Экстремумы, наибольшие и наименьшие значения функций. Экстремум функции

Приращения функции к приращению аргумента, который стремится к нулю. Для ее нахождения воспользуйтесь таблицей производных. Например, производная функции y = x3 будет равна y’ = x2.

Приравняйте данную производную к нулю (в данном случае x2=0).

Найдите значение переменной данного . Это будут те значения, при данная производная будет равна 0. Для этого подставьте в выражение произвольные цифры вместо x, при которых все выражение станет нулевым. Например:

2-2x2= 0
(1-x)(1+x) = 0
x1= 1, x2 = -1

Полученные значения нанесите на координатную прямую и высчитайте знак производной для каждого из полученных . На координатной прямой отмечаются точки, которые принимаются за начало отсчета. Чтобы высчитать значение на промежутках подставьте произвольные значения, подходящие по критериям. Например, для предыдущей функции до промежутка -1 можно выбрать значение -2. На от -1 до 1 можно выбрать 0, а для значений больше 1 выберите 2. Подставьте данные цифры в производную и выясните знак производной. В данном случае производная с x = -2 будет равна -0,24, т.е. отрицательно и на данном промежутке будет знак минус. Если x=0, то значение будет равно 2, а на данном промежутке ставится знак. Если x=1, то производная также будет равна -0,24 и ставится минус.

Если при прохождении через точку на координатной прямой производная меняет свой знак с минуса на плюс, то это точка минимума, а если с плюса на минус, то это точка максимума.

Видео по теме

Полезный совет

Для нахождения производной существуют онлайн-сервисы, которые подсчитывают нужные значения и выводят результат. На таких сайтах можно найти производную до 5 порядка.

Источники:

• Один из сервисов вычисления производных
• точку максимума функции

Точки максимума функции наряду с точками минимума называются точками экстремума. В этих точках функция меняет характер поведения. Экстремумы определяются на ограниченных числовых интервалах и всегда являются локальными.

Инструкция

Процесс нахождения локальных экстремумов называется функции и выполняется путем анализа первой и второй производной функции. Перед началом исследования убедитесь, что заданный интервал значений аргумента принадлежит к допустимым значениям. Например, для функции F=1/x значение аргумента х=0 недопустимо. Или для функции Y=tg(x) аргумент не может иметь значение х=90°.

Убедитесь, что функция Y дифференцируема на всем заданном отрезке. Найдите первую производную Y". Очевидно, что до достижения точки локального максимума функция возрастает, а при переходе через максимум функция становится убывающей. Первая производная по своему физическому смыслу характеризует скорость изменения функции. Пока функция возрастает, скорость этого процесса является величиной положительной. При переходе через локальный максимум функция начинает убывать, и скорость процесса изменения функции становится отрицательной. Переход скорости изменения функции через ноль происходит в точке локального максимума.

Например, функция Y=-x²+x+1 на отрезке от -1 до 1 имеет непрерывную производную Y"=-2x+1. При х=1/2 производная равна нулю, причем при переходе через эту точку производная меняет знак с «+» на «-». Вторая производная функции Y"=-2. Постройте по точкам график функции Y=-x²+x+1 и проверьте, является ли точка с абсциссой х=1/2 локальным максимумом на заданном отрезке числовой оси.

Говорят, что функция имеет вовнутреннейточке
областиD локальный максимум (минимум ), если существует такая окрестностьточки
, для каждой точки
которой выполняется неравенство

Если функция имеет в точке
локальный максимум или локальный минимум, то говорят, что она имеет в этой точкелокальный экстремум (или просто экстремум ).

Теорема (необходимое условие существования экстремума ). Если дифференцируемая функциядостигает экстремума в точке
, то каждая частная производная первого порядка от функциив этой точке обращается в нуль.

Точки, в которых все частные производные первого порядка обращаются в нуль, называются стационарными точками функции
. Координаты этих точек можно найти, решив систему изуравнений

.

Необходимое условие существования экстремума в случае дифференцируемой функции коротко можно сформулировать и так:

Встречаются случаи, когда в отдельных точках некоторые частные производные имеют бесконечные значения или не существуют (в то время как остальные равны нулю). Такие точки называются критическими точками функции. Эти точки тоже нужно рассматривать в качестве «подозрительных» на экстремум, как и стационарные.

В случае функции двух переменных необходимое условие экстремума, а именно равенство нулю частных производных (дифференциала) в точке экстремума, имеет геометрическую интерпретацию: касательная плоскость к поверхности
в точке экстремума должна быть параллельна плоскости
.

20. Достаточные условия существования экстремума

Выполнение в некоторой точке необходимого условия существования экстремума вовсе не гарантирует наличия там экстремума. В качестве примера можно взять дифференцируемую всюду функцию
. Обе ее частные производные и сама функция обращаются в нуль в точке
. Однако в любой окрестности этой точки есть как положительные (большие
), так и отрицательные (меньшие
) значения этой функции. Следовательно, в этой точке, по определению, экстремума не наблюдается. Поэтому необходимо знать достаточные условия, при которых точка, подозрительная на экстремум, является точкой экстремума исследуемой функции.

Рассмотрим случай функции двух переменных. Предположим, что функция
определена, непрерывна и имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно в окрестности некоторой точки
, которая является стационарной точкой функции
, то есть удовлетворяет условиям

,
.

Введем обозначения:

Теорема (достаточные условия существования экстремума ). Пусть функция
удовлетворяет вышеприведенным условиям, а именно: дифференцируема в некоторой окрестности стационарной точки
и дважды дифференцируема в самой точке
. Тогда, если

В случае если
то функция
в точке
достигает

локального максимума при
и

локального минимума при
.

В общем случае, для функции
достаточным условием существования в точке
локального минимума (максимума ) являетсяположительная (отрицательная ) определённость второго дифференциала.

Иными словами, справедливо следующее утверждение.

Теорема . Если в точке
для функции

для любых не равных одновременно нулю
, то в этой точке функция имеетминимум (аналогичномаксимум , если
).

Пример 18. Найти точки локального экстремума функции

Решение . Найдем частные производные функции и приравниваем их к нулю:

Решая эту систему, находим две точки возможного экстремума:

Найдем частные производные второго порядка для данной функции:

В первой стационарной точке , следовательно, и
Поэтому для этой точки требуется дополнительное исследование. Значение функции
в этой точке равно нулю:
Далее,

при

а

при

Следовательно, в любой окрестности точки
функция
принимает значения как большие
, так и меньшие
, и, значит, в точке
функция
, по определению, не имеет локального экстремума.

Во второй стационарной точке



следовательно,Поэтому, так как
то в точке
функция имеет локальный максимум.

ЛОКАЛЬНЫЙ МАКСИМУМ

ЛОКАЛЬНЫЙ МАКСИМУМ

(local maximum) Значение функции, которое больше какого-либо соседнего значения ее аргумента или набора аргументов, dy/dx= 0 является необходимым условием для достижения локального максимума y=f(x); при соблюдении этого условия достаточным условием для достижения локального максимума является d2y/dx2< 0. Локальный максимум может также быть абсолютным максимумом, если не существует значения х, при котором у больше. Однако так может быть не всегда. Рассмотрим функцию у = х3–3х.dy/dx = 0, когда х2= 1; и d2y/dx2=6х. у имеет максимум при х =– 1, но это всего лишь локальный, а не абсолютный максимум, поскольку у может стать бесконечно большой величиной при придании достаточно большого положительного значения х . См. также: рисунок к статье максимум (maximum).

Экономика. Толковый словарь. - М.: "ИНФРА-М", Издательство "Весь Мир". Дж. Блэк. Общая редакция: д.э.н. Осадчая И.М. . 2000 .

Экономический словарь . 2000 .

Смотреть что такое "ЛОКАЛЬНЫЙ МАКСИМУМ" в других словарях:

локальный максимум - — [А.С.Гольдберг. Англо русский энергетический словарь. 2006 г.] Тематики энергетика в целом EN local maximum … Справочник технического переводчика

локальный максимум - lokalusis maksimumas statusas T sritis automatika atitikmenys: angl. local maximum vok. Lokalmaximum, n rus. локальный максимум, m pranc. maximum local, m … Automatikos terminų žodynas

локальный максимум - vietinė smailė statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. local maximum; local peak vok. lokales Maximum, n rus. локальный максимум, m pranc. maximum local, m; pic local, m … Fizikos terminų žodynas

Локальный максимум, локальный минимум - (local maxi­mum, local minimum) см. Экстремум функции … Экономико-математический словарь

- (maximum) Наивысшее значение функции, которое она принимает при любом значении ее аргументов. Максимум может быть локальным или абсолютным. Например, функция у=1–х2 имеет абсолютный максимум у=1 при х=0; не существует другого значения х, которое… … Экономический словарь

- (local minimum) Значение функции, которое меньше какого либо соседнего значения ее аргумента или набора аргументов, dy/dx = 0 является необходимым условием для достижения локального минимума у=f(x); при соблюдении этого условия достаточным… … Экономический словарь

Экстремум (лат. extremum крайний) в математике максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве. Точка, в которой достигается экстремум, называется точкой экстремума. Соответственно, если достигается минимум точка экстремума… … Википедия

Алгоритмы локального поиска группа алгоритмов, в которых поиск ведется только на основании текущего состояния, а ранее пройденные состояния не учитываются и не запоминаются. Основной целью поиска является не нахождение оптимального пути к… … Википедия

- (global maximum) Значение функции, равное или более высокое по сравнению с ее значениями, принимаемыми при любых других значениях аргументов. Достаточное условие максимума функции от одного аргумента, состоящее в том, что ее первая производная в… … Экономический словарь

- (англ. trend направление, тенденция) направление, тенденция развития политического процесса, явления. Имеет математическое выражение. Наиболее популярным определением тренда (trend) является определение из теории Доу. Восходящим трендом… … Политология. Словарь.

Точка экстремума функции - это точка области определения функции , в которой значение функции принимает минимальное или максимальное значение. Значения функции в этих точках называются экстремумами (минимумом и максимумом) функции .

Определение . Точка x 1 области определения функции f (x ) называется точкой максимума функции , если значение функции в этой точке больше значений функции в достаточно близких к ней точках, расположенных справа и слева от неё (то есть выполняется неравенство f (x 0 ) > f (x 0 + Δx ) x 1 максимум.

Определение . Точка x 2 области определения функции f (x ) называется точкой минимума функции , если значение функции в этой точке меньше значений функции в достаточно близких к ней точках, расположенных справа и слева от неё (то есть выполняется неравенство f (x 0 ) < f (x 0 + Δx ) ). В этом случае говорят, что функция имеет в точке x 2 минимум.

Допустим, точка x 1 - точка максимума функции f (x ) . Тогда в интервале до x 1 функция возрастает , поэтому производная функции больше нуля (f "(x ) > 0 ), а в интервале после x 1 функция убывает, следовательно, и производная функции меньше нуля (f "(x ) < 0 ). Тогда в точке x 1

Допустим также, что точка x 2 - точка минимума функции f (x ) . Тогда в интервале до x 2 функция убывает, а производная функции меньше нуля (f "(x ) < 0 ), а в интервале после x 2 функция возрастает, а производная функции больше нуля (f "(x ) > 0 ). В этом случае также в точке x 2 производная функции равна нулю или не существует.

Теорема Ферма (необходимый признак существования экстремума функции) . Если точка x 0 - точка экстремума функции f (x ) , то в этой точке производная функции равна нулю (f "(x ) = 0 ) или не существует.

Определение . Точки, в которых производная функции равна нулю или не существует, называются критическими точками .

Пример 1. Рассмотрим функцию .

В точке x = 0 производная функции равна нулю, следовательно, точка x = 0 является критической точкой. Однако, как видно на графике функции, она возрастает во всей области определения, поэтому точка x = 0 не является точкой экстремума этой функции.

Таким образом, условия о том, что производная функции в точке равна нулю или не существует, являются необходимыми условиями экстремума, но не достаточными, поскольку можно привести и другие примеры функций, для которых эти условия выполняются, но экстремума в соответствующей точке функция не имеет. Поэтому нужно располагать достаточными признаками , позволяющими судить, имеется ли в конкретной критической точке экстремум и какой именно - максимум или минимум.

Теорема (первый достаточный признак существования экстремума функции). Критическая точка x 0 f (x ) , если при переходе через эту точку производная функции меняет знак, причём, если знак меняется с "плюса" на "минус", то точкой максимума, а если с "минуса" на "плюс", то точкой минимума.

Если же вблизи точки x 0 , слева и справа от неё, производная сохраняет знак, то это означает, что функция либо только убывает, либо только возрастает в некоторой окрестности точки x 0 . В этом случае в точке x 0 экстремума нет.

Итак, чтобы определить точки экстремума функции, требуется выполнить следующее :

1. Найти производную функции.
2. Приравнять производную нулю и определить критические точки.
3. Мысленно или на бумаге отметить критические точки на числовой оси и определить знаки производной функции в полученных интервалах. Если знак производной меняется с "плюса" на "минус", то критическая точка является точкой максимума, а если с "минуса" на "плюс", то точкой минимума.
4. Вычислить значение функции в точках экстремума.

Пример 2. Найти экстремумы функции .

Решение. Найдём производную функции:

Приравняем производную нулю, чтобы найти критические точки:

.

Так как для любых значений "икса" знаменатель не равен нулю, то приравняем нулю числитель:

Получили одну критическую точку x = 3 . Определим знак производной в интервалах, разграниченных этой точкой:

в интервале от минус бесконечности до 3 - знак минус, то есть функция убывает,

в интервале от 3 до плюс бесконечности - знак плюс, то есть функция возрастает.

То есть, точка x = 3 является точкой минимума.

Найдём значение функции в точке минимума:

Таким образом, точка экстремума функции найдена: (3; 0) , причём она является точкой минимума.

Теорема (второй достаточный признак существования экстремума функции). Критическая точка x 0 является точкой экстремума функции f (x ) , если вторая производная функции в этой точке не равна нулю (f ""(x ) ≠ 0 ), причём, если вторая производная больше нуля (f ""(x ) > 0 ), то точкой максимума, а если вторая производная меньше нуля (f ""(x ) < 0 ), то точкой минимума.

Замечание 1. Если в точке x 0 обращаются в нуль и первая, и вторая производные, то в этой точке нельзя судить о наличии экстремума на основании второго достаточного признака. В этом случае нужно воспользоваться первым достаточным признаком экстремума функции.

Замечание 2. Второй достаточный признак экстремума функции неприменим и тогда, когда в стационарной точке первая производная не существует (тогда не существует и вторая производная). В этом случае также нужно вопользоваться первым достаточным признаком экстремума функции.

Локальный характер экстремумов функции

Из приведённых определений следует, что экстремум функции имеет локальный характер - это наибольшее и наименьшее значение функции по сравнению с близлежайшими значениями.

Предположим, вы рассматриваете свои заработки в отрезке времени протяжённостью в один год. Если в мае вы заработали 45 000 рублей, а в апреле 42 000 рублей и в июне 39 000 рублей, то майский заработок - максимум функции заработка по сравнению с близлежайшими значениями. Но в октябре вы заработали 71 000 рублей, в сентябре 75 000 рублей, а в ноябре 74 000 рублей, поэтому октябрьский заработок - минимум функции заработка по сравнению с близлежашими значениями. И вы легко видите, что максимум среди значений апреля-мая-июня меньше минимума сентября-октября-ноября.

Говоря обобщённо, на промежутке функция может иметь несколько экстремумов, причём может оказаться, что какой-либо минимум функции больше какого-либо максимума. Так, для функции изображённой на рисунке выше, .

То есть не следует думать, что максимум и минимум функции являются, соответственно, её наибольшим и наименьшим значениями на всём рассматриваемом отрезке. В точке максимума функция имеет наибольшее значение лишь по сравнению с теми значениями, которые она имеет во всех точках, достаточно близких к точке максимума, а в точке минимума - наименьшее значение лишь по сравнению с теми значениями, которые она имеет во всех точках, достаточно близких к точке минимума.

Поэтому можно уточнить приведённое выше понятие точек экстремума функции и называть точки минимума точками локального минимума, а точки максимума - точками локального максимума.

Ищем экстремумы функции вместе

Пример 3.

Решение.Функция определена и непрерывна на всей числовой прямой. Её производная существует также на всей числовой прямой. Поэтому в данном случае критическими точками служат лишь те, в которых , т.е. , откуда и . Критическими точками и разбивают всю область определения функции на три интервала монотонности: . Выберем в каждой из них по одной контрольной точке и найдём знак производной в этой точке.

Для интервала контрольной точкой может служить : находим . Взяв в интервале точку , получим , а взяв в интервале точку , имеем . Итак, в интервалах и , а в интервале . Согласно первому достаточному признаку экстремума, в точке экстремума нет (так как производная сохраняет знак в интервале ), а в точке функция имеет минимум (поскольку производная при переходе через эту точку меняет знак с минуса на плюс). Найдём соответствующие значения функции: , а . В интервале функция убывает, так как в этом интервале , а в интервале возрастает, так как в этом интервале .

Чтобы уточнить построение графика, найдём точки пересечения его с осями координат. При получим уравнение , корни которого и , т. е. найдены две точки (0; 0) и (4; 0) графика функции. Используя все полученные сведения, строим график (см. в начале примера).

Пример 4. Найти экстремумы функции и построить её график.

Областью определения функции является вся числовая прямая, кроме точки , т.е. .

Для сокращения исследования можно воспользоваться тем, что данная функция чётная, так как . Поэтому её график симметричен относительно оси Oy и исследование можно выполнить только для интервала .

Находим производную и критические точки функции:

1) ;

2) ,

но функция терпит разрыв в этой точке, поэтому она не может быть точкой экстремума.

Таким образом, заданная функция имеет две критические точки: и . Учитывая чётность функции, проверим по второму достаточному признаку экстремума только точку . Для этого найдём вторую производную и определим её знак при : получим . Так как и , то является точкой минимума функции, при этом .

Чтобы составить более полное представление о графике функции, выясним её поведение на границах области определения:

(здесь символом обозначено стремление x к нулю справа, причём x остаётся положительным; аналогично означает стремление x к нулю слева, причём x остаётся отрицательным). Таким образом, если , то . Далее, находим

,

т.е. если , то .

Точек пересечения с осями график функции не имеет. Рисунок - в начале примера.

Продолжаем искать экстремумы функции вместе

Пример 8. Найти экстремумы функции .

Решение. Найдём область определения функции. Так как должно выполняться неравенство , то из получаем .

Найдём первую производную функции:

Найдём критические точки функции.

МАКСИМУМА И МИНИМУМА ТОЧКИ

точки, в к-рых принимает наибольшее или наименьшее значения на области определения; такие точки наз. также точками абсолютного максимума или абсолютного минимума. Если f определена на топологич. пространстве X, то точка х 0 наз. точкой локального максимума (локального минимума), если существует такая точки х 0 , что для сужения рассматриваемой функции на этой окрестности точка х 0 является точкой абсолютного максимума (минимума). Различают точки строгого и нестрогого максимума (мини м у м а) (как абсолютного, так и локального). Напр., точка наз. точкой нестрогого (строгого) локального максимума функции f, если существует такая окрестность точки х 0 , что для всех выполняется (соответственно f(х)x 0 ). )/

Для функций, определенных на конечномерных областях, в терминах дифференциального исчисления существуют условия и признаки того, чтобы данная точка была точкой локального максимума (минимума). Пусть функция f определена в нек-рой окрестности тючки x 0 числовой оси. Если x 0 - точка нестрогого локального максимума (минимума) ив этой точке существует f"(x 0 ), то она равна нулю.

Если заданная функция f дифференцируема в окрестности точки x 0 , кроме, быть может, самой этой точки, в к-рой она непрерывна, и производная f" по каждую сторону от точки x 0 в этой окрестности сохраняет постоянный знак, то для того чтобы x 0 была точкой строгого локального максимума (локального минимума), необходимо и достаточно, чтобы производная меняла знак с плюса на минус, т. е. чтобы f" (x)>0 при x<.x 0 и f"(x)<0 при x>x 0 (соответственно с минуса на плюс: f" (х)<0 при x<x 0 и f"(x)>0 при х>х 0 ). Однако не для всякой функции, дифференцируемой в окрестности точки x 0 , можно говорить о перемене знака производной в этой точке. . "

Если функция fимеет в точке х 0 т производных, причем то для того чтобы х 0 была точкой строгого локального максимума, необходимо и достаточно, чтобы те было четным и чтобы f (m) (x 0 )<0, и - локального минимума, чтобы m было четно и f (m) (x 0 )>0.

Пусть функция f(x 1 ..., х п ]определена в n-мерной окрестности точки и дифференцируема в этой точке. Если x (0) является точкой нестрогого локального максимума (минимума), то функции f в этой точке равен нулю. Это условие равносильно равенству нулю в этой точке всех частных производных 1-го порядка функции f. Если функция имеет 2-е непрерывные частные производные в точке x (0) , все ее 1-е производные обращаются в x (0) в нуль, а дифференциал 2-го порядка в точке x (0) представляет собой отрицательную (положительную) квадратичную форму, то x (0) является точкой строгого локального максимума (минимума). Известны условия для М. и м. т. дифференцируемых функций, когда на изменения аргументов наложены определенные ограничения: удовлетворяются уравнения связи. Необходимые и достаточные условиям максимума (минимума) действительной функции, к-рой имеет более сложную структуру, изучаются в специальных разделах математики: напр., в выпуклом анализе, математическом программировании (см. также Максимизация и минимизация функций ). М. и м. т. функций, определенных на многообразиях, изучаются в вариационном исчислении в целом, а М. и м. т. для функций, заданных на функциональных пространствах, т. е. для функционалов, в вариационном исчислении. Существуют также различные методы численного приближенного нахождения М. и м. т.

Лит. : И л ь и н В. А., П о з н я к Э. Г., Основы математического анализа, 3 изд., ч. 1,М., 1971; КудрявцевЛ. Л. Д. Кудрявцев.

Математическая энциклопедия. - М.: Советская энциклопедия . И. М. Виноградов . 1977-1985 .

Смотреть что такое "МАКСИМУМА И МИНИМУМА ТОЧКИ" в других словарях:

Дискретный принцип максимума Понтрягина для дискретных по времени процессов управления. Для такого процесса М. п. может не выполняться, хотя для его непрерывного аналога, получающегося заменой конечно разностного оператора на дифференциальный… … Математическая энциклопедия

Теорема, выражающая одно из основных свойств модуля аналитич. функции. Пусть f(z) регулярная аналитическая, или голоморфная, функция пкомплексных переменных в области Dкомплексного числового пространства отличная от константы, М. м. п. в… … Математическая энциклопедия

Наибольшее и соответственно наименьшее значения функции, принимающей действительные значения. Точку области определения рассматриваемой функции, в к рой она принимает максимум или минимум, наз. соответственно точкой максимума или точкой минимума… … Математическая энциклопедия

См. Максимум и минимум функции, Максимума и минимума точки … Математическая энциклопедия

Значение непрерывной функции, являющееся максимумом или минимумом (см. Максимума и минимума точки). Термин лЭ … Математическая энциклопедия

Индикатор - (Indicator) Индикатор это информационная система, вещество, прибор, устройство, отображающий изменения какого либо параметра Индикаторы графиков валютного рынка форекс, какие они бывают и где их можно скачать? Описание индикаторов MACD,… … Энциклопедия инвестора

У этого термина существуют и другие значения, см. Экстремум (значения). Экстремум (лат. extremum крайний) в математике максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве. Точка, в которой достигается экстремум,… … Википедия

Дифференциальное исчисление раздел математического анализа, в котором изучаются понятия производной и дифференциала и способы их применения к исследованию функций. Содержание 1 Дифференциальное исчисление функций одной переменной … Википедия

Лемниската и её фокусы Лемниската Бернулли плоская алгебраическая кривая. Определяется как геометрическое место точек, произведени … Википедия

Дивергенция - (Divergence) Дивергенция как индикатор Торговая стратегия с MACD дивергенцией Содержание Содержание Раздел 1. на. Раздел 2. Дивергенция как. Дивергенция - это термин, используемый в экономике для обозначения движения по расходящимся… … Энциклопедия инвестора