Euklidész vagy Euklidész egy ókori görög matematikus. Világhírre tett szert a matematika alapjairól írt „Principia” esszéjének köszönhetően.

2. dia

Szinte semmit sem tudunk ennek a tudósnak az életéről. Róla csak néhány legenda jutott el hozzánk. Az Elemek első kommentátora, Proklosz (i.sz. 5. század) nem tudta megmondani, hol és mikor született és halt meg Eukleidész. Proklosz szerint „ez a tudós ember” I. Ptolemaiosz uralkodása alatt élt. Egy 12. századi arab kézirat lapjain megőriztek néhány életrajzi adatot: „Eukleidész, Naukratész fia, akit „Geometra” néven ismernek, a régi idők tudósa, származása szerint görög, lakóhelye szerint szír, eredetileg Tíruszból származik."

3. dia

Az egyik legenda szerint Ptolemaiosz király a geometria tanulmányozása mellett döntött. De kiderült, hogy ezt nem is olyan könnyű megtenni. Aztán felhívta Eukleidészt, és megkérte, mutasson neki egy könnyű utat a matematikához. „Nincs királyi út a geometriához” – válaszolta a tudós. Így jutott el hozzánk ez a népszerű kifejezés legenda formájában.

4. dia

I. Ptolemaiosz király államának felmagasztalása érdekében tudósokat és költőket vonzott az országba, létrehozva számukra a múzsák templomát - Museiont. Voltak itt dolgozószobák, botanikus és állatkert, csillagászati ​​iroda, csillagászati ​​torony, magányos munkára alkalmas helyiségek, és ami a legfontosabb, egy pompás könyvtár. A meghívott tudósok között volt Eukleidész is, aki Egyiptom fővárosában, Alexandriában matematikai iskolát alapított, és annak diákjai számára írta alapművét.

5. dia

Alexandriában alapított Eukleidész egy matematikai iskolát, és írt egy nagyszerű munkát a geometriáról, amelyet az „Elemek” általános cím alatt egyesítettek - élete fő műve. Feltételezések szerint Kr.e. 325 körül írták. Eukleidész elődei – Thalész, Püthagorasz, Arisztotelész és mások – sokat tettek a geometria fejlesztéséért. De ezek mind külön töredékek voltak, és nem egyetlen logikai séma.

6. dia

Eukleidész kortársait és követőit egyaránt vonzotta a bemutatott információk szisztematikus és logikus jellege. Az „Elvek” tizenhárom könyvből áll, amelyek egyetlen logikai séma szerint épülnek fel. A tizenhárom könyv mindegyike a benne használt fogalmak (pont, egyenes, sík, ábra stb.) meghatározásával kezdődik, majd néhány alapvető rendelkezés (5 axióma és 5 posztulátum) alapján elfogadja. bizonyíték nélkül az egész rendszer geometriailag épül fel.

7. dia

Abban az időben a tudomány fejlődése nem jelentette a gyakorlati matematikai módszerek jelenlétét. Az I-IV. könyv a geometriával foglalkozott, tartalmuk a Pitagorasz iskola műveire nyúlik vissza. Az V. könyvben kidolgozták az arányok tanát, amely szomszédos Knidusi Eudoxusszal. A VII-IX. könyv tartalmazta a számok tanát, amely a pitagorasz elsődleges forrásainak fejlődését képviseli. Az X-XII. könyv tartalmazza a síkbeli és térbeli területek meghatározását (sztereometria), az irracionalitás elméletét (különösen a X. könyvben); A XIII. könyv a szabályos testekről szóló tanulmányokat tartalmaz, Theaetetusig visszanyúlva.

8. dia

Raphael Santi, Euclid, részlet 1508-11, freskó "Athéni Iskola" Stanz della Segnatura, Vatikán, Róma, Olaszország

9. dia

Euklidész „Elvei” a ma is euklideszi geometria néven ismert geometriának a kifejtése. Leírja a tér metrikus tulajdonságait, amelyet a modern tudomány euklideszi térnek nevez. Az euklideszi tér a klasszikus fizika fizikai jelenségeinek színtere, melynek alapjait Galilei és Newton fektette le. Ez a tér üres, határtalan, izotróp, háromdimenziós. Euklidész matematikai bizonyosságot adott az atomok mozgásának üres tér atomisztikus elképzeléséhez. Euklidész legegyszerűbb geometriai objektuma egy pont, amelyet úgy határoz meg, mint aminek nincsenek részei. Más szóval, egy pont a tér oszthatatlan atomja.

10. dia

A tér végtelenségét három posztulátum jellemzi: „Egyenes vonal bármely pontból bármely pontba húzható.” "Egy korlátos egyenes folyamatosan meghosszabbítható egy egyenes mentén." "Egy kör bármely középpontból és bármilyen megoldással leírható."

11. dia

A párhuzamok doktrínája és a híres ötödik posztulátum („Ha egy két egyenesre eső egyenes belső szögeket képez, és az egyik oldalon kisebb, mint két derékszög, akkor korlátlanul meghosszabbítva ez a két egyenes azon az oldalon találkozik, ahol a szögek kisebbek mint két derékszög”) határozza meg az euklideszi tér és geometriájának tulajdonságait, amelyek különböznek a nem euklideszi geometriáktól.

12. dia

Az Elemekről általában azt mondják, hogy a Biblia után az ókor legnépszerűbb írásos emléke. A könyvnek megvan a maga, nagyon figyelemre méltó története. Kétezer évig referenciakönyv volt az iskolások számára, és kezdeti geometriai kurzusként használták. Az Elemek rendkívül népszerűek voltak, és sok másolatot készítettek belőlük szorgalmas írnokok különböző városokban és országokban. Később az „Elvek” papiruszról pergamenre, majd papírra kerültek, négy évszázad alatt 2500 alkalommal jelentek meg az „Elvek”: évente átlagosan 6-7 kiadás jelent meg. A könyv a 20. századig nemcsak az iskolák, hanem az egyetemek számára is a geometria fő tankönyvének számított.

13. dia

Eukleidész "elveit" az arabok, majd az európai tudósok alaposan tanulmányozták. Lefordították őket a világ legjelentősebb nyelveire. Az első eredeti példányokat 1533-ban nyomtatták Bázelben. Érdekesség, hogy az első angol fordítást 1570-ből Henry Billingway készítette, Euclid londoni kereskedő részben megőrzött, részben rekonstruált matematikai munkákat birtokol. két tetszőlegesen választott természetes szám legnagyobb közös osztójának megszerzésére szolgáló algoritmus, valamint egy adott számból prímszámok keresésére szolgáló „Eratoszthenész-számlálás” nevű algoritmus.

14. dia

Euklidész lefektette a geometriai optika alapjait, amelyet „Optika” és „Katoptrica” című munkáiban vázolt fel. A geometriai optika alapkoncepciója az egyenes vonalú fénysugár. Eukleidész azzal érvelt, hogy a fénysugár a szemből származik (a vizuális sugarak elmélete), ami a geometriai konstrukciók szempontjából nem jelentős. Ismeri a visszaverődés törvényét és a homorú gömbtükör fókuszáló hatását, bár a fókusz pontos helyzetét továbbra sem tudja meghatározni.Mindenesetre a fizika történetében Eukleidész, mint a geometriai optika megalapítójának neve bekerült. a megfelelő helye.

15. dia

Az Euklidészben egy monokkord leírását is találjuk - egy húros eszköz a húr és részei hangmagasságának meghatározására. Úgy tartják, hogy a monokordot Pythagoras találta fel, és Eukleidész csak leírta („A kánon felosztása”, ie 3. század). Eukleidész a rá jellemző szenvedéllyel vette fel az intervallumrelációk numerikus rendszerét. A monokkord feltalálása fontos volt a zene fejlődése szempontjából. Fokozatosan egy húr helyett kettőt vagy hármat kezdtek használni. Ekkor kezdődött a billentyűs hangszerek, először a csembaló, majd a zongora megalkotása, és ezek megjelenésének kiváltó oka a matematika volt.

16. dia

Természetesen az euklideszi tér minden jellemzőjét nem azonnal fedezték fel, hanem több évszázados tudományos gondolkodás eredményeként, de ennek a munkának a kiindulópontja Eukleidész „Elemei” volt. Az euklideszi geometria alapjainak ismerete ma már világszerte elengedhetetlen eleme az általános oktatásnak.

17. dia

Információforrások:

http://biographera.net/biography.php?id=50 http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/PictDisplay/Euclid.html

Az összes dia megtekintése

A prezentáció leírása külön diánként:

1 csúszda

Dia leírása:

„Ez a legcsodálatosabb gondolati munka megadta az emberi elmének azt az önbizalmat, amely a későbbi tevékenységéhez szükséges volt. Nem elméleti kutatásra született, aki fiatalkorában nem csodálta ezt az alkotást." Albert Einstein

2 csúszda

Dia leírása:

Euklideszi geometria Az euklideszi geometria a geometria, melynek szisztematikus felépítését először a 3. században adták meg. időszámításunk előtt e. Eukleidész. Az euklideszi geometria axiómarendszere a következő alapfogalmakon alapul: pont, egyenes, sík, mozgás és a következő összefüggéseken: „egy pont egy síkon egy egyenesen fekszik”, „egy pont két másik között van”. A modern megjelenítésben az euklideszi geometriák axiómarendszerét öt csoportra osztják.

3 csúszda

Dia leírása:

Az Elemek Eudoxus szerint felvázolják a planimetriát, a sztereometriát, az aritmetikát és az összefüggéseket. Heiberg klasszikus rekonstrukciójában a teljes mű 13 könyvből áll. Az Elemekben való megjelenítés szigorúan deduktív. Minden könyv definíciókkal kezdődik. Az első könyvben a definíciókat axiómák és posztulátumok követik. Aztán vannak olyan mondatok, amelyek problémákra (amiben valamit meg kell alkotni) és tételekre (amiben valamit bizonyítanod kell) oszlanak. Eukleidész "elemei"

4 csúszda

Dia leírása:

Az első könyv definíciókkal kezdődik, amelyek közül az első hét így hangzik: A pont valami, aminek nincsenek részei („A pont olyan, aminek semmi sem része”). Vonal - hosszúság szélesség nélkül. A vonal élei pontok. Az egyenes az, amelyik minden pontján egyformán fekszik. A felület az, aminek csak hossza és szélessége van. A felület szélei vonalak. Sík felület az, amelyik minden vonalán egyformán fekszik.

5 csúszda

Dia leírása:

A definíciókat követve Eukleidész posztulátumokat ad: Bármely pontból tetszőleges pontba húzható egyenes. A behatárolt vonal egy egyenes mentén folyamatosan meghosszabbítható. Egy kör bármely középpontból bármilyen megoldással leírható. Minden derékszög egyenlő egymással. Ha egy két egyenest metsző egyenes két derékszögnél kisebb belső egyoldalú szögeket alkot, akkor korlátlanul meghosszabbítva ez a két egyenes azon az oldalon találkozik, ahol a szögek kisebbek, mint két derékszög.

6 csúszda

Dia leírása:

A posztulátumokat axiómák követik, amelyek általános állítások jellegével bírnak, amelyek egyformán érvényesek a számokra és a folytonos mennyiségekre: Azok, amelyek azonosak, egyenlők egymással. És ha egyenlőket egyenlőkhez adunk, akkor az egészek egyenlők lesznek. És ha az egyenlőket kivonjuk az egyenlőkből, akkor a maradékok egyenlők lesznek. És ha egyenlőt adunk az egyenlőtlenekhez, akkor az egészek nem lesznek egyenlők. És ugyanannak a dolognak a duplája egyenlő egymással. És ugyanannak a dolognak a felei egyenlők egymással. És azok, amelyek egymással kombinálódnak, egyenlőek egymással. És az egész nagyobb, mint a rész. Két egyenes pedig nem tartalmaz szóközt. Ezután megvizsgáljuk a háromszögek egyenlőségének és egyenlőtlenségének különböző eseteit; tételek párhuzamos egyenesekről és paralelogrammákról; az úgynevezett „lokális” tételek a háromszögek és paralelogrammák területének egyenlőségéről ugyanazon az alapon és azonos magasság alatt. Az I. könyv a Pitagorasz-tétellel zárul.

7 csúszda

Dia leírása:

A II-XIII. könyvek tartalmának áttekintése II. könyv - az úgynevezett „geometriai algebra” tételei. III. könyv – javaslatok a körökről, azok érintőiről és akkordjairól. IV. könyv - javaslatok a beírt és körülírt sokszögekről. Az V. könyv egy általános kapcsolatelmélet, amelyet Cnidus Eudoxus dolgozott ki. VI. könyv - a geometriai alakzatok hasonlóságának tana. A VII., VIII. és IX. könyv az elméleti aritmetikának (az egész számok és a racionális számok elmélete) foglalkozik. X. könyv - összemérhetetlen mennyiségek osztályozása (kvadratikus irracionalitások). XI. könyv - a sztereometria kezdetei. XII. könyv - tételek piramisokról és kúpokról, a kimerítés módszerével bizonyított (területek és térfogatok). XIII. könyv - szabályos poliéderek építése; bizonyíték arra, hogy pontosan öt szabályos poliéder létezik.

8 csúszda

Dia leírása:

Euklidész második művét az Elemek után általában Datanak nevezik, amely bevezető a geometriai elemzésbe. Euklidész birtokolja a „jelenségeket” is, amelyek az elemi szférikus csillagászatnak szentelték őket; „Optika”, a perspektíva elméletének szentelt; "Catoptrics", amelyet a tükrök matematikai elméletének szenteltek; egy kis értekezés „A kánon szakaszai” (tíz feladatot tartalmaz zenei intervallumokról); az ábraterületek felosztásával kapcsolatos problémagyűjtemény „A felosztásokról” (arab fordításban jutott el hozzánk). Mindezen művekben, akárcsak a Principiában, a bemutatás szigorú logikának van alávetve, és a tételek pontosan megfogalmazott fizikai hipotézisekből és matematikai posztulátumokból származnak. Eukleidész művei közül sok elveszett, a múltban való létezésükről csak a más szerzők műveiben található hivatkozásokból tudunk. Egyéb írások

9. dia

Dia leírása:

Az eukleidészi axiómarendszer vizsgálata a 19. század második felében megmutatta annak hiányosságát. 1899-ben D. Hilbert javasolta az euklideszi geometria első kellően szigorú axiomatikáját. Hilbert előtt sok tudós tett kísérletet az euklideszi axiomatika tökéletesítésére, de Hilbert megközelítése a fogalomválasztás minden konzervatív volta ellenére sikeresebbnek bizonyult. David Hilbert (1862-1943) kiemelkedő német egyetemes matematikus volt, aki jelentős mértékben hozzájárult számos matematikai terület fejlődéséhez. Az 1910-1920-as években elismert világelső volt a matematikusok terén.

10 csúszda

Dia leírása:

Az euklideszi geometria megjelenése szorosan összefügg a minket körülvevő világról alkotott vizuális elképzelésekkel (egyenes vonalak - kifeszített szálak, fénysugarak stb.). Megértésünk elmélyítésének hosszú folyamata a geometria elvontabb megértéséhez vezetett. N. I. Lobacsevszkij felfedezése az euklideszi geometriától eltérő geometriára megmutatta, hogy a térről alkotott elképzeléseink nem a priori. Más szóval, az euklideszi geometria nem mondhatja magát az egyetlen geometriának, amely leírja a minket körülvevő tér tulajdonságait. A természettudomány (elsősorban a fizika és a csillagászat) fejlődése megmutatta, hogy az euklideszi geometria csak bizonyos fokú pontossággal írja le a minket körülvevő tér szerkezetét, és nem alkalmas a testek közeli sebességű mozgásával összefüggő tér tulajdonságainak leírására. felvilágosítani. Így az euklideszi geometria a valós fizikai tér szerkezetének leírására szolgáló első közelítésnek tekinthető.

Euklidész vagy Euklidész egy ókori görög matematikus. Világhírre tett szert a matematika alapjairól szóló „Principia” című esszéjének köszönhetően. Euklidész életrajzi adatai rendkívül szűkösek. Eukleidész életéről szinte semmit sem tudunk. Egy 12. századi arab kézirat lapjain megőriztek néhány életrajzi adatot: „Eukleidész, Naukratész fia, Geometra néven ismert, régi idők tudósa, görög származású, szíriai származású, eredetileg Tíruszból származik.” Athénban született, és az Akadémián tanult. A Kr.e. 3. század elején. Alexandriába költözött, és ott alapított egy matematikai iskolát, és annak diákjai számára írta meg alapvető munkáját, amelyet „Elvek” általános cím alatt egyesítettek. Kr.e. 325 körül íródott. Eukleidész

Az aritmetikában Eukleidész három jelentős felfedezést tett. Először (bizonyítás nélkül) megfogalmazta a maradékkal való osztás tételét. Másodszor, kitalálta az „euklideszi algoritmust” – egy gyors módszert a számok legnagyobb közös osztójának vagy a szegmensek közös mértékének megtalálására (ha összemérhetőek). Végül Eukleidész volt az első, aki a prímszámok tulajdonságait tanulmányozta – és bebizonyította, hogy halmazuk végtelen.

Vatikáni Kézirat, 1. köt., 38v 39r. Euclid I prop. 47 (Pitagorasz-tétel). Eukleidész művei közül a leghíresebbek a 15 könyvből álló Elemek. Az Elemek első négy könyve a sík geometriájával foglalkozik, és az egyenes vonalú alakzatok és körök alapvető tulajdonságait tanulmányozza. Az I. könyvet a később használt fogalmak definíciói előzik meg. Természetükben intuitívak, mivel a fizikai valóság alapján határozzák meg őket: „A pont az, aminek nincsenek részei.” "A vonal hosszúság szélesség nélkül." "Egy egyenes az, amely egyenlően helyezkedik el a rajta lévő pontokhoz képest." „A felület az, aminek csak hossza és szélessége van” stb.

A II. könyv lefekteti az úgynevezett geometriai algebra alapjait, amely Pythagoras iskolájába nyúlik vissza. A benne lévő összes mennyiséget geometrikusan ábrázolják, a számokkal végzett műveleteket pedig geometrikusan hajtják végre. A számokat vonalszakaszok váltják fel. A III. könyv teljes egészében a kör geometriájának szentel, a IV. könyv pedig a körbe írt, illetve körülírt szabályos sokszögeket tanulmányozza. Az V. könyvben kidolgozott arányelmélet egyformán jól alkalmazható arányos és összemérhetetlen mennyiségekre. Eukleidész a „nagyság” fogalmába beletartozott a hosszúságok, területek, térfogatok, súlyok, szögek, időintervallumok stb. fogalmába. Elutasította a geometriai bizonyítékok használatát, de elkerülte az aritmetika alkalmazását is, ezért nem rendelt számértékeket a mennyiségekhez.

A VI. könyvben az V. könyv arányelméletét egyenes vonalú alakzatokra, síkbeli geometriára és különösen hasonló alakzatokra alkalmazzák, és „hasonló egyenes alakzatok azok, amelyek szögei sorrendben egyenlőek, oldalai pedig egyenlő szöget zárnak be. arányos." A VII., VIII. és IX. könyv a számelméletről szóló értekezést alkot; az arányelméletet a bennük lévő számokra alkalmazzák. A VII. könyv meghatározza az egész számok arányának egyenlőségét, vagy modern szemszögből a racionális számok elméletét építi fel. A számok Eukleidész által vizsgált számos tulajdonsága közül (paritás, oszthatóság stb.) idézzük például a IX. könyv 20. tételét, amely az „elsők” végtelen halmazának létezését állapítja meg, ti. prímszámok: "Több prímszám van, mint ahány prímszám kínált." Ellentmondásos bizonyítása még mindig megtalálható az algebrai tankönyvekben.

Az X könyv nehezen olvasható; tartalmazza a másodfokú irracionális mennyiségek osztályozását, amelyeket ott geometriai vonalakkal és téglalapokkal ábrázolnak. Így van megfogalmazva az 1. mondat Euklidész elemei X. könyvében: „Ha két egyenlőtlen mennyiséget adunk meg, és a nagyobbikból levonunk egy felénél nagyobb részt, a maradékból pedig ismét egy felénél nagyobb részt, és ez folyamatosan ismétlődik, akkor egyszer marad egy mennyiség, amely kisebb, mint a megadott mennyiségek közül a kisebb." Modern nyelven: Ha a és b pozitív valós számok, és a > b, akkor mindig létezik olyan m természetes szám, amelyre mb > a. Euklidész bebizonyította a geometriai transzformációk érvényességét. b, akkor mindig létezik olyan m természetes szám, amelyre mb > a. Euklidész bebizonyította a geometriai transzformációk érvényességét.">

A XI. könyv a sztereometriának szól. A XII. könyvben, amely szintén valószínűleg Eudoxusig nyúlik vissza, a görbe vonalú alakzatok területeit a kimerítés módszerével hasonlítják össze a sokszögek területeivel. A XIII. könyv témája a szabályos poliéderek felépítése. A platóni szilárd testek felépítése, amelyekkel a jelek szerint az „elvek” kiteljesednek, okot adott arra, hogy Eukleidészt Platón filozófiájának követői közé soroljuk.

Eukleidész második művét az Elemek után általában Datanak nevezik, ami egy bevezető a geometriai elemzésbe. Eukleidész is írt a „Jelenségek” című, az elemi gömbcsillagászatnak szentelt „Optikát” és „Katoprikut”, egy kis értekezést „A kánon szakaszai” (tíz feladatot tartalmaz a zenei intervallumokra), az ábrák területének felosztására vonatkozó problémagyűjteményt. A hadosztályokról” (arab fordításban érkezett hozzánk). Mindezen művekben, akárcsak a Principiában, a bemutatás szigorú logikának van alávetve, és a tételek pontosan megfogalmazott fizikai hipotézisekből és matematikai posztulátumokból származnak. Eukleidész művei közül sok elveszett, a múltban való létezésükről csak a más szerzők műveiben található hivatkozásokból tudunk.

A kiváló ókori görög matematikus, Eukleidész Megarában, egy görög kisvárosban született. Életéről nagyon keveset tudunk, ennek az embernek még születési és halálozási dátuma sem ismert. Általában csak a Krisztus előtti negyedik századra utalnak, amikor született, és az időszámításunk előtti harmadik századot, Alexandriában, Egyiptom fővárosában, a görög-macedón Ptolemaiosz-dinasztia alatt. Az ókori világban a Ptolemaioszoknak nem volt párja a tudósok, írók, feltalálók és költők pártfogásában. Ismeretes, hogy Platón tanítványa volt.

Egy napon Ptolemaiosz király megkérdezte Eukleidészt, hogy van-e más, kevésbé bonyolult módja a geometria megértésének, mint amit a tudós az „Elvek”-ben felvázolt. Eukleidész így válaszolt: Ó király, a geometriában nincsenek királyi utak ».

• A tudósok sokáig azt hitték, hogy nincs konkrét történelmi alak, matematikusok egy csoportja rejtőzik Eukleidész név alatt. Létezésére azonban bizonyítékot találtak egy 12. századi kéziratban, amelyet megtaláltak. Eukleidész Alexandriában kötött ki tanárként a Museionban, i.e. szó szerint „a múzsák lakhelye”, sőt – a jövő európai egyetemeinek prototípusa. Ebben a csodálatos városban készítette Eukleidész „Elemek” (vagy latinosított formában „Elemek”) című munkáját. Az Elemek tizenöt könyve tartalmazza az ókori matematika szinte valamennyi legfontosabb vívmányát. Több mint kétezer évig Eukleidész munkája maradt az elemi matematika fő munkája. De Eukleidész teljesítménye nem csupán az, hogy törvényeket és tételeket fedezett fel, hanem az is, hogy a nagy matematikus egy rendszerbe hozott különböző és kiterjedt elméleti anyagokat, és olyan sorrendbe rendezte, hogy minden tétel az előzőt követte. Ő adta meg az első axiómarendszert – a bizonyítás nélkül elfogadott állításokat. Az a tény, hogy a matematikát a legegaktabb tudománynak nevezik, Eukleidész jelentős érdeme.
• Most beszéljünk arról, hogy pontosan mik voltak Eukleidész felfedezései.

• A geometriai algebra (a szakasz- és területszámítás tudománya) alapjai kerültek bemutatásra I. könyv"Kezdődött". Ott figyelembe veszik a szegmenseket, és meghatározzák a rajtuk végzett aritmetikai műveleteket. Például két szegmenst úgy adtunk össze, hogy az egyiket egymás mellé helyeztük, és úgy vontuk ki, hogy a nagyobb szegmensből eltávolítottak egy kisebb részt. A geometriai algebrában definiált kalkulus „echelon” volt. Az első szakasz szegmensekből állt, a második - területek, a harmadik - kötetek. Az eszközök, amelyekkel a geometriai algebrában konstrukciókat lehetett végrehajtani, az iránytű és a vonalzó.
• BAN BEN könyv II figyelembe veszik a háromszögek, téglalapok, paralelogrammák alapvető tulajdonságait és összehasonlítják területeiket. A könyv a Pitagorasz-tétellel zárul.
• BAN BEN könyv III figyelembe veszik a kör tulajdonságait, érintőit és akkordjait (ezeket a problémákat Khioszi Hippokratész vizsgálta a Kr.e. V. század második felében).

1739-ben a „Kezdetek” című könyvet lefordították oroszra. Ön előtt van a könyv első oldala.

• BAN BEN könyv IV- szabályos sokszögek. BAN BEN V. könyv adott a Cnidusi Eudoxus által alkotott mennyiségek összefüggéseinek általános elmélete; század második felében kialakult valós számelmélet prototípusának tekinthető. Az általános összefüggéselmélet a hasonlóság tanának (VI. könyv) és a kimerülés módszerének (VII. könyv) az alapja, amely szintén Eudoxusig nyúlik vissza. BAN BEN könyvek VII-IX bemutatjuk a számelmélet kezdeteit, a legnagyobb közös osztó keresési algoritmusa vagy az euklideszi algoritmus alapján. Ezek a könyvek magukban foglalják az oszthatóság elméletét, beleértve az egész szám prímtényezőkké történő faktorizálásának egyediségéről és a prímszámok számának végtelenségéről szóló tételeket; A racionális (pozitív) számok elméletéhez hasonlóan kifejti az egész számok arányának doktrínáját is. BAN BEN könyv X megadjuk a másodfokú és bikvadratikus irracionalitások osztályozását, és alátámasztjuk az átalakulásukra vonatkozó néhány szabályt. A X. könyv eredményeit a XIII. könyvben használják a szabályos poliéderek élhosszának meghatározására. Lényeges rész könyv X. és XIII(valószínűleg VII) Theaetetushoz tartozik (Kr. e. 4. század eleje). BAN BEN könyv XI körvonalazódnak a sztereometria alapjai.
• BAN BEN könyv XII Kimerítési módszerrel meghatározzuk két kör területének arányát, valamint egy gúla és egy prizma, egy kúp és egy henger térfogatának arányát. Ezeket a tételeket először Eudoxus bizonyította be.
• Végül be könyv XIII meghatározzuk két golyó térfogatának arányát, öt szabályos poliédert szerkesztünk, és bebizonyítjuk, hogy nincs más szabályos test.
• A későbbi görög matematikusok hozzáadták Euklidész elemeit XIV és XV könyv, amely nem Eukleidészé volt. Gyakran még most is az „Elvek” főszövegével együtt teszik közzé őket. Ott figyelembe veszik a szegmenseket, és meghatározzák a rajtuk végzett aritmetikai műveleteket.

A legrégebbi papirusz töredéke diagramokkal Euklidész Geometria elemeiből

• A citadella (középkori erőd) ben épült XII század

Al-Mursi Abul Abbas mecsetben Alexandria .

Hurghada. Palace 1000 és 1 éjszaka. Alexandria

Alexandriai öböl