Γενικός τύπος για τις ρίζες μιας τετραγωνικής εξίσωσης. Τετραγωνικές εξισώσεις

Πρώτο επίπεδο

Τετραγωνικές εξισώσεις. Ολοκληρωμένος οδηγός (2019)

Στον όρο "τετραγωνική εξίσωση" η λέξη κλειδί είναι "τετραγωνική". Αυτό σημαίνει ότι η εξίσωση πρέπει να έχει μια μεταβλητή (το ίδιο x) στο τετράγωνο και δεν πρέπει να υπάρχει x στον τρίτο (ή μεγαλύτερο) βαθμό.

Η λύση πολλών εξισώσεων ανάγεται στην ακριβή επίλυση τετραγωνικές εξισώσεις.

Ας μάθουμε να προσδιορίζουμε ότι έχουμε μια τετραγωνική εξίσωση, και όχι κάποια άλλη.

Παράδειγμα 1.

Ας απαλλαγούμε από τον παρονομαστή και ας πολλαπλασιάσουμε κάθε όρο της εξίσωσης με

Μετακινήστε τα πάντα προς τα αριστερά και τακτοποιήστε τους όρους σε φθίνουσα σειρά των βαθμών x

Τώρα μπορούμε να πούμε με βεβαιότητα ότι αυτή η εξίσωση είναι τετραγωνική!

Παράδειγμα 2.

Ας πολλαπλασιάσουμε την αριστερή και τη δεξιά πλευρά με:

Αυτή η εξίσωση, αν και ήταν αρχικά σε αυτήν, δεν είναι τετράγωνο!

Παράδειγμα 3.

Ας πολλαπλασιάσουμε τα πάντα με:

Με φόβο; Τέταρτος και δεύτερος βαθμός ... Ωστόσο, αν κάνουμε μια αντικατάσταση, τότε θα δούμε ότι έχουμε μια απλή τετραγωνική εξίσωση:

Παράδειγμα 4.

Φαίνεται να υπάρχει, αλλά ας ρίξουμε μια πιο προσεκτική ματιά. Ας μετακινήσουμε τα πάντα στην αριστερή πλευρά:

Βλέπετε, έχει συρρικνωθεί - και τώρα είναι μια απλή γραμμική εξίσωση!

Τώρα προσπαθήστε να προσδιορίσετε μόνοι σας ποιες από τις παρακάτω εξισώσεις είναι τετραγωνικές και ποιες όχι:

Παραδείγματα:

Απαντήσεις:

1. τετράγωνο;
2. τετράγωνο;
3. όχι τετράγωνο?
4. όχι τετράγωνο?
5. όχι τετράγωνο?
6. τετράγωνο;
7. όχι τετράγωνο?
8. τετράγωνο.

Οι μαθηματικοί διαιρούν υπό όρους όλες τις δευτεροβάθμιες εξισώσεις στην ακόλουθη μορφή:

• Πλήρεις τετραγωνικές εξισώσεις- εξισώσεις στις οποίες οι συντελεστές και, καθώς και ο ελεύθερος όρος c δεν είναι ίσοι με μηδέν (όπως στο παράδειγμα). Επιπλέον, μεταξύ των πλήρων τετραγωνικών εξισώσεων, υπάρχουν δεδομένος- αυτές είναι εξισώσεις στις οποίες ο συντελεστής (η εξίσωση από το πρώτο παράδειγμα δεν είναι μόνο πλήρης, αλλά και μειωμένη!)

• Ημιτελείς τετραγωνικές εξισώσεις- εξισώσεις στις οποίες ο συντελεστής και ή ο ελεύθερος όρος c είναι ίσοι με μηδέν:

  Είναι ελλιπείς γιατί τους λείπει κάποιο στοιχείο. Αλλά η εξίσωση πρέπει να έχει πάντα x τετράγωνο !!! Διαφορετικά, δεν θα είναι πλέον τετράγωνο, αλλά κάποια άλλη εξίσωση.

Γιατί καταλήξατε σε μια τέτοια διαίρεση; Φαίνεται ότι υπάρχει ένα Χ στο τετράγωνο, και εντάξει. Αυτή η διαίρεση οφείλεται στις μεθόδους λύσης. Ας εξετάσουμε το καθένα από αυτά με περισσότερες λεπτομέρειες.

Επίλυση ημιτελών τετραγωνικών εξισώσεων

Αρχικά, ας επικεντρωθούμε στην επίλυση ημιτελών τετραγωνικών εξισώσεων - είναι πολύ πιο εύκολες!

Οι ημιτελείς τετραγωνικές εξισώσεις είναι των ακόλουθων τύπων:

1. , σε αυτή την εξίσωση ο συντελεστής είναι.
2. , σε αυτή την εξίσωση ο ελεύθερος όρος είναι ίσος με.
3. , στην εξίσωση αυτή ο συντελεστής και η τομή είναι ίσα.

1.και. Επειδή ξέρουμε πώς να παίρνουμε την τετραγωνική ρίζα, ας εκφράσουμε από αυτήν την εξίσωση

Η έκφραση μπορεί να είναι είτε αρνητική είτε θετική. Ο αριθμός στο τετράγωνο δεν μπορεί να είναι αρνητικός, γιατί κατά τον πολλαπλασιασμό δύο αρνητικών ή δύο θετικών αριθμών, το αποτέλεσμα θα είναι πάντα θετικός αριθμός, οπότε: αν, τότε η εξίσωση δεν έχει λύσεις.

Και αν, τότε έχουμε δύο ρίζες. Αυτοί οι τύποι δεν χρειάζεται να απομνημονεύονται. Το κύριο πράγμα είναι ότι πρέπει να γνωρίζετε και να θυμάστε πάντα ότι δεν μπορεί να υπάρχουν λιγότερα.

Ας προσπαθήσουμε να λύσουμε μερικά παραδείγματα.

Παράδειγμα 5:

Λύστε την εξίσωση

Τώρα μένει να εξαγάγετε τη ρίζα από την αριστερή και τη δεξιά πλευρά. Θυμάστε πώς να εξαγάγετε ρίζες;

Απάντηση:

Μην ξεχνάτε ποτέ τις αρνητικές ρίζες!!!

Παράδειγμα 6:

Λύστε την εξίσωση

Απάντηση:

Παράδειγμα 7:

Λύστε την εξίσωση

Ωχ! Το τετράγωνο ενός αριθμού δεν μπορεί να είναι αρνητικό, πράγμα που σημαίνει ότι η εξίσωση

χωρίς ρίζες!

Για τέτοιες εξισώσεις που δεν έχουν ρίζες, οι μαθηματικοί έχουν βρει ένα ειδικό εικονίδιο - (κενό σύνολο). Και η απάντηση μπορεί να γραφτεί ως εξής:

Απάντηση:

Έτσι, αυτή η τετραγωνική εξίσωση έχει δύο ρίζες. Δεν υπάρχουν περιορισμοί εδώ, αφού δεν εξάγαμε τη ρίζα.
Παράδειγμα 8:

Λύστε την εξίσωση

Ας πάρουμε τον κοινό παράγοντα από τις παρενθέσεις:

Ετσι,

Αυτή η εξίσωση έχει δύο ρίζες.

Απάντηση:

Ο απλούστερος τύπος ημιτελών τετραγωνικών εξισώσεων (αν και είναι όλες απλές, σωστά;). Προφανώς, αυτή η εξίσωση έχει πάντα μόνο μία ρίζα:

Εδώ θα κάνουμε χωρίς παραδείγματα.

Επίλυση πλήρων τετραγωνικών εξισώσεων

Υπενθυμίζουμε ότι μια πλήρης τετραγωνική εξίσωση είναι μια εξίσωση της εξίσωσης μορφής όπου

Η επίλυση πλήρων τετραγωνικών εξισώσεων είναι λίγο πιο δύσκολη (λίγο μόνο) από αυτές που δίνονται.

Θυμάμαι, οποιαδήποτε δευτεροβάθμια εξίσωση μπορεί να λυθεί χρησιμοποιώντας τη διάκριση! Έστω και ημιτελής.

Οι υπόλοιπες μέθοδοι θα σας βοηθήσουν να το κάνετε αυτό πιο γρήγορα, αλλά αν έχετε προβλήματα με τις δευτεροβάθμιες εξισώσεις, μάθετε πρώτα τη λύση χρησιμοποιώντας τη διάκριση.

1. Επίλυση δευτεροβάθμιων εξισώσεων χρησιμοποιώντας τη διάκριση.

Η επίλυση τετραγωνικών εξισώσεων με αυτόν τον τρόπο είναι πολύ απλή, το κύριο πράγμα είναι να θυμόμαστε την ακολουθία ενεργειών και μερικούς τύπους.

Αν, τότε η εξίσωση έχει ρίζα. Ιδιαίτερη προσοχήΚάνε ένα βήμα. Το διακριτικό () μας δείχνει τον αριθμό των ριζών της εξίσωσης.

• Εάν, τότε ο τύπος στο βήμα θα μειωθεί σε. Έτσι, η εξίσωση θα έχει ολόκληρη τη ρίζα.
• Εάν, τότε δεν θα μπορέσουμε να εξαγάγουμε τη ρίζα από το διακριτικό στο βήμα. Αυτό δείχνει ότι η εξίσωση δεν έχει ρίζες.

Ας επιστρέψουμε στις εξισώσεις μας και ας δούμε μερικά παραδείγματα.

Παράδειγμα 9:

Λύστε την εξίσωση

Βήμα 1παραλείπω.

Βήμα 2.

Βρίσκουμε τη διάκριση:

Άρα η εξίσωση έχει δύο ρίζες.

Βήμα 3.

Απάντηση:

Παράδειγμα 10:

Λύστε την εξίσωση

Επομένως, η εξίσωση παρουσιάζεται στην τυπική μορφή Βήμα 1παραλείπω.

Βήμα 2.

Βρίσκουμε τη διάκριση:

Άρα η εξίσωση έχει μία ρίζα.

Απάντηση:

Παράδειγμα 11:

Λύστε την εξίσωση

Επομένως, η εξίσωση παρουσιάζεται στην τυπική μορφή Βήμα 1παραλείπω.

Βήμα 2.

Βρίσκουμε τη διάκριση:

Επομένως, δεν θα μπορέσουμε να εξαγάγουμε τη ρίζα από το διακριτικό. Δεν υπάρχουν ρίζες της εξίσωσης.

Τώρα ξέρουμε πώς να γράφουμε σωστά τέτοιες απαντήσεις.

Απάντηση:Χωρίς ρίζες

2. Επίλυση τετραγωνικών εξισώσεων χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Vieta.

Αν θυμάστε, υπάρχει ένας τύπος εξισώσεων που ονομάζονται μειωμένες (όταν ο συντελεστής α είναι ίσος):

Τέτοιες εξισώσεις είναι πολύ εύκολο να λυθούν χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Vieta:

Άθροισμα ριζών δεδομένοςη τετραγωνική εξίσωση είναι ίση και το γινόμενο των ριζών είναι ίσο με.

Παράδειγμα 12:

Λύστε την εξίσωση

Αυτή η εξίσωση είναι κατάλληλη για επίλυση χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Vieta, αφού ...

Το άθροισμα των ριζών της εξίσωσης είναι, δηλ. παίρνουμε την πρώτη εξίσωση:

Και το προϊόν ισούται με:

Ας συνθέσουμε και λύσουμε το σύστημα:

• και. Το ποσό είναι ίσο.
• και. Το ποσό είναι ίσο.
• και. Το ποσό είναι ίσο.

και είναι η λύση του συστήματος:

Απάντηση: ; .

Παράδειγμα 13:

Λύστε την εξίσωση

Απάντηση:

Παράδειγμα 14:

Λύστε την εξίσωση

Η εξίσωση μειώνεται, πράγμα που σημαίνει:

Απάντηση:

ΤΕΤΑΡΧΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. ΜΕΣΟ ΕΠΙΠΕΔΟ

Τι είναι μια Τετραγωνική Εξίσωση;

Με άλλα λόγια, μια τετραγωνική εξίσωση είναι μια εξίσωση της μορφής, όπου είναι το άγνωστο, είναι μερικοί αριθμοί και.

Ο αριθμός ονομάζεται ο μεγαλύτερος ή πρώτες πιθανότητεςτετραγωνική εξίσωση, - δεύτερος συντελεστής, ένα - ελεύθερο μέλος.

Γιατί; Διότι αν, η εξίσωση θα γίνει αμέσως γραμμική, γιατί εξαφανίζομαι.

Επιπλέον, και μπορεί να είναι ίσο με το μηδέν. Σε αυτή την καρέκλα, η εξίσωση ονομάζεται ελλιπής. Αν όλοι οι όροι είναι στη θέση τους, δηλαδή, η εξίσωση είναι πλήρης.

Λύσεις σε διάφορους τύπους τετραγωνικών εξισώσεων

Μέθοδοι επίλυσης ημιτελών τετραγωνικών εξισώσεων:

Αρχικά, θα αναλύσουμε τις μεθόδους για την επίλυση ημιτελών τετραγωνικών εξισώσεων - είναι απλούστερες.

Μπορούν να διακριθούν οι ακόλουθοι τύποι εξισώσεων:

Ι., στην εξίσωση αυτή ο συντελεστής και η τομή είναι ίσα.

II. , σε αυτή την εξίσωση ο συντελεστής είναι.

III. , σε αυτή την εξίσωση ο ελεύθερος όρος είναι ίσος με.

Τώρα ας δούμε μια λύση για καθέναν από αυτούς τους υποτύπους.

Προφανώς, αυτή η εξίσωση έχει πάντα μόνο μία ρίζα:

Ένας τετράγωνος αριθμός δεν μπορεί να είναι αρνητικός, γιατί όταν πολλαπλασιάσετε δύο αρνητικούς ή δύο θετικούς αριθμούς, το αποτέλεσμα θα είναι πάντα ένας θετικός αριθμός. Να γιατί:

αν, τότε η εξίσωση δεν έχει λύσεις.

αν, έχουμε δύο ρίζες

Αυτοί οι τύποι δεν χρειάζεται να απομνημονεύονται. Το κύριο πράγμα που πρέπει να θυμάστε είναι ότι δεν μπορεί να είναι λιγότερο.

Παραδείγματα:

Λύσεις:

Απάντηση:

Μην ξεχνάτε ποτέ τις αρνητικές ρίζες!

Το τετράγωνο ενός αριθμού δεν μπορεί να είναι αρνητικό, πράγμα που σημαίνει ότι η εξίσωση

χωρίς ρίζες.

Για να καταγράψουμε εν συντομία ότι το πρόβλημα δεν έχει λύσεις, χρησιμοποιούμε το εικονίδιο κενού συνόλου.

Απάντηση:

Άρα, αυτή η εξίσωση έχει δύο ρίζες: και.

Απάντηση:

Βγάλτε τον κοινό παράγοντα από την παρένθεση:

Το προϊόν είναι ίσο με μηδέν εάν τουλάχιστον ένας από τους παράγοντες είναι ίσος με μηδέν. Αυτό σημαίνει ότι η εξίσωση έχει λύση όταν:

Έτσι, αυτή η τετραγωνική εξίσωση έχει δύο ρίζες: και.

Παράδειγμα:

Λύστε την εξίσωση.

Λύση:

Προσαρμόστε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης και βρείτε τις ρίζες:

Απάντηση:

Μέθοδοι επίλυσης πλήρων τετραγωνικών εξισώσεων:

1. Διακριτικός

Η επίλυση τετραγωνικών εξισώσεων με αυτόν τον τρόπο είναι εύκολη, το κύριο πράγμα είναι να θυμάστε την ακολουθία των ενεργειών και μερικούς τύπους. Θυμηθείτε, κάθε τετραγωνική εξίσωση μπορεί να λυθεί χρησιμοποιώντας το διακριτικό! Ακόμη και ημιτελές.

Έχετε παρατηρήσει τη ρίζα του διακριτικού στον τύπο ρίζας; Αλλά η διάκριση μπορεί να είναι αρνητική. Τι να κάνω? Είναι απαραίτητο να δώσουμε ιδιαίτερη προσοχή στο βήμα 2. Η διάκριση μας υποδεικνύει τον αριθμό των ριζών της εξίσωσης.

• Εάν, τότε η εξίσωση έχει μια ρίζα:
• Εάν, τότε η εξίσωση έχει την ίδια ρίζα, αλλά στην πραγματικότητα, μία ρίζα:

  Τέτοιες ρίζες ονομάζονται διπλές ρίζες.

• Αν, τότε δεν εξάγεται η ρίζα της διάκρισης. Αυτό δείχνει ότι η εξίσωση δεν έχει ρίζες.

Γιατί υπάρχει διαφορετικός αριθμός ριζών; Ας στραφούμε στη γεωμετρική σημασία της τετραγωνικής εξίσωσης. Το γράφημα της συνάρτησης είναι μια παραβολή:

Στην ειδική περίπτωση, που είναι μια τετραγωνική εξίσωση,. Και αυτό σημαίνει ότι οι ρίζες της τετραγωνικής εξίσωσης είναι τα σημεία τομής με τον άξονα της τετμημένης (άξονα). Η παραβολή μπορεί να μην τέμνει καθόλου τον άξονα ή να τον τέμνει σε ένα (όταν η κορυφή της παραβολής βρίσκεται στον άξονα) ή δύο σημεία.

Επιπλέον, ο συντελεστής είναι υπεύθυνος για την κατεύθυνση των κλάδων της παραβολής. Αν, τότε τα κλαδιά της παραβολής κατευθύνονται προς τα πάνω, και αν - τότε προς τα κάτω.

Παραδείγματα:

Λύσεις:

Απάντηση:

Απάντηση: .

Απάντηση:

Λύσεις λοιπόν δεν υπάρχουν.

Απάντηση: .

2. Θεώρημα Vieta

Είναι πολύ εύκολο να χρησιμοποιήσετε το θεώρημα της Vieta: απλά πρέπει να επιλέξετε ένα ζεύγος αριθμών, το γινόμενο των οποίων είναι ίσο με τον ελεύθερο όρο της εξίσωσης και το άθροισμα είναι ο δεύτερος συντελεστής, που λαμβάνεται με το αντίθετο πρόσημο.

Είναι σημαντικό να θυμόμαστε ότι το θεώρημα του Vieta μπορεί να εφαρμοστεί μόνο σε μειωμένες τετραγωνικές εξισώσεις ().

Ας δούμε μερικά παραδείγματα:

Παράδειγμα #1:

Λύστε την εξίσωση.

Λύση:

Αυτή η εξίσωση είναι κατάλληλη για επίλυση χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Vieta, αφού ... Άλλοι συντελεστές:; ...

Το άθροισμα των ριζών της εξίσωσης είναι:

Και το προϊόν ισούται με:

Ας μαζέψουμε τέτοια ζεύγη αριθμών, το γινόμενο των οποίων είναι ίσο, και ας ελέγξουμε αν το άθροισμά τους είναι ίσο:

• και. Το ποσό είναι ίσο.
• και. Το ποσό είναι ίσο.
• και. Το ποσό είναι ίσο.

και είναι η λύση του συστήματος:

Έτσι, και είναι οι ρίζες της εξίσωσής μας.

Απάντηση: ; ...

Παράδειγμα # 2:

Λύση:

Ας επιλέξουμε τέτοια ζεύγη αριθμών που δίνουν το γινόμενο και μετά ελέγχουμε αν το άθροισμά τους είναι ίσο:

και: αθροίζω.

και: αθροίζω. Για να αποκτήσετε, αρκεί απλώς να αλλάξετε τα σημάδια των υποτιθέμενων ριζών: και, τελικά, το έργο.

Απάντηση:

Παράδειγμα # 3:

Λύση:

Ο ελεύθερος όρος της εξίσωσης είναι αρνητικός, που σημαίνει ότι το γινόμενο των ριζών είναι αρνητικός αριθμός. Αυτό είναι δυνατό μόνο εάν η μία από τις ρίζες είναι αρνητική και η άλλη θετική. Επομένως, το άθροισμα των ριζών είναι διαφορά των ενοτήτων τους.

Ας επιλέξουμε τέτοια ζεύγη αριθμών που δίνουν στο προϊόν και η διαφορά των οποίων είναι ίση με:

και: η διαφορά τους είναι ίση - δεν ταιριάζει.

και: - δεν ταιριάζει.

και: - δεν ταιριάζει.

και: - ταιριάζει. Απομένει μόνο να θυμόμαστε ότι μία από τις ρίζες είναι αρνητική. Εφόσον το άθροισμά τους πρέπει να είναι ίσο, η ρίζα πρέπει να είναι αρνητική σε απόλυτη τιμή:. Ελέγχουμε:

Απάντηση:

Παράδειγμα # 4:

Λύστε την εξίσωση.

Λύση:

Η εξίσωση μειώνεται, πράγμα που σημαίνει:

Ο ελεύθερος όρος είναι αρνητικός, που σημαίνει ότι το γινόμενο των ριζών είναι αρνητικό. Και αυτό είναι δυνατό μόνο όταν η μία ρίζα της εξίσωσης είναι αρνητική και η άλλη θετική.

Ας επιλέξουμε τέτοια ζεύγη αριθμών, το γινόμενο των οποίων είναι ίσο και, στη συνέχεια, καθορίζουμε ποιες ρίζες πρέπει να έχουν αρνητικό πρόσημο:

Προφανώς, μόνο οι ρίζες και είναι κατάλληλες για την πρώτη συνθήκη:

Απάντηση:

Παράδειγμα # 5:

Λύστε την εξίσωση.

Λύση:

Η εξίσωση μειώνεται, πράγμα που σημαίνει:

Το άθροισμα των ριζών είναι αρνητικό, που σημαίνει ότι, από τουλάχιστον, μία από τις ρίζες είναι αρνητική. Αλλά επειδή το προϊόν τους είναι θετικό, τότε και οι δύο ρίζες είναι με σύμβολο μείον.

Ας επιλέξουμε τέτοια ζεύγη αριθμών, το γινόμενο των οποίων είναι ίσο με:

Προφανώς, οι αριθμοί και είναι οι ρίζες.

Απάντηση:

Συμφωνώ, είναι πολύ βολικό να βρίσκουμε ρίζες προφορικά, αντί να μετράμε αυτό το δυσάρεστο διαχωριστικό. Προσπαθήστε να χρησιμοποιείτε το θεώρημα του Vieta όσο πιο συχνά γίνεται.

Αλλά το θεώρημα του Vieta είναι απαραίτητο για να διευκολυνθεί και να επιταχυνθεί η εύρεση των ριζών. Για να το χρησιμοποιήσετε επικερδώς, πρέπει να φέρετε τις ενέργειες στον αυτοματισμό. Και για αυτό, αποφασίστε για πέντε ακόμη παραδείγματα. Αλλά μην εξαπατάτε: δεν μπορείτε να χρησιμοποιήσετε το διακριτικό! Το θεώρημα της Vieta μόνο:

Λύσεις για εργασίες για ανεξάρτητη εργασία:

Εργασία 1. ((x) ^ (2)) - 8x + 12 = 0

Με το θεώρημα του Vieta:

Ως συνήθως, ξεκινάμε την επιλογή με ένα κομμάτι:

Ακατάλληλο, αφού το ποσό?

: το ποσό είναι αυτό που χρειάζεστε.

Απάντηση: ; ...

Εργασία 2.

Και πάλι, το αγαπημένο μας θεώρημα Vieta: το άθροισμα πρέπει να λειτουργεί, αλλά το γινόμενο είναι ίσο.

Επειδή όμως δεν έπρεπε, αλλά, αλλάζουμε τα σημάδια των ριζών: και (συνολικά).

Απάντηση: ; ...

Εργασία 3.

Χμ... Πού είναι αυτό;

Είναι απαραίτητο να μεταφερθούν όλοι οι όροι σε ένα μέρος:

Το άθροισμα των ριζών είναι ίσο με το γινόμενο.

Σταμάτα λοιπόν! Η εξίσωση δεν δίνεται. Αλλά το θεώρημα του Vieta είναι εφαρμόσιμο μόνο στις παραπάνω εξισώσεις. Έτσι, πρώτα πρέπει να φέρετε την εξίσωση. Εάν δεν μπορείτε να το αναφέρετε, εγκαταλείψτε αυτό το εγχείρημα και λύστε το με άλλο τρόπο (για παράδειγμα, μέσω του διακριτικού). Επιτρέψτε μου να σας υπενθυμίσω ότι το να φέρεις μια τετραγωνική εξίσωση σημαίνει να κάνεις τον κύριο συντελεστή ίσο με:

Πρόστιμο. Τότε το άθροισμα των ριζών είναι ίσο και το γινόμενο.

Είναι εύκολο να το βρεις εδώ: τελικά - ένας πρώτος αριθμός (συγγνώμη για την ταυτολογία).

Απάντηση: ; ...

Εργασία 4.

Ο ελεύθερος όρος είναι αρνητικός. Τι το ιδιαίτερο έχει; Και το γεγονός ότι οι ρίζες θα είναι διαφορετικών ζωδίων. Και τώρα, κατά την επιλογή, δεν ελέγχουμε το άθροισμα των ριζών, αλλά τη διαφορά των ενοτήτων τους: αυτή η διαφορά είναι ίση, αλλά το προϊόν.

Έτσι, οι ρίζες είναι ίσες και, αλλά μία από αυτές είναι με ένα μείον. Το θεώρημα της Vieta μας λέει ότι το άθροισμα των ριζών είναι ίσο με το δεύτερο συντελεστή με το αντίθετο πρόσημο, δηλαδή. Αυτό σημαίνει ότι η μικρότερη ρίζα θα έχει ένα μείον: και, δεδομένου ότι.

Απάντηση: ; ...

Εργασία 5.

Ποιο είναι το πρώτο πράγμα που πρέπει να κάνετε; Σωστά, δώστε την εξίσωση:

Και πάλι: επιλέγουμε τους παράγοντες του αριθμού και η διαφορά τους πρέπει να είναι:

Οι ρίζες είναι ίσες και, αλλά μία από αυτές είναι με μείον. Οι οποίες? Το άθροισμά τους πρέπει να είναι ίσο, πράγμα που σημαίνει ότι με ένα μείον θα υπάρχει μεγαλύτερη ρίζα.

Απάντηση: ; ...

Να συνοψίσουμε:

1. Το θεώρημα του Vieta χρησιμοποιείται μόνο στις δεδομένες τετραγωνικές εξισώσεις.
2. Χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Vieta, μπορείτε να βρείτε τις ρίζες με επιλογή, προφορικά.
3. Εάν η εξίσωση δεν δίνεται ή δεν υπάρχει ούτε ένα κατάλληλο ζεύγος πολλαπλασιαστών ελεύθερων όρων, τότε δεν υπάρχουν ολόκληρες ρίζες και πρέπει να λύσετε με άλλο τρόπο (για παράδειγμα, μέσω του διαχωριστή).

3. Μέθοδος επιλογής πλήρους τετραγώνου

Εάν όλοι οι όροι που περιέχουν το άγνωστο αντιπροσωπεύονται με τη μορφή όρων από τους συντομευμένους τύπους πολλαπλασιασμού - το τετράγωνο του αθροίσματος ή της διαφοράς - τότε, μετά την αλλαγή των μεταβλητών, η εξίσωση μπορεί να αναπαρασταθεί ως ημιτελής τετραγωνική εξίσωση του τύπου.

Για παράδειγμα:

Παράδειγμα 1:

Λύστε την εξίσωση:.

Λύση:

Απάντηση:

Παράδειγμα 2:

Λύστε την εξίσωση:.

Λύση:

Απάντηση:

V γενική εικόναο μετασχηματισμός θα μοιάζει με αυτό:

Αυτό υπονοεί: .

Δεν μοιάζει με τίποτα; Αυτό είναι διάκριση! Σωστά, έχουμε τον τύπο διάκρισης.

ΤΕΤΑΡΧΟΜΕΝΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. ΣΥΝΟΠΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΟ ΚΥΡΙΟ

Τετραγωνική εξίσωσηείναι μια εξίσωση της μορφής, όπου είναι το άγνωστο, είναι οι συντελεστές της δευτεροβάθμιας εξίσωσης, είναι ο ελεύθερος όρος.

Πλήρης τετραγωνική εξίσωση- μια εξίσωση στην οποία οι συντελεστές δεν είναι ίσοι με μηδέν.

Μειωμένη τετραγωνική εξίσωση- μια εξίσωση στην οποία ο συντελεστής, δηλαδή:.

Ημιτελής Τετραγωνική Εξίσωση- μια εξίσωση στην οποία ο συντελεστής και ή ο ελεύθερος όρος c είναι ίσοι με μηδέν:

• αν ο συντελεστής, η εξίσωση έχει τη μορφή:
• αν ο ελεύθερος όρος, η εξίσωση έχει τη μορφή:
• αν και, η εξίσωση έχει τη μορφή:.

1. Αλγόριθμος επίλυσης ημιτελών τετραγωνικών εξισώσεων

1.1. Ημιτελής τετραγωνική εξίσωση της φόρμας, όπου:

1) Ας εκφράσουμε το άγνωστο:

2) Ελέγξτε το πρόσημο της έκφρασης:

• αν, τότε η εξίσωση δεν έχει λύσεις,
• αν, τότε η εξίσωση έχει δύο ρίζες.

1.2. Ημιτελής τετραγωνική εξίσωση της φόρμας, όπου:

1) Τραβήξτε τον κοινό παράγοντα από τις αγκύλες:

2) Το γινόμενο είναι ίσο με μηδέν αν τουλάχιστον ένας από τους παράγοντες είναι ίσος με μηδέν. Επομένως, η εξίσωση έχει δύο ρίζες:

1.3. Ημιτελής τετραγωνική εξίσωση της φόρμας, όπου:

Αυτή η εξίσωση έχει πάντα μόνο μία ρίζα:.

2. Αλγόριθμος επίλυσης πλήρων τετραγωνικών εξισώσεων της μορφής όπου

2.1. Διακριτική λύση

1) Ας φέρουμε την εξίσωση στην τυπική μορφή:

2) Υπολογίζουμε τη διάκριση με τον τύπο:, που δείχνει τον αριθμό των ριζών της εξίσωσης:

3) Βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης:

• εάν, τότε η εξίσωση έχει ρίζες, οι οποίες βρίσκονται στον τύπο:
• αν, τότε η εξίσωση έχει μια ρίζα, η οποία βρίσκεται από τον τύπο:
• αν, τότε η εξίσωση δεν έχει ρίζες.

2.2. Λύση χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Vieta

Το άθροισμα των ριζών της ανηγμένης δευτεροβάθμιας εξίσωσης (εξισώσεις της μορφής, όπου) είναι ίσο, και το γινόμενο των ριζών είναι ίσο, δηλ. , ένα.

2.3. Πλήρης τετραγωνική λύση

Προβλήματα για την τετραγωνική εξίσωση μελετώνται στο σχολικό πρόγραμμα και στα πανεπιστήμια. Εννοούνται ως εξισώσεις της μορφής a * x ^ 2 + b * x + c = 0, όπου Χ -μεταβλητή, a, b, c - σταθερές. ένα<>0. Το καθήκον είναι να βρούμε τις ρίζες της εξίσωσης.

Η γεωμετρική σημασία της τετραγωνικής εξίσωσης

Η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης που παριστάνεται με μια τετραγωνική εξίσωση είναι παραβολή. Οι λύσεις (ρίζες) της δευτεροβάθμιας εξίσωσης είναι τα σημεία τομής της παραβολής με τον άξονα της τετμημένης (x). Από αυτό προκύπτει ότι υπάρχουν τρεις πιθανές περιπτώσεις:
1) η παραβολή δεν έχει σημεία τομής με τον άξονα της τετμημένης. Αυτό σημαίνει ότι βρίσκεται στο πάνω επίπεδο με κλαδιά προς τα πάνω ή κάτω με κλαδιά προς τα κάτω. Σε τέτοιες περιπτώσεις, η τετραγωνική εξίσωση δεν έχει πραγματικές ρίζες (έχει δύο πολύπλοκες ρίζες).

2) η παραβολή έχει ένα σημείο τομής με τον άξονα Ox. Ένα τέτοιο σημείο ονομάζεται κορυφή της παραβολής και η τετραγωνική εξίσωση σε αυτό αποκτά την ελάχιστη ή τη μέγιστη τιμή της. Σε αυτή την περίπτωση, η τετραγωνική εξίσωση έχει μία πραγματική ρίζα (ή δύο ίδιες ρίζες).

3) Η τελευταία περίπτωση είναι πιο ενδιαφέρουσα στην πράξη - υπάρχουν δύο σημεία τομής της παραβολής με τον άξονα της τετμημένης. Αυτό σημαίνει ότι υπάρχουν δύο πραγματικές ρίζες της εξίσωσης.

Με βάση την ανάλυση των συντελεστών στις μοίρες των μεταβλητών, μπορούν να εξαχθούν ενδιαφέροντα συμπεράσματα για την τοποθέτηση της παραβολής.

1) Εάν ο συντελεστής α είναι μεγαλύτερος από μηδέν, τότε η παραβολή κατευθύνεται προς τα πάνω, αν είναι αρνητική, οι κλάδοι της παραβολής κατευθύνονται προς τα κάτω.

2) Αν ο συντελεστής b είναι μεγαλύτερος από το μηδέν, τότε η κορυφή της παραβολής βρίσκεται στο αριστερό ημιεπίπεδο, αν παίρνει αρνητική τιμή, τότε στο δεξί.

Παραγωγή τύπου επίλυσης δευτεροβάθμιας εξίσωσης

Μετακινήστε τη σταθερά από την τετραγωνική εξίσωση

για το πρόσημο ίσου, παίρνουμε την έκφραση

Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές με 4α

Για να πάρετε ένα πλήρες τετράγωνο στα αριστερά, προσθέστε b ^ 2 και στα δύο μέρη και πραγματοποιήστε τον μετασχηματισμό

Από εδώ βρίσκουμε

Τύπος για τη διάκριση και τις ρίζες μιας τετραγωνικής εξίσωσης

Η διάκριση ονομάζεται τιμή της ριζικής έκφρασης Αν είναι θετική τότε η εξίσωση έχει δύο πραγματικές ρίζες, που υπολογίζονται με τον τύπο Όταν η διάκριση είναι μηδέν, η δευτεροβάθμια εξίσωση έχει μία λύση (δύο συμπίπτουσες ρίζες), η οποία μπορεί εύκολα να ληφθεί από τον παραπάνω τύπο όταν D = 0. Όταν η διάκριση είναι αρνητική, η εξίσωση δεν έχει πραγματικές ρίζες. Ωστόσο, οι λύσεις μιας τετραγωνικής εξίσωσης στο μιγαδικό επίπεδο βρίσκονται και η τιμή τους υπολογίζεται από τον τύπο

Θεώρημα Vieta

Θεωρήστε δύο ρίζες μιας τετραγωνικής εξίσωσης και κατασκευάστε μια τετραγωνική εξίσωση με βάση τους Το θεώρημα του Vieta προκύπτει εύκολα από τη σημειογραφία: αν έχουμε μια τετραγωνική εξίσωση της μορφής τότε το άθροισμα των ριζών του είναι ίσο με τον συντελεστή p, που λαμβάνεται με το αντίθετο πρόσημο, και το γινόμενο των ριζών της εξίσωσης είναι ίσο με τον ελεύθερο όρο q. Ο τυπικός συμβολισμός των παραπάνω θα είναι: Εάν στην κλασική εξίσωση η σταθερά a είναι μη μηδενική, τότε πρέπει να διαιρέσετε ολόκληρη την εξίσωση με αυτήν και στη συνέχεια να εφαρμόσετε το θεώρημα του Vieta.

Προγραμματίστε μια τετραγωνική εξίσωση για παράγοντες

Αφήστε το έργο να τεθεί: να υπολογίσετε μια τετραγωνική εξίσωση. Για να το εκτελέσουμε λύνουμε πρώτα την εξίσωση (βρίσκουμε τις ρίζες). Στη συνέχεια, αντικαθιστούμε τις ρίζες που βρέθηκαν στον τύπο επέκτασης για την τετραγωνική εξίσωση. Αυτό θα λύσει το πρόβλημα.

Προβλήματα Τετραγωνικών Εξισώσεων

Στόχος 1. Βρείτε τις ρίζες μιας τετραγωνικής εξίσωσης

x ^ 2-26x + 120 = 0.

Λύση: Καταγράφουμε τους συντελεστές και τους αντικαθιστούμε στον τύπο διάκρισης

Ρίζα από δεδομένη αξίαισούται με 14, είναι εύκολο να το βρείτε με μια αριθμομηχανή ή να το θυμηθείτε με συχνή χρήση, ωστόσο, για ευκολία, στο τέλος του άρθρου θα σας δώσω μια λίστα με τετράγωνα αριθμών που μπορούν συχνά να βρεθούν σε τέτοιες εργασίες.
Αντικαθιστούμε την τιμή που βρέθηκε στον τύπο ρίζας

και παίρνουμε

Στόχος 2. Λύστε την εξίσωση

2x 2 + x-3 = 0.

Λύση: Έχουμε μια πλήρη τετραγωνική εξίσωση, γράφουμε τους συντελεστές και βρίσκουμε τη διάκριση


Με γνωστούς τύπουςβρείτε τις ρίζες της τετραγωνικής εξίσωσης

Στόχος 3. Λύστε την εξίσωση

9x 2 -12x + 4 = 0.

Λύση: Έχουμε μια πλήρη τετραγωνική εξίσωση. Προσδιορίστε τη διάκριση

Έχουμε μια περίπτωση που οι ρίζες συμπίπτουν. Βρίσκουμε τις τιμές των ριζών με τον τύπο

Εργασία 4. Λύστε την εξίσωση

x ^ 2 + x-6 = 0.

Λύση: Σε περιπτώσεις που υπάρχουν μικροί συντελεστές στο x, καλό είναι να εφαρμοστεί το θεώρημα του Vieta. Από την κατάστασή του, παίρνουμε δύο εξισώσεις

Από τη δεύτερη συνθήκη, παίρνουμε ότι το γινόμενο πρέπει να είναι ίσο με -6. Αυτό σημαίνει ότι μία από τις ρίζες είναι αρνητική. Έχουμε το παρακάτω πιθανό ζεύγος λύσεων (-3; 2), (3; -2). Λαμβάνοντας υπόψη την πρώτη συνθήκη, απορρίπτουμε το δεύτερο ζεύγος λύσεων.
Οι ρίζες της εξίσωσης είναι ίσες

Πρόβλημα 5. Βρείτε τα μήκη των πλευρών ενός ορθογωνίου αν η περίμετρος του είναι 18 cm και το εμβαδόν του είναι 77 cm 2.

Λύση: Το μισό της περιμέτρου του ορθογωνίου είναι το άθροισμα των διπλανών πλευρών. Ας συμβολίσουμε x - τη μεγάλη πλευρά, τότε το 18-x είναι η μικρότερη πλευρά του. Το εμβαδόν του ορθογωνίου είναι ίσο με το γινόμενο αυτών των μηκών:
x (18-x) = 77;
ή
x 2 -18x + 77 = 0.
Βρείτε τη διάκριση της εξίσωσης

Υπολογίστε τις ρίζες της εξίσωσης

Αν x = 11,τότε 18 = 7,αντίθετα, είναι επίσης αλήθεια (αν x = 7, τότε 21-x = 9).

Πρόβλημα 6. Υπολογίστε τις 10x 2 -11x + 3 = 0 τετράγωνες εξισώσεις.

Λύση: Υπολογίζουμε τις ρίζες της εξίσωσης, για αυτό βρίσκουμε τη διάκριση

Αντικαταστήστε την τιμή που βρέθηκε στον τύπο ρίζας και υπολογίστε

Εφαρμόζουμε τον τύπο για την επέκταση μιας τετραγωνικής εξίσωσης στις ρίζες

Επεκτείνοντας τις αγκύλες, λαμβάνουμε μια ταυτότητα.

Τετραγωνική εξίσωση με παράμετρο

Παράδειγμα 1. Για ποιες τιμές της παραμέτρου ένα ,η εξίσωση (a-3) x 2 + (3-a) x-1/4 = 0 έχει μία ρίζα;

Λύση: Με άμεση αντικατάσταση της τιμής a = 3, βλέπουμε ότι δεν έχει λύση. Στη συνέχεια, θα χρησιμοποιήσουμε το γεγονός ότι για μηδενική διάκριση η εξίσωση έχει μία ρίζα πολλαπλότητας 2. Ας γράψουμε τη διάκριση

απλοποιήστε το και εξισώστε το στο μηδέν

Πήραμε μια τετραγωνική εξίσωση για την παράμετρο a, η λύση της οποίας είναι εύκολο να ληφθεί με το θεώρημα του Vieta. Το άθροισμα των ριζών είναι 7 και το γινόμενο τους είναι 12. Με απλή απαρίθμηση, διαπιστώνουμε ότι οι αριθμοί 3,4 θα είναι οι ρίζες της εξίσωσης. Εφόσον έχουμε ήδη απορρίψει τη λύση a = 3 στην αρχή των υπολογισμών, η μόνη σωστή θα είναι - α = 4.Έτσι, για a = 4 η εξίσωση έχει μία ρίζα.

Παράδειγμα 2. Για ποιες τιμές της παραμέτρου ένα ,την εξίσωση a (a + 3) x ^ 2 + (2a + 6) x-3a-9 = 0έχει περισσότερες από μία ρίζες;

Λύση: Θεωρήστε πρώτα τα μοναδικά σημεία, θα είναι οι τιμές a = 0 και a = -3. Όταν a = 0, η εξίσωση θα απλοποιηθεί στη μορφή 6x-9 = 0. x = 3/2 και θα υπάρχει μία ρίζα. Για a = -3 παίρνουμε την ταυτότητα 0 = 0.
Υπολογίζουμε τη διάκριση

και βρείτε τις τιμές του a στο οποίο είναι θετικό

Από την πρώτη συνθήκη, παίρνουμε a> 3. Για το δεύτερο, βρίσκουμε τη διάκριση και τις ρίζες της εξίσωσης


Ας ορίσουμε τα διαστήματα στα οποία η συνάρτηση παίρνει θετικές τιμές. Αντικαθιστώντας το σημείο a = 0, παίρνουμε 3>0 . Έτσι, έξω από το διάστημα (-3; 1/3), η συνάρτηση είναι αρνητική. Μην ξεχνάτε την ουσία a = 0,το οποίο θα πρέπει να εξαιρεθεί, αφού η αρχική εξίσωση έχει μία ρίζα σε αυτήν.
Ως αποτέλεσμα, έχουμε δύο διαστήματα που ικανοποιούν την κατάσταση του προβλήματος

Θα υπάρχουν πολλές παρόμοιες εργασίες στην πράξη, προσπαθήστε να καταλάβετε μόνοι σας τις εργασίες και μην ξεχάσετε να λάβετε υπόψη τις συνθήκες που αλληλοαποκλείονται. Μάθετε καλά τους τύπους για την επίλυση τετραγωνικών εξισώσεων, συχνά χρειάζονται για υπολογισμούς σε διάφορα προβλήματα και επιστήμες.

Μόλις. Σύμφωνα με τύπους και σαφείς, απλούς κανόνες. Στο πρώτο στάδιο

είναι απαραίτητο να φέρουμε τη δεδομένη εξίσωση σε τυπική μορφή, δηλ. να κοιτάξω:

Εάν η εξίσωση έχει ήδη δοθεί σε αυτήν τη μορφή, δεν χρειάζεται να κάνετε το πρώτο βήμα. Το πιο σημαντικό είναι σωστό

να καθορίσει όλους τους συντελεστές, ένα, σικαι ντο.

Τύπος για την εύρεση των ριζών μιας τετραγωνικής εξίσωσης.

Μια έκφραση κάτω από το σύμβολο της ρίζας ονομάζεται διακριτική ... Όπως μπορείτε να δείτε, για να βρούμε το x, εμείς

χρήση μόνο α, β και γ. Εκείνοι. συντελεστές από τετραγωνική εξίσωση... Απλώς αντικαταστήστε προσεκτικά

έννοια α, β και γσε αυτόν τον τύπο και μετρήστε. Αντικατάσταση με από τουςσημάδια!

Για παράδειγμα, στην εξίσωση:

ένα =1; σι = 3; ντο = -4.

Αντικαταστήστε τις τιμές και γράψτε:

Το παράδειγμα έχει σχεδόν λυθεί:

Αυτή είναι η απάντηση.

Τα πιο συνηθισμένα λάθη είναι η σύγχυση με τα σημάδια σημασίας. α, βκαι με... Μάλλον, με την αλλαγή

αρνητικές τιμέςστον τύπο για τον υπολογισμό των ριζών. Εδώ αποθηκεύεται μια λεπτομερής σημειογραφία του τύπου

με συγκεκριμένους αριθμούς. Αν έχετε υπολογιστικά προβλήματα, κάντε το!

Ας υποθέσουμε ότι πρέπει να λύσετε αυτό το παράδειγμα:

Εδώ ένα = -6; σι = -5; ντο = -1

Ζωγραφίζουμε τα πάντα λεπτομερώς, προσεκτικά, χωρίς να μας λείπει τίποτα με όλα τα σημάδια και τις αγκύλες:

Οι τετραγωνικές εξισώσεις συχνά φαίνονται ελαφρώς διαφορετικές. Για παράδειγμα, όπως αυτό:

Προς το παρόν, λάβετε υπόψη τις βέλτιστες πρακτικές που θα μειώσουν δραστικά τα σφάλματα.

Πρώτη δεξίωση... Μην είστε τεμπέληδες πριν λύση της δευτεροβάθμιας εξίσωσηςφέρτε το σε τυπική μορφή.

Τι σημαίνει αυτό?

Ας πούμε, μετά από κάποιους μετασχηματισμούς, πήρατε την ακόλουθη εξίσωση:

Μην βιαστείτε να γράψετε τον τύπο root! Σίγουρα θα μπερδέψετε τις πιθανότητες. α, β και γ.

Χτίστε το παράδειγμα σωστά. Πρώτα, το Χ τετραγωνίζεται, μετά χωρίς το τετράγωνο, μετά το ελεύθερο μέλος. Σαν αυτό:

Απαλλαγείτε από το μείον. Πως? Πρέπει να πολλαπλασιάσετε ολόκληρη την εξίσωση με -1. Παίρνουμε:

Αλλά τώρα μπορείτε να γράψετε με ασφάλεια τον τύπο για τις ρίζες, να υπολογίσετε τη διάκριση και να ολοκληρώσετε το παράδειγμα.

Κάντο μόνος σου. Θα πρέπει να έχετε ρίζες 2 και -1.

Υποδοχή του δεύτερου.Ελέγξτε τις ρίζες! Με Το θεώρημα του Βιέτα.

Για να λύσετε τις δεδομένες δευτεροβάθμιες εξισώσεις, δηλ. αν ο συντελεστής

x 2 + bx + c = 0,

τότεx 1 x 2 = γ

x 1 + x 2 = -σι

Για μια πλήρη τετραγωνική εξίσωση στην οποία α ≠ 1:

x 2 +σιx +ντο=0,

διαιρέστε ολόκληρη την εξίσωση με ένα:

→ →

όπου x 1και Χ 2 - οι ρίζες της εξίσωσης.

Τρίτη υποδοχή... Εάν έχετε κλασματικούς συντελεστές στην εξίσωσή σας, απαλλαγείτε από τα κλάσματα! Πολλαπλασιάζω

εξίσωση κοινού παρονομαστή.

Παραγωγή. Πρακτικές συμβουλές:

1. Πριν λύσουμε, φέρνουμε την τετραγωνική εξίσωση στην τυπική φόρμα, την κατασκευάζουμε σωστά.

2. Αν υπάρχει αρνητικός συντελεστής μπροστά από το x στο τετράγωνο, τον εξαλείφουμε πολλαπλασιάζοντας το σύνολο

εξισώσεις κατά -1.

3. Αν οι συντελεστές είναι κλασματικοί, εξαλείφουμε τα κλάσματα πολλαπλασιάζοντας ολόκληρη την εξίσωση με την αντίστοιχη

παράγοντας.

4. Εάν το x τετράγωνο είναι καθαρό, ο συντελεστής σε αυτό είναι ίσος με ένα, η λύση μπορεί να ελεγχθεί εύκολα με

Αυτό το θέμα μπορεί να φαίνεται δύσκολο στην αρχή λόγω των πολλών όχι και πολύ απλοί τύποι... Όχι μόνο οι ίδιες οι τετραγωνικές εξισώσεις έχουν μεγάλες καταγραφές, αλλά και οι ρίζες βρίσκονται μέσω της διάκρισης. Υπάρχουν τρεις νέοι τύποι συνολικά. Δεν είναι εύκολο να το θυμάσαι. Αυτό είναι δυνατό μόνο μετά από συχνή επίλυση τέτοιων εξισώσεων. Τότε όλοι οι τύποι θα θυμούνται από μόνοι τους.

Γενική άποψη της τετραγωνικής εξίσωσης

Εδώ προτείνεται η ρητή καταγραφή τους, όταν πρώτα καταγράφεται ο υψηλότερος βαθμός και μετά με φθίνουσα σειρά. Υπάρχουν συχνά περιπτώσεις που οι όροι είναι εκτός λειτουργίας. Τότε είναι καλύτερο να ξαναγράψουμε την εξίσωση με φθίνουσα σειρά του βαθμού της μεταβλητής.

Ας εισάγουμε τη σημειογραφία. Παρουσιάζονται στον παρακάτω πίνακα.

Αν δεχτούμε αυτούς τους προσδιορισμούς, όλες οι τετραγωνικές εξισώσεις μειώνονται στην ακόλουθη εγγραφή.

Επιπλέον, ο συντελεστής a ≠ 0. Έστω ότι αυτός ο τύπος συμβολίζεται με τον αριθμό ένα.

Όταν δίνεται η εξίσωση, δεν είναι ξεκάθαρο πόσες ρίζες θα υπάρχουν στην απάντηση. Επειδή μία από τις τρεις επιλογές είναι πάντα δυνατή:

• θα υπάρχουν δύο ρίζες στη λύση.
• η απάντηση είναι ένας αριθμός.
• η εξίσωση δεν θα έχει καθόλου ρίζες.

Και έως ότου η απόφαση δεν έχει ολοκληρωθεί, είναι δύσκολο να καταλάβουμε ποια από τις επιλογές θα πέσει έξω σε μια συγκεκριμένη περίπτωση.

Τύποι εγγραφών τετραγωνικών εξισώσεων

Οι εργασίες μπορεί να περιέχουν τις διαφορετικές εγγραφές τους. Δεν θα μοιάζουν πάντα με έναν γενικό τετραγωνικό τύπο. Μερικές φορές θα λείπουν κάποιοι όροι. Αυτό που γράφτηκε παραπάνω είναι πλήρης εξίσωση... Εάν αφαιρέσετε τον δεύτερο ή τον τρίτο όρο σε αυτό, θα έχετε κάτι διαφορετικό. Αυτές οι εγγραφές ονομάζονται επίσης τετραγωνικές εξισώσεις, μόνο ελλιπείς.

Επιπλέον, μόνο οι όροι στους οποίους οι συντελεστές "β" και "γ" μπορούν να εξαφανιστούν. Ο αριθμός «α» δεν μπορεί σε καμία περίπτωση να είναι ίσος με μηδέν. Γιατί σε αυτή την περίπτωση, ο τύπος μετατρέπεται σε γραμμική εξίσωση. Οι τύποι για μια ατελή μορφή εξισώσεων θα είναι οι εξής:

Άρα, υπάρχουν μόνο δύο τύποι, εκτός από τους πλήρεις, υπάρχουν και ημιτελείς τετραγωνικές εξισώσεις. Έστω ο πρώτος τύπος ο αριθμός δύο και ο δεύτερος αριθμός τρία.

Διάκριση και εξάρτηση του αριθμού των ριζών από την αξία του

Πρέπει να γνωρίζετε αυτόν τον αριθμό για να υπολογίσετε τις ρίζες της εξίσωσης. Μπορεί πάντα να υπολογιστεί, ανεξάρτητα από τον τύπο της τετραγωνικής εξίσωσης. Για να υπολογίσετε το διακριτικό, πρέπει να χρησιμοποιήσετε την ισότητα που γράφεται παρακάτω, η οποία θα έχει τον αριθμό τέσσερα.

Αφού αντικαταστήσετε τις τιμές των συντελεστών σε αυτόν τον τύπο, μπορείτε να λάβετε αριθμούς με διαφορετικά σημάδια... Εάν η απάντηση είναι ναι, τότε η απάντηση στην εξίσωση θα είναι δύο διαφορετικές ρίζες. Εάν ο αριθμός είναι αρνητικός, οι ρίζες της δευτεροβάθμιας εξίσωσης θα απουσιάζουν. Αν είναι ίσο με μηδέν, η απάντηση θα είναι ένα.

Πώς λύνεται μια πλήρης τετραγωνική εξίσωση;

Στην πραγματικότητα, η εξέταση αυτού του ζητήματος έχει ήδη ξεκινήσει. Γιατί πρώτα πρέπει να βρεις το διακριτικό. Αφού διαπιστωθεί ότι υπάρχουν ρίζες της τετραγωνικής εξίσωσης και είναι γνωστός ο αριθμός τους, πρέπει να χρησιμοποιήσετε τους τύπους για τις μεταβλητές. Εάν υπάρχουν δύο ρίζες, τότε πρέπει να εφαρμόσετε αυτόν τον τύπο.

Εφόσον περιέχει το σύμβολο «±», θα υπάρχουν δύο τιμές. Η έκφραση της τετραγωνικής ρίζας είναι η διάκριση. Επομένως, ο τύπος μπορεί να ξαναγραφτεί με διαφορετικό τρόπο.

Φόρμουλα νούμερο πέντε. Η ίδια εγγραφή δείχνει ότι εάν η διάκριση είναι μηδέν, τότε και οι δύο ρίζες θα έχουν τις ίδιες τιμές.

Εάν η λύση των τετραγωνικών εξισώσεων δεν έχει ακόμη επεξεργαστεί, τότε είναι καλύτερο να γράψετε τις τιμές όλων των συντελεστών πριν εφαρμόσετε τους τύπους διάκρισης και μεταβλητής. Αργότερα, αυτή η στιγμή δεν θα προκαλέσει δυσκολίες. Όμως στην αρχή υπάρχει σύγχυση.

Πώς λύνεται μια ημιτελής τετραγωνική εξίσωση;

Όλα είναι πολύ πιο απλά εδώ. Δεν υπάρχει καν ανάγκη για πρόσθετους τύπους. Και δεν θα χρειαστείτε αυτά που έχουν ήδη καταγραφεί για το διακρινόμενο και το άγνωστο.

Αρχικά, θεωρήστε την ημιτελή εξίσωση με αριθμό δύο. Σε αυτήν την ισότητα, υποτίθεται ότι θα αφαιρεθεί η άγνωστη ποσότητα από την παρένθεση και θα λυθεί η γραμμική εξίσωση, η οποία παραμένει στις παρενθέσεις. Η απάντηση θα έχει δύο ρίζες. Το πρώτο είναι απαραίτητα ίσο με μηδέν, γιατί υπάρχει ένας παράγοντας που αποτελείται από την ίδια τη μεταβλητή. Το δεύτερο προκύπτει με την επίλυση μιας γραμμικής εξίσωσης.

Η ημιτελής εξίσωση αριθμός τρία λύνεται μεταφέροντας τον αριθμό από την αριστερή πλευρά της εξίσωσης στη δεξιά. Στη συνέχεια, πρέπει να διαιρέσετε με τον παράγοντα μπροστά από το άγνωστο. Το μόνο που απομένει είναι να εξαγάγετε την τετραγωνική ρίζα και να θυμάστε να την γράψετε δύο φορές με αντίθετα πρόσημα.

Τα παρακάτω είναι μερικά βήματα που θα σας βοηθήσουν να μάθετε πώς να λύνετε κάθε είδους εξισώσεις που μετατρέπονται σε τετραγωνικές εξισώσεις. Θα βοηθήσουν τον μαθητή να αποφύγει απρόσεκτα λάθη. Αυτές οι ελλείψεις είναι ο λόγος για τους κακούς βαθμούς κατά τη μελέτη του εκτεταμένου θέματος "Τετραγωνικές Εξισώσεις (Βαθμός 8)". Στη συνέχεια, αυτές οι ενέργειες δεν θα χρειάζεται να εκτελούνται συνεχώς. Γιατί θα εμφανιστεί μια σταθερή ικανότητα.

• Πρώτα, πρέπει να γράψετε την εξίσωση σε τυπική μορφή. Δηλαδή, πρώτα ο όρος με τον υψηλότερο βαθμό της μεταβλητής και στη συνέχεια - χωρίς το βαθμό και το τελευταίο - μόνο ένας αριθμός.

• Εάν εμφανίζεται ένα μείον μπροστά από τον συντελεστή "α", τότε μπορεί να περιπλέξει τη δουλειά για έναν αρχάριο να μελετήσει τις εξισώσεις του δευτεροβάθμιου βαθμού. Είναι καλύτερα να το ξεφορτωθείτε. Για το σκοπό αυτό, όλη η ισότητα πρέπει να πολλαπλασιαστεί με "-1". Αυτό σημαίνει ότι όλοι οι όροι θα αλλάξουν το πρόσημά τους στο αντίθετο.

• Με τον ίδιο τρόπο, συνιστάται να απαλλαγείτε από τα κλάσματα. Απλώς πολλαπλασιάστε την εξίσωση με τον κατάλληλο παράγοντα για να ακυρώσετε τους παρονομαστές.

Παραδείγματα του

Απαιτείται η επίλυση των ακόλουθων τετραγωνικών εξισώσεων:

x 2 - 7x = 0;

15 - 2x - x 2 = 0;

x 2 + 8 + 3x = 0;

12x + x 2 + 36 = 0;

(x + 1) 2 + x + 1 = (x + 1) (x + 2).

Η πρώτη εξίσωση: x 2 - 7x = 0. Είναι ελλιπής, επομένως λύνεται όπως περιγράφεται για τον τύπο δύο.

Αφού φύγετε από τις αγκύλες, προκύπτει: x (x - 7) = 0.

Η πρώτη ρίζα παίρνει την τιμή: x 1 = 0. Η δεύτερη θα βρεθεί από γραμμική εξίσωση: x - 7 = 0. Είναι εύκολο να δούμε ότι x 2 = 7.

Δεύτερη εξίσωση: 5x 2 + 30 = 0. Και πάλι ημιτελής. Μόνο που λύνεται όπως περιγράφεται για τον τρίτο τύπο.

Αφού μεταφέρετε το 30 στη δεξιά πλευρά της ισότητας: 5x 2 = 30. Τώρα πρέπει να διαιρέσετε με το 5. Αποδεικνύεται: x 2 = 6. Οι απαντήσεις θα είναι αριθμοί: x 1 = √6, x 2 = - √ 6.

Η τρίτη εξίσωση: 15 - 2x - x 2 = 0. Στο εξής, η λύση των δευτεροβάθμιων εξισώσεων θα ξεκινήσει ξαναγράφοντας τις στην τυπική μορφή: - x 2 - 2x + 15 = 0. Τώρα είναι ώρα να χρησιμοποιήσετε τη δεύτερη χρήσιμες συμβουλέςκαι πολλαπλασιάζουμε τα πάντα με μείον ένα. Αποδεικνύεται x 2 + 2x - 15 = 0. Σύμφωνα με τον τέταρτο τύπο, πρέπει να υπολογίσετε τη διάκριση: D = 2 2 - 4 * (- 15) = 4 + 60 = 64. Είναι θετικός αριθμός. Από όσα ειπώθηκαν παραπάνω, προκύπτει ότι η εξίσωση έχει δύο ρίζες. Πρέπει να υπολογιστούν χρησιμοποιώντας τον πέμπτο τύπο. Αποδεικνύεται ότι x = (-2 ± √64) / 2 = (-2 ± 8) / 2. Τότε x 1 = 3, x 2 = - 5.

Η τέταρτη εξίσωση x 2 + 8 + 3x = 0 μετατρέπεται σε αυτό: x 2 + 3x + 8 = 0. Η διάκρισή της είναι ίση με αυτήν την τιμή: -23. Δεδομένου ότι αυτός ο αριθμός είναι αρνητικός, η απάντηση σε αυτήν την εργασία θα είναι η ακόλουθη καταχώρηση: "Δεν υπάρχουν ρίζες".

Η πέμπτη εξίσωση 12x + x 2 + 36 = 0 θα πρέπει να ξαναγραφεί ως εξής: x 2 + 12x + 36 = 0. Μετά την εφαρμογή του τύπου για τη διάκριση, προκύπτει ο αριθμός μηδέν. Αυτό σημαίνει ότι θα έχει μία ρίζα, δηλαδή: x = -12 / (2 * 1) = -6.

Η έκτη εξίσωση (x + 1) 2 + x + 1 = (x + 1) (x + 2) απαιτεί μετασχηματισμούς, οι οποίοι συνίστανται στο γεγονός ότι πρέπει να φέρετε παρόμοιους όρους, πριν ανοίξετε τις αγκύλες. Στη θέση της πρώτης, θα υπάρχει μια τέτοια έκφραση: x 2 + 2x + 1. Μετά την ισότητα, θα εμφανιστεί αυτή η εγγραφή: x 2 + 3x + 2. Αφού μετρηθούν τέτοιοι όροι, η εξίσωση θα πάρει τη μορφή: x 2 - x = 0. Μετατράπηκε σε ατελές ... Κάτι παρόμοιο με αυτό έχει ήδη θεωρηθεί λίγο υψηλότερο. Οι ρίζες αυτού θα είναι οι αριθμοί 0 και 1.

Τετραγωνική εξίσωση - εύκολο να λυθεί! * Περαιτέρω στο κείμενο «KU».Φίλοι, φαίνεται, τι θα μπορούσε να είναι πιο εύκολο στα μαθηματικά από την επίλυση μιας τέτοιας εξίσωσης. Αλλά κάτι μου είπε ότι πολλοί έχουν προβλήματα μαζί του. Αποφάσισα να δω πόσες εμφανίσεις ανά μήνα Yandex. Να τι συνέβη, ρίξτε μια ματιά:

Τι σημαίνει? Αυτό σημαίνει ότι περίπου 70.000 άτομα το μήνα αναζητούν αυτές τις πληροφορίες, τι σημαίνει αυτό αυτό το καλοκαίρι και τι θα είναι μεταξύ σχολική χρονιά- θα υπάρχουν διπλάσια αιτήματα. Αυτό δεν προκαλεί έκπληξη, επειδή εκείνοι οι τύποι και τα κορίτσια που αποφοίτησαν από το σχολείο πριν από πολύ καιρό και προετοιμάζονται για τις εξετάσεις του Ενιαίου Κράτους αναζητούν αυτές τις πληροφορίες και οι μαθητές επιδιώκουν επίσης να τις ανανεώσουν στη μνήμη τους.

Παρά το γεγονός ότι υπάρχουν τόνοι ιστότοπων που σας λένε πώς να λύσετε αυτήν την εξίσωση, αποφάσισα να κάνω το δικό μου και να δημοσιεύσω το υλικό. Πρώτον, θέλω οι επισκέπτες να έρχονται στον ιστότοπό μου για αυτό το αίτημα. δεύτερον, σε άλλα άρθρα, όταν έρθει η ομιλία "KU" θα δώσω ένα σύνδεσμο σε αυτό το άρθρο? τρίτον, θα σας πω λίγα περισσότερα για τη λύση του από ό, τι συνήθως αναφέρεται σε άλλους ιστότοπους. Ας αρχίσουμε!Το περιεχόμενο του άρθρου:

Μια τετραγωνική εξίσωση είναι μια εξίσωση της μορφής:

όπου οι συντελεστές α,σικαι με αυθαίρετους αριθμούς, με ένα ≠ 0.

Στο σχολικό μάθημα, το υλικό δίνεται με την ακόλουθη μορφή - οι εξισώσεις χωρίζονται υπό όρους σε τρεις τάξεις:

1. Έχουν δύο ρίζες.

2. * Να έχουν μόνο μία ρίζα.

3. Δεν έχουν ρίζες. Αξίζει να σημειωθεί εδώ ότι δεν έχουν έγκυρες ρίζες.

Πώς υπολογίζονται οι ρίζες; Μόλις!

Υπολογίζουμε τη διάκριση. Κάτω από αυτήν την «τρομερή» λέξη κρύβεται ένας πολύ απλός τύπος:

Οι τύποι ρίζας είναι οι εξής:

* Πρέπει να γνωρίζετε αυτούς τους τύπους από καρδιάς.

Μπορείτε να γράψετε αμέσως και να αποφασίσετε:

Παράδειγμα:

1. Εάν D> 0, τότε η εξίσωση έχει δύο ρίζες.

2. Αν D = 0, τότε η εξίσωση έχει μία ρίζα.

3. Εάν ο Δ< 0, то уравнение не имеет действительных корней.

Ας δούμε την εξίσωση:

Ως προς αυτό, όταν η διάκριση είναι μηδέν, στο σχολικό μάθημα λέγεται ότι προκύπτει μία ρίζα, εδώ ισούται με εννέα. Όλα είναι σωστά, είναι, αλλά...

Αυτή η αναπαράσταση είναι κάπως εσφαλμένη. Στην πραγματικότητα, υπάρχουν δύο ρίζες. Ναι, ναι, μην εκπλαγείτε, αποδεικνύονται δύο ίσες ρίζες, και για να είμαστε μαθηματικά ακριβείς, τότε η απάντηση θα πρέπει να γραφτεί δύο ρίζες:

x 1 = 3 x 2 = 3

Αλλά αυτό είναι έτσι - μια μικρή παρέκκλιση. Στο σχολείο, μπορείτε να γράψετε και να πείτε ότι υπάρχει μια ρίζα.

Τώρα το επόμενο παράδειγμα:

Όπως γνωρίζουμε, η ρίζα του αρνητικός αριθμόςδεν ανακτάται, επομένως δεν υπάρχει λύση σε αυτή την περίπτωση.

Αυτή είναι η όλη διαδικασία λύσης.

Τετραγωνική λειτουργία.

Δείτε πώς φαίνεται γεωμετρικά η λύση. Είναι εξαιρετικά σημαντικό να το κατανοήσουμε αυτό (στο μέλλον, σε ένα από τα άρθρα, θα αναλύσουμε λεπτομερώς τη λύση της τετραγωνικής ανισότητας).

Αυτή είναι μια συνάρτηση της φόρμας:

όπου x και y είναι μεταβλητές

a, b, c - δεδομένοι αριθμοί, με ≠ 0

Η γραφική παράσταση είναι παραβολή:

Δηλαδή, αποδεικνύεται ότι λύνοντας τη δευτεροβάθμια εξίσωση με «y» ίσο με μηδέν, βρίσκουμε τα σημεία τομής της παραβολής με τον άξονα του βοδιού. Μπορεί να υπάρχουν δύο από αυτά τα σημεία (το διακριτικό είναι θετικό), ένα (το διακριτικό είναι μηδέν) και κανένα (το διακριτικό είναι αρνητικό). Λεπτομέρειες για τετραγωνική λειτουργία Μπορείτε να δείτεάρθρο της Inna Feldman.

Ας δούμε μερικά παραδείγματα:

Παράδειγμα 1: Λύση 2x 2 +8 Χ–192=0

a = 2 b = 8 c = –192

D = β 2 –4ac = 8 2 –4 ∙ 2 ∙ (–192) = 64 + 1536 = 1600

Απάντηση: x 1 = 8 x 2 = –12

* Possibleταν δυνατό να διαιρέσουμε αμέσως την αριστερή και τη δεξιά πλευρά της εξίσωσης με 2, δηλαδή να την απλοποιήσουμε. Οι υπολογισμοί θα είναι ευκολότεροι.

Παράδειγμα 2: Αποφασίζω x 2–22 x + 121 = 0

a = 1 b = –22 c = 121

D = b 2 –4ac = (- 22) 2 –4 ∙ 1 ∙ 121 = 484–484 = 0

Πήραμε ότι x 1 = 11 και x 2 = 11

Στην απάντηση, επιτρέπεται να γράψετε x = 11.

Απάντηση: x = 11

Παράδειγμα 3: Αποφασίζω x 2 –8x + 72 = 0

a = 1 b = –8 c = 72

D = b 2 –4ac = (- 8) 2 –4 ∙ 1 ∙ 72 = 64–288 = –224

Η διάκριση είναι αρνητική, δεν υπάρχει λύση σε πραγματικούς αριθμούς.

Απάντηση: Καμία λύση

Το διακριτικό είναι αρνητικό. Υπάρχει λύση!

Εδώ θα μιλήσουμε για την επίλυση της εξίσωσης στην περίπτωση που προκύπτει αρνητικός διαχωριστής. Ξέρετε κάτι για μιγαδικοί αριθμοί? Δεν θα μπω σε λεπτομέρειες εδώ για το γιατί και από πού προήλθαν και ποιος είναι ο συγκεκριμένος ρόλος και η ανάγκη τους στα μαθηματικά, αυτό είναι ένα θέμα για ένα μεγάλο ξεχωριστό άρθρο.

Η έννοια ενός μιγαδικού αριθμού.

Λίγη θεωρία.

Ένας μιγαδικός αριθμός z είναι ένας αριθμός της φόρμας

z = a + bi

όπου a και b είναι πραγματικοί αριθμοί, το i είναι η λεγόμενη φανταστική μονάδα.

α + δι Είναι ΜΟΝΟΣ ΑΡΙΘΜΟΣ, όχι προσθήκη.

Η φανταστική μονάδα είναι ίση με τη ρίζα του μείον μία:

Τώρα εξετάστε την εξίσωση:

Πήραμε δύο συζυγείς ρίζες.

Ημιτελής τετραγωνική εξίσωση.

Εξετάστε ειδικές περιπτώσεις, όταν ο συντελεστής "b" ή "c" είναι ίσος με μηδέν (ή και οι δύο είναι ίσοι με μηδέν). Επιλύονται εύκολα χωρίς διακρίσεις.

Περίπτωση 1. Συντελεστής b = 0.

Η εξίσωση έχει τη μορφή:

Ας μεταμορφώσουμε:

Παράδειγμα:

4x 2 –16 = 0 => 4x 2 = 16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = –2

Περίπτωση 2. Συντελεστής με = 0.

Η εξίσωση έχει τη μορφή:

Μεταμορφώνουμε, παραγοντοποιούμε:

* Το γινόμενο είναι ίσο με μηδέν όταν τουλάχιστον ένας από τους παράγοντες είναι ίσος με μηδέν.

Παράδειγμα:

9x 2 –45x = 0 => 9x (x – 5) = 0 => x = 0 ή x – 5 = 0

x 1 = 0 x 2 = 5

Περίπτωση 3. Συντελεστές b = 0 και c = 0.

Είναι σαφές εδώ ότι η λύση στην εξίσωση θα είναι πάντα x = 0.

Χρήσιμες ιδιότητες και μοτίβα συντελεστών.

Υπάρχουν ιδιότητες που σας επιτρέπουν να λύσετε εξισώσεις με μεγάλους συντελεστές.

έναΧ 2 + bx+ ντο=0 ισχύει η ισότητα

ένα + σι+ c = 0,τότε

- αν για τους συντελεστές της εξίσωσης έναΧ 2 + bx+ ντο=0 ισχύει η ισότητα

ένα+ γ =σι, τότε

Αυτές οι ιδιότητες βοηθούν στην επίλυση ενός συγκεκριμένου είδους εξίσωσης.

Παράδειγμα 1: 5001 Χ 2 –4995 Χ – 6=0

Το άθροισμα των πιθανοτήτων είναι 5001+ ( – 4995)+(– 6) = 0, άρα

Παράδειγμα 2: 2501 Χ 2 +2507 Χ+6=0

Τηρείται η ισότητα ένα+ γ =σι, που σημαίνει

Κανονικότητα των συντελεστών.

1. Εάν στην εξίσωση ax 2 + bx + c = 0 ο συντελεστής "b" είναι ίσος με (a 2 +1), και ο συντελεστής "c" είναι αριθμητικά ίσος με τον συντελεστή "a", τότε οι ρίζες του είναι

ax 2 + (a 2 +1) ∙ х + а = 0 => х 1 = –а х 2 = –1 / a.

Παράδειγμα. Θεωρήστε την εξίσωση 6x 2 + 37x + 6 = 0.

x 1 = –6 x 2 = –1/6.

2. Αν στην εξίσωση ax 2 - bx + c = 0 ο συντελεστής "b" είναι ίσος με (a 2 +1), και ο συντελεστής "c" είναι αριθμητικά ίσος με τον συντελεστή "a", τότε οι ρίζες του είναι

ax 2 - (a 2 +1) ∙ x + a = 0 => x 1 = a x 2 = 1 / a.

Παράδειγμα. Θεωρήστε την εξίσωση 15x 2 –226x +15 = 0.

x 1 = 15 x 2 = 1/15.

3. Αν στην εξίσωση ax 2 + bx - c = 0 συντελεστής "b" ισούται με (a 2 - 1), και ο συντελεστής "c" αριθμητικά ίσος με τον συντελεστή "α", τότε οι ρίζες του είναι ίσες

αx 2 + (а 2 –1) ∙ х - а = 0 => х 1 = - а х 2 = 1 / α.

Παράδειγμα. Θεωρήστε την εξίσωση 17x 2 + 288x - 17 = 0.

x 1 = - 17 x 2 = 1/17.

4. Αν στην εξίσωση ax 2 - bx - c = 0 ο συντελεστής "b" είναι ίσος με (a 2 - 1), και ο συντελεστής c είναι αριθμητικά ίσος με τον συντελεστή "a", τότε οι ρίζες του είναι

αx 2 - (а 2 –1) ∙ х - а = 0 => х 1 = а х 2 = - 1 / a.

Παράδειγμα. Θεωρήστε την εξίσωση 10x 2 - 99x –10 = 0.

x 1 = 10 x 2 = - 1/10

Το θεώρημα του Βιέτα.

Το θεώρημα του Βιέτα πήρε το όνομά του από τον διάσημο Γάλλο μαθηματικό Φρανσουά Βιέτα. Χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Vieta, μπορούμε να εκφράσουμε το άθροισμα και το γινόμενο των ριζών ενός αυθαίρετου ΚΕ ως προς τους συντελεστές του.

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

Συνολικά, ο αριθμός 14 δίνει μόνο 5 και 9. Αυτές είναι οι ρίζες. Με μια συγκεκριμένη ικανότητα, χρησιμοποιώντας το παρουσιαζόμενο θεώρημα, μπορείτε να λύσετε πολλές δευτεροβάθμιες εξισώσεις προφορικά.

Το θεώρημα του Vieta, εξάλλου. βολικό στο ότι μετά την επίλυση της δευτεροβάθμιας εξίσωσης με τον συνηθισμένο τρόπο(μέσω του διαχωριστή) μπορούν να ελεγχθούν οι ληφθείσες ρίζες. Συνιστώ να το κάνετε αυτό ανά πάσα στιγμή.

ΜΕΘΟΔΟΣ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ

Με αυτή τη μέθοδο, ο συντελεστής "α" πολλαπλασιάζεται με τον ελεύθερο όρο, σαν να "πεταχτεί" σε αυτόν, επομένως ονομάζεται με τη μέθοδο της «μεταφοράς».Αυτή η μέθοδος χρησιμοποιείται όταν μπορείτε εύκολα να βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Vieta και, το πιο σημαντικό, όταν η διάκριση είναι ένα ακριβές τετράγωνο.

Αν ένα± β + γ≠ 0, τότε χρησιμοποιείται η τεχνική μεταφοράς, για παράδειγμα:

2NS 2 – 11x + 5 = 0 (1) => NS 2 – 11x + 10 = 0 (2)

Με το θεώρημα του Vieta στην εξίσωση (2) είναι εύκολο να προσδιοριστεί ότι x 1 = 10 x 2 = 1

Οι ρίζες της εξίσωσης που προκύπτουν πρέπει να διαιρεθούν με το 2 (αφού από το x 2 "έριξαν" δύο), παίρνουμε

x 1 = 5 x 2 = 0,5.

Ποιο είναι το σκεπτικό; Δείτε τι συμβαίνει.

Οι διακρίσεις των εξισώσεων (1) και (2) είναι ίσες:

Αν κοιτάξετε τις ρίζες των εξισώσεων, τότε λαμβάνονται μόνο διαφορετικοί παρονομαστές και το αποτέλεσμα εξαρτάται ακριβώς από τον συντελεστή x 2:

Οι δεύτερες (τροποποιημένες) ρίζες είναι 2 φορές μεγαλύτερες.

Επομένως, διαιρούμε το αποτέλεσμα με 2.

* Αν ξαναρίξουμε τρία, τότε διαιρούμε το αποτέλεσμα με 3 κ.λπ.

Απάντηση: x 1 = 5 x 2 = 0,5

πλ. ur-ye και εξετάσεις.

Θα πω εν συντομία για τη σημασία του - ΠΡΕΠΕΙ να είστε σε θέση να λύσετε γρήγορα και χωρίς δισταγμό, οι τύποι των ριζών και του διακριτικού πρέπει να είναι γνωστοί από καρδιάς. Πολλές από τις εργασίες που αποτελούν μέρος των εργασιών USE περιορίζονται στην επίλυση μιας τετραγωνικής εξίσωσης (συμπεριλαμβανομένων των γεωμετρικών).

Αυτό που αξίζει να σημειωθεί!

1. Η μορφή γραφής της εξίσωσης μπορεί να είναι «σιωπηρή». Για παράδειγμα, είναι δυνατή η ακόλουθη καταχώριση:

15+ 9x 2 - 45x = 0 ή 15x + 42 + 9x 2 - 45x = 0 ή 15 -5x + 10x 2 = 0.

Πρέπει να το φέρετε σε τυπική φόρμα (για να μην μπερδεύεστε κατά την επίλυση).

2. Θυμηθείτε ότι το x είναι άγνωστη ποσότητα και μπορεί να συμβολιστεί με οποιοδήποτε άλλο γράμμα - t, q, p, h και άλλα.