A Hamilton Hound A fajta másik neve - "Hamiltonstevere". Megjelent a 19. században. Svédországban Hamilton gróf, a Svéd Kennel Club alapítója, az angol róka és a német kopó keresztezése eredményeként. Hamilton HoundHound utal

1. Anyagi pont kinematikája. Anyagi ponton olyan fizikai objektumot értünk, amely geometriailag egyenértékű egy matematikai ponttal, de tömeggel rendelkezik. A kinematika a fizika egyik ága, amely a testek mozgástípusait vizsgálja anélkül, hogy figyelembe venné a mozgás okait. Egy pont helyzetét a térben egy sugárvektor jellemzi. Egy pont sugárvektora olyan vektor, amelynek eleje egybeesik a koordinátarendszer origójával, vége pedig a vizsgált ponttal. r = én x + j y + k z. A sebesség az a távolság, amelyet egy test időegység alatt megtesz. v(t) = d r/dt. v(t) = én dx/dt + j dy/dt + k dz/dt. A gyorsulás a sebesség változásának mértéke. a=d v/dt = d2 r/dt2= én d2x/dt2 + j d 2 év/dt 2 + k d 2 z/dt 2 . a = a τ + a n= τ dv/dt + n v2/R.

d r = v dt; d v = a dt tehát v = v 0 + a t; r = r 2 – r 1 = v 0 t + a t2/2.

2. Anyagi pont dinamikája. Newton törvényei. A dinamika alapfogalmai a tömeg és az erő fogalma. Az erő a mozgás oka, i.e. a test erejének hatására gyorsul fel. Az erő egy vektormennyiség. A tömeg a test tehetetlenségének mértéke. A tömeg és a sebesség szorzatát impulzusnak nevezzük. p= m v. Egy anyagi pont szögimpulzusa a vektor L = r * p. Az anyagi pontra ható erőnyomatékot vektornak nevezzük M = r * F. Ha megkülönböztetjük a szögimpulzus kifejezését, a következőt kapjuk: d L/dt=d r/dt* p + r*d p/dt. Tekintettel arra, hogy d r/dt= vés v párhuzamos p, kapunk d L/dt= M.Newton törvényei. Newton első törvénye kimondja, hogy a test megtartja a nyugalmi állapotot vagy az egyenletes egyenes vonalú mozgást, ha más erők nem hatnak rá, vagy hatásukat kiegyenlítik. Newton második törvénye kimondja, hogy az impulzus időbeli változása állandó érték, és egyenlő a d ható erővel. p/ dt = d / dt (m v) = md v/dt= F.Ez Newton második, differenciális formában írt törvénye. Newton harmadik törvénye szerint két test kölcsönhatásában mindegyik azonos értékű, de ellentétes irányú erővel hat a másikra. F 1 = - F 2 .

3. Az anyagi pontrendszer dinamikája. Természetvédelmi törvények. Az anyagi pontok rendszere véges számuk összessége. A rendszer minden pontjára belső (más pontokból származó) és külső erők hatnak. Legyen m a tömeg, r i a sugárvektor. x i , y i , z i - zsinór. i-edik pont. Egy anyagi pontrendszer impulzusa a rendszert alkotó anyagi pontok impulzusainak összege: p= Σ (i=1,n) p i = [ p 1 + p 2 +…+ p n]. Egy anyagi pontrendszer szögimpulzusa az anyagi pontrendszert alkotó impulzusnyomatékok összege: L = Σ [ L i ] = Σ [ rén * pén ]. Az anyagi pontrendszerre ható erő a rendszer pontjaira ható összes erő összege, beleértve a rendszer pontjai közötti kölcsönhatási erőket is: F = Σ [ F i ], hol F i = F i' + Σ(j ≠ i) F ji a rendszer anyagi pontjára ható erő, amelyet i indexszel jelölünk. Külső erőből áll F i ’ és belső erő Σ(i ≠ j) [ F ji ], amely a rendszer más pontjaival való interakció eredményeként hat a pontra. Ekkor: F = Σ (i=1,n) [ F i ’] + Σ (i=1,n) Σ(j ≠ i) [ F ji]. Newton harmadik törvénye szerint Σ (i=1,n) Σ(j ≠ i) [ F ji ] = 0, tehát F = Σ [ Fén']. Az anyagi pontrendszerre ható erőnyomaték a rendszer pontjaira ható erők nyomatékainak összege M= Σ (i) [ M i ] = Σ (i) [ rén * F i ] = Σ (i) [ rén * Fén']. Anyagi pontrendszer esetén a mozgásegyenlet alakja d p/ dt = Σ = Σ [ Fén ].

Anyagi pontrendszer tömegközéppontja egy képzeletbeli pont, amelynek sugara vektor R= 1/mΣ. Mozgása sebessége V=d R/dt. Ekkor a mozgásegyenlet m d V/dt= F. Az anyagi pontrendszer nyomatékegyenlete d L/dt= M. Természetvédelmi törvények. Izolált rendszer az, amelyre nem hatnak külső erők. Benne F= 0, tehát d p/dt = 0. Akkor p= konst. Izolált rendszerben a külső erők pillanata M= 0. Ezért d L/dt = 0, ami azt jelenti L= konst. Egy anyagi pont mozgási energiájának változása, amikor két pozíció között mozog, megegyezik az erő által végzett munkával. m 0 v 2 2 /2 – m 0 v 1 2 /2 = ∫(1,2) F d l vagy m 0 v 2 /2 + E p \u003d konst.

4. Mozgás központilag szimmetrikus mezőben. Kepler törvényei. A mezőt központinak nevezzük, ha a benne lévő test potenciális energiája csak egy bizonyos fix pont r távolságától függ. Kényszerítés F= - ∂U(r)/ ∂ r= - dU/dr r A részecskére ható /r abszolút értékben szintén csak r-től függ, és a sugárvektor minden pontjára irányul. A központi mezőben való mozgáskor a rendszernek a mező középpontjához viszonyított nyomatéka megmarad. Egy részecske pillanatra M = [r*R]. Mivel az M és r vektorok egymásra merőlegesek, M állandósága azt jelenti, hogy amikor a részecske mozog, a sugárvektora mindig ugyanabban a síkban marad - az M-re merőleges síkban. Így a részecske pályája a központi mezőben teljes egészében egy síkban. Bevezetve benne az r, φ poláris koordinátákat, a Lagrange-függvényt L = m/2 (r 2 (∙) + r 2 φ 2 (∙)) - U(r) alakban írjuk fel. Ez a függvény nem tartalmazza kifejezetten a φ koordinátát. Egy ilyen koordinátánál a neki megfelelő p i általánosított impulzus a mozgás integrálja. Ebben az esetben a p φ = mr 2 φ(∙) általánosított impulzus egybeesik az M z = M nyomatékkal, így M = mr 2 φ(∙) (1). Megjegyezzük, hogy egy részecske síkbeli mozgására egy központi mezőben ez a törvény egyszerű geometriai értelmezést tesz lehetővé. Az 1/2 r r d φ kifejezés annak a szektornak a területe, amelyet két végtelenül közeli sugárvektor és a pálya egy íveleme alkot. Df-ként jelölve a részecske lendületét M = 2mf alakban írjuk fel, ahol az f deriváltot szektorsebességnek nevezzük. Ezért az impulzus megmaradása a szektorális sebesség állandóságát jelenti - egyenlő időtartamokra egy mozgó pont sugárvektora egyenlő területeket ír le ( Kepler második törvénye). Kifejezve φ(∙)-t M-ig (1)-ből és behelyettesítve az energia kifejezésbe, a következőt kapjuk: E = m/2 (r 2 (∙) + r 2 φ 2 (∙)) + U(r) = mr 2 (∙ )/2 + M 2 /2mr 2 + U(r). Ezért r(∙) = √(2/m (E – U(r)) - M 2 /m 2 r 2) vagy a változókat elválasztva és integrálva: t = ∫dr/√(2/m (E – U( r)) - M 2 /m 2 r 2) + konst. Továbbá az (1)-et dφ = M 2 /mr 2 dt-ként írva, ide dt-t behelyettesítve és integrálva a következőt kapjuk: φ = ∫dr (M/r 2)/√(2/m (E – U(r)) - M 2 /r 2) + konst. Kepler első törvénye. Minden bolygó ellipszisben kering, egyik fókuszában a Nap található. Kepler harmadik törvénye. A bolygók sziderális periódusainak négyzetei a pályájuk fél-nagy tengelyeinek kockáiként vannak viszonyítva T 1 2 /T 2 2 = a 1 3 /a 2 3 .

5. A Lagrange-függvény és az anyagi pontrendszer Lagrange-egyenletei. A mozgás integráljai. Tekintsük az anyagi pontok zárt rendszerét. A rá vonatkozó Lagrange-függvény L = Σ(a) – U(r 1 , r 2 , …) alakú, ahol T = Σ (a) a részecskekölcsönhatás kinetikus energiája, U pedig a részecskekölcsönhatás potenciális energiája. Ekkor a d/dt (∂L/∂v a) = ∂L/∂r a mozgásegyenletek m a dv a /dt = - ∂U/∂r a alakúak. Ezeket a mozgásegyenleteket Newton-egyenleteknek nevezzük. Vektor F a = - ∂U/∂r a-t erőnek nevezzük. Ha nem a pontok derékszögű koordinátáit használjuk a mozgás leírására, hanem tetszőleges általánosított q i koordinátákat, akkor a Lagrange-függvény megszerzéséhez a megfelelő transzformációt kell végrehajtani: x a = f(q 1, q 2 , .., q s) , x a (∙) = Σ(k ) [∂f a /∂q k (∙)] stb. Ezeket a kifejezéseket behelyettesítve az L= 1 / 2 Σ(a) – U függvénybe, megkapjuk a kívánt alakú Lagrange-függvényt L = 1/2 Σ(i,k) – U(q). A mozgás integráljai. Az általánosított koordinátáknak vannak olyan funkciói, amelyek állandó értékeket tartanak meg mozgás közben, csak a kezdeti feltételektől függően. Ezeket mozgásintegráloknak nevezzük. Az idő homogenitása miatt dL/dt = Σ(i) [∂L/∂q i q i (∙)] + Σ(i) [∂L/∂q i (∙) q i (∙∙)]. A Lagrange-egyenletek szerinti ∂L/∂q i-t d/dt-vel (∂L/∂q i (∙)) helyettesítve dL/dt = Σ(i) vagy d/dt (Σ(i) - L) = 0 Ez azt mutatja, hogy az energiának nevezett E = Σ(i) – L mennyiség nem változik, azaz. mozgási integrál. A tér homogenitása miatt végtelenül kis ε transzfernél, amikor a rendszer minden pontját ε = δr elmozdítja, a Lagrange-függvény változása, egyenlő δL = ε Σ(a) [∂L/∂r a ], egyenlőnek kell lennie nullával, azaz. Σ(a) [∂L/∂r a ] = 0. A Lagrange-egyenletek felhasználásával Σ(a) = d/dt (Σ(a)[ ∂L/∂v a ]) = 0. Ekkor a mennyiség R= Σ(a)[ ∂L/∂v a ], impulzusnak nevezzük, változatlan marad, azaz. mozgási integrál. A δφ szögben végtelenül kicsi elforgatásnál a tér izotrópiája miatt a Lagrange-függvény változása egyenlő δL = Σ(a) [∂L/∂r a δ r a + ∂L/∂v a δ v a] nullának kell lennie. A változtatás végrehajtása ∂L/∂ v a = p a és ∂L/∂ r a = p a (∙) δφ önkényességét tekintve d/dt Σ(a) [ r a p a ] = 0. Az М = Σ(a) [ r a p a ], amelyet szögimpulzusnak nevezünk, állandó marad, azaz. mozgási integrál.

6. Egy abszolút merev test dinamikája. Tehetetlenségi tenzor. Euler-egyenletek. A merev test anyagi pontok rendszere, amelyek közötti távolság állandó marad. A merev test mozgásának teljes leírásához az egyik pontjának mozgásán kívül ismerni kell a test mozgását e pont közelében, mint rögzítési pontban. Legyen a test az O pontban rögzítve. Jelöljük az m i pont sugárvektorát O-hoz képest rén, w a test pillanatnyi szögsebessége, majd a szögimpulzus L= Σ [ rén*vagyok v i ] = Σ = wΣ - Σ . Ez a vektoregyenlőség három vetületként írható fel az L x = w x Σ - Σ koordinátatengelyekre; L y = w y Σ - Σ ; L z = w z Σ - Σ . Tekintettel arra, hogy ( w r i) = x i w x + y i w y + z i w z kapjuk L x = J xx w x + J xy w y + J xz w z ; L y = J yx w x + J yy w y + J yz w z ; L x = J zx w x + J zy w y + J zz w z , ahol J xx = Σ, J xy = Σ, a többi hasonló. A J xx, J yy, J zz értékeket axiális tehetetlenségi nyomatékoknak, a J xy = J yx, J xz = J zx, J yz = J zy értékeket pedig centrifugális tehetetlenségi nyomatékoknak nevezzük. A J ij értékkészletet tehetetlenségi tenzornak nevezzük. J ii elemeit diagonálisnak nevezzük. Ha minden átlón kívüli elem egyenlő nullával, akkor azt mondják, hogy a testnek a koordinátatengelyekkel egybeeső tengelyei a fő tehetetlenségi tengelyek, a J ii mennyiségeket pedig fő tehetetlenségi nyomatékoknak nevezik. Az ilyen tenzor átlós alakra redukálódik.

Euler-egyenletek. A test tömegközéppontjának mozgásegyenlete m d alakú v 0 /dt = md/dt ( w * r 0) = F, ahol r 0 a test tömegközéppontjának sugárvektora, a csatlakozási pontból húzva. Kényelmes a testhez tartozó koordinátarendszer tengelyeit a fő tehetetlenségi tengelyek mentén irányítani. Ebben az esetben a szögimpulzus egyszerű alakot kap: L 1 = J 1 w 1, L 2 = J 2 w 2, L 3 = J 3 w 3, és w i a szögsebesség vetületei az együtt mozgó koordináta tengelyekre. a testtel. Az általános képlet d A/dt = ∂ A/∂t + w* A, a pillanatok egyenletét a következőképpen ábrázolhatjuk: ∂ L/∂t + w * L = M. Figyelembe véve, hogy L x = J x w x, L y = J y w y, L z = J z w z, átírjuk ezt az egyenletet vetületekben a mozgó koordináta-rendszer tengelyeire: J x dw x /dt + (J z - J y )w y w z = M x , J y dw y /dt + (J x – J z)w z w x = M y , J z dw z /dt + (J y – J x)w x w y = M z . Ezeket az egyenleteket Euler-egyenleteknek nevezzük.

7. Mozgás a nem inerciális vonatkoztatási rendszerekhez képest. A NISO egy olyan rendszer, amelyben a test a nyugalomhoz képest gyorsulással mozog. koordinátarendszerek. Itt a tér és idő homogenitásának és izotrópiájának fogalma nem teljesül, mert időtartama és hossza a NISO-ban változó. Emellett a 3. Newton-törvény és a természetvédelmi törvények tartalma is elveszett. Mindennek az oka a csak a koordinátarendszerhez, a katához kapcsolódó tehetetlenségi erők. befolyásolják a test mozgását. AZUTÁN. a gyorsulás külső erővel vagy tehetetlenséggel változtatható. F=∑Fi=ma (ISO), F=F(ext.)+Fi=ma′(NISO), ahol Fi a tehetetlenségi erő, a a gyorsulás. testek IFR-ben, a′-gyorsítás. ugyanaz a test a NISO-ban. A NISO-ban az 1. Newton törvény nem teljesül! Fi=-m(a′-a), azaz. a tehetetlenségi erők nem engedelmeskednek Newton 3. z-kútjának, mert rövid életűek. Az ISO-ról NISO-ra való átmenet során a tehetetlenségi erők eltűnnek. Tehetetlenség az erők mindig a szemhéjak ellen irányulnak. külső erők. A tehetetlenségi erők vektoriálisan összeadhatók. ISO-ban: v=const, v<

dx/dt=Ux=dx′/dt+dv(t)/dt′=U′x+v(t) dUx/dt=d/dt′(U′x+v(t))=dU′x/ dt′+dv(t)/dt′=a x ' + a 0 = a x . Az abszolút, relatív és transzlációs sebesség fogalmát a NISO vezeti be: u 0 - abszolút sebesség, a 0 - relatív gyorsulás. alvó koordinátarendszerek.

u x 0 \u003d v + u x 0 ’; a x 0 \u003d a ' + a x; u x ’ a x - relatív sebesség és gyorsulás. mozgalom koordinátarendszerek. (relatív) ; v, a′-sebesség. és felgyorsult. k′ utal. k, azaz hordozható sebesség és gyorsulás

8. Hamilton variációs elve. (a legkisebb cselekvés elve).

Van egy -függvénye az általánosított koordinátának, sebességnek, időnek. Tekintsünk egy 2S dimenziós teret, akkor az S = ∫(t 1 , t 2) L(g, g( ), t)dt, L rendszer helyzete a Lagrange-függvény; S-akció. A művelet függvényét itnegralnak nevezzük S=∫ Ldt=0, a kat. a valódi mozgási pálya mentén véve a rendszernek lesz egy minimális értéke, pl. S=Smin, δS=0. Azok. az 1-től 2-ig terjedő rendszer olyan pályán mozog, hogy a hatása minimális – Hamilton legkisebb cselekvés elve. L = T – U a rendszer kinetikai és potenciális energiái közötti különbség. Hamilton szerint a valódi pálya megfelel a minimális akciónak. Keressünk egy pályát. A tényleges pálya a minimális pálya. S-funkciós. Keressük meg a min. δS = 0 első variáció. δS = ∫(t1,t2)(Σ[∂L/∂g i δg i ] + Σ[∂L/∂g i ( ) δg i ( )])dt; ∫(t 1 ,t 2) ∂L/∂g i ( ) δg i ( ) dt = ∫(t 1 ,t 2) ∂L/∂g i ( ) dδg i = ∂L/∂g i ( ) δg 1 ,t 2) - ∫(t 1 ,t 2) δg i d/dt (∂L/∂g i ( )) dt;

;

δg i nem függenek egymástól
=0
a tényleges pályán a következő egyenletnek kell teljesülnie:
- Lagrange-egyenlet (bármely i= 1,…S esetén).

9. Egy és több szabadságfokú rendszerek oszcillációi. Szabad és kényszer rezgések . A legegyszerűbb eset az, amikor a rendszernek egy szabadságfoka van. A stabil egyensúly megfelel a rendszer ilyen helyzetének, a macskában. a lehetőségeit. hu. U(q)-nak van egy minimuma. Az ettől a pozíciótól való eltérés egy dU/dq erő kialakulásához vezet, amely a rendszert visszahozza. q 0 - általánosított koordináta. Kibővítjük az U(q) - U(q0) hatványokat, és megkapjuk, hogy U(q) - U(q0) ≈ k / 2 (q - q 0) 2 ahol k \u003d U ''(q 0) pozitív együttható . U (q 0) \u003d 0, jelöljük x \u003d q - q 0 - a koordináta eltérését az egyensúlyi értéktől, akkor U (x) \u003d kx 2 / 2 a potenciális energia. 1/2a(q) q' 2 =1/2a(q)x' 2 -kinetikus energia q = q0 és a(q0) = m esetén kapjuk a Lagrange-függvényt egydimenziós rezgéseket végző rendszerre: L = mx 2 (∙) /2 – kx 2 /2. A függvénynek megfelelő mozgásegyenlet a következő lesz: mx(∙∙) + kx = 0 vagy x(∙∙) + w 2 x = 0, ahol w = √(k/m) a ciklikus rezgési frekvencia. Ezen ur-th megoldása x \u003d a cos (wt + α), ahol a az oszcillációk amplitúdója, wt + α a rezgések fázisa. azután. az oszcilláló rendszer energiája E = mx 2 (∙)/2 + kx 2 /2 lesz. Kényszer rezgések. Ebben az esetben a rendszer a saját ½ kx 2 potenciális energiájával együtt rendelkezik egy külső tér hatásához kapcsolódó U e (x, m) potenciális energiával is. Ennek megfelelően egy ilyen rendszer Lagrange-függvénye a következő lesz: L = mx 2 (∙)/2 + kx 2 /2 + x F(t), ahol F(t) egy külső erő.

A megfelelő mozgásegyenlet a következő lesz: mx(∙∙) + kx = F(t), vagy x(∙∙) + w 2 x = F(t)/m. Ha F(t) az idő egyszerű periodikus függvénye valamilyen γ frekvenciával: F(t) = f cos(γt + β), akkor a mozgásegyenletek megoldása a következő lesz: X = a cos(wt + α) + f cos(γt + β)/(m(w 2 – γ 2)) a és α a kezdeti feltételekből határozható meg. Hogy. hajtóerő hatására a rendszer két rezgés kombinációját reprezentáló mozgást végez - a rendszer w sajátfrekvenciájával és a hajtóerő frekvenciájával - γ. Sok szabadságfokú rendszerek oszcillációi . Edény. hu. az U(q i) rendszer minimuma q i =q i 0 helyen. Kis x i = q i - q i 0 elmozdulásokat bevezetve és bennük U-t 2. rendű tagpontossággal kiterjesztve megkapjuk a potenciált. energia: U = 1/2 Σ(i,k) , k ik =k ki . Kinet. hu. egy ilyen rendszerre 1/2 Σ(i,k) lesz, ahol m ik =m ki . A Lagrange-egyenlet egy ilyen rendszerre a következő lenne: L = 1/2 Σ(i,k) . Ekkor dL = Σ(i,k) . Az x k-t (t) x k\u003d A k exp (-iwt) formában keressük, A k konstans. Ezt a Lagrange-egyenletbe behelyettesítve lineáris homogén egyenletrendszert kapunk. Σ(k) [(-w 2 m ik +k ik)A k ] = 0 - karakterisztikus egyenlet, s különböző gyöke van w 2 α (α=1,2,….,s) w α - sajátfrekvenciái a rendszert. A rendszer egy adott megoldásának alakja: x k = ∆ kα C α exp(-iw α t). Az általános megoldás az összes konkrét megoldás összege: x k = Σ(α) [∆ kα Q α ], ahol Q = Re (C α exp(-iw α t)).

10. Hamilton kanonikus egyenlete. A mechanika kérdéseinek vizsgálatában számos előnyt jelent az általánosított koordináták és momentumok segítségével történő leírás, a független változók egyik halmazából a másikba való átmenet Legendre transzformációval valósítható meg. Ebben az esetben a következőkből következik. A Lagrange-függvények teljes differenciája a koordináták és sebességek függvényében: dL = Σ(i) [∂L/∂q i ] + Σ(i) [[∂L/∂q i (∙)]. Ez a kifejezés a következőképpen írható fel: dL = Σ(i) + Σ(i) . Írjuk át a következő alakba: d(Σ(i) – L) = - Σ(i) + Σ(i) . A differenciáljel alatti érték a rendszer koordinátákkal és momentumokkal kifejezett energiája, és ezt Hamilton-függvénynek nevezzük: H (p, q, t) = Σ (i) - L. A dif. A dH = - Σ(i) + Σ(i) egyenletek a következő egyenleteket követik: q i (∙) = ∂H/∂p i, p i (∙) = - ∂H/∂q i a Hamilton-egyenletek. Egyszerűségükre és szimmetriájukra tekintettel ún. kánoni. Poisson zárójelek. Az általánosított koordináták, momentum és idő bármely F függvényének időderiváltája dF/dt = ∂F/∂t + Σ(i) [∂F/∂q i dq i /dt] + Σ(i) [∂F/∂ p i dpi /dt]. A Hamilton-egyenletek felhasználásával ezt az egyenletet a következő formában írhatjuk át: dF/dt = ∂F/∂t +, ahol = Σ(i) [∂F/∂q i ∂H/∂p i - ∂H/∂q i ∂F /∂ p i ] - hívják. a Poisson zárójel. Nyilvánvalóan a Hamilton-egyenlet felírható Poisson zárójelekkel.

11. Hamilton–Jacobi egyenlet . A legkisebb cselekvés elve alapján S = ∫(t 1 ,t 2)Ldt. Tekintsük a cselekvést (S) olyan mennyiségnek, amely a valódi pályák mentén történő mozgást jellemzi. A Lagrange-egyenlet alapján a cselekvés megváltoztatására, amikor az egyik pályáról egy másik, ahhoz közeli pályára haladunk (egy szabadságfokkal) a következőt kapjuk: δS = pδq vagy tetszőleges számú szabadsági fokra: δS = Σ(i) . Ebből következik, hogy a cselekvés koordinátákhoz viszonyított parciális deriváltjai egyenlők a megfelelő momentumokkal: ∂S/∂q i = p i (1). Definíció szerint dS/dt = L, másrészt, ha S-t a koordináták és az idő függvényének tekintjük, és az (1) képletet használjuk, a következőt kapjuk: dS/dt = ∂S/∂t + Σ(i) [∂S /∂q i q i (∙)] = ∂S/∂t + Σ(i) . Mindkét kifejezést összehasonlítva azt kapjuk, hogy ∂S/∂t = L - Σ(i) vagy ∂S/∂t = - H(p,q,t) (2). Az (1), (2) képletek összeírhatók a következőképpen: dS = Σ(i) – Hdt. És maga a cselekvés (S) lesz S = ∫ (Σ(i) – Hdt). t-től független H esetén S(q,t)=S 0 (q) - Et, ahol S 0 (q) = Σ(i) [∫p i dq i ] egy rövidített művelet, és Еt helyébe H(p) ,q) . Az S(q,t) függvény kielégít egy bizonyos különbséget. egyenlet, amelyet úgy kapunk, hogy a (2) összefüggésben szereplő Р impulzusokat a ∂S/∂q deriváltokra cseréljük: ∂S/∂t + H(∂S/∂q 1 ,…, ∂S/∂q s ;q 1 ,… A ,q s ,t) = 0 egyenlet elsőrendű parciális deriváltjaiban. Hamilton-Jacobi egyenlet. Tehát egy U(x,y,z,t) külső mezőben lévő részecske alakja: ∂S/∂t + 1/(2m)((∂S/∂x) 2 + (∂S/∂) y) 2 + (∂S/∂z) 2) + U(x,y,z,t) = 0.

12. Szilárd anyagok alakváltozásai és feszültségei. Young-modulus, nyírás. Poisson-arány . A deformáció a test alakjának és térfogatának megváltozása külső erők hatására. Külső erő hatására a test alakja megváltozik. A természetben előforduló összes deformáció 3-ra csökkenthető m fő alakváltozások: 1) feszítés, összenyomás; 2) nyírás; 3) csavarás. Homogén és inhomogén alakváltozások megkülönböztetése. Ha minden alkatrész ugyanúgy deformálódik, akkor ez egyenletesen deformálódott. Ha a test minden része eltérően deformálódik, akkor ez inhomogén módon deformálódott. A Hooke-törvény csak a rugalmas alakváltozás tartományában teljesül.  = E’. F/S = E ∆l/l 0 ; F szabályozás = ES∆l/l 0 = kx; k = ES/l 0; F vezérlés = ESx / l 0. A Hooke-törvény meghatározza a  és  közötti kapcsolatot. k a rugalmassági együttható, függ a geometriai méretektől, az anyagtól, amelyből a test készült. E a Young-modulus. Young modulusa egyenlő azzal az erővel, amelyet egy egységnyi keresztmetszetű testre kell kifejteni, hogy a teste kétszeresére növekedjen. Az alakváltozás másik fajtája a nyírási deformáció, amely a felület érintőleges felhordásakor figyelhető meg; párhuzamos a nyírási deformációs felülettel, tangenciális erők hatására figyelhető meg, azaz az erők érintőlegesen fejtik ki hatásukat. Ψ~F t /S (eltolódási szög). Ψ = nFt/S; n az eltolási tényező. F t = nS. (E> É, E~ 4N).

Az E és N közötti mennyiségi összefüggést a Poisson-hányados adja meg. N = E/(2(1+μ)), ahol  a Poisson-hányados. μ = |∆d/d 0 |/|∆l/l 0 |. A Poisson-arány határozza meg a keresztirányú méretek változását feszítés vagy összenyomás során.  0,5.

13. Folyadékok és gázok mechanikája. Minden folyadék és gáz esetében az egyesítő paraméter: sűrűség ρ, nyomás P=F n /S. Folyadékokban és gázokban a Young-modulus megtörténik, de a nyírási modulus |σ|=|P|, σ - feszültség nem lép fel. Ha a folyadék (gáz) mozdulatlan, akkor hidrosztatikával (aerosztatikával) van dolgunk. Jellemző törvények: Pascal-törvény: a gázokban és folyadékokban keletkező túlnyomás minden irányban egyformán továbbítódik. A Zn Archimedes folyadékokra és gázokra egyaránt érvényes. Az Archimedes-erő mindig a gravitációs erővel szemben hat. Az Arkhimédész-erő kialakulásának oka egy V térfogatú test jelenléte. Z-n Archimedes: Egy folyadékban vagy gázban lévő testre mindig olyan erő hat, amely megegyezik a bemerült része által kiszorított folyadék vagy gáz tömegével. a testre, és függőlegesen felfelé irányítva. Ha F A >F HEAVY, akkor a test lebeg, ha fordítva, akkor elsüllyed. Ha folyadék (gáz) áramlik, akkor ezekhez az egyenletekhez hozzáadódik a sugárfolytonossági egyenlet. A részecske folyadékban való mozgásának pályáját ún. aktuális vonal. Az áramvonal által határolt térrészt ún. áramcső. Az áramláscsőben lévő folyadék áramolhat álló vagy nem álló helyzetben. Az áramot ún állomás ha egységenként az áramcső adott szakaszán keresztül. az idő ugyanannyi folyadék (gáz) halad át, ellenkező esetben nem statikus áramlás. Legyen a következő alakú áramcsöve: Ha a folyadék áramlása statikus. Ekkor m 1 =m 2 =…=m n egységnyi idő alatt, ha a folyadék összenyomhatatlan, akkor ρ 1 V 1 =ρ 2 V 2 =…; =ρ n V n, ρ 1 Δx 1 = ρ 2 Δx 2 =…; \u003d ρ n Δx n, ρ 1 υ 1 ΔtS 1 \u003d ρ 2 υ 2 ΔtS 2 =…= ρ n υ n ΔtS n, mivel a folyadék összenyomhatatlan, S = υ ρ = ρ állandó 21 υ = 2 = υ n S n, υS = állandó; υ=const/S a sugárfolytonossági egyenlet. p d v/dt = ρ g– grad P – ekv. Euler - 2. rend. Newton folyadékokhoz és gázokhoz. A törvény megmarad. Energia folyadékokban és gázokban. Lv. Bernoulli. Id. Naz. Összenyomhatatlan folyadék, amelyben a viszkózus súrlódási erők figyelmen kívül hagyhatók. A mozgási energiát nem a súrlódási erők elleni munkára fordítják. Ρυ 2 /2+ρgh + P = állandó – ekv. Bernoulli, ρυ 2 /2 – dinamikus nyomás, ρgh – hidrosztát. Nyomás, P - molekulanyomás. Mυ 2 /2 \u003d E K; mυ 2 /2V= E K /V= ρυ 2 /2. Viszkózus súrlódási erő F A = ​​​​- ηΔυΔS/ΔZ  6 π r η υ – Stokes erő. Η - együttható. viszkozitás, Δυ/ΔZ – grad υ, r – testméretek. Ez Newton képlete a viszkózus súrlódási erőkre. Ha a folyadékban súrlódási erők vannak, akkor id. A folyadék viszkózus lesz. ρ v 1 2 / 2 + ρgh 1 + P 1 = ρ v 2 2 / 2 + ρgh 2 + P 2 ; (P 1 - P 2) \u003d ρ (υ 2 2 - υ 1 2) / 2. Ha ΔP = 0, akkor υ 2 2 - υ 1 2 = 0, és nem lesz folyadékáramlás. Ahol P nagyobb, ott gyors. Kevésbé aktuális. Ha az S keresztmetszet nő, akkor P nő, υ pedig csökken. Ha az áramcső nem vízszintesen fekszik, akkor υ 2 2 -υ 1 2 \u003d 2g (h 1 -h 2); υ \u003d sqrt (2g (h 1 -h 2)) - Torricelli képlete.

HAMILTON-OSTROGRAD ALAPELV

Álló hatáselv, - általános integrál a klasszikus mechanika variációs elve, alapította W.

Hamilton az ideális stacionárius megszorítások által korlátozott holonomrendszerekre, és M. V. Ostrogradskii által nem stacionárius kényszerekre általánosított. G. szerint - O.

stacionárius értéke van a közeli kinematikailag lehetséges mozgásokhoz képest, amelyeknél a rendszer kezdeti és véghelyzete, valamint a mozgás ideje megegyezik a tényleges mozgáséval. Itt T - kinetikus, U- helyzeti energia, L-T-U a rendszer Lagrange függvénye. Bizonyos esetekben az igaz nem csak a funkcionális stacionárius pontjának felel meg S, hanem a legkisebb értéket is adja. Ezért G. -O. n. gyakran hívják. a legkisebb cselekvés elve. Nem potenciális aktív erők esetén F v az akció stacionaritási feltétele d S= 0 helyébe a feltétel lép

Megvilágított.: Hamilton W., A British Association for the Advancement of Science negyedik ülésének jelentése, L., 1835, p. 513-18; Ostrogradsku M., "Mem. de 1" Acad. des Sci. de St-Petershourg", 1850, 8. kötet, 3. sz., 33-48.

V. V. Rumjantsev.

Matematikai enciklopédia. - M.: Szovjet Enciklopédia. I. M. Vinogradov. 1977-1985.

Nézze meg, mi a "HAMILTON - OSTROGRAD ALAPELV" más szótárakban:

A Fisher-elv egy evolúciós modell, amely megmagyarázza, hogy az élőlények fajainak ivararánya, körülbelül 1:1, miért dominál a természetben; amelyben gének több egyed termelésére mindkét nemből ... ... Wikipédia

Hamilton (szintén csak a Hamilton-elv), pontosabban a cselekvés stacionaritásának elve egy olyan módszer, amellyel egy fizikai rendszer mozgásegyenleteit stacionárius (gyakran szélsőséges, általában a kialakult hagyományhoz kapcsolódóan) keresésével kapjuk meg... ... Wikipédia

Huygens szerint a hullámtörés ... Wikipédia

A tudomány módszertanában az az állítás, hogy bármely új tudományos elmélet egy régi, jól bevált elmélet jelenlétében nincs teljes ellentmondásban vele, hanem valamilyen korlátozó közelítésben (speciális eset) ugyanazokat a következményeket adja. Például a törvény ... ... Wikipédia

Diszkrét Pontryagin maximum elv az idő-diszkrét vezérlési folyamatokhoz. Egy ilyen folyamat esetében előfordulhat, hogy az M. p. nem teljesül, bár annak folytonos analógjára, amelyet úgy kapunk, hogy a véges különbség operátort differenciálisra cseréljük ... ... Matematikai Enciklopédia

Vagy Hamilton kezdete, a mechanikában és a matematikai fizikában, a mozgás differenciálegyenletek megszerzésére szolgál. Ez az elv minden anyagi rendszerre kiterjed, függetlenül attól, hogy milyen erőknek vannak kitéve; először ebben fejezzük ki... Enciklopédiai szótár F.A. Brockhaus és I.A. Efron

Posztulátum kvantum. mechanika, amely megköveteli a fizikai egybeesését. következményei nagy kvantumszámok korlátozó esetben a klasszikus eredményeivel. elméletek. S. p.-ban az a tény, hogy a kvantum. a hatások csak a mikroobjektumok figyelembevételével jelentősek, amikor ... ... Fizikai Enciklopédia

Hamilton variációs elve- Hamiltono variacinis principas statusas T terület fizika atitikmenys: engl. Hamilton variációs elv vok. Hamiltonsches Variationsprinzip, n rus. Hamilton variációs elv, m pranc. principe variationnel d'Hamilton, m … Fizikos terminų žodynas

A kvantummechanika posztulátuma (Lásd: Kvantummechanika), amely megköveteli a fizikai következményeinek egybeesését nagy kvantumszámok korlátozó esetére (lásd kvantumszámok) a klasszikus elmélet eredményeivel. S. p.-ben megnyilvánul az a tény, hogy ... ... Nagy szovjet enciklopédia

- (hullámmechanika), olyan elmélet, amely megállapítja a mikrorészecskék (elem. h c, atomok, molekulák, atommagok) és rendszereik (például kristályok) leírásának módszerét és mozgástörvényeit, valamint a mennyiségek kapcsolatát. részecskék és rendszerek jellemzése, fizikaival méretek,...... Fizikai Enciklopédia

Ennek a kifejezésnek más jelentése is van, lásd: Akció (fizika). L2MT−1 akciódimenzió Az akció a fizikában egy skaláris fizikai mennyiség, amely ... Wikipédia

Könyvek

• A gazdasági rendszer mozgásának elvei. Monográfia, Kusner Jurij Szemenovics, Tsarev Igor Gennadievich. Egy gazdasági rendszer mozgásának alapegyenleteit elemző formában mutatjuk be, és megoldjuk a megfelelő módszerek megtalálását a mozgás szabályozására. A matematikát használják...

Az összes integrál és néhány differenciálelv alapjául szolgáló gondolat az az álláspont, hogy egy mechanikai rendszer valós mozgása extremitást kölcsönöz valamilyen fizikai mennyiségnek. Ennek a tételnek a matematikai megfogalmazásához, mint korábban, a valós mozgás mellett figyelembe kell venni az elképzelhető mozgások összességét, egészen határozott követelményeknek támasztva azokat.

Az integrál elvek megfogalmazása a konfigurációs térben történik. Emlékezzünk vissza, hogy egy szabadságfokkal rendelkező rendszer esetében az általánosított koordináták
, amelyek meghatározzák a rendszer pillanatnyi konfigurációját , derékszögű koordinátákként kezelik a megfelelő -dimenziós tér, ami a konfigurációs tér. Idővel a mechanikai rendszer állapota változik, és a rendszert ábrázoló pont egy bizonyos görbét ír le. Célszerű a rendszer mozgását a reprezentatív pont e görbe mentén történő mozgásának tekinteni. Idő ebben a megfontolásban egy paraméter szerepel, és a pálya minden pontja egy vagy több értéknek fog megfelelni .

Ha arra vagyunk kíváncsiak, hogy a rendszer minden pillanatban hol helyezkedik el a konfigurációs pályán , akkor hozzá kell adni egy másik tengelyt
. Ekkor kapunk egy "többdimenziós gráfot" a vizsgált rendszer mozgásáról. Tanulmányozhatjuk például egy többváltozós gráf bizonyos síkra vonatkozó vetületeit is (2.7. ábra). A képen A, B a reprezentatív pont vetületei a pillanatokban és ennek megfelelően a folytonos vonal a valódi, szaggatott vonalat mutatja - az egyik elképzelhető mozgást.

Az integrál elv egy kijelentés arra vonatkozóan, hogy a rendszer valós mozgása hogyan valósul meg egy véges (nem végtelenül kicsi!) időintervallumon keresztül.
. Mi volt a rendszerrel az idő pillanata előtt , minket nem érdekel. De amint az idő kezdeti és végső pillanatai rögzítésre kerülnek, úgy gondolják, hogy a mechanikus rendszer minden elképzelhető mozgáshoz az idő pillanatában ponton halad át DE, ebben a pillanatban - NÁL NÉL; ezek a pontok megfelelnek a rendszer kezdeti és végső helyzetének a tényleges mozgásában.

A mechanikai rendszerek mozgásával kapcsolatos álláspont legáltalánosabb megfogalmazását az úgynevezett legkisebb cselekvés elve tartalmazza (ezt Hamilton-Osztrogradszkij elvnek is nevezik):

A mechanikai rendszer valós mozgása a től számított időintervallumbanelőttolyan, hogy az integrál, az úgynevezett cselekvési függvény és egyenlő

, (60.7)

ahol
-- Az adott mechanikai rendszer Lagrange-ja, van egy szélsőértéke (minimum). Változó nem változik.

Más szóval, a valós mozgás során a cselekvés változásának nullával kell egyenlőnek lennie

(61.7)

feltéve, hogy az összes konfigurációs pálya az idő pillanatában és átmennek a valódi mozgás kezdő- és végpontjain, azaz.

Ez az elv, ellentétben a d'Alembert-féle differenciálelvvel, abban az értelemben szerves, hogy tartalmaz egy megállapítást a rendszer egészének mozgásáról egy véges időn keresztül.
. Valójában a Lagrange-egyenletek következnek belőle, így a legkisebb cselekvés elve alapján egy mechanikai rendszer teljes dinamikáját kapjuk.

Hagyjuk a függvényeket
, írja le az igazi mozgást, i.e.
azokat a funkciókat, amelyekhez minimuma van. Tekintsük a függvénykészletet
ahol
- funkcióváltozatok
, amelyekről azt feltételezzük, hogy kicsik ahhoz képest
tól a teljes időtartam alatt előtt . Ezen kívül minden
kapcsolatokat kielégíteni (62,7). Kiszámoljuk az úgynevezett első variációt , szem előtt tartva, hogy a Lagrange függvény függhet az általánosított koordinátáktól , általánosított sebességek
, és az idő :

Amennyiben
, a második kifejezés in
alkatrészekkel integrálható

.

Feltételek miatt (62,7) az összeg

eltűnik, és a maradék integrál tetszőleges értékek esetén nulla lesz
csak akkor, ha az integrandus összegének minden tagja eltűnik. Így megkapjuk a 2. típusú Lagrange-egyenleteket

. (63.7)

Hasznos megjegyezni, hogy a függvény szélsőértékére vonatkozó feladat megoldásából véges egyenletrendszert kapunk, amelyből megkeressük azt a pontot, ahol a függvény eléri a szélsőértéket. Ebben az esetben egy funkcionálissal, egy szélsőséges feladat megoldásával van dolgunk, amelyet egy 2. rendű differenciálegyenlet-rendszer ad meg. Ezekből az egyenletekből egy vonal található a konfigurációs térben, amelyet a függvények adnak meg
ahol a funkcionális eléri a minimumát. Ezt a vonalat szélsőségesnek nevezik.

Mivel egyik vagy másik mechanikai modell megalkotásának feladata a mozgásegyenletek összeállítása, látjuk, hogy valójában a rendszer dinamikáját egy függvény - a Lagrange-függvény - határozza meg, mivel ez a függvény oldja meg a problémát. A rendszer Lagrange-ja tehát egy érdekes fizikai objektum, melynek vizsgálata a dinamika problémái kapcsán szükséges. Különösen a legkisebb cselekvés elvéből látható, hogy a függvény csak addig van definiálva, amíg hozzá nem adjuk a koordináták és az idő tetszőleges függvényének teljes deriváltját. Ezt úgy kell érteni, hogy a mozgásegyenletei által meghatározott rendszer egynél több Lagrange-függvénynek felel meg . Valóban, legyen
társult, összekapcsolt, társított valamivel hányados

(64.7)

,

.

De azóta
,

és ebből következően a függvények segítségével kapott Lagrange-egyenletek és
, azonos. A (64.7) forma Lagrange-függvényének definíciójának kétértelműsége nincs hatással a mozgásegyenletekre, és minden egyes
a (64.7) osztályból megoldja a rendszer dinamikájának egyedi felépítésének problémáját.

A Lagrange-egyenletrendszer egyik fontos tulajdonsága a kovariancia. Ez azt jelenti, hogy a Lagrange-egyenletek megtartják formájukat az általánosított koordináták 4 ponttranszformációja során

azaz általánosított koordináták használatakor A Lagrange-egyenletek alakja megegyezik:

,

mint az általánosított koordináták használatakor :

.

Igazoljuk közvetlenül, hogy a Lagrange-egyenletek kovariánsak a (65.7) transzformáció tekintetében. Építsünk
:

és származékai

,