A vektor vetülete a tengelymegjelöléshez. Egy vektor vetítése (geometriai, algebrai) egy tengelyre

ALGEBRA VEKTOR ALAPFOGALMAI

Skaláris és vektoros mennyiségek

Az elemi fizika során ismert, hogy bizonyos fizikai mennyiségeket, például a hőmérsékletet, a térfogatot, a testtömeget, a sűrűséget stb., Csak számszerű érték határozza meg. Az ilyen mennyiségeket ún skalárok, vagy skalárok.

Néhány más mennyiség, például erő, sebesség, gyorsulás és hasonlók meghatározásához a numerikus értékeken kívül meg kell határozni azok irányát is a térben. Azokat az értékeket nevezzük, amelyeket az abszolút érték mellett irány is jellemez vektor.

Meghatározás A vektor egy irányított szegmens, amelyet két pont határoz meg: az első pont a vektor elejét határozza meg, a második pedig a végét. Ezért azt is mondják, hogy a vektor rendezett pontpár.

Az ábrán a vektort egy egyenes szegmens ábrázolja, amelyen a nyíl jelzi a vektor elejétől a végéig tartó irányt. Például, ábra. 2.1.

Ha a vektor eleje egybeesik egy ponttal a végét pedig egy ponttal , akkor a vektort jelöljük
... Ezenkívül a vektorokat gyakran egy kis betűvel jelölik, fölötte nyíllal. ... A könyvekben néha a nyíl kihagyásra kerül, majd vastag betűvel jelölik a vektort.

A vektorok tartalmazzák nulla vektor ahol a kezdet és a vég ugyanaz. Ez van kijelölve vagy egyszerűen .

A vektor eleje és vége közötti távolságot annak nevezzük hossz, vagy modul... A vektor modulusát két függőleges sáv jelzi a bal oldalon:
, vagy nyilak nélkül
vagy .

Az egy egyenes vonallal párhuzamos vektorokat nevezzük kolineáris.

Azokat a vektorokat nevezzük, amelyek ugyanabban a síkban vagy párhuzamosan helyezkednek el egysíkú.

A nullvektor bármelyik vektornak kollineárisnak tekinthető. Hossza 0.

Meghatározás Két vektor
és
egyenlők (2.2. ábra), ha:
1)kolineáris; 2) egyirányú 3) egyenlő hosszúságú.

Így van írva:
(2.1)

A vektorok egyenlőségének meghatározásából az következik, hogy egy vektor párhuzamos átvitelével olyan vektort kapunk, amely egyenlő a kezdettel, ezért a vektor eleje a tér bármely pontján elhelyezhető. Az ilyen vektorokat (elméleti mechanikában, geometriában), amelyek eredete a tér bármely pontján elhelyezhető, ún. ingyenes... És ezeket a vektorokat fogjuk figyelembe venni.

Meghatározás Vektoros rendszer
lineáris függőnek nevezzük, ha vannak ilyen állandók
, amelyek között legalább egy nem nulla van, és amelyre érvényes az egyenlőség.

Meghatározás A bázis a térben tetszőleges három nem egy síkbeli vektor, amelyeket egy bizonyos sorrendben veszünk fel.

Meghatározás Ha
alap és vektor, majd a számok
a vektor koordinátáinak nevezzük ezen az alapon.

A vektor koordinátáit göndör zárójelekbe írjuk a vektor kijelölése után. Például,
azt jelenti, hogy a vektor valamilyen választott alapon bomlik:
.

A vektorok számmal való megszorzásának és a vektorok hozzáadásának tulajdonságaiból következik a koordinátákkal megadott vektorokra gyakorolt ​​lineáris műveletekre vonatkozó állítás.

Annak érdekében, hogy megtaláljuk egy vektor koordinátáit, ha a kezdete és a vége koordinátái ismertek, ki kell vonni a kezdet koordinátáját a végének megfelelő koordinátájából.

Lineáris műveletek vektorokon

A vektorokon végzett lineáris műveletek a vektorok összeadásának (kivonásának) és a vektor számmal való megszorozásának műveletei. Tekintsük őket.

Meghatározás A vektor terméke szám szerint
vektornak nevezzük, amely egybeesik a vektorral , ha
ellentétes irányú, ha
negatív. Ennek a vektornak a hossza megegyezik a vektor hosszának szorzatával modulszám szerint
.

NS példa . Vektor készítése
, ha
és
(2.3. ábra).

Ha egy vektort megszorozunk egy számmal, akkor a koordinátáit megszorozzuk ezzel a számmal.

Valóban, ha, akkor

A vektor terméke tovább
vektornak nevezzük
;
- ellentétesen irányított .

Megjegyezzük, hogy az 1 -es hosszúságú vektort hívjuk egyetlen(vagy ortom).

A vektor számmal való megszorzásának műveletével bármely vektor kifejezhető egységvektorban azonos irányban. Valójában a vektor felosztása a hossza szerint (azaz szaporodni tovább ), egységvektorot kapunk a vektorral azonos irányban ... Megjelöljük
... Ezért ebből következik
.

Meghatározás Két vektor összege és vektornak nevezzük , amely közös eredetükből származik, és a paralelogramma átlója, amelynek oldalai vektorok és (2.4. ábra).

.

Az egyenlő vektorok meghatározásával
ezért
-háromszög szabály... A háromszög szabály kiterjeszthető tetszőleges számú vektorra, és így megkapjuk a sokszög szabályt:
az a vektor, amely összeköti az első vektor elejét az utolsó vektor végével (2.5. ábra).

Tehát az összeg vektorának felépítéséhez szükséges, hogy a második elejét az első vektor végéhez, a második végét a harmadik elejéhez rögzítsük, és így tovább. Ekkor az összeg vektora lesz az a vektor, amely összeköti az első vektor elejét az utolsó végével.

Vektorok hozzáadásakor a hozzájuk tartozó koordinátákat is hozzáadjuk

Valóban, ha és
,

Ha vektorok
és nem egysíkúak, akkor ezek összege az átló
ezekre a vektorokra épített párhuzamos csővezeték (2.6. ábra)

,

ahol

Tulajdonságok:

- ingázhatóság;

- asszociativitás;

- eloszlás a számmal való szorzáshoz képest

.

Azok. egy vektorösszeg ugyanolyan szabályok szerint alakítható át, mint az algebrai.

MeghatározásKét vektor különbségével és ilyen vektort neveznek amelyet a vektorhoz adva megadja a vektort ... Azok.
ha
... Mértanilag a vektorokra épített paralelogramma második átlója és közös eredettel és a vektor végétől irányítva a vektor végéig (2.7. ábra).

A vektor vetülete a tengelyre. Vetítési tulajdonságok

Emlékezzünk a számtengely fogalmára. A számtengelyt egyenesnek nevezzük, amelyen definiáltuk:

irány (→);

eredet (O pont);

egy szegmens, amelyet skálaegységnek tekintünk.

Legyen vektor
és tengely ... Pontokból és ejtsük a merőlegeseket a tengelyre ... Szerezz pontokat és - pontok előrejelzése és (2.8. Ábra a).

Meghatározás Vektoros vetítés
tengelyenként a szakasz hossza
ez a tengely, amely a vektor elejének és végének vetületeinek alapjai között helyezkedik el
tengelyenként ... Plusz jellel vesszük, ha a szegmens iránya
egybeesik a vetítési tengely irányával, és mínuszjellel, ha ezek az irányok ellentétesek. Kijelölés:
.

O feladat A vektor közötti szög
és tengely szögnek nevezik , amelyhez a tengelyt a lehető legrövidebb úton kell elforgatni hogy egybeessen a vektor irányával
.

megtalálja
:

A 2.8a. Ábra mutatja:
.

Ábrán. 2.8 b): .

Egy vektor tengelyre vetítése egyenlő ennek a vektornak a hosszának a szorzatával a vektor és a vetítési tengely közötti szög koszinuszával:
.

Vetítési tulajdonságok:

Ha
, akkor a vektorokat ortogonálisnak nevezzük

Példa . Vektorok vannak megadva
,
.Azután

.

Példa. Ha a vektor eleje
ponton van
, és a végén a pont
, majd a vektor
koordinátái vannak:

O feladat Két vektor közötti szög és legkisebb szögnek nevezik
(2.13. Ábra) ezen vektorok között, közös kezdetben .

A vektorok szöge és szimbolikusan így írva: .

A definícióból következik, hogy a szög a vektorok között változhatnak
.

Ha
, akkor a vektorokat ortogonálisnak nevezzük.

.

Meghatározás. A koordináta -tengelyű vektor szögeinek koszinuszait a vektor irány -koszinuszainak nevezzük. Ha a vektor
sarkokat képez a koordináta -tengelyekkel

.

Legyen két vektor, és adjuk meg a térben. Tedd félre egy tetszőleges pontból O vektorok és. Sarok vektorok között, és a szögek közül a legkisebbnek nevezik. Jelölve .

Tekintsük a tengelyt lés tegyünk rá egységvektorot (azaz olyan vektort, amelynek hossza egyenlő).

Szög a vektor és a tengely között l megérteni a vektorok és a szögek közötti szöget.

Szóval engedd l- néhány tengely és - vektor.

Jelöljük ezzel A 1és B 1 tengely vetítés l illetve pontokat Aés B... Tegyünk úgy, mintha A 1 van koordinátája x 1, a B 1- koordinálja x 2 a tengelyen l.

Azután kivetítés vektorok tengelyenként l a különbséget nevezik x 1 – x 2 ezen a tengelyen a vektor végének és kezdetének vetületeinek koordinátái között.

Vektor vetítése tengelyre l jelölni fogja.

Világos, hogy ha a vektor és a tengely közötti szög l akkor éles x 2> x 1, és a vetítés x 2 – x 1> 0; ha ez a szög tompa, akkor x 2< x 1és vetítés x 2 – x 1< 0. Наконец, если вектор перпендикулярен оси l, azután x 2= x 1és x 2– x 1=0.

Így a vektor vetülete a tengelyre l A szegmens hossza A 1 B 1, egy bizonyos előjellel. Ezért a vektor tengelyre vetítése szám vagy skalár.

Az egyik vektor másikra vetítését hasonló módon határozzák meg. Ebben az esetben megtaláljuk az adott vektor végeinek vetületeit arra a vonalra, amelyen a 2. vektor fekszik.

Nézzünk néhányat a főbbek közül vetítési tulajdonságok.

LINEÁRIS FÜGGETLEN ÉS LINEÁRIS FÜGGETLEN VEKTORRENDSZEREK

Tekintsünk több vektort.

Lineáris kombináció ezen vektorok közül az alak bármely vektorát nevezzük, ahol néhány szám található. A számokat a lineáris kombináció együtthatóinak nevezzük. Azt is mondják, hogy ebben az esetben lineárisan fejezik ki ezeket a vektorokat, azaz lineáris műveletek segítségével kapjuk meg tőlük.

Például, ha három vektor van megadva, akkor a vektorokat lineáris kombinációjuknak tekinthetjük:

Ha egy vektor néhány vektor lineáris kombinációja, akkor azt mondják lebomlott ezen vektorok mentén.

A vektorokat ún lineárisan függő ha vannak számok, nem minden egyenlő nullával, így ... Világos, hogy az adott vektorok lineárisan függenek, ha ezen vektorok bármelyike ​​lineárisan kifejeződik a többihez képest.

Ellenkező esetben, azaz amikor az arány csak akkor hajtják végre, amikor , ezeket a vektorokat nevezzük lineárisan független.

1. Tétel. Bármely két vektor lineárisan függ, és csak akkor, ha kollineáris.

Bizonyíték:

A következő tétel hasonlóan bizonyítható.

2. Tétel. Három vektor lineárisan függ, és csak akkor, ha egy síkban vannak.

Bizonyíték.

ALAP

Az alap nem nulla lineárisan független vektorok halmazának nevezzük. Az alap elemeit jelöli.

Az előző részben láttuk, hogy a síkban két nem kollineáris vektor lineárisan független. Ezért az 1. tétel szerint, az előző szakaszból, ezen a síkon bármely két nem kollineáris vektor egy sík alapja.

Hasonlóképpen, bármelyik három nem koplanáris vektor lineárisan független a térben. Következésképpen három nem síkbeli vektort neveznek bázisnak a térben.

Az alábbi állítás igaz.

Tétel. Adjunk alapot a térben. Ekkor bármely vektor lineáris kombinációként ábrázolható , ahol x, y, z- néhány szám. Ez a bomlás egyedülálló.

Bizonyíték.

Így az alap lehetővé teszi, hogy minden vektort egyértelműen társítsunk egy számhármassal - ennek a vektornak az alapvektorok tekintetében való terjeszkedésének együtthatói :. Ez fordítva is igaz, minden számhármasra x, y, z egy bázis segítségével egyeztethet egy vektort, ha lineáris kombinációt állít össze .

Ha az alap és , majd a számokat x, y, z hívják koordináták vektor az adott alapon. A vektorkoordináták jelölik.

DECARTIAN KOORDINÁT RENDSZER

Adjunk egy pontot a térben Oés három nem koplanáris vektor.

Derékszögű koordinátarendszer a térben (síkon) egy pont és egy alap halmazának nevezzük, azaz egy ponthalmaz és három nem koplanáris vektor (2 nem kollineáris vektor), amelyek innen kimennek.

Pont O eredetnek nevezik; az origón átmenő egyenes vonalakat az alapvektorok irányában koordináta -tengelynek nevezzük - az abszcissza, az ordináta és az alkalmazott tengely. A koordináta -tengelyeken áthaladó síkokat koordináta -síkoknak nevezzük.

Tekintsünk egy tetszőleges pontot a kiválasztott koordináta -rendszerben M... Bemutatjuk a pontkoordináták fogalmát M... Az origót a ponttal összekötő vektor M... hívott sugarú vektor pont M.

A kiválasztott alapú vektor társítható egy hármas számmal - koordinátái: .

Pont sugarú vektorkoordináták M... hívják az M pont koordinátái... a megfontolt koordináta -rendszerben. M (x, y, z)... Az első koordinátát abszcisszának, a másodikat ordinátának, a harmadikat pedig az applikátusnak nevezik.

Hasonló módon határozzák meg a síkbeli derékszögű koordinátákat. Itt a pontnak csak két koordinátája van - az abszcissza és az ordináta.

Könnyen belátható, hogy egy adott koordináta -rendszer esetében minden pontnak vannak bizonyos koordinátái. Másrészt minden számhármasra van egyetlen pont, amelynek ezek a számok a koordinátái.

Ha a kiválasztott koordináta -rendszerben alapként vett vektorok egységhosszúak és páronként merőlegesek, akkor a koordináta -rendszert ún. Derékszögű téglalap alakú.

Ezt könnyű megmutatni.

A vektor irányító koszinuszai teljesen meghatározzák annak irányát, de semmit nem mondanak a hosszáról.

A konvergáló erők egyensúlyával kapcsolatos problémák megoldása zárt teljesítményű sokszögek kialakításával nehézkes konstrukciókhoz kapcsolódik. Az ilyen problémák megoldásának univerzális módszere az átmenet az adott erők koordinátatengelyre vetítésének meghatározására és ezekkel a vetületekkel való működésre. Egy tengelyt egyenesnek neveznek, amelyhez egy bizonyos irányt rendelnek.

A vektor tengelyre vetítése skaláris érték, amelyet a tengely vonalszegmense határoz meg, amelyet a vektor elejéről és végéről rá esett merőlegesek vágnak le.

A vektoros vetület akkor tekinthető pozitívnak, ha a vetület elejétől a végéig tartó irány egybeesik a tengely pozitív irányával. A vektoros vetület akkor tekinthető negatívnak, ha a vetület elejétől a végéig tartó irány ellentétes a tengely pozitív irányával.

Így az erő vetítése a koordinátatengelyre egyenlő az erő modulusának az erővektor és a tengely pozitív iránya közötti szög koszinuszának szorzatával.

Tekintsünk számos olyan esetet, amikor az erők tengelyre vetülnek:

Erővektor F(15. ábra) éles szöget zár be az x tengely pozitív irányával.

A vetítés megkereséséhez az erővektor elejétől és végétől leengedjük a merőlegeseket a tengelyre ó; kapunk

1. F x = F cos α

A vektoros vetítés ebben az esetben pozitív

Kényszerítés F(16. ábra) a tengely pozitív irányával van NS tompa α szög.

Azután F x = F cos α, de mivel α = 180 0 - φ,

F x = F cos α = F cos180 0 - φ = - F cos φ.

Erővetítés F tengelyenként ó ebben az esetben negatív.

Kényszerítés F(17. ábra) merőleges a tengelyre ó.

Az F erő vetítése a tengelyre NS nulla

F x = F cos 90 ° = 0.

Az erő egy repülőgépen helyezkedik el hou(18. ábra), két koordináta -tengelyre vetíthető Óés OU.

Erő F komponensekre bontható: F x és F y. Vektor modulus F x egyenlő a vektor vetületével F tengelyenként ökör, és a vektor modulusa F y egyenlő a vektor vetületével F tengelyenként jaj.

A Δ -tól OAV: F x = F cos α, F x = F sin α.

A Δ -tól SLA: F x = F cos, F x = F bűn φ.

Az erő modulusát a Pitagorasz -tétel alapján találjuk meg:

A vektorösszeg vagy az eredő vetülete bármely tengelyen megegyezik az azonos tengelyen lévő vektorok tagjai vetületeinek algebrai összegével.

Tekintsük a konvergáló erőket F 1 , F 2 , F 3, és F 4., (19. ábra, a). Ezen erők geometriai összege vagy eredője F az erő sokszög záró oldala határozza meg

Csepegtessünk a hatalmi sokszög csúcsairól a tengelyre x merőlegesek.

Figyelembe véve az erők előrejelzéseit közvetlenül az elvégzett konstrukcióból, megvan

F= F 1x + F 2x + F 3x + F 4x

ahol n a vektoros kifejezések száma. Vetítéseik tartalmazzák a fenti egyenletet a megfelelő előjellel.

A síkban az erők geometriai összege két koordináta -tengelyre, térben pedig háromra vetíthető.

Definíció 1. A síkon az A pontnak az l tengelyre való párhuzamos vetülete egy pont-az l tengely metszéspontja az A ponton keresztül húzott egyenes vonallal, amely párhuzamos a vetítés irányát meghatározó vektorral.

Definíció 2. Egy vektor párhuzamos vetítése az l-tengelyre (vektorra) a vektor koordinátája az alaphoz képest az l tengely, ahol a pontok és az A, illetve B pontok párhuzamos vetületei az l tengelyre (1. ábra).

Értelemszerűen van

3. meghatározás és az l tengely alapja Derékszögű, vagyis a vektor vetülete az l tengelyre ortogonálisnak nevezzük (2. ábra).

A térben a vektor tengelyre vetítésének 2. definíciója marad érvényben, csak a vetítés irányát határozza meg két nem kollineáris vektor (3. ábra).

A vektor tengelyre vetítésének meghatározásából az következik, hogy egy vektor minden koordinátája ennek a vektornak a tengelyre vetített vetülete, amelyet a megfelelő bázisvektor határoz meg. Ebben az esetben a tervezés irányát két másik bázisvektor határozza meg, ha a tervezést a térben hajtják végre (tekintik), vagy egy másik bázisvektor, ha a tervezést síkon veszik figyelembe (4. ábra).

1. Tétel. Egy vektor ortogonális vetülete az l-tengelyre egyenlő a vektor modulusának az l-tengely pozitív iránya közötti szög koszinuszának szorzatával, azaz

A másik oldalon

Abból találjuk

Az AC egyenlőséggel való helyettesítését (2) kapjuk

Mivel a számok xés ugyanazzal a jellel mindkét vizsgált esetben ((5. ábra, a); (5. ábra, b), akkor az egyenlőség (4)

Megjegyzés. A következőkben csak a vektornak a tengelyre vetített ortogonális vetületét vesszük figyelembe, ezért az "ortogonális" szó kihagyásra kerül a jelölésben.

Íme néhány képlet, amelyeket a következőkben használunk a problémák megoldására.

a) A vektor vetítése a tengelyre.

Ha, akkor az (5) képlet szerinti vektorra mutató ortogonális vetület formája

c) Pont és sík közötti távolság.

Legyen b adott sík normál vektorral, M - adott pont,

d - távolság az M ponttól a b síkig (6. ábra).

Ha N a b sík tetszőleges pontja, és az M és N pontok tengelyre vetül, akkor

• G) A keresztezett vonalak közötti távolság.

Legyen a és b az adott metsző egyenes, a rájuk merőleges vektor, A és B az a és b egyenes tetszőleges pontjai (7. ábra), és az A és B pontok vetületei , azután

e) Távolság a ponttól az egyenesig.

Legyen l- adott egyenes irányvektorral, M - adott pont,

N - vetülete egyenes vonalon l, majd - a szükséges távolság (8. ábra).

Ha A egy egyenes tetszőleges pontja l, akkor egy derékszögű háromszög MNA-ban megtalálható a hypotenuse MA és a lábak. Eszközök,

f) Egy egyenes és egy sík közötti szög.

Legyen ez a vonal irányvektor l, az adott b sík normális vektora, az egyenes vetülete l b síkon (9. ábra).

Mint tudod, az egyenes közötti q szög lés vetületét a b síkra az egyenes és a sík közötti szögnek nevezzük. Nekünk van

Mondjunk példákat a metrikus feladatok vektor-koordináta módszerrel történő megoldására.

a. Az A pontnak a PQ tengelyre vetítése (4. ábra) az adott pontból erre a tengelyre ejtett merőleges a alapja. A tengelyt, amelyre vetítünk, vetítési tengelynek nevezzük.

B. Legyen két tengely és egy AB vektor, amely az ábrán látható. 5.

A vektort, amelynek eleje a kezdet és a vég vetülete - ennek a vektornak a végének vetülete, az AB vektor PQ tengelyre vetítésének nevezzük, így írják;

Néha a PQ -mutatót nem írják alulra, ez olyan esetekben történik, amikor a PQ -n kívül nincs más tengely, amelyre tervezni lehet.

val vel. I. Tétel: Az egyik tengelyen fekvő vektorok értékei összefüggnek bármely tengelyre vetített vetületeik értékeivel.

Adjuk meg a 6. ábrán látható tengelyeket és vektorokat.A háromszögek hasonlóságából látható, hogy a vektorok hossza összefüggésben áll a vetületeik hosszával, azaz.

Mivel a rajzban szereplő vektorok különböző irányokba vannak irányítva, értékeik eltérő értékűek, ezért

Nyilvánvaló, hogy a vetületek értékei is különböző jelekkel rendelkeznek:

a (2) -et (3) -ra (1) -be cserélve kapjuk

A jeleket megfordítva kapjuk

Ha a vektorok azonos irányban vannak, akkor lesz egy irány és a vetítésük; a (2) és (3) képletben nem lesznek mínuszjelek. A (2) és (3) egyenlőségre (1) való helyettesítésével azonnal megkapjuk az egyenlőséget (4). Tehát a tétel minden esetben bebizonyosodik.

d. Tétel II. A vektoros vetítés nagysága bármely tengelyen megegyezik a vektor nagyságával és a vetítési tengely és a vektor tengely közötti szög koszinuszával megszorozva. 7. Építsünk fel egy, a tengelyével egyenesen irányított és késleltetett vektort, például a tengelyek metszéspontjából. Legyen a hossza egy. Akkor az értéke