Egy módszer a vetítési síkok helyettesítésére. A vetítési síkok cseréjének módszerével megoldott főbb problémák Vetítési síkok cseréjének módszere algoritmus

10. ELŐADÁS

KIVETÉSI SÍK CSERÉLÉSÉNEK MÓDJA

1. A síkok cseréjének módszerének szárazsága

2. A síkok egyenes szakaszra cserélésének módszerének alkalmazása

3. A síkok cseréjének módszerének alkalmazása sík figurára

1. A síkok cseréjének módszerének szárazsága

Ez a módszer abból áll, hogy egy adott vetületi síkrendszert lecserélünk egy új rendszerre, így egy objektum (egyenes vagy sík), anélkül, hogy megváltoztatná a térbeli helyzetét, egy adott helyzetben találja magát az új vetületi síkrendszerhez képest. A vetületi síkok új ortogonális rendszert alkotnak.

A probléma körülményeitől függően az adott vetítési síkok egyikét, vagy mindkettőt ki kell cserélni, ha egy vetületi sík cseréjével nem lehet megszerezni a vetített objektum kívánt helyét a vetítési síkhoz képest.

Vegyük a vetületi síkok rendszerét NÉs V tetszőleges pont Aés megszerkesztjük annak téglalap alakú vetületeit AÉs A"(60. ábra). Cseréljük le az V frontsíkot egy új síkkal V 1 , merőleges a síkra N, azaz a síkok rendszerébőlcolor:black"> menjünk a rendszerhezúj j tengellyel x 1 . Kivetített

miután pontot tett A a repülőhözV 1új vetületet kapunk a1" Vízszintes vetítés A pontokat A mindkét vetületi síkrendszerhez tartozik. Az építkezésekből egyértelműen kiderülegy 1"aXi= Aa =egy "fejsze =zA,azaz a gép cseréjekor V repülőgépV 1,merőleges a síkra N, a vetített pont koordinátája változatlan marad.

A rajz elkészítéséhez mindhárom síkot kombináljuk - N, V to V 1– egy síkban (60. ábra). Az új vetítési rendszerbenaÉs egy "az új tengelyre merőleges vetületi kapcsolat egyenesen vannakx 1 .Ebben az esetben a távolságaXia 1" =axa "=zA.

A vetületek vízszintes síkjának cseréje Núj repülőgépH1 , merőleges a V síkra, a vetületi síkok rendszerébőlfont-size:14.0pt;color:black"> áttérés az új rendszerre(61. ábra).

A pont vetületeinek megszerkesztésével A mindkét rendszerben észrevesszük, hogy a koordináta nál nél változatlan marad. A rajzon van egy szegmensoXla 1 =axa =yA,amely lehetővé teszi egy új vetület felépítését a1 adott pont A-ból húzott merőlegesen A" az új tengelyhez ox 1.

ábrán látható két vetületi sík egymás utáni cseréje. 62. Először a repülőgép V repülőgép váltotta felV1 merőleges a síkraH, és új vetítés épült a1 pontokat A. Aztán a repülő N repülőgép váltotta fel H1 merőleges a síkraV1 , és új vetületet építettek a1.Így következetes átmenet történt a vetületi síkok rendszeréből egy rendszerbe, majd egy rendszerbe.

pozíció:relatív; z-index:-10">

Síkrendszerben egy pont vetületei alapján A akarat A(És a1", melynek szekvenciális felépítését a koordináta invarianciája határozza megz a síkok és koordináták rendszerébeny1 síkok rendszerében

Nézzük meg a problémák megoldását ezzel a módszerrel két példán keresztül.

2. A síkcsere módszer alkalmazása

egyenes szakaszra

Példa 1. Határozza meg egy szakasz hosszát AB egyenes a vetületei szerintabÉs a"b"(63. ábra).

A problémát úgy oldjuk meg, hogy az adott vetítési síkok egyikét egy új, a szakasszal párhuzamos vetítési síkra cseréljük AB. A szegmens az új síkra vetítésre kerül a valódi méretére.

Repülőgép cseréjekor V repülőgépV 1,párhuzamos a szegmenssel AB,új o tengely x1 a vízszintes vetítéssel párhuzamosan hajtják végreab(rizs .63 a ). A pontok kiesése AÉsbmerőlegesek az o tengelyre x1és félretéve rájukaXla 1 "=axa"És bXib 1 " =bxb",kap egy új vetítést a1" b "1,egyenlő a szegmenssel AB,és a szög is egy, egyenlő az egyenes dőlésszögével a síkhoz képest N.

ábrán. 63 b ugyanerre a problémára ad megoldást a sík cseréjével N repülőgép H1, párhuzamos a szegmenssel AB. Ebben az esetben az o tengely x1 a frontális vetülettel párhuzamosan elhelyezveegy "b"és az előzőhöz hasonlóan megkapjuk a vetületet a1 b 1egyenlő egy adott szegmenssel, és α szög v , egy egyenes korai dőlésszöge egy síkhoz képest V.

3. A síkcsere módszer alkalmazása

lapos alakra

2. példa Határozza meg a háromszög méretét és alakját! ABC előrejelzései szerintABC És A" b"Val vel"(64. ábra).

A háromszöget torzítás nélkül vetítjük a vele párhuzamos vetítési síkra. Ez általános esetben nem érhető el pusztán vetítési síkok cseréjével, ezért két vetületi síkot egymás után cserélünk.

Először a gépet cserélik V repülőgépV 1merőleges a háromszög síkjára. Ehhez húzzon egy vízszintes vonalat a háromszög síkjábaHIRDETÉSés egy síkot helyezünk rá merőlegesenV 1.A rajzon a konstrukció egy tengely megrajzolásához vezet x1, merőleges vízszintes vetülethirdetésvízszintes. VízszintesHIRDETÉSsíkra vetítveV 1 pontosan egy 1" ≡ d 1, és a háromszöget szegmensséb 1c 1.

Ezután a gépet kicserélik N repülőgép H1 párhuzamos a háromszög síkjávalABC.O tengely x2 párhuzamos lesz a vetítésselb 1 "a1"c1",és a vetítés b 1 a1c1megjeleníti a háromszög valódi méretét.

A vetületi síkok cseréjének módszerének lényege, hogy egy adott vetületi síkrendszert egy új rendszerrel helyettesítünk, így a geometriai alakzatok az új vetületi síkrendszerhez képest egy adott helyzetben találják magukat.

Nézzük meg, hogyan változnak a pont vetületei B, ha a repülőgép V cserélje ki egy új vetítési síkra V 1(5.1. ábra, A). Repülőgép V 1 merőlegesen rajzoljunk a síkra N, amelynek helyzete változatlan marad. Repülőgépek NÉs V 1 egyenes vonalban metszik egymást 0x1, amely meghatározza az új vetítési tengelyt. A vetületi síkok új rendszerében vetületek helyett bÉs b"új előrejelzéseket kapunk bÉs b 1′. Könnyen ellenőrizhető, hogy a távolság a pont új vetületétől b 1′új tengelyre 0x1(koordináta Z) egyenlő a helyettesített vetítés távolságával b" a cserélendő tengelyhez 0x. Ha térbeli rajzról diagramra szeretne lépni, össze kell kapcsolnia a síkot V 1 repülőgéppel N. A diagramon (5.1. ábra, 6 ) új vetület megalkotásához b 1′ koordináta megváltoztathatatlanságát használjuk Z pontokat B. Ehhez elegendő egy vízszintes vetítésből b rajzoljon egy merőlegest az új tengelyre 0x1és a lényegtől b X 1 félretesszük a koordinátát Z, amelyet a távolság határozza meg b"b x (Z B) az előző rendszerben.

A vízszintes sík cseréje Núj repülőgép H 1(5.1. ábra, V) hasonló módon hajtjuk végre, azzal az egyetlen különbséggel, hogy most a pont frontális vetülete nem változik b", új vízszintes vetítés megalkotásához b 1 szükséges a mentett frontális vetületből b" húzzon kommunikációs vonalat egy új tengelyre 0x1és tegyen félre egy olyan távolságot az új tengelytől, amely megegyezik a helyettesített vetítés távolságával b a cserélendő tengelyhez 0x.

A vetítési síkok cseréje csak szekvenciálisan történhet, nem lehet egyszerre mindkét síkot megváltoztatni.

Nézzünk példákat a vetületi síkok cseréjére és az ábrák új vetületeinek megalkotására.

1. feladat. Határozza meg egy egyenes szakasz hosszát! ABáltalános álláspont.

A repülőgép cseréje V repülőgép V 1, párhuzamos a szegmenssel AB(5.2. ábra, A). Rajzolunk egy új tengelyt X 1 párhuzamos abés a pontokból rá húzott merőlegeseken AÉs b, elhalasztjuk a X 1 a 1 ′ = a x a"És b X 1 b 1 ′ = b x b".Új vetítést kapunk a 1 ′b 1 ′ = ABés egyben egy szög α egyenes dőlése egy síkhoz N.

Ha a repülőgép N cserélje ki egy repülőgépre H 1 párhuzamos a szegmenssel AB(5.2. ábra, b), akkor megkapjuk a 1 b 1 = ABés szög β egyenes dőlése egy síkra V.

2. feladat. Határozza meg a háromszög tényleges méretét és alakját! ABC.

A problémát két vetületi sík egymás utáni cseréjével oldjuk meg.

Először a repülőgép V cserélje ki egy repülőgépre V 1, merőleges a háromszög síkjára (5.3. ábra). Ehhez húzzon egy vízszintes vonalat a háromszög síkjába HIRDETÉS (ad, a"d")és egy új tengely X 1 merőlegesen elhelyezve hirdetés. Az új vetítési síkon a háromszöget egyenes vonalba vetítjük b 1 ′а 1 ′с 1 . A második szakaszban a repülőgép N cserélje ki egy repülőgépre H 1, párhuzamos a háromszög síkjával, a tengely elhelyezése X 2 párhuzamos a vonallal b 1 ′а 1 ′с 1 ′.Épített vetítés a 1 b 1 c 1 meghatározza a háromszög természetes méretét és alakját ABC.

KÉP ÁTALAKÍTÁS. A LEÍRÁSGEOMETRIA NÉGY FŐ FELADATA

6. előadás

A metrika, valamint néhány helyzeti probléma megoldásának leegyszerűsítésére olyan módszerek alkalmazhatók, amelyek lehetővé teszik az általános pozíciók megadása helyett az egyes számadatok felé történő elmozdulást. Ezek a módszerek két elven alapulnak:

1) a vetületi síkok rendszerének lecserélése egy új síkrendszerre, amelyben egy rögzített geometriai objektum valamilyen meghatározott pozíciót foglal el ( vetítési síkok cseréjének módszere);

2) geometriai objektum mozgatása a térben úgy, hogy az egy meghatározott pozíciót foglaljon el a vetületi síkok rögzített rendszerében ( forgatási módszer).

Attól függően, hogy a térben hol helyezkedik el a tengely, amely körül a geometriai objektum forog, a következő típusú forgatási módszereket különböztetjük meg:

1) forgás a szintvonal körül;

2) forgás a kiálló vonal körül;

3) síkpárhuzamos mozgás.

Ezek az átalakítási módszerek magukban foglalják a leíró geometria négy fő feladata:

1. Összetett rajz átalakítása úgy, hogy egy általános egyenesből szintvonal legyen.

2. Összetett rajz átalakítása úgy, hogy a szintvonalból kiálló egyenes legyen.

3. Az összetett rajz átalakítása úgy, hogy az általános helyzetsík a vetületi szintsík legyen.

4. Az összetett rajz átalakítása úgy, hogy a vetületi sík sík sík legyen.

Ennek a módszernek a lényege, hogy a vetített objektum nem változtatja meg a térbeli helyzetét, hanem a vetületi síkok rendszere kicserélődik. Egy, két vagy több sík cserélhető. A csere addig történik, amíg a geometriai objektum egy adott pozíciót nem vesz fel az új vetítési síkhoz képest. Ebben az esetben az új síknak merőlegesnek kell lennie a megmaradt „régi” vetítési síkra.

Vegyünk egy pontot A, amely a vetítési síkok ortogonális rendszerében helyezkedik el, és forgassa el körülötte a P 1 vízszintes vetítési síkot helyzetbe, így egy új, merőleges vetületi síkrendszert kapunk. Ebben az esetben a következő feltételnek kell teljesülnie:

A pont és a „régi” vetítési sík távolsága az új vetítési síkrendszerben változatlan maradjon.

1 fő feladat. Egy általános helyzetű egyenest sík egyenessé alakítva meghatározhatjuk:

A szegmens természetes hossza;

Egyenes dőlésszögei a vetítési síkokhoz képest.

2 fő feladat. A szintvonalat kiálló egyenessé alakítva a következőket találhatja:

Egy pont és egy egyenes közötti távolság;

Párhuzamos vagy keresztező vonalak közötti távolság stb.

3 fő feladat. Az általános helyzetsíkot vetítősíkká alakítva meghatározhatjuk:

Egy pont és egy sík távolsága vagy a párhuzamos síkok közötti távolság;

A sík dőlésszögei a vetítési síkokhoz képest.

4 fő feladat. A vetületi síkot vízszintes síkká alakítva megkaphatjuk:

Életnagyságú lapos alak;

A metsző vonalak közötti szög;

Egy körülírt vagy beírt kör középpontja;

Szerkessze meg a szögfelezőt stb.

A módszer lényege, hogy egy új vetítési síkot viszünk be a rajzba úgy, hogy az objektum egy adott pozíciót foglaljon el hozzá képest.

Nézzük meg ennek a módszernek az alkalmazását négy fő transzformációs probléma megoldására.

Első feladat: az általános vonal
pozíciót vízszintes egyenessé alakítjuk át (5.1. ábra).

Az AB általános helyzetű egyenes vízszintes egyenessé alakításához új, AB-vel párhuzamos vetítési síkot kell bevezetni, vagyis a rajzban új koordinátatengelyt kell rajzolni A 1 B 1 vagy A 2 B 2 -vel párhuzamosan. A vizsgált esetben a P 1 koordinátatengely párhuzamos A 1 B 1 -gyel, így egy új frontális vetületi síkot vezet be. Egy szegmens vetületének ezen a síkon történő megszerkesztéséhez kommunikációs vonalakat kell rajzolni A 1 és B 1 pontokból merőlegesen a P 1 / P 4 koordinátatengelyre.

Mivel az egyenes magassága a térben nem változott, ezért a P 1 / P 4 tengelyről a megfelelő kommunikációs vonalakon ábrázoljuk az A és B pontok magasságát, így A 4 és B 4 értéket kapunk. Az A 1 B 1 és A 4 B 4 egyenes vetületei megadják az AB egyenes helyzetét, párhuzamosan az új frontsíkkal
vetületi csontok. A 4 B 4 vetület – az AB szakasz természetes mérete. A természetes méretű közvetlen és vízszintes vetület közötti szög a P 1 vetületek vízszintes síkjával bezárt AB dőlésszög. Ha meg kell határozni az AB egyenes dőlésszögét a vetületek homloksíkjához képest, akkor a P 2 / P 5 koordinátatengelyt párhuzamosan kell húzni A 2 B 2 -vel, és be kell állítani az A y és B y szöget. félre a kommunikációs vonalakon erről a tengelyről.

A természetes méret és a frontális vetület közötti szög az AB egyenes dőlésszöge (β) a P 2-hez képest.

Gyakran egy szakasz természetes méretének és egy egyenesnek a vetületi síkokhoz viszonyított dőlésszögeinek meghatározásához a derékszögű háromszög módszert alkalmazzák, ami az első transzformációs feladat megoldásának következménye (5.2. ábra).

Egy szakasz természetes értéke egy derékszögű háromszög befogója, melynek egyik oldala magának a szakasznak a vetülete, a másik oldala nagyságrendben a szakasz végeinek koordinátáinak különbsége egy másik vetítési síkon.

Második feladat: a vízszintes egyenest vetületi egyenessé alakítjuk (5.3. ábra).

A feladat megoldásához új vetítési síkot kell rajzolni, amely merőleges az A 1 B 1 egyenes természetes méretére. Az A 1 B 1 és A 4 B 4 vetületek megadják az AB egyenes helyzetét, merőlegesen a P 4 vetületek új homloksíkjára.

A harmadik és negyedik probléma: az általános helyzetsíkot vetületi síkká, a vetületi síkot pedig vízszintes síkvá alakítjuk.

A két probléma megoldását az ábra mutatja. 5.4. Legyen adott egy általános sík, amelyet az ABC háromszög határoz meg. Vetítővé alakításához új vetítési síkot kell bevezetni az ABC háromszögre merőlegesen, de összetett rajznál ez akkor lehetséges, ha a vetítési síkot merőlegesen rajzoljuk a sík szintvonalaira vagy nyomvonalaira.

Ehhez az ABC háromszög síkjába vízszintes vonalat húzunk. A h 1-re merőlegesen megrajzoljuk a koordinátatengelyt (P 1 / P 2). A h szintvonalat h(h 1 h 4) közvetlen kiálló egyenessé alakítottuk át. Az A 1, B 1, C 1 háromszög csúcsainak vetületéből kommunikációs vonalakat húzunk, és (P 1 / P 4) -ből ábrázoljuk a megfelelő A 2, B 2, C 2 koordinátákat. Az A 4, B 4, C 4 háromszög vetülete egy egyenes.

Így az általános sík egy vetületi síkba alakul át. Az A 4 B 4 C 4 háromszög vetülete és a koordinátatengely közötti szög a sík dőlésszöge P 1-hez képest.

Nézzük meg egy példa segítségével a síkok cseréjének módszerének lényegét. Be (5.1. ábra). adott pont A vetületi síkok rendszerében p 1 / p 2 . Cseréljük ki az egyiket, például a p 2-t egy másik p 4 ^ p 1 függőleges síkkal, azaz. Térjünk át a p 4 / p 1 vetületi síkok új rendszerére. Határozzuk meg a pont új frontális vetületét A 4, erre a koordináták megváltoztathatatlanságát használom Z pontokat A, mert a p 1 vízszintes vetítési sík közös az eredeti és az új rendszerben. Diagramon vízszintes vetületből A 1 rajzoljon egy csatlakozási vonalat merőlegesen az új tengelyre x 14 és tedd félre a koordinátát Z pontokat A.

Rizs. 5.1. Egy módszer a síkok cseréjére.

A síkok cseréjével meghatározzák az egyenes természetes méretét, egy síkot, meghatározzák az egyenesek távolságát, síkok stb. A feladatok megoldása során szükség van egy vagy két vetületi sík egymás utáni megváltoztatására, hogy a geometriai objektumok az új rendszerhez képest egy adott helyzetben legyenek.

Tekintsük az egyenes és a sík átalakításának problémáit:

Feladat: Adott egy egyenes ABáltalános helyzet (5.2. ábra). Alakítsa át az AB egyenest vetületi egyenessé.

Rizs. 5.2.

Megoldás: Egy általános helyzetben lévő egyenes csak a vetítési síkok két egymást követő cseréjével alakítható át kiálló egyenessé. Mert az általános egyenesre merőleges vetítési sík nem lesz merőleges sem p 1 -re, sem p 2 -re. Kezdetben a p 2 vetületi síkot az egyenessel párhuzamos p 4-re (^ p 1) cseréljük. AB, új vetítési tengely x 14 || A 1 BAN BEN 1 . Építsünk új frontális vetületet A 4 BAN BEN 4, egy állandó koordinátát félretéve Z. Egyenes AB az új p 1 / p 4 rendszerben frontálissá alakítva, A 4 BAN BEN A 4. ábra az egyenes szakasz tényleges mérete, az a szög pedig az egyenes dőlésszöge a p 1 vetítési síkkal. Ezután a p 1 vetítési síkot az egyenesre merőleges p 5-re (^ p 4) cseréljük. AB, új vetítési tengely x 45 ^ A 4 BAN BEN 4. Építsünk egy új vízszintes vetületet A 5 BAN BEN 5, egy állandó koordinátát félretéve Y, egyenes AB, Pontként kifejezve A 5º B 5. ábra és egy vízszintesen vetülő egyenes az új p 4 / p 5 síkrendszerben.

Feladat: Adott két párhuzamos egyenes ABÉs CD(5.3. ábra). Határozza meg a köztük lévő távolságot.

Rizs. 5.3.

Megoldás: A párhuzamos vonalak közötti távolság meghatározásához át kell alakítani őket vetületi vonalakká. Ez a vetületi síkok két egymást követő cseréjével érhető el. A p 1 vetítési sík első cseréje a megadott egyenesekkel párhuzamos p 5-re, új vetítési tengely x 25 || VAL VEL 2 D 2 || A 2 BAN BEN 2. Közvetlen ABÉs CD a vízszintes p 2 / p 5 vetületi síkok új rendszerében transzformálva. A p 2 vetületi sík második cseréje p 4-re merőlegesen az egyenesekre ABÉs CD, új vetítési tengely x 45 ^ VAL VEL 5 D 5 ^ (A 5 BAN BEN 5) Az új vízszintes síkhoz p 5 egyenes ABÉs CD pontokra vetítve A 5º B 5 , C 5º D 5. Mérjük a pontok közötti távolságot.

Feladat: Adott egy sík, egy háromszög ABCáltalános helyzet (5.4. ábra). Határozza meg a háromszög tényleges méretét! ABC.

Rizs. 5.4.

Megoldás: A sík természetes méretének meghatározásához a vetítési síkkal párhuzamosan kell elhelyezni. Az általános helyzetsíkot nem lehet azonnal szintsíkká alakítani, mert a vele párhuzamos új vetítési sík nem lesz merőleges sem p 1-re, sem p 2-re. Ezért a vetítési síkok két egymást követő cseréjét kell végrehajtani, ezt a síkot először vetületi síkba, majd vízszintes síkra kell átalakítani.

Cserélje ki a p 2 vetítési síkot a háromszögre merőleges p 4-re ABC. A p 4 irány meghatározásához rajzoljuk be a háromszöget ABC vízszintes h. Az új p 4 vetítési sík merőleges lesz a vízszintesre, az új vetítési tengelyre x 14 ^ h 1 . Állandó koordinátákat ábrázolunk a kommunikációs vonalon Z A, Z B, Z C. Új frontális vetítés A 4 B 4 C 4 a p 1 /p 2 síkrendszerben egy egyenes, sík ( ABC) elölről vetítővé alakítva.

Ezután a p 1 vetületi síkot a háromszöggel párhuzamos p 5 síkra cseréljük ABC, új vetítési tengely x 45 || A 4 BAN BEN 4 VAL VEL 4, a koordináta változatlan marad Y. Az új síkrendszerben p 4 / p 5 háromszög ABC a szint vízszintes síkja. Új vízszintes vetítés A 5 BAN BEN 5 VAL VEL 5 – a háromszög természetes mérete ABC.

Forgatás módszere

A forgatási módszer lényege, hogy egy geometriai objektumot a térben egy kiválasztott tengely körül elforgatunk én a kívánt pozícióba a vetítési síkokhoz képest. A tárgypontok mozgási pályái körívek, amelyek középpontja a forgástengelyen van.