Евклид или Эвклид древнегреческий мате- матик. Мировую известность приобрёл благодаря сочинению по основам математики «Начала»

Слайд 2

О жизни этого ученого почти ничего не известно. До нас дошли только отдельные легенды о нем. Первый комментатор «Начал» Прокл (V век нашей эры) не мог указать, где и когда родился и умер Евклид. По Проклу, «этот ученый муж» жил в эпоху царствования Птолемея I. Некоторые биографические данные сохранились на страницах арабской рукописи XII века: «Евклид, сын Наукрата, известный под именем «Геометра», ученый старого времени, по своему происхождению грек, по местожительству сириец, родом из Тира».

Слайд 3

Одна из легенд рассказывает, что царь Птолемей решил изучить геометрию. Но оказалось, что сделать это не так-то просто. Тогда он призвал Евклида и попросил указать ему легкий путь к математике. «К геометрии нет царской дороги», - ответил ему ученый. Так в виде легенды дошло до нас это ставшее крылатым выражение.

Слайд 4

Царь Птолемей I, чтобы возвеличить свое государство, привлекал в страну ученых и поэтов, создав для них храм муз - Мусейон. Здесь были залы для занятий, ботанический и зоологический сады, астрономический кабинет, астрономическая башня, комнаты для уединенной работы и главное - великолепная библиотека. В числе приглашенных ученых оказался и Евклид, который основал в Александрии - столице Египта - математическую школу и написал для ее учеников свой фундаментальный труд.

Слайд 5

Именно в Александрии Евклид основывает математическую школу и пишет большой труд по геометрии, объединенный под общим названием «Начала» - главный труд своей жизни. Полагают, что он был написан около 325 года до нашей эры. Предшественники Евклида - Фалес, Пифагор, Аристотель и другие много сделали для развития геометрии. Но все это были отдельные фрагменты, а не единая логическая схема.

Слайд 6

Как современников, так и последователей Евклида привлекала систематичность и логичность изложенных сведений. «Начала» состоят из тринадцати книг, построенных по единой логической схеме. Каждая из тринадцати книг начинается определением понятий (точка, линия, плоскость, фигура и т. д.), которые в ней используются, а затем на основе небольшого числа основных положений (5 аксиом и 5 постулатов), принимаемых без доказательства, строится вся система геометрии.

Слайд 7

В то время развитие науки и не предполагало наличия методов практической математики. Книги I-IV охватывали геометрию, их содержание восходило к трудам пифагорейской школы. В книге V разрабатывалось учение о пропорциях, которое примыкало к ЕвдоксуКнидскому. В книгах VII-IX содержалось учение о числах, представляющее разработки пифагорейских первоисточников. В книгах Х-ХІІ содержатся определения площадей в плоскости и пространстве (стереометрия), теория иррациональности (особенно в Х книге); в XIII книге помещены исследования правильных тел, восходящие к Теэтету.

Слайд 8

Рафаэль Санти, Евклид, деталь 1508-11, фреска "Афинская школа" Станц делла Сеньятура, Ватикан, Рим, Италия

Слайд 9

«Начала» Евклида представляют собой изложение той геометрии, которая известна и поныне под названием евклидовой геометрии. Она описывает метрические свойства пространства, которое современная наука называет евклидовым пространством. Евклидово пространство является ареной физических явлений классической физики, основы которой были заложены Галилеем и Ньютоном. Это пространство пустое, безграничное, изотропное, имеющее три измерения. Евклид придал математическую определенность атомистической идее пустого пространства, в котором движутся атомы. Простейшим геометрическим объектом у Евклида является точка, которую он определяет как то, что не имеет частей. Другими словами, точка - это неделимый атом пространства.

Слайд 10

Бесконечность пространства характеризуется тремя постулатами: «От всякой точки до всякой точки можно провести прямую линию». «Ограниченную прямую можно непрерывно продолжить по прямой». «Из всякого центра и всяким раствором может быть описан круг».

Слайд 11

Учение о параллельных и знаменитый пятый постулат («Если прямая,падающая на две прямые, образует внутренние и по одну сторону углы меньшие двух прямых, то продолженные неограниченно эти две прямые встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых») определяют свойства евклидова пространства и его геометрию, отличную от неевклидовых геометрий.

Слайд 12

Обычно о «Началах» говорят, что после Библии это самый популярный написанный памятник древности. Книга имеет свою, весьма примечательную историю. В течение двух тысяч лет она являлась настольной книгой школьников, использовалась как начальный курс геометрии. «Начала» пользовались исключительной популярностью, и с них было снято множество копий трудолюбивыми писцами в разных городах и странах. Позднее «Начала» с папируса перешли на пергамент, а затем на бумагу.На протяжении четырех столетий «Начала» публиковались 2500 раз: в среднем выходило ежегодно 6-7 изданий. До XX века книга считалась основным учебником по геометрии не только для школ, но и для университетов.

Слайд 13

«Начала» Евклида были основательно изучены арабами, а позднее европейскими учеными. Они были переведены на основные мировые языки. Первые подлинники были напечатаны в 1533 году в Базеле Любопытно, что первый перевод на английский язык, относящийся к 1570 году,был сделан Генри Биллингвеем, лондонским купцом Евклиду принадлежат частично сохранившиеся, частично реконструированные в дальнейшем математические сочинения Именно он ввел алгоритм для получения наибольшего общего делителя двух произвольно взятых натуральных чисел и алгоритм, названный «счетом Эратосфена», -для нахождения простых чисел от данного числа.

Слайд 14

Евклид заложил основы геометрической оптики, изложенные им в сочинениях «Оптика» и «Катоптрика». Основное понятие геометрической оптики - прямолинейный световой луч. Евклид утверждал, что световой луч исходит из глаза (теория зрительных лучей), что для геометрических построений не имеет существенного значения. Он знает закон отражения и фокусирующее действие вогнутого сферического зеркала, хотя точного положения фокуса определить еще не может Во всяком случае в истории физики имя Евклида как основателя геометрической оптики заняло надлежащее место.

Слайд 15

У Евклида мы встречаем также описание монохорда - однострунного прибора для определения высоты тона струны и ее частей. Полагают, что монохорд придумал Пифагор, а Евклид только описал его («Деление канона», III век до нашей эры). Евклид со свойственной ему страстью занялся числительной системой интервальных соотношений. Изобретение монохорда имело значение для развития музыки. Постепенно вместо одной струны стали использоваться две или три. Так было положено начало созданию клавишных инструментов, сначала клавесина, потом пианино, А первопричиной появления этихмузыкальных инструментов стала математика.

Слайд 16

Конечно, все особенности евклидова пространства были открыты не сразу, а в результате многовековой работы научной мысли, но отправным пунктом этой работы послужили «Начала» Евклида. Знание основ евклидовой геометрии является ныне необходимым элементом общего образования во всем мире.

Слайд 17

Источники информации:

http://biographera.net/biography.php?id=50 http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/PictDisplay/Euclid.html

Посмотреть все слайды

Описание презентации по отдельным слайдам:

1 слайд

Описание слайда:

«Это удивительнейшее произведение мысли дало человеческому разуму ту уверенность в себе, которая была необходима для его последующей деятельности. Тот не рожден для теоретических исследований, кто в молодости не восхищался этим творением» Альберт Эйнштейн

2 слайд

Описание слайда:

Евклидова геометрия Евклидова геометрия - геометрия, систематическое построение которой было впервые дано в III в. до н. э. Евклидом. Система аксиом евклидовой геометрии опирается на следующие основные понятия: точка, прямая, плоскость, движение и следующие отношения: «точка лежит на прямой на плоскости», «точка лежит между двумя другими». В современном изложении систему аксиом евклидовой геометрий разбивают на пять групп.

3 слайд

Описание слайда:

В Началах излагаются планиметрия, стереометрия, арифметика, отношения по Евдоксу. В классической реконструкции Гейберга весь труд состоит из 13 книг. Изложение в Началах ведётся строго дедуктивно. Каждая книга начинается с определений. В первой книге за определениями идут аксиомы и постулаты. Затем следуют предложения, которые делятся на задачи (в которых нужно что-то построить) и теоремы (в которых нужно что-то доказать). «Начала» Евклида

4 слайд

Описание слайда:

Первая книга начинается определениями, из которых первые семь гласят: Точка есть то, что не имеет частей («Точка есть то, часть чего ничто»). Линия - длина без ширины. Края же линии - точки. Прямая линия есть та, которая равно лежит на всех своих точках. Поверхность есть то, что имеет только длину и ширину. Края же поверхности - линии. Плоская поверхность есть та, которая равно лежит на всех своих линиях.

5 слайд

Описание слайда:

За определениями Евклид приводит постулаты: От всякой точки до всякой точки можно провести прямую. Ограниченную прямую можно непрерывно продолжать по прямой. Из всякого центра всяким раствором может быть описан круг. Все прямые углы равны между собой. Если прямая, пересекающая две прямые, образует внутренние односторонние углы, меньшие двух прямых, то, продолженные неограниченно, эти две прямые встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых.

6 слайд

Описание слайда:

За постулатами следуют аксиомы, которые имеют характер общих утверждений, относящихся в равной мере как к числам, так и к непрерывным величинам: Равные одному и тому же равны и между собой. И если к равным прибавляются равные, то и целые будут равны. И если от равных отнимаются равные, то остатки будут равны. И если к неравным прибавляются равные, то целые будут не равны. И удвоенные одного и того же равны между собой. И половины одного и того же равны между собой. И совмещающиеся друг с другом равны между собой. И целое больше части. И две прямые не содержат пространства. Затем рассматриваются различные случаи равенства и неравенства треугольников; теоремы о параллельных прямых и параллелограммах; так называемые «местные» теоремы о равенстве площадей треугольников и параллелограммов на одном основании и под одной высотой. Заканчивается I книга теоремой Пифагора.

7 слайд

Описание слайда:

Обзор содержания книг II-XIII II книга - теоремы так называемой «геометрической алгебры». III книга - предложения об окружностях, их касательных и хордах. IV книга - предложения о вписанных и описанных многоугольниках. V книга - общая теория отношений, разработанная Евдоксом Книдским. VI книга - учение о подобии геометрических фигур. VII, VIII и IX книги посвящены теоретической арифметике (теории целых и рациональных чисел). X книга - классификация несоизмеримых величин (квадратичные иррациональности). XI книга - начала стереометрии. XII книга - теоремы о пирамидах и конусах, доказываемые с помощью метода исчерпывания (площади и объёмы). XIII книга - построение правильных многогранников; доказательство того, что существует ровно пять правильных многогранников.

8 слайд

Описание слайда:

Вторым после «Начал» сочинением Евклида обычно называют «Данные», введение в геометрический анализ. Евклиду принадлежат также «Явления», посвященные элементарной сферической астрономии; «Оптика», посвященное теории перспективы; «Катоптрика», посвященное математической теории зеркал; небольшой трактат «Сечения канона» (содержит десять задач о музыкальных интервалах); сборник задач по делению площадей фигур «О делениях» (дошел до нас в арабском переводе). Изложение во всех этих сочинениях, как и в «Началах», подчинено строгой логике, причем теоремы выводятся из точно сформулированных физических гипотез и математических постулатов. Много произведений Евклида утеряно, об их существовании в прошлом нам известно только по ссылкам в сочинениях других авторов. Другие сочинения

9 слайд

Описание слайда:

Исследование системы аксиом Евклида во второй половине XIX века показало её неполноту. В 1899 году Д. Гильберт предложил первую достаточно строгую аксиоматику евклидовой геометрии. Попытки улучшения евклидовой аксиоматики предпринимались до Гильберта многими учеными, однако подход Гильберта, при всей его консервативности в выборе понятий, оказался более успешным. Давид Гильберт (1862 -1943) -выдающийся немецкий математик-универсал, внёс значительный вклад в развитие многих математических разделов. В 1910-1920-е годы был признанным мировым лидером математиков.

10 слайд

Описание слайда:

Возникновение Евклидовой геометрии тесно связано с наглядными представлениями об окружающем нас мире (прямые линии - натянутые нити, лучи света и т. п.). Длительный процесс углубления наших представлений привёл к более абстрактному пониманию геометрии. Открытие Н. И. Лобачевским геометрии, отличной от Евклидовой геометрии, показало, что наши представления о пространстве не являются априорными. Иными словами, Евклидова геометрия не может претендовать на роль единственной геометрии, описывающей свойства окружающего нас пространства. Развитие естествознания (главным образом физики и астрономии) показало, что Евклидова геометрия описывает структуру окружающего нас пространства лишь с определённой степенью точности и не пригодна для описания свойств пространства, связанных с перемещениями тел со скоростями, близкими к световой. Т. о., Евклидова геометрия может рассматриваться как первое приближение для описания структуры реального физического пространства.

Евклид или Эвклид древнегреческий мате- матик. Мировую известность приобрёл благодаря сочинению по основам математики «Начала». Биографические данные о Евклиде крайне скудны. О жизни Евклида почти ничего не известно. Некоторые биографические данные сохранились на страницах арабской рукописи XII века: " Евклид, сын Наукрата, известный под именем "Геометра", ученый старого времени, по своему происхождению грек, по местожительству сириец, родом из Тира". Он родился в Афинах, учился в Академии. В начале 3 века до н.э. переехал в Александрию и там основал математи- ческую школу и написал для ее учеников свой фундаментальный труд, объединенный под общим названием "Начала". Он был написан около 325 года до нашей эры. Евклид

В арифметике Евклид сде- лал три значительных открытия. Во-первых, он сформулировал (без доказательства) теорему о делении с остатком. Во-вторых, он придумал "алгоритм Евклида" - быстрый способ нахождения наибольшего общего делителя чисел или общей меры отрезков (если они соизмеримы). Наконец, Евклид первый начал изучать свойства простых чисел - и доказал, что их мно- жество бесконечно.

Ватиканский манускрипт, т.1, 38v 39r. Euclid I prop. 47 (теорема Пифагора). Из дошедших до нас сочине- ний Евклида наиболее знамениты «На- чала», состоящие из 15 книг. Первые четыре книги "Начал" посвя- щены геометрии на плоскости, и в них изучаются основные свойства прямоли- нейных фигур и окружностей. Книге I предпосланы определения понятий, используемых в дальнейшем. Они носят интуитивный характер, поскольку определены в терминах физической реальности: "Точка есть то, что не имеет частей". "Линия же - длина без ширины". "Прямая линия есть та, которая равно расположена по отношению точкам на ней". "Поверхность есть то, что имеет только длину и ширину" и т.д.

В книге II заложены основы так называемой геометрической алгебры, восходящей к школе Пифагора. Все величины в ней представлены геометрически, и операции над числами выполняются геометрически. Числа заменены отрезками прямой. Книга III целиком посвящена геометрии окружности, а в книге IV изучаются правильные многоугольники, вписанные в окружность, а также описанные вокруг нее. Теория пропорций, разработанная в книге V, одинаково хорошо прилагалась и к соизмеримым величинам и к несоизмеримым величинам. Эвклид включал в понятие "величины" длины, площади, объемы, веса, углы, временные интервалы и т. д. Отказавшись использовать геометрическую очевидность, но избегая также обращения к арифметике, он не приписывал величинам численных значений.

В книге VI теория пропорций книги V применяется к прямолинейным фигурам, к геометрии на плоскости и, в частности, к подобным фигурам, причем "подобные прямолинейные фигуры суть те, которые имеют углы, равные по порядку, и стороны при равных углах пропорциональные". Книги VII, VIII и IX составляют трактат по теории чисел; теория пропорций в них прилагается к числам. В книге VII определяется равенство отношений целых чисел, или, с современной точки зрения, строится теория рациональных чисел. Из многих свойств чисел, исследованных Эвклидом (четность, делимость и т.д.), приведем, например, предложение 20 книги IX, устанавливающее существование бесконечного множества "первых", т.е. простых чисел: "Первых чисел существует больше всякого предло- женного количества первых чисел". Его доказате- льство от противного до сих пор можно найти в учебниках по алгебре.

Книга X читается с трудом; она содержит классификацию квадратичных иррациональных величин, которые там представлены геометри- чески прямыми и прямоугольниками. Вот как сформулировано предложение 1 в книге X "Начал" Эвклида: "Если заданы две неравные величины и из большей вычитается часть, большая половины, а из остатка - снова часть, большая половины, и это повторяется постоян- но, то когда-нибудь остается величина, которая меньше, чем меньшая из данных величин". На современном языке: Если a и b – положи- тельные вещественные числа и a >b, то всегда существует такое натуральное число m, что mb > a. Эвклид доказал справедливость геометри- ческих преобразований. b, то всегда существует такое натуральное число m, что mb > a. Эвклид доказал справедливость геометри- ческих преобразований.">

Книга XI посвящена стереомет- рии. В книге XII, которая также восходит, вероятно, к Евдоксу, с помощью Метода исчерпывания площади криволинейных фигур сравниваются с площадями мно- гоугольников. Предметом книги XIII является построение правильных многогранников. Построение Пла- тоновых тел, которым, по-види- мому завершаются "Начала", дало основание причислить Эвклида к последователям философии Пла- тона.

Вторым после «Начал» сочинением Евк- лида обычно называют «Данные» введение в геометрический анализ. Евклиду принадлежат также «Явления», посвященные элементарной сферической астрономии, «Оптика» и «Катоп- трика», небольшой трактат «Сечения канона» (содержит десять задач о музыкальных интер- валах), сборник задач по делению площадей фигур «О делениях» (дошел до нас в арабском переводе). Изложение во всех этих сочинениях, как и в «Началах», подчинено строгой логике, причем теоремы выводятся из точно сформулирован- ных физических гипотез и математических пос- тулатов. Много произведений Евклида утеряно, об их существовании в прошлом нам известно только по ссылкам в сочинениях других авторов.

Выдающийся древнегреческий математик Евклид родился в Мегаре, небольшом греческом городке. О жизни его мы знаем очень мало, неизвестны даже дата рождения и смерти этого человека. Обычно указывают только четвертый век до н.э., когда он родился, и третий век до н.э., период расцвета его деятельности в Александрии - столице Египта при греко-македонской династии Птоломеев. В античном мире Птоломеи не имели себе равных по покровительству ученым, писателям, изобретателям и поэтам. Известно, что он был учеником Платона.

Однажды царь Птолемей спросил Евклида, существует ли другой, не такой трудный путь познания геометрии, чем тот, который изложил учёный в своих «Началах». Евклид ответил: « О царь, в геометрии нет царских дорог ».

• Долгое время учёные считали, что не было конкретного исторического лица, что под именем Евклида скрывалась группа математиков. Однако в найденой рукописи XII века были обнаружены доказательства его существования. Евклид попал в Александрию на должность преподавателя Мусейона, т.е. буквально "обители Муз", а фактически - прообраза будущих европейских университетов. В этом великолепном городе Евклид и создал свой труд "Начала"(или "Элементы" в латинизированной форме). В пятнадцати книгах "Начал" изложены почти все важнейшие достижения античной математики. На протяжении более двух тысяч лет Евклидово сочинение оставалось основным трудом по элементарной математике. Но достижение Евклида не только в том, что он открыл законы и теоремы, а еще и в том, что великий математик привел в систему разрозненный и обширный теоретический материал и расположил его в такой последовательности, что каждая теорема следовала из предыдущей. Он дал первую систему аксиом - утверждений, принимаемых без доказательств. То, что математику называют точнейшей из наук - немалая заслуга Евклида.
• А теперь расскажем о том, в чем конкретно заключались открытия Евклида.

• Основы геометрической алгебры (наука о исчислении отрезков и площадей) были изложены в I книге "Начал". Там рассматриваются отрезки и определяются арифметические операции над ними. Например, два отрезка складывали, приставляя один к другому, вычитали, убирая из большего отрезка часть, равную меньшему. Исчисление, определённое в геометрической алгебре, было «ступенчатым». Первую ступень составляли отрезки, вторую - площади, третью - объёмы. Инструментами, с помощью которых разрешалось проделывать построения в геометрической алгебре, стали циркуль и линейка.
• В книге II рассматриваются основные свойства треугольников, прямоугольников, параллелограммов и производится сравнение их площадей. Заканчивается книга теоремой Пифагора.
• В книге III рассматриваются свойства круга, его касательных и хорд (эти проблемы были исследованы Гиппократом Хиосским во 2-й половине 5 в. до н. э.).

В 1739 году книга "Начал" была переведена на русский язык. Перед вами первая страница книги первой.

• В книге IV - правильные многоугольники. В книге V даётся общая теория отношений величин, созданная Евдоксом Книдским; её можно рассматривать как прообраз теории действительных чисел, разработанной только во 2-й половине 19 в. Общая теория отношений является основой учения о подобии (книга VI) и метода исчерпывания (книга VII), также восходящих к Евдоксу. В книгах VII-IX изложены начала теории чисел, основанные на алгоритме нахождения наибольшего общего делителя или алгоритма Евклида. В эти книги входит теория делимости, включая теоремы об однозначности разложения целого числа на простые множители и о бесконечности числа простых чисел; здесь излагается также учение об отношении целых чисел подобное теории рациональных (положительных) чисел. В книге Х даётся классификация квадратичных и биквадратичных иррациональностей и обосновываются некоторые правила их преобразования. Результаты книги Х применяются в книге XIII для нахождения длин рёбер правильных многогранников. Значительная часть книг Х и XIII (вероятно и VII) принадлежит Теэтету (начало 4 в. до н. э.). В книге XI излагаются основы стереометрии.
• В книге XII определяются с помощью метода исчерпывания отношение площадей двух кругов и отношение объёмов пирамиды и призмы, конуса и цилиндра. Эти теоремы впервые доказаны Евдоксом.
• Наконец, в книге XIII определяется отношение объёмов двух шаров, строятся пять правильных многогранников и доказывается, что иных правильных тел не существует.
• Последующими греческими математиками к «Началам» Евклида были присоединены книги XIV и XV , не принадлежавшие Евклиду. Они нередко и теперь издаются совместно с основным текстом «Начал». Там рассматриваются отрезки и определяются арифметические операции над ними.

Фрагмент старейшего папируса с диаграммами из "Элементов геометрии" Евклида

• Цитадель (средневековая крепость) построена в XII веке

Мечеть Эль-Мурси Абуль Аббаса в Александрии .

Хургада. Дворец 1000 и 1 ночь. Александрия

александрийская бухта