Egy csúcson áthaladó magasságegyenlet. A geometriai alakzatok térfogatának és területének meghatározása

Az 1-20. feladatokban az ABC háromszög csúcsai adottak.
Keresse meg: 1) az AB oldal hosszát; 2) az AB és AC oldalak egyenletei és szögegyütthatói; 3) A belső szög radiánban, 0,01 pontossággal; 4) a CD magasságának és hosszának egyenlete; 5) egy kör egyenlete, amelynek a CD magassága az átmérője; 6) az ABC háromszöget meghatározó lineáris egyenlőtlenségek rendszere.

A háromszög oldalainak hossza:
|AB| = 15
|AC| = 11,18
|BC| = 14,14
d távolság az M ponttól: d = 10
A háromszög csúcsainak koordinátái adottak: A(-5,2), B(7,-7), C(5,7).
2) A háromszög oldalainak hossza
Az M 1 (x 1 ; y 1) és M 2 (x 2 ; y 2) pontok közötti d távolságot a következő képlet határozza meg:

8) Egy egyenes egyenlete
Az A 1 (x 1 ; y 1) és A 2 (x 2 ; y 2) pontokon átmenő egyenest a következő egyenletek ábrázolják:

Az AB egyenes egyenlete


vagy

vagy
y = -3/4 x -7/4 vagy 4y + 3x +7 = 0
Az AC egyenes egyenlete
Az egyenes kanonikus egyenlete:

vagy

vagy
y = 1/2 x + 9/2 vagy 2y -x - 9 = 0
A BC egyenes egyenlete
Az egyenes kanonikus egyenlete:

vagy

vagy
y = -7x + 42 vagy y + 7x - 42 = 0
3) Az egyenesek közötti szög
Az AB:y = -3 / 4 x -7 / 4 egyenes egyenlete
AC:y egyenes egyenlet = 1/2 x + 9/2
A két egyenes közötti φ szöget, amelyet az y = k 1 x + b 1 és y 2 = k 2 x + b 2 szögegyenletek adnak meg, a következő képlettel számítjuk ki:

Ezen vonalak lejtése -3/4 és 1/2. Használjuk a képletet, és vegyük annak jobb oldali modulját:

tg φ = 2
φ = arctan(2) = 63,44 0 vagy 1,107 rad.
9) A C csúcson keresztüli magasság egyenlete
Az N 0 (x 0 ;y 0) ponton átmenő és az Ax + By + C = 0 egyenesre merőleges egyenesnek van egy irányvektora (A;B), és ezért az egyenletek ábrázolják:



Ez az egyenlet más módon is megtalálható. Ehhez keressük meg az AB egyenes k 1 meredekségét.
AB egyenlet: y = -3 / 4 x -7 / 4, azaz. k 1 = -3/4
Határozzuk meg a merőleges k szögegyütthatóját két egyenes merőlegességi feltételéből: k 1 *k = -1.
Ha ennek az egyenesnek a meredekségét helyettesítjük k 1 helyett, a következőt kapjuk:
-3/4 k = -1, innen k = 4/3
Mivel a merőleges átmegy a C(5,7) ponton, és k = 4 / 3, az egyenletét a következő formában fogjuk keresni: y-y 0 = k(x-x 0).
Ha behelyettesítjük x 0 = 5, k = 4/3, y 0 = 7 értékét, a következőt kapjuk:
y-7 = 4/3 (x-5)
vagy
y = 4/3 x + 1/3 vagy 3y -4x - 1 = 0
Keressük meg az AB egyenes metszéspontját:
Van egy két egyenletrendszerünk:
4 év + 3x +7 = 0
3 év -4x - 1 = 0
Az első egyenletből kifejezzük y-t és behelyettesítjük a második egyenletbe.
Kapunk:
x = -1
y=-1
D(-1;-1)
9) A C csúcsból húzott háromszög magasságának hossza
Az M 1 (x 1 ;y 1) pont és az Ax + By + C = 0 egyenes közötti d távolság egyenlő a mennyiség abszolút értékével:

Határozza meg a C(5;7) pont és az AB egyenes közötti távolságot (4y + 3x +7 = 0)


A magasság hossza egy másik képlettel is kiszámítható, a C(5;7) pont és a D(-1;-1) pont távolságaként.
A két pont távolságát a következő képlet fejezi ki koordinátákkal:

5) egy kör egyenlete, amelynek a CD magassága az átmérője;
Az E(a;b) pontban lévő R sugarú kör egyenlete a következő:
(x-a) 2 + (y-b) 2 = R 2
Mivel a CD a kívánt kör átmérője, ennek E középpontja a CD szakasz felezőpontja. A szegmens felezésére szolgáló képleteket használva a következőket kapjuk:


Ezért E(2;3) és R = CD / 2 = 5. A képlet segítségével megkapjuk a kívánt kör egyenletét: (x-2) 2 + (y-3) 2 = 25

6) az ABC háromszöget meghatározó lineáris egyenlőtlenségek rendszere.
Az AB egyenes egyenlete: y = -3 / 4 x -7 / 4
Az AC egyenes egyenlete: y = 1/2 x + 9/2
A BC egyenes egyenlete: y = -7x + 42

1. probléma. Az ABC háromszög csúcsainak koordinátái adottak: A(4; 3), B(16;-6), C(20; 16). Keresse meg: 1) az AB oldal hosszát; 2) AB és BC oldalegyenletek és szögegyütthatóik; 3) B szög radiánban, két számjegy pontossággal; 4) a CD magasság egyenlete és hossza; 5) az AE medián egyenlete és ennek a mediánnak a CD magassággal való metszéspontjának K pontjának koordinátái; 6) az AB oldallal párhuzamos, a K ponton átmenő egyenes egyenlete; 7) az A pontra szimmetrikusan elhelyezkedő M pont koordinátái a CD egyeneshez képest.

Megoldás:

1. Az A(x 1 ,y 1) és B(x 2 ,y 2) pontok közötti d távolságot a képlet határozza meg

Az (1) alkalmazással megtaláljuk az AB oldal hosszát:

2. Az A(x 1 ,y 1) és B(x 2 ,y 2) pontokon átmenő egyenes egyenlete a következő

(2)

Az A és B pont koordinátáit (2) behelyettesítve megkapjuk az AB oldal egyenletét:

Az y utolsó egyenletének megoldása után az AB oldal egyenletét szögegyütthatós egyenes egyenlet formájában találjuk meg:

ahol

A B és C pont koordinátáit (2) behelyettesítve megkapjuk a BC egyenes egyenletét:

Vagy

3. Ismeretes, hogy két olyan egyenes közötti szög érintőjét, amelyek szögegyütthatói rendre egyenlők, a következő képlettel számítjuk ki:

(3)

A kívánt B szöget AB és BC egyenesek alkotják, amelyek szögegyütthatóit megtaláljuk: (3) alkalmazásával kapjuk

Vagy örülök.

4. Egy adott ponton adott irányban áthaladó egyenes egyenlete a következő alakkal rendelkezik

(4)

A CD magasság merőleges az AB oldalra. A CD magasság meredekségének meghatározásához az egyenesek merőlegességének feltételét használjuk. Azóta Ha behelyettesítjük (4)-be a C pont koordinátáit és a talált magassági szögegyütthatót, megkapjuk

A CD magasság hosszának meghatározásához először meghatározzuk a D pont koordinátáit - az AB és CD egyenesek metszéspontját. A rendszer közös megoldása:

találunk azok. D(8;0).

Az (1) képlet segítségével megtaláljuk a magasság-CD hosszát:

5. Az AE medián egyenletének megtalálásához először meghatározzuk az E pont koordinátáit, amely a BC oldal közepe, a szakaszt két egyenlő részre osztó képletekkel:

(5)

Ennélfogva,

Az A és E pont koordinátáit (2) behelyettesítve megkapjuk a medián egyenletét:

A CD magasság és az AE medián metszéspontjának koordinátáinak megtalálásához együtt oldjuk meg az egyenletrendszert

Találunk.

6. Mivel a kívánt egyenes párhuzamos az AB oldallal, a szögegyütthatója megegyezik az AB egyenes szögegyütthatójával. A (4)-be behelyettesítve a talált K pont koordinátáit és a szögegyütthatót kapjuk

3x + 4 év – 49 = 0 (KF)

7. Mivel az AB egyenes merőleges a CD egyenesre, a kívánt M pont, amely a CD egyeneshez képest szimmetrikusan helyezkedik el az A pontra, az AB egyenesen fekszik. Ezenkívül a D pont az AM szakasz felezőpontja. Az (5) képletekkel megtaláljuk a kívánt M pont koordinátáit:

ábrán látható xOy koordinátarendszerben az ABC háromszög, a CD magasság, az AE medián, a KF egyenes és az M pont. 1.

2. feladat. Hozzon létre egyenletet azon pontok helyére, amelyek távolsága egy adott A(4; 0) ponttól és egy adott x=1 egyenestől 2-vel egyenlő.

Megoldás:

Az xOy koordinátarendszerben megszerkesztjük az A(4;0) pontot és az x = 1 egyenest. Legyen M(x;y) a pontok kívánt geometriai helyének tetszőleges pontja. Engedjük le az MB merőlegest az adott x = 1 egyenesre, és határozzuk meg a B pont koordinátáit. Mivel a B pont az adott egyenesen fekszik, az abszcisszája egyenlő 1-gyel. A B pont ordinátája egyenlő az M pont ordinátájával. Ezért B(1;y) (2. ábra).

A feladat feltételei szerint |MA|: |MV| = 2. Távolságok |MA| és |MB| az 1. feladat (1) képletéből megtaláljuk:

A bal és a jobb oldalt négyzetre emelve kapjuk

A kapott egyenlet egy hiperbola, amelyben a valós féltengely a = 2, a képzeletbeli féltengely pedig

Határozzuk meg a hiperbola fókuszait. Hiperbola esetén az egyenlőség teljesül, ezért és – hiperbola trükkök. Mint látható, az adott A(4;0) pont a hiperbola jobb oldali fókusza.

Határozzuk meg a kapott hiperbola excentricitását:

A hiperbola-aszimptoták egyenletei alakja és . Ezért a vagy és a hiperbola aszimptotái. A hiperbola megalkotása előtt megszerkesztjük annak aszimptotáit.

3. probléma. Készítsen egyenletet az A(4; 3) ponttól egyenlő távolságra lévő pontok helyére és az y = 1 egyenesre. A kapott egyenletet redukálja vissza a legegyszerűbb alakjára!

Megoldás: Legyen M(x; y) a kívánt geometriai ponthely egyik pontja. Ebbe az y = 1 egyenesbe ejtsük az MB merőlegest az M pontból (3. ábra). Határozzuk meg a B pont koordinátáit. Nyilvánvaló, hogy B pont abszcisszája egyenlő az M pont abszcisszájával, B pont ordinátája pedig 1-gyel, azaz B(x; 1). A feladat feltételei szerint |MA|=|MV|. Következésképpen a kívánt geometriai ponthelyhez tartozó bármely M(x;y) pontra a következő egyenlőség igaz:

Az így kapott egyenlet meghatároz egy parabolát, amelynek csúcsa a pontban van, és a parabola egyenlet legegyszerűbb alakjára hozzuk, és állítsuk be, hogy y + 2 = Y, akkor a parabola egyenlet a következő alakot veszi fel:

1. Feladat

57. Az ABC háromszög csúcsai adottak. megtalálja

) AB oldal hossza;

) AB és AC oldalegyenletek és szögegyütthatóik;

) belső szög A;

) a B csúcsból húzott medián egyenlete;

) a CD magasság egyenlete és hossza;

) annak a körnek az egyenlete, amelynek a CD magassága az átmérője és ennek a körnek az AC oldallal való metszéspontjai;

) az A belső szög felezőszögének egyenlete;

) az ABC háromszög területe;

) az ABC háromszöget meghatározó lineáris egyenlőtlenségrendszer.

Készítsen rajzot.

A(7, 9); B(-2, -3); C(-7, 7)

Megoldás:

1) Határozzuk meg a vektor hosszát

= (x b -x a )2+ (y b -y a )2 = ((-2)-7)2 + (-3 - 9)2 = 92 + 122 = 225

= = 15 - az AB oldal hossza

2) Keressük meg az AB oldal egyenletét

Pontokon átmenő egyenes egyenlete

Ó A ; nál nél V ) és B(x A ; nál nél V ) általában

Helyettesítsük be az A és B pont koordinátáit az egyenes ezen egyenletébe

=

=

=

S AB = (- 3, - 4) az AB egyenes irányvektorának nevezzük. Ez a vektor párhuzamos az AB egyenessel.

4 (x - 7) = - 3 (y - 9)

4x + 28 = - 3 év + 27

4x + 3y + 1 = 0 - az AB egyenes egyenlete

Ha az egyenletet a következő formában írjuk fel: y = X - akkor elkülöníthetjük szögegyütthatóját: k 1 =4/3

Vektor N AB = (-4, 3) az AB egyenes normálvektorának nevezzük.

Vektor N AB = (-4, 3) merőleges az AB egyenesre.

Hasonlóképpen megtaláljuk az AC oldal egyenletét

=

=

=

S AC = (- 7, - 1) - az AC oldal irányvektora

(x - 7) = - 7 (y - 9)

x + 7 = - 7y + 63

x + 7y - 56 = 0 - az AC oldal egyenlete

y = = x + 8 ahonnan a k lejtő 2 = 1/7

Vektor N A.C. = (- 1, 7) - az AC egyenes normálvektora.

Vektor N A.C. = (- 1, 7) merőleges az AC egyenesre.

3) Keressük az A szöget

Írjuk fel a vektorok skaláris szorzatának képletét És

* = *cos ∟A

Az A szög meghatározásához elegendő ennek a szögnek a koszinuszát megtalálni. Az előző képletből írjuk fel az A szög koszinuszának kifejezését

cos ∟A =

A vektorok skaláris szorzatának megtalálása És

= (x V - X A ; nál nél V - y A ) = (- 2 - 7; - 3 - 9) = (-9, -12)

= (x Val vel - X A ; nál nél Val vel - y A ) = (- 7 - 7; 7 - 9) = (-14; -2)

9*(-14) + (-12)*(-2) = 150

Vektor hossza = 15 (korábban találtuk)

Határozzuk meg a vektor hosszát

= (x VAL VEL -x A )2+ (y Val vel -y a )2 = (-14)2 + (-2)2 = 200

= = 14,14 - oldalhossz AC

Ekkor cos ∟A = = 0,7072

∟A = 45 0

4) Keressük meg a B pontból az AC oldalra húzott BE medián egyenletét

A medián egyenlet általános formában

Most meg kell találnia a BE egyenes irányvektorát.

Építsük fel az ABC háromszöget ABCD paralelogrammára úgy, hogy az AC oldal legyen az átlója. A paralelogramma átlói ketté vannak osztva, azaz AE = EC. Ezért az E pont a BF egyenesen fekszik.

A BE vektor a BE egyenes irányvektorának tekinthető , amit meg fogunk találni.

= +

= (x c - X b ; nál nél c - y b ) = (- 7- (-2); 7 - (-3)) = (-5. 10)

= + = (-5 + 9; 10 + 12) = (4; 22)

Helyettesítsük be az egyenletbe

Helyettesítsük be a C pont koordinátáit (-7; 7)

(x + 7) = 2 (y - 7)

x + 77 = 2y - 14

x - 2y + 91 = 0 - a BE medián egyenlete

Mivel az E pont az AC oldal közepe, a koordinátái

x e = (x A + x Val vel )/2 = (7 - 7)/2 = 0

nál nél e = (y A + y Val vel )/2 = (9 + 7)/2 = 8

Az E pont koordinátái (0; 8)

5) Keressük meg a magasság CD és hosszának egyenletét

Általános egyenlet

Meg kell találni az egyenes CD irányvektorát

A CD egyenes merőleges az AB egyenesre, ezért a CD egyenes irányvektora párhuzamos az AB egyenes normálvektorával

CD ‖AB

Vagyis az AB egyenes normálvektora felvehető a CD egyenes irányítóvektorának

Vektor AB korábban talált: AB (-4, 3)

Helyettesítsük be a C pont koordinátáit, (- 7; 7)

(x + 7) = - 4 (y - 7)

x + 21 = - 4 év + 28

x + 4y - 7 = 0 - C D magasságegyenlet

D pont koordinátái:

A D pont az AB egyeneshez tartozik, ezért a D(x) pont koordinátái d . y d ) teljesítenie kell az AB egyenes korábban talált egyenletét

A D pont a CD egyeneshez tartozik, ezért a D(x) pont koordinátái d . y d ) teljesítenie kell a CD egyenes egyenletét,

Alkossunk ez alapján egy egyenletrendszert

D(1; 1) koordináták

Keresse meg az egyenes vonalú CD hosszát

= (x d -x c )2+ (y d -y c )2 = (1 + 7)2 + (1 - 7)2 = 64 +36 = 100

= = 10 - a CD egyenes hossza

6) Határozzuk meg a CD átmérőjű kör egyenletét!

Nyilvánvaló, hogy a CD egyenes átmegy a koordináták origóján, mivel egyenlete -3x - 4y = 0, ezért a kör egyenlete felírható

(x - a) 2 + (y - b) 2= R 2- egy kör egyenlete, amelynek középpontja az (a; b) pontban van

Itt R = СD/2 = 10 /2 = 5

(x - a) 2 + (y - b) 2 = 25

Az O (a; b) kör középpontja a CD szakasz közepén található. Keressük a koordinátáit:

x 0= a = = = - 3;

y 0= b = = = 4

Kör egyenlet:

(x + 3) 2 + (y - 4) 2 = 25

Keressük ennek a körnek a metszéspontját az AC oldallal:

A K pont a körhöz és az AC egyeneshez is tartozik

x + 7y - 56 = 0 - a korábban talált AC egyenes egyenlete.

Hozzunk létre egy rendszert

Így megkapjuk a másodfokú egyenletet

nál nél 2- 750у +2800 = 0

nál nél 2- 15у + 56 = 0

=

nál nél 1 = 8

nál nél 2= 7 - a C pontnak megfelelő pont

ezért a H pont koordinátái:

x = 7*8 - 56 = 0

1. AB és BC oldalak és szögegyütthatóik egyenlete.
A hozzárendelés megadja azoknak a pontoknak a koordinátáit, amelyeken ezek az egyenesek áthaladnak, ezért a két megadott ponton átmenő egyenes egyenletét használjuk: $$\frac(x-x_1)(x_2-x_1)=\frac(y-y_1) (y_2-y_1)$ $ helyettesítse, és kapja meg az egyenleteket
az AB egyenes egyenlete $$\frac(x+6)(6+6)=\frac(y-8)(-1-8) => y = -\frac(3)(4)x + \frac( 7 )(2)$$ az AB egyenes meredeksége egyenlő \(k_(AB) = -\frac(3)(4)\)
a BC egyenes egyenlete $$\frac(x-4)(6-4)=\frac(y-13)(-1-13) => y = -7x + 41$$ a BC egyenes meredeksége egyenlő \ (k_( BC) = -7\)

2. B szög radiánban, két számjegy pontossággal
A B szög az AB és BC egyenesek közötti szög, amelyet a következő képlettel számítunk ki: $$tg\phi=|\frac(k_2-k_1)(1+k_2*k_1)|$$ helyettesíti a szögegyütthatók értékeit ezekből a sorokból a $$tg\ phi=|\frac(-7+\frac(3)(4))(1+7*\frac(3)(4))| = 1 => \phi = \frac(\pi)(4) \körülbelül 0,79 $$
3. AB oldal hossza
Az AB oldal hosszát a pontok közötti távolságként számítjuk ki, és egyenlő: \(d = \sqrt((x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2)\) => $$d_(AB) = \sqrt((6+6)^2+(-1-8)^2) = 15$$
4. A CD magasságának és hosszának egyenlete.
A magassági egyenletet egy adott C(4;13) ponton adott irányban átmenő egyenes képletével fogjuk megtalálni - az AB egyenesre merőlegesen a \(y-y_0=k(x-x_0) képlet segítségével. \). Határozzuk meg a \(k_(CD)\) magasság szögegyütthatóját a merőleges egyenesek \(k_1=-\frac(1)(k_2)\) tulajdonságával, a következőt kapjuk: $$k_(CD)= -\frac(1 )(k_(AB) ) = -\frac(1)(-\frac(3)(4)) = \frac(4)(3)$$ Behelyettesítünk egy egyenest az egyenletbe, kapjuk $$y - 13 = \frac(4)(3) (x-4) => y = \frac(4)(3)x+\frac(23)(3)$$ A magasság hosszát fogjuk keresni, mint a távolság a C(4;13) ponttól az AB egyenesig a $$d = \frac(Ax_0+By_0+C)(\sqrt(A^2+B^2))$$ képlet alapján a számlálóban az egyenlet az AB egyenest redukáljuk erre a \(y = -\frac(3)(4)x + \frac(7)(2) => 4y+3x-14 = 0\) alakra, helyettesítsük az így kapott egyenlet és a pont koordinátái a képletbe $$d = \frac(4*13+3*4-14 )(\sqrt( 4^2+3^2)) = \frac(50)(5) = 10 $$

5. Az AE medián és a K pont koordinátáinak egyenlete, ennek a mediánnak a metszéspontja a CD magassággal.
A medián egyenletét egy adott A(-6;8) és E ponton átmenő egyenes egyenleteként fogjuk keresni, ahol az E pont a B és C pontok felezőpontja, koordinátái pedig a formula \(E(\frac(x_2+x_1) (2);\frac(y_2+y_1)(2))\) helyettesíti a pontok koordinátáit \(E(\frac(6+4)(2); \frac(-1+13)(2))\) = > \(E(5; 6)\), akkor a medián AE egyenlete a következő lesz: $$\frac(x+6)(5+ 6)=\frac(y-8)(6-8) => y = - \frac(2)(11)x + \frac(76)(11)$$Keressük meg a metszéspont koordinátáit a magasságok és a medián, azaz. Keressük meg a közös pontjukat. Ehhez létrehozunk egy $$\begin(cases)y = -\frac(2)(11)x + \frac(76)(11)\\y = \frac rendszeregyenletet (4)(3)x+ \frac(23)(3)\end(esetek)=>\begin(esetek)11y = -2x +76\\3y = 4x+23\end(esetek)=>$$$ $\begin(esetek)22y = -4x +152\\3y = 4x+23\end(esetek)=> \begin(esetek)25y =175\\3y = 4x+23\end(esetek)=> $$ $$\begin(esetek) y =7\\ x=-\frac(1)(2)\end(esetek)$$ A metszéspont koordinátái \(K(-\frac(1)(2);7 )\)

6. Az AB oldallal párhuzamosan a K ponton átmenő egyenes egyenlete.
Ha az egyenes párhuzamos, akkor szögegyütthatójuk egyenlő, azaz. \(k_(AB)=k_(K) = -\frac(3)(4)\), a \(K(-\frac(1)(2);7)\) pont koordinátái is ismertek , azaz . egy egyenes egyenletének megtalálásához alkalmazzuk az adott ponton egy adott irányban átmenő egyenes egyenletének képletét \(y - y_0=k(x-x_0)\), behelyettesítjük az adatokat és kapunk $ $y - 7= -\frac(3)(4) (x-\frac(1)(2)) => y = -\frac(3)(4)x + \frac(53)(8)$ $

8. Az A pontra szimmetrikus M pont koordinátái a CD egyeneshez képest.
Az M pont az AB egyenesen fekszik, mert A CD ennek az oldalnak a magassága. Keressük meg CD és AB metszéspontját, ehhez oldjuk meg a $$\begin(cases)y = \frac(4)(3)x+\frac(23)(3)\\y = - egyenletrendszert. \frac(3)(4) x + \frac(7)(2)\end(esetek) =>\begin(esetek)3y = 4x+23\\4y =-3x + 14\end(esetek) => $$$$\begin(esetek )12y = 16x+92\\12y =-9x + 42\end(esetek) =>
\begin(esetek)0= 25x+50\\12y =-9x + 42\end(esetek) => $$$$\begin(cases)x=-2\\y=5 \end(esetek)$$ A D pont koordinátái(-2;5). Az AD=DK feltétel szerint ezt a pontok közötti távolságot a \(d = \sqrt((x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2)\ Pitagorasz képlet határozza meg, ahol AD ​​és DK a egyenlő derékszögű háromszögek hipoténuszai, és \(Δx =x_2-x_1\) és \(Δy=y_2-y_1\) ezeknek a háromszögeknek a lábai, azaz. keressük meg az M pont szárait és koordinátáit. \(Δx=x_D-x_A = -2+6=4\), és \(Δy=y_D-y_A = 5-8=-3\), majd a koordinátákat az M pont egyenlő \ (x_M-x_D = Δx => x_D +Δx =-2+4=2 \), és \(y_M-y_D = Δy => y_D +Δy =5-3=2 \), azt találtuk, hogy a \( M(2;2)\) pont koordinátái

Példa néhány feladat megoldására az „Analitikai geometria egy síkon” szabványos munkából

A csúcsok adottak,
,
ABC háromszög. Megtalálja:

Egy háromszög minden oldalának egyenlete;

Háromszöget meghatározó lineáris egyenlőtlenségek rendszere ABC;

A csúcsból húzott háromszög magassági, medián és felező egyenletei A;

A háromszög magasságainak metszéspontja;

A háromszög mediánjainak metszéspontja;

A magasság hossza oldalra süllyesztve AB;

Sarok A;

Készítsen rajzot.

Legyen a háromszög csúcsainak koordinátái: A (1; 4), BAN BEN (5; 3), VAL VEL(3; 6). Azonnal rajzoljunk egy rajzot:

1. A háromszög minden oldalának egyenleteinek felírásához használjuk a két adott ponton átmenő egyenes egyenletét koordinátákkal ( x 0 , y 0 ) És ( x 1 , y 1 ):

=

Így helyettesítve a ( x 0 , y 0 ) pont koordinátáit A, és helyett ( x 1 , y 1 ) pont koordinátáit BAN BEN, megkapjuk az egyenes egyenletét AB:

A kapott egyenlet az egyenes egyenlete lesz AB, általános formában írva. Hasonlóképpen megtaláljuk az egyenes egyenletét AC:

És az egyenes egyenlete is Nap:

2. Figyeljük meg, hogy a háromszög ponthalmaza ABC három félsík metszéspontját jelenti, és minden félsíkot egy lineáris egyenlőtlenséggel határozhatunk meg. Ha bármelyik oldal egyenletét vesszük ∆ ABC, Például AB, akkor az egyenlőtlenségek

És

Határozzuk meg az egyenes ellentétes oldalán lévő pontokat AB. Ki kell választanunk azt a félsíkot, ahol a C pont található. Helyettesítsük be a koordinátáit mindkét egyenlőtlenségbe:

A második egyenlőtlenség lesz helyes, ami azt jelenti, hogy a szükséges pontokat az egyenlőtlenség határozza meg

.

Ugyanezt tesszük a BC egyenessel, annak egyenletével
. Az A (1, 1) pontot használjuk tesztpontként:

Ez azt jelenti, hogy a szükséges egyenlőtlenségnek a következő alakja van:

.

Ha ellenőrizzük az AC egyenest (B vizsgálati pont), a következőt kapjuk:

Ez azt jelenti, hogy a szükséges egyenlőtlenségnek meglesz a formája

Végül megkapjuk az egyenlőtlenségek rendszerét:

A „≤”, „≥” jelek azt jelentik, hogy a háromszög oldalain lévő pontok is beletartoznak a háromszöget alkotó pontok halmazába. ABC.

3. a) A csúcsból kiesett magasság egyenletének megtalálása érdekében A oldalra Nap, tekintsük az oldal egyenletét Nap:
. Vektor koordinátákkal
oldalra merőlegesen Napés ezért párhuzamos a magassággal. Írjuk fel egy ponton átmenő egyenes egyenletét A párhuzamos a vektorral
:

Ez a t-ből kihagyott magasság egyenlete. A oldalra Nap.

b) Keresse meg az oldal közepének koordinátáit! Nap a képletek szerint:

Itt
– ezek a t koordinátái. BAN BEN, A
– koordináták t. VAL VEL. Cseréljük le és kapjuk:

Az ezen a ponton és a ponton áthaladó egyenes A a kívánt medián:

c) Meg fogjuk keresni a felező egyenletet abból a tényből kiindulva, hogy egy egyenlő szárú háromszögben a háromszög egyik csúcsából az alapra ereszkedő magasság, medián és felező egyenlő. Keressünk két vektort
És
és hosszuk:

Aztán a vektor
iránya megegyezik a vektorral
, és a hossza
Hasonlóképpen, az egységvektor
irányában egybeesik a vektorral
Vektoros összeg

van egy vektor, amely irányában egybeesik a szögfelezővel A. Így a kívánt felező egyenlete a következőképpen írható fel:

4) Már megszerkesztettük az egyik magasság egyenletét. Alkossunk egyenletet egy másik magasságra, például a csúcsból BAN BEN. Oldal AC egyenlet adja meg
Tehát a vektor
merőleges AC, és így párhuzamos a kívánt magassággal. Ezután a csúcson átmenő egyenes egyenlete BAN BEN a vektor irányába
(azaz merőleges AC), a következő formában van:

Ismeretes, hogy a háromszög magasságai egy pontban metszik egymást. Konkrétan ez a pont a talált magasságok metszéspontja, azaz. egyenletrendszer megoldása:

- ennek a pontnak a koordinátái.

5. Közép AB koordinátái vannak
. Írjuk oldalra a medián egyenletét AB. Ez az egyenes (3, 2) és (3, 6) koordinátájú pontokon halad át, ami azt jelenti, hogy egyenlete a következő:

Figyeljük meg, hogy az egyenes egyenletében szereplő tört nevezőjében szereplő nulla azt jelenti, hogy ez az egyenes párhuzamos az ordinátatengellyel.

A mediánok metszéspontjának megtalálásához elegendő az egyenletrendszert megoldani:

A háromszög mediánjainak metszéspontja koordinátákkal rendelkezik
.

6. Magasság hossza oldalra süllyesztve AB, egyenlő a pont távolságával VAL VEL egyenesre AB egyenlettel
és a következő képlettel találjuk meg:

7. Szög koszinusza A a vektorok közötti szög koszinuszának képletével kereshető meg És , amely egyenlő ezen vektorok skaláris szorzatának és hosszuk szorzatának arányával:

.