Ημίτονο, συνημίτονο, εφαπτομένη: τι είναι; Πώς να βρείτε ημίτονο, συνημίτονο και εφαπτομένη; Ημίτονο, συνημίτονο, εφαπτομένη, συνεφαπτομένη οξείας γωνίας. Τριγωνομετρικές συναρτήσεις

Ας θυμηθούμε το σχολικό μάθημα των μαθηματικών και ας μιλήσουμε για το τι είναι η εφαπτομένη και πώς να βρούμε την εφαπτομένη μιας γωνίας. Αρχικά, ας ορίσουμε τι ονομάζεται εφαπτομένη. V ορθογώνιο τρίγωνοη εφαπτομένη μιας οξείας γωνίας είναι ο λόγος του απέναντι σκέλους προς το διπλανό. Το διπλανό σκέλος είναι αυτό που συμμετέχει στο σχηματισμό της γωνίας, το απέναντι είναι αυτό που βρίσκεται απέναντι από τη γωνία.

Επίσης, η εφαπτομένη μιας οξείας γωνίας είναι ο λόγος του ημιτόνου αυτής της γωνίας προς το συνημίτονό της. Για να κατανοήσουμε, θυμόμαστε τι είναι το ημίτονο και το συνημίτονο μιας γωνίας. Το ημίτονο οξείας γωνίας σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο είναι ο λόγος του αντίθετου σκέλους προς την υποτείνουσα, το συνημίτονο είναι ο λόγος του διπλανού σκέλους προς την υποτείνουσα.

Υπάρχει και μια συνεφαπτομένη, είναι το αντίθετο της εφαπτομένης. Η συνεφαπτομένη είναι ο λόγος του διπλανού σκέλους προς το αντίθετο σκέλος και, κατά συνέπεια, ο λόγος του συνημιτόνου μιας γωνίας προς το ημίτονο του.

Το ημίτονο, το συνημίτονο, η εφαπτομένη και η συνεφαπτομένη είναι τριγωνομετρικές συναρτήσεις μιας γωνίας, δείχνουν τη σχέση μεταξύ των γωνιών και των πλευρών ενός τριγώνου, βοηθούν στον υπολογισμό των πλευρών ενός τριγώνου.

Υπολογίστε την εφαπτομένη μιας οξείας γωνίας

Πώς να βρείτε την εφαπτομένη σε ένα τρίγωνο; Για να μην χάνετε χρόνο αναζητώντας την εφαπτομένη, μπορείτε να βρείτε ειδικούς πίνακες όπου υποδεικνύονται οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις πολλών γωνιών. Στα σχολικά προβλήματα στη γεωμετρία, ορισμένες γωνίες είναι πολύ κοινές και οι εκπαιδευτικοί καλούνται να θυμούνται τις τιμές των ημιτόνων, των συνημιτόνων, των εφαπτομένων και των συνεφαπτομένων τους. Σας προσφέρουμε ένα μικρό πιάτο με τις επιθυμητές τιμές για αυτές τις γωνίες.

Εάν η γωνία της οποίας πρέπει να βρεθεί η εφαπτομένη δεν παρουσιάζεται σε αυτόν τον πίνακα, τότε μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τους δύο τύπους που παρουσιάσαμε παραπάνω σε προφορική μορφή.

Ο πρώτος τρόπος υπολογισμού της εφαπτομένης μιας γωνίας είναι να διαιρέσουμε το μήκος του απέναντι σκέλους με το μήκος του διπλανού. Ας υποθέσουμε ότι το αντίθετο σκέλος είναι 4 και το διπλανό σκέλος είναι 8. Για να βρείτε την εφαπτομένη, χρειάζεστε 4:8. Η εφαπτομένη της γωνίας θα είναι ½ ή 0,5.

Ο δεύτερος τρόπος υπολογισμού της εφαπτομένης είναι να διαιρεθεί η τιμή του ημιτόνου μιας δεδομένης γωνίας με την τιμή του συνημιτόνου της. Για παράδειγμα, μας δίνεται γωνία 45 μοιρών. Η αμαρτία του = τετραγωνική ρίζα δύο διαιρούμενων με δύο· τον κός του ίσο με αυτότον ίδιο αριθμό. Τώρα διαιρούμε το ημίτονο με το συνημίτονο και παίρνουμε την εφαπτομένη ίση με ένα.

Συμβαίνει ότι πρέπει να χρησιμοποιήσετε αυτόν τον συγκεκριμένο τύπο, αλλά μόνο ένα στοιχείο είναι γνωστό - είτε ημιτονοειδές είτε συνημίτονο. Σε αυτή την περίπτωση, θα είναι χρήσιμο να ανακαλέσετε τον τύπο

sin2 α + cos2 α = 1. Αυτή είναι η βασική τριγωνομετρική ταυτότητα. Εκφράζοντας ένα άγνωστο στοιχείο με όρους ενός γνωστού, μπορεί κανείς να ανακαλύψει τη σημασία του. Και γνωρίζοντας το ημίτονο και το συνημίτονο, δεν είναι δύσκολο να βρεθεί η εφαπτομένη.

Και αν η γεωμετρία δεν σας καλεί, αλλά πρέπει να κάνετε την εργασία σας, τότε μπορείτε να χρησιμοποιήσετε την ηλεκτρονική αριθμομηχανή για τον υπολογισμό της εφαπτομένης μιας γωνίας.

Σας είπαμε για απλά παραδείγματαπώς να βρείτε την εφαπτομένη. Ωστόσο, οι συνθήκες των εργασιών είναι πιο δύσκολες και δεν είναι πάντα δυνατό να ανακαλύψετε γρήγορα όλα τα απαραίτητα δεδομένα. Σε αυτή την περίπτωση, το Πυθαγόρειο θεώρημα και διάφορες τριγωνομετρικές συναρτήσεις θα σας βοηθήσουν.

Μέσο επίπεδο

Ορθογώνιο τρίγωνο. Πλήρης εικονογραφημένος οδηγός (2019)

ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ. ΠΡΩΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ.

Στα προβλήματα, μια ορθή γωνία δεν είναι καθόλου απαραίτητη - η κάτω αριστερή, επομένως πρέπει να μάθετε πώς να αναγνωρίζετε ένα ορθογώνιο τρίγωνο σε αυτήν τη μορφή,

και σε τέτοια

και σε τέτοια

Τι καλό έχει ένα ορθογώνιο τρίγωνο; Λοιπόν... πρώτα από όλα, υπάρχουν ειδικές όμορφα ονόματαγια τα πλευρά του.

Προσοχή στο σχέδιο!

Θυμηθείτε και μην μπερδεύετε: πόδια - δύο, και η υποτείνουσα - μόνο ένα(το μοναδικό, μοναδικό και μακρύτερο)!

Λοιπόν, συζητήσαμε τα ονόματα, τώρα το πιο σημαντικό πράγμα: το Πυθαγόρειο Θεώρημα.

Πυθαγόρειο θεώρημα.

Αυτό το θεώρημα είναι το κλειδί για την επίλυση πολλών προβλημάτων που αφορούν ένα ορθογώνιο τρίγωνο. Το απέδειξε ο Πυθαγόρας σε εντελώς αμνημονεύτων χρόνων, και από τότε έχει φέρει πολλά οφέλη σε όσους το γνωρίζουν. Και το καλύτερο για αυτήν είναι ότι είναι απλή.

Ετσι, Πυθαγόρειο θεώρημα:

Θυμάστε το αστείο: «Το πυθαγόρειο παντελόνι είναι ίσο από όλες τις πλευρές!»;

Ας ζωγραφίσουμε αυτά τα πολύ πυθαγόρεια παντελόνια και ας τα δούμε.

Μοιάζει πραγματικά με σορτς; Λοιπόν, σε ποιες πλευρές και πού είναι ίσες; Γιατί και από πού προήλθε το αστείο; Και αυτό το αστείο συνδέεται ακριβώς με το Πυθαγόρειο θεώρημα, πιο συγκεκριμένα με τον τρόπο που διατύπωσε το θεώρημά του ο ίδιος ο Πυθαγόρας. Και το διατύπωσε ως εξής:

"Αθροισμα περιοχή των πλατειών, χτισμένο στα πόδια, ισούται με τετραγωνική έκτασηχτισμένο πάνω στην υποτείνουσα.

Δεν ακούγεται λίγο διαφορετικό, έτσι δεν είναι; Και έτσι, όταν ο Πυθαγόρας σχεδίασε τη δήλωση του θεωρήματός του, αποδείχθηκε ακριβώς μια τέτοια εικόνα.

Σε αυτή την εικόνα, το άθροισμα των εμβαδών των μικρών τετραγώνων είναι ίσο με το εμβαδόν του μεγάλου τετραγώνου. Και για να θυμούνται καλύτερα τα παιδιά ότι το άθροισμα των τετραγώνων των ποδιών είναι ίσο με το τετράγωνο της υποτείνουσας, κάποιος πνευματώδης επινόησε αυτό το αστείο για το πυθαγόρειο παντελόνι.

Γιατί διατυπώνουμε τώρα το Πυθαγόρειο θεώρημα

Υπέφερε ο Πυθαγόρας και μίλησε για τετράγωνα;

Βλέπετε, στα αρχαία χρόνια δεν υπήρχε ... άλγεβρα! Δεν υπήρχαν σημάδια και ούτω καθεξής. Δεν υπήρχαν επιγραφές. Μπορείτε να φανταστείτε πόσο τρομερό ήταν για τους φτωχούς αρχαίους μαθητές να απομνημονεύουν τα πάντα με λέξεις;;! Και μπορούμε να χαιρόμαστε που έχουμε μια απλή διατύπωση του Πυθαγόρειου θεωρήματος. Ας το επαναλάβουμε για να θυμηθούμε καλύτερα:

Τώρα πρέπει να είναι εύκολο:

Το τετράγωνο της υποτείνουσας είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των ποδιών.

Λοιπόν, συζητήθηκε το πιο σημαντικό θεώρημα για ένα ορθογώνιο τρίγωνο. Αν σας ενδιαφέρει πώς αποδεικνύεται, διαβάστε τα επόμενα επίπεδα της θεωρίας, και τώρα ας προχωρήσουμε ... σκοτεινό δάσος... τριγωνομετρία! Στις φοβερές λέξεις ημίτονο, συνημίτονο, εφαπτομένη και συνεφαπτομένη.

Ημίτονο, συνημίτονο, εφαπτομένη, συνεφαπτομένη σε ορθογώνιο τρίγωνο.

Στην πραγματικότητα, δεν είναι όλα τόσο τρομακτικά. Φυσικά, ο "πραγματικός" ορισμός του ημιτονοειδούς, συνημίτονος, εφαπτομένης και συνεφαπτομένης θα πρέπει να εξεταστεί στο άρθρο. Αλλά πραγματικά δεν θέλετε, έτσι δεν είναι; Μπορούμε να χαρούμε: για να λύσετε προβλήματα σχετικά με ένα ορθογώνιο τρίγωνο, μπορείτε απλά να συμπληρώσετε τα ακόλουθα απλά πράγματα:

Γιατί είναι όλα για τη γωνία; Πού είναι η γωνία; Για να το καταλάβετε αυτό, πρέπει να ξέρετε πώς γράφονται με λέξεις οι δηλώσεις 1 - 4. Κοίτα, κατάλαβε και θυμήσου!

1.
Στην πραγματικότητα ακούγεται έτσι:

Τι γίνεται με τη γωνία; Υπάρχει ένα πόδι που είναι απέναντι από τη γωνία, δηλαδή το αντίθετο πόδι (για τη γωνία); Φυσικά και έχουν! Αυτός είναι ένας καθετήρας!

Τι γίνεται όμως με τη γωνία; Κοίτα προσεκτικά. Ποιο πόδι είναι δίπλα στη γωνία; Φυσικά, η γάτα. Έτσι, για τη γωνία, το πόδι είναι γειτονικό, και

Και τώρα, προσοχή! Δείτε τι έχουμε:

Δείτε πόσο υπέροχο είναι:

Τώρα ας περάσουμε στην εφαπτομένη και την συνεφαπτομένη.

Πώς να το εκφράσω με λέξεις τώρα; Τι είναι το πόδι σε σχέση με τη γωνία; Απέναντι, φυσικά - «βρίσκεται» απέναντι από τη γωνία. Και ο καθετήρας; Δίπλα στη γωνία. Τι πήραμε λοιπόν;

Δείτε πώς αντιστρέφονται ο αριθμητής και ο παρονομαστής;

Και τώρα πάλι οι γωνίες και έγινε η ανταλλαγή:

Περίληψη

Ας γράψουμε εν συντομία όσα μάθαμε.

Πυθαγόρειο θεώρημα:

Το θεώρημα του κύριου ορθογωνίου τριγώνου είναι το Πυθαγόρειο θεώρημα.

Πυθαγόρειο θεώρημα

Παρεμπιπτόντως, θυμάσαι καλά τι είναι τα πόδια και η υποτείνουσα; Αν όχι, τότε κοιτάξτε την εικόνα - ανανεώστε τις γνώσεις σας

Είναι πολύ πιθανό να έχετε ήδη χρησιμοποιήσει το Πυθαγόρειο θεώρημα πολλές φορές, αλλά έχετε ποτέ αναρωτηθεί γιατί ισχύει ένα τέτοιο θεώρημα. Πώς θα το αποδείξεις; Ας κάνουμε όπως οι αρχαίοι Έλληνες. Ας σχεδιάσουμε ένα τετράγωνο με μια πλευρά.

Βλέπετε πόσο πονηρά χωρίσαμε τις πλευρές του σε τμήματα μήκους και!

Τώρα ας συνδέσουμε τα σημειωμένα σημεία

Εδώ, ωστόσο, σημειώσαμε κάτι άλλο, αλλά εσείς οι ίδιοι δείτε την εικόνα και σκεφτείτε γιατί.

Ποιο είναι το εμβαδόν του μεγαλύτερου τετραγώνου; Σωστά, . Τι γίνεται με τη μικρότερη περιοχή; Σίγουρα,. Η συνολική έκταση των τεσσάρων γωνιών παραμένει. Φανταστείτε ότι πήραμε δύο από αυτά και ακουμπήσαμε ο ένας στον άλλο με υποτείνουσες. Τι συνέβη? Δύο ορθογώνια. Έτσι, η περιοχή των "μοσχευμάτων" είναι ίση.

Ας τα βάλουμε όλα μαζί τώρα.

Ας μεταμορφώσουμε:

Επισκεφτήκαμε λοιπόν τον Πυθαγόρα - αποδείξαμε το θεώρημά του με αρχαίο τρόπο.

Ορθογώνιο τρίγωνο και τριγωνομετρία

Για ένα ορθογώνιο τρίγωνο ισχύουν οι ακόλουθες σχέσεις:

Το ημίτονο μιας οξείας γωνίας είναι ίσο με την αναλογία του απέναντι σκέλους προς την υποτείνουσα

Το συνημίτονο μιας οξείας γωνίας ισούται με την αναλογία του διπλανού σκέλους προς την υποτείνουσα.

Η εφαπτομένη μιας οξείας γωνίας είναι ίση με την αναλογία του απέναντι σκέλους προς το διπλανό σκέλος.

Η συνεφαπτομένη μιας οξείας γωνίας είναι ίση με την αναλογία του διπλανού σκέλους προς το αντίθετο σκέλος.

Και για άλλη μια φορά, όλα αυτά με τη μορφή ενός πιάτου:

Είναι πολύ άνετο!

Σημάδια ισότητας ορθογωνίων τριγώνων

I. Σε δύο πόδια

II. Με το πόδι και την υπόταση

III. Με υποτείνουσα και οξεία γωνία

IV. Κατά μήκος του ποδιού και οξεία γωνία

ένα)

σι)

Προσοχή! Εδώ είναι πολύ σημαντικό τα πόδια να είναι «αντίστοιχα». Για παράδειγμα, αν πάει ως εξής:

ΤΟΤΕ ΤΑ ΤΡΙΓΩΝΑ ΔΕΝ ΕΙΝΑΙ ΙΣΑ, παρά το γεγονός ότι έχουν μια ίδια οξεία γωνία.

Χρειάζομαι και στα δύο τρίγωνα το πόδι ήταν γειτονικό, ή και στα δύο - απέναντι.

Έχετε παρατηρήσει πώς διαφέρουν τα σημάδια ισότητας ορθογωνίων τριγώνων από τα συνηθισμένα σημάδια ισότητας τριγώνων; Κοιτάξτε το θέμα «και δώστε προσοχή στο γεγονός ότι για την ισότητα των «συνηθισμένων» τριγώνων, χρειάζεστε την ισότητα των τριών στοιχείων τους: δύο πλευρές και μια γωνία μεταξύ τους, δύο γωνίες και μια πλευρά μεταξύ τους ή τρεις πλευρές. Για την ισότητα όμως των ορθογώνιων τριγώνων αρκούν μόνο δύο αντίστοιχα στοιχεία. Είναι υπέροχο, σωστά;

Περίπου η ίδια κατάσταση με σημάδια ομοιότητας ορθογωνίων τριγώνων.

Σημάδια ομοιότητας ορθογωνίων τριγώνων

Ι. Οξεία γωνία

II. Σε δύο πόδια

III. Με το πόδι και την υπόταση

Διάμεσος σε ορθογώνιο τρίγωνο

Γιατί έτσι?

Θεωρήστε ένα ολόκληρο ορθογώνιο αντί για ένα ορθογώνιο τρίγωνο.

Ας σχεδιάσουμε μια διαγώνιο και ας εξετάσουμε ένα σημείο - το σημείο τομής των διαγωνίων. Τι γνωρίζετε για τις διαγώνιες ενός ορθογωνίου;

Και τι προκύπτει από αυτό;

Έγινε λοιπόν αυτό

1. - διάμεσος:

Θυμηθείτε αυτό το γεγονός! Βοηθάει πολύ!

Αυτό που προκαλεί ακόμη μεγαλύτερη έκπληξη είναι ότι ισχύει και το αντίστροφο.

Τι ωφέλιμο μπορεί να ωφεληθεί από το γεγονός ότι η διάμεσος που σύρεται στην υποτείνουσα είναι ίση με το μισό της υποτείνουσας; Ας δούμε την εικόνα

Κοίτα προσεκτικά. Έχουμε: , δηλαδή, οι αποστάσεις από το σημείο και στις τρεις κορυφές του τριγώνου αποδείχθηκαν ίσες. Αλλά σε ένα τρίγωνο υπάρχει μόνο ένα σημείο, οι αποστάσεις από το οποίο περίπου και οι τρεις κορυφές του τριγώνου είναι ίσες, και αυτό είναι το ΚΕΝΤΡΟ ΤΟΥ ΠΕΡΙΓΡΑΦΟΥ. Λοιπόν τι έγινε?

Ας ξεκινήσουμε λοιπόν με αυτό το «άλλωστε...».

Ας δούμε το i.

Αλλά σε παρόμοια τρίγωνα όλες οι γωνίες είναι ίσες!

Το ίδιο μπορεί να ειπωθεί για και

Τώρα ας το σχεδιάσουμε μαζί:

Τι χρήση μπορεί να αντλήσει από αυτή την «τριπλή» ομοιότητα.

Λοιπόν, για παράδειγμα - δύο τύποι για το ύψος ενός ορθογωνίου τριγώνου.

Γράφουμε τις σχέσεις των αντίστοιχων μερών:

Για να βρούμε το ύψος, λύνουμε την αναλογία και παίρνουμε πρώτος τύπος "Ύψος σε ορθογώνιο τρίγωνο":

Ας εφαρμόσουμε λοιπόν την ομοιότητα: .

Τι θα γίνει τώρα;

Και πάλι λύνουμε την αναλογία και παίρνουμε τον δεύτερο τύπο:

Και οι δύο αυτοί τύποι πρέπει να θυμόμαστε πολύ καλά και αυτός που είναι πιο βολικό να εφαρμοστεί. Ας τα ξαναγράψουμε.

Πυθαγόρειο θεώρημα:

Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο της υποτείνουσας είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των σκελών:.

Σημάδια ισότητας ορθογωνίων τριγώνων:

• σε δύο πόδια:
• κατά μήκος του ποδιού και της υποτείνουσας: ή
• κατά μήκος του σκέλους και της παρακείμενης οξείας γωνίας: ή
• κατά μήκος του σκέλους και της αντίθετης οξείας γωνίας: ή
• κατά υποτείνουσα και οξεία γωνία: ή.

Σημάδια ομοιότητας ορθογωνίων τριγώνων:

• μια αιχμηρή γωνία: ή
• από την αναλογικότητα των δύο ποδιών:
• από την αναλογικότητα του ποδιού και της υποτείνουσας: ή.

Ημίτονο, συνημίτονο, εφαπτομένη, συνεφαπτομένη σε ορθογώνιο τρίγωνο

• Το ημίτονο οξείας γωνίας ορθογωνίου τριγώνου είναι ο λόγος του αντίθετου σκέλους προς την υποτείνουσα:
• Το συνημίτονο οξείας γωνίας ορθογωνίου τριγώνου είναι ο λόγος του διπλανού σκέλους προς την υποτείνουσα:
• Η εφαπτομένη οξείας γωνίας ορθογωνίου τριγώνου είναι ο λόγος του απέναντι σκέλους προς το διπλανό:
• Η συνεφαπτομένη οξείας γωνίας ορθογωνίου τριγώνου είναι ο λόγος του διπλανού σκέλους προς το αντίθετο:.

Ύψος ορθογωνίου τριγώνου: ή.

Σε ορθογώνιο τρίγωνο, η διάμεσος αντλείται από την κορυφή ορθή γωνία, ισούται με το ήμισυ της υποτείνουσας: .

Εμβαδόν ορθογωνίου τριγώνου:

• μέσω των καθετήρων:

Τριγωνομετρία - τομή μαθηματική επιστήμη, που μελετά τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις και τη χρήση τους στη γεωμετρία. Η ανάπτυξη της τριγωνομετρίας ξεκίνησε στα χρόνια της αρχαίας Ελλάδας. Κατά τον Μεσαίωνα, επιστήμονες από τη Μέση Ανατολή και την Ινδία συνέβαλαν σημαντικά στην ανάπτυξη αυτής της επιστήμης.

Αυτό το άρθρο είναι αφιερωμένο στις βασικές έννοιες και ορισμούς της τριγωνομετρίας. Εξετάζει τους ορισμούς των κύριων τριγωνομετρικών συναρτήσεων: ημιτονοειδές, συνημίτονο, εφαπτομένη και συνεφαπτομένη. Επεξηγείται και απεικονίζεται η σημασία τους στο πλαίσιο της γεωμετρίας.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Αρχικά, οι ορισμοί των τριγωνομετρικών συναρτήσεων, των οποίων το όρισμα είναι γωνία, εκφράστηκαν μέσω του λόγου των πλευρών ενός ορθογωνίου τριγώνου.

Ορισμοί τριγωνομετρικών συναρτήσεων

Το ημίτονο μιας γωνίας (sin α) είναι ο λόγος του σκέλους απέναντι από αυτή τη γωνία προς την υποτείνουσα.

Το συνημίτονο της γωνίας (cos α) είναι ο λόγος του διπλανού σκέλους προς την υποτείνουσα.

Η εφαπτομένη της γωνίας (t g α) είναι ο λόγος του απέναντι σκέλους προς το διπλανό.

Η συνεφαπτομένη της γωνίας (c t g α) είναι ο λόγος του διπλανού σκέλους προς το απέναντι.

Αυτοί οι ορισμοί δίνονται για οξεία γωνία ορθογωνίου τριγώνου!

Ας δώσουμε μια εικονογράφηση.

Στο τρίγωνο ΑΒΓ με ορθή γωνία Γ, το ημίτονο της γωνίας Α είναι ίσο με τον λόγο του σκέλους BC προς την υποτείνουσα ΑΒ.

Οι ορισμοί του ημιτόνου, του συνημίτονος, της εφαπτομένης και της συνεφαπτομένης καθιστούν δυνατό τον υπολογισμό των τιμών αυτών των συναρτήσεων από τα γνωστά μήκη των πλευρών ενός τριγώνου.

Σημαντικό να θυμάστε!

Το εύρος τιμών ημιτόνου και συνημιτόνου: από -1 έως 1. Με άλλα λόγια, το ημίτονο και το συνημίτονο παίρνουν τιμές από -1 έως 1. Το εύρος των τιμών της εφαπτομένης και της συνεφαπτομένης είναι ολόκληρη η αριθμητική γραμμή, δηλαδή αυτές οι συναρτήσεις μπορούν να λάβουν οποιαδήποτε τιμή.

Οι ορισμοί που δίνονται παραπάνω αναφέρονται σε οξείες γωνίες. Στην τριγωνομετρία εισάγεται η έννοια της γωνίας περιστροφής, η τιμή της οποίας, σε αντίθεση με την οξεία γωνία, δεν περιορίζεται από πλαίσια από 0 έως 90 μοίρες. Η γωνία περιστροφής σε μοίρες ή ακτίνια εκφράζεται με οποιονδήποτε πραγματικό αριθμό από - ∞ έως + ∞.

Σε αυτό το πλαίσιο, μπορεί κανείς να ορίσει το ημίτονο, το συνημίτονο, την εφαπτομένη και την συνεφαπτομένη μιας γωνίας αυθαίρετου μεγέθους. Φανταστείτε έναν κύκλο μονάδας με κέντρο την αρχή του καρτεσιανού συστήματος συντεταγμένων.

Το σημείο εκκίνησης Α με συντεταγμένες (1 , 0) περιστρέφεται γύρω από το κέντρο του μοναδιαίου κύκλου κατά κάποια γωνία α και πηγαίνει στο σημείο Α 1 . Ο ορισμός δίνεται μέσω των συντεταγμένων του σημείου A 1 (x, y).

Ημίτονο (αμαρτία) της γωνίας περιστροφής

Το ημίτονο της γωνίας περιστροφής α είναι η τεταγμένη του σημείου A 1 (x, y). sina = y

Συνημίτονο (cos) της γωνίας περιστροφής

Το συνημίτονο της γωνίας περιστροφής α είναι η τετμημένη του σημείου A 1 (x, y). cos α = x

Εφαπτομένη (tg) γωνίας περιστροφής

Η εφαπτομένη της γωνίας περιστροφής α είναι ο λόγος της τεταγμένης του σημείου A 1 (x, y) προς την τετμημένη του. t g α = y x

Συνεφαπτομένη (ctg) γωνίας περιστροφής

Η συνεφαπτομένη της γωνίας περιστροφής α είναι ο λόγος της τετμημένης του σημείου A 1 (x, y) προς την τεταγμένη του. c t g α = x y

Το ημίτονο και το συνημίτονο ορίζονται για οποιαδήποτε γωνία περιστροφής. Αυτό είναι λογικό, γιατί η τετμημένη και η τεταγμένη του σημείου μετά την περιστροφή μπορούν να προσδιοριστούν σε οποιαδήποτε γωνία. Η κατάσταση είναι διαφορετική με την εφαπτομένη και την συνεφαπτομένη. Η εφαπτομένη δεν ορίζεται όταν το σημείο μετά την περιστροφή πηγαίνει στο σημείο με μηδενική τετμημένη (0 , 1) και (0 , - 1). Σε τέτοιες περιπτώσεις, η έκφραση για την εφαπτομένη t g α = y x απλά δεν έχει νόημα, αφού περιέχει διαίρεση με το μηδέν. Η κατάσταση είναι παρόμοια με την συνεφαπτομένη. Η διαφορά είναι ότι η συνεφαπτομένη δεν ορίζεται σε περιπτώσεις που η τεταγμένη του σημείου εξαφανίζεται.

Σημαντικό να θυμάστε!

Το ημίτονο και το συνημίτονο ορίζονται για οποιεσδήποτε γωνίες α.

Η εφαπτομένη ορίζεται για όλες τις γωνίες εκτός από α = 90° + 180° k , k ∈ Z (α = π 2 + π k , k ∈ Z)

Η συνεφαπτομένη ορίζεται για όλες τις γωνίες εκτός από α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z)

Όταν αποφασίζει πρακτικά παραδείγματαμην πείτε "ημίτονο της γωνίας περιστροφής α". Οι λέξεις «γωνία περιστροφής» απλώς παραλείπονται, υπονοώντας ότι από τα συμφραζόμενα είναι ήδη ξεκάθαρο τι διακυβεύεται.

Αριθμοί

Τι γίνεται με τον ορισμό του ημιτόνου, του συνημίτονος, της εφαπτομένης και της συνεφαπτομένης ενός αριθμού και όχι της γωνίας περιστροφής;

Ημίτονο, συνημίτονο, εφαπτομένη, συνεφαπτομένη ενός αριθμού

Ημίτονο, συνημίτονο, εφαπτομένη και συνεφαπτομένη ενός αριθμού tονομάζεται ένας αριθμός, ο οποίος είναι αντίστοιχα ίσος με το ημίτονο, συνημίτονο, εφαπτομένη και συνεφαπτομένη στο tακτίνιο.

Για παράδειγμα, το ημίτονο 10 π είναι ίσο με το ημίτονο της γωνίας περιστροφής 10 π rad.

Υπάρχει μια άλλη προσέγγιση για τον ορισμό του ημιτόνου, του συνημιτονοειδούς, της εφαπτομένης και της συνεφαπτομένης ενός αριθμού. Ας το εξετάσουμε πιο αναλυτικά.

Οποιοσδήποτε πραγματικός αριθμός tένα σημείο στον μοναδιαίο κύκλο τίθεται σε αντιστοιχία με το κέντρο στην αρχή του ορθογώνιου καρτεσιανού συστήματος συντεταγμένων. Το ημίτονο, το συνημίτονο, η εφαπτομένη και η συνεφαπτομένη ορίζονται ως προς τις συντεταγμένες αυτού του σημείου.

Το σημείο εκκίνησης στον κύκλο είναι το σημείο Α με συντεταγμένες (1 , 0).

θετικός αριθμός t

Αρνητικός αριθμός tαντιστοιχεί στο σημείο στο οποίο θα κινηθεί το σημείο εκκίνησης αν κινηθεί αριστερόστροφα γύρω από τον κύκλο και περάσει τη διαδρομή t .

Τώρα που εδραιώθηκε η σύνδεση μεταξύ του αριθμού και του σημείου του κύκλου, προχωράμε στον ορισμό του ημιτόνου, του συνημιτίου, της εφαπτομένης και της συνεφαπτομένης.

Ημίτον (αμαρτία) του αριθμού t

Ημίτον ενός αριθμού t- τεταγμένη του σημείου του μοναδιαίου κύκλου που αντιστοιχεί στον αριθμό t. αμαρτία t = y

Συνημίτονο (συν) του t

Συνημίτονο ενός αριθμού t- τετμημένη του σημείου του μοναδιαίου κύκλου που αντιστοιχεί στον αριθμό t. cos t = x

Εφαπτομένη (tg) του t

Εφαπτομένη ενός αριθμού t- ο λόγος της τεταγμένης προς την τετμημένη του σημείου του μοναδιαίου κύκλου που αντιστοιχεί στον αριθμό t. t g t = y x = αμαρτία t cos t

Οι τελευταίοι ορισμοί είναι συνεπείς και δεν έρχονται σε αντίθεση με τον ορισμό που δίνεται στην αρχή αυτής της ενότητας. Σημειώστε έναν κύκλο που αντιστοιχεί σε έναν αριθμό t, συμπίπτει με το σημείο στο οποίο διέρχεται το σημείο εκκίνησης μετά τη στροφή μέσω της γωνίας tακτίνιο.

Τριγωνομετρικές συναρτήσεις γωνιακού και αριθμητικού ορίσματος

Κάθε τιμή της γωνίας α αντιστοιχεί σε μια ορισμένη τιμή του ημιτόνου και του συνημιτόνου αυτής της γωνίας. Όπως όλες οι γωνίες α εκτός από α = 90 ° + 180 ° · k , k ∈ Z (α = π 2 + π · k , k ∈ Z) αντιστοιχεί σε μια ορισμένη τιμή της εφαπτομένης. Η συνεφαπτομένη, όπως προαναφέρθηκε, ορίζεται για όλα τα α, εκτός από τα α = 180 ° k , k ∈ Z (α = π k , k ∈ Z).

Μπορούμε να πούμε ότι τα sin α , cos α , t g α , c t g α είναι συναρτήσεις της γωνίας άλφα, ή συναρτήσεις του γωνιακού ορίσματος.

Ομοίως, μπορεί κανείς να μιλήσει για ημίτονο, συνημίτονο, εφαπτομένη και συνεφαπτομένη ως συναρτήσεις ενός αριθμητικού ορίσματος. Κάθε πραγματικός αριθμός tαντιστοιχεί σε μια συγκεκριμένη τιμή του ημιτόνου ή του συνημιτόνου ενός αριθμού t. Όλοι οι αριθμοί εκτός από π 2 + π · k , k ∈ Z, αντιστοιχούν στην τιμή της εφαπτομένης. Η συνεφαπτομένη ορίζεται ομοίως για όλους τους αριθμούς εκτός από π · k , k ∈ Z.

Βασικές συναρτήσεις της τριγωνομετρίας

Ημίτονο, συνημίτονο, εφαπτομένη και συνεφαπτομένη είναι οι βασικές τριγωνομετρικές συναρτήσεις.

Είναι συνήθως ξεκάθαρο από τα συμφραζόμενα με ποιο όρισμα της τριγωνομετρικής συνάρτησης (γωνιακό όρισμα ή αριθμητικό όρισμα) έχουμε να κάνουμε.

Ας επιστρέψουμε στα δεδομένα στην αρχή των ορισμών και στη γωνία άλφα, η οποία βρίσκεται στην περιοχή από 0 έως 90 μοίρες. Οι τριγωνομετρικοί ορισμοί του ημιτόνου, του συνημιτονοειδούς, της εφαπτομένης και της συνεφαπτομένης συμφωνούν πλήρως με γεωμετρικούς ορισμούς, που δίνονται από τους λόγους των πλευρών ενός ορθογωνίου τριγώνου. Ας το δείξουμε.

Πάρτε έναν κύκλο μονάδας με κέντρο ένα ορθογώνιο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων. Ας περιστρέψουμε το σημείο εκκίνησης Α (1, 0) κατά γωνία έως και 90 μοιρών και ας τραβήξουμε από το σημείο Α που προκύπτει 1 (x, y) κάθετα στον άξονα x. Στο ορθογώνιο τρίγωνο που προκύπτει, η γωνία A 1 O H είναι ίση με τη γωνία περιστροφής α, το μήκος του σκέλους O H είναι ίσο με την τετμημένη του σημείου A 1 (x, y) . Το μήκος του ποδιού απέναντι από τη γωνία είναι ίσο με την τεταγμένη του σημείου A 1 (x, y) και το μήκος της υποτείνουσας είναι ίσο με ένα, αφού είναι η ακτίνα του μοναδιαίου κύκλου.

Σύμφωνα με τον ορισμό από τη γεωμετρία, το ημίτονο της γωνίας α είναι ίσο με το λόγο του απέναντι σκέλους προς την υποτείνουσα.

sin α \u003d A 1 H O A 1 \u003d y 1 \u003d y

Αυτό σημαίνει ότι ο ορισμός του ημιτόνου οξείας γωνίας σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο μέσω του λόγου διαστάσεων είναι ισοδύναμος με τον ορισμό του ημιτόνου της γωνίας περιστροφής α, με το άλφα να βρίσκεται στην περιοχή από 0 έως 90 μοίρες.

Ομοίως, η αντιστοιχία των ορισμών μπορεί να φανεί για συνημίτονο, εφαπτομένη και συνεφαπτομένη.

Εάν παρατηρήσετε κάποιο λάθος στο κείμενο, επισημάνετε το και πατήστε Ctrl+Enter

Σε αυτό το άρθρο, θα δείξουμε πώς ορισμοί ημιτόνου, συνημιτονοειδούς, εφαπτομένης και συνεφαπτομένης γωνίας και αριθμού στην τριγωνομετρία. Εδώ θα μιλήσουμε για σημειογραφία, θα δώσουμε παραδείγματα εγγραφών, θα δώσουμε γραφικές απεικονίσεις. Συμπερασματικά, κάνουμε έναν παραλληλισμό μεταξύ των ορισμών του ημιτονοειδούς, συνημιτόνου, εφαπτομένης και συνεφαπτομένης στην τριγωνομετρία και τη γεωμετρία.

Πλοήγηση στη σελίδα.

Ορισμός ημιτόνου, συνημίτονος, εφαπτομένης και συνεφαπτομένης

Ας παρακολουθήσουμε πώς διαμορφώνεται η έννοια του ημιτόνου, του συνημίτονος, της εφαπτομένης και της συνεφαπτομένης στο μάθημα των μαθηματικών του σχολείου. Στα μαθήματα γεωμετρίας δίνεται ο ορισμός του ημιτόνου, του συνημιτονοειδούς, της εφαπτομένης και της συνεφαπτομένης οξείας γωνίας σε ορθογώνιο τρίγωνο. Και αργότερα μελετάται η τριγωνομετρία, η οποία αναφέρεται στο ημίτονο, συνημίτονο, εφαπτομένη και συνεφαπτομένη της γωνίας περιστροφής και του αριθμού. Δίνουμε όλους αυτούς τους ορισμούς, δίνουμε παραδείγματα και δίνουμε τα απαραίτητα σχόλια.

Οξεία γωνία σε ορθογώνιο τρίγωνο

Από την πορεία της γεωμετρίας είναι γνωστοί οι ορισμοί του ημιτόνου, του συνημιτίου, της εφαπτομένης και της συνεφαπτομένης οξείας γωνίας σε ορθογώνιο τρίγωνο. Δίνονται ως ο λόγος των πλευρών ενός ορθογωνίου τριγώνου. Παρουσιάζουμε τις συνθέσεις τους.

Ορισμός.

Ημίτονο οξείας γωνίας σε ορθογώνιο τρίγωνοείναι η αναλογία του αντίθετου σκέλους προς την υποτείνουσα.

Ορισμός.

Συνημίτονο οξείας γωνίας σε ορθογώνιο τρίγωνοείναι η αναλογία του διπλανού σκέλους προς την υποτείνουσα.

Ορισμός.

Εφαπτομένη οξείας γωνίας σε ορθογώνιο τρίγωνοείναι η αναλογία του απέναντι σκέλους προς το διπλανό πόδι.

Ορισμός.

Συμεφαπτομένη οξείας γωνίας σε ορθογώνιο τρίγωνοείναι η αναλογία του διπλανού σκέλους προς το αντίθετο σκέλος.

Ο συμβολισμός του ημιτόνου, του συνημιτονοειδούς, της εφαπτομένης και της συνεφαπτομένης εισάγεται επίσης εκεί - sin, cos, tg και ctg, αντίστοιχα.

Για παράδειγμα, αν το ABC είναι ορθογώνιο τρίγωνο με ορθή γωνία C, τότε το ημίτονο της οξείας γωνίας Α είναι ίσο με το λόγο του απέναντι σκέλους BC προς την υποτείνουσα AB, δηλαδή sin∠A=BC/AB.

Αυτοί οι ορισμοί σάς επιτρέπουν να υπολογίσετε τις τιμές του ημιτόνου, του συνημιτονοειδούς, της εφαπτομένης και της συνεφαπτομένης μιας οξείας γωνίας από τα γνωστά μήκη των πλευρών ενός ορθογωνίου τριγώνου, καθώς και από τις γνωστές τιμές του ημιτόνου, συνημιτόνου, εφαπτομένη, συνεφαπτομένη και το μήκος μιας από τις πλευρές, βρείτε τα μήκη των άλλων πλευρών. Για παράδειγμα, αν γνωρίζαμε ότι σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο το σκέλος AC είναι 3 και η υποτείνουσα AB είναι 7, τότε θα μπορούσαμε να υπολογίσουμε το συνημίτονο της οξείας γωνίας Α εξ ορισμού: cos∠A=AC/AB=3/7 .

Γωνία περιστροφής

Στην τριγωνομετρία, αρχίζουν να βλέπουν τη γωνία ευρύτερα - εισάγουν την έννοια της γωνίας περιστροφής. Η γωνία περιστροφής, σε αντίθεση με μια οξεία γωνία, δεν περιορίζεται σε πλαίσια από 0 έως 90 μοίρες, η γωνία περιστροφής σε μοίρες (και σε ακτίνια) μπορεί να εκφραστεί με οποιονδήποτε πραγματικό αριθμό από −∞ έως +∞.

Υπό αυτό το πρίσμα, οι ορισμοί του ημιτόνου, του συνημιτίου, της εφαπτομένης και της συνεφαπτομένης δεν είναι πλέον μια οξεία γωνία, αλλά μια γωνία αυθαίρετου μεγέθους - η γωνία περιστροφής. Δίνονται μέσω των συντεταγμένων x και y του σημείου A 1 , στο οποίο διέρχεται το λεγόμενο αρχικό σημείο A(1, 0) αφού περιστρέφεται μέσω γωνίας α γύρω από το σημείο O - η αρχή ενός ορθογώνιου καρτεσιανού συστήματος συντεταγμένων και το κέντρο του κύκλου της μονάδας.

Ορισμός.

Ημίτονο γωνίας περιστροφήςα είναι η τεταγμένη του σημείου A 1 , δηλαδή sinα=y .

Ορισμός.

συνημίτονο της γωνίας περιστροφήςα ονομάζεται τετμημένη του σημείου A 1 , δηλαδή cosα=x .

Ορισμός.

Εφαπτομένη γωνίας περιστροφήςα είναι ο λόγος της τεταγμένης του σημείου A 1 προς την τετμημένη του, δηλαδή tgα=y/x .

Ορισμός.

Η συνεφαπτομένη της γωνίας περιστροφήςα είναι ο λόγος της τετμημένης του σημείου A 1 προς την τεταγμένη του, δηλαδή ctgα=x/y .

Το ημίτονο και το συνημίτονο ορίζονται για οποιαδήποτε γωνία α, αφού μπορούμε πάντα να προσδιορίσουμε την τετμημένη και την τεταγμένη ενός σημείου, η οποία προκύπτει περιστρέφοντας το σημείο εκκίνησης μέσω της γωνίας α. Και η εφαπτομένη και η συνεφαπτομένη δεν ορίζονται για καμία γωνία. Η εφαπτομένη δεν ορίζεται για τέτοιες γωνίες α στις οποίες το αρχικό σημείο πηγαίνει σε σημείο με μηδενική τετμημένη (0, 1) ή (0, −1) , και αυτό λαμβάνει χώρα σε γωνίες 90°+180° k , k∈Z (π /2+π k rad). Πράγματι, σε τέτοιες γωνίες περιστροφής, η έκφραση tgα=y/x δεν έχει νόημα, αφού περιέχει διαίρεση με το μηδέν. Όσο για την συνεφαπτομένη, δεν ορίζεται για τέτοιες γωνίες α στις οποίες το σημείο εκκίνησης πηγαίνει σε ένα σημείο με μηδενική τεταγμένη (1, 0) ή (−1, 0) , και αυτό ισχύει για γωνίες 180° k , k ∈Z (π k rad).

Έτσι, το ημίτονο και το συνημίτονο ορίζονται για οποιεσδήποτε γωνίες περιστροφής, η εφαπτομένη ορίζεται για όλες τις γωνίες εκτός από 90°+180° k , k∈Z (π/2+π k rad) και η συνεφαπτομένη είναι για όλες τις γωνίες εκτός από 180 ° ·k , k∈Z (π·k rad).

Οι συμβολισμοί που είναι ήδη γνωστοί σε εμάς εμφανίζονται στους ορισμούς sin, cos, tg και ctg, χρησιμοποιούνται επίσης για να δηλώσουν το ημίτονο, συνημίτονο, εφαπτομένη και συνεφαπτομένη της γωνίας περιστροφής (μερικές φορές μπορείτε να βρείτε τη σημειογραφία tan και cot που αντιστοιχεί σε εφαπτομένη και συνεφαπτομένη). Άρα το ημίτονο της γωνίας περιστροφής των 30 μοιρών μπορεί να γραφεί ως sin30°, οι εγγραφές tg(−24°17′) και ctgα αντιστοιχούν στην εφαπτομένη της γωνίας περιστροφής −24 μοίρες 17 λεπτά και στην συνεφαπτομένη της γωνίας περιστροφής α . Θυμηθείτε ότι όταν γράφετε το μέτρο ακτίνων μιας γωνίας, ο συμβολισμός "rad" συχνά παραλείπεται. Για παράδειγμα, το συνημίτονο μιας γωνίας περιστροφής τριών pi rad συνήθως συμβολίζεται cos3 π .

Κλείνοντας αυτής της παραγράφου, αξίζει να σημειωθεί ότι όταν μιλάμε για το ημίτονο, το συνημίτονο, την εφαπτομένη και την συνεφαπτομένη της γωνίας περιστροφής, η φράση «γωνία περιστροφής» ή η λέξη «περιστροφή» συχνά παραλείπεται. Δηλαδή, αντί για τη φράση «ημίτονο γωνίας περιστροφής άλφα», συνήθως χρησιμοποιείται η φράση «ημίτονο της γωνίας άλφα» ή ακόμη πιο σύντομη - «ημίτονο της γωνίας άλφα». Το ίδιο ισχύει για το συνημίτονο, και την εφαπτομένη και την συνεφαπτομένη.

Ας πούμε επίσης ότι οι ορισμοί του ημιτονοειδούς, συνημιτόνου, εφαπτομένης και συνεφαπτομένης μιας οξείας γωνίας σε ορθογώνιο τρίγωνο είναι συνεπείς με τους ορισμούς που μόλις δόθηκαν για το ημίτονο, συνημίτονο, εφαπτομένη και συνεφαπτομένη μιας γωνίας περιστροφής που κυμαίνεται από 0 έως 90 βαθμούς. Αυτό θα το τεκμηριώσουμε.

Αριθμοί

Ορισμός.

Ημίτονο, συνημίτονο, εφαπτομένη και συνεφαπτομένη ενός αριθμούΤο t είναι ένας αριθμός ίσος με το ημίτονο, το συνημίτονο, την εφαπτομένη και την συνεφαπτομένη της γωνίας περιστροφής σε t ακτίνια, αντίστοιχα.

Για παράδειγμα, το συνημίτονο του 8 π είναι, εξ ορισμού, ένας αριθμός ίσος με το συνημίτονο μιας γωνίας 8 π rad. Και το συνημίτονο της γωνίας σε 8 π rad είναι ίσο με ένα, επομένως, το συνημίτονο του αριθμού 8 π είναι ίσο με 1.

Υπάρχει μια άλλη προσέγγιση για τον ορισμό του ημιτόνου, του συνημιτονοειδούς, της εφαπτομένης και της συνεφαπτομένης ενός αριθμού. Συνίσταται στο γεγονός ότι σε κάθε πραγματικό αριθμό t εκχωρείται ένα σημείο του κύκλου μονάδας με κέντρο την αρχή του ορθογώνιου συστήματος συντεταγμένων και το ημίτονο, το συνημίτονο, η εφαπτομένη και η συνεφαπτομένη καθορίζονται μέσω των συντεταγμένων αυτού του σημείου. Ας σταθούμε σε αυτό με περισσότερες λεπτομέρειες.

Ας δείξουμε πώς δημιουργείται η αντιστοιχία μεταξύ πραγματικών αριθμών και σημείων του κύκλου:

• στον αριθμό 0 εκχωρείται το σημείο εκκίνησης A(1, 0) .
• θετικός αριθμόςΤο t αντιστοιχεί στο σημείο του μοναδιαίου κύκλου, στο οποίο θα φτάσουμε εάν κινηθούμε κατά μήκος του κύκλου από το σημείο εκκίνησης αριστερόστροφα και περάσουμε από μια διαδρομή μήκους t.
• αρνητικός αριθμόςΤο t αντιστοιχεί σε ένα σημείο του μοναδιαίου κύκλου, στο οποίο θα φτάσουμε αν κινηθούμε γύρω από τον κύκλο από την αφετηρία δεξιόστροφα και περάσουμε από μια διαδρομή μήκους |t| .

Ας περάσουμε τώρα στους ορισμούς του ημιτόνου, του συνημίτονος, της εφαπτομένης και της συνεφαπτομένης του αριθμού t. Ας υποθέσουμε ότι ο αριθμός t αντιστοιχεί σε ένα σημείο του κύκλου A 1 (x, y) (για παράδειγμα, ο αριθμός &pi/2; αντιστοιχεί στο σημείο A 1 (0, 1) ).

Ορισμός.

Το ημίτονο ενός αριθμού t είναι η τεταγμένη του μοναδιαίου σημείου κύκλου που αντιστοιχεί στον αριθμό t , δηλαδή sint=y .

Ορισμός.

Το συνημίτονο ενός αριθμού t ονομάζεται τετμημένη του σημείου του μοναδιαίου κύκλου που αντιστοιχεί στον αριθμό t , δηλαδή cost=x .

Ορισμός.

Εφαπτομένη ενός αριθμού t είναι ο λόγος της τεταγμένης προς την τετμημένη του σημείου του μοναδιαίου κύκλου που αντιστοιχεί στον αριθμό t, δηλαδή tgt=y/x. Σε μια άλλη ισοδύναμη διατύπωση, η εφαπτομένη του αριθμού t είναι ο λόγος του ημιτόνου αυτού του αριθμού προς το συνημίτονο, δηλαδή tgt=sint/κόστος .

Ορισμός.

Συνεφαπτομένη ενός αριθμού t είναι ο λόγος της τετμημένης προς την τεταγμένη του σημείου του μοναδιαίου κύκλου που αντιστοιχεί στον αριθμό t, δηλαδή ctgt=x/y. Μια άλλη διατύπωση έχει ως εξής: η εφαπτομένη του αριθμού t είναι ο λόγος του συνημιτόνου του αριθμού t προς το ημίτονο του αριθμού t : ctgt=cost/sint .

Εδώ σημειώνουμε ότι οι ορισμοί που μόλις δόθηκαν συμφωνούν με τον ορισμό που δόθηκε στην αρχή αυτής της υποενότητας. Πράγματι, το σημείο του μοναδιαίου κύκλου που αντιστοιχεί στον αριθμό t συμπίπτει με το σημείο που προκύπτει περιστρέφοντας το σημείο εκκίνησης κατά γωνία t ακτίνων.

Αξίζει επίσης να διευκρινιστεί αυτό το σημείο. Ας πούμε ότι έχουμε μια καταχώρηση sin3. Πώς να καταλάβετε εάν αμφισβητείται το ημίτονο του αριθμού 3 ή το ημίτονο της γωνίας περιστροφής των 3 ακτίνων; Αυτό είναι συνήθως ξεκάθαρο από τα συμφραζόμενα, διαφορετικά μάλλον δεν έχει σημασία.

Τριγωνομετρικές συναρτήσεις γωνιακού και αριθμητικού ορίσματος

Σύμφωνα με τους ορισμούς που δόθηκαν στην προηγούμενη παράγραφο, κάθε γωνία περιστροφής α αντιστοιχεί σε μια καλά καθορισμένη τιμή sin α , καθώς και στην τιμή cos α . Επιπλέον, όλες οι γωνίες περιστροφής εκτός των 90°+180° k , k∈Z (π/2+π k rad) αντιστοιχούν στις τιμές tgα, και εκτός από 180° k , k∈Z (π k rad ) είναι οι τιμές του ctgα. Επομένως τα sinα, cosα, tgα και ctgα είναι συναρτήσεις της γωνίας α. Με άλλα λόγια, αυτές είναι συναρτήσεις του γωνιακού ορίσματος.

Ομοίως, μπορούμε να μιλήσουμε για τις συναρτήσεις ημίτονο, συνημίτονο, εφαπτομένη και συνεφαπτομένη ενός αριθμητικού ορίσματος. Πράγματι, κάθε πραγματικός αριθμός t αντιστοιχεί σε μια καλά καθορισμένη τιμή sint , καθώς και σε κόστος . Επιπλέον, όλοι οι αριθμοί εκτός των π/2+π·k, k∈Z αντιστοιχούν στις τιμές tgt και οι αριθμοί π·k, k∈Z αντιστοιχούν στις τιμές ctgt.

Οι συναρτήσεις ημίτονο, συνημίτονο, εφαπτομένη και συνεφαπτομένη λέγονται βασικές τριγωνομετρικές συναρτήσεις.

Είναι συνήθως σαφές από τα συμφραζόμενα ότι έχουμε να κάνουμε με τριγωνομετρικές συναρτήσεις ενός γωνιακού ορίσματος ή ενός αριθμητικού ορίσματος. Διαφορετικά, μπορούμε να θεωρήσουμε την ανεξάρτητη μεταβλητή και ως μέτρο της γωνίας (το όρισμα της γωνίας) και ως αριθμητικό όρισμα.

Ωστόσο, το σχολείο μελετά κυρίως αριθμητικές συναρτήσεις, δηλαδή συναρτήσεις των οποίων τα ορίσματα, καθώς και οι αντίστοιχες τιμές συναρτήσεών τους, είναι αριθμοί. Επομένως, εάν μιλάμε για συναρτήσεις, τότε είναι σκόπιμο να θεωρήσουμε τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις ως συναρτήσεις αριθμητικών ορισμάτων.

Σύνδεση ορισμών από γεωμετρία και τριγωνομετρία

Αν θεωρήσουμε τη γωνία περιστροφής α από 0 έως 90 μοίρες, τότε τα δεδομένα στο πλαίσιο της τριγωνομετρίας του ορισμού του ημιτόνου, συνημιτόνου, εφαπτομένης και συνεφαπτομένης της γωνίας περιστροφής συμφωνούν πλήρως με τους ορισμούς του ημιτόνου, συνημιτονοειδούς , εφαπτομένη και συνεφαπτομένη οξείας γωνίας σε ορθογώνιο τρίγωνο, που δίνονται στο μάθημα της γεωμετρίας. Ας το τεκμηριώσουμε αυτό.

Σχεδιάστε έναν κύκλο μονάδας στο ορθογώνιο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων Oxy. Σημειώστε το σημείο εκκίνησης A(1, 0) . Ας το περιστρέψουμε κατά μια γωνία α που κυμαίνεται από 0 έως 90 μοίρες, παίρνουμε το σημείο A 1 (x, y) . Ας ρίξουμε την κάθετη A 1 H από το σημείο A 1 στον άξονα Ox.

Είναι εύκολο να δούμε ότι σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο η γωνία A 1 OH είναι ίση με τη γωνία περιστροφής α, το μήκος του σκέλους OH που βρίσκεται δίπλα σε αυτή τη γωνία είναι ίσο με την τετμημένη του σημείου A 1, δηλαδή |OH |=x, το μήκος του σκέλους A 1 H απέναντι από τη γωνία είναι ίσο με την τεταγμένη του σημείου A 1 , δηλαδή |A 1 H|=y , και το μήκος της υποτείνουσας OA 1 είναι ίσο με ένα , αφού είναι η ακτίνα του μοναδιαίου κύκλου. Τότε, εξ ορισμού από τη γεωμετρία, το ημίτονο οξείας γωνίας α σε ορθογώνιο τρίγωνο A 1 OH είναι ίσο με το λόγο του αντίθετου σκέλους προς την υποτείνουσα, δηλαδή sinα=|A 1 H|/|OA 1 |= y/1=y . Και εξ ορισμού από την τριγωνομετρία, το ημίτονο της γωνίας περιστροφής α ισούται με την τεταγμένη του σημείου Α 1, δηλαδή sinα=y. Αυτό δείχνει ότι ο ορισμός του ημιτόνου οξείας γωνίας σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο είναι ισοδύναμος με τον ορισμό του ημιτόνου της γωνίας περιστροφής α για α από 0 έως 90 μοίρες.

Ομοίως, μπορεί να φανεί ότι οι ορισμοί του συνημιτίου, της εφαπτομένης και της συνεφαπτομένης μιας οξείας γωνίας α είναι συνεπείς με τους ορισμούς του συνημιτίου, της εφαπτομένης και της συνεφαπτομένης της γωνίας περιστροφής α.

Βιβλιογραφία.

1. Γεωμετρία. 7-9 τάξεις: σπουδές. για γενική εκπαίδευση ιδρύματα / [Λ. S. Atanasyan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev και άλλοι]. - 20η έκδ. Μ.: Εκπαίδευση, 2010. - 384 σελ.: εικ. - ISBN 978-5-09-023915-8.
2. Pogorelov A.V.Γεωμετρία: Proc. για 7-9 κύτταρα. γενική εκπαίδευση ιδρύματα / A. V. Pogorelov. - 2η έκδ. - Μ.: Διαφωτισμός, 2001. - 224 σελ.: εικ. - ISBN 5-09-010803-X.
3. Άλγεβρα και στοιχειώδεις συναρτήσεις: Φροντιστήριογια μαθητές της 9ης τάξης του γυμνασίου / E. S. Kochetkov, E. S. Kochetkova; Επιμέλεια Διδάκτωρ Φυσικών και Μαθηματικών Επιστημών O. N. Golovin - 4η έκδ. Μόσχα: Εκπαίδευση, 1969.
4. Αλγεβρα: Proc. για 9 κύτταρα. μέσος όρος σχολείο / Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Εκδ. S. A. Telyakovsky.- M.: Διαφωτισμός, 1990.- 272 σελ.: Ill.- ISBN 5-09-002727-7
5. Αλγεβρακαι η αρχή της ανάλυσης: Proc. για 10-11 κύτταρα. γενική εκπαίδευση ιδρύματα / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn και άλλοι; Εκδ. A. N. Kolmogorova.- 14th ed.- M .: Enlightenment, 2004.- 384 p.: Ill.- ISBN 5-09-013651-3.
6. Μόρντκοβιτς Α. Γ.Άλγεβρα και οι απαρχές της ανάλυσης. Βαθμός 10. Στις 2 μ.μ. Μέρος 1: ένα εγχειρίδιο για εκπαιδευτικά ιδρύματα (επίπεδο προφίλ) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 4η έκδ., πρόσθ. - Μ.: Μνημοσύνη, 2007. - 424 σελ.: εικ. ISBN 978-5-346-00792-0.
7. Αλγεβρακαι η αρχή της μαθηματικής ανάλυσης. 10η τάξη: σχολικό βιβλίο. για γενική εκπαίδευση ιδρύματα: βασικά και προφίλ. επίπεδα /[Γιού. Μ. Kolyagin, Μ. V. Tkacheva, Ν. Ε. Fedorova, Μ. Ι. Shabunin]; εκδ. A. B. Zhizhchenko. - 3η έκδ. - Ι .: Εκπαίδευση, 2010. - 368 σελ.: Ιλλ. - ISBN 978-5-09-022771-1.
8. Μπασμάκοφ Μ.Ι.Άλγεβρα και αρχή ανάλυσης: Proc. για 10-11 κύτταρα. μέσος όρος σχολείο - 3η έκδ. - Μ.: Διαφωτισμός, 1993. - 351 σελ.: εικ. - ISBN 5-09-004617-4.
9. Gusev V. A., Mordkovich A. G.Μαθηματικά (εγχειρίδιο για υποψήφιους σε τεχνικές σχολές): Proc. επίδομα.- Μ.; Πιο ψηλά σχολείο, 1984.-351 σ., εικ.