A gerenda tiszta és oldalirányú hajlítása. Egyenes rudak síkhajlítása

Hajlítás deformációt nevezzük, amelyben a rúd tengelye és minden szála, vagyis a rúd tengelyével párhuzamos hosszvonalak külső erők hatására meg vannak hajlítva. A hajlítás legegyszerűbb esete akkor érhető el, ha a külső erők a rúd középső tengelyén áthaladó síkban fekszenek, és nem adnak ki vetítéseket erre a tengelyre. Ezt a hajlítási esetet keresztirányú hajlításnak nevezik. Különbséget kell tenni a lapos és a ferde között.

Lapos hajlítás- ilyen eset, amikor a rúd ívelt tengelye ugyanabban a síkban helyezkedik el, amelyben a külső erők hatnak.

Ferde (összetett) kanyar- ilyen hajlítási eset, amikor a rúd ívelt tengelye nem fekszik a külső erők hatásának síkjában.

A hajlító rudat általában úgy nevezik gerenda.

A gerendák sík keresztirányú hajlításával az y0x koordinátarendszerű szakaszban két belső erő keletkezhet - egy Q y keresztirányú erő és egy M x hajlítónyomaték; a következőkben a jelölést mutatjuk be számukra Qés M. Ha a gerenda szakaszán vagy szakaszán nincs keresztirányú erő (Q = 0), és a hajlítónyomaték nem nulla vagy M - const, akkor az ilyen kanyart általában ún. tiszta.

Keresztirányú erő a gerenda bármely szakaszában számszerűen megegyezik a rajzolt metszet egyik oldalán (bármelyikén) található összes erő (beleértve a támasztási reakciókat) y tengelyére vetített vetületek algebrai összegével.

Hajlító nyomaték a gerenda szakaszában számszerűen megegyezik a rajzolt szakasz egyik oldalán (bármelyikével) található erők (beleértve a támasztási reakciókat) nyomatékainak algebrai összegével e szakasz súlypontjához viszonyítva, pontosabban a a rajz síkjára merőlegesen átmenő tengely a megrajzolt metszet súlypontján keresztül.

Kényszer Q ajándékokat eredő elosztva a belső szakaszon nyírófeszültségek, a pillanat M– pillanatok összege X belső szakasz középtengelye körül normál feszültségek.

Különböző kapcsolat van a belső erőfeszítések között

amelyet a Q és M parcellák készítésekor és ellenőrzésekor használnak.

Mivel a gerendaszálak egy része meg van feszítve, más része össze van nyomva, és a feszültségből a kompresszióba való átmenet simán, ugrások nélkül megy végbe, a gerenda középső részében van egy réteg, amelynek szálai csak hajlottak, de nem. feszültséget vagy összenyomódást tapasztal. Ezt a réteget ún semleges réteg... Azt a vonalat nevezzük, amely mentén a semleges réteg metszi a gerenda keresztmetszetét semleges vonal th or semleges tengely szakasz. Semleges vonalak vannak felfűzve a nyaláb tengelyére.

A gerenda tengelyre merőleges oldalán húzott vonalak hajlításkor laposak maradnak. Ezek a kísérleti adatok lehetővé teszik számunkra, hogy a lapos szakaszok hipotézisét a képletek következtetéseinek alapjául tegyük. E hipotézis szerint a gerenda szakaszai hajlítás előtt laposak és merőlegesek a tengelyére, laposak maradnak, és hajlításuk során merőlegesek a gerenda ívelt tengelyére. A gerenda keresztmetszete hajlításkor eltorzul. A keresztirányú deformáció következtében a gerenda összenyomott zónájában a keresztmetszet méretei megnőnek, a feszített zónában pedig összenyomódnak.

Feltételezések a képletek levezetésére. Normál feszültségek

1) A lapos szakaszok hipotézise teljesül.

2) A hosszanti szálak nem nyomódnak egymáshoz, ezért normál feszültség hatására lineáris feszültség vagy összenyomás működik.

3) A szálak deformációi nem függnek a metszet szélességében elfoglalt helyzetüktől. Következésképpen a szelvény magassága mentén változó normál feszültségek a szélesség mentén változatlanok maradnak.

4) A sugárnak legalább egy szimmetriasíkja van, és minden külső erő ezen a síkon fekszik.

5) A gerenda anyaga engedelmeskedik a Hooke-törvénynek, és a húzó- és nyomórugalmassági modulusa azonos.

6) A gerenda méretei között olyan az összefüggés, hogy síkhajlítási körülmények között, vetemedés vagy csavarodás nélkül működik.

Tiszta hajlítás esetén a peronok gerendái keresztmetszetében csak hatnak normál feszültségek képlet határozza meg:

ahol y a szakasz tetszőleges pontjának koordinátája, a semleges vonaltól mérve - az x fő központi tengely.

A normál hajlítófeszültségek a szelvénymagasság mentén megoszlanak lineáris törvény... A legkülső szálaknál a normál feszültségek elérik maximális értéküket, és a súlypontban a szakaszok nulla.

A semleges vonalhoz viszonyított szimmetrikus szakaszok normálfeszültségeinek diagramjainak jellege

A normál feszültségek diagramjainak jellege azoknál a szakaszoknál, amelyek nem szimmetrikusak a semleges vonallal

A semleges vonaltól legtávolabbi pontok veszélyesek.

Válasszunk egy részt

A szakasz bármely pontjára nevezzük pontnak NAK NEK, a gerenda szilárdságának feltétele normál feszültségek esetén:

ahol n.o. - ez semleges tengely

ez a szakasz tengelyirányú ellenállási nyomatéka a semleges tengelyhez képest. Mérete cm 3, m 3. Az ellenállás pillanata jellemzi a keresztmetszet alakjának és méreteinek hatását a feszültségek nagyságára.

Erőfeltétel a normál igénybevételhez:

A normál feszültség egyenlő a maximális hajlítónyomaték és a szakasz semleges tengelyhez viszonyított tengelyirányú ellenállási nyomatékának arányával.

Ha az anyag nem egyformán ellenáll a nyújtásnak és a nyomásnak, akkor két szilárdsági feltételt kell alkalmazni: a megengedett húzófeszültséggel rendelkező húzózónához; megengedett nyomófeszültségű kompressziós zónához.

Keresztirányú hajlítás esetén a szakaszon lévő gerendák úgy viselkednek, mint Normálés érintők feszültség.

Hajlítás a rúd deformációjának nevezzük, amely tengelyének görbületének változásával jár. A hajlítórudat ún gerenda.

Különböző hajlítási típusok fordulhatnak elő a terhelés és a rúd rögzítésének módjától függően.

Ha a rúd keresztmetszetében terhelés hatására csak hajlítónyomaték lép fel, akkor a hajlítás ún. tiszta.

Ha a keresztmetszetekben a hajlítónyomatékokkal együtt keresztirányú erők is fellépnek, akkor a hajlítást ún. átlós.

Ha a külső erők egy síkban fekszenek a rúd keresztmetszetének egyik fő központi tengelyén, akkor a hajlítást ún. egyszerű vagy lakás... Ebben az esetben a terhelés és a deformált tengely ugyanabban a síkban fekszik (1. ábra).

Rizs. 1

Ahhoz, hogy a gerenda érzékelni tudja a terhelést a síkban, támasztékok segítségével kell rögzíteni: csuklós-mozgatható, csuklós-rögzített, tömítő.

A nyalábnak geometriailag nem lehet változtathatónak kell lennie, a legkisebb összeköttetések száma egyenlő 3. Egy geometriailag változó rendszer példája látható a 2a. A geometriailag megváltoztathatatlan rendszerek példája az ábra. 2b, c.

a B C)

A tartókban reakciók lépnek fel, amelyeket a statika egyensúlyi feltételei alapján határoznak meg. A támogató reakciók külső terhelések.

Belső hajlítóerők

A gerenda hossztengelyére merőleges erőkkel terhelt rúd síkhajlítást tapasztal (3. ábra). Két belső erő keletkezik keresztmetszetben: nyíróerő Q yés hajlító pillanat Mz.

A belső erőket szakaszos módszerrel határozzuk meg. Távolról x pontból A a rudat az X tengelyre merőleges sík két részre vágja. A gerenda egyik részét eldobják. A gerenda részek kölcsönhatását belső erők váltják fel: hajlítónyomaték M zés oldalirányú erő Q y(4. ábra).

Belső erőfeszítések M zés Q y szakaszba az egyensúlyi feltételekből határozzák meg.

A rész egyensúlyi egyenlete VAL VEL:

∑y = RA - P 1 - Q y = 0.

Azután Q y = R A – P1.

Kimenet. A keresztirányú erő a gerenda bármely szakaszában egyenlő a megrajzolt szakasz egyik oldalán fellépő összes külső erő algebrai összegével. A nyíróerő akkor tekinthető pozitívnak, ha a rúd a metszetpont körül az óramutató járásával megegyező irányban forog.

∑M 0 = R A ∙ x – P 1 ∙ (x - a) – M z = 0

Azután M z = R A ∙ x – P 1 ∙ (x – a)

1. A reakciók meghatározása R A , R B ;

∑M A = P ∙ a – R B ∙ l = 0

R B =

∑M B = R A ∙ e - P ∙ a = 0

2. Diagramok felépítése az első részben 0 ≤ x 1 ≤ a

Q y = R A =; M z = R A ∙ x 1

x 1 = 0 M z (0) = 0

x 1 = a M z (a) =

3. Diagramok felépítése a második részben 0 ≤ x 2 ≤ b

Q y = - R B = - ; M z = R B ∙ x 2 ; x 2 = 0 M z(0) = 0 x 2 = bM z(b) =

Építéskor M z pozitív koordináták rakódnak le a megfeszített szálak felé.

A parcellák ellenőrzése

1. A diagramon Q y megszakítások csak olyan helyeken lehetnek, ahol külső erőket alkalmaznak, és az ugrás nagyságának meg kell egyeznie a nagyságukkal.

+ = = P

2. A diagramon M z a koncentrált momentumok alkalmazási helyein szakadások keletkeznek, és az ugrás nagysága megegyezik a nagyságukkal.

közötti különbségekM, Qésq

A hajlítónyomaték, a nyíróerő és az elosztott terhelés intenzitása között függőségeket állapítanak meg:

q =, Q y =

ahol q az elosztott terhelés intenzitása,

A gerendák hajlítószilárdságának ellenőrzése

A rúd hajlítószilárdságának felméréséhez és a gerenda szakaszának kiválasztásához a szilárdság feltételeit kell használni a normál feszültségekhez képest.

A hajlítónyomaték a szakaszon eloszló normál belső erők eredő nyomatéka.

s = × y,

ahol s a normál feszültség a keresztmetszet bármely pontjában,

y- a szakasz súlypontja és a pont közötti távolság,

M z- a szakaszon ható hajlítónyomaték,

J z A rúd axiális tehetetlenségi nyomatéka.

A szilárdság biztosítása érdekében a maximális feszültségeket számítják ki, amelyek a szakasz súlyponttól legtávolabbi pontjain lépnek fel. y = y max

s max = × y max,

= W zés s max =.

Ekkor a szilárdság feltétele a normál feszültségekhez képest a következő:

s max = ≤ [s],

ahol [s] a megengedett húzófeszültség.

Tiszta kanyar az a fajta kanyar, amelyben a cselekvés zajlik csak hajlítónyomaték(3.5. ábra, a). Rajzoljuk meg mentálisan az I-I szakasz síkját, amely merőleges a gerenda hossztengelyére, olyan távolságban * a gerenda szabad végétől, amelyre a külső nyomatékot alkalmazzák. m z. Hasonló műveleteket hajtunk végre, mint amelyeket a torzió során fellépő feszültségek és feszültségek meghatározásakor végeztünk, nevezetesen:

• 1) állítsa össze az egyensúlyi egyenleteket az alkatrész mentálisan levágott részéhez;
• 2) határozza meg az alkatrész anyagának deformációját az adott szakasz elemi térfogatainak deformációinak kompatibilitási feltételei alapján;
• 3) Megoldjuk a deformációk egyensúlyi és kompatibilitási egyenleteit.

A gerenda levágási szakaszának egyensúlyi állapotából (3.5. ábra, b)

a belső erők pillanatát kapjuk M z egyenlő a külső erők nyomatékával t: M = t.

Rizs. 3.5.

A belső erők pillanatát az x tengely mentén irányított normál feszültségek o v okozzák. A tiszta hajlításban nincsenek külső erők, így a belső erők vetületeinek összege bármely koordináta tengelyére nulla. Ennek alapján írjuk fel az egyensúlyi feltételeket egyenlőség formájában

ahol A- a gerenda (rúd) keresztmetszeti területe.

Tiszta hajlításban külső erők F x, F, F v valamint a külső erők pillanatai t x, t y egyenlőek a nullával. Ezért a többi egyensúlyi egyenlet azonos módon egyenlő a nullával.

Az o> 0 egyensúlyi feltételéből az következik

normál stressz x -el a keresztmetszetben vegyünk pozitív és negatív értékeket is. (A tapasztalat azt mutatja, hogy hajlításkor a rúd alsó oldalának anyaga a 3.5. a feszített, a felső pedig összenyomott.) Következésképpen a hajlítás során a keresztmetszetben olyan elemi térfogatok vannak (a kompresszióból a feszítésbe átmeneti réteg), amelyekben nincs megnyúlás vagy összenyomódás. Ez- semleges réteg. A semleges réteg és a keresztmetszeti sík metszésvonalát nevezzük semleges vonal.

A hajlítás során az elemi térfogat deformációira vonatkozó kompatibilitási feltételeket a lapos szakaszok hipotézise alapján alakítják ki: laposak a gerenda keresztmetszeteinek hajlítása előtt (lásd 3.5. b) hajlítás után is laposak maradnak (3.6. ábra).

A külső nyomaték hatására a nyaláb meghajlik, és az I-I és II-II szakasz síkjai egymáshoz képest szögben forognak. dy(3.6. ábra, b). Tiszta hajlítás esetén a gerenda tengelye mentén az összes szakasz deformációja azonos, ezért a gerenda semleges rétegének az x tengely mentén történő görbületéhez viszonyított p sugár azonos. Mivel dx= p K dip, akkor a semleges réteg görbülete 1 / p k = BEMÁRT / dxés állandó a sugár hossza mentén.

A semleges réteg nem deformálódik, hossza deformáció előtt és után egyenlő dx. Ez alatt a réteg alatt az anyagot nyújtják, felette összenyomják.

Rizs. 3.6.

A semlegestől y távolságra elhelyezkedő feszített réteg nyúlási értéke a ydq. Ennek a rétegnek a megnyúlása:

Így az elfogadott modellben a deformációk lineáris eloszlását kaptuk az adott elemi térfogatnak a semleges rétegtől való távolságától függően, azaz a gerenda szakaszának magassága mentén. Feltételezve, hogy a párhuzamos anyagrétegeknek nincs kölcsönös nyomása egymásra (о у = 0, а, = 0), Hooke törvényét írjuk fel a lineáris feszültségre:

A (3.13) szerint a nyaláb keresztmetszetében a normál feszültségek lineárisan oszlanak el. A semleges rétegtől legtávolabbi anyag elemi térfogatának feszültsége (3.6. Ábra, v), maximum és egyenlő

? 3.6. Feladat

Határozzuk meg egy / = 4 mm vastagságú és / = 80 cm hosszúságú acélpenge rugalmassági határát, ha félkörré hajlítása nem okoz maradandó alakváltozást!

Megoldás

Hajlítási feszültség o v = E y/ p k. Vegyük y max = t/ 2 és p k = / / Nak nek.

A rugalmas határnak meg kell felelnie az yn> c v = feltételnek 1/2 kE t / 1.

Válasz: oh = ] / 2 - 2 10 11 4 10 _3 / 0,8 = 1570 MPa; ennek az acélnak a folyáshatára> 1800 MPa, ami magasabb, mint a legtartósabb rugóacéloknál. ?

? 3. probléma.7

Határozza meg a dob minimális sugarát nikkelötvözetből készült fűtőelem / = 0,1 mm vastagságú szalag tekercseléséhez, amelyben a szalag anyaga nem deformálódik plasztikusan. Modul E = 1,6 10 5 MPa, rugalmas határérték σ yn = 200 MPa.

Válasz: minimális sugár р = V 2? ir / a yM = У? 1,6-10 11 0,1 10 -3 / (200 10 6) = = 0,04 m.

1. Az első egyensúlyi egyenlet (3.12) és a deformációk kompatibilitási egyenletének (3.13) együttes megoldásával megkapjuk

Jelentése E/ p k φ 0, és minden elemre ugyanaz dA integrációs terület. Következésképpen ez az egyenlőség csak a feltétellel teljesül

Ezt az integrált ún a tengely körüli keresztmetszeti terület statikus nyomatékaz? Mi ennek az integrálnak a fizikai jelentése?

Vegyünk egy állandó vastagságú /, de tetszőleges profilú lemezt (3.7. ábra). Akasszuk fel ezt a tányért a pontra VAL VEL hogy vízszintes helyzetben legyen. Jelöljük y m szimbólummal a lemezanyag fajsúlyát, majd egy elemi térfogat tömegét egy területtel dA egyenlő dq= y JdA. Mivel a lemez egyensúlyi állapotban van, akkor az erők tengelyre vetítésének egyenlőségétől nulláig nál nél kap

ahol G= y M tA a lemez súlya.

Rizs. 3.7.

A tengely körüli összes erő erőmomentumainak összege z a lemez bármely szakaszán való elhaladás szintén nulla:

Tekintve, hogy Y c = G,írd le

Így ha a J alak integrálja xdA terület szerint A egyenlő

akkor nulla x c = 0. Ez azt jelenti, hogy a C pont egybeesik a lemez súlypontjával. Ezért az egyenlőségtől S z = J ydA = 0 esedékességkor

hajlításból következik, hogy a gerenda keresztmetszetének súlypontja a semleges vonalon van.

Ezért az érték val vel a gerenda keresztmetszete nulla.

• 1. A hajlító semleges vonal áthalad a gerenda keresztmetszetének súlypontján.
• 2. A keresztmetszet súlypontja a külső és belső erők nyomatékainak redukciós központja.

Cél 3.8

Feladat 3.9

2. A második egyensúlyi egyenlet (3.12) és a deformációk kompatibilitási egyenletének (3.13) együttes megoldásával megkapjuk

Integrál J z= J y 2 dA hívott keresztirányú tehetetlenségi nyomatéka

a gerenda (rúd) metszete a z tengelyhez képest, keresztmetszet súlypontján áthaladva.

És így, M z = Е J z / p k. Tekintettel arra c x = Her x = Ey/ p és E/ p k = a x / y, megkapjuk a normál feszültségek függőségét Ó hajlításkor:

1. A hajlítási feszültség a szakasz adott pontján nem függ a normál rugalmassági modulustól E, hanem a keresztmetszet geometriai paraméterétől függ J zés távolságok nál nél ettől a ponttól a keresztmetszet súlypontjáig.

2. A maximális hajlítási feszültség a semleges vonaltól legtávolabbi elemi térfogatokban jelentkezik (lásd 3.6. v):

ahol W z- a keresztmetszet tengelyhez viszonyított ellenállási nyomatéka Z-

A tiszta hajlítószilárdság feltétele hasonló a lineáris szakítószilárdsághoz:

ahol [a m | - megengedett hajlítási feszültség.

Nyilvánvaló, hogy az anyag belső térfogata, különösen a semleges tengely közelében, gyakorlatilag ki van terhelve (lásd 3.6. v). Ez ellentmond annak a követelménynek, hogy minimálisra kell csökkenteni a szerkezet anyagfelhasználását. Az alábbiakban bemutatunk néhány módszert ennek az ellentmondásnak a kiküszöbölésére.

Egyenes kanyar. Sík keresztirányú hajlítás Belső erőtényezők ábrázolása gerendákra Q és M diagramok ábrázolása egyenletek segítségével Q és M diagramok ábrázolása jellemző metszetekből (pontokból) Szilárdsági számítások gerendák közvetlen hajlítására Fő hajlítófeszültségek. A gerendák szilárdságának teljes ellenőrzése A hajlítás középpontjának fogalma A gerendák elmozdulásának meghatározása hajlítás közben. A gerendák deformációjának fogalmai és merevségük feltételei Egy sugár ívelt tengelyének differenciálegyenlete Közvetlen integrációs módszer Példák a gerendák elmozdulásának meghatározására a közvetlen integráció módszerével Az integrációs állandók fizikai jelentése A kezdeti paraméterek módszere (ívelt tengely univerzális egyenlete) egy gerenda). Példák a nyaláb elmozdulásának meghatározására a kezdeti paraméterek módszerével Az elmozdulások meghatározása Mohr módszerével. Szabály A.K. Verescsagin. A Mohr integrál kiszámítása A.K. Vereshchagin Példák az elmozdulások meghatározására a Mohr-féle integrál Bibliográfia Direct bend segítségével. Lapos oldalsó hajlítás. 1.1. A gerendák belső erőtényezőinek ábrázolása A közvetlen hajlítás az alakváltozás egyik fajtája, amelyben a rúd keresztmetszetein két belső erőtényező lép fel: a hajlítónyomaték és a nyíróerő. Egy adott esetben a nyíróerő lehet nulla, akkor a hajlítást tisztanak nevezzük. Sík keresztirányú hajlításnál minden erő a rúd egyik fő tehetetlenségi síkjában helyezkedik el, és merőleges a hossztengelyére, a nyomatékok ugyanabban a síkban (1.1. ábra, a, b). Rizs. 1.1 A keresztirányú erő a gerenda tetszőleges keresztmetszetében numerikusan egyenlő a vizsgált szakasz egyik oldalán ható összes külső erő nyalábtengelyére vetítések algebrai összegével. A keresztirányú erőt az mn gerenda szakaszában (1.2. ábra, a) pozitívnak tekintjük, ha a külső erők eredője a szakasz bal oldalán felfelé irányul, a jobb oldalon pedig lefelé, ellenkező esetben pedig negatív. (1.2. ábra, b). Rizs. 1.2 Egy adott szakasz nyíróerejének kiszámításakor a szakasz bal oldalán fekvő külső erőket pluszjellel kell felvenni, ha felfelé irányulnak, és mínusz jellel, ha lefelé. Ennek az ellenkezője igaz a gerenda jobb oldalára. 5 A hajlítónyomaték a gerenda tetszőleges keresztmetszetében számszerűen megegyezik a vizsgált szakasz egyik oldalán ható összes külső erő szakaszának z-tengelye körüli momentumok algebrai összegével. A hajlítónyomaték az mn gerenda szakaszában (1.3. ábra, a) akkor tekinthető pozitívnak, ha a külső erők eredő nyomatéka a szelvény bal oldalán az óramutató járásával megegyező irányba, a jobb oldalon pedig az óramutató járásával ellentétes irányba, a negatív pedig az ellenkező irányba irányul. tok (ábra. 1.3, b). Rizs. 1.3 Az adott szakasz hajlítónyomatékának kiszámításakor a szakasztól balra fekvő külső erők nyomatékai pozitívnak minősülnek, ha az óramutató járásával megegyező irányba irányulnak. Ennek az ellenkezője igaz a gerenda jobb oldalára. Kényelmes meghatározni a hajlítónyomaték jelét a gerenda deformációjának jellege alapján. A hajlítónyomaték akkor tekinthető pozitívnak, ha a szóban forgó szakaszban a gerenda levágott része lefelé hajlik, azaz az alsó szálakat megfeszítik. Ellenkező esetben a szakasz hajlítónyomatéka negatív. Különböző összefüggések vannak az M hajlítónyomaték, a Q nyíróerő és a q terhelési intenzitás között. 1. A nyíróerő első deriváltja a szakasz abszcissza mentén egyenlő az elosztott terhelés intenzitásával, azaz ... (1.1) 2. A szakasz abszcissza mentén a hajlítónyomaték első deriváltja egyenlő a keresztirányú erővel, azaz. (1.2) 3. A második derivált a metszet abszcisszájára vonatkoztatva egyenlő az elosztott terhelés intenzitásával, azaz. (1.3) A felfelé irányuló elosztott terhelés pozitívnak tekintendő. Az M, Q, q közötti differenciális függőségekből számos fontos következtetés következik: 1. Ha a gerenda egy szakaszán: a) a keresztirányú erő pozitív, akkor a hajlítónyomaték nő; b) a keresztirányú erő negatív, ekkor a hajlítónyomaték csökken; c) a nyíróerő nulla, akkor a hajlítónyomatéknak állandó értéke van (tiszta hajlítás); 6 d) a keresztirányú erő nullán halad át, az előjelet pluszról mínuszra változtatja, max M M, ellenkező esetben M Mmin. 2. Ha nincs elosztott terhelés a gerenda szakaszán, akkor a nyíróerő állandó, és a hajlítónyomaték lineárisan változik. 3. Ha a gerenda egy szakaszán egyenletes eloszlású terhelés van, akkor a nyíróerő lineáris törvény szerint változik, a hajlítónyomaték pedig a domborúság felé a terhelés felé néző négyzetparabola törvénye szerint (az esetben az M diagram ábrázolása a feszített szálak oldaláról). 4. A koncentrált erő alatti szakaszban a Q diagramnak ugrása van (az erő nagysága szerint), az M diagramnak az erő hatására való hajlás. 5. Abban a szakaszban, ahol a koncentrált momentumot alkalmazzuk, az M diagram ugrása megegyezik a pillanat értékével. Ez nem tükröződik a Q -ábrán. A gerenda komplex terhelésénél a Q nyíróerők és az M hajlítónyomatékok diagramjait ábrázoljuk A Q (M) diagram egy grafikon, amely a nyíróerő (hajlítónyomaték) változásának törvényét mutatja a gerenda hossza mentén. Az M és Q diagramok elemzése alapján megállapítják a gerenda veszélyes szakaszait. A Q diagram pozitív ordinátáit felfelé, a negatív ordinátákat pedig lefelé ábrázolja a sugár hossztengelyével párhuzamosan húzott alapvonaltól. Az M -diagram pozitív ordinátáit lefektetjük, a negatívokat pedig felfelé, vagyis az M -diagramot a kifeszített szálak oldaláról építjük fel. A gerendák Q és M diagramjainak elkészítését a támasztási reakciók meghatározásával kell kezdeni. Az egyik visszafogott, a másik szabad végű gerenda esetében a Q és M diagramok felépítése a szabad végből indítható el a beágyazás reakcióinak meghatározása nélkül. 1.2. Q és M diagramok ábrázolása az egyenletek szerint A gerenda szakaszokra van osztva, amelyeken belül a hajlítónyomaték és a nyíróerő függvényei állandóak maradnak (nincsenek szakadások). A szakaszok határai a koncentrált erők alkalmazási pontjai, erőpárok és az elosztott terhelés intenzitásának változási helyei. Minden szakaszon egy tetszőleges metszetet veszünk az origótól x távolságra, és ehhez a szakaszhoz Q és M egyenleteket állítunk fel.Ezekkel az egyenletekkel szerkesztjük a Q és M diagramokat. 1.1. adott gerendára vonatkozó M hajlítónyomatékok (1.4. ábra, a). Megoldás: 1. Támogató reakciók meghatározása. Összeállítjuk az egyensúlyi egyenleteket: ebből kapjuk A támaszok reakcióit helyesen határozzuk meg. A gerenda négy részből áll Fig. 1.4 terhelés: CA, AD, DB, BE. 2. Ábrázolás Q. Ábrázolás CA. A CA 1 szakaszon tetszőleges 1-1 szakaszt rajzolunk a gerenda bal végétől x1 távolságra. Q-t az 1-1 szakasztól balra ható külső erők algebrai összegeként határozzuk meg: A mínuszjelet azért vesszük, mert a szakasz bal oldalán ható erő lefelé irányul. A Q kifejezés független az x1 változótól. A Q diagram ezen a területen az abszcissza tengelyével párhuzamos egyenes vonalként lesz ábrázolva. Kr. u. telek. A helyszínen tetszőleges 2-2 szakaszt rajzolunk a gerenda bal végétől x2 távolságra. Q2-t a 2-2 szakasztól balra ható külső erők algebrai összegeként definiáljuk: 8. Q értéke állandó a szakaszban (nem függ az x2 változótól). A helyszínen lévő Q görbe az abszcissza tengelyével párhuzamos egyenes. Ábrázolja a DB -t. A helyszínen tetszőleges 3-3 szakaszt készítünk a gerenda jobb végétől x3 távolságra. A Q3-at a 3-3 szakasztól jobbra ható külső erők algebrai összegeként definiáljuk: Az eredményül kapott kifejezés egy ferde egyenes egyenlete. BE parcellája. A helyszínen 4-4 szakaszt készítünk a gerenda jobb végétől x4 távolságra. Q-t a 4-4 szakasz jobb oldalán ható összes külső erő algebrai összegeként definiáljuk: 4 Itt a pluszjelet veszik, mert a 4-4 szakasztól jobbra eredő terhelés lefelé irányul. A kapott értékek alapján ábrázoljuk a Q diagramokat (1.4. ábra, b). 3. M ábrázolása. Telek m1. Az 1-1 szakaszban a hajlítónyomatékot az 1-1 szakasztól balra ható erők nyomatékainak algebrai összegeként határozzuk meg. - egyenes egyenlete. A szakasz 3 Határozza meg a hajlítónyomatékot a 2-2 szakaszban, mint a 2-2 szakasztól balra ható erők nyomatékainak algebrai összegét. - egyenes egyenlete. DB 4 szakasz Határozza meg a 3-3 szakaszban a hajlítónyomatékot a 3-3 szakasztól jobbra ható erők nyomatékainak algebrai összegeként. - négyzetes parabola egyenlete. 9 Keressen három értéket a szakasz végén és egy xk koordinátájú ponton, ahol BE szakasz 1 Határozza meg a 4-4 szakaszban a hajlítónyomatékot a 4- szakasztól jobbra ható erők nyomatékainak algebrai összegeként. 4. - egy négyzet alakú parabola egyenletét, három M4 értéket találunk: A kapott értékek felhasználásával elkészítjük az M diagramját (1.4. ábra, c). A CA és AD szakaszokban a Q diagramot az abszcissza tengellyel párhuzamos egyenesek, a DB és BE szakaszokban pedig ferde egyenesek korlátozzák. A Q görbe C, A és B szakaszaiban ugrások vannak a megfelelő erők értékével, ami a Q diagram ábrázolásának helyességét ellenőrzi. Azokban a szakaszokban, ahol Q  0, a nyomatékok balról nőnek jobbra. Azon a szakaszokon, ahol Q  0, a nyomatékok csökkennek. A koncentrált erők alatt hajlamok vannak az erők hatására. A koncentrált pillanat alatt ugrás történik a pillanat nagyságával. Ez jelzi az M ábrázolás helyességét. 1.2. példa Szerkessze meg a Q és M diagramokat két támaszon lévő, elosztott teherrel terhelt gerendára, amelynek intenzitása lineárisan változik (1.5. ábra, a). Megoldás A támogató reakciók meghatározása. Az elosztott terhelés eredője megegyezik a terhelési diagramot ábrázoló háromszög területével, és ennek a háromszögnek a súlypontjában kerül alkalmazásra. Összeállítjuk az összes erő nyomatékainak összegét az A és B pontokhoz viszonyítva: Diagram rajzolása Q. Rajzoljunk egy tetszőleges metszetet a bal támasztól x távolságra. A metszetnek megfelelő terhelési diagram ordinátáját a háromszögek hasonlósága alapján határozzák meg. A terhelésnek az a része, amely a metszettől balra helyezkedik el. A keresztirányú erő a szakaszban egyenlő A keresztirányú erő a négyzetes parabola törvénye A keresztirányú erő egyenletét nullával egyenlővé téve megkeressük annak a szakasznak az abszcisszáját, amelyben a Q diagram nullán halad át: A Q diagram a 2. ábrán látható. 1,5, b. A hajlítónyomaték tetszőleges szakaszban egyenlő A hajlítónyomaték egy köbparabolának a törvénye szerint változik: A hajlítónyomaték maximális értéke abban a szakaszban van, ahol 0, azaz az M diagramon látható az ábrán. 1,5, c. 1.3. Q és M diagramok ábrázolása jellemző szakaszok (pontok) segítségével Az M, Q, q közötti differenciálfüggőségek és az ezekből származó következtetések felhasználásával célszerű Q és M diagramokat karakterisztikus szakaszok szerint ábrázolni (egyenletek felállítása nélkül). Ezzel a módszerrel a Q és M értékeket a jellemző szakaszokban számítják ki. Jellemző szakaszok a szelvények határoló szakaszai, valamint azok a szakaszok, ahol az adott belső erőtényező szélső értékű. A karakterisztikus szakaszok közötti határokon belül az M, Q, q közötti differenciális függőségek és az ezekből adódó következtetések alapján a diagram 12. vázlata kerül kialakításra. 1.3. Példa Szerkessze meg a Q és M ábrákat a 4. ábrán látható gerendához. 1.6, a. Rizs. 1.6. Megoldás: A Q és M diagramokat a nyaláb szabad végéről kezdjük ábrázolni, miközben a beágyazásban lévő reakciók elhagyhatók. A gerendának három terhelési területe van: AB, BC, CD. Az AB és BC szakaszokon nincs megosztott terhelés. Az oldalirányú erők állandóak. A Q ábrát az abszcissza tengelyével párhuzamos egyenesek korlátozzák. A hajlító pillanatok lineárisan változnak. Az M diagramot az abszcissza tengelyéhez képest ferde egyenesek határolják. A CD -rész terhelése egyenletesen oszlik el. A keresztirányú erők lineárisan változnak, és a hajlítómomentumok - a négyzet alakú parabola törvénye szerint, elosztva a terhelés irányába. Az AB és BC szakaszok határán a keresztirányú erő hirtelen megváltozik. A BC és CD szakaszok határán a hajlítónyomaték hirtelen megváltozik. 1. Q ábrázolása. A szakaszok határmetszeteiben kiszámítjuk a Q nyíróerők értékeit: A számítások eredményei alapján ábrázoljuk a gerenda Q ábráját (1. ábra, b). A Q diagramból az következik, hogy a CD szakaszra ható keresztirányú erő nulla a szakasz elejétől qa a q távolságra lévő szakaszban. Ebben a részben a hajlítónyomaték maximális értéke van. 2. Az M diagram felépítése. A szakaszok határmetszeteiben a hajlítónyomatékok értékeit számítjuk ki: A szakasz maximális pillanatában. A számítások eredményei alapján elkészítjük az M diagramot (ábra. 5.6, c). 1.4. példa Egy gerenda hajlítónyomatékainak adott diagramjához (1.7. ábra, a) egy gerendához (1.7. ábra, b) határozzuk meg a ható terheléseket, és készítsünk egy Q diagramot. A kör egy négyzet alakú parabola csúcsát jelöli. Megoldás: Határozza meg a gerendára ható terheléseket. Az AC szakasz egyenletes eloszlású terheléssel van terhelve, mivel az M diagram ebben a szakaszban négyzetes parabola. A B vonatkoztatási szakaszban az óramutató járásával megegyezően ható, koncentrált nyomatékot adunk a gerendára, mivel az M diagramon a nyomaték nagyságával felfelé ugrunk. Az ÉK-i szakaszon a gerenda nincs terhelve, mivel ezen a szakaszon az M diagramot egy ferde egyenes határolja. A B támasz reakcióját abból a feltételből határozzuk meg, hogy a C szakasz hajlítónyomatéka nulla, azaz az elosztott terhelés intenzitásának meghatározásához az A szakasz hajlítónyomatékának kifejezését a nyomatékok összegeként állítjuk össze a jobb oldali erők és egyenlők nullával. Most definiáljuk az A támasz reakcióját. Ehhez a szelvény hajlítónyomatékaira egy kifejezést készítünk a bal oldali erőnyomatékok összegeként. Egy teherrel rendelkező gerenda tervezési diagramja az ábrán látható. 1,7, c. A gerenda bal végétől kiindulva kiszámítjuk a nyíróerők értékeit a szakaszok határszakaszaiban: A Q diagram az 1. ábrán látható. 1.7, d) A vizsgált probléma megoldható úgy, hogy az egyes helyeken M, Q funkcionális függőségeket állítunk fel. Válassza ki az origót a sugár bal végén. Az AC szakaszon az M diagramot egy négyzetes parabola fejezi ki, melynek egyenlete a, b, c konstansok abból a feltételből származnak, hogy a parabola három ismert koordinátájú ponton halad át: A pontok koordinátáinak behelyettesítése a parabola egyenletébe kapjuk: A hajlítónyomaték kifejezése az M1 függvény differenciálása lesz, a keresztirányú erő függőségét kapjuk A Q függvény differenciálása után megkapjuk az elosztott terhelés intenzitásának kifejezését CB szakasz, a hajlítónyomaték kifejezését lineáris függvényként ábrázoljuk Az a és b állandók meghatározásához azt a feltételeket használjuk, hogy ez az egyenes áthalad két olyan ponton, amelyek koordinátái ismertek. Két egyenletet kapunk:, b a 20. A CB szakasz hajlítónyomatékának egyenlete az lesz . Az elosztott terhelés mellett koncentrált erőket alkalmaznak a gerendára három szakaszban, ahol ugrások vannak a Q diagramon, és koncentrált momentumok vannak abban a szakaszban, ahol ugrás van az M diagramon. 1.5. Példa Egy gerenda esetében (1.8. Ábra, a) határozza meg a C csuklópánt racionális helyzetét, amelynél a fesztávolság legnagyobb hajlítónyomatéka megegyezik a beágyazás hajlítónyomatékával (abszolút értékben). Készítsen Q és M diagramokat Megoldás A támogatási reakciók meghatározása. Bár a támasztókötegek teljes száma négy, a gerenda statikusan meghatározható. A C csuklóban lévő hajlítónyomaték nulla, ami lehetővé teszi egy további egyenlet felállítását: a csuklópánt egyik oldalán ható összes külső erő csuklópántjához viszonyított nyomatékok összege nulla. Állítsuk össze az összes erő nyomatékainak összegét a C csuklópánttól jobbra. A gerenda Q diagramját ferde egyenes határolja, mivel q = const. Meghatározzuk a nyíróerők értékeit a gerenda határoló szakaszaiban: A szakasz xK abszcisszáját, ahol Q = 0, abból az egyenletből határozzuk meg, amelyből a gerenda M diagramját négyzetes parabola határolja. A metszetekben, ahol Q = 0, és a beágyazott hajlítónyomatékok kifejezéseit ennek megfelelően a következőképpen írjuk: A nyomatékegyenlőség feltételéből a keresett x paraméterre másodfokú egyenletet kapunk: Valós érték x2x 1, 029 m. Határozza meg a nyíróerők és a hajlító nyomatékok számszerű értékeit a gerenda jellemző szakaszainál. 1.8. Ábra, b mutatja a Q diagramot, és az 1.8, c - M. ábra. A megfontolt probléma megoldható, ha a csuklós gerendát felosztjuk alkotóelemeire, amint az az ábrán látható. 1.8, d) Az elején meghatározzuk a VC és VB hordozók reakcióit. A Q és M diagramokat a CB függesztő sugárra ábrázoljuk a rá ható terhelés hatására. Ezután az AC fő gerendájához mennek, megterhelve azt egy VC kiegészítő erővel, ami a CB gerenda AC gerendára ható nyomási ereje. Ezután a Q és M diagramokat a váltakozó sugárhoz ábrázoljuk. 1.4. Szilárdsági számítások a gerendák közvetlen hajlításához Szilárdsági számítások normál és nyírófeszültségekhez. A gerenda közvetlen hajlítása során a keresztmetszetein normál és érintőleges feszültségek keletkeznek (1.9. ábra). 18. ábra 1.9 A normál feszültségek hajlítónyomatékkal, a nyírófeszültségek nyíróerővel vannak összefüggésben. Egyenes tiszta hajlítás esetén a nyírófeszültség nulla. A normál feszültségeket a gerenda keresztmetszetének tetszőleges pontjában az (1.4) képlet határozza meg, ahol M a hajlítónyomaték ebben a szakaszban; Iz a szakasz tehetetlenségi nyomatéka a z semleges tengelyhez képest; y a távolság a normál feszültség meghatározásának helyétől a semleges z tengelyig. A normál feszültségek a szakasz magassága mentén lineárisan változnak, és a legnagyobb értéket a semleges tengelytől legtávolabbi pontokban érik el. Ha a szakasz szimmetrikus a semleges tengelyre (1.11. Ábra), akkor 1.11 a legnagyobb húzó- és nyomófeszültségek azonosak, és a képlet határozza meg,  a szelvény tengelyirányú ellenállási nyomatéka hajlításkor. B szélességű és h magasságú téglalap alakú metszetnél: (1.7) d átmérőjű körszelvénynél: (1.8)   gyűrű alakú metszetnél - a gyűrű belső, illetve külső átmérője. A műanyagból készült gerendák esetében a legracionálisabbak a szimmetrikus 20 metszeti formák (I-gerendák, doboz alakúak, gyűrű alakúak). A törékeny anyagokból készült gerendák esetében, amelyek nem egyformán ellenállnak a feszültségnek és az összenyomódásnak, a semleges z tengelyhez (T, U alakú, aszimmetrikus I-gerenda) képest aszimmetrikus szakaszok ésszerűek. Szimmetrikus keresztmetszetű műanyagból készült állandó keresztmetszetű gerendákra a szilárdsági feltételt a következőképpen írjuk fel: (1.10) ahol Mmax a modulo legnagyobb hajlítónyomaték; - megengedett feszültség az anyag számára. Az állandó keresztmetszetű, aszimmetrikus keresztmetszetű műanyagból készült gerendáknál a szilárdsági feltételt a következő formában kell felírni: (1. 11) A törékeny anyagokból készült gerendák esetében, amelyek szakaszai aszimmetrikusak a semleges tengely körül, ha az M diagram egyértelmű (1.12. Ábra), akkor két szilárdsági feltételt kell felírnia - a távolságot a semleges tengelytől a legtávolabbi pontokig a veszélyes szakasz feszített, illetve összenyomott zónáit; P - megengedett feszültségek a feszültségben és a kompresszióban. 1.12. ábra. 21 Ha a hajlítónyomatékok diagramja különböző előjelű metszeteket tartalmaz (1.13. ábra), akkor az 1-1 szakasz ellenőrzése mellett, ahol Mmax hat, ki kell számítani a legnagyobb húzófeszültségeket a 2-2 szakaszra (a legnagyobbakkal). az ellenkező jel pillanata). Rizs. 1.13 A normál feszültségek alapszámításával együtt bizonyos esetekben ellenőrizni kell a nyaláb erősségét a nyírófeszültség szempontjából. A gerendák nyírófeszültségeit DI Zhuravsky (1.13) képletével számítjuk ki, ahol Q a nyíróerő a gerenda figyelembe vett keresztmetszetében; Szotc - statikus nyomaték a szakasz egy részének területének semleges tengelyéhez viszonyítva, amely egy adott ponton keresztül húzott és a z tengelykel párhuzamos egyenes egyik oldalán található; b a szakasz szélessége a vizsgált pont szintjén; Iz a teljes szakasz tehetetlenségi nyomatéka a semleges z tengelyhez képest. A maximális nyírófeszültségek sok esetben a gerenda semleges rétegének (téglalap, I-gerenda, kör) szintjén jelentkeznek. Ilyen esetekben a nyírófeszültségi szilárdsági feltételt az (1.14) alakban írjuk fel, ahol Qmax a legnagyobb modulusú nyíróerő; Az anyag megengedett nyírófeszültsége. Egy gerenda téglalap alakú metszeténél a szilárdsági feltétel alakja (1.15) A a gerenda keresztmetszete. Körmetszet esetén a szilárdsági feltételt az (1.16) alakban ábrázoljuk. I-szelvény esetén a szilárdsági feltételt a következőképpen írjuk fel: (1.17) ahol Szо, тmсax a statikus félmetszet nyomatéka a semleges tengelyhez képest; d - az I -gerenda falvastagsága. Általában a gerenda keresztmetszetének méreteit a szilárdság feltételei határozzák meg a normál feszültségekhez képest. A gerendák szilárdságának ellenőrzése nyírófeszültségek szempontjából kötelező rövid és bármilyen hosszúságú gerendák esetén, ha a támasztékok közelében nagy erők koncentrálódnak, valamint fa, szegecselt és hegesztett gerendáknál. 1.6. Példa Ellenőrizze a doboz keresztmetszetű gerenda szilárdságát (1.14. Ábra) normál és nyírófeszültség esetén, ha MPa. Ábrázolja a gerenda veszélyes szakaszát. Rizs. 1.14 23. megoldás 1. Q és M diagramok ábrázolása karakterisztikus metszetekkel. Figyelembe véve a gerenda bal oldalát, megkapjuk a keresztirányú erők diagramját. 1,14, c. A hajlítónyomatékok diagramja az ábrán látható. 5.14, g 2. A keresztmetszet geometriai jellemzői 3. A legnagyobb normálfeszültségek a C szakaszban, ahol Mmax hat (modulo): MPa. A nyaláb maximális normál feszültségei gyakorlatilag megegyeznek a megengedett feszültségekkel. 4. A legnagyobb nyírófeszültségek a C (vagy A) szakaszban, ahol max Q hat (modulo): Itt van a félmetszet területének statikus nyomatéka a semleges tengelyhez képest; b2 cm - szelvényszélesség a semleges tengely szintjén. 5. Nyírófeszültségek egy pontban (a falban) a C szakaszban: Fig. 1.15 Itt Szomc 834.5 108 cm3 a szakasz szakasz K1 ponton áthaladó részének területének statikus nyomatéka; b2 cm - falvastagság a K1 pont szintjén. A gerenda C szakaszának  és  diagramja az ábrán látható. 1.15. 1.7. példa Az ábrán látható gerendához. 1.16, a, szükséges: 1. Készítsen diagramokat a nyíróerőkről és a hajlító nyomatékokról a jellemző szakaszok (pontok) szerint. 2. Határozza meg a keresztmetszet kör, téglalap és I-gerenda formájú méreteit a szilárdsági feltételből normál feszültségekre vonatkoztatva, hasonlítsa össze a keresztmetszeti területeket! 3. Ellenőrizze a gerendák keresztmetszetének kiválasztott méreteit a nyírófeszültség szempontjából. Adott: Megoldás: 1. Határozza meg a gerendatartók reakcióit Ellenőrzés: 2. Ábrázolja a Q és M diagramokat. A nyíróerők értékei a gerenda jellemző metszeteiben 25. ábra. 1.16 A CA és AD szakaszokban a terhelés intenzitása q = const. Következésképpen ezeken a területeken a Q diagramot a tengelyre hajló egyenesek korlátozzák. A DB szakaszban az elosztott terhelés intenzitása q = 0, ezért a diagramnak ebben a szakaszában a Q tengelyt párhuzamos egyenes korlátozza. A gerenda Q grafikonja az ábrán látható. 1,16, szül. A hajlítónyomatékok értékei a gerenda jellegzetes szakaszaiban: A második szakaszban meghatározzuk a szakasz x2 abszcisszáját, amelyben Q = 0: A második szakasz maximális nyomatéka Az M diagram a gerendához ábrán látható. 1,16, c. 2. Összeállítjuk a szilárdság feltételeit a normál feszültségekhez, ahonnan meghatározzuk a szakasz szükséges tengelyirányú ellenállási nyomatékát a körmetszet terület kívánt átmérőjének kifejezéséből A körmetszet területe A téglalap alakú szakaszhoz A szükséges szelvény magassága A téglalap alakú szakasz területe Határozza meg az I-gerenda kívánt számát. A GOST 8239-89 táblázatai szerint megtaláljuk az 597 cm3 tengelyirányú ellenállási nyomaték legközelebbi magasabb értékét, amely megfelel a 33-as számú I-sugárnak a következő jellemzőkkel: A z 9840 cm4. Ellenőrizzük a tűréshatárt: (alulterhelés a megengedett 5%-hoz képest 1%-kal) a legközelebbi 30-as I-gerenda (Sz 2 cm3) jelentős túlterheléshez vezet (több mint 5%). Végül elfogadjuk a 33. számú I-gerenda. A kör- és téglalap alakú szakaszok területét összehasonlítjuk az I-gerenda legkisebb A területével: A három figyelembe vett szakasz közül az I-szelvény a leggazdaságosabb. 3. A 27 I-sugár veszélyes szakaszában számoljuk ki a legnagyobb normál feszültségeket (1.17. Ábra, a): Normál feszültségek a falban az I-gerenda szegélye közelében A normál feszültségek diagramja a ábra mutatja a gerendát. 1,17, szül. 5. Határozza meg a legnagyobb nyírófeszültségeket a gerenda kiválasztott szakaszaihoz. a) a gerenda téglalap alakú metszete: b) a sugár kör alakú metszete: c) A gerenda I-metszete: Nyírófeszültségek a falban az I-gerenda karimája közelében a veszélyes A szakaszban (jobb oldalon) (2. pont) ): Az I-gerenda veszélyes szakaszainak nyírófeszültségeinek diagramja az 1. ábrán látható. 1,17, c. A gerenda legnagyobb nyírófeszültségei nem haladják meg a megengedett feszültségeket. 1.8. Példa Határozzuk meg a gerenda megengedett terhelését (1.18. Ábra, a), ha 60 MPa, akkor megadjuk a keresztmetszeti méreteket (1.19. Ábra, a). Készítse el a normál feszültségek diagramját a sugár veszélyes szakaszában a megengedett terhelésnél. 1.18. Ábra 1. A gerendatámaszok reakcióinak meghatározása. A rendszer szimmetriája miatt 2. Q és M diagramok felépítése a jellemző szakaszokon. Nyíróerők a gerenda jellemző metszeteiben: A gerenda Q diagramja az ábrán látható. 5,18, szül. Hajlító nyomatékok a gerenda jellegzetes szakaszaiban A gerenda második felében az M ordináták a szimmetriatengelyek mentén vannak. ábrán látható egy gerenda M diagramja. 1,18, b. 3. A metszet geometriai jellemzői (1.19. Ábra). Az ábrát két legegyszerűbb elemre osztjuk: egy I-gerenda - 1 és egy téglalap - 2. ábra. 1.19 A 20. számú I-gerenda választéka szerint van egy téglalap: A metszetterület statikus nyomatéka a z1 tengelyhez képest Távolság a z1 tengelytől a szakasz súlypontjáig A szakasz tehetetlenségi nyomatéka a teljes szakasz fő központi z tengelyéhez a párhuzamos tengelyekre való átmenet képletei szerint 4. A szilárdsági feltétel normál feszültségeknél az "a" veszélyes pontra (1.19. ábra) az I. veszélyes szakaszban (1.18. ábra) : A numerikus adatok helyettesítése után 5. A veszélyes szakasz megengedett terhelésével az "a" és "b" pontok normál feszültségei megegyeznek: Az 1-1 veszélyes szakasz normál feszültségeinek diagramja az 1. ábrán látható. 1,19, szül.

Kezdjük a legegyszerűbb esettel, az úgynevezett tiszta kanyarral.

A tiszta hajlítás a hajlítás egy speciális esete, amelyben a nyíróerő a gerendaszakaszokban nullával egyenlő. Tiszta hajlításra csak akkor kerülhet sor, ha a gerenda önsúlya olyan alacsony, hogy hatása elhanyagolható. Két tartón lévő gerendák esetében példák a tisztítást okozó terhelésekre

hajlítás látható az ábrán. 88. Ezen gerendák azon szakaszain, ahol Q = 0 és ezért M = const; tiszta kanyar van.

A gerenda bármely szakaszában lévő, tiszta hajlítású erők páros erőre redukálódnak, amelyek hatási síkja áthalad a sugár tengelyén, és a nyomaték állandó.

A feszültségek a következő szempontok alapján határozhatók meg.

1. A gerenda keresztmetszetében az elemi területekre irányuló erőfeszítések érintőleges összetevői nem redukálhatók olyan erőpárra, amelynek hatássíkja merőleges a szelvény síkjára. Ebből következik, hogy a szakaszon a hajlítóerő az elemi területekre gyakorolt ​​hatás eredménye

csak normális erőfeszítéseket, és ezért tiszta hajlítással és feszültségekkel csak normálisra csökken.

2. Ahhoz, hogy az elemi oldalakon tett erőfeszítéseket csak pár erőre lehessen csökkenteni, pozitív és negatív is kell, hogy legyen közöttük. Ezért a feszített és összenyomott gerendaszálaknak is létezniük kell.

3. Tekintettel arra, hogy a különböző szakaszokon az erők azonosak, akkor a szakaszok megfelelő pontjain a feszültségek azonosak.

Tekintsünk a felület közelében lévő elemeket (89. ábra, a). Mivel az alsó pereme mentén, amely egybeesik a gerenda felszínével, nem gyakorolnak erőt, nincsenek rajta feszültségek. Ezért az elem felső élén nincsenek feszültségek, hiszen különben az elem nem lenne egyensúlyban A mellette lévő elemet magasságban figyelembe véve (89. ábra, b) arra jutunk, hogy

Ugyanez a következtetés stb. Ebből az következik, hogy egyetlen elem vízszintes élei mentén nincsenek feszültségek. Figyelembe véve a vízszintes réteget alkotó elemeket, kezdve a gerenda felületén lévő elemmel (90. ábra), arra a következtetésre jutunk, hogy egyetlen elemnek sincsenek feszültségei az oldalirányú függőleges felületek mentén. Így bármely elem feszültségállapotát (91. ábra, a), valamint a határértékben és a szálban az ábrán látható módon kell ábrázolni. 91., b, azaz lehet tengelyirányú feszültség vagy axiális kompresszió.

4. A külső erők alkalmazásának szimmetriája miatt a nyalábhossz közepén lévő szakasznak a deformáció után síknak és normálisnak kell maradnia a gerenda tengelyével szemben (92. ábra, a). Ugyanebből az okból kifolyólag a gerenda hosszának negyedében lévő szakaszok is laposak és a gerenda tengelyére merőlegesek (92. ábra, b), ha csak a gerenda szélső szakaszai maradnak sík és merőleges az alakváltozás során. a gerenda tengelye. Hasonló következtetés igaz a gerenda hosszának nyolcadában lévő szakaszokra is (92. ábra, c) stb. Ezért, ha hajlítás közben a gerenda szélső szakaszai sík maradnak, akkor bármely szakaszon megmarad.

érvényes állítás, hogy deformáció után sík és normális marad az ívelt gerenda tengelyéhez képest. De ebben az esetben nyilvánvaló, hogy a gerenda szálainak megnyúlásának a magassága mentén nem csak folyamatosan, hanem monoton módon kell bekövetkeznie. Ha egy réteget azonos hosszúságú szálak halmazának nevezünk, akkor az elmondottakból az következik, hogy a gerenda feszített és összenyomott szálait a réteg ellentétes oldalán kell elhelyezni, amelyben a szálak megnyúlása megegyezik nulla. Szálakat, amelyek nyúlása nulla, egyenlőnek nevezzük semlegesnek; semleges szálakból álló réteg - semleges réteg; a semleges réteg metszésvonala a gerenda keresztmetszetének síkjával - e szakasz semleges vonala. Ezután a korábbi érvelés alapján érvelhetünk azzal, hogy a gerenda tiszta hajlításával minden szakaszában van egy semleges vonal, amely ezt a szakaszt két részre (zónára) osztja: a feszített szálak zónájára (feszített zóna) és a préselt szálak zónája (tömörített zóna). Ennek megfelelően a szakasz kiterjesztett zónájának pontjain normál húzófeszültségek, az összenyomott zóna pontjain nyomófeszültségek, a semleges vonal pontjain pedig nullával egyenlőek.

Így egy állandó keresztmetszetű gerenda tiszta hajlításával:

1) csak normál feszültségek hatnak a szakaszokon;

2) a teljes szakasz két részre (zónára) osztható - nyújtva és összenyomva; a zónák határa a semleges szakaszvonal, amelynek pontjain a normál feszültségek nulla;

3) a gerenda bármely hosszirányú eleme (a határban bármely szál) axiális feszültségnek vagy összenyomásnak van kitéve, hogy a szomszédos szálak ne lépjenek kölcsönhatásba egymással;

4) ha a nyaláb szélső szakaszai a deformáció során laposak és normálisak maradnak a tengelyhez képest, akkor minden keresztmetszete lapos és normális marad az ívelt gerenda tengelyéhez képest.

A gerenda feszültségi állapota tiszta hajlításban

Tekintsünk egy gerenda elemet, amely tiszta hajlításnak van kitéve, m - m és n - n szakaszok között, amelyek egymástól végtelenül kicsi távolságra vannak dx (93. ábra). Az előző bekezdés (4) helyzetéből adódóan a deformáció előtt párhuzamos mm és nn szakaszok, hajlítás után, síkban maradva dQ szöget zárnak be és metszik egymást a C ponton átmenő egyenesben, amely a középpont. görbületű semleges szál NN. Ekkor az AB szál közéjük zárt része, amely a semleges száltól z távolságra helyezkedik el (hajlítás közben a z tengely pozitív irányát vesszük a sugár konvexitása felé), deformáció után A "B ívvé válik ". Az O1O2 semleges szál egy szegmense, amely O1O2 ívré változik, nem változtatja meg a hosszát, míg az AB szál megnyúlást kap:

deformáció előtt

deformáció után

ahol p a semleges szál görbületi sugara.

Ezért az AB szegmens abszolút megnyúlása egyenlő

és megnyúlás

Mivel a (3) helyzet szerint az AB szálat tengelyirányú feszültségnek, majd rugalmas deformációnak vetik alá

Ebből látható, hogy a normálfeszültségek a gerenda magassága mentén egy lineáris törvény szerint oszlanak meg (94. ábra). Mivel a szakasz minden elemi szakaszán minden erőfeszítés egyenlő fellépésének nullával kell egyenlőnek lennie, akkor

ahonnan az (5.8) értékét helyettesítve azt találjuk

De az utolsó integrál az Oy tengely körüli statikus nyomaték, amely merőleges a hajlítóerők hatássíkjára.

A nullával való egyenlősége miatt ennek a tengelynek át kell haladnia a metszet O tömegközéppontján. Így a gerendaszakasz semleges vonala egy yy egyenes, amely merőleges a hajlítóerők hatássíkjára. Ezt a nyalábszakasz semleges tengelyének nevezik. Ekkor az (5.8) pontból az következik, hogy a feszültségek a semleges tengelytől azonos távolságra fekvő pontokon azonosak.

A tiszta hajlítás esete, amelyben a hajlítóerők csak egy síkban hatnak, és csak ebben a síkban okoznak hajlítást, sík tiszta kanyar. Ha a megnevezett sík átmegy az Óz tengelyen, akkor az elemi erők nyomatéka ehhez a tengelyhez képest nulla legyen, azaz.

Itt az (5.8) σ értékét helyettesítve azt találjuk

Ennek az egyenlőségnek a bal oldalán található integrál ismert, hogy a szakasz y és z tengelyhez viszonyított centrifugális tehetetlenségi nyomatéka.

Azokat a tengelyeket, amelyekhez képest a szakasz centrifugális tehetetlenségi nyomatéka nulla, e szakasz fő tehetetlenségi tengelyének nevezzük. Ha ráadásul áthaladnak a szakasz súlypontján, akkor a szakasz fő tehetetlenségi tengelyének nevezhetők. Így egy sík tiszta hajlításban a hajlítóerők hatási síkjának iránya és a szakasz semleges tengelye az utóbbiak fő tehetetlenségi tengelyei. Más szóval, a gerenda sík tiszta hajlításának elérése érdekében a terhelést nem lehet rá önkényesen alkalmazni: le kell csökkenteni a sugár egyik fő központi tehetetlenségi tengelyén áthaladó síkban ható erőkre. szakaszok; ebben az esetben a másik fő központi tehetetlenségi tengely a szakasz semleges tengelye lesz.

Mint ismeretes, bármely tengelyre szimmetrikus szakasz esetén a szimmetriatengely az egyik fő tehetetlenségi tengelye. Következésképpen ebben a konkrét esetben minden bizonnyal tiszta hajlítást kapunk, ha a megfelelő terheléseket a gerenda hossztengelyén és annak metszetének tengelyén áthaladó síkban alkalmazzuk. A szimmetriatengelyre merőleges és a szakasz súlypontján átmenő egyenes e szakasz semleges tengelye.

A semleges tengely helyzetének megállapítása után könnyen megállapítható a feszültség nagysága a szakasz bármely pontján. Valóban, mivel az elemi erők nyomatékainak az yy semleges tengelyhez viszonyított összegének meg kell egyeznie a hajlítónyomatékkal, akkor

ahonnan σ értékét (5.8) helyettesítve azt találjuk

Mivel az integrál az. a szakasz tehetetlenségi nyomatéka az yy tengelyhez képest, akkor

és az (5.8) kifejezésből kapjuk

Az EI Y terméket a gerenda hajlító merevségének nevezik.

A legnagyobb szakító- és legnagyobb abszolút értékű nyomófeszültségek azokon a szakaszokon hatnak, amelyekre a z abszolút értéke a legnagyobb, vagyis a semleges tengelytől legtávolabbi pontokra. A jelöléssel, ábra. 95 van nálunk

A Jy / h1 értéket a szakasz feszültséggel szembeni ellenállásának pillanatának nevezzük, és Wyр-vel jelöljük; hasonlóképpen a Jy / h2 -t a szakasz összenyomódási ellenállásának pillanatának nevezzük

és jelölje Wyc -et, így

és ezért

Ha a semleges tengely a metszet szimmetriatengelye, akkor h1 = h2 = h / 2, és ezért Wyp = Wyc, így nincs szükség megkülönböztetésre, és használjon egy jelölést:

W y -t egyszerűen a szakasz ellenállási pillanatának nevezzük. Ezért a semleges tengelyre szimmetrikus szakasz esetén

A fenti következtetések mindegyike abból a feltételezésből származik, hogy a gerenda keresztmetszete hajlítva lapos és normális marad a tengelyéhez képest (a lapos szakaszok hipotézise). Mint látható, ez a feltételezés csak akkor érvényes, ha a gerenda szélső (vég) szakaszai a hajlítás során laposak maradnak. Másrészt a lapos szakaszok hipotéziséből az következik, hogy az ilyen szakaszok elemi erőit lineáris törvény szerint kell elosztani. Ezért a kapott síkhajlítási elmélet érvényességéhez szükséges, hogy a gerenda végein a hajlítónyomatékokat a metszet magassága mentén elosztott elemi erők formájában egy lineáris törvény szerint alkalmazzuk (ábra 1). 96), amely egybeesik a feszültségeloszlás törvényével a keresztmetszeti gerendák magassága mentén. A Saint-Venant-elv alapján azonban vitatható, hogy a hajlítónyomatékok gerenda végein történő alkalmazásának módjának megváltoztatása csak lokális deformációkat okoz, amelyek hatása csak bizonyos távolságra lesz tőlük végek (nagyjából megegyeznek a szakasz magasságával). Azok a szakaszok, amelyek a gerenda hosszának többi részében vannak, laposak maradnak. Következésképpen a sík tiszta hajlítás elmélete a hajlítónyomatékok alkalmazásának bármely módszerére csak a gerendahossz középső részén érvényes, a végeitől körülbelül a szakasz magasságával megegyező távolságra. Ezért nyilvánvaló, hogy ez az elmélet nyilvánvalóan nem alkalmazható, ha a szakasz magassága meghaladja a gerenda hosszának vagy fesztávjának felét.