Mit jelent a vetítés a tengelyen. A fő képletek a tengelyen lévő vektoros vetítés használatával

de. A PQ-tengelyen lévő A pont vetületét (4. ábra) az alapnak és a merőlegesnek nevezik, amely ebből a pontból csökkent. Ez a tengely, amelyen a tervezésünket az előrejelzések tengelyének nevezik.

B Hagyja, hogy két tengely és a B vektor az 1. ábrán látható. öt.

A vektor vektora az elejének és a végének vetülete - a vektor végének vetítését a B vektor a PQ-tengelyre vetítik, így van írva;

Néha a PQ mutató nem jelenik meg az alján, ez azokban az esetekben történik, amikor a PQ mellett nincs más asig, amelyen azt tervezzük.

tól től. I. tétel. Az ugyanazon a tengelyen fekvő vektorok értékei magukban foglalják az előrejelzések értékét bármely tengelyen.

Hagyja, hogy a tengelyek és az ábrán látható tengelyek és vektorok 6. A háromszögek hasonlósága alapján látható, hogy a vektorok hossza a vetületek hossza, azaz

Mivel a rajzok vektorai különböző irányokba irányulnak, ezért az értékek különböző VNS-vel rendelkeznek,

Nyilvánvaló, hogy az előrejelzések értékei más jelzéssel is rendelkeznek:

helyettesítő (2) a (3) bekezdésben (1), kapunk

A fordított jelek megváltoztatása

Ha a vektorok egyformán irányulnak, akkor lesz egy irány és előrejelzésük; A (2) és (3) formulákban nem lesz mínusz jelek. A (2) és (3) helyettesítő (1) helyettesítő (1), azonnal megkapjuk az egyenlőséget (4). Tehát a tétel minden esetben bizonyítható.

d. II. Tétel. A vektorvágás nagysága bármely tengelyen megegyezik a vektor nagyságával, szorozva a vetületek és a vektor tengely közötti szög koszinósságával, hagyja, hogy a vektor tengelye az 1. ábrán látható módon. 7. A tengelyével és a tengelyek metszéspontjából egyformán irányítjuk a tengely metszéspontjától. Hagyja, hogy a hossza egyenlő legyen. Akkor az ő nagysága

A mozgalom vektoros leírása hasznos, hiszen egy rajzban mindig sok különböző vektorokat ábrázolhat, és a szemünk előtti mozgalom vizuális "képet" kaphat. Azonban, hogy használják-e egy vonalzót és a szállítást, hogy olyan cselekedeteket készítsenek vektorokkal, nagyon nehézkesek. Ezért ezek a tevékenységek csökkentik a pozitív és negatív számokkal rendelkező intézkedéseket - Vektorok előrejelzéseit.

Vektor előrejelzése a tengelyen A tervezett vektor moduljának termékével megegyező skaláris értéket hívnak a vektor és a kiválasztott koordináta tengely között.

A bal rajzoláson látható a mozgás vektora, amelynek modulja 50 km, és iránya tompaszög 150 ° x tengely irányban. A definíció használatával keresse meg az x tengelyen való mozgás vetületét:

sx \u003d s · cos (α) \u003d 50 km · cos (150 °) \u003d -43 km

Mivel a 90 ° -os tengely közötti szög könnyen kiszámítható, hogy a mozgás iránya 60 ° -os szögű szöget képez az Y tengely irányával. A definíció használatával megtaláljuk az Y tengelyen való mozgás vetületét:

sy \u003d s · cos (β) \u003d 50 km · cos (60 °) \u003d +25 km

Amint láthatja, ha a vektor iránya éles szöget képez a tengely irányával, a vetítés pozitív; Ha a vektor iránya hülye szöget képez a tengely irányával, a vetítés negatív.

A jobb rajz a sebességvektort mutatja, amelynek modulja 5 m / s, és az irány 30 ° -os szöget képez az X tengely irányával. Meg fogjuk találni a vetületet:

υx \u003d υ · cos (α) \u003d 5 m / c · cos (30 °) \u003d +4,3 m / s
υs \u003d υ · cos (β) \u003d 5 m / s · cos (120 °) \u003d -2,5 m / c

Sokkal könnyebb megtalálni a vektorok előrejelzéseit a tengelyen, ha a tervezett vektorok párhuzamosak vagy merőlegesek a kiválasztott tengelyekre. Megjegyezzük, hogy a párhuzamosság esetében két lehetőség van: a tengely vektora van, és a vektor egyenértékű a tengelynek, és a merőleges létezés esetében csak egy lehetőség van.

A vektor vetülete, a merőleges tengely mindig nulla (lásd Sy és Ay a bal rajzon, valamint SX és υx a jobb rajzon). Valóban, a vektor, merőleges tengely, a szög között, és a tengely 90 °, így a koszinusz nulla, ez azt jelenti, hogy a vetítés nulla.

A tengelyrel bevont vektor előrejelzése pozitív, és egyenlő a moduljával, például SX \u003d + S (lásd a bal rajzot). Valójában a tengelyhez bevont vektorhoz a szög és a tengely közötti szög nulla, és a Cosine "+1", azaz a vetítés egyenlő a vektor hosszával: sx \u003d x - xo \u003d + s .

A vektor vetülete, az anti-irányított tengely negatív, és megegyezik a mínusz jelzéssel ellátott moduljával, például sy \u003d -s (lásd a jobb rajzot). Valóban, a vektor, egy anti-sík tengely közötti szög, és a tengely 180 °, és a koszinusz „-1”, azaz, a kiemelkedés hosszával megegyező a vektor, hozott negatív előjellel : Sy \u003d y - yo \u003d -s.

Mindkét rajz jobb részén más esetek is megjelennek, ha a vektorok párhuzamosak az egyik koordináta tengelyével és merőlegesek a másikra. Felajánljuk Önnek, hogy megbizonyosodjon róla, hogy ezekben az esetekben az előző bekezdésekben megfogalmazott szabályokat is teljesíti.

A független megoldás feladata lesz, amelyhez láthatja a válaszokat.

Fogalmi vektor

Mielőtt megtanulnád a vektorokról és a műveletekről, hangoljon be a könnyű feladat megoldásához. Vannak vektor a végrehajtás és vektor az innovatív képességek. A vektor vállalati vezet, hogy gól 1, és a vektor az innovatív képességek - a cél 2. A játékszabályok olyanok, hogy nem tudja mozgatni azonnal az irányban a két vektor és eléri két gólt egyszerre. Vektorok kölcsönhatásba lépnek, vagy ha matematikai nyelvet mondunk, egyes műveleteket a vektorok felett végzik. Ennek a műveletnek az eredménye az eredmény "eredmény" lesz, ami a 3. célhoz vezet.

És most mondd meg nekem: milyen művelet a vektorok "Enterprise" és az "innovatív képességek" az "eredmény" vektor? Ha nem tudsz azonnal elmondani, ne veszítse el. Ahogy tanulmányozod ezt a leckét, válaszolhat erre a kérdésre.

Ahogy már láttuk fent, a vektor szükségszerűen egy bizonyos pontból megy A. Egyes pontig B.. Következésképpen minden vektor nem csak numerikus érték -, hanem fizikai és geometriai - tájolás. Ebből a kimenetből az első, a vektor legegyszerűbb meghatározása. Tehát a vektor egy irányított szakasz, amely a pontból származik. A. Mutatni B.. Ezt említik.

És másra is megy vektoros műveletek Meg kell ismernünk egy másik vektor definíciót.

A vektor a pont bemutató típusa, amelyhez valamilyen kiindulópontból szeretne elérni. Például egy háromdimenziós vektort általában formában írnak (x, y, z) . Egyszerűen beszélve ezek a számok azt jelentik, hogy milyen messzire kell mennie három különböző irányba, hogy elérje a pontot.

Legyen vektor adandó. Azzal, hogy x. = 3 (jobb oldali pontok jobbra) y. = 1 (Bal oldali pontok előre), z. = 5 (A pont alatt van egy lépcsőház). Ebből az adatoknak megfelelően egy pontot találsz, ha a jobb keze által jelzett irányban 3 métert halad át, majd 1 méterrel a bal kezed által jelzett irányban, majd a lépcsőház vár rád, és 5 méterrel emelkedik, Végül megtalálja magát a végponton.

Minden más kifejezés a fent bemutatott magyarázatok tisztázása, amelyek a vektorok különböző műveleteihez szükségesek, azaz a gyakorlati problémák megoldásai. Menjünk át ezeket a szigorúbb definíciókat, megállítsuk a vektorok tipikus feladatait.

Fizikai példák A vektor nagysága lehet az anyagpont elmozdulása az űrben, sebességgel és gyorsulással, amely ezen a ponton, valamint az erővel járó erő.

Geometriai vektor kétdimenziós és háromdimenziós térben bemutatva irányított vágás. Ez egy olyan szegmens, amely megkülönbözteti az elejét és a végét.

Ha egy A. - a vektor kezdete, és B. - A vége, akkor a vektort szimbólum vagy egy kisbetű jelzi. Az ábrán a vektor végét a nyíl jelzi (1. ábra)

Lena (vagy modul) A geometriai vektort a szegmens hosszának nevezik

Két vektorot hívnak egyenlő Ha párhuzamos átvitelével kombinálhatók (az irányok véletlenségalakkal), azaz pl. Ha párhuzamosak, ugyanabban az oldalon, és egyenlő hosszúságúak.

A fizikát gyakran figyelembe veszik rögzített vektorok, meghatározott alkalmazási pont, hosszú és irány. Ha a vektor alkalmazási pont nem számít, akkor átvihető, megtarthatja a hosszúság és az irány bármely pontját. Ebben az esetben a vektort hívják ingyenes. Egyetértünk azzal, hogy csak úgy gondoljuk laza vektorok.

Lineáris műveletek a geometriai vektorokban

Vektor szorzása a szám szerint

Munka vektor szám A vektort az úgynevezett vektor a vektorból a stretch (with) vagy a tömörítés (AT) időnként, és a vektor iránya megmarad, ha az ellenkezőjére változik. (2. ábra)

A meghatározásból következik, hogy a vektorok és \u003d mindig egy vagy párhuzamos egyenes vonalon találhatók. Az ilyen vektorokat hívják kollekor. (Azt is lehet mondani, hogy ezek a vektorok párhuzamosak, de a vektor algebra, szokás mondani, hogy „egyenesbe”.) Eléggé és fordított: if vektorok és egyenesre, akkor jár a hozzáállás

Következésképpen az egyenlőség (1) két vektor kollineárius állapotát fejezi ki.

A vektorok hozzáadása és kivonása

A vektorok hozzáadásával tudnia kell összeg A vektorokat nevezik a vektor, az elején, amely egybeesik az elején a vektor, és a végén - a végén a vektor, feltéve, hogy az elején a vektor alkalmazható a végén a vektor. (3. ábra)

Ez a meghatározás elosztható bármilyen véges vektorhoz. Adja meg az adott helyet n. Szabad vektorok. Ha hozzá több vektorok az összegük, a záró vektor vesszük, az elején, amely egybeesik az elején az első vektort és a végén - a végén az utolsó vektor. Vagyis, ha a vektor vége a vektor kezdetét, és a vektor végére - a vektor kezdete stb. És végül, a végén a vektor - a vektor kezdete, a vektorok összege a záróvektor , amelynek kezdete egybeesik az első vektor kezdetével, és a vége - az utolsó vektor végével. (4. ábra)

Az összetevőket a vektor komponenseinek nevezik, és a formulált szabályt - szigorú poligon. Ez a sokszög nem lehet lapos.

Ha a vektort a -1-es számra szorozza, az ellenkezőválasztást kapjuk. Vektorok és ugyanolyan hosszúságú és ellentétes irányokkal rendelkeznek. Összegük adja atomvektor, amelynek hossza nulla. A nulla vektor iránya nincs meghatározva.

A vektor algebra-ban nincs szükség külön kivonási műveletre: a vektor a vektor azt jelenti, hogy add hozzá a vektor az ellenkező vektor, azaz.

1. példa. Egyszerűsítse a kifejezést:

.

,

vagyis a vektorok összecsukhatók és megszorozhatók számokkal, valamint polinomokkal (különösen a kifejezések egyszerűsítésére szolgáló feladatok). Általában a vektorok munkáinak kiszámítása előtt a lineárisan hasonló kifejezéseket egyszerűsíteni kell a vektorok kiszámítása előtt.

2. példa. Vektorok és diagonálok ABCD Parallelogramként szolgálnak (4a. Ábra). Expressz keresztül és vektorok, és amelyek a párhuzamos felek.

Döntés. Az átlói metszéspontja A Parallelogram felosztja mindegyik átlós metszetét. A vektorok állapotában szükséges vektorok hossza a kívánt háromszögvel rendelkező vektorok összegének felét találja, vagy a különbségek felét (a vektor irányától függően egy átlós), vagy Az utóbbi esetben a mínusz jelzéssel vett összeg fele. Az eredmény - az állapotban szükséges vektorok:

Minden oka van, hogy azt hinni, hogy most helyesen válaszoltál a "Enterprise" és az "innovatív képességek" vektorról a lecke elején. A helyes válasz: Ezek a vektorok fölött van.

Vektoros feladatok megoldása, majd olvassa el a megoldásokat

Hogyan lehet megtalálni a vektorok összegének hosszát?

Ez a feladat különleges helyet foglal el a vektorokkal kapcsolatos műveletekben, mivel ez magában foglalja a trigonometrikus tulajdonságok használatát. Tegyük fel, hogy a következő feladat van:

Danged vektor vektorok És ezeknek a vektoroknak a hossza. Keresse meg a különbség hosszát a vektorok között.

Megoldások erre és más hasonló feladatokra és magyarázatokra, hogyan kell megoldani őket - a leckében " Vektorok hozzáadása: a vektorok összegének hossza és a COSINE tétel ".

És ellenőrizheti az ilyen feladatok megoldását Számológép online "A háromszög ismeretlen oldala (vektorok és koszinusz tételek hozzáadása)" .

És hol vannak a vektorok munkái?

A vektor a vektoron működik, nem lineáris műveletek, és külön fontolóra kerülnek. És van órák "Skalar termék vektorok" és "vektor és vegyes vektorok".

Vektoros vetítés a tengelyen

A tengelyen lévő vektor kialakítása megegyezik a vektor és a tengely közötti szögben a tervezett vektor hosszúságának termékével:

Mint tudod, a vetítési pont A. A közvetlen (sík) a merőleges alapja, amely ebből a pontból az egyenes vonalhoz (sík) csökkent.

Legyen - tetszőleges vektor (5. ábra), a kezdetének egy és - előrejelzései (pont) A.) és a vége (pontok) B.) a tengelyen l.. (A pont vetületének kiépítése A.) Töltsön közvetlenül a ponton A. A vonalra merőleges sík. A közvetlen és a sík metszéspontja meghatározza a kívánt vetületet.

Komponensvektor az L. tengelyen Ez a tengelyen fekvő vektor úgynevezett, amelynek kezdete egybeesik az elején, és a végén - a vektor végét.

Vektor előrejelzése a tengelyen l. A számot hívják

,

egyenlő az ebből a tengelyen lévő komponensvektor hosszával, plusz jelzéssel, ha az összetevő iránya egybeesik a tengely irányával l., és mínusz jelzéssel, ha ezek az irányok ellentétesek.

A vektoros vetületek fő tulajdonságai a tengelyen:

1. Az azonos vektorok ugyanazon a tengelyen lévő előrejelzések egyenlőek egymással.

2. A vektor megszorzáskor a vetületet azonos számmal szorozza meg.

3. A vektorok összegének előrejelzése bármely tengelyen megegyezik a vektorok komponenseinek azonos tengelyén lévő előrejelzések mennyiségével.

4. A tengelyen lévő vektor kialakítása megegyezik a tervezett vektor hosszúságának termékével a vektor és a tengely közötti szög koszinuszával:

.

Döntés. Vektorokat tervezünk a tengelyen l. A fenti elméleti hivatkozásban meghatározottak szerint. Az 5a. Ábra Nyilvánvaló, hogy a vektorok vetülete megegyezik a vektorok előrejelzéseinek mennyiségével. Számítsa ki ezeket az előrejelzéseket:

Megtaláljuk a vektorok összegének végső vetületét:

Vektoros kapcsolat egy téglalap alakú kartéziai koordináta rendszerrel az űrben

Ismerkedés S. a térben lévő téglalap alakú kartéziai koordinátarendszer a megfelelő leckében történt Célszerű megnyitni egy új ablakban.

Rendelt koordináta tengelyrendszerben 0xyz. tengely ÖKÖR. hívott abszcissza tengelye, tengely 0Y. – axian ordinátaés tengely 0z. – applikat tengelye.

Tetszőleges ponttal M. Űrköteg vektor

hívott sugárvektorpontok M.És terjeszkedjen az egyes koordinátákhoz. A vonatkozó előrejelzések értékeit jelöli:

Számok x, y, zhívott az M. pont koordinátái, illetve abszcissza, rendez és applikata, és rögzített számok formájában rögzítették: M (x; y; z) (6. ábra).

A vektor egy hosszúságú, amelynek iránya egybeesik a tengely irányával, hívják egyetlen vektor(vagy orta) Tengely. Kijelent

Ennek megfelelően a koordináta tengelyei Ort ÖKÖR., Oy., Oz.

Tétel. Bármely vektor lebomlik a koordináta tengelyek ortopján:

(2)

Az egyenlőséget (2) a vektor bomlása a koordináta tengelyek szerint. Ennek a bomlásnak a koefficiensei a vektorok a koordináta tengelyeken történő előrejelzései. Így a koordináta tengelyek bomlási együtthatók (2) a vektor koordinátái.

Miután kiválasztotta az adott koordináta-rendszer helyét, a vektort és a három koordinátát egyedileg határozza meg egymást, így a vektort az űrlapon rögzíthetjük

A vektor ábrázolása a (2) és (3) formában azonos.

Vektorok kolloorja a koordinátákban

Amint azt már említettük, a vektorokat Collinearnak hívják, ha a hozzáálláshoz kapcsolódnak

Hagyja adni a vektorokat . Ezek a kollináris vektorok, ha a vektorok koordinátái a hozzáálláshoz kapcsolódnak

,

vagyis a vektorok koordinátái arányosak.

6. példa. Vektorokat kapnak . Ezek a vektorok kollinárisak?

Döntés. Ismerje meg a vektorok adatkoordinátáinak arányát:

.

A vektorok koordinátái arányosak, ezért a kollináris vektorok, vagy ugyanaz a párhuzamos.

Vektor hossza és koszinus útmutatók

A vektor hosszának koordináta tengelyeinek kölcsönös tapasztalatának köszönhetően

egy téglalap alakú párhuzamú, vektorokba épített,

És az egyenlőséget fejezte ki

(4)

A vektort teljes mértékben meghatározza a két pont (kezdete és vége) feladata, így a vektor koordinátái e pontok koordinátái keresztül fejezhetők ki.

Tegyük fel, hogy a megadott koordináta rendszerben a vektor kezdete a ponton van

És a vége a ponton van

Az egyenlőségtől

Ezt követi

vagy koordináta formában

Ennélfogva, a vektor koordinátái megegyeznek az azonos végkoordináták és a vektor kezdetével . A (4) képlet ebben az esetben az űrlapot veszi fel

Vektoros irány meghatározása cosinees vezetők . Ezek a koszinuszszögek, hogy a vektor formák tengelyekkel ÖKÖR., Oy. és Oz.. Ezeket a szögeket jelöli, illetve α , β és γ . Ezután ezeknek a sarokban lévő koszináknak a képletek találhatók

A vektoros koszinuszvezetők szintén a vektor ORT koordinátái, így a vektor ORT

.

Figyelembe véve, hogy a vektor ORT hossza egyenlő egy egységgel, azaz

,

a következő egyenlőséget kapjuk a koszinuszvezetők számára:

7. példa.Keresse meg a vektor hosszát x. = (3; 0; 4).

Döntés. A vektor hossza egyenlő

8. példa.Pontok:

Tudja meg, hogy a háromszög elnöke háromszög, ezen a ponton épült.

Döntés. A vektor hosszúságának megfelelően (6), megtaláljuk a felek hosszát, és telepítjük, hogy létezik-e kettő közülük:

Ezért két egyenlő pártot találtak, ezért a harmadik fél hosszának meg kell keresnie, és egy adott háromszög egyformán elnökölt.

9. példa. Keresse meg a vektor hosszát és az útmutatót, ha .

Döntés. A vektor koordinátáit adják:

.

A vektor hossza megegyezik a négyzetgyökérrel a koordináta vektor négyzeteinek összegéből:

.

Találunk útmutatót Cosines:

Megoldja a feladatot a vektorokra, majd nézze meg a döntést

A koordináta formában meghatározott vektorok műveletei

Hagyja, hogy két vektor és az előrejelzések által megadott:

Jelöljük ezeket a vektorokat.

Kivetítés A tengelyen lévő vektort olyan vektornak nevezik, amelyet a vektor skalár kialakításának megszorzásának eredményeként kapunk, és e tengely egyetlen vektorát. Például, ha és X - skalár vetület Vektor de az x tengelyen, akkor x · ÉN. - Vektoros vetülete ezen a tengelyen.

Jelöli vektoros vetítés Továbbá, mint maga a vektor, de a tengely indexével, amelyen a vektor megtervezett. Tehát a vektor vektor vetítése de Az x tengelyen jelöljük de x ( olajos Betű, jelezve a vektort és az alsó tengelynév indexet) vagy (alacsony zsírtartalmú betű, amely a vektor, de egy nyíl a felső (!) És az alsó tengelynév index).

Skalár vetület Vektor a tengelyen hívott tengelyen szám, amelynek abszolút értéke megegyezik a tengelyszegmens hosszával (a kiválasztott skálán), a kezdőpont előrejelzései és a végpont pontja között van. Általában a kifejezés helyett skalár vetület Egyszerűen mondják - kivetítés. A vetületet ugyanolyan betű jelzi, mint a designvektor (hagyományos, nem nagy helyesírás), a tengely nevének alsó (tipikusan) indexével, amelyhez ezt a vektort tervezték. Például, ha egy vektor az X tengelyen várható de, Aztán az ő vetületét x jelöli. Ha ugyanazt a vektort egy másik tengelyhez tervezzük, ha az y tengely, annak vetületét y jelöli.

A vetítés kiszámításához vektor A tengelyen (például az x tengelyen) a végpontjának koordinátájából szükséges, hogy levonja a kezdet koordináta pontját, azaz
és x \u003d x to-x n.
A vektor előrejelzése a tengelyen a szám. Ráadásul a vetítés pozitív lehet, ha x több, mint az xn értéke,

negatív, ha x kisebb, mint az x értéke

és egyenlő nulla, ha x egyenlő x n.

A tengelyen lévő vektoros vetítés is megtalálható, ismerve a vektormodul és a szög, hogy ez a tengely.

Az ábrán látható, mint x \u003d egy cos α

vagyis a tengelyen lévő vektor vetülete megegyezik a vektormodul termékével a tengely irányának és irányvektor. Ha a szög éles, akkor
Cos α\u003e 0 és egy x\u003e 0, és ha hülye, akkor a tompa szög koszinusa negatív, és a tengelyen lévő vektor vetülete is negatív lesz.

A szögek megszámlálható tengelyen, a során az óramutató járásával megegyező irányban veszik, hogy pozitív, valamint során - negatív. Mivel azonban a koszinusz egyenletes funkció, azaz cos α \u003d cos (- α), majd a vetületek kiszámításakor a sarkok az óramutató járásával megegyező nyíl és a hátrányok mentén számíthatók.

Ahhoz, hogy megtalálja a vektor vetülete a tengelyen, a modul ezen vektor szaporodnak a koszinusza közötti szög irányában és az irányt a vektor.

A vektor koordinátái - Az alapvektorok egyetlen lehetséges lineáris kombinációjának együtthatók a kiválasztott koordinátarendszerben a vektorral egyenlőek.

ahol - a vektor koordinátái.

Skalar termékvektorok

Skalar termékvektorok [- a végesdimenziós vektor tér Meghatározzák, mint a változó azonos összetevőjének alkotásait vektorok.

Például S. p. In. a. = (a. 1 , ..., n.) I. b. = (b. 1 , ..., b N.):

(a. , b. ) = a. 1 b. 1 + a. 2 b. 2 + ... + egy n b n

Tegyük fel, hogy a térben két vektor és. Az önkényes ponttól elhalasztott O. Vektorok és. Szög A vektorok között, és a legkisebb saroknak nevezik. Jelöli .

Vegye figyelembe a tengelyt l. És egyetlen vektort küldök (azaz a vektor, amelynek vektora egyenlő egy).

A vektor és a tengely közötti szögben l. Értsd meg a vektorok közötti szöget és.

Így, engedje l. - Néhány tengely és - vektor.

Kijelent A 1. és B 1. Előrejelzések a tengelyen l.ennek megfelelően a pontok A. és B.. Tegyük fel, hogy ez A 1. koordináta van x 1, de B 1. - koordináta x 2 tengelyen l..

Azután kivetítés Vektor a tengelyen l. A különbséget hívják x 1 – x 2 a végpaporok koordinátái és a vektor kezdete ezen a tengelyen.

Vektoros vetítés a tengelyen l. Jelöljük.

Nyilvánvaló, hogy ha a vektor és a tengely közötti szög l. Akut, T. x 2> x 1és vetület x 2 – x 1\u003e 0; Ha ez a szög hülye, akkor x 2< x 1 és vetület x 2 – x 1< 0. Наконец, если вектор перпендикулярен оси l.T. x 2= x 1 és x 2– x 1=0.

Így a vektor vetülete a tengelyen l. - Ez a szegmens hossza A 1 B 1határozott jelzéssel. Következésképpen a tengelyen lévő vektor vetülete szám vagy skalár.

Hasonlóképpen meghatározzák az azonos vektor egy másik vetületét. Ebben az esetben vannak folyamatai az adott vektor végein, amelyen a 2. Vektor.

Tekintsünk néhány hálózati az előrejelzések tulajdonságai.

Lineárisan függő és lineárisan független vektorok

Tekintsünk több vektort.

Lineáris kombináció Ezeket a vektorokat vektoros nézetnek nevezik, hol vannak néhány szám. A számokat lineáris kombinációs együtthatóknak nevezik. Azt is elmondják, hogy ebben az esetben lineárisan expresszálódik ezeken a vektorokon, vagyis. Lineáris cselekvésekkel kiderül.

Például, ha három vektor van megadva, a vektorokat lineáris kombinációnak tekinthetjük:

Ha a vektort néhány vektor lineáris kombinációjaként mutatják be, azt mondják, hogy ő bomlik Ezeknek a vektoroknak megfelelően.

Vektorokat hívják lineárisan függőHa vannak ilyen számok, nem mindegyik egyenlő nulla . Nyilvánvaló, hogy a megadott vektorok lineárisan függenek, ha ezek közül a vektorok közül bármelyik lineárisan expresszálódik a többiekben.

Ellenkező esetben azaz Amikor az arány Ezt csak akkor végzik Ezeket a vektorokat hívják lineárisan független.

1. tétel. Bármely két vektor lineárisan függ, és csak akkor, ha kollináris.

Bizonyíték:

Hasonlóképpen bizonyíthatja a következő tételeket.

Tétel 2. Három vektor lineárisan függ, ha és csak akkor, ha a rekesz.

Bizonyíték.

Alapul

Alapul A zeróktól eltérő különböző vektorok készletét hívják. Alapelemeket jelölnek.

Az előző bekezdésben láttuk, hogy két nem értékes vektor a síkon lineárisan független. Ezért az 1. tétel szerint az előző bekezdés alapján a sík alapja két, a síkban két nem értékes vektor.

Hasonlóképpen, a lineárisan független térben mindhárom nem komplett vektor. Következésképpen a tér alapja három nem komplett vektorot fog hívni.

A következő nyilatkozat tisztessége.

Tétel. Tegyük fel, hogy a térben megadta az alapot. Ezután bármelyik vektor lineáris kombinációként jeleníthető meg. hol x., y., z. - Néhány szám. Egy ilyen bomlás egyedülálló.

Bizonyíték.

Így az alap lehetővé teszi, hogy egy egyértelműen összehasonlítsa a három számot az egyes vektorokhoz - a vektor bomlási együtthatója az alapvektor szerint :. Igaz és fordított, minden hármas szám x, y, z Az alap használatával megegyezhet a vektorral, ha lineáris kombinációt készít .

Ha az alapja I. A számok x, y, z hívott koordináták Vektor ebben a bázisban. Vektoros koordináták jelzik.

Decartova koordináta rendszer

Hagyja, hogy a pont az űrben van O. És három nem komplett vektor.

Cartezome koordináta rendszer Az űrben (a síkon) van egy sor pont és alap, azaz. A pont és a három nem komplett vektorok (2 nem szigorú vektor) összessége ebből a pontból.

Pont O. a koordináták kezdete; Közvetlen, az origón áthaladó irányába alap vektorok, nevezzük koordinátájú tengelyeket - a tengelye az abszcissza, az ordináta és az applicat. A koordináták tengelyein áthaladó síkokat koordinátáknak nevezik.

Fontolja meg a kiválasztott koordinátarendszer tetszőleges pontot M.. Bemutatjuk a pont koordinátájának fogalmát M.. Vektor, amely összekapcsolja a koordináta eredetét egy ponttal M.. hívott sugárvektor Pontok M..

A vektor a kiválasztott alapon összehasonlíthatja a három számot - koordinátái: .

RADIUS-vektor koordináták M.. hívott az M. pont koordinátái. A vizsgált koordinátarendszerben. M (x, y, z). Az első koordinátát abszkátnak nevezik, a második ordinátot, a harmadik hónapot.

A síkban lévő karteziai koordináták hasonlóan meghatározzák. Itt a pontnak csak két koordinátája van - abszcissa és ordináta.

Könnyű látni, hogy egy adott koordináta rendszerrel minden pontnak van bizonyos koordinátái. Másrészt, mindegyik három szám esetében egyetlen pont van, amelyeknek ezek a száma koordináták.

Ha a kiválasztott koordináta rendszer alapjául szolgáló vektorok egy hosszúságúak, és merőlegesek, akkor a koordináta-rendszert hívják cartesome téglalap alakú.

Ez könnyű megmutatni.

A vektoros koszinuszvezetők teljesen meghatározzák annak irányát, de semmi sem beszél a hosszúságáról.