Funkció tulajdonságai. Funkciók és grafikák Személyes adatok védelme
A fő elemi funkciók a következők:
Teljesítményfüggvény, ahol;
Exponenciális függvény, ahol;
Logaritmikus függvény ahol ;
Trigonometrikus függvények;
Inverz trigonometrikus függvények: ,
Az elemi függvények az alapvető elemi függvények és azok, amelyek véges számú művelettel (összeadás, kivonás, szorzás, osztás) és szuperpozícióval alkothatók, pl.
Nevezzük meg az elemi függvények néhány osztályát.
Egész racionális funkció, vagy polinom, ahol n egy nemnegatív egész szám (a polinom foka), állandó számok (együtthatók).
Tört racionális függvény, amely két teljes racionális függvény aránya:
Egész racionális és tört racionális függvények alkotják az osztályt racionális függvények.
Irracionális funkció az, amelyet racionális függvények és hatványfüggvények racionális egész kitevőkkel történő szuperpozíciójával ábrázolnak, például:
A racionális és irracionális függvények egy osztályt alkotnak algebrai funkciókat.
REFERENCIA ANYAG
Teljesítmény funkció
Rizs. 2.1. Rizs. 2.2.
Rizs. 2.3. Rizs. 2.4.
Rizs. 2.5. Fordított arányos ábra. 2.6. Fordítva arányos
függőség függőség
Rizs. 2.7. Hatványfüggvény pozitív racionális
indikátor
Rizs. 2.8. Hatványfüggvény pozitív racionális
indikátor
Rizs. 2.9. Hatványfüggvény pozitív racionális
indikátor
Rizs. 2.10. Hatványfüggvény negatív racionális
indikátor
Rizs. 2.11. Hatványfüggvény negatív racionális
indikátor
Rizs. 2.12. Teljesítmény funkció negatívval
racionális mutató
Rizs. 2.13. Exponenciális függvény
Rizs. 2.14. Logaritmikus függvény
3p/2 -p/2 0 p/2 3p/2 x
Rizs. 2.15. Trigonometrikus függvény
3p/2 p/2 p/2 3p/2
Rizs. 2.16. Trigonometrikus függvény
P/2 p/2 -p p/2 3p/2
P 0 p x -p/2 0 p x
Rizs. 2.17. Trigonometrikus ábra. 2.18. Trigonometrikus
funkció funkció
Rizs. 2.19. Fordított trigonometria - ábra. 2.20. Inverz trigonometria
ric függvény ric függvény
Rizs. 2.21. Inverz trigonometrikus ábra. 2.22. Inverz trigonometria
funkcionális funkció
Rizs. 2.23. Inverz trigonometria - ábra. 2.24. Inverz trigonometrikus függvény
Rizs. 2.25. Inverz trigonometria - ábra. 2.26. Inverz trigonometrikus
ical funkció funkció
UTASÍTÁSOK A JELLEMZŐ SZÁMÍTÁS VÉGREHAJTÁSÁRA
1. feladat.
A függvény grafikonjának felhasználásával készítse el a függvény grafikonját eltolódások és deformációk segítségével.
Egy adott függvény felépítése több lépésben történik, amelyeket itt figyelembe veszünk. Meghívjuk a függvényt alapvető.
Függvény ábrázolása .
Tegyük fel, hogy néhány x 1 és x 2 esetén a fő és az adott függvénynek egyenlő ordinátája van, azaz. De akkor kell lennie
Az a jelétől függően két eset lehetséges.
1. Ha a > 0, akkor a függvény grafikonjának pontja az OX tengely mentén egy egységnyivel jobbra tolódik el az f(x) függvény grafikonján lévő N(x,y) ponthoz képest (ábra 3.1).
2. Ha a< 0, то точка смещена вдоль оси OX на единиц влево по сравнению с точкой N(x,y) графика функции f(x) (рис. 3.2). Таким образом получаем
y N(x; y) M(x+a; y) M(x+a; y) y N(x; y)
0 x x+a x x+a 0 x x
Rizs. 3.1 ábra. 3.2
1. szabály Ha a > 0, akkor az f(x-a) függvény grafikonját az f(x) főfüggvény grafikonjából kapjuk úgy, hogy az OX tengely mentén „a” egységekkel párhuzamba állítjuk. jobbra.
Ha a< 0, то график функции f(x-a) получается из графика основной функции f(x) путем его параллельного переноса вдоль оси OX на единиц balra.
Példák. Készítsen függvénygráfokat: 1) ; 2) .
1) Itt a = 2 > 0. Megszerkesztjük a függvény grafikonját. Az OX tengely mentén 2 egységgel jobbra tolva a függvény grafikonját kapjuk
2) Itt a = -3< 0. Строим график функции . Сдвинув его на 3 единицы влево, получим график функции (рис. 3.4).
Y=(x+3)2 y=x2
1 0 1 2 3 x -3 -2 -1 0 1 2 x
Rizs. 3.3 ábra. 3.4
Megjegyzés. Egy függvény grafikonjának felépítése másképp is történhet: a rendszerben a fő függvény grafikonjának elkészítése után a tengelyt egy egységre kell mozgatni. balra, ha , és mértékegységenként jobbra, Ha . Ezután megkapjuk a függvény grafikonját a rendszerben. A rendszernek segédjelentése van, így a tengelyt pontozott vonallal vagy ceruzával ábrázoljuk.
Példaként készítsük el még egyszer a és (3.5. ábra) és (3.6. ábra) függvények gráfjait!
0 1 2 x -3 -2 -1 0 x
Rizs. 3.5 ábra. 3.6
Függvény ábrázolása Ahol
Legyen bizonyos értékek és a függvények ordinátái és egyenlőek, azaz . Aztán és. Így a főfüggvény grafikonjának minden pontja megfelel a függvény grafikonjának egy pontjának. Két eset lehetséges.
1. Ha , akkor a pont k-szor közelebb van az OY tengelyhez, mint a pont (3.7. ábra).
2. Ha 0< k < 1, то точка лежит в раз дальше от оси OY по сравнению с точкой (рис. 3.8). Таким образом, происходит сжатие или растяжение графика функции.
Rizs. 3.7 ábra. 3.8
2. szabály Legyen k > 1. Ekkor az f(x) függvény grafikonjából kapjuk meg az f(kx) függvény grafikonját úgy, hogy az OX tengely mentén k-szeresre tömörítjük (más szóval: az OY tengelyre tömörítve k-szer).
Legyen 0< k < 1. Тогда график f(kx) получается из графика f(x) путем его растяжения вдоль оси OX в раз.
Példák. Készítsen függvénygráfokat: 1) és ;
2 -1 0 ½ 1 2 x 0 p/2 p 2p x
Rizs. 3.9 ábra. 3.10
1. Megszerkesztjük a függvény - görbe (1) grafikonját a 2. ábrán. 3.9. Kétszer az OY tengelyre tömörítve megkapjuk a függvény-görbe (2) grafikonját az ábrán. 3.9. Ilyenkor például az (1; 0) pont a pontra, a pont a pontra megy.
Megjegyzés. Figyelem: az OY tengelyen fekvő pont a helyén marad. Valójában az f(x) gráf minden N(0, y) pontja megfelel az f(kx) gráf egy pontjának.
A függvény grafikonját úgy kapjuk meg, hogy a függvény grafikonját az OY tengelytől 2-szeresére nyújtjuk. Ebben az esetben a pont ismét változatlan marad (3.9. ábra (3) görbe).
2. Az intervallumban szerkesztett függvény grafikonját felhasználva függvénygráfokat készítünk - (1), (2), (3) görbék az ábrán. 3.10. Figyeljük meg, hogy a pont (0; 0) mozdulatlan marad.
Függvény ábrázolása y=f(-x).
Az f(x) és f(-x) függvények egyenlő értéket vesznek fel az x argumentum ellentétes értékeire. Következésképpen grafikonjaik N(x;y) és M(-x;y) pontjai szimmetrikusak lesznek az OY tengelyre.
3. szabály. Az f(-x) grafikonjának elkészítéséhez tükröznie kell az f(x) függvény grafikonját az OY tengelyhez képest.
Példák.
A megoldásokat a ábra mutatja. 3.11 és 3.12.
Rizs. 3.11 ábra. 3.12
Függvény ábrázolása y=f(-kx), ahol k > 0.
4. szabály. Megszerkesztjük az y=f(kx) függvény grafikonját a 2. szabály szerint. Az f(kx) függvény grafikonját a szabálynak megfelelően tükrözzük az OY tengelyről.
selejt 3. Ennek eredményeként megkapjuk az f(-kx) függvény grafikonját.
Példák. Grafikonfüggvények
A megoldásokat a ábra mutatja. 3,13 és 3,14.
1/2 0 1/2 x -p/2 0 p/2 x
Rizs. 3.13 ábra. 3.14
Függvény ábrázolása, ahol A > 0. Ha A > 1, akkor minden érték esetén az adott függvény ordinátája A-szor nagyobb, mint az f(x) főfüggvény ordinátája. Ebben az esetben az f(x) gráfot A-szor nyújtjuk az OY tengely mentén (más szóval: az OX tengelytől).
Ha 0< A < 1, то происходит сжатие графика f(x) в раз вдоль оси OY (или от оси OX).
5. szabály. Legyen A > 1. Ekkor a függvény grafikonját az OY tengely mentén (vagy az OX tengelyen) A-szoros megnyújtással kapjuk meg f(x) grafikonjából.
Legyen 0< A < 1. Тогда график функции получается из графика f(x) путем его сжатия в раз вдоль оси OY (или к оси OX).
Példák. Készítsen grafikonokat az 1) és 2) függvényekből
1 0 p/2 p p/3 p x
Rizs. 3.15 ábra. 3.16
Függvény ábrázolása .
Minden N(x,y) pontra az f(x) és M(x, -y) függvények az -f(x) függvények szimmetrikusak az OX tengelyre, így megkapjuk a szabályt.
6. szabály. Egy függvénygrafikon ábrázolásához tükröznie kell a grafikont az OX tengelyhez képest.
Példák. Szerkessze meg a és függvények grafikonjait (3.17. és 3.18. ábra).
0 1 x 0 π /2 π 3π/2 2π x
Rizs. 3.17 ábra. 3.18
Függvény ábrázolása, ahol A>0.
7. szabály. Megszerkesztjük a függvény grafikonját, ahol A>0, az 5. szabály szerint. A kapott grafikont a 6. szabály szerint tükrözzük az OX tengelyről.
Függvény ábrázolása .
Ha B>0, akkor egy adott függvény minden ordinátájára B egységgel több van, mint az f(x) ordinátája. Ha B<0, то для каждого ордината первой функции уменьшается на единиц по сравнению с ординатой f(x). Таким образом, получаем правило.
8. szabály. Ahhoz, hogy egy függvény grafikonját az y=f(x) gráfból szerkeszthessük, ezt a grafikont az OY tengely mentén B egységgel felfelé kell mozgatni, ha B>0, vagy egységekkel lefelé, ha B<0.
Példák. Készítsen függvénygráfokat: 1) és
2) (3.19. és 3.20. ábra).
0 x 0 π/2 π 3π/2 2π x
Rizs. 3.19 ábra. 3.20
Egy függvény grafikonjának felépítésének sémája .
Először is írjuk a függvény egyenletét alakba és jelöljük . Ezután megszerkesztjük a függvény grafikonját a következő séma szerint.
1. Megszerkesztjük az f(x) főfüggvény grafikonját.
2. Az 1. szabálynak megfelelően készítünk egy f(x-a) gráfot.
3. Az f(x-a) gráf k előjelét figyelembe vevő tömörítésével vagy nyújtásával a 2-4 szabályok szerint megszerkesztjük az f függvény gráfját.
Figyelem: az f(x-a) grafikon az x=a egyeneshez képest össze van nyomva vagy megnyújtva (miért?)
4. A gráfot az 5-7. szabályok szerint felhasználva megszerkesztjük a függvény gráfját.
5. Az eredményül kapott grafikont a 8. szabálynak megfelelően eltoljuk az OY tengely mentén.
Figyelem: minden szerkesztési lépésnél az előző grafikon a fő függvény grafikonjaként működik.
Példa. Szerkessze meg a függvény grafikonját. Itt k=-2, tehát . Figyelembe véve a furcsaságot, van .
1. Megszerkesztjük a főfüggvény grafikonját.
2. Az OX tengely mentén egységekkel jobbra tolva megkapjuk a függvény grafikonját.
(3.21. ábra).
3. A kapott gráfot 2-szer tömörítjük egyenesre, és így megkapjuk a függvény grafikonját (3.22. ábra).
4. Az utolsó gráfot az OX tengelyre 2-szer tömörítve és az OX tengelyről tükrözve megkapjuk a függvény grafikonját (3.22. és 3.23. ábra).
5. Végül az OY tengely mentén felfelé tolva megkapjuk a kívánt függvény grafikonját (3.23. ábra).
1 0 1/2 3/2 x 0 1 3/2 2 x
Rizs. 3.21 ábra. 3.22
0 1 3/2 2 x -π/2 0 π/2 x
Rizs. 3.23 ábra. 3.24
2. feladat.
A modulusjelet tartalmazó függvények grafikonjainak ábrázolása.
Ennek a problémának a megoldása is több szakaszból áll. Ebben az esetben emlékeznie kell a modul meghatározására:
Függvény ábrázolása .
Azokhoz az értékekhez, amelyekhez , lesz . Ezért itt a függvények és f(x) grafikonjai egybeesnek. Azokra, amelyekre f(x)<0, будет . Но график -f(x) получается из графика f(x) зеркальным отражением от оси OX. Получаем правило построения графика функции .
9. szabály. Megszerkesztjük az y=f(x) függvény grafikonját. Ezután változatlanul hagyjuk a gráf f(x) azon részét, ahol , és azt a részét, ahol f(x)<0, зеркально отражаем от оси OX.
Megjegyzés. Kérjük, vegye figyelembe, hogy a grafikon mindig az OX tengely felett van, vagy azt érinti.
Példák. Grafikonfüggvények
(3.24., 3.25., 3.26. ábra).
Rizs. 3.25 ábra. 3.26
Függvény ábrázolása .
Mivel tehát , azaz egy páros függvény adott, amelynek grafikonja szimmetrikus az OY tengelyhez képest.
10. szabály.Ábrázoljuk az y=f(x) függvényt. A megszerkesztett gráfot az OY tengelyről tükrözzük. Ekkor a kapott két görbe kombinációja a függvény grafikonját adja.
Példák. Grafikonfüggvények
(3.27., 3.28., 3.29. ábra)
-π/2 0 π/2 x -2 0 2 x -1 1 x
Rizs. 3.27 ábra. 3.28 ábra. 3.29
Függvény ábrázolása .
A 10. szabály szerint elkészítjük a függvény grafikonját.
Megszerkesztjük a függvény grafikonját a 9. szabály szerint.
Példák. Szerkesszünk függvénygráfokat és .
1. Készítse el a függvény grafikonját (3.28. ábra)
A grafikon negatív része az OX tengelyről tükröződik. A grafikon a ábrán látható. 3.30.
2 0 2 x -1 0 1 x
Rizs. 3.30 Fig. 3.31
2. Megszerkesztjük a függvény grafikonját (3.29. ábra).
A gráf negatív részét az OX tengelyről tükrözzük. A grafikon a ábrán látható. 3.31.
A modulusjeleket tartalmazó függvény grafikonjának ábrázolásakor nagyon fontos ismerni a függvény konstans előjelének intervallumait. Ezért az egyes problémák megoldását ezen intervallumok meghatározásával kell kezdeni.
Példa. Szerkessze meg a függvény grafikonját.
A meghatározás hatálya. Az x+1 és x-1 kifejezések az x=-1 és x=1 pontokban változtatják az előjelüket. Ezért a definíciós tartományt négy intervallumra osztjuk:
Figyelembe véve az x+1 és x-1 jeleket, megvan
Így a függvény modulusjelek nélkül a következőképpen írható fel:
A függvények hiperboláknak, az y=2 függvény pedig egy egyenesnek felel meg. A további építkezés pontonként végezhető el (3.32. ábra).
| x | -4 | -2 | -1 | - | ||||
| y |
4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x
Megjegyzés. Vegye figyelembe, hogy ha x=0, a függvény nincs definiálva. Állítólag a funkció ezen a ponton megszakad. ábrán. 3.32 ezt nyilakkal jelöljük.
3. feladat. Több analitikai kifejezéssel meghatározott függvény grafikonjának ábrázolása.
Az előző példában a függvényt több analitikus kifejezéssel ábrázoltuk. Tehát az intervallumban a hiperbola törvénye szerint változik; az intervallumban, kivéve x=0, lineáris függvény; intervallumban ismét van egy hiperbolánk. Hasonló funkciókkal a jövőben gyakran találkozunk majd. Nézzünk egy egyszerű példát.
A vonatút az A állomástól a B állomásig három szakaszból áll. Az első szakaszban felveszi a sebességet, vagyis az intervallumban sebessége , ahol . A második szakaszban állandó sebességgel mozog, vagyis v=c, ha . Végül fékezéskor a sebessége . Így az intervallumban a mozgás sebessége a törvény szerint változik
Ábrázoljuk ezt a függvényt, feltételezve, hogy a 1 =2, c=2, b=6, a 2 =1 (3.33. ábra).
0 1 2 3 4 5 6 x 0 π/2 π x
Rizs. 3.33 ábra. 3.34
Ebben a példában a v sebesség folyamatosan változik. Általában azonban a folyamat bonyolultabb lehet. Igen, a funkció
bonyolultabb gráfja van (3.34. ábra), amely egy ponton felbomlik.
Így ha a függvény adott
akkor meg kell építeni az y=f(x) függvény grafikonját az intervallumban és a függvény grafikonját az intervallumban. Két ilyen egyenes kombinációja adja az adott függvény grafikonját.
4. feladat. Paraméteresen megadott görbék felépítése.
Az L görbe definícióját parametrikusan az jellemzi, hogy az egyes pontok x, y koordinátáit valamilyen t paraméter függvényében adjuk meg:
Ebben az esetben a t paraméter lehet idő, elforgatási szög stb.
Az L görbe paraméteres megadását olyan esetekben alkalmazzuk, amikor nehéz, vagy akár lehetetlen y-t explicit módon az x argumentum függvényében kifejezni, azaz y=f(x). Mondjunk néhány példát.
1. példa A derékszögű lap egy L görbe, amelynek egyenlete .
Tegyük ide, akkor vagy , azaz . Tehát a Descartes-lap parametrikus egyenletei a következő alakúak: , , ahol .
A görbe a ábrán látható. 3.35. Van egy y=-a-x aszimptotája.
Ebben a cikkben röviden összefoglaljuk azokat az információkat, amelyek egy olyan fontos matematikai fogalomra vonatkoznak, mint a függvény. Megbeszéljük, mi az numerikus függvényés mit tudnia kell és tudnia kell kutatni.
Mi történt numerikus függvény? Legyen két numerikus halmazunk: X és Y, és ezek között van egy bizonyos kapcsolat. Vagyis az X halmazból egy bizonyos szabály szerint minden x elem hozzá van rendelve egyetlen elem y az Y halmazból.
Fontos, hogy Az X halmaz minden x eleme egy és csak egy y elemnek felel meg az Y halmazból. 
Azt a szabályt, amellyel az X halmaz minden elemét az Y halmaz egyetlen eleméhez társítjuk, numerikus függvénynek nevezzük.
Az X halmazt hívjuk a függvény meghatározásának tartománya.
Az Y halmazt nevezzük függvényértékek halmaza.
Egyenlőséget hívnak függvényegyenlet. Ebben az egyenletben - független változó vagy függvény argumentum. - függő változó.
Ha vesszük az összes párt és hozzárendeljük a megfelelő pontokat a koordinátasíkon, akkor azt kapjuk függvénygrafikon. A függvénygráf az X és Y halmazok közötti kapcsolat grafikus ábrázolása.
Funkció tulajdonságai a függvény grafikonját megnézve, és fordítva, megvizsgálva határozhatjuk meg megrajzolhatjuk.
A függvények alapvető tulajdonságai.
1. A függvény tartománya.
A D(y) függvény tartománya az x argumentum összes megengedett értékének halmaza (független x változó), amelyre a függvényegyenlet jobb oldalán lévő kifejezésnek van értelme. Más szóval, ezek kifejezések.
To A függvény grafikonja segítségével keresse meg a definíciós tartományát, n már, költözni balról jobbra az OX tengely mentén, írja le az összes olyan x érték intervallumot, amelyen a függvénygrafikon létezik.
2. Függvényértékek halmaza.
Az E(y) függvény értékkészlete az összes érték halmaza, amelyet az y függő változó felvehet.
To a függvény grafikonja szerint az értékkészlet megtalálásához alulról felfelé kell haladnia az OY tengely mentén, és fel kell írnia az y értékek összes intervallumát, amelyen a függvénygrafikon létezik.
3. Funkció nullák.
Funkció nullák - Ezek az x argumentum azon értékei, amelyeknél az (y) függvény értéke nulla.
Egy függvény nulláinak megtalálásához meg kell oldani az egyenletet. Ennek az egyenletnek a gyökerei a függvény nullái lesznek.
Ahhoz, hogy egy függvény nulláit a grafikonjáról megtaláljuk, meg kell találnunk a gráf metszéspontjait az OX tengellyel. A metszéspontok abszcisszán a függvény nullái lesznek.
4. Egy függvény állandó előjelének intervallumai.
Egy függvény konstans előjelének intervallumai az argumentumértékek azon intervallumai, amelyeken át a függvény megtartja előjelét, azaz vagy.
Megtalálni , meg kell oldania az egyenlőtlenségeket és.
Megtalálni függvény állandó előjelének intervallumaiütemezése szerint szükséges
5. Egy függvény monotonitásának intervallumai.
Egy függvény monotonitási intervallumai az x argumentum azon értékintervallumai, amelyeknél a függvény növekszik vagy csökken.
Azt mondjuk, hogy egy függvény növekszik az I intervallumon, ha az argumentum I intervallumhoz tartozó két értékére úgy, hogy a következő összefüggés teljesül: 
.
Más szóval, egy függvény az I intervallumon növekszik, ha ebből az intervallumból az argumentum nagyobb értéke felel meg a függvény nagyobb értékének.
A függvény grafikonjából a növekvő függvény intervallumainak meghatározásához balról jobbra kell mozognia a függvény grafikonjának vonala mentén, hogy kiemelje az x argumentum értékeinek intervallumait, amelyekre a grafikon megy. fel.
Azt mondjuk, hogy egy függvény az I intervallumon csökken, ha az argumentum I intervallumhoz tartozó bármely két értékére úgy, hogy a következő összefüggés teljesül: 
.
Más szóval, egy függvény az I intervallumon csökken, ha ebből az intervallumból az argumentum nagyobb értéke a függvény kisebb értékének felel meg.
A csökkenő függvény intervallumainak meghatározásához egy függvény grafikonjából, balról jobbra kell mozognia a függvény grafikonjának vonala mentén, hogy kiemelje az x argumentum értékeinek intervallumait, amelyeknél a grafikon lemegy.
6. A függvény maximum- és minimumpontja.
Egy pontot akkor nevezünk egy függvény maximumpontjának, ha van a pontnak olyan I környéke, hogy ebből a szomszédságból bármely x pontra teljesül a reláció:
.
Grafikusan ez azt jelenti, hogy az x_0 abszcisszával rendelkező pont az y=f(x) függvény gráfjának I szomszédságából származó többi pont felett helyezkedik el.
Egy pontot akkor nevezünk egy függvény minimumpontjának, ha van a pontnak olyan I környéke, hogy ebből a szomszédságból bármely x pontra teljesül a reláció:
Grafikusan ez azt jelenti, hogy az abszcisszájú pont a függvény I grafikonjának szomszédságában lévő többi pont alatt van.
Egy függvény maximum és minimum pontját általában úgy találjuk meg, hogy a függvényt deriváltja segítségével vizsgáljuk.
7. Páros (páratlan) függvény.
Egy függvény akkor is meghívásra kerül, ha két feltétel teljesül:
Más szóval, A páros függvény definíciós tartománya szimmetrikus az origóra.
b) A függvény definíciós tartományába tartozó x argumentum bármely értékére az összefüggés teljesül 
.
Egy függvényt páratlannak nevezünk, ha két feltétel teljesül:
a) A függvény tartományába tartozó argumentum bármely értékére a függvény tartományába is tartozik.
Ez az oktatási anyag csak referenciaként szolgál, és számos témakörhöz kapcsolódik. A cikk áttekintést nyújt az alapvető elemi függvények grafikonjairól, és megvizsgálja a legfontosabb kérdést - hogyan készítsünk grafikont helyesen és GYORSAN. A felsőbb matematika tanulmányozása során az alapvető elemi függvények grafikonjainak ismerete nélkül nehéz lesz, ezért nagyon fontos megjegyezni, hogyan néznek ki egy parabola, hiperbola, szinusz, koszinusz stb. grafikonjai, és emlékezzünk néhányra. a függvények jelentéséről. Szó lesz a fő funkciók néhány tulajdonságáról is.
Nem állítom az anyagok teljességét és tudományos alaposságát, elsősorban a gyakorlatra helyezem a hangsúlyt - azokra a dolgokra, amelyekkel szó szerint minden lépésnél találkozunk, a felsőbb matematika bármely témájában. Táblázatok a bábokhoz? Mondhatná valaki.
Számos olvasói kérésnek köszönhetően kattintható tartalomjegyzék:
Ezen kívül van egy ultrarövid szinopszis is a témában
– sajátíts el 16 féle diagramot HAT oldal tanulmányozásával!
Komolyan, hat, még én is meglepődtem. Ez az összefoglaló továbbfejlesztett grafikát tartalmaz, és névleges díj ellenében megtekinthető a demóverzió. Kényelmes a fájl kinyomtatása, hogy a grafikonok mindig kéznél legyenek. Köszönjük a projekt támogatását!
És mindjárt kezdjük is:
Hogyan készítsünk helyesen koordinátatengelyeket?
A gyakorlatban a teszteket a tanulók szinte mindig külön füzetben, négyzetbe sorakozva töltik ki. Miért van szükség kockás jelölésekre? Végül is a munka elvileg A4-es lapokon is elvégezhető. És a ketrec csak a rajzok kiváló minőségű és pontos tervezéséhez szükséges.
A függvénygráf bármely rajza koordinátatengelyekkel kezdődik.
A rajzok lehetnek kétdimenziósak vagy háromdimenziósak.
Nézzük először a kétdimenziós esetet Derékszögű derékszögű koordinátarendszer:
1) Rajzolj koordinátatengelyeket. A tengelyt ún x tengely , és a tengely az y tengely . Mindig megpróbáljuk lerajzolni őket ügyes és nem görbe. A nyilak sem hasonlíthatnak Carlo papa szakállára.
2) A tengelyeket nagy „X” és „Y” betűkkel írjuk alá. Ne felejtse el felcímkézni a tengelyeket.
3) Állítsa be a skálát a tengelyek mentén: rajzolj egy nullát és két egyest. Rajzkészítésnél a legkényelmesebb és leggyakrabban használt lépték: 1 egység = 2 cella (bal oldali rajz) - ha lehetséges, ragaszkodjon hozzá. Időnként azonban előfordul, hogy a rajz nem fér fel a füzetlapra - ekkor csökkentjük a léptéket: 1 egység = 1 cella (jobb oldali rajz). Ritka, de előfordul, hogy a rajz léptékét még jobban csökkenteni (vagy növelni) kell
NINCS SZÜKSÉGES „géppisztolyra” …-5, -4, -3, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, …. A koordinátasík ugyanis nem Descartes emlékműve, és a diák sem galamb. Feltesszük nullaÉs két egység a tengelyek mentén. Néha helyett egységek, kényelmes más értékeket „megjelölni”, például „kettőt” az abszcissza tengelyen és „hármat” az ordináta tengelyen - és ez a rendszer (0, 2 és 3) egyedileg határozza meg a koordináta-rácsot is.
Jobb, ha a rajz becsült méreteit becsüljük meg a rajz elkészítése ELŐTT. Így például, ha a feladathoz olyan háromszöget kell rajzolni, amelynek csúcsai , , , akkor teljesen egyértelmű, hogy a népszerű 1 egység = 2 cella skála nem fog működni. Miért? Nézzük a lényeget - itt tizenöt centimétert kell lefelé mérnie, és nyilvánvalóan a rajz nem fog (vagy alig fér el) egy notebook lapon. Ezért azonnal kisebb léptéket választunk: 1 egység = 1 cella.
Apropó, centiméterekről és notebook cellákról. Igaz, hogy 30 notebook cella 15 centimétert tartalmaz? A szórakozás kedvéért vonalzóval mérj le 15 centimétert a füzetedben. A Szovjetunióban ez igaz lehetett... Érdekes megjegyezni, hogy ha ezeket a centimétereket vízszintesen és függőlegesen méred, akkor az eredmény (a cellákban) más lesz! Szigorúan véve a modern notebookok nem kockásak, hanem téglalap alakúak. Ez hülyeségnek tűnhet, de például egy kört rajzolni egy iránytűvel ilyen helyzetekben nagyon kényelmetlen. Őszintén szólva, ilyen pillanatokban az ember elkezd gondolkodni Sztálin elvtárs helyességén, akit gyártási munkák miatt táborokba küldtek, nem is beszélve a hazai autóiparról, a zuhanó repülőgépekről vagy a felrobbanó erőművekről.
Ha már a minőségről beszélünk, vagy egy rövid ajánlás az írószerekkel kapcsolatban. Ma a legtöbb eladó notebook enyhén szólva is teljes baromság. Azért, mert beáznak, és nem csak zselés tolltól, hanem golyóstollal is! Pénzt takarítanak meg papíron. A tesztek elvégzéséhez azt javaslom, hogy az Arhangelszki Pép- és Papírgyár notebookjait (18 lap, négyzet alakú) vagy „Pyaterochka” használják, bár drágábbak. Célszerű zselés tollat választani, még a legolcsóbb kínai zselés utántöltő is sokkal jobb, mint a golyóstoll, ami vagy elkenődik, vagy elszakítja a papírt. Az egyetlen „versenyképes” golyóstoll, amire emlékszem, az Erich Krause. Világosan, szépen és következetesen ír – akár teli maggal, akár csaknem üresen.
Továbbá: A téglalap alakú koordinátarendszer látásmódja az analitikus geometria szemével a cikkben A vektorok lineáris (nem) függése. A vektorok alapja, a koordinátanegyedekről részletes információ a lecke második bekezdésében található Lineáris egyenlőtlenségek.
3D tok
Itt is majdnem ugyanaz.
1) Rajzolj koordinátatengelyeket. Standard: tengelyt alkalmazni – felfelé, tengely – jobbra, tengely – lefelé balra irányított szigorúan 45 fokos szögben.
2) Jelölje fel a tengelyeket.
3) Állítsa be a skálát a tengelyek mentén. A tengely menti skála kétszer kisebb, mint a többi tengely mentén. Vegye figyelembe azt is, hogy a jobb oldali rajzon nem szabványos "bevágást" használtam a tengely mentén (erről a lehetőségről fentebb már volt szó). Az én szempontomból ez pontosabb, gyorsabb és esztétikusabb - nem kell mikroszkóp alatt keresni a cella közepét, és a koordináták origójához közeli egységet „faragni”.
3D rajz készítésekor ismételten adjon elsőbbséget a méretaránynak
1 egység = 2 cella (bal oldali rajz).
Mire szolgálnak ezek a szabályok? A szabályok azért születtek, hogy megszegjék. Most ezt fogom tenni. A helyzet az, hogy a cikk későbbi rajzait én készítem el Excelben, és a koordináta tengelyei a helyes tervezés szempontjából helytelennek tűnnek. Az összes grafikont meg tudtam rajzolni kézzel, de valójában félelmetes megrajzolni őket, mivel az Excel nem szívesen rajzolja meg őket sokkal pontosabban.
Az elemi függvények grafikonjai és alapvető tulajdonságai
Egy lineáris függvényt az egyenlet ad meg. A lineáris függvények grafikonja az közvetlen. Egy egyenes felépítéséhez elegendő két pontot ismerni.
1. példa
Szerkessze meg a függvény grafikonját. Keressünk két pontot. Előnyös a nullát választani a pontok közül.
Ha , akkor
Vegyünk egy másik pontot, például 1.
Ha , akkor
A feladatok elvégzésekor a pontok koordinátáit általában táblázatban foglaljuk össze:
Magukat az értékeket pedig szóban vagy vázlaton, számológépen számítják ki.
Két pontot találtunk, készítsük el a rajzot:
A rajz elkészítésekor mindig aláírjuk a grafikát.
Hasznos lenne felidézni egy lineáris függvény speciális eseteit:
Figyeld meg, hogyan helyeztem el az aláírásokat, az aláírások nem engedhetnek eltéréseket a rajz tanulmányozása során. Ebben az esetben rendkívül nem volt kívánatos, hogy a vonalak metszéspontja mellé, vagy a jobb alsó sarokban a grafikonok közé aláírást helyezzenek el.
1) A () alakú lineáris függvényt egyenes arányosságnak nevezzük. Például, . Az egyenes arányossági gráf mindig az origón halad át. Így az egyenes építése leegyszerűsödik - elég csak egy pontot találni.
2) Egy ilyen alakú egyenlet a tengellyel párhuzamos egyenest határoz meg, különösen magát a tengelyt adja meg az egyenlet. A függvény grafikonja azonnal, pont keresése nélkül készül. Vagyis a bejegyzést a következőképpen kell érteni: „az y mindig egyenlő –4-gyel, bármely x érték esetén.”
3) Egy ilyen alakú egyenlet a tengellyel párhuzamos egyenest határoz meg, különösen magát a tengelyt adja meg az egyenlet. A függvény grafikonját is azonnal ábrázoljuk. A bejegyzést a következőképpen kell érteni: „x mindig 1-gyel egyenlő y bármely értéke esetén.”
Egyesek azt kérdezik, miért emlékeznek a 6. osztályra?! Ez így van, lehet, hogy így van, de a gyakorlati évek során jó tucat diákkal találkoztam, akik értetlenül álltak a feladat előtt, hogy olyan gráfot készítsenek, mint pl.
A rajzok készítésekor az egyenes vonal felépítése a leggyakoribb művelet.
Az egyenest az analitikus geometria során részletesen tárgyaljuk, az érdeklődők a cikkre hivatkozhatnak Egy síkon lévő egyenes egyenlete.
Másodfokú, köbfüggvény grafikonja, polinom gráfja
Parabola. Másodfokú függvény grafikonja 
() egy parabola. Tekintsük a híres esetet:
Emlékezzünk vissza a függvény néhány tulajdonságára.
Tehát az egyenletünk megoldása: – ezen a ponton található a parabola csúcsa. Hogy miért van ez így, azt a deriváltról szóló elméleti cikkből és a függvény szélsőségeiről szóló leckéből olvashatjuk. Addig is számítsuk ki a megfelelő „Y” értéket:
Így a csúcs a pontban van
Most más pontokat találunk, miközben pimaszul a parabola szimmetriáját használjuk. Meg kell jegyezni, hogy a funkció 
– nem egyenletes, de ennek ellenére senki sem törölte a parabola szimmetriáját.
Azt hiszem, a döntő táblázatból kiderül, hogy milyen sorrendben találjuk meg a maradék pontokat:
Ezt az építési algoritmust átvitt értelemben nevezhetjük „shuttle”-nek vagy „oda-vissza” elvnek Anfisa Chekhova-val.
Készítsük el a rajzot:
A vizsgált grafikonokból egy másik hasznos funkció is eszembe jut:
Másodfokú függvényhez 
() a következő igaz:
Ha , akkor a parabola ágai felfelé irányulnak.
Ha , akkor a parabola ágai lefelé irányulnak.
A görbével kapcsolatos alapos ismeretek a Hiperbola és parabola leckében szerezhetők be.
A függvény egy köbös parabolát ad meg. Íme egy iskolából ismerős rajz:
Soroljuk fel a függvény főbb tulajdonságait
Egy függvény grafikonja
A parabola egyik ágát képviseli. Készítsük el a rajzot:
A funkció főbb tulajdonságai:
Ebben az esetben a tengely az függőleges aszimptota helyen lévő hiperbola gráfjához.
NAGY hiba lenne, ha egy rajz elkészítésekor hanyagul megengedné, hogy a gráf metszen egy aszimptotát.
Az egyoldalú határértékek is azt mondják, hogy a hiperbola felülről nem korlátozvaÉs alulról nem korlátozott.
Vizsgáljuk meg a függvényt a végtelenben: , azaz ha elkezdünk a tengely mentén balra (vagy jobbra) a végtelenbe haladni, akkor a „játékok” rendezett lépésben lesznek végtelenül közel nullához közelít, és ennek megfelelően a hiperbola ágai végtelenül közel közelítse meg a tengelyt.
Tehát a tengely az vízszintes aszimptota egy függvény grafikonjára, ha „x” a plusz vagy mínusz végtelen felé hajlik.
A funkció az páratlan, és ezért a hiperbola szimmetrikus az origóra. Ez a tény nyilvánvaló a rajzból, ráadásul analitikusan is könnyen ellenőrizhető: 
.
A () alakú függvény grafikonja a hiperbola két ágát ábrázolja.
Ha , akkor a hiperbola az első és a harmadik koordinátanegyedben található(lásd a fenti képet).
Ha , akkor a hiperbola a második és a negyedik koordinátanegyedben található.
A hiperbola-rezidencia jelzett mintája könnyen elemezhető a gráfok geometriai transzformációi szempontjából.
3. példa
Szerkessze meg a hiperbola jobb oldali ágát!
Pontos szerkesztési módszert alkalmazunk, és célszerű úgy kiválasztani az értékeket, hogy azok egy egésszel oszthatók legyenek:
Készítsük el a rajzot:
Nem lesz nehéz megszerkeszteni a hiperbola bal ágát, a függvény páratlansága segít. Nagyjából elmondható, hogy a pontszerű felépítés táblázatában minden számhoz gondolatban hozzáadunk egy mínuszt, feltesszük a megfelelő pontokat, és megrajzoljuk a második ágat.
A vizsgált vonalról részletes geometriai információk találhatók a Hiperbola és parabola cikkben.
Egy exponenciális függvény grafikonja
Ebben a részben mindjárt az exponenciális függvényre térek ki, hiszen a felsőbb matematikai feladatokban az esetek 95%-ában az exponenciális jelenik meg.
Hadd emlékeztesselek arra, hogy ez egy irracionális szám: , ez szükséges lesz egy gráf összeállításánál, amit valójában ceremónia nélkül fogok megépíteni. Három pont valószínűleg elég:
A függvény grafikonját egyelőre hagyjuk békén, erről majd később.
A funkció főbb tulajdonságai:
A függvénygrafikonok stb. alapvetően ugyanúgy néznek ki.
Azt kell mondanom, hogy a második eset ritkábban fordul elő a gyakorlatban, de előfordul, ezért szükségesnek tartottam, hogy ebbe a cikkbe belefoglaljam.
Egy logaritmikus függvény grafikonja
Tekintsünk egy természetes logaritmusú függvényt.
Készítsünk egy pontonkénti rajzot:
Ha elfelejtette, mi az a logaritmus, olvassa el iskolai tankönyveit.
A funkció főbb tulajdonságai:
A meghatározás tartománya: 
Értéktartomány: .
A funkció felülről nincs korlátozva: 
, ha lassan is, de a logaritmus ága felmegy a végtelenbe.
Vizsgáljuk meg a jobb oldali nullához közeli függvény viselkedését: 
. Tehát a tengely az függőleges aszimptota
mert egy függvény grafikonja „x”-ként jobbról nullára hajlik.
Feltétlenül ismerni és emlékezni kell a logaritmus tipikus értékére: .
Elvileg a bázishoz viszonyított logaritmus grafikonja ugyanúgy néz ki: , , (tizedes logaritmus 10-hez) stb. Ráadásul minél nagyobb az alap, annál laposabb lesz a grafikon.
Nem foglalkozunk az esettel, nem emlékszem, mikor építettem utoljára ilyen alapon grafikont. És úgy tűnik, hogy a logaritmus nagyon ritka vendég a magasabb matematikai feladatokban.
A bekezdés végén elmondok még egy tényt: Exponenciális függvény és logaritmikus függvény– ez két kölcsönösen inverz függvény. Ha alaposan megnézi a logaritmus grafikonját, láthatja, hogy ez ugyanaz a kitevő, csak egy kicsit másképp helyezkedik el.
Trigonometrikus függvények grafikonjai
Hol kezdődik a trigonometrikus gyötrelem az iskolában? Jobbra. Szinuszból
Ábrázoljuk a függvényt
Ezt a vonalat hívják szinuszos.
Hadd emlékeztesselek arra, hogy a „pi” egy irracionális szám: , és a trigonometriában elkápráztatja a szemét.
A funkció főbb tulajdonságai:
Ez a funkció az időszakos időszakkal. Mit jelent ez? Nézzük a szegmenst. Tőle balra és jobbra a grafikon pontosan ugyanaz a darabja ismétlődik a végtelenségig.
A meghatározás tartománya: , azaz bármely „x” értékhez van szinuszérték.
Értéktartomány: . A funkció az korlátozott: , vagyis az összes „játékos” szigorúan a szegmensben ül.
Ez nem történik meg: pontosabban megtörténik, de ezeknek az egyenleteknek nincs megoldásuk.
