Деление комплексных чисел. Деление комплексных чисел в алгебраической форме

Определение:

Комплексное число =x – yi называется сопряженным числом по отношению кw = x + yi .

Примеры сопряженных комплексных чисел:

–1 + 5i и –1 – 5i , 2 – 3i и 2 + 3i .

Для деления двух комплексных чисел в алгебраической форме, как правило, удобно числитель и знаменатель дроби домножать на число, сопряженное знаменателю .

Пример 4 Выполнить деление:= [домножаем числитель и знаменатель дроби на число, сопряженное знаменателю] =

Заметим, что
есть выражение, а не число, поэтому его нельзя рассматривать как ответ.

Пример 5 Выполнить действия:
=

=


=
.

Пример 6 Выполнить действия:
= [домножаем числитель и знаменатель дроби на числа, сопряженные обоим числам знаменателя] =

1. Извлечение квадратного корня из комплексного числа в алгебраической форме

Определение. Комплексное число
называется квадратным корнем из комплексного числаz , если
.

Пример 7 Вычислить
.

Решение. Пусть
= x + yi , тогда

Решим отдельно биквадратное уравнение:

Ответ:{‑3 + 4i ; 3 ‑ 4i }.

Другой способ решения возможен после введения тригонометрической формы записи комплексного числа (см. с. 14).

1. Решение линейных и квадратных уравнений для комплексных чисел

В области комплексных чисел верны те же формулы для решения линейных и квадратных уравнений, что и в области действительных чисел.

Пример 8 Решить уравнение: (‑2 ‑i )z = 3 +i .

Пример 9 Решить уравнение:
.

Решение. Воспользуемся формулой для нахождения корней квадратного уравнения:

Ответ:{‑2 +i ; ‑2 –i }.

Пример 10 Решить уравнение:
.

Решение:

Ответ:{1 ‑ 2i ; 1 –i }.

Пример 11 Решить уравнение:
.

Решение:

Вычислим
:

Составляем систему, приравнивая вещественные и мнимые части левой и правой частей равенства:

Ответ:{2;i }.

Пример 12 Решить систему уравнений:

Решение. Выражаем из первого уравнения системы переменнуюx через переменнуюy :

Домножаем числитель и знаменатель дроби на число, сопряженное знаменателю:

В числителе дроби раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые:

Подставляем полученное значение переменной x во второе уравнение системы:

;

Ответ: {1 +i ; i }.

1. Тригонометрическая форма записи комплексных чисел

   1. Геометрическое изображение комплексных чисел

При изучении свойств комплексных чисел весьма удобной является их геометрическая интерпретация . Поскольку комплексное число определяется как пара действительных чисел, то каждое комплексное число z = a + bi изображается точкой плоскости (x , y ) с координатамиx = a и y = b . Такая плоскость называется комплексной плоскостью , ось абсцисс ‑ действительной (Rez ), а ось ординат ‑ мнимой осью (Imz ).

Пример 13 Изобразить на плоскости точки, соответствующие числам:

Решение . У числаz 1 действительная часть равна ‑2, а мнимая ‑ 0. Следовательно, изображением числаz 1 служит точка (‑2, 0) (рис. 1.1).

У числа z 2 действительная часть равна 0, а мнимая равна 3. Следовательно, изображением числаz 2 служит точка (0, 3). У числаz 3 действительная часть равна 1, а мнимая ‑4. Следовательно, изображением числаz 3 служит точка (1, ‑4).

У числа z 4 действительная часть равна 1 и мнимая 1. Следовательно, изображением числаz 4 служит точка (1, 1).

У числа z 5 действительная часть равна ‑3, а мнимая ‑2. Следовательно, изображением числаz 5 служит точка (‑3, ‑2).

Сопряженные числа изображаются точками на комплексной плоскости, симметричными относительно действительной оси Rez .

В соответствии с определением деления действительных чисел устанавливается следующее определение.

Определение. Разделить комплексное число a + bi на комплексное число a" + b"i - значит найти такое число x + yi, которое, будучи помножено на делитель, даст делимое.

Конкретное правило деления получим, записав частное в виде дроби и умножив числитель и знаменатель этой дроби на число, сопряженное со знаменателем: (a + bi):(c + di)=

Пример 1. Найти частное (7 - 4i):(3 + 2i).

Записав дробь (7 - 4i)/(3 + 2i), расширяем её на число 3 - 2i, сопряженное с 3 + 2i. Получим:

((7 - 4i)(3 - 2i))/((3 + 2i)(3 - 2i)) = (13 - 26i)/13 = 1 - 2i.

Пример 1 предыдущего пункта даёт проверку.

Пример 2. (-2 +5i)/(-3 -4i) = ((-2 + 5i)(-3 - 4i))/((-3 - 4i)(-3 + 4i)) = (-14 -23i)/25 = -0,56 - 0.92i.

Чтобы доказать, что правая часть действительно является частным, достаточно помножить её на a" + b". Получим a + bi.

Решение уравнений с комплексными переменными

комплексный число сложение переменная

Рассмотрим сначала простейшее квадратное уравнение z2 = a, где а - заданное число, z - неизвестное. На множестве действительных чисел это уравнение:

• 1) имеет один корень z = 0, если а = 0;
• 2) имеет два действительных корня z1,2 = , если а>0;
• 3) не имеет действительных корней, если а

На множестве комплексных чисел это уравнение всегда имеет корень.

Задача 1. Найти комплексные корни уравнения z2 = a, если:

• 1) а = -1; 2) а = -25; 3) а = -3.
• 1) z2 = -1. Так как i2 = -1, то это уравнение можно записать в виде z2 = i2, или z2 - i2 = 0. Отсюда, раскладывая левую часть на множители, получаем (z-i)(z+i) = 0, z1 = i, z2 = -i.Ответ. z1,2 = i.
• 2) z2 = -25. Учитывая, что i2 = -1,преобразуем это уравнение:

z2 = i2 52, z2 - 52 i2= 0, (z-5i)(z+5i) = 0, откуда z1 = 5i, z2 = -5i.Ответ:

3) z2 = -3, z2 = i2()2, z2 - ()2i2 = 0, (z - i)(z + i) = 0

Ответ: z1,2 = i.

Вообще уравнение z2 = a, где а < 0 имеет два комплексных корня: Z1,2= i.

Используя равенство i2 = -1, квадратные корни из отрицательных чисел принято записывать так: = i, = 2i, = i .

Итак, определен для любого действительного числа а (положительного, отрицательного и нуля). Поэтому любое квадратное уравнение az2 + bz + c = 0, где а, b, с - действительные числа, а 0, имеет корни. Эти корни находятся по известной формуле:

Задача 2. Решить уравнение z2-4z+13=0. По формуле находим: z1,2 = = = 2 3i.

Заметим, что найденные в этой задаче корни являются сопряженными: z1=2+3i и z2=2-3i. Найдем сумму и произведение этих корней: z1+z2=(2+3i)+(2-3i)=4, z1z2=(2+3i)(2-3i)=13.

Число 4 - это 2-й коэффициент уравнения z2-4z+13=0, взятый с противоположным знаком, а число 13- свободный член, то есть в этом случае справедлива теорема Виета. Она справедлива для любого квадратного уравнения: если z1 и z2 - корни уравнения az2+bz+c = 0, z1+z2 = , z1z2 = .

Задача 3. Составить приведенное квадратное уравнение с действительными коэффициентами, имеющие корень z1=-1-2i.

Второй корень z2 уравнения является числом, сопряженным с данным корнем z1, то есть z2=-1+2i. По теореме Виета находим

P=-(z1+z2)=2, q=z1z2=5. Ответ z2-2z+5=0.