A háromszög alapvető tulajdonságai. Arányok háromszögben

A geometria tudománya megmondja, mi a háromszög, a négyzet és a kocka. A modern világban kivétel nélkül mindenki ezt tanulja az iskolákban. Ezenkívül a trigonometria a tudomány, amely közvetlenül vizsgálja, hogy mi a háromszög és milyen tulajdonságai vannak. Részletesen feltárja az adatokkal kapcsolatos összes jelenséget, cikkünkben arról lesz szó, hogy mi a háromszög ma. Az alábbiakban ezek típusait, valamint néhány hozzájuk kapcsolódó tételt ismertetünk.

Mi az a háromszög? Meghatározás

Ez egy lapos sokszög. Három sarka van, amint az a nevéből is kiderül. Három oldala és három csúcsa is van, ezek közül az első szakasz, a második pont. Tudva, hogy mi két szög egyenlő, a harmadikat úgy találhatja meg, hogy kivonja az első kettő összegét a 180-ból.

Milyen típusú háromszögek léteznek?

Különféle kritériumok szerint osztályozhatók.

Először is hegyesszögű, tompaszögű és téglalap alakúra osztják őket. Az előbbiek hegyesszögűek, vagyis azok, amelyek kisebbek, mint 90 fok. A tompaszögekben az egyik szög tompaszögű, vagyis az, amelyik nagyobb, mint 90 f, a másik kettő hegyes. Az éles háromszögek közé tartoznak az egyenlő oldalú háromszögek is. Az ilyen háromszögeknek minden oldala és szöge egyenlő. Mindegyik 60 fokkal egyenlő, ez könnyen kiszámítható úgy, hogy az összes szög összegét (180) elosztjuk hárommal.

Derékszögű háromszög

Lehetetlen nem beszélni arról, hogy mi a derékszögű háromszög.

Egy ilyen alaknak egy szöge 90 fokkal egyenlő (egyenes), azaz két oldala merőleges. A fennmaradó két szög hegyesszögű. Lehetnek egyenlőek, akkor egyenlő szárú lesz. A Pitagorasz-tétel a derékszögű háromszöggel kapcsolatos. Használatával megtalálhatja a harmadik oldalt, az első kettő ismeretében. E tétel szerint, ha az egyik láb négyzetét hozzáadjuk a másikhoz, akkor megkapjuk a hipotenusz négyzetét. A láb négyzete úgy számítható ki, hogy kivonjuk az ismert láb négyzetét a befogó négyzetéből. Ha arról beszélünk, hogy mi a háromszög, felidézhetünk egy egyenlő szárú háromszöget is. Ez olyan, amelyben két oldal egyenlő, és két szög is egyenlő.

Mi a láb és a hypotenusa?

A láb egy háromszög egyik oldala, amely 90 fokos szöget zár be. A hipotenusz a fennmaradó oldal, amely a derékszöggel szemben van. Leengedhetsz róla egy merőlegest a lábra. A szomszédos oldal és a hipotenusz arányát koszinusznak, az ellenkező oldalt pedig szinusznak nevezzük.

- mik a tulajdonságai?

Ez téglalap alakú. Lábai három és négyesek, a befogója pedig öt. Ha azt látja, hogy egy adott háromszög lábai egyenlők hárommal és négyel, megnyugodhat, hogy a hipotenúza egyenlő lesz öttel. Ezen elv alapján könnyen meghatározhatja, hogy a láb hárommal egyenlő, ha a második négy, és a hipotenúza öt. Ennek az állításnak a bizonyítására használhatja a Pitagorasz-tételt. Ha két láb egyenlő 3-mal és 4-gyel, akkor 9 + 16 = 25, a 25 gyöke 5, azaz a hipotenusz egyenlő 5-tel. Az egyiptomi háromszög egy olyan derékszögű háromszög is, amelynek oldalai egyenlőek 6, 8 és 10; 9, 12 és 15 és egyéb számok 3:4:5 arányban.

Mi más lehet egy háromszög?

A háromszögek beírhatók vagy körülírhatók is. Az alakot, amely körül a kört leírják, beírtnak nevezzük; minden csúcsa a körön fekvő pont. A körülírt háromszög az, amelybe kör van írva. Minden oldala bizonyos pontokon érintkezik vele.

Hogyan található?

Bármely figura területét négyzetegységben mérik (négyzetméter, négyzetmilliméter, négyzetcentiméter, négyzetdeciméter stb.). Ez az érték a háromszög típusától függően többféleképpen is kiszámítható. Bármely szögekkel rendelkező alakzat területét meg lehet találni, ha megszorozzuk az oldalát a szemközti sarokból ráesett merőlegessel, és elosztjuk ezt az ábrát kettővel. Ezt az értéket a két oldal szorzásával is megtalálhatja. Ezután szorozza meg ezt a számot az ezen oldalak között elhelyezkedő szög szinuszával, és ossza el ezt az eredményt kettővel. Ha ismeri a háromszög összes oldalát, de nem ismeri a szögeit, akkor a területet más módon is megtalálhatja. Ehhez meg kell találnia a kerület felét. Ezután váltakozva vonja ki a különböző oldalakat ebből a számból, és szorozza meg a kapott négy értéket. Ezután keresse meg a kijött számból. A beírt háromszög területét úgy kaphatjuk meg, hogy az összes oldalt megszorozzuk, és a kapott számot elosztjuk a körülírt számmal, megszorozva néggyel.

Egy körülírt háromszög területét így találjuk meg: a kerület felét megszorozzuk a beleírt kör sugarával. Ha akkor a területe a következőképpen kereshető: négyzetre emeljük az oldalt, a kapott számot megszorozzuk három gyökével, majd ezt a számot elosztjuk néggyel. Hasonló módon kiszámíthatja egy háromszög magasságát, amelyben minden oldal egyenlő; ehhez meg kell szorozni az egyiket három gyökével, majd el kell osztani ezt a számot kettővel.

Háromszöggel kapcsolatos tételek

Az ábrához kapcsolódó fő tételek a fent leírt Pitagorasz-tétel és a koszinusz. A második (a szinuszok közül) az, hogy ha bármelyik oldalt elosztjuk a vele szemben lévő szög szinuszával, akkor megkaphatjuk a körülötte leírt kör sugarát, megszorozva kettővel. A harmadik (koszinusz) az, hogy ha a két oldal négyzeteinek összegéből kivonjuk a szorzatukat, megszorozzuk kettővel és a közöttük lévő szög koszinuszával, akkor a harmadik oldal négyzetét kapjuk.

Dali háromszög - mi ez?

Sokan, amikor ezzel a fogalommal szembesülnek, először azt gondolják, hogy ez valamiféle geometriai meghatározás, de ez egyáltalán nem így van. A Dali-háromszög három olyan hely közös neve, amelyek szorosan kapcsolódnak a híres művész életéhez. A „csúcsok” a ház, amelyben Salvador Dali élt, a kastély, amelyet feleségének adott, valamint a szürrealista festmények múzeuma. Egy túra során ezeken a helyeken sok érdekes tényt tudhat meg erről az egyedülálló kreatív művészről, akit világszerte ismernek.

Két háromszöget akkor mondunk egybevágónak, ha átfedéssel összehozhatók. Az 1. ábrán az ABC és A 1 B 1 C 1 egyenlő háromszögek láthatók. Ezen háromszögek mindegyike egymásra rakható, így teljesen kompatibilisek, azaz csúcsaik és oldalaik páronként kompatibilisek. Nyilvánvaló, hogy ezeknek a háromszögeknek a szögei párban is egyeznek.

Így, ha két háromszög egybevágó, akkor az egyik háromszög elemei (azaz oldalai és szögei) rendre megegyeznek a másik háromszög elemeivel. Vegye figyelembe, hogy egyenlő háromszögekben a megfelelően egyenlő oldalakkal szemben(vagyis egymásra helyezve átfedés) egyenlő szögek fekszenekés vissza: Az egyenlő oldalak egymással szemben, illetve egyenlő szögeket zárnak be.

Így például az 1. ábrán látható ABC és A 1 B 1 C 1 egyenlő háromszögekben, az AB és A 1 B 1 egyenlő oldalakkal szemben, egyenlő C és C 1 szögek vannak. Az ABC és A 1 B 1 C 1 háromszögek egyenlőségét a következőképpen jelöljük: Δ ABC = Δ A 1 B 1 C 1. Kiderült, hogy két háromszög egyenlősége megállapítható egyes elemeik összehasonlításával.

1. tétel. A háromszögek egyenlőségének első jele. Ha az egyik háromszög két oldala és a köztük lévő szög rendre egyenlő egy másik háromszög két oldalával és a köztük lévő szöggel, akkor az ilyen háromszögek egybevágóak (2. ábra).

Bizonyíték. Tekintsük az ABC és A 1 B 1 C 1 háromszögeket, amelyekben AB = A 1 B 1, AC = A 1 C 1 ∠ A = ∠ A 1 (lásd 2. ábra). Bizonyítsuk be, hogy Δ ABC = Δ A 1 B 1 C 1 .

Mivel ∠ A = ∠ A 1, akkor az ABC háromszög az A 1 B 1 C 1 háromszögre rakható úgy, hogy az A csúcs az A 1 csúcshoz igazodik, az AB és AC oldalak pedig az A 1 B 1 és A 1 sugarakra. C 1. Mivel AB = A 1 B 1, AC = A 1 C 1, akkor az AB oldal az A 1 B 1 oldalhoz, az AC oldal pedig az A 1 C 1 oldalhoz igazodik; különösen a B és B 1, C és C 1 pontok esnek egybe. Következésképpen a BC és a B 1 C 1 oldalak egybeesnek. Tehát az ABC és az A 1 B 1 C 1 háromszögek teljesen kompatibilisek, ami azt jelenti, hogy egyenlők.

A 2. tételt hasonló módon bizonyítjuk szuperpozíciós módszerrel.

2. tétel. A háromszögek egyenlőségének második jele. Ha egy háromszög egyik oldala és két szomszédos szöge egy másik háromszög oldalszögével és két szomszédos szögével egyenlő, akkor az ilyen háromszögek egybevágóak (34. ábra).

Megjegyzés. A 2. Tétel alapján megállapítjuk a 3. tételt.

3. Tétel. Egy háromszög bármely két belső szögének összege kisebb, mint 180°.

A 4. tétel az utolsó tételből következik.

4. Tétel. Egy háromszög külső szöge nagyobb, mint bármely vele nem szomszédos belső szög.

5. tétel. A háromszögek egyenlőségének harmadik jele. Ha egy háromszög három oldala rendre egyenlő egy másik háromszög három oldalával, akkor az ilyen háromszögek egybevágóak ().

1. példa Az ABC és DEF háromszögekben (4. ábra)

∠ A = ∠ E, AB = 20 cm, AC = 18 cm, DE = 18 cm, EF = 20 cm Hasonlítsa össze az ABC és DEF háromszögeket. A DEF háromszögben melyik szög egyenlő B szöggel?

Megoldás. Ezek a háromszögek az első jel szerint egyenlőek. A DEF háromszög F szöge egyenlő az ABC háromszög B szögével, mivel ezek a szögek a DE és AC egyenlő oldalakkal szemben helyezkednek el.

2. példa Az AB és a CD szakaszok (5. ábra) az O pontban metszik egymást, amely mindegyiknek a közepe. Mekkora a BD szakasz hossza, ha az AC szakasz 6 m?

Megoldás. Az AOC és a BOD háromszögek egyenlőek (az első kritérium szerint): ∠ AOC = ∠ BOD (függőleges), AO = OB, CO = OD (feltétel szerint).
E háromszögek egyenlőségéből az következik, hogy oldalaik egyenlőek, azaz AC = BD. De mivel a feltétel szerint AC = 6 m, akkor BD = 6 m.

Háromszög - meghatározás és általános fogalmak

A háromszög egy egyszerű sokszög, amely három oldalból áll, és azonos számú szöggel rendelkezik. Síkjait 3 pont és ezeket a pontokat páronként összekötő 3 szakasz határolja.

Bármely háromszög minden csúcsát, típusától függetlenül, nagy latin betűkkel jelöljük, oldalait pedig az ellentétes csúcsok megfelelő megjelölésével, csak nem nagybetűvel, hanem kicsivel. Így például egy A, B és C csúcsokkal rendelkező háromszögnek a, b, c oldalai vannak.

Ha egy háromszöget tekintünk az euklideszi térben, akkor ez egy geometriai alakzat, amely három olyan szakaszból áll, amelyek három pontot kötnek össze, amelyek nem ugyanazon az egyenesen helyezkednek el.

Figyelmesen nézze meg a fenti képet. Rajta az A, B és C pontok ennek a háromszögnek a csúcsai, szakaszait pedig a háromszög oldalainak nevezzük. Ennek a sokszögnek minden csúcsa szögeket alkot benne.

A háromszögek típusai

A háromszögek szögeinek nagysága szerint olyan fajtákra oszthatók, mint: Négyszögletes;
Akut szögletes;
Tompa.

A téglalap alakú háromszögek közé tartoznak azok, amelyeknek egy derékszöge van, a másik kettőnek hegyesszöge van.

Az éles háromszögek azok, amelyekben minden szög hegyesszögű.

És ha egy háromszögnek van egy tompaszöge és a másik két hegyesszöge, akkor az ilyen háromszög tompaszögnek minősül.

Mindannyian tökéletesen megértik, hogy nem minden háromszögnek van egyenlő oldala. És az oldalak hossza szerint a háromszögek feloszthatók:

Egyenlő szárú;
Egyenlő oldalú;
Sokoldalú.

Feladat: Rajzolj különböző típusú háromszögeket. Határozza meg őket. Milyen különbséget látsz köztük?

A háromszögek alapvető tulajdonságai

Bár ezek az egyszerű sokszögek szögeik vagy oldalaik méretében eltérhetnek egymástól, mindegyik háromszög rendelkezik azokkal az alapvető tulajdonságokkal, amelyek erre az ábrára jellemzőek.

Bármely háromszögben:

Minden szögének összege 180º.
Ha egyenlő oldalúhoz tartozik, akkor minden szöge 60º.
Egy egyenlő oldalú háromszögnek egyenlő és egyenlő szögei vannak.
Minél kisebb a sokszög oldala, annál kisebb a vele szemközti szög, és fordítva, minél nagyobb a szög a nagyobb oldallal szemben.
Ha az oldalak egyenlőek, akkor velük szemben egyenlő szögek vannak, és fordítva.
Ha veszünk egy háromszöget és kiterjesztjük az oldalát, akkor egy külső szöget kapunk. Ez egyenlő a belső szögek összegével.
Bármely háromszögben az oldala, függetlenül attól, hogy melyiket választja, kisebb lesz, mint a másik 2 oldal összege, de nagyobb, mint a különbségük:

1. a< b + c, a >időszámításunk előtt;
2. b< a + c, b >a–c;
3. c< a + b, c >a–b.

Gyakorlat

A táblázat a háromszög már ismert két szögét mutatja. Az összes szög összegének ismeretében keresse meg, hogy mekkora a háromszög harmadik szöge, és írja be a táblázatba:

1. Hány fokos a harmadik szög?
2. Milyen típusú háromszöghez tartozik?

Háromszögek ekvivalenciájának vizsgálata

aláírom

II jel

III jel

Egy háromszög magassága, felezője és mediánja

A háromszög magasságát - az ábra csúcsából az ellenkező oldalára húzott merőlegest a háromszög magasságának nevezzük. A háromszög minden magassága egy pontban metszi egymást. A háromszög mindhárom magasságának metszéspontja az ortocentruma.

Egy adott csúcsból húzott és azt a szemközti oldal közepén összekötő szakasz a medián. A mediánoknak, valamint a háromszög magasságainak van egy közös metszéspontja, a háromszög vagy súlypont úgynevezett súlypontja.

A háromszög felezőpontja egy olyan szakasz, amely egy szög csúcsát és a szemközti oldalon lévő pontot összeköti, és ezt a szöget is kettéosztja. A háromszög minden felezőpontja egy pontban metszi egymást, amelyet a háromszögbe írt kör középpontjának nevezünk.

A háromszög két oldalának felezőpontját összekötő szakaszt középvonalnak nevezzük.

Történelmi hivatkozás

Az olyan alakzatot, mint a háromszög, már az ókorban is ismerték. Ezt az alakot és tulajdonságait négyezer évvel ezelőtt említették az egyiptomi papiruszokon. Kicsit később, a Pitagorasz-tételnek és a Heron-képletnek köszönhetően, a háromszög tulajdonságainak tanulmányozása magasabb szintre került, de ez mégis több mint kétezer évvel ezelőtt történt.

A 15-16. században rengeteg kutatást kezdtek el a háromszög tulajdonságaival kapcsolatban, és ennek eredményeként létrejött egy olyan tudomány, mint a planimetria, amelyet „Új háromszöggeometriának” neveztek.

N. I. Lobacsevszkij orosz tudós nagyban hozzájárult a háromszögek tulajdonságainak megismeréséhez. Műveit később a matematikában, a fizikában és a kibernetikában is alkalmazták.

A háromszögek tulajdonságainak ismeretének köszönhetően olyan tudomány jött létre, mint a trigonometria. Szükségesnek bizonyult az ember számára gyakorlati igényeiben, mivel használata egyszerűen szükséges a térképek elkészítéséhez, a területek méréséhez, sőt különféle mechanizmusok tervezésekor is.

Melyik a leghíresebb háromszög, amit ismersz? Ez természetesen a Bermuda-háromszög! Ezt a nevet az 50-es években kapta a pontok (a háromszög csúcsai) földrajzi elhelyezkedése miatt, amelyen belül a meglévő elmélet szerint a vele kapcsolatos anomáliák keletkeztek. A Bermuda-háromszög csúcsai Bermuda, Florida és Puerto Rico.

Feladat: Milyen elméleteket hallott a Bermuda-háromszögről?

Tudtad, hogy Lobacsevszkij elméletében egy háromszög szögeinek összeadásakor azok összege mindig 180º-nál kisebb eredményt kap. Riemann geometriájában a háromszög összes szögének összege nagyobb, mint 180º, Eukleidész munkáiban pedig 180 fok.

Házi feladat

Fejts meg egy keresztrejtvényt egy adott témában

Kérdések a keresztrejtvényhez:

1. Mi a neve annak a merőlegesnek, amelyet a háromszög csúcsából a szemközti oldalon lévő egyenesre húzunk?
2. Hogyan nevezhető egy szóval egy háromszög oldalai hosszának összege?
3. Nevezzen meg egy háromszöget, amelynek két oldala egyenlő?
4. Nevezzen meg egy háromszöget, amelynek szöge 90°?
5. Mi a neve a háromszög legnagyobb oldalának?
6. Mi a neve egy egyenlő szárú háromszög oldalának?
7. Bármely háromszögben mindig hárman vannak.
8. Mi a neve annak a háromszögnek, amelynek valamelyik szöge meghaladja a 90°-ot?
9. Az ábránk tetejét a szemközti oldal közepével összekötő szakasz neve?
10. Egy egyszerű ABC sokszögben az A nagybetű...?
11. Mi a neve a háromszög szögét kettéosztó szakasznak?

Kérdések a háromszög témakörben:

1. Határozza meg.
2. Hány magasságú?
3. Hány felezőszöge van egy háromszögnek?
4. Mennyi a szögösszege?
5. Ennek az egyszerű sokszögnek milyen típusait ismeri?
6. Nevezze meg a háromszögek azon pontjait, amelyeket figyelemre méltónak nevezünk!
7. Milyen eszközzel mérhető a szög?
8. Ha az óramutatók 21 órát mutatnak. Milyen szöget zár be az óramutató?
9. Milyen szögben fordul az ember, ha a „balra”, „kör” parancsot kapja?
10. Milyen más definíciókat ismersz, amelyek olyan alakhoz kapcsolódnak, amelynek három szöge és három oldala van?

Tantárgyak > Matematika > Matematika 7. osztály

A legegyszerűbb sokszög, amelyet az iskolában tanulmányoznak, egy háromszög. A tanulók számára érthetőbb, és kevesebb nehézségbe ütközik. Annak ellenére, hogy vannak különböző típusú háromszögek, amelyek különleges tulajdonságokkal rendelkeznek.

Milyen alakzatot nevezünk háromszögnek?

Három pont és szegmens alkotja. Az elsőket csúcsnak, a másodikat oldalnak nevezzük. Ezenkívül mindhárom szegmenst úgy kell összekötni, hogy szögek alakuljanak ki közöttük. Innen származik a „háromszög” alak neve.

Különbségek a nevek között a sarkokban

Mivel lehetnek hegyesek, tompaszögűek és egyenesek, a háromszögek típusát ezek a nevek határozzák meg. Ennek megfelelően az ilyen alakoknak három csoportja van.

• Első. Ha egy háromszög minden szöge hegyes, akkor hegyesnek nevezzük. Minden logikus.

• Második. Az egyik szög tompa, ami azt jelenti, hogy a háromszög tompa. Nem is lehetne egyszerűbb.

• Harmadik. Van egy 90 fokkal egyenlő szög, amit derékszögnek nevezünk. A háromszög téglalap alakú lesz.

Különbségek a nevek között az oldalakon

Az oldalak jellemzőitől függően a következő típusú háromszögeket különböztetjük meg:

az általános eset a scalene, amelyben minden oldal tetszőleges hosszúságú;

egyenlő szárúak, amelyeknek két oldala azonos számértékekkel rendelkezik;

egyenlő oldalú, minden oldalának hossza azonos.

Ha a probléma nem határoz meg egy adott típusú háromszöget, akkor tetszőleges háromszöget kell rajzolnia. Amelyben minden sarok éles, és az oldalak különböző hosszúságúak.

Minden háromszögben közös tulajdonságok

1. Ha összeadjuk a háromszög összes szögét, akkor 180º-nak megfelelő számot kapunk. És nem mindegy, hogy milyen típusú. Ez a szabály mindig érvényes.
2. A háromszög bármely oldalának számértéke kisebb, mint a másik kettőé összeadva. Ráadásul ez nagyobb, mint a különbségük.
3. Minden külső szögnek van egy értéke, amelyet két olyan belső szög hozzáadásával kapunk, amelyek nem szomszédosak. Sőt, mindig nagyobb, mint a vele szomszédos belső.
4. A legkisebb szög mindig a háromszög kisebbik oldalával szemben van. És fordítva, ha az oldal nagy, akkor a szög a legnagyobb.

Ezek a tulajdonságok mindig érvényesek, függetlenül attól, hogy milyen típusú háromszögeket veszünk figyelembe a feladatokban. A többi konkrét tulajdonságokból következik.

Egy egyenlő szárú háromszög tulajdonságai

• Az alappal szomszédos szögek egyenlőek.
• Az alaphoz húzott magasság egyben a medián és a felező.
• A háromszög oldalsó oldalaira épített magasságok, mediánok és felezők rendre megegyeznek egymással.

Az egyenlő oldalú háromszög tulajdonságai

Ha van ilyen ábra, akkor az összes fentebb leírt tulajdonság igaz lesz. Mert az egyenlő oldalú mindig egyenlő szárú lesz. De nem fordítva: egy egyenlő szárú háromszög nem feltétlenül egyenlő oldalú.

• Minden szöge egyenlő egymással, és értéke 60º.
• Egy egyenlő oldalú háromszög bármely mediánja a magassága és a felezőpontja. Ráadásul mind egyenlőek egymással. Értékük meghatározásához van egy képlet, amely az oldal és a 3 négyzetgyökének szorzatából áll, osztva 2-vel.

Derékszögű háromszög tulajdonságai

• Két hegyesszög összeadva 90º.
• A hypotenus hossza mindig nagyobb, mint bármelyik lábé.
• A hipotenuszhoz húzott medián számértéke egyenlő a felével.
• A láb azonos értékkel egyenlő, ha 30°-os szöggel szemben helyezkedik el.
• A 90º-os csúcsból húzott magasságnak van bizonyos matematikai függése a lábaktól: 1/n 2 = 1/a 2 + 1/b 2. Itt: a, b - lábak, n - magasság.

Problémák a különböző típusú háromszögekkel

1. sz. Adott egy egyenlő szárú háromszög. A kerülete ismert és egyenlő 90 cm. Meg kell találnunk az oldalait. Kiegészítő feltételként: az oldalsó oldal 1,2-szer kisebb, mint az alap.

A kerület értéke közvetlenül függ a keresendő mennyiségektől. Mindhárom oldal összege 90 cm. Most meg kell emlékezni a háromszög jelére, amely szerint egyenlő szárú. Vagyis a két oldal egyenlő. Létrehozhat egy egyenletet két ismeretlennel: 2a + b = 90. Itt a az oldal, b az alap.

Most itt az ideje egy további feltételnek. Ezt követően a második egyenletet kapjuk: b = 1,2a. Ezt a kifejezést helyettesítheti az elsővel. Kiderül: 2a + 1,2a = 90. Transzformációk után: 3,2a = 90. Innen a = 28,125 (cm). Most már könnyű kideríteni az alapot. Ezt a legjobb a második feltételből megtenni: b = 1,2 * 28,125 = 33,75 (cm).

Az ellenőrzéshez három értéket adhat hozzá: 28,125 * 2 + 33,75 = 90 (cm). Úgy van.

Válasz: A háromszög oldalai 28,125 cm, 28,125 cm, 33,75 cm.

2. sz. Egy egyenlő oldalú háromszög oldala 12 cm, ki kell számítani a magasságát.

Megoldás. A válasz megtalálásához elég visszatérni ahhoz a pillanathoz, ahol a háromszög tulajdonságait leírták. Ez a képlet egy egyenlő oldalú háromszög magasságának, mediánjának és felezőjének meghatározásához.

n = a * √3 / 2, ahol n a magasság és a az oldal.

A behelyettesítés és a számítás a következő eredményt adja: n = 6 √3 (cm).

Ezt a képletet nem kell megjegyezni. Elég megjegyezni, hogy a magasság két téglalap alakúra osztja a háromszöget. Sőt, kiderül, hogy egy láb, és a benne lévő hipotenusz az eredeti oldala, a második láb az ismert oldal fele. Most le kell írnia a Pitagorasz-tételt, és le kell vezetnie a magasság képletét.

Válasz: magassága 6√3 cm.

3. sz. Adott MKR egy háromszög, amelyben a K szög 90 fokot tesz ki. Az MR és KR oldalak ismertek, ezek rendre 30, illetve 15 cm. Meg kell találnunk a P szög értékét.

Megoldás. Ha rajzot készít, világossá válik, hogy az MR a hipotenusz. Ráadásul kétszer akkora, mint a KR oldala. Ismét a tulajdonságokhoz kell fordulnia. Az egyik a szögekhez kapcsolódik. Ebből világosan látszik, hogy a KMR szög 30º. Ez azt jelenti, hogy a kívánt P szög 60° lesz. Ez egy másik tulajdonságból következik, amely szerint két hegyesszög összegének 90º-nak kell lennie.

Válasz: P szög 60º.

4. sz. Meg kell találnunk egy egyenlő szárú háromszög összes szögét. Ismeretes, hogy az alapnál bezárt külső szög 110º.

Megoldás. Mivel csak a külső szög van megadva, ezt kell használni. Kibontott szöget zár be a belsővel. Ez azt jelenti, hogy összesen 180º-t fognak adni. Ez azt jelenti, hogy a háromszög alapjának szöge 70º lesz. Mivel egyenlő szárú, a második szög is azonos értékű. A harmadik szög kiszámítása hátra van. Az összes háromszögre jellemző tulajdonság szerint a szögek összege 180º. Ez azt jelenti, hogy a harmadik 180º - 70º - 70º = 40º lesz.

Válasz: a szögek 70º, 70º, 40º.

5. sz. Ismeretes, hogy egy egyenlő szárú háromszögben az alappal átellenes szög 90º. Az alapon egy pont van bejelölve. A derékszöggel összekötő szakasz 1:4 arányban osztja fel. Meg kell találni a kisebb háromszög összes szögét.

Megoldás. Az egyik szög azonnal meghatározható. Mivel a háromszög derékszögű és egyenlő szárú, az alapjában fekvő háromszög mindegyike 45º, azaz 90º/2.

A második segít megtalálni a feltételben ismert összefüggést. Mivel egyenlő 1 és 4 között, a részek, amelyekre fel van osztva, csak 5. Ez azt jelenti, hogy egy háromszög kisebb szögének meghatározásához 90º/5 = 18º szükséges. A harmadikat ki kell deríteni. Ehhez le kell vonnia a 45º-ot és a 18º-ot a 180º-ból (a háromszög összes szögének összege). A számítások egyszerűek, és a következőt kapod: 117º.

Szabványos megnevezések

Háromszög csúcsokkal A, BÉs C jelzésű (lásd az ábrát). A háromszögnek három oldala van:

A háromszög oldalainak hosszát kis latin betűk (a, b, c) jelölik:

Egy háromszögnek a következő szögei vannak:

A megfelelő csúcsok szögértékeit hagyományosan görög betűkkel (α, β, γ) jelölik.

A háromszögek egyenlőségének jelei

Egy háromszög az euklideszi síkon egyedileg (kongruenciáig) határozható meg az alábbi alapelemhármasokkal:

1. a, b, γ (két oldal egyenlősége és a közöttük lévő szög);
2. a, β, γ (egyenlőség az oldalon és két szomszédos szög);
3. a, b, c (három oldal egyenlősége).

A derékszögű háromszögek egyenlőségének jelei:

1. a láb és a hypotenus mentén;
2. két lábon;
3. a láb és a hegyesszög mentén;
4. a hypotenusa és a hegyesszög mentén.

A háromszög egyes pontjai „párosítva” vannak. Például van két olyan pont, ahonnan minden oldal 60°-os vagy 120°-os szögben látható. Úgy hívják Torricelli pöttyök. Két olyan pont is van, amelyek oldalaira vetületei egy szabályos háromszög csúcsaiban vannak. ez - Apollonius rámutat. Pontokat és hasonlókat hívnak Brocard pontok.

Közvetlen

Bármely háromszögben a súlypont, az ortocentrum és a körülírt kör középpontja ugyanazon az egyenesen fekszik, ún. Euler vonala.

A körülírt kör középpontján és a Lemoine-ponton áthaladó egyenest nevezzük Brocard tengely. Az Apollonius-pontok ráfekszenek. A Torricelli pont és a Lemoine pont is ugyanazon az egyenesen fekszik. A háromszög szögeinek külső felezőinek alapjai ugyanazon az egyenesen fekszenek, ún külső felezők tengelye. Az derékszögű háromszög oldalait tartalmazó egyenesek és a háromszög oldalait tartalmazó egyenesek metszéspontjai szintén ugyanazon az egyenesen fekszenek. Ezt a vonalat hívják ortocentrikus tengely, merőleges az Euler egyenesre.

Ha egy háromszög körülírt körén veszünk egy pontot, akkor a háromszög oldalaira eső vetületei ugyanazon az egyenesen lesznek, ún. Simson egyenes ez a pont. A Simson-féle átlósan ellentétes pontokból álló egyenesek merőlegesek.

Háromszögek

• Olyan háromszöget nevezünk, amelynek csúcsai egy adott ponton keresztül vannak húzva cevian háromszög ez a pont.
• Olyan háromszöget nevezünk, amelynek csúcsai egy adott pont vetületei az oldalakra gyep vagy pedál háromszög ez a pont.
• Az a háromszög, amelynek csúcsai a csúcsokon át húzott egyenesek és a körülírt kör adott pontjainak második metszéspontjában vannak, ún. kerületi háromszög. A kerületi háromszög hasonló a gyep háromszögéhez.

Körök

• Beírt kör- egy kör, amely a háromszög mindhárom oldalát érinti. Ő az egyetlen. A beírt kör középpontját ún incenter.
• Circumcircle- a háromszög mindhárom csúcsán áthaladó kör. A körülírt kör is egyedi.
• Kerülje el- a háromszög egyik oldalát érintő kör és a másik két oldal folytatása. Három ilyen kör van egy háromszögben. Radikális középpontjuk a mediális háromszög beírt körének középpontja, ún Spiker álláspontja.

A háromszög három oldalának felezőpontjai, három magasságának alapjai és a csúcsát az ortocentrummal összekötő három szakasz felezőpontjai egy körön vannak, az ún. kilenc pontból álló kör vagy Euler kör. A kilencpontos kör középpontja az Euler-egyenesen fekszik. Egy kilenc pontból álló kör érint egy beírt kört és három kört. A beírt kör és a kilenc pontból álló kör közötti érintési pontot nevezzük Feuerbach pont. Ha minden csúcsból a háromszögből kifelé fektetjük az oldalakat tartalmazó egyeneseket, a szemközti oldalakkal egyenlő hosszúságú ortéziseket, akkor a kapott hat pont ugyanazon a körön található - Conway kör. Bármely háromszögbe három kör írható úgy, hogy mindegyik érinti a háromszög két oldalát és két másik kört. Az ilyen köröket hívják Malfatti körök. A hat háromszög körülírt köreinek középpontjai, amelyekre a háromszöget mediánok osztják, egy körön helyezkednek el, amelyet ún. Lamun kerülete.

Egy háromszögnek három köre van, amelyek érintik a háromszög és a körülírt kör két oldalát. Az ilyen köröket hívják félig feliratos vagy Verrier körök. A Verrier-körök érintési pontjait a körülírt körrel összekötő szakaszok egy pontban metszik egymást, ún. Verrier álláspontja. Egy homotétium középpontjaként szolgál, amely a körülírt kört írt körré alakítja. A Verrier-körök és az oldalak érintkezési pontjai egy egyenesen fekszenek, amely átmegy a beírt kör középpontján.

A beírt kör érintési pontjait a csúcsokkal összekötő szakaszok egy pontban metszik egymást, ún. Gergonne pont, és a csúcsokat a körkörök érintési pontjaival összekötő szakaszok Nagel pont.

Ellipszisek, parabolák és hiperbolák

Beírt kúp (ellipszis) és annak perspektívája

Egy háromszögbe végtelen számú kúp (ellipszis, parabola vagy hiperbola) írható. Ha beírunk egy tetszőleges kúpot egy háromszögbe, és az érintőpontokat összekötjük egymással szemközti csúcsokkal, akkor az így kapott egyenesek egy pontban metszik egymást, ún. kilátás priccs. A sík bármely olyan pontjához, amely nem fekszik az oldalán vagy annak meghosszabbításán, ezen a ponton van egy beírt kúp és egy perspector.

A leírt Steiner-ellipszis és a gócokon áthaladó cevók

Egy ellipszist beleírhat egy háromszögbe, amely középen érinti az oldalakat. Az ilyen ellipszist nevezzük feliratú Steiner-ellipszis(perspektívája a háromszög súlypontja lesz). A körülírt ellipszist, amely az oldalakkal párhuzamos csúcsokon áthaladó egyeneseket érinti, ún. a Steiner-ellipszis írja le. Ha egy háromszöget affin transzformációval („ferdítéssel”) szabályos háromszöggé alakítunk, akkor a beírt és körülírt Steiner-ellipszis beírt és körülírt körré alakul. A leírt Steiner-ellipszis fókuszpontjain (Scutin-pontok) keresztül húzott Chevian-vonalak egyenlőek (Scutin-tétel). Az összes leírt ellipszis közül a leírt Steiner ellipszis területe a legkisebb, és az összes feliratos ellipszis közül a beírt Steiner ellipszis területe a legnagyobb.

Brocard ellipszis és vizsgálója - Lemoine pont

Olyan ellipszist nevezünk, amelynek fókuszai a Brocard-pontokban vannak Brocard ellipszis. Perspektívája a Lemoine-pont.

A beírt parabola tulajdonságai

Kiepert parabola

A beírt parabolák kilátásai a leírt Steiner-ellipszisen vannak. Egy beírt parabola fókusza a körülírt körön van, és a direktrix áthalad az ortocentrumban. Egy háromszögbe írt parabolát, amelynek az Euler-irányelve az ún. Kiepert parabola. Perspektívája a körülírt kör és a körülírt Steiner-ellipszis negyedik metszéspontja, ún. Steiner pont.

Kiepert hiperbolája

Ha a leírt hiperbola átmegy a magasságok metszéspontján, akkor egyenlő oldalú (azaz aszimptotái merőlegesek). Egy egyenlő oldalú hiperbola aszimptotáinak metszéspontja a kilenc pontból álló körön található.

Átváltozások

Ha a csúcsokon és az oldalakon nem fekvő pontokon átmenő egyenesek és azok kiterjesztései a megfelelő felezőkhöz képest tükröződnek, akkor a képeik is egy pontban metszik egymást, amit ún. izogonálisan konjugált az eredeti (ha a pont a körülírt körön feküdt, akkor a kapott egyenesek párhuzamosak lesznek). Számos figyelemreméltó pontpár izogonálisan konjugált: a körülírt középpont és az ortocentrum, a centroid és a Lemoine-pont, a Brocard-pontok. Az Apollonius-pontok izogonálisan konjugáltak a Torricelli-pontokhoz, és a beírt kör középpontja izogonálisan konjugált önmagához. Az izogonális ragozás hatására az egyenesek körülírt kúpokká alakulnak, a körülírt kúpok pedig egyenesekké. Így a Kiepert-hiperbola és a Brocard-tengely, a Jenzabek-hiperbola és az Euler-egyenes, a Feuerbach-hiperbola és a beírt és körülírt körök középvonala izogonálisan konjugált. Az izogonálisan konjugált pontok háromszögeinek körülírt körei egybeesnek. A beírt ellipszisek gócai izogonálisan konjugáltak.

Ha szimmetrikus cevian helyett olyan cevian-t veszünk, amelynek alapja olyan távol van az oldal közepétől, mint az eredetié, akkor az ilyen cevianok is egy ponton metszik egymást. A kapott transzformációt ún izotómiás konjugáció. Az egyeneseket is leírt kúpokká alakítja. A Gergonne és Nagel pontok izotómiailag konjugáltak. Az affin transzformációk során az izotómiailag konjugált pontok izotómiailag konjugált pontokká alakulnak. Izotómiás konjugációval a leírt Steiner-ellipszis a végtelenül távoli egyenesbe megy.

Ha a háromszög oldalai által a körülírt körből levágott szakaszokba egy adott ponton keresztül húzott cevák tövében az oldalakat érintő köröket írunk, majd ezeknek a köröknek az érintőpontjait összekötjük az ellentétes csúcsú körülírt körrel, akkor az ilyen egyenesek egy pontban metszik egymást. Olyan síktranszformációt hívunk, amely az eredeti pontot illeszti a kapott ponthoz izocirkuláris átalakulás. Az izogonális és izotómikus konjugátumok összetétele egy önmagával való izocirkuláris átalakulás összetétele. Ez a kompozíció egy projektív transzformáció, amely a háromszög oldalait a helyükön hagyja, és a külső felezők tengelyét a végtelenben egyenessé alakítja.

Ha egy bizonyos pont Chevian-háromszögének oldalait folytatjuk, és azok metszéspontjait a megfelelő oldalakkal vesszük, akkor a kapott metszéspontok egy egyenesen fognak feküdni, ún. trilineáris poláris kiindulópont. Az ortocentrikus tengely az ortocentrum trilineáris polárisa; a beírt kör középpontjának trilineáris polárisa a külső felezők tengelye. A körülírt kúpon fekvő pontok háromvonalas polárisai egy pontban metszik egymást (a körülírt körnél ez a Lemoine-pont, egy körülírt Steiner-ellipszisnél a súlypont). Egy izogonális (vagy izotómikus) konjugátum és egy trilineáris poláris összetétele dualitás-transzformáció (ha egy pont izogonálisan (izotómiailag) konjugált egy ponthoz egy pont trilineáris polárisán fekszik, akkor egy pont trilineáris polárisa izogonálisan (izotómiailag) ponthoz konjugálva egy pont trilineáris polárisán fekszik).

Kocka

Arányok háromszögben

Jegyzet: ebben a szakaszban, , a hossza a három oldala a háromszög, és , a szögek fekvő rendre szemben ezzel a három oldallal (ellentétes szögek).

Háromszög egyenlőtlenség

Egy nem degenerált háromszögben a két oldala hosszának összege nagyobb, mint a harmadik oldal hossza, egy degenerált háromszögben egyenlő. Más szavakkal, a háromszög oldalainak hossza a következő egyenlőtlenségekkel függ össze:

A háromszög egyenlőtlenség a metrikák egyik axiómája.

Háromszög szögösszeg tétel

Szinusztétel

,

ahol R a háromszög köré körülírt kör sugara. A tételből az következik, hogy ha a< b < c, то α < β < γ.

Koszinusz tétel

Érintőtétel

Egyéb arányok

A metrikus arányok egy háromszögben a következők:

Háromszögek megoldása

A háromszög ismeretlen oldalainak és szögeinek az ismert oldalak alapján történő kiszámítását a történelemben „megoldó háromszögeknek” nevezték. A fenti általános trigonometrikus tételeket használjuk.

Egy háromszög területe

Különleges esetek Jelölés

A területre a következő egyenlőtlenségek érvényesek:

Egy háromszög térbeli területének kiszámítása vektorok segítségével

Legyenek a háromszög csúcsai a , , pontokban.

Vezessük be a területvektort. Ennek a vektornak a hossza megegyezik a háromszög területével, és a háromszög síkjára merőlegesen irányul:

Állítsuk be , ahol , , a háromszög vetületei a koordinátasíkra. Ahol

és hasonlóan

A háromszög területe .

Egy másik lehetőség az oldalak hosszának kiszámítása (a Pitagorasz-tétel segítségével), majd a Heron-képlet segítségével.

Háromszög tételek

Desargues tétele: ha két háromszög perspektivikus (a háromszögek megfelelő csúcsain átmenő egyenesek egy pontban metszik egymást), akkor a megfelelő oldalaik ugyanazon az egyenesen metszik egymást.

Sonda tétele: ha két háromszög perspektivikus és ortológ (egy háromszög csúcsaiból a háromszög megfelelő csúcsaival szemközti oldalra húzott merőlegesek, és fordítva), akkor mindkét ortológia középpontja (e merőlegesek metszéspontja) és a középpont A perspektíva ugyanazon az egyenesen fekszik, merőleges a perspektíva tengelyére (egyenes Desargues tételéből).