A témáról fokozat racionális kitevővel. Számhatalom: definíciók, jelölések, példák
A „Kitevő racionális kitevővel” videólecke vizuális oktatóanyagot tartalmaz a témával kapcsolatos lecke tanításához. A videólecke információkat tartalmaz a racionális kitevővel rendelkező diploma fogalmáról, az ilyen fokozatok tulajdonságairól, valamint példákat mutat be az oktatási anyagok gyakorlati problémák megoldására való felhasználására. Ennek a videóórának az a célja, hogy világosan és érthetően bemutassa az oktatási anyagot, elősegítse a tanulók fejlesztését és memorizálását, valamint a tanult fogalmak felhasználásával a problémamegoldó képesség fejlesztése.
A videóóra fő előnyei az átalakítások és számítások vizuális végrehajtásának képessége, valamint az animációs effektusok használatának lehetősége a tanulási hatékonyság javítására. A hangkíséret segíti a helyes matematikai beszéd fejlesztését, és lehetővé teszi a tanári magyarázat helyettesítését is, felszabadítva őt az egyéni munka elvégzésére.
A videóóra a téma bemutatásával kezdődik. Amikor egy új téma tanulmányozását összekapcsoljuk a korábban tanulmányozott anyaggal, javasoljuk, hogy ne feledjük, hogy n √a egyébként 1/n természetes n és pozitív a. Ez az n-root ábrázolás megjelenik a képernyőn. Ezután azt javasoljuk, hogy vizsgáljuk meg, mit jelent az a m/n kifejezés, amelyben a pozitív szám, m/n pedig tört. Egy m/n = n √a m racionális kitevővel rendelkező fok definíciója adott, a keretben kiemelve. Megjegyezzük, hogy n lehet természetes szám, m pedig egész szám.
A fokozat racionális kitevővel történő meghatározása után példákon keresztül derül ki a jelentése: (5/100) 3/7 = 7 √(5/100) 3. Egy olyan példát is mutat be, amelyben a tizedes számmal képviselt hatványt törtté alakítják, hogy gyökként ábrázolják: (1/7) 1,7 =(1/7) 17/10 = 10 √(1/7) 17 és egy példa negatív hatványú: 3 -1/8 = 8 √3 -1.
Külön jelezzük annak a speciális esetnek a sajátosságát, amikor a fokozat alapja nulla. Megjegyzendő, hogy ennek a foknak csak pozitív törtkitevője esetén van értelme. Ebben az esetben az értéke nulla: 0 m/n =0.
A racionális kitevővel rendelkező fok másik jellemzője, hogy a tört kitevővel rendelkező fok nem tekinthető tört kitevővel. Példák a fokozatok helytelen jelölésére: (-9) -3/7, (-3) -1/3, 0 -1/5.
A következő videó leckében a fok tulajdonságait tárgyaljuk racionális kitevővel. Megjegyzendő, hogy az egész kitevővel rendelkező fok tulajdonságai a racionális kitevővel rendelkező fokra is érvényesek lesznek. Javasoljuk az ebben az esetben is érvényes tulajdonságok listájának felidézését:
- Ha a hatványokat azonos bázisokkal szorozzuk, kitevőik összeadódnak: a p a q =a p+q.
- Az azonos bázisú fokok felosztása adott bázisú fokra redukálódik és a kitevők különbsége: a p:a q =a p-q.
- Ha a fokot egy bizonyos hatványra emeljük, akkor egy adott bázisú fokot és a kitevők szorzatát kapjuk: (a p) q =a pq.
Mindezek a tulajdonságok érvényesek p, q racionális kitevővel és a>0 pozitív bázissal rendelkező hatványokra. A zárójelek nyitásakor a fokozattranszformációk is igazak maradnak:
- (ab) p =a p b p - racionális kitevővel valamilyen hatványra emelve két szám szorzatát olyan számok szorzatára redukáljuk, amelyek mindegyikét egy adott hatványra emeljük.
- (a/b) p =a p /b p - egy tört hatványra emelése racionális kitevővel olyan törtté redukálódik, amelynek számlálója és nevezője adott hatványra emelve.
Az oktatóvideó olyan példák megoldását tárgyalja, amelyek a hatványok figyelembe vett tulajdonságait racionális kitevővel használják. Az első példa arra kéri, hogy keresse meg egy olyan kifejezés értékét, amely az x változókat törthatványban tartalmazza: (x 1/6 -8) 2 -16x 1/6 (x -1/6 -1). A kifejezés bonyolultsága ellenére a hatványok tulajdonságait felhasználva egészen egyszerűen megoldható. A probléma megoldása a kifejezés leegyszerűsítésével kezdődik, amely a racionális kitevővel rendelkező hatvány hatványra emelésének szabályát, valamint az azonos bázisú hatványok szorzását használja. Miután a megadott x=8 értéket behelyettesítettük az x 1/3 +48 egyszerűsített kifejezésbe, könnyen megkaphatjuk az -50 értéket.
A második példában csökkentenie kell egy törtet, amelynek számlálója és nevezője racionális kitevővel rendelkező hatványokat tartalmaz. A fokozat tulajdonságait felhasználva a különbségből kivonjuk az x 1/3 tényezőt, amelyet ezután a számlálóban és a nevezőben csökkentünk, és a négyzetek különbségének képletével a számlálót faktorizáljuk, ami további csökkentéseket ad az azonos tényezők a számlálóban és a nevezőben. Az ilyen transzformációk eredménye az x 1/4 +3 rövid tört.
A „Kitevő racionális kitevővel” videólecke használható ahelyett, hogy a tanár egy új óra témáját magyarázza el. Ez a kézikönyv kellően teljes körű információkat is tartalmaz ahhoz, hogy a hallgató önállóan tanulhasson. Az anyag távoktatáshoz is hasznos lehet.
Kifejezések, kifejezéskonverzió
Hatványkifejezések (hatványos kifejezések) és átalakításuk
Ebben a cikkben a kifejezések hatványokkal történő konvertálásáról fogunk beszélni. Először is azokra az átalakításokra összpontosítunk, amelyeket bármilyen kifejezéssel hajtanak végre, beleértve a hatalom kifejezéseket is, mint például a zárójelek megnyitása és a hasonló kifejezések hozása. Ezután elemezzük a kifejezetten a fokszámú kifejezésekben rejlő transzformációkat: az alappal és a kitevővel való munka, a fokok tulajdonságainak felhasználása stb.
Oldalnavigáció.
Mik azok a hatalom kifejezései?
A „hatalmi kifejezések” kifejezés az iskolai matematika tankönyvekben gyakorlatilag nem, de feladatgyűjteményekben, különösen például az egységes államvizsgára és az egységes államvizsgára való felkészülésre szánt feladatgyűjteményekben elég gyakran előfordul. Azokat a feladatokat elemezve, amelyekben erőkifejezésekkel kell műveleteket végrehajtani, világossá válik, hogy a hatalomkifejezések olyan kifejezések alatt értendők, amelyek bejegyzéseikben hatalmat tartalmaznak. Ezért elfogadhatja magának a következő definíciót:
Meghatározás.
Hatalom kifejezések fokokat tartalmazó kifejezések.
Adjunk példák a hatalom kifejezéseire. Sőt, aszerint is bemutatjuk őket, hogy hogyan történik a nézetek fejlődése a természetes kitevős fokról a valós kitevős fokra.
Mint ismeretes, először ebben a szakaszban ismerkedünk meg egy természetes kitevővel rendelkező szám hatványával, a 3 2, 7 5 +1, (2+1) 5, (−0,1) típusú hatványkifejezésekkel; 4, 3 a 2 jelenik meg −a+a 2, x 3−1, (a 2) 3 stb.
Kicsit később egy egész kitevőjű szám hatványát tanulmányozzuk, ami negatív egész hatványú hatványkifejezések megjelenéséhez vezet, például: 3 −2, 
, a −2 +2 b −3 +c 2 .
A középiskolában visszatérnek a diplomához. Ott egy racionális kitevővel rendelkező fokozat kerül bevezetésre, ami a megfelelő hatványkifejezések megjelenését vonja maga után: 
, , 
stb. Végül az irracionális kitevővel rendelkező fokokat és az ezeket tartalmazó kifejezéseket tekintjük: , .
A dolog nem korlátozódik a felsorolt hatványkifejezésekre: tovább hatol a változó a kitevőbe, és például a következő kifejezések keletkeznek: 2 x 2 +1 ill. 
. És miután megismerkedtünk a -val, megjelennek a hatványokkal és logaritmusokkal rendelkező kifejezések, például x 2·lgx −5·x lgx.
Tehát foglalkoztunk azzal a kérdéssel, hogy mit jelentenek a hatalom kifejezései. Ezután megtanuljuk átalakítani őket.
A hatványkifejezések transzformációinak főbb típusai
A hatványkifejezésekkel elvégezheti a kifejezések bármely alapvető azonosság-transzformációját. Például megnyithat zárójeleket, lecserélheti a numerikus kifejezéseket azok értékére, hozzáadhat hasonló kifejezéseket stb. Természetesen ebben az esetben a műveletek végrehajtására vonatkozó elfogadott eljárást kell követni. Mondjunk példákat.
Példa.
Számítsa ki a 2 3 ·(4 2 −12) hatványkifejezés értékét!
Megoldás.
A műveletek végrehajtási sorrendjének megfelelően először hajtsa végre a zárójelben lévő műveleteket. Ott először a 4 2 hatványt 16-os értékére cseréljük (ha szükséges, lásd), másodszor pedig kiszámítjuk a 16−12=4 különbséget. Nekünk van 2 3 · (4 2 -12) = 2 3 · (16 - 12) = 2 3 · 4.
A kapott kifejezésben a 2 3 hatványt 8-as értékére cseréljük, ami után kiszámítjuk a 8·4=32 szorzatot. Ez a kívánt érték.
Így, 2 3 · (4 2 -12) = 2 3 · (16 - 12) = 2 3 · 4 = 8 · 4 = 32.
Válasz:
2 3 ·(4 2 −12)=32.
Példa.
Egyszerűsítse a kifejezéseket képességekkel 3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7.
Megoldás.
Nyilvánvaló, hogy ez a kifejezés hasonló 3·a 4 ·b −7 és 2·a 4 ·b −7 kifejezéseket tartalmaz, és bemutathatjuk őket: .
Válasz:
3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7 =5 a 4 b −7 −1.
Példa.
Fejezzen ki egy kifejezést hatványokkal szorzatként.
Megoldás.
Megbirkózhat a feladattal, ha a 9-es számot 3 2 hatványaként ábrázolja, majd a rövidített szorzás - négyzetkülönbség képletét használja: 
Válasz:
Számos azonos transzformáció is létezik, amelyek kifejezetten az erőkifejezésekben rejlenek. Ezeket tovább elemezzük.
Munka bázissal és kitevővel
Vannak fokok, amelyek bázisa és/vagy kitevője nem csak számok vagy változók, hanem bizonyos kifejezések. Példaként adjuk meg a (2+0.3·7) 5−3.7 és az (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) bejegyzéseket.
Amikor ilyen kifejezésekkel dolgozik, mind a fokalapban, mind a kitevőben lévő kifejezést lecserélheti egy azonos kifejezésre a változóinak ODZ-jében. Vagyis az általunk ismert szabályok szerint külön transzformálhatjuk a fokszám alapját és külön a kitevőt. Nyilvánvaló, hogy ennek az átalakításnak az eredményeként egy olyan kifejezést kapunk, amely megegyezik az eredetivel.
Az ilyen átalakítások lehetővé teszik számunkra, hogy egyszerűsítsük a kifejezéseket, vagy más célokat érjünk el, amelyekre szükségünk van. Például a fent említett hatványkifejezésben (2+0,3 7) 5-3,7 az alapban és a kitevőben lévő számokkal hajthatunk végre műveleteket, amelyek lehetővé teszik, hogy a 4,1 1,3 hatványra lépjünk. És miután kinyitjuk a zárójeleket és hasonló tagokat hozunk az (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) fok alapjába, egy egyszerűbb formájú a 2·(x+) hatványkifejezést kapunk. 1) .
A fokozat tulajdonságainak használata
A kifejezések hatványokkal történő átalakításának egyik fő eszköze a tükröző egyenlőségek. Emlékezzünk a főbbekre. Bármilyen pozitív a és b számra, valamint tetszőleges r és s valós számokra a hatványok következő tulajdonságai igazak:
- a r ·a s =a r+s ;
- a r:a s =a r−s ;
- (a · b) r =a r · b r ;
- (a:b) r =a r:b r ;
- (a r) s =a r·s .
Vegye figyelembe, hogy természetes, egész és pozitív kitevők esetén az a és b számokra vonatkozó korlátozások nem feltétlenül olyan szigorúak. Például m és n természetes számokra az a m ·a n =a m+n egyenlőség nemcsak pozitív a-ra, hanem negatív a-ra is igaz, és a=0-ra is.
Az iskolában az erőkifejezések átalakításakor a fő hangsúly a megfelelő tulajdonság kiválasztásának és helyes alkalmazásának képességén van. Ebben az esetben a fokok alapjai általában pozitívak, ami lehetővé teszi a fokok tulajdonságainak korlátozás nélküli használatát. Ugyanez vonatkozik a hatványok alapjaiban változókat tartalmazó kifejezések transzformációjára is - a változók megengedett értékeinek tartománya általában olyan, hogy az alapok csak pozitív értékeket vesznek fel rajta, ami lehetővé teszi a hatványok tulajdonságainak szabad használatát . Általában állandóan fel kell kérdezni magától, hogy ebben az esetben használható-e a fokozatok bármely tulajdonsága, mert a tulajdonságok pontatlan használata az oktatási érték beszűküléséhez és egyéb problémákhoz vezethet. Ezeket a pontokat részletesen és példákkal tárgyaljuk a kifejezések transzformációja a fokok tulajdonságaival című cikkben. Itt néhány egyszerű példára szorítkozunk.
Példa.
Fejezzük ki az a 2.5 ·(a 2) −3:a −5.5 kifejezést a bázisú hatványként.
Megoldás.
Először a második tényezőt (a 2) −3 alakítjuk át a hatvány hatványra emelésének tulajdonságával: (a 2) −3 =a 2·(−3) =a −6. Az eredeti hatványkifejezés a 2.5 ·a −6:a −5.5 formában lesz. Nyilvánvalóan hátra van, hogy a szorzás és a hatalommegosztás tulajdonságait ugyanazzal az alappal használjuk
a 2,5 ·a −6:a −5,5 =
a 2,5−6:a −5,5 =a −3,5:a −5,5 =
a −3.5−(−5.5) =a 2 .
Válasz:
a 2,5 · (a 2) -3:a -5,5 =a 2.
A hatványok tulajdonságai a hatványkifejezések átalakításakor balról jobbra és jobbról balra egyaránt használatosak.
Példa.
Keresse meg a hatványkifejezés értékét!
Megoldás.
Az (a·b) r =a r ·b r egyenlőség jobbról balra alkalmazva lehetővé teszi, hogy az eredeti kifejezésről a forma szorzatára és tovább lépjünk. És ha a hatványokat ugyanazokkal az alapokkal szorozzuk, a kitevők összeadódnak: 
.
Az eredeti kifejezést más módon is át lehetett alakítani: 
Válasz:
.
Példa.
Adott az a 1,5 −a 0,5 −6 hatványkifejezés, vezessen be egy új változót, t=a 0,5.
Megoldás.
Az a 1,5 fokot 0,5 3-ként ábrázolhatjuk, majd a fok (a r) s =a r s fokra vonatkozó tulajdonsága alapján, jobbról balra alkalmazva, transzformáljuk (a 0,5) 3 alakra. És így, a 1,5 −a 0,5 −6=(a 0,5) 3 −a 0,5 −6. Most már könnyű bevezetni egy új változót, t=a 0,5, így kapjuk a t 3 −t−6.
Válasz:
t 3 −t−6 .
Hatványokat tartalmazó törtek konvertálása
A hatványkifejezések tartalmazhatnak vagy képviselhetnek hatványokkal rendelkező törteket. A törtek bármely alapvető transzformációja, amely bármilyen típusú törtben rejlik, teljes mértékben alkalmazható az ilyen törtekre. Vagyis a hatványokat tartalmazó törtek redukálhatók, új nevezőre redukálhatók, a számlálójukkal külön-külön, a nevezővel külön dolgozhatók stb. Ezeknek a szavaknak a szemléltetésére vegye figyelembe a megoldásokat több példára.
Példa.
Egyszerűsítse a hatalom kifejezését 
.
Megoldás.
Ez a hatványkifejezés egy töredék. Dolgozzunk a számlálójával és a nevezőjével. A számlálóban megnyitjuk a zárójeleket, és a hatványok tulajdonságaival egyszerűsítjük a kapott kifejezést, a nevezőben pedig hasonló kifejezéseket adunk meg: 
És változtassuk meg a nevező előjelét is úgy, hogy a tört elé mínuszt teszünk: 
.
Válasz:
.
A hatványokat tartalmazó törtek új nevezőre redukálása a racionális törtek új nevezőre való redukálásához hasonlóan történik. Ebben az esetben egy további tényezőt is találunk, és a tört számlálóját és nevezőjét megszorozzuk vele. Ennek a műveletnek a végrehajtásakor érdemes megjegyezni, hogy az új nevezőre való redukálás a VA szűküléséhez vezethet. Ennek elkerülése érdekében szükséges, hogy a kiegészítő tényező ne menjen nullára az eredeti kifejezés ODZ-változóiból származó változók egyetlen értékénél sem.
Példa.
Csökkentse a törteket új nevezőre: a) a nevezőre, b) 
a nevezőhöz.
Megoldás.
a) Ebben az esetben meglehetősen könnyű kitalálni, hogy melyik további szorzó segít elérni a kívánt eredményt. Ez egy 0,3 szorzója, mivel a 0,7 ·a 0,3 =a 0,7+0,3 =a. Vegye figyelembe, hogy az a változó megengedett értékeinek tartományában (ez az összes pozitív valós szám halmaza) az a 0,3 fok nem tűnik el, ezért jogunk van egy adott tört számlálóját és nevezőjét megszorozni. ezzel a kiegészítő tényezővel: 
b) Ha közelebbről megvizsgáljuk a nevezőt, akkor azt találjuk 
és ezt a kifejezést megszorozva a kocka és , azaz . És ez az új nevező, amelyre csökkentenünk kell az eredeti törtet.
Így találtunk egy további tényezőt. Az x és y változók megengedett értékeinek tartományában a kifejezés nem tűnik el, ezért a tört számlálóját és nevezőjét megszorozhatjuk vele: 
Válasz:
A) 
, b) 
.
A hatványokat tartalmazó törtek redukálásában sincs semmi újdonság: a számlálót és a nevezőt több tényezőként ábrázoljuk, a számláló és a nevező azonos tényezőit pedig redukáljuk.
Példa.
Csökkentse a törtet: a) 
, b) .
Megoldás.
a) Először is, a számláló és a nevező csökkenthető a 30 és 45 számokkal, ami egyenlő 15-tel. Nyilvánvalóan lehetséges az x 0,5 +1-gyel és -kal való kicsinyítés is 
. Íme, amink van: 
b) Ebben az esetben a számlálóban és a nevezőben azonos tényezők nem láthatók azonnal. Megszerzésükhöz előzetes átalakításokat kell végrehajtania. Ebben az esetben a nevező faktorálásából áll a négyzetek különbségi képletével: 
Válasz:
A) 
b) 
.
A törtek új nevezőre való konvertálása és a törtek redukálása főként törtekkel való műveletekre szolgál. A műveleteket az ismert szabályok szerint hajtják végre. A törtek összeadásánál (kivonásánál) közös nevezőre redukálódnak, majd a számlálókat összeadják (kivonják), de a nevező változatlan marad. Az eredmény egy tört, amelynek a számlálója a számlálók szorzata, a nevező pedig a nevezők szorzata. A törttel való osztás az inverzével való szorzás.
Példa.
Kövesd a lépéseket 
.
Megoldás.
Először kivonjuk a zárójelben lévő törteket. Ehhez közös nevezőre hozzuk őket, ami az 
, ami után kivonjuk a számlálókat: 
Most megszorozzuk a törteket: 
Nyilvánvalóan lehetséges x 1/2 hatványával csökkenteni, ami után megvan 
.
A nevezőben a hatványkifejezést is egyszerűsítheti a négyzetek különbségi képletével: 
.
Válasz:
Példa.
Egyszerűsítse az erőkifejezést 
.
Megoldás.
Nyilvánvaló, hogy ez a tört (x 2,7 +1) 2-vel csökkenthető, ez adja a tört 
. Nyilvánvaló, hogy valami mást kell tenni X hatalmával. Ehhez a kapott frakciót szorzattá alakítjuk. Ez lehetőséget ad arra, hogy kihasználjuk a hatalmak azonos alapokon történő megosztásának tulajdonságát: 
. A folyamat végén pedig az utolsó szorzattól a töredékhez lépünk.
Válasz:
.
És tegyük hozzá azt is, hogy lehetséges és sok esetben kívánatos a negatív kitevővel rendelkező tényezők átvitele a számlálóból a nevezőbe vagy a nevezőből a számlálóba, megváltoztatva a kitevő előjelét. Az ilyen átalakítások gyakran leegyszerűsítik a további műveleteket. Például egy hatványkifejezés helyettesíthető a következővel.
Kifejezések konvertálása gyökökkel és hatványokkal
Azokban a kifejezésekben, amelyekben bizonyos transzformációk szükségesek, gyakran a törtkitevővel rendelkező gyökök is jelen vannak a hatványokkal együtt. Ahhoz, hogy egy ilyen kifejezést a kívánt formára alakítsunk, a legtöbb esetben elegendő csak a gyökerekhez vagy csak a hatványokhoz menni. De mivel kényelmesebb az erőkkel dolgozni, általában a gyökerektől a hatalmak felé haladnak. Célszerű azonban egy ilyen átmenetet végrehajtani, ha az eredeti kifejezés változóinak ODZ-je lehetővé teszi a gyökök hatványokkal való helyettesítését anélkül, hogy a modulra kellene hivatkozni, vagy az ODZ-t több intervallumra fel kellene osztani (ezt részletesen tárgyaltuk a szócikk átmenet a gyökökről a hatványokra és vissza A racionális kitevős fokozat megismerése után bevezetjük az irracionális kitevővel rendelkező fokot, amely lehetővé teszi, hogy tetszőleges valós kitevővel rendelkező fokról beszéljünk iskolában tanult. exponenciális függvény, amelyet analitikusan egy hatvány ad meg, amelynek alapja egy szám, kitevője pedig változó. Tehát olyan hatványkifejezésekkel állunk szemben, amelyek a hatványalapban számokat, a kitevőben pedig változókat tartalmazó kifejezéseket tartalmaznak, és természetesen felmerül az igény az ilyen kifejezések transzformációinak végrehajtására.
El kell mondani, hogy a jelzett típusú kifejezések transzformációját általában a megoldáskor kell végrehajtani exponenciális egyenletekÉs exponenciális egyenlőtlenségek, és ezek az átalakítások meglehetősen egyszerűek. Az esetek túlnyomó többségében a fokozat tulajdonságain alapulnak, és többnyire egy új változó jövőbeni bevezetésére irányulnak. Az egyenlet lehetővé teszi ezek bemutatását 5 2 x+1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x−1 =0.
Először is, a hatványokat, amelyek kitevőjében egy bizonyos változó (vagy változókkal rendelkező kifejezés) és egy szám összege szerepel, szorzatokkal helyettesítjük. Ez a bal oldalon lévő kifejezés első és utolsó tagjára vonatkozik:
5 2 x 5 1 -3 5 x 7 x -14 7 2 x 7 -1 =0,
5 5 2 x −3 5 x 7 x −2 7 2 x =0.
Ezután az egyenlőség mindkét oldalát elosztjuk a 7 2 x kifejezéssel, amely csak pozitív értékeket vesz fel az x változó ODZ-jén az eredeti egyenlethez (ez egy szabványos technika az ilyen típusú egyenletek megoldására, nem most beszélünk róla, ezért összpontosítson a kifejezések későbbi átalakításaira erővel ): 
Most törölhetjük a törteket hatványokkal, ami megadja 
.
Végül az azonos kitevőjű hatványok arányát relációk hatványai váltják fel, így az egyenlet 
, ami egyenértékű 
. Az elvégzett transzformációk lehetővé teszik egy új változó bevezetését, amely az eredeti exponenciális egyenlet megoldását egy másodfokú egyenlet megoldására redukálja
Az a szám egész kitevőiből a racionális kitevőkre való átmenet azt sugallja. Az alábbiakban definiálunk egy fokot racionális kitevővel, és ezt úgy tesszük, hogy az egész kitevővel rendelkező fok minden tulajdonsága megmaradjon. Erre azért van szükség, mert az egész számok a racionális számok részét képezik.
Ismeretes, hogy a racionális számok halmaza egész számokból és törtekből áll, és minden tört pozitív vagy negatív közönséges törtként ábrázolható. Az előző bekezdésben egy fokot egész kitevővel határoztunk meg, ezért ahhoz, hogy a fok definícióját racionális kitevővel egészítsük ki, jelentést kell adnunk a szám fokának. a törtmutatóval m/n, Ahol m egy egész szám, és n- természetes. Csináljuk.
Tekintsünk egy fokot a forma tört kitevőjével. Ahhoz, hogy a hatalom-hatalom tulajdonság érvényben maradjon, az egyenlőségnek fennállnia kell 
. Ha figyelembe vesszük a kapott egyenlőséget és azt, hogy miként határoztuk meg az n-edik gyöket, akkor logikus az elfogadása, feltéve, hogy az adott m, nÉs a a kifejezésnek van értelme.
Könnyen ellenőrizhető, hogy az egész kitevővel rendelkező fok minden tulajdonságára érvényes (ezt a racionális kitevővel rendelkező fok metszettulajdonságaiban tették meg).
A fenti érvelés lehetővé teszi számunkra a következőket következtetés: ha adott m, nÉs a a kifejezésnek van értelme, akkor a szám hatványának a törtmutatóval m/n gyökérnek nevezik n fokozata a bizonyos mértékig m.
Ez az állítás közel visz minket a törtkitevővel rendelkező fok definíciójához. Már csak le kell írni, hogy miben m, nÉs a a kifejezésnek van értelme. Az előírt korlátozásoktól függően m, nÉs a Két fő megközelítés létezik.
1. A legegyszerűbb, ha korlátozást írunk elő a, miután elfogadta a≥0 pozitívnak mÉs a>0 negatívnak m(mióta m≤0 fokozat 0 m nem meghatározott). Ekkor a következő definíciót kapjuk egy törtkitevővel rendelkező fokra.
Meghatározás.
Pozitív szám hatványa a törtmutatóval m/n , Ahol m- egész, és n– természetes szám, amelyet gyöknek neveznek n-a szám a bizonyos mértékig m, vagyis .
A nulla törthatványát is meghatározzuk azzal az egyetlen kitétellel, hogy az indikátornak pozitívnak kell lennie.
Meghatározás.
Nulla hatványa tört pozitív kitevővel m/n
, Ahol m egy pozitív egész szám, és n– természetes szám, definíció szerint 
.
Ha a fokszám nincs meghatározva, vagyis a nulla szám fokszáma tört negatív kitevővel, nincs értelme.
Meg kell jegyezni, hogy a tört kitevővel rendelkező fok ilyen definíciójával van egy figyelmeztetés: néhány negatív aés néhány mÉs n a kifejezésnek van értelme, de ezeket az eseteket elvetettük a feltétel bevezetésével a≥0. Például a bejegyzéseknek van értelme 
vagy , és a fent megadott definíció arra kényszerít bennünket, hogy azt mondjuk, hogy a hatványok az alak törtkitevőjével 
nincs értelme, mivel az alap nem lehet negatív.
2. Egy másik megközelítés a fok törtkitevővel történő meghatározására m/n A gyökér páros és páratlan kitevőjének külön figyelembe vételéből áll. Ez a megközelítés további feltételt igényel: a szám hatványát a, amelynek kitevője egy redukálható közönséges tört, a szám hatványának tekintjük a, melynek mutatója a megfelelő irreducibilis tört (ennek a feltételnek a fontosságát alább kifejtjük). Vagyis ha m/n egy irreducibilis tört, akkor bármely természetes számra k fokozatot előzetesen helyettesíti.
Méghozzá nés pozitív m a kifejezés értelmes minden nem negatívra a(negatív szám páros gyökének nincs jelentése), negatívra m szám a továbbra is különböznie kell a nullától (különben nullával kell osztani). És furcsa nés pozitív m szám a lehet tetszőleges (bármilyen valós számhoz páratlan gyök van definiálva), és negatív m szám a nullától eltérőnek kell lennie (hogy ne legyen nullával osztás).
A fenti érvelés elvezet bennünket a törtkitevővel rendelkező fok ezen definíciójához.
Meghatározás.
Hadd m/n– redukálhatatlan tört, m- egész, és n- természetes szám. Bármilyen redukálható tört esetén a fokot helyettesíti. foka a irreducibilis törtkitevővel m/n- azért van
o bármilyen valós szám a, egész pozitív més furcsa természetes n, Például, 
;
o bármely nem nulla valós szám a, negatív egész szám més páratlan n, Például, 
;
o bármilyen nem negatív szám a, egész pozitív m sőt még n, Például, 
;
o bármilyen pozitív a, negatív egész szám m sőt még n, Például, 
;
o más esetekben a fokszám törtmutatóval nincs definiálva, mivel például a fokok nincsenek definiálva 
.a nem tulajdonítunk jelentést a bejegyzésnek, definiáljuk a nulla szám hatványát pozitív törtkitevőkre m/n Hogyan , negatív tört kitevők esetén a nulla szám hatványa nincs meghatározva.
Ennek a pontnak a végén hívjuk fel a figyelmet arra, hogy a tört kitevő felírható tizedes törtként vagy vegyes számként, pl. 
. Az ilyen típusú kifejezések értékeinek kiszámításához a kitevőt közönséges tört formájában kell írni, majd a kitevő meghatározását törtkitevővel kell használni. A fenti példákra van 
És 
MBOU "Sidorskaya"
általános iskola"
Nyílt óraterv kidolgozása
algebrából 11. osztályban a témában:
Előkészítve és végrehajtva
matematika tanár
Iskhakova E.F.
Nyílt algebra óra vázlata 11. osztályban.
Tantárgy : „Olyan végzettség, amelynek racionális kitevője van.”
Az óra típusa : Új anyagok tanulása
Az óra céljai:
Ismertesse meg a hallgatókkal a racionális kitevős fokozat fogalmát és főbb tulajdonságait, a korábban tanult anyag alapján (egész kitevős fokozat).
Fejleszti a számítási készségeket és a számok racionális kitevőkkel való konvertálásának és összehasonlításának képességét.
A tanulók matematikai műveltségének és matematikai érdeklődésének fejlesztése.
Felszerelés : Feladatkártyák, tanulói prezentáció szakonként egész jelzővel, tanári előadás diplománként racionális jelzővel, laptop, multimédiás projektor, képernyő.
Az órák alatt:
Idő szervezése.
A tárgyalt téma elsajátításának ellenőrzése egyéni feladatkártyák segítségével.
1. számú feladat.
=2;
B) =x + 5;
Oldja meg az irracionális egyenletrendszert: - 3 = -10,
4 - 5 =6.
2. feladat.
Oldja meg az irracionális egyenletet: 
= - 3;
B) = x-2;
Oldja meg az irracionális egyenletrendszert: 2 + = 8,
3 - 2 = - 2.
Közölje az óra témáját és céljait.
Mai óránk témája: Hatvány racionális kitevővel».
Új anyag magyarázata a korábban tanulmányozott anyag példáján.
Már ismeri az egész kitevős fokozat fogalmát. Ki segít emlékezni rájuk?
Ismétlés prezentációval " Fok egész kitevővel».
Bármely a, b számra, valamint bármely m és n egész számra igazak az egyenlőségek:
a m * a n =a m+n;
a m: a n =a m-n (a ≠ 0);
(a m) n = a mn;
(a b) n =a n * b n;
(a/b) n = a n/b n (b ≠ 0);
a 1 =a; a 0 = 1 (a ≠ 0)
Ma általánosítjuk egy szám hatványának fogalmát, és értelmet adunk azoknak a kifejezéseknek, amelyeknek törtkitevője van. Bemutatjuk meghatározás fokok racionális kitevővel ("Fok racionális kitevővel" bemutató):
Ereje a > 0 racionális kitevővel r = , Ahol m egy egész szám, és n - természetes ( n > 1), hívták a számot m .
Tehát értelemszerűen ezt kapjuk = m .
Próbáljuk meg ezt a definíciót alkalmazni egy feladat elvégzésekor.
1. PÉLDA
A kifejezést egy szám gyökeként jelenítem meg:
A) B) BAN BEN) .
Most próbáljuk meg ezt a definíciót fordítva alkalmazni
II Fejezd ki a kifejezést hatványként racionális kitevővel:
A) 2 B) BAN BEN) 5 .
A 0 hatványa csak pozitív kitevőkre van definiálva.
0 r= 0 bármelyikre r> 0.
Ezt a definíciót használva, Házak teljesíted a 428-as és a 429-es számokat.
Most mutassuk meg, hogy a racionális kitevővel rendelkező fok fentebb megfogalmazott definíciójával megmaradnak a fokok alapvető tulajdonságai, amelyek minden kitevőre igazak.
Bármely r és s racionális számra, valamint pozitív a és b számra a következő egyenlőségek érvényesek:
1 0 . a r a s =a r+s ;
PÉLDA: *
20 . a r: a s =a r-s ;
PÉLDA: :
3 0 . (a r ) s =a rs ;
PÉLDA: ( -2/3
4 0 . ( ab) r = a r b r ; 5 0 . ( = .
PÉLDA: (25 4) 1/2 ; ( ) 1/2
PÉLDA több tulajdonság egyidejű használatára: * : .
Testnevelés perc.
Az asztalra tettük a tollakat, megigazítottuk a hátukat, és most előrenyúlunk, meg akarjuk érinteni a táblát. Most megemeltük, és jobbra, balra, előre, hátra dőltünk. Megmutattad a kezeidet, most mutasd meg, hogyan tudnak táncolni az ujjaid.
Az anyagon dolgozni
Jegyezzük meg a racionális kitevőkkel rendelkező fokok további két tulajdonságát:
6 0 . Hadd r egy racionális szám és 0< a < b . Тогда
a r < b r nál nél r> 0,
a r < b r nál nél r< 0.
7 0 . Bármilyen racionális számrarÉs s egyenlőtlenségtől r> s ezt követi
a r>a r> 1 esetén,
a r < а r 0-nál< а < 1.
PÉLDA: Hasonlítsa össze a számokat:
ÉS ; 2 300 és 3 200 .
Óra összefoglalója:
A mai órán felidéztük a fok tulajdonságait egész kitevővel, megismertük a racionális kitevős fokozat definícióját és alapvető tulajdonságait, valamint megvizsgáltuk ennek az elméleti anyagnak a gyakorlati alkalmazását a gyakorlatok végrehajtása során. Szeretném felhívni a figyelmet, hogy az Egységes Államvizsga feladatokban a „Racionális kitevővel végzett fokozat” témakör kötelező. A házi feladat elkészítésekor ( 428. és 429. sz
Egy szám hatványának meghatározása után logikus beszélni fok tulajdonságait. Ebben a cikkben megadjuk egy szám hatványának alapvető tulajdonságait, miközben érintünk minden lehetséges kitevőt. Itt bemutatjuk a fokok összes tulajdonságát, és bemutatjuk, hogyan használják ezeket a tulajdonságokat a példák megoldása során.
Oldalnavigáció.
A fokok tulajdonságai természetes kitevővel
A természetes kitevővel rendelkező hatvány definíciója szerint az a n hatvány n tényező szorzata, amelyek mindegyike egyenlő a-val. E definíció alapján, és azt is használva valós számok szorzásának tulajdonságai, a következőket kaphatjuk és igazolhatjuk fok tulajdonságai természetes kitevővel:
- az a m ·a n =a m+n fok fő tulajdonsága, általánosítása;
- azonos bázisú hányados hatványok tulajdonsága a m:a n =a m−n ;
- szorzati teljesítmény tulajdonság (a·b) n =a n ·b n, kiterjesztése;
- a hányados természetes fokra vonatkozó tulajdonsága (a:b) n =a n:b n ;
- fok emelése hatványra (a m) n =a m·n, annak általánosítása (((a n 1) n 2) …) n k =a n 1 · n 2 ·… · n k;
- fok összehasonlítása nullával:
- ha a>0, akkor a n>0 bármely n természetes számra;
- ha a=0, akkor a n=0;
- Ha egy<0 и показатель степени является четным числом 2·m , то a 2·m >0 ha a<0 и показатель степени есть нечетное число 2·m−1 , то a 2·m−1 <0 ;
- ha a és b pozitív számok és a
- ha m és n olyan természetes számok, amelyekre m>n , akkor 0-nál
- ha m és n olyan természetes számok, amelyekre m>n , akkor 0-nál
Azonnal jegyezzük meg, hogy minden írott egyenlőség van azonos a megadott feltételek mellett jobb és bal oldali részük is cserélhető. Például az a m ·a n =a m+n tört fő tulajdonsága -val kifejezések egyszerűsítése gyakran használt a m+n =a m ·a n formában.
Most nézzük meg mindegyiket részletesen.
Kezdjük két azonos bázisú hatvány szorzatának tulajdonságával, amelyet ún a diploma fő tulajdonsága: bármely a valós számra, valamint bármely m és n természetes számra igaz az a m ·a n =a m+n egyenlőség.
Bizonyítsuk be a fokozat fő tulajdonságát. A természetes kitevővel rendelkező hatvány definíciója szerint az a m ·a n alakú azonos bázisú hatványok szorzata szorzatként írható fel. A szorzás tulajdonságaiból adódóan a kapott kifejezést így írhatjuk fel 
, és ez a szorzat az a szám m+n természetes kitevőjű hatványa, azaz a m+n. Ezzel teljes a bizonyítás.
Adjunk egy példát, amely megerősíti a diploma fő tulajdonságát. Vegyünk azonos 2-es bázisú fokokat és 2 és 3 természetes hatványokat, a fokok alaptulajdonságával felírhatjuk a 2 2 ·2 3 =2 2+3 =2 5 egyenlőséget. Ellenőrizzük érvényességét a 2 2 · 2 3 és 2 5 kifejezések értékeinek kiszámításával. Hatványozást végzünk 2 2 · 2 3 = (2 · 2) · (2 · 2 · 2) = 4 · 8 = 32és 2 5 =2·2·2·2·2=32, mivel egyenlő értékeket kapunk, akkor a 2 2 ·2 3 =2 5 egyenlőség helyes, és megerősíti a fok fő tulajdonságát.
Egy fok alaptulajdonsága a szorzás tulajdonságai alapján általánosítható három vagy több hatvány szorzatára azonos bázisokkal és természetes kitevőkkel. Tehát bármely n 1, n 2, …, n k természetes szám k számára igaz az egyenlőség a n 1 ·a n 2 ·…·a n k =a n 1 +n 2 +…+n k.
Például, (2,1) 3 · (2,1) 3 · (2,1) 4 · (2,1) 7 = (2,1) 3+3+4+7 =(2,1) 17 .
Egy természetes kitevővel léphetünk át a hatványok következő tulajdonságára – azonos bázisú hányados hatványok tulajdonsága: bármely nem nulla a valós számra és tetszőleges m és n természetes számokra, amelyek kielégítik az m>n feltételt, az a m:a n =a m−n egyenlőség igaz.
Mielőtt bemutatnánk ennek a tulajdonságnak a bizonyítását, beszéljük meg a megfogalmazásban szereplő további feltételek jelentését. Az a≠0 feltételre azért van szükség, hogy elkerüljük a nullával való osztást, hiszen 0 n =0, és amikor megismerkedtünk az osztással, megegyeztünk, hogy nullával nem oszthatunk. Az m>n feltételt úgy vezetjük be, hogy ne lépjük túl a természetes kitevőket. Valójában m>n esetén az m-n egy természetes szám, különben vagy nulla (ami m-n esetén történik), vagy negatív szám (ami m-re történik) Bizonyíték. A tört fő tulajdonsága lehetővé teszi az egyenlőség felírását a m−n ·a n =a (m−n)+n =a m. A kapott egyenlőségből a m−n ·a n =a m, és az következik, hogy egy m−n az a m és a n hatványok hányadosa. Ez bizonyítja az azonos bázisú hányados hatványok tulajdonságát. Mondjunk egy példát. Vegyünk két fokot azonos π bázisokkal és 5 és 2 természetes kitevővel, a π 5:π 2 =π 5−3 =π 3 egyenlőség a fok figyelembe vett tulajdonságának felel meg. Most mérlegeljük termék teljesítmény tulajdonsága: bármely két a és b valós szám szorzatának n természetes hatványa egyenlő az a n és b n hatványok szorzatával, azaz (a·b) n =a n ·b n . Valójában a természetes kitevővel rendelkező fok definíciója alapján rendelkezünk Íme egy példa: Ez a tulajdonság három vagy több tényező szorzatának hatványára is kiterjed. Vagyis k tényező szorzatának n természetes fokának tulajdonságát így írjuk fel (a 1 ·a 2 ·…·a k) n =a 1 n ·a 2 n ·…·a k n. Az érthetőség kedvéért ezt a tulajdonságot egy példán mutatjuk be. Három tényező 7-es hatványának szorzatára van . A következő tulajdonság az természetbeni hányados tulajdona: az a és b valós számok, b≠0 hányadosa az n természetes hatványhoz egyenlő az a n és b n hatványok hányadosával, azaz (a:b) n =a n:b n. A bizonyítás elvégezhető az előző tulajdonság segítségével. Így (a:b) n b n =((a:b) b) n =a n, és az (a:b) n ·b n =a n egyenlőségből következik, hogy (a:b) n az a n hányadosa osztva b n -nel. Írjuk fel ezt a tulajdonságot konkrét számokkal példaként: Most hangoztassuk a hatalom hatalommá emelésének tulajdonsága: bármely a valós szám, valamint bármely m és n természetes szám esetén a m hatványa n hatványára egyenlő az a szám m·n kitevőjű hatványával, azaz (a m) n =a m·n. Például (5 2) 3 =5 2 · 3 =5 6. A hatvány-fok tulajdonság bizonyítéka a következő egyenlőséglánc: A figyelembe vett tulajdonság fokonként bővíthető stb. Például bármely p, q, r és s természetes szám esetén az egyenlőség Továbbra is a fokok természetes kitevővel való összehasonlításának tulajdonságain kell elidőzni. Kezdjük a nulla és a hatvány természetes kitevővel való összehasonlításának tulajdonságának bizonyításával. Először is bizonyítsuk be, hogy a n >0 bármely a>0 esetén. Két pozitív szám szorzata pozitív szám, amint az a szorzás definíciójából következik. Ez a tény és a szorzás tulajdonságai arra utalnak, hogy tetszőleges számú pozitív szám szorzásának eredménye is pozitív szám lesz. Egy n természetes kitevővel rendelkező a szám hatványa pedig értelemszerűen n tényező szorzata, amelyek mindegyike egyenlő a-val. Ezek az érvek lehetővé teszik, hogy kijelentsük, hogy bármely pozitív a bázis esetén az a n fok pozitív szám. A bizonyított tulajdonság miatt 3 5 >0, (0,00201) 2 >0 ill. Nyilvánvaló, hogy bármely n természetes számra, ahol a=0, a n foka nulla. Valóban, 0 n =0·0·…·0=0 . Például 0 3 =0 és 0 762 =0. Térjünk át a negatív fokozati alapokra. Kezdjük azzal az esettel, amikor a kitevő páros szám, jelöljük 2·m-nek, ahol m természetes szám. Akkor Végül, ha az a bázis negatív szám, a kitevő pedig páratlan szám 2 m−1, akkor Térjünk át az azonos természetes kitevővel rendelkező hatványok összehasonlításának tulajdonságára, amelynek a következő megfogalmazása van: két azonos természetes kitevőjű hatvány közül n kisebb, mint az, amelynek az alapja kisebb, és nagyobb az, amelynek az alapja nagyobb. . Bizonyítsuk be. Egyenlőtlenség a n az egyenlőtlenségek tulajdonságai igaz az a n alakú bizonyítható egyenlőtlenség is (2.2) 7. és A hatványok felsorolt tulajdonságai közül az utolsót kell bizonyítani természetes kitevővel. Fogalmazzuk meg. Két hatvány közül, amelyek természetes kitevője és azonos pozitív bázisa kisebb, mint egy, az a nagyobb, amelynek a kitevője kisebb; és két hatvány közül, amelyek természetes kitevője és azonos bázisa nagyobb, mint egy, az a nagyobb, amelynek a kitevője nagyobb. Térjünk át ennek a tulajdonságnak a bizonyítására. Bizonyítsuk be, hogy m>n és 0 esetén Az ingatlan második részének bizonyítása van hátra. Bizonyítsuk be, hogy m>n és a>1 esetén a m >a n igaz. Az a m −a n különbség egy n zárójelekből való kihúzása után a n ·(a m−n −1) alakot ölti. Ez a szorzat pozitív, mivel a>1 esetén az a n fok pozitív szám, az a m-n -1 különbség pedig pozitív szám, mivel m-n>0 a kezdeti feltétel miatt, a>1 esetén pedig a fok a m−n nagyobb egynél. Következésképpen a m −a n >0 és a m >a n, amit bizonyítani kellett. Ezt a tulajdonságot a 3 7 >3 2 egyenlőtlenség szemlélteti.
. A szorzás tulajdonságai alapján az utolsó szorzat átírható így 
, ami egyenlő a n · b n -nel.
.
.
.
. A jobb érthetőség kedvéért itt van egy példa konkrét számokkal: (((5,2) 3) 2) 5 =(5,2) 3+2+5 =(5,2) 10
.
.
. Az a·a alakú szorzatok mindegyike egyenlő az a és a számok modulusainak szorzatával, ami azt jelenti, hogy pozitív szám. Ezért a termék is pozitív lesz 
és foka a 2·m. Mondjunk példákat: (−6) 4 >0 , (−2,2) 12 >0 és .
. Minden a·a szorzat pozitív szám, ezeknek a pozitív számoknak a szorzata is pozitív, és a maradék negatív a számmal való megszorzása negatív számot eredményez. Ennek a tulajdonságnak köszönhetően (−5) 3<0
, (−0,003) 17 <0
и 
.
.
Egész kitevős hatványok tulajdonságai
Mivel a pozitív egészek természetes számok, ezért a pozitív egész kitevővel rendelkező hatványok minden tulajdonsága pontosan egybeesik az előző bekezdésben felsorolt és bizonyított természetes kitevőjű hatványok tulajdonságaival.
Egy egész szám negatív kitevőjű fokot, valamint nulla kitevővel definiáltunk úgy, hogy a természetes kitevős fokok egyenlőségekkel kifejezett összes tulajdonsága érvényben maradjon. Ezért ezek a tulajdonságok mind nulla kitevőre, mind negatív kitevőre érvényesek, miközben természetesen a hatványok alapjai eltérnek a nullától.
Tehát minden a és b valós és nem nulla számra, valamint bármely m és n egész számra a következők igazak: egész kitevőjű hatványok tulajdonságai:
- a m ·a n =a m+n ;
- a m:a n =a m−n ;
- (a · b) n =a n · b n ;
- (a:b) n =a n:bn;
- (a m) n =a m·n;
- ha n pozitív egész szám, akkor a és b pozitív számok, és a b-n ;
- ha m és n egész számok, és m>n , akkor 0-nál
Ha a=0, az a m és a n hatványoknak csak akkor van értelme, ha m és n is pozitív egész szám, azaz természetes szám. Így az imént felírt tulajdonságok azokra az esetekre is érvényesek, amikor a=0 és az m és n számok pozitív egészek.
Ezen tulajdonságok mindegyikének bizonyítása nem nehéz, elegendő a fokok természetes és egész kitevőjű definícióit, valamint a valós számokkal végzett műveletek tulajdonságait használni. Példaként bizonyítsuk be, hogy a hatvány-hatvány tulajdonság pozitív egészekre és nem pozitív egészekre is érvényes. Ehhez meg kell mutatni, hogy ha p nulla vagy természetes szám és q nulla vagy természetes szám, akkor az (a p) q =a p·q, (a −p) q =a (−p) egyenlőségek ·q, (a p ) −q =a p·(−q) és (a −p) −q =a (−p)·(−q). Csináljuk.
Pozitív p és q esetén az (a p) q =a p·q egyenlőséget az előző bekezdésben igazoltuk. Ha p=0, akkor van (a 0) q =1 q =1 és a 0·q =a 0 =1, ahonnan (a 0) q =a 0·q. Hasonlóképpen, ha q=0, akkor (a p) 0 =1 és a p·0 =a 0 =1, innen (a p) 0 =a p·0. Ha p=0 és q=0 is, akkor (a 0) 0 =1 0 =1 és a 0·0 =a 0 =1, ahonnan (a 0) 0 =a 0,0.
Most bebizonyítjuk, hogy (a −p) q =a (−p)·q . A negatív egész kitevőjű hatvány definíciója szerint tehát 
. Hatványaink hányadosainak tulajdonsága alapján 
. Mivel 1 p =1·1·…·1=1 és , akkor . Az utolsó kifejezés definíció szerint egy a −(p·q) alakú hatvány, amely a szorzás szabályai miatt (−p)·q-ként írható fel.
Hasonlóképpen 
.
ÉS 
.
Ugyanezt az elvet alkalmazva a fok összes többi tulajdonságát egész kitevővel, egyenlőségek formájában írva igazolhatja.
A rögzített tulajdonságok közül az utolsó előttiben érdemes elidőzni az a −n >b −n egyenlőtlenség bizonyításán, amely minden negatív −n egész számra, valamint minden olyan pozitív a és bre érvényes, amelyre az a feltétel teljesül. . Mivel feltétellel a 0 . Az a n · b n szorzat is pozitív a n és b n pozitív számok szorzataként. Ekkor a kapott tört pozitív, mint a b n −a n és a n ·b n pozitív számok hányadosa. Ezért honnan a −n >b −n , amit bizonyítani kellett.
Az egész kitevővel rendelkező hatványok utolsó tulajdonsága ugyanúgy igazolt, mint a természetes kitevős hatványok hasonló tulajdonsága.
Racionális kitevős hatványok tulajdonságai
Egy fokot tört kitevővel határoztunk meg úgy, hogy a fok tulajdonságait egész kitevővel kiterjesztettük rá. Más szóval, a tört kitevővel rendelkező hatványok ugyanazokkal a tulajdonságokkal rendelkeznek, mint az egész kitevőkkel rendelkező hatványok. Ugyanis:
A fokok tulajdonságainak törtkitevős bizonyítása a tört kitevővel rendelkező fok, illetve az egész kitevővel rendelkező fok tulajdonságain alapul. Adjunk bizonyítékot.
Hatvány definíciója szerint tört kitevővel és , akkor 
. Az aritmetikai gyök tulajdonságai lehetővé teszik, hogy a következő egyenlőségeket írjuk fel. Továbbá az egész kitevővel rendelkező fok tulajdonságát felhasználva megkapjuk, amelyből a tört kitevővel rendelkező fok definíciója alapján azt kapjuk, hogy 
, és a kapott fok mutatója a következőképpen alakítható át: . Ezzel teljes a bizonyítás.
A törtkitevővel rendelkező hatványok második tulajdonságát teljesen hasonló módon bizonyítjuk: 
A fennmaradó egyenlőségeket hasonló elvekkel bizonyítjuk: 
Térjünk át a következő tulajdonság bizonyítására. Bizonyítsuk be, hogy bármely pozitív a és b esetén a b p . Írjuk fel a p racionális számot m/n-nek, ahol m egy egész szám, n pedig természetes szám. Feltételek p<0 и p>0 ebben az esetben a feltételek m<0 и m>0 ennek megfelelően. m>0 és a
Hasonlóan a m<0 имеем a m >b m , honnan, azaz és a p >b p .
A felsorolt tulajdonságok közül az utolsót kell bizonyítani. Bizonyítsuk be, hogy p és q racionális számokra p>q 0-nál 
És 
. A fokozat racionális kitevővel való meghatározása pedig lehetővé teszi, hogy továbblépjünk az egyenlőtlenségekre és ennek megfelelően. Innen vonjuk le a végső következtetést: p>q és 0 esetén
Irracionális kitevőkkel rendelkező hatványok tulajdonságai
Abból, ahogyan egy irracionális kitevővel rendelkező fokot meghatározunk, arra a következtetésre juthatunk, hogy rendelkezik a racionális kitevővel rendelkező fokok összes tulajdonságával. Tehát bármely a>0, b>0 és irracionális p és q számra a következők igazak irracionális kitevőjű hatványok tulajdonságai:
- a p ·a q =a p+q;
- a p:a q =a p−q ;
- (a · b) p =a p · b p ;
- (a:b) p =a p:b p ;
- (a p) q =a p·q;
- bármely pozitív a és b szám esetén a 0 az egyenlőtlenség a p b p ;
- p és q irracionális számok esetén p>q 0-nál
Ebből arra következtethetünk, hogy a tetszőleges p és q valós kitevővel rendelkező hatványok a>0 esetén azonos tulajdonságokkal rendelkeznek.
Bibliográfia.
- Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematika tankönyv 5. osztálynak. oktatási intézmények.
- Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: tankönyv 7. osztálynak. oktatási intézmények.
- Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: tankönyv 8. osztálynak. oktatási intézmények.
- Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: tankönyv 9. osztálynak. oktatási intézmények.
- Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. és mások Algebra és az elemzés kezdetei: Tankönyv az általános oktatási intézmények 10 - 11. évfolyamai számára.
- Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (kézikönyv a műszaki iskolákba lépők számára).
