A bûnözés, mint elágazás a dinamikus káoszban. Bifurkáció (oszcillációelmélet)

A bifurkáció típusainak tanulmányozásához tanácsos saját maga megérteni. Általános esetben a teljes fázistér tanulmányozása bifurkációs pontok esetében nehéz feladat az n-dimenziós tér számára, ezért lokális vizsgálatokat végeznek, és az így kapott bifurkációs pontokat ún. helyi bifurkációs pontok. A lokális bifurkációs pontok nyomon követhetők az egyensúlyi állapotok és a periodikus mozgások Bifurkációs rendszerében a kis zavarok kialakulásának megfigyelésével egy labda példáján. Közülük a legegyszerűbb és legfontosabb az egyensúlyi állapotok bifurkációi és a periodikus mozgások.

Az egyensúlyi helyzetek kettéosztása

Az egyensúlyi állapotok fő elágazásai a következők:

1. két egyensúlyi állapot összeolvadása és későbbi eltűnése. Példa erre a labda mozgása egy potenciális „kútban” egy „polccal” (1. ábra). Amikor a BD „polc” kisimul, a „nyereg” S egyensúlyi állapot és a C 2 középpont egyesül és eltűnik (2. ábra).

1. ábra - Egy labda mozgásának sémája egy „gödörben” egy „polccal” (a) és a fázisportréjával (b) 2. ábra - A labda elágazás utáni mozgásának sémája (a) és fázisportréja (b)

• Egy határciklus születése az egyensúlyi állapotból. Példa egy ilyen elágazásra Hopf bifurkáció.

Vegyünk egy dinamikus rendszert (1) Dinamikus rendszer Egy komplex dinamikus rendszer leegyszerűsített kifejezése, amelyet a függvények írnak le x(t)És y(t), amelyeket a megfelelő polárkoordinátákkal fejezünk ki: és Hopf-rendszernek nevezzük. Az (1) rendszer két paramétertől függ, amelyek közül az egyik λ kulcsfontosságú lesz számunkra és a másik számára с=konst. A Cauchy-probléma megoldásai bizonyos kezdeti értékekre r(t=0)=r 0, "phi;(t=0)="phi; 0 nál nél λ < 0 ábrán látható fázisportrét és dinamikai grafikont adjuk meg. 3.
3. ábra - Dinamikai grafikon (a) és fázisportré (b) Ebben az esetben csak egy speciális pont van - állandó fókusz. Készítsünk most egy dinamikai gráfot és egy fázisportrét az esetre λ > 0 (λ = 4)(lásd 4. ábra)
3. ábra – A dinamika (a) és a fázisportré (b) grafikonja λ > 0 esetén. A különböző színek a szétválást mutatják különböző kezdeti feltételek mellett. Amint látjuk, a rendszer egy rövid átmenet után oszcillációs üzemmódba lép, és a rezgések amplitúdója és frekvenciája nem függ a kezdeti feltételektől (bármilyen kezdeti feltétel esetén a rendszer ugyanabba az oszcillációs állapotba kerül). A fázisportréban a különböző kezdeti feltételek megoldásai mintegy zárt görbe köré „tekernek”. Ez a görbe, amelyhez t -> ∞ hajlamos a Cauchy-probléma megoldására, attraktor és ún határciklus. Ezt a határciklust leíró oszcillációs folyamatot ún önrezgések. Az önrezgések formájában történő leválasztás csak lényegében nemlineáris dinamikus rendszerekben lehetséges. Hopf dinamikus rendszer nemlinearitása van egy paraméter kocka formájában, és további nemlinearitást ír elő a függvények meghatározása x(t)És y(t) mint trigonometrikus függvények kifejezései. Bizonyítható, hogy egy adott dinamikus rendszerre a rezgések amplitúdója egyenlő. Így, λ = 0 - a paraméter bifurkációs értékei. Ezen a ponton a csomópont elveszti stabilitását, és helyette egy stabil határciklus születik. A határciklus egy fix pontból való születésének ezt a kettéválását ún Hopf bifurkáció, és az önrezgések születése lágy (kis paraméter változtatásokkal a rezgések kis amplitúdójúak, ami növekedésével nő). Az önrezgések kemény születése - a paraméter kis változásaival a pálya „kidobódik” egy másik attraktor vonzáskörzetébe.

• Három egyensúlyi állapot születése egy egyensúlyi állapotból a szimmetria spontán megsértése. Például, amikor egy golyó egy horonyban mozog, feltéve, hogy gumó jelenik meg benne, egy bifurkáció jelenik meg, amelyben három egyensúlyi állapot keletkezik a „közép” típusú degenerált állapotból - az S nyereg és a C1 és C2 középpontok. 4)

4. ábra - Születések három egyensúlyi állapotból, a paraméter kis változásával (vályú alakja): a) mélyedés alakja egy minimummal és a megfelelő fázisportré egy „közép” típusú egyensúlyi állapottal; b) a vályú alakja két minimummal és a megfelelő fázisportré három egyensúlyi állapottal: „nyereg” S és „középpontok” C1 és C2

A periodikus mozgás születési (halálozási) bifurkációi

Az egyensúlyi állapotok születésének vagy halálának minden elágazása megfelel egy vagy több gyökér nullán való áthaladásának. Ezt a lehetőséget a ábra szemlélteti. 5, amely két egyensúlyi állapot, például a „nyereg” és a „csomópont” halálát ábrázolja. Hasonló elágazás lép fel az azonos forrásból táplálkozó X1 és X2 fajok közötti versengés problémáiban. A populáció méretét leíró megfelelő dinamikus rendszert a következő egyenletek adják meg: Ha a rendszerben ρ 1,2 > 1, akkor lehetséges az egyik típus „győzelme”. Ha a ρ 1.2 paraméterek bármelyike ​​1-nél kisebb értékre csökken, bármely kezdeti körülmény között csak egy faj marad életben (5. ábra, b). 5. ábra - A lakosság számának fázisportréi, a) at ρ 1< 1 , ρ 2 > 1; b) mikor ρ 1,2 > 1

A periódusos mozgások stabilitásváltozásának bifurkációi

Jelentős jellemző stabilitási elágazások- a szorzók értékei a kritikus pillanatban, amelyek a kis zavarok erősítési (csillapítási) együtthatói a periódusos mozgás hátterében a T periódus alatt. Egy autonóm rendszerben az egyik szorzó mindig egyenlő eggyel, így a jövőben másokról fogunk beszélni. Ha minden szorzó abszolút értékben kisebb, mint egység, akkor a kezdeti periodikus mozgás stabil. A stabilitás eltűnésével járó elágazások a rendszerparaméterek olyan értékeinél jelentkeznek, amelyeknél egy vagy több modulusa 1-gyel egyenlő.

Előszó
1. fejezet Az egyensúlyi helyzetek kettéágazásai
§ 1. Családok és deformációk
1.1. Vektor mező családok
1.2. A fúvókák tere
1.3. Sard lemma és transzverzalitási tételei
1.4. Legegyszerűbb alkalmazások: tipikus vektormezők szinguláris pontjai
1.5. Topológiailag irreális deformációk
1.6. Redukciós tétel
1.7. Tipikus és fő családok
2. § Szinguláris pontok bifurkációi tipikus egyparaméteres családokban
2.1. Tipikus hajtások és főcsaládok
2.2. Puha és kemény kihajlás
3. § Szinguláris pontok bifurkációi általános helyzetű többparaméteres családokban a lineáris rész egyetlen degenerációjával
3.1. Fő családok
3.2. A fő családok bifurkációs diagramja (3±)
3.3. Bifurkációs diagramok (a gyenge ekvivalenciához viszonyítva) és a fő családok fázisportréi (4±)
4. § Vektormezők szinguláris pontjainak bifurkációi a lineáris rész kettős degenerációjával
4.1. A degenerációk listája
4.2. Két logikai sajátérték
4.3. Redukciók kétdimenziós rendszerekre
4.4. Nulla és egy pár tisztán képzeletbeli sajátérték
4.5. Két tisztán képzeletbeli pár
4.6. Nehéz típusú egyenletek fő deformációi két képzeletbeli pár problémájában (Zholondek szerint)
5. § A puha és kemény kihajlás jelzői
5.1. Definíciók
5.2. Mutató táblázat
2. fejezet Határciklusok bifurkációi
1. § Határciklusok kettéosztása tipikus egyparaméteres családokban
1.1. Szorzó 1
1.2. Szorzó -1 és perióduskétszerező bifurkáció
1.3. Komplex konjugált szorzópár
1.4. Nem lokális bifurkációk a diffeomorfizmusok egyparaméteres családjaiban
1.5. A periodikus megoldások nemlokális bifurkációi
1.6. Az invariáns tori bomlásának bifurkációi
2. § Ciklusok bifurkációi tipikus kétparaméteres családokban egyetlen járulékos degenerációval
2.1. A degenerációk listája
2.2. Szorzó 1 vagy -1 további degenerációval nemlineáris értelemben
2.3. Egy pár szorzó az egységkörön további degenerációval nemlineáris értelemben
3. § Ciklusok bifurkációi tipikus kétparaméteres családokban, erős rendrezonanciával (?)
3.1. Normál forma unipotens jordán sejt esetén
3.2. Homogenizáció Seifert és Möbius foliációban
3.3. Főbb mezők és deformációk
3.4. A fő deformációk sokoldalúsága
3.5. Erős rendű rezonanciájú periodikus differenciálegyenletek stacionárius megoldásainak bifurkációi (?)
4. § Határciklusok kettéválasztása, amikor egy szorzópár áthalad (?)
4.1. Degenerált családok
4.2. Analitikusan talált degenerált családok
4.3. Degenerált családok számszerűen találtak
4.4. Elágazások nem degenerált családokban
4.5. Negyedrendű szimmetriájú rendszerek határciklusai
5. § A helyi családok végleg sima normál formái
5.1. Az eredmények áttekintése
5.2. Definíciók és példák
5.3. Nem rezonanciás csírák általános tételei és deformációi
5.4. Redukció lineáris normál formára
5.5. Poincaré típusú diffeomorfizmusok csíráinak deformációi
5.6. A diorezoi hiperbolikus csírák deformációi
5.7. Csírák deformációi, vektormezők egy nulla sajátértékkel szinguláris pontban
5.8. A vonaldiffeomorfizmusok funkcionális invariánsai
5.9. A lokális diffeomorfizmuscsaládok funkcionális invariánsai
5.10. A vektormezők családjainak funkcionális -invariánsai
5.11. A vonaldiffeomorfizmusok lokális családjai topológiai osztályozásának funkcionális invariánsai (Russari szerint)
6. § Feigenbaum univerzalitás diffeomorfizmusokra és áramlásokra
6.1. A duplázások kaszkádja
6.2. Rögzített pontok átrendezése
6.3. Kaszkád (?)-szeres növekedés a periódusban
6.4. Duplázás Hamilton rendszerekben
6.5. Megkettőző operátor az egydimenziós "leképezésekhez"
6.6. Univerzális megkettőzési mechanizmus a diffeomorfizmusokhoz
3. fejezet Nem lokális bifurkációk
1. § A kodimenzió elfajulása 1. Az eredmények összefoglalása
1.1. Lokális és nem lokális bifurkációk
1.2. Nem hiperbolikus szinguláris pontok
1.3. Nem hiperbolikus ciklusok
1.4. Az elosztók nem keresztirányú metszéspontjai
1.5. Körvonalak
1.6. Bifurkációs felületek
1.7. A bifurkációk jellemzői
1.8. Az eredmények összefoglalása
2. § Az áramlások nem lokális bifurkációi kétdimenziós felületeken
2.1. Az áramlások félig lokális bifurkációi a felületeken
2.2. Nem lokális bifurkációk egy gömbön; egyparaméteres eset
2.3. A vektormezők tipikus családjai
2.4. A tipikusság feltételei
2.5. Egyparaméteres családok a gömbön kívüli felületeken
2.6. Rendszerek globális bifurkációi, globális szekánssal a tóruszon
2.7. Néhány globális elágazás a Klein-palackon
2.8. Bifurkációk kétdimenziós gömbben. Többparaméteres eset
2.9. Néhány nyitott kérdés
3. § Nem hiperbolikus szinguláris pont homoklinikai pályáinak bifurkációi
3.1. Csomó a hiperbolikus változókon
3.2. Nyereg hiperbolikus változókban: egy homoklinikai pálya
3.3. Bernoulli topológiai diagram
3.4. Nyeregpont hiperbolikus változókban: több homoklinikai pálya
3.5. Fő családok
§ 4. A homoklinikai pályák bifurkációi4 és a hiperbolikus ciklus
4.1. A homoklin trajektóriák családjának felépítése
4.2. Kritikus és nem kritikus ciklusok
4.3. Sima kétdimenziós attraktor születése
4.4. Komplex invariáns halmazok születése (nem kritikus eset)
4.5. Kritikus eset
4.6. Kétlépcsős átmenet a stabilitásból a turbulenciába
4.7. A homoklinikai pályák nem kompakt halmaza
4.8. Szakaszosság
4.9. Elérhetőség, elérhetetlenség
4.10. Diffeomorfizmusok családjainak stabilitása
4.11. Néhány nyitott kérdés
5. § Hiperbolikus szinguláris pontok homoklinikai pályával
5.1. Előzetes fogalmak: vezetői irányok és nyeregmennyiségek
5.2. A Morse-Smale rendszerek halmazának határán fellépő homoklin nyeregpályák bifurkációi
5.3. Általánosság követelményei
5.4. Főbb családok R3-ban és tulajdonságaik
5.5. A fő családok sokoldalúsága
5.6. Nyereg integrált vezető iránnyal az R3-ban
5.7. Kiegészítés: homoklin hurkok bifurkációi a Morse-Smale rendszerek halmazának határán kívül
6. § Nem keresztirányú kereszteződésekhez kapcsolódó elágazások
6.1. Vektormezők kontúrok és homoklinikai pályák nélkül
6.2. Elérhetetlenségi tétel
6.3. Modulok
6.4. Rendszerek hurokkal
6.5. Diffeomorfizmusok nemtriviális bázishalmazokkal
6.6. Vektormezők az R3-ban homoklin cikluspályával
6.7. Szimbolikus dinamika
6.8. A "Smale patkóinak" elágazásai
6.9. Vektor mezők egy bifurkációs felületen
6.10. Diffeomorfizmusok stabil periodikus pályák végtelen halmazával
7. § Végtelen nem vándorhalmaz
7.1. Vektormezők egy kétdimenziós tóruszon
7.2. Két homoklin nyereggörbével rendelkező rendszerek bifurkációi
7.3. Feigenbaum attraktorokkal ellátott rendszerek
7.4. Nem vándorhalmazok születése
7.5. Az invariáns sokaságok konzerválása és simasága (Fenichel szerint)
7.6. Degenerált család és környéke funkciótérben
7.7. A tori születése háromdimenziós fázistérben
8. § Vontatók és elágazásaik
8.1. Valószínűségi határértékek (Milnor szerint)
8.2. Statisztikai határkészletek
8.3. Az attraktorok belső bifurkációi és válságai
8.4. Az egyensúlyi helyzetek és ciklusok belső bifurkációi és válságai
8.5. Kétdimenziós tórusz bifurkációi
4. fejezet Relaxációs oszcillációk
1. § Alapfogalmak
1.1. Példa. Van der Pol egyenlet
1.2. Gyors és lassú mozgások
1.3. Lassú felület és lassú egyenlet
1.4. Lassított mozgás, mint a perturbált érték közelítése
1.5. Stall jelenség
2. § A gyors és lassú mozgás jellemzői
2.1. A gyors mozgás sajátosságai egy gyorsváltozós rendszerek meghibásodási pontjain
2.2. A lassú felületkialakítás jellemzői
2.3. Lassított rendszer egy lassú változóval
2.4. Lassított mozgás két lassú változóval
2.5. A lassított fázisgörbék normál alakjai
2.6. Az egyenletelmélettel való kapcsolat a derivált tekintetében nem megoldott
2.7. Az érintkező szerkezet degenerációja
3. § A relaxációs oszcillációk aszimptotikus viselkedése
3.1. Degenerált rendszerek
3.2. Első közelítő rendszerek
3.3. Gyors-lassú egyenletek normalizálása két lassú változóval (?)>0 esetén
3.4. Első közelítő rendszerek származtatása
3.5. Első közelítő rendszerek tanulmányozása
3.6. Tölcsérek
3.7. Periodikus relaxációs oszcillációk egy síkon
§ 4. A stabilitás elvesztésének meghosszabbítása, amikor egy pár sajátérték áthalad a képzeletbeli tengelyen
4.1. Tipikus rendszerek
4.2. A kihajlás elhúzódása
4.3. Kihajlás súlyossága 2-es típusú analitikai rendszerekben
4.4. Hiszterézis
4.5. Meghúzó mechanizmus
4.6. A meghibásodás pillanatának kiszámítása analitikai rendszerekben
4.7. Meghúzás a kihajlási ciklus során
4.8. A stabilitásvesztés és a "kacsák" szigorítása
§ 5. Kacsa megoldások
5.1. Példa: szinguláris pont egy lassú felület hajtásán
5.2. Kacsa megoldások megléte
5.3. Egyszerű degenerált kacsák evolúciója
5.4. Félig lokális jelenség: kacsák relaxációval
5.5. Kacsák és (?) és (?)
Ajánlott olvasmány
Irodalom

Az evolúciós folyamatot matematikailag egy vektormező írja le fázistér(egy absztrakt tér, amelynek dimenziói száma megegyezik a rendszer állapotát jellemző változók számával). A fázistér pont határozza meg állapot rendszerek. Az ezen a ponton alkalmazott vektor az állapotváltozás sebességét jelzi. Csillapítás esetén bármely kezdeti érték fázispályái egy pontban érnek véget, ami nyugalmi állapotnak felel meg. Ilyen pontokon a vektor eltűnhet. Az ilyen pontokat egyensúlyi pozícióknak nevezzük (az állapot idővel nem változik). A fázispályák redőket hoznak létre a fázistéren belül.

A kaotikus pályákkal kitöltött fázistér tartományát ún furcsa attraktorok.

A furcsa attraktorok legfontosabb tulajdonsága a fraktalitás. Fraktálok- ezek olyan tárgyak, amelyek növekedésével egyre több részletet mutatnak be. A káosz fraktálokat generál, és a fraktálok fázispályája is önhasonlóság, azaz ha kiválasztunk két közeli pontot egy fraktál fázispályáján, majd ezt követően növeljük a léptéket, a pontok közötti pálya ugyanolyan kaotikusnak bizonyul, mint az egész. A fraktálhalmazok bevezetése számos jelenség magyarázatát és előrejelzését teszi lehetővé a legkülönbözőbb területeken.

A katasztrófaelmélet matematikai képei hullámmezőkben valósulnak meg. Azon pontok geometriai elhelyezkedését, amelyekre a hullámtér fókuszál, az optikában kausztikának nevezik. A maró anyagok keresztezésekor a rendszer állapota hirtelen megváltozik. Az átmenet pillanatát a rendszer tulajdonságai és a benne lévő fluktuáció mértéke határozza meg. Az átállás során két alapelv érvényesül: a maximális késleltetés elve, stabil szint megléte határozza meg, és Maxwell elve a rendszer állapotát globális minimummal meghatározva.

A rendszerben az egyensúlyhiány elmélyülésével fellépő bifurkációk sorrendje megváltozik, és a folyamat különböző forgatókönyveket követ (például lamináris áramlásból turbulens áramlásba való átmenet).

Miután a paraméter áthalad egy ciklus születésének megfelelő bifurkációs értéken, vagy az önrezgések lágy megjelenése után a rendszer egy ideig az instabil állapot közelében marad, amely alatt a paraméter véges értékre változik. Ezek után a rendszer a bifurkáció pillanatában önoszcillációs üzemmódba ugrik (ami már kemény lett).

A 4. ábra egy olyan rendszer fázisportréját mutatja, amely leírja a ragadozó és a zsákmány (mondjuk a csuka és a kárász) kapcsolatát. A fázistér a sík pozitív negyede. A kárászok számát az abszcissza tengely mentén, a csukák számát az ordináta tengely mentén ábrázoljuk. A P pont az egyensúlyi helyzet. Az A pont a kárász egyensúlyi számának felel meg, ahol 16 db csuka kevesebb, mint az egyensúlyi szám. Látható, hogy idővel oszcillációk jönnek létre a rendszerben; egyensúlyi állapot Fig. Instabil. A steady-state rezgéseket zárt görbe jelzi fázissík. Ezt a görbét határciklusnak nevezzük.

Egy olyan pont közelében, amely nem egyensúlyi helyzet, a fázistér fázisgörbékre való felosztása ugyanúgy elrendeződik, mint a párhuzamos vonalakra való felosztás: egy fázisgörbe-család párhuzamos vonalak családjává alakítható. változó koordináták. Az egyensúlyi helyzet közelében a kép bonyolultabb.

4. ábra. Fázisportré a „ragadozó-zsákmány” rendszer evolúciójáról

A valós evolúciós folyamatokat leíró rendszerek általában általánosak. Valójában egy ilyen rendszer mindig olyan paraméterektől függ, amelyeket soha nem ismerünk pontosan.

A visszacsatolás nélküli gazdálkodás mindig katasztrófához vezet: fontos, hogy a felelős döntéseket hozó egyének és szervezetek személyesen és anyagilag függjenek e döntések következményeitől.

Az átstrukturálás problémájának nehézsége annak nemlinearitásából fakad. A hagyományos gazdálkodási módszerek, amelyekben az erőfeszítések arányosak, itt nem működnek, és speciális fejlesztésre van szükség nemlineáris intuíció, a nemlineáris elmélet olykor paradox következtetései alapján.

Íme néhány minőségi egyszerű következtetés az átrendeződések matematikai elméletéből egy állandósult állapotú nemlineáris rendszerrel kapcsolatban, amelyet rossznak ismernek el, mivel a láthatóság határain belül van a rendszer jobb, előnyösebb stabil állapota.

1. A fokozatos mozgás a jobb állapot felé azonnal romláshoz vezet. A romlás mértéke egyenletes mozgással a jobb állapot felé növekszik.

2. Ahogy egy rosszabb állapotból egy jobbba lépsz, úgy nő a rendszer ellenállása az állapot megváltoztatásával szemben.

3. A maximális ellenállás a legrosszabb állapot előtt érhető el, amelyen át kell haladni a legjobb állapot eléréséhez. A maximális ellenállás túllépése után az állapot tovább romlik.

4. A szerkezetátalakítás útján a legrosszabb állapothoz közeledve az ellenállás egy bizonyos pillanattól kezdődően csökkenni kezd, és amint a legrosszabb állapoton túllépünk, nemcsak az ellenállás tűnik el teljesen, hanem a rendszer is vonzódni kezd. jobb állapotba.

5. A jobb állapot eléréséhez szükséges romlás mértéke összemérhető a végső javulással, és a rendszer javulásával növekszik. Egy gyengén fejlett rendszer szinte előzetes romlás nélkül is jobb állapotba kerülhet, míg egy fejlett rendszer stabilitása miatt nem képes ilyen fokozatos, folyamatos fejlesztésre.

6. Ha a rendszer azonnal, hirtelen és nem folyamatosan átvihető egy rossz stabil állapotból elég közel egy jó állapotba, akkor magától fejlődik a jó állapot felé.

Az átstrukturálás matematikai elmélete nélkül az összetett és kevéssé ismert nemlineáris rendszerek tudatos irányítása gyakorlatilag lehetetlen. Nincs azonban szükség speciális matematikai elméletre annak megértéséhez, hogy a természet és a társadalom törvényeinek figyelmen kívül hagyása (legyen az a gravitáció törvénye, az értéktörvény vagy a visszacsatolás igénye), a szakemberek kompetenciájának hanyatlása és a személyes tudás hiánya. a meghozott döntésekért való felelősség előbb-utóbb katasztrófához vezet.

Ezt a kiadványt (összesen in 63 cikkek)

Bifurkációs elmélet

Megjegyzés: A differenciálegyenletek egyensúlyi helyzetek és határciklusok fázisportréinak bifurkációinak elmélete az első két fejezetben kerül bemutatásra, az előadás az alapfogalmakkal és tényekkel kezdődik, majd a tipikus egyparaméteres családok határán előforduló bifurkációira vonatkozó új eredményekkel zárul. Morse-Smale rendszerek halmaza. A relaxációs oszcillációkat a szingularitáselmélet és a normálalakelmélet szempontjából vizsgáljuk; a kihajlás késleltetésére és a kacsaoldatokra vonatkozó eredményeket tartalmazza.
Biblia 206.

Teljes szöveg: PDF fájl (31704 kB)

Absztrakt adatbázisok:

Bejegyzés típusa: Cikk
UDC: 517.925 +517.928

Idézet minta: V. I. Arnold, V. S. Afraimovics, Yu. S. Ilyashenko, L. P. Silnikov, „Kifurkációs elmélet”, Dinamikus rendszerek - 5, Tudomány és technológia eredményei. Ser. Hazudjunk. probléma mat. Fundam. irányok, 5, VINITI, M., 1986, 5-218

Idézet formátuma AMSBIB

\Bibitem(ArnAfrIly86)
\V.~I.~Arnold, V.~S.~Afraimovich, Yu.~S.~Ilyashenko, L.~P.~Shilnikov
\papír Bifurkációs elmélet
\inbook Dinamikus rendszerek~--~5
\Serial Results of Science and Technology. Ser. Hazudjunk. probléma mat. Fundam. irányokat
\év 1986
\vol 5
\oldal 5--218
\publ VINITI
\publaddr M.
\mathnet(http://mi.site/intf40)
\mathscinet(http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=895653)
\zmath(https://zbmath.org/?q=an:0797.58003)

Minta linkek erre az oldalra:

http://mi.site/intf40

http://mi.site/rus/intf/v5/p5

KÜLD:

Ezt a kiadványt a következő cikkek idézik:

1. G. R. Belitsky: „Vektormezők csíráinak sima ekvivalenciája egy nullával vagy egy pár tisztán képzeletbeli sajátértékkel”, Funkcionális elemzése és adj. 20:4 (1986), 1-8; G. R. Belitskii, „Vektormezők csíráinak sima ekvivalenciája egyetlen nulla sajátértékkel vagy tisztán képzeletbeli sajátértékpárral”, Funct. Anális. Appl. 20:4 (1986), 253-259
2. M. A. Shereshevsky, „A háromdimenziós sokaságon folyó áramlások néhány globális elágazásából eredő fraktálbázishalmazok Hausdorff-dimenziójáról”, orosz matek. M. A. Shereshevskii, „A háromdimenziós sokaságon folyó áramlások bizonyos globális bifurkációiban keletkező fraktálbázishalmazok Hausdorff-dimenziójáról”, orosz matek. Surveys, 43:3 (1988), 223-224
3. A. V. Babin, M. I. Vishik: „Nemlineáris evolúciós egyenletek megoldásainak spektrális és stabilizált aszimptotikus viselkedése”, Uspekhi Mat. Nauk, 43:5(263) (1988), 99-132; A. V. Babin, M. I. Vishik, „Nemlineáris evolúciós egyenletek megoldásainak spektrális és stabilizált aszimptotikus viselkedése”, orosz matek. Surveys, 43:5 (1988), 121-164
4. B. A. Khesin, „Dinamikus rendszerek invariáns részsokaságainak metszéspontjainak verzális deformációi”, orosz matek. B. A. Khesin, „Dinamikus rendszerek invariáns részsokaságainak metszéspontjainak verzális deformációi”, orosz matek. Surveys, 44:3 (1989), 201-203
5. Yu. S. Ilyashenko, S. Yu. Yakovenko: „Végesen sima normál formái a helyi difeomorfizmusok és vektormezők családjainak”, Uspekhi Mat. Nauk, 46:1(277) (1991), 3-39; Yu. S. Ilyashenko, S. Yu. Yakovenko, „A difeomorfizmusok és vektormezők helyi családjainak véges-sima normálformái”, orosz matek. Surveys, 46:1 (1991), 1-43
6. I. D. Chueshov, „Globális attraktorok a matematikai fizika nemlineáris problémáiban”, Uspekhi Mat. Nauk, 48:3(291) (1993), 135-162; I. D. Chueshov, „Globális attraktorok a matematikai fizika nemlineáris problémáihoz”, orosz matek. Surveys, 48:3 (1993), 133-161
7. E.V. Nikolaev, „Az involúciós szimmetriát elfogadó differenciálegyenletek határciklusainak kettéosztása”, Mat. Ült. 186:4 (1995), 143-160; E. V. Nikolaev, „Involúciós szimmetriát engedő differenciálegyenletek határciklusainak bifurkációi”, Sb. Math. 186:4 (1995), 611-627
8. S.V. Gonchenko, „$\Omega$ -konjugált modulok kétdimenziós diffeomorfizmusokból nem durva heteroklinikai kontúrral”, Mat. Ült. 187:9 (1996), 3-24; S. V. Gonchenko, „A $\Omega$ -konjugált kétdimenziós diffeomorfizmus moduljai szerkezetileg instabil heteroklinikai kontúrral”, Sb. Math. , 187:9 (1996), 1261-1281
9. D. V. Anosov, A. A. Bolibrukh, V. A. Vasziljev, A. M. Vershik, A. A. Gonchar, M. L. Gromov, S. M. Gusein-Zade, V. M. Zakalyukin, Yu. S. Ilyashenko, V. V. Kozlov, M. L. I. Mancevinis, P. No. Yu. S. Osipov, M. B. Sevryuk, Ya. G. Sinai, A. N. Tyurin, L. D. Faddeev, B. A. Khesin, A. G. Khovansky, „Vlagyimir Igorevics Arnold (hatvanadik születésnapján)”, Orosz Matek. 1997), 235-255; D. V. Anosov, A. A. Bolibrukh, V. A. Vasziljev, A. M. Vershik, A. A. Gonchar, M. L. Gromov, S. M. Gusein-Zade, V. M. Zakalyukin, Yu. S. Ilyashenko, V. V. Kozlov, M. L. Kontsevich, Yu. I. Manin, A. I. Neishtadt, S. P. Novikov, Yu. S. Osipov, M. B. Sevryuk, Ya. G. Sinai, A. N. Tyurin, L. D. Faddeev, B. A. Khesin, A. G. Khovanskii, „Vladimir Igorevics Arnol”d (a 60. születésnapján), Russian Math. Surveys, 52:5 (1997), 1117-1139
10. S. A. Vakulenko, P. V. Gordon, „Propagation and scattering of kinks in an inhomogénous nonlinear medium”, TMF, 112:3 (1997), 384-394; S. A. Vakulenko, P. V. Gordon, „Propagation and scattering of kinks in homogenous nonlinear media”, Theoret. és Math. Phys. 112:3 (1997), 1104-1112
11. E. A. Sataev, „Schwartz-származék többdimenziós leképezésekhez és áramlásokhoz”, Mat. Ült. 190:1 (1999), 139-160; E. A. Sataev, „Schwartzi származék többdimenziós térképekhez és áramlásokhoz”, Sb. Math. 190:1 (1999), 143-164
12. E. E. Shnol, E. V. Nikolaev, „A kettős sajátértékeknek megfelelő szimmetrikus egyensúlyi pozíciók bifurkációiról”, Matem. Ült. 190:9 (1999), 127-150; È. È. Shnol", E. V. Nikolaev, „A kettős sajátértékeknek megfelelő egyensúlyok bifurkációiról", Sb. Math., 190:9 (1999), 1353-1376
13. Yu. N. Bibikov, „Stabilitás és bifurkáció egy végtelenül nagy vagy végtelenül kicsi rezgési frekvenciájú oszcillátor egyensúlyi helyzetének periodikus perturbációi mellett”, Matem. Notes, 65:3 (1999), 323-335; Yu. N. Bibikov, „Stabilitás és bifurkáció végtelenül nagy vagy végtelenül kicsi oszcillációs frekvenciájú oszcillátor egyensúlyi helyzetének periodikus perturbációi mellett”, Math. Notes, 65:3 (1999), 269-279
14. E. E. Shnol, „Szabályos poliéderek és közönséges differenciálegyenletek szimmetrikus egyensúlyi helyzeteinek bifurkációi”, Matem. Ült. , 191:8 (2000), 141-157; È. È. Shnol", „Szabályos poliéderek és közönséges differenciálegyenletek szimmetrikus egyensúlyainak bifurkációi", Sb. Math., 191:8 (2000), 1243-1258
15. S. V. Bogatyrev, „Kacsaciklusok a Lienard rendszerben”, Vestn. Magamat. állapot tech. un-ta. Ser. Fiz.-matek. Sciences, 12, SamSTU, Samara, 2001, 36-39
16. L. I. Kononenko, „Egy vagy két lassú és gyors változós szingulárisan perturbált rendszerek minőségi elemzése”, Sib. magazin ipari matematika., 5 :4 (2002), 55-62
17. E. P. Volokitin, S. A. Treskov, „Liénard típusú köbös rendszer bifurkációs diagramja”, Sib. magazin ipari matematika., 5 :3 (2002), 67-75
18. E. A. Shchepakina, „Biztonsági feltételek porózus szigetelőanyagban lévő gyúlékony folyadék meggyújtásához”, Sib. magazin ipari matematika., 5 :3 (2002), 162-169
19. M. D. Novikov, B. M. Pavlov, „Néhány egyszerű áramlási rendszerről kaotikus rezsimekkel”, Math. modellezés, 14 :11 (2002), 63-77
20. E. A. Shchepakina, „Vonzó-taszító integrált felületek égési problémákban”, Math. modellezés, 14 :3 (2002), 30-42
21. O. D. Anosova, „Invariáns sokaság egyedi perturbált rendszerekben”, Összegyűjtött cikkek. Jevgenyij Frolovics Miscsenko akadémikus születésének 80. évfordulójára, Tr. Steklov Mathematical Institute, 236, Science, MAIK "Science/Interperiodika", M., 2002, 27-32; O. D. Anosova, „Invariant Manifolds in Singularly Perturbed Systems”, Proc. Steklov Inst. Math. , 236 (2002), 19-24
22. E. A. Shchepakina, „Singularly perturbed model of burning in multiphase media”, Sib. magazin ipari matematika., 6 :4 (2003), 142-157
23. E. A. Shchepakina, „Egyedi zavarok a biztonságos égési módok modellezésének problémájában”, Math. modellezés, 15 :8 (2003), 113-117
24. L. I. Kononenko, „Singuláris rendszerek végtelen kicsiny elemzése gyors és lassú változókkal”, Sib. magazin ipari matematika., 6 :4 (2003), 51-59
25. L. G. Kurakin, V. I. Yudovich, „Az egyensúlyok bifurkációiról, amikor egy dinamikus rendszer koszimmetriája megsemmisül”, Szibirszk. matematika. magazin , 45:2 (2004), 356-374; L. G. Kurakin, V. I. Yudovich, „On equilibrium bifurcations in the cosymmetry colapse of a dinamikus system”, Siberian Math. J., 45:2 (2004), 294-310
26. S. V. Gonchenko, V. S. Gonchenko, „A zárt invariáns görbék születésének bifurkációiról homoklinikai érintéssel rendelkező kétdimenziós difeomorfizmusok esetén”, Dinamikus rendszerek és kapcsolódó témák a geometriában, Cikkek kivonata. Andrei Andreevich Bolibrukh akadémikus emlékének szentelve, Tr. Steklov Mathematical Institute, 244, Science, MAIK "Science/Interperiodika", M., 2004, 87-114; S. V. Gonchenko, V. S. Gonchenko, „On Bifurcations of Birth of Closed Invariant Curves in Case of Two-Dimenal Diffeomorphisms with Homoclinic Tangencies”, Proc. Steklov Inst. Math. , 244 (2004), 80-105
27. J. Guckenheimer, R. Haiduc, „Canards at folded nodes”, Mosc. Math. J., 5:1 (2005), 91-103
28. E. L. Aero, S. A. Vakulenko, „Aszimptotikus viselkedés a megoldásokhoz erősen nemlineáris kristályrács modellhez”, TMF, 143:3 (2005), 357-367; E. L. Aero, S. A. Vakulenko: „A kristályrács erősen nemlineáris modelljének megoldásainak aszimptotikus viselkedése”, elmélet. és Math. Phys. , 143:3 (2005), 782-791
29. A. R. Borisyuk: „Globális bifurkációk a Klein-palackon. Általános eset”, Matem. Ült. , 196:4 (2005), 3-22; A. R. Borisyuk: „Globális bifurkációk egy Klein-palackon. Az általános eset”, Sb. Math. , 196:4 (2005), 465-483
30. E. P. Belan: „A haladó hullámok dinamikájáról egy parabola egyenletben a térbeli változó eltolódásának transzformációjával” Folyóirat matematika. fizika, anal., geom., 1 :1 (2005), 3-34
31. T. S. Firsova: „Analytic foliations topology in $\mathbb C^2$. Kupka-Smale ingatlan”, Nemlineáris analitikai differenciálegyenletek, Cikkgyűjtemény, Tr. Steklov Mathematical Institute, 254, Science, MAIK "Science/Interperiodika", M., 2006, 162-180; T. S. Firsova, „Topology of Analytic Foliations in $\mathbb C^2$. A Kupka-Smale ingatlan”, Proc. Steklov Inst. Math. , 254 (2006), 152-168
32. A. O. Remizov, „Többdimenziós Poincaré-konstrukció és emelt mezők szingularitásai implicit differenciálegyenletekhez”, Optimális vezérlés, SMFN, 19, RUDN, M., 2006, 131-170; A. O. Remizov, „Sokdimenziós Poincaré-konstrukció és emelt mezők szingularitásai implicit differenciálegyenletekhez”, Matematikai Tudományok Lapja, 151 :6 (2008), 3561-3602
33. L. I. Kononenko, „Egy egyedülállóan perturbált rendszer minőségi elemzése $\mathbb R^3$-ban”, Sib. magazin ipari matematika., 10:4 (2007), 76-82; L. I. Kononenko, „A singularly perturbed system in $\mathbb R^3$ kvalitatív elemzése”, J. Appl. Industr. Math. , 3:4 (2009), 456-461
34. Yu. A. Grishina, A. A. Davydov, „A legegyszerűbb dinamikus egyenlőtlenségek szerkezeti stabilitása”, Dinamikus rendszerek és optimalizálás, Cikkek kivonata. Dmitrij Viktorovics Anosov akadémikus születésének 70. évfordulójára, Tr. Steklov Mathematical Institute, 256, Science, MAIK "Science/Interperiodika", M., 2007, 89-101; Yu. A. Grishina, A. A. Davydov, „A legegyszerűbb dinamikai egyenlőtlenségek szerkezeti stabilitása”, Proc. Steklov Inst. Math. , 256 (2007), 80-91
35. F. I. Ataullakhanov, E. S. Lobanova, O. L. Morozova, E. E. Shnol, E. A. Ermakova, A. A. Butylin, A. N. Zaikin, „Complex mode of excitation propagation and self-organisation in models of blood coagulation”, UFN, 177:01, 487-017. ; F. I. Ataullakhanov, E. S. Lobanova, O. L. Morozova, E. È. Shnol", E. A. Ermakova, A. A. Butylin, A. N. Zaikin, „A gerjesztés és önszerveződés terjedésének bonyolult rendszerei a véralvadási modellben", Phys. Usp., 50: 1 (2007), 79-94
36. P. D. Lebedev, „Síkhalmazok nem-konvexitási mértékének kiszámítása”, Tr. IMM URO RAS, 13, 3. szám, 2007, 84-94
37. „Vlagyimir Igorevics Arnold (hetvenedik születésnapján)”, Uspekhi Mat. Nauk, 62:5(377) (2007), 175-184; „Vlagyimir Igorevics Arnol"d (70. születésnapján)", Russian Math. Surveys, 62:5 (2007), 1021-1030
38. Yu. M. Aponin, E. A. Aponina, „A matematikai biológia modelljeinek hierarchiája és tanulmányozásukra szolgáló numerikus és analitikai módszerek (áttekintés)”, Math. biológia és bioinform., 2 :2 (2007), 347-360
39. E. S. Golodova, E. A. Shchepakina, „Biztonságos égési folyamatok modellezése maximális hőmérsékleten”, Math. modellezés, 20:5 (2008), 55-68; E. S. Golodova, E. A. Shchepakina, „A biztonságos égés modellezése maximális hőmérséklettel”, math. Models Comput. Simul. 1, 2 (2009), 322-334
40. V. M. Zakalyukin, A. O. Remizov, „Legendre szingularitások implicit közönséges differenciálegyenletek rendszereiben és gyors-lassú dinamikus rendszerekben” Differenciálegyenletek és dinamikai rendszerek, Cikkgyűjtemény, Tr. Steklov, 261, MAIK "Science/Interperiodica", M., 2008, 140-153; V. M. Zakalyukin, A. O. Remizov, „Legendre Singularities in Systems of Implicit ODEs and Slow-Fast Dynamical Systems”, Proc. Steklov Inst. Math. , 261 (2008), 136-148
41. N. E. Kulagin, L. M. Lerman, T. G. Shmakova, „A Swift-Hoenberg-egyenlet radiális megoldásairól”, Differenciálegyenletek és dinamikai rendszerek, Cikkgyűjtemény, Tr. Steklov, 261, MAIK "Science/Interperiodica", M., 2008, 188-209; N. E. Kulagin, L. M. Lerman, T. G. Shmakova, „On Radial Solutions of the Swift-Hohenberg Equation”, Proc. Steklov Inst. Math. , 261 (2008), 183-203
42. P. D. Lebedev, A. A. Uspensky, „A hullámfrontok geometriája és aszimptotikája”, Izv. egyetemek Math., 2008, 3. szám, 27-37; P. D. Lebegyev, A. A. Uszpenszkij, „Geometria és a hullámformák aszimptotikája”, orosz matek. (Iz. VUZ), 52:3 (2008), 24-33
43. L. I. Kononenko, „Relaxációk egyedülállóan zavart rendszerekben a repülőgépen”, Vestn. NSU. Ser. matematika, mechanika, információ, 9 :4 (2009), 45-50
44. D. V. Anosov, „L. S. Pontrjagin matematikai munkáiról”, Differenciálegyenletek és topológia. én, Cikkek kivonata. Lev Semenovich Pontryagin akadémikus születésének 100. évfordulójára, Tr. Steklov, 268, MAIK "Science/Interperiodica", M., 2010, 11-23; D. V. Anosov, „L. S. Pontryagin matematikai munkásságáról”, Proc. Steklov Inst. Math. , 268 (2010), 5-16

a) Bevezetés a bifurkációk elméletébe

A dinamikus rendszerek bifurkációinak elmélete minőségi, hirtelen változásokat ír le a differenciálegyenletek fázisportréiban a paraméterek folyamatos, egyenletes változásával. Így amikor egy szinguláris pont elveszti stabilitását, határciklus léphet fel, és ha egy határciklus elveszti stabilitását, káosz léphet fel. Az ilyen jellegű változásokat bifurkációnak nevezzük.

A valós fizikai jelenségeket leíró differenciálegyenletekben leggyakrabban szinguláris pontokkal és általános pozíciójú, azaz hiperbolikus határciklusokkal találkozhatunk. Vannak azonban a differenciálegyenletek speciális osztályai is, ahol más a helyzet. Ilyenek például a leírt jelenség természetéhez kapcsolódó szimmetriákkal rendelkező rendszerek, valamint a Hamilton-egyenletek, reverzibilis rendszerek és a fázistérfogatot megőrző egyenletek. Tehát például vegyünk egy egyparaméteres dinamikus rendszerek családját egy másodrendű szimmetriájú egyenesen:

A szimmetrikus egyensúlyi helyzet tipikus bifurkációja egy ilyen rendszerben („trident”) az ábrán látható. 1. Abból áll, hogy két új, kevésbé szimmetrikus egyensúlyi helyzet ágazik el a stabilitást vesztett szimmetrikus egyensúlyi helyzetből. Ebben az esetben a szimmetrikus egyensúlyi helyzet megmarad, de elveszti stabilitását.

A bifurkációk matematikai elméletének alapjait A. Poincaré és A. M. Ljapunov teremtette meg a huszadik század elején, majd több iskola is kidolgozta. A bifurkációk elmélete különféle tudományokban alkalmazható, a fizikától és a kémiától a biológiáig és szociológiáig.

A bifurkáció kifejezés (a latin bifurcus - kettéágazó) eredete azzal a ténnyel függ össze, hogy egy dinamikus rendszer, amelynek viselkedését az egyensúlyi tartományban egy egyedi megoldású lineáris differenciálegyenlet-rendszer írja le, amikor a paraméterek változnak. egy bizonyos kritikus értékig eléri az úgynevezett bifurkációs pontot - a rendszerfejlődés lehetséges útjait elágazó pontot.

Ez a mozzanat (elágazási pont) a rendszer nem egyensúlyi állapotba való átmenetének, a matematikai leírás szintjén pedig a nemlineáris differenciálegyenletekre való átmenetnek és megoldásaik elágazásának felel meg.

A bifurkáció egy dinamikus rendszer evolúciójának új minőségének megszerzése (mozgás közben), paramétereinek kis változásával. A bifurkáció egy valós rendszer (fizikai, kémiai, biológiai stb.) mozgási természetének vagy szerkezetének átstrukturálásának felel meg.

A bifurkáció a matematika szempontjából egy dinamikus rendszer fázisterének trajektóriákra való felosztásának topológiai szerkezetének megváltozása, paramétereinek kismértékű megváltoztatásával.

Ez a definíció a dinamikus rendszerek topológiai ekvivalenciájának koncepcióján alapul: két rendszer topológiailag ekvivalens, ha a fázisteret trajektóriákra osztva azonos struktúrával rendelkeznek, ha az egyik mozgása a másik mozgására redukálható. a koordináták és az idő folyamatos változása.

Ilyen egyenértékűségre példa az inga mozgása a k súrlódási együttható különböző értékeinél: kis súrlódás mellett a fázissíkon a pályák csavarodó spiráloknak, nagy súrlódásnál pedig paraboláknak tűnnek (ábra a következő dia)

Az a-ból b-be való átmenet nem jelent bifurkációt, mivel a bifurkáció egy adott rendszerből egy topológiailag nem egyenértékű rendszerbe való átmenet.

Példa: A matematikai modellben a Benard-sejtek megjelenése megfelel az új egyensúlyi állapotok születésének bifurkációjának (amely a sejtszerkezetnek felel meg).

A fizikai rendszerek modelljeinek elemzésében a különféle bifurkációk közül különösen érdekesek az úgynevezett lokálisak - ezek olyan bifurkációk, amelyek során egy dinamikus rendszer egyedi mozgásainak átstrukturálása következik be.

Ezek közül a legegyszerűbbek és a legfontosabbak:

egyensúlyi állapotok bifurkációi (Benard-sejtek)

periodikus mozgások elágazásai.

Következtetés. A bifurkáció fontos jellemzői

A bifurkációk, amelyek következtében a statikus vagy periodikus rezsimek (azaz egyensúlyi állapotok vagy határciklusok) eltűnnek, oda vezethetnek, hogy egy dinamikus rendszer sztochasztikus rezgések rezsimjébe kerül.

A bifurkációelmélet alkalmazásaiban a feladat - minden konkrét helyzetre - analitikus kifejezéseket találni a bifurkációs pontokban felmerülő egyenletek megoldási változataihoz, valamint meghatározni azon paraméterek értékét, amelyeknél a megoldások elágazódnak. az egyenletekhez kezdődik. Először is elemezni kell a rendszer stabilitását, és meg kell keresni az instabilitás pontjait. Ennek az elemzésnek a módszerei a stabilitás elméletén alapulnak, kellő részletességgel vannak kidolgozva, és tisztán technikai jellegűek.

A bifurkáció elmélete számos bifurkációs helyzetet ír le. A valódi természeti rendszerek kialakulása során nem egyedi elágazások figyelhetők meg, hanem elágazások egész kaszkádjai (klasszikus példa erre a turbulencia és egyéb hidrodinamikai instabilitások előfordulása). Ezen túlmenően különbséget tesznek az elágazások és a katasztrófák között. Még a katasztrófák elmélete is létezik. A köztük lévő kapcsolatok és különbségek elemzése azonban túlmutat ennek az oktatóanyagnak a keretein.

A bifurkáció nagyon fontos jellemzője: Abban a pillanatban, amikor a rendszer a bifurkációs pont közelében van, a paraméterek értékében bekövetkező kis perturbációk hatalmas szerepet kezdenek játszani. Ezek a zavarok lehetnek tisztán véletlenszerűek vagy szándékosak. Tőlük függ, hogy a bifurkációs ponton való áthaladás után a rendszer melyik evolúciós ágat fogja követni. Vagyis ha a bifurkációs pont áthaladása előtt a rendszer viselkedése determinisztikus törvényeknek engedelmeskedik, akkor magán a bifurkációs ponton a véletlennek van döntő szerepe.

Ennek eredményeként I. Prigozhin szerint a világ „titokzatossá, kiszámíthatatlanná, ellenőrizhetetlenné válik”. Ez bizonyos mértékig igaz. Ezzel az állítással azonban nem érthetünk teljesen egyet, mivel a bifurkációs ponton lévő rendszereknél nem tetszőleges, hanem teljesen meghatározott evolúciós utak halmaza van. Ezért, ha a véletlen működik is, a lehetőségek szigorúan meghatározott mezején működik. Ezért helytelen teljes bizonytalanságról és még inkább teljes titokzatosságról beszélni. Ami az irányíthatatlanságot illeti, akkor természetesen nincs értelme totális kontrollról beszélni, de bizonyos folyamatokban a kívánt fejlesztési lehetőségek felé lökésként be lehet avatkozni.

4. KÁOSZ

Káoszelmélet- olyan matematikai berendezés, amely leírja bizonyos nemlineáris dinamikus rendszerek viselkedését, amelyek bizonyos feltételek mellett a káosznak nevezett jelenségnek vannak kitéve, amelyet a rendszer viselkedésének a kezdeti feltételekre való erős érzékenysége jellemez; egy ilyen rendszer viselkedése véletlenszerűnek tűnik, még akkor is, ha a rendszert leíró modell determinisztikus; Ilyen rendszerek például a légkör, a turbulens áramlások, a biológiai populációk, a társadalom mint kommunikációs rendszer és alrendszerei: gazdasági, politikai és egyéb társadalmi rendszerek.

A káoszelmélet azt állítja, hogy az összetett rendszerek rendkívül függenek a kezdeti feltételektől, és a környezet kis változásai beláthatatlan következményekkel járnak.

A kaotikus viselkedésű matematikai rendszerek determinisztikusak, vagyis bizonyos szigorú törvényeknek engedelmeskednek, és bizonyos értelemben rendezettek.

Dinamikus káosz- olyan jelenség a dinamikus rendszerek elméletében, amelyben egy nemlineáris rendszer viselkedése véletlenszerűnek tűnik, annak ellenére, hogy azt determinisztikus törvények határozzák meg. A káosz megjelenésének oka a kezdeti feltételek és paraméterek instabilitása: a kezdeti állapot kismértékű változása idővel tetszőlegesen nagy változásokhoz vezet a rendszer dinamikájában.

Mivel egy fizikai rendszer kezdeti állapota nem adható meg teljesen pontosan (például a mérőműszerek korlátai miatt), ezért mindig figyelembe kell venni a kezdeti feltételek valamely (bár nagyon kicsi) régióját. Ha a tér korlátozott tartományában mozog, a közeli pályák időbeli exponenciális eltérése a kiindulási pontok keveredéséhez vezet az egész régióban. Ilyen keverés után nincs értelme a részecske koordinátájáról beszélni, de meg lehet találni annak valószínűségét, hogy egy adott ponton van.

Determinisztikus káosz - egyesíti a determinizmust és a véletlenszerűséget, a korlátozott kiszámíthatóságot és a kiszámíthatatlanságot, és olyan változatos jelenségekben nyilvánul meg, mint a kémiai reakciók kinetikája, a folyadékok és gázok turbulenciája, a geofizikai, különösen az időjárási változások, a test élettani reakciói, a populációdinamika, a járványok, a társadalmi jelenségek ( például a részvényárfolyamok) .