Nos, úgy tűnik, ez igaz; hogy meggyőző legyen, rögzíthetsz egy szögmérőt a sarokba.

Figyelem! Ne keverje össze a háromszög szögét az egyenesek közötti szöggel. A háromszög szöge lehet tompa, de az egyenesek közötti szög nem (lásd a cikk utolsó bekezdését A legegyszerűbb feladatok egy síkban lévő egyenessel). A háromszög szögének meghatározásához azonban használhatja a fenti leckében szereplő képleteket is, de az érdesség az, hogy ezek a képletek mindig hegyesszöget adnak meg. Segítségükkel tervezetben megoldottam ezt a problémát, és meg is lett az eredmény. A végső példányra pedig további kifogásokat kellene felírnom, hogy .

4) Írjon egyenletet az egyenessel párhuzamos ponton átmenő egyenesre!

A lecke 2. számú példájában részletesen tárgyalt standard feladat A legegyszerűbb feladatok egy síkban lévő egyenessel. Az egyenes általános egyenletéből Vegyük ki a vezetővektort. Hozzunk létre egy egyenes egyenletet egy pont és egy irányvektor segítségével:

Hogyan lehet megtalálni a háromszög magasságát?

5) Hozzunk létre egyenletet a magasságra, és keressük meg a hosszát.

A szigorú definíciók elől nincs menekvés, így egy iskolai tankönyvből kell lopnod:

Háromszög magassága A háromszög csúcsából a szemközti oldalt tartalmazó egyenesre húzott merőlegesnek nevezzük.

Azaz egyenletet kell alkotni a csúcsból oldalra húzott merőlegesre. Ezt a feladatot a lecke 6., 7. példái tárgyalják A legegyszerűbb feladatok egy síkban lévő egyenessel. Az Eq. távolítsa el a normál vektort. Állítsuk össze a magassági egyenletet egy pont és egy irányvektor segítségével:

Felhívjuk figyelmét, hogy nem ismerjük a pont koordinátáit.

Néha a magassági egyenletet a merőleges egyenesek szögegyütthatóinak arányából találjuk meg: . Ebben az esetben akkor: . Állítsuk össze a magassági egyenletet egy pont és egy szögegyüttható segítségével (lásd a lecke elejét Egyenlet egy síkon):

A magasság hosszát kétféleképpen lehet megállapítani.

Van egy körforgalom:

a) find – a magasság és az oldal metszéspontja;
b) határozza meg a szakasz hosszát két ismert pont segítségével.

De az osztályban A legegyszerűbb feladatok egy síkban lévő egyenessel egy kényelmes képletet vettek figyelembe a pont és az egyenes távolságára. A lényeg ismert: , az egyenes egyenlete is ismert: , És így:

6) Számítsa ki a háromszög területét! A térben a háromszög területét hagyományosan a segítségével számítják ki vektorok vektorszorzata, de itt egy háromszöget kapunk egy síkon. Az iskolai képletet használjuk:
- Egy háromszög területe egyenlő az alapja és a magassága szorzatának felével.

Ebben az esetben:

Hogyan találjuk meg a háromszög mediánját?

7) Hozzuk létre a medián egyenletét.

Egy háromszög mediánja A háromszög csúcsát a szemközti oldal közepével összekötő szakasznak nevezzük.

a) Keresse meg a pontot - az oldal közepét. Használjuk egy szakasz felezőpontjának koordinátáinak képletei. A szakasz végeinek koordinátái ismertek: , akkor a középpont koordinátái:

És így:

Állítsuk össze pontról pontra a medián egyenletet :

Az egyenlet ellenőrzéséhez be kell cserélni a pontok koordinátáit.

8) Keresse meg a magasság és a medián metszéspontját! Azt hiszem, már mindenki megtanulta, hogyan kell a műkorcsolya ezen elemét elesés nélkül végrehajtani:

Utasítás

Három pontot kapsz. Jelöljük őket így (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3). Feltételezzük, hogy ezek a pontok egyesek csúcsai háromszög. A feladat az oldalak egyenleteinek létrehozása - pontosabban azoknak az egyeneseknek az egyenletei, amelyeken ezek az oldalak fekszenek. Ezeknek az egyenleteknek így kell kinézniük:
y = k1*x + b1;
y = k2*x + b2;
y = k3*x + b3 Így meg kell találni a k1, k2, k3 szögértékeket és a b1, b2, b3 elmozdulásokat.

Keress egy egyenest, amely átmegy az (x1, y1), (x2, y2) pontokon! Ha x1 = x2, akkor a kívánt egyenes függőleges és egyenlete x = x1. Ha y1 = y2, akkor az egyenes vízszintes és egyenlete y = y1. Általában ezek a koordináták nem felelnek meg egymásnak.

Az (x1, y1), (x2, y2) koordinátákat behelyettesítve az egyenes általános egyenletébe, két lineáris egyenletrendszert kapunk: k1*x1 + b1 = y1;
k1*x2 + b1 = y2. Vonjuk ki az egyik egyenletet a másikból, és oldjuk meg a kapott egyenletet k1-re: k1*(x2 - x1) = y2 - y1, tehát k1 = (y2 - y1)/(x2 - x1).

Az eredeti egyenletek bármelyikébe behelyettesítve, amit talált, keresse meg a b1 kifejezést:((y2 - y1)/(x2 - x1))*x1 + b1 = y1;
b1 = y1 - ((y2 - y1)/(x2 - x1))*x1 Mivel már tudjuk, hogy x2 ≠ x1, a kifejezést leegyszerűsíthetjük, ha y1-et megszorozzuk az (x2 - x1)/(x2 - x1) értékkel. Ekkor b1-re a következő kifejezést kapjuk: b1 = (x1*y2 - x2*y1)/(x2 - x1).

Ellenőrizze, hogy a megadott pontok harmada a talált egyenesen van-e. Ehhez helyettesítse be (x3, y3) a kapott egyenletbe, és nézze meg, hogy fennáll-e az egyenlőség. Ha tehát megfigyeljük, akkor mindhárom pont ugyanazon az egyenesen fekszik, és a háromszög szegmenssé degenerálódik.

A fent leírtak szerint állítsa le az egyenleteket az (x2, y2), (x3, y3) és (x1, y1), (x3, y3) pontokon átmenő egyenesekre.

A háromszög oldalaira a csúcsok koordinátái által adott egyenletek végső formája: (1) y = ((y2 - y1)*x + (x1*y2 - x2*y1))/(x2 - x1 );
(2) y = ((y3 - y2)*x + (x2*y3 - x3*y2))/(x3 - x2);
(3) y = ((y3 - y1)*x + (x1*y3 - x3*y1))/(x3 - x1).

Megtalálni egyenletek a felek háromszög, mindenekelőtt meg kell próbálnunk megoldani azt a kérdést, hogy hogyan találjuk meg egy egyenes egyenletét egy síkon, ha ismert az s(m, n) irányvektora és az egyeneshez tartozó valamely M0(x0, y0) pont.

Utasítás

Vegyünk egy tetszőleges (változó, lebegő) М(x, y) pontot, és alkossunk egy М0M =(x-x0, y-y0) vektort (írjuk М0M(x-x0, y-y0) is), ami nyilvánvalóan kollineáris lesz. (párhuzamos ) által k s. Ekkor megállapíthatjuk, hogy ezeknek a vektoroknak a koordinátái arányosak, így kanonikus egyenest hozhatunk létre: (x-x0)/m = (y-y0)/n. Ezt az arányt fogják használni a probléma megoldásához.

Minden további műveletet a módszer alapján határoznak meg .1. módszer. Egy háromszöget a három csúcsának koordinátái adnak meg, amit az iskolai geometriában a három csúcsának hossza adja meg. a felek(lásd 1. ábra). Vagyis a feltétel M1(x1, y1), M2(x2, y2), M3(x3, y3) pontokat tartalmaz. Megfelelnek a sugárvektoruknak) OM1, 0M2 és OM3 a pontokkal megegyező koordinátákkal. Megszerzéséért egyenletek a felek s M1M2 igényli az M1M2=OM2 – OM1=M1M2(x2-x1, y2-y1) irányvektorát és bármelyik M1 vagy M2 pontot (itt az alacsonyabb indexű pontot vesszük).

Így a felek y Az (x-x1)/(x2-x1)=(y-y1)/(y2-y1) egyenes M1M2 kanonikus egyenlete. Pusztán induktív módon eljárva írhatunk egyenletek a maradék a felek.Azért a felek s М2М3: (x-x2)/(x3-x2)=(y-y2)/(y3-y2). Mert a felek s М1М3: (x-x1)/(x3-x1)=(y-y1)/(y3-y1).

2. módszer. A háromszöget két pont határozza meg (ugyanaz, mint M1(x1, y1) és M2(x2, y2) előtt), valamint a másik kettő irányának egységvektorai a felek. Mert a felek s М2М3: p^0(m1, n1). M1M3 esetén: q^0(m2, n2). Ezért azért a felek s M1M2 ugyanaz lesz, mint az első módszernél: (x-x1)/(x2-x1)=(y-y1)/(y2-y1).

Mert a felek s М2М3 a kanonikus pontjaként (x0, y0). egyenletek(x1, y1), és az irányvektor p^0(m1, n1). Mert a felek s M1M3, (x2, y2) pont (x0, y0), az irányvektor q^0(m2, n2). Így M2M3 esetén: (x-x1)/m1=(y-y1)/n1 egyenlet M1M3 esetén: (x-x2)/m2=(y-y2)/n2.

Videó a témáról

3. tipp: Hogyan találjuk meg a háromszög magasságát, ha a pontok koordinátái adottak

A magasság az az egyenes szakasz, amely összeköti az ábra tetejét az ellenkező oldallal. Ennek a szakasznak merőlegesnek kell lennie az oldalra, így minden csúcsból csak egy húzható magasság. Mivel ezen az ábrán három csúcs van, a magasságok száma ugyanannyi. Ha egy háromszöget a csúcsainak koordinátái adnak meg, akkor az egyes magasságok hosszát ki lehet számítani például a területmeghatározó képlet és az oldalak hosszának kiszámításával.

Utasítás

Kezdje az oldalak hosszának kiszámításával háromszög. Kijelöl koordináták a következő ábrák: A(X1,Y1,Z1), B(X2,Y2,Z2) és C(X3,Y3,Z3). Ezután kiszámíthatja az AB oldal hosszát az AB = √((X1-X2)² + (Y1-Y2)² + (Z1-Z2)²) képlettel. A másik két oldalnál ez így fog kinézni: BC = √((X2-X3)² + (Y2-Y3)² + (Z2-Z3)²) és AC = √((X1-X3)² + (Y₁ -Y3)² + (Z1-Z3)²). Például azért háromszög A(3,5,7), B(16,14,19) és C(1,2,13) ​​koordinátákkal az AB oldal hossza √((3-16)² + (5-14) )² + (7 -19)²) = √(-13² + (-9²) + (-12²)) = √(169 + 81 + 144) = √394 ≈ 19,85. A BC és AC oldalak azonos módon számított hossza √(15² + 12² + 6²) = √405 ≈ 20,12 és √(2² + 3² + (-6²)) = √49 = 7.

A terület kiszámításához elegendő az előző lépésben kapott három oldal hosszának ismerete háromszög(S) a Heron-képlet szerint: S = ¼ * √((AB+BC+CA) * (BC+CA-AB) * (AB+CA-BC) * (AB+BC-CA)). Például ebbe a képletbe behelyettesítve a koordinátákból kapott értékeket háromszög-minta az előző lépésből, ez a következő értéket adja: S = ¼*√((19.85+20.12+7) * (20.12+7-19.85) * (19.85+7-20.12 ) * (19.85+20.12-7) ) = ¼*√(46,97 * 7,27 * 6,73 * 32,97) ≈ ¼*√75768,55 ≈ ¼*275,26 = 68,815 .

Terület alapján háromszög Az előző lépésben kiszámított és a második lépésben kapott oldalhosszak alapján számítsa ki az egyes oldalak magasságait. Mivel a terület egyenlő a magasság és annak az oldalnak a hosszának szorzatának felével, amelyre húzzuk, a magasság meghatározásához a megkétszerezett területet elosztjuk a kívánt oldal hosszával: H = 2*S/a. A fenti példában az AB oldalra süllyesztett magasság 2*68.815/16.09 ≈ 8.55, a BC oldal magassága 2*68.815/20.12 ≈ 6.84 lesz, és az AC oldalra ez az érték egyenlő lesz 2 *68,815/7 ≈ 19,66.

Források:

• adott pontok keresik a háromszög területét

4. tipp: Hogyan használjuk a háromszög csúcsainak koordinátáit az oldalak egyenleteinek megtalálásához

Az analitikus geometriában egy síkon lévő háromszöget derékszögű koordinátarendszerben lehet meghatározni. A csúcsok koordinátáinak ismeretében egyenleteket hozhat létre a háromszög oldalaira. Ezek három egyenes egyenletei lesznek, amelyek metszve egy ábrát alkotnak.