Derékszögű koordinátarendszer: alapfogalmak és példák. Koordinátasík: mi ez? Hogyan jelöljünk pontokat és építsünk alakzatokat a koordinátasíkon? Az xoy koordinátasíkon

A matematika meglehetősen összetett tudomány. Tanulmányozása során nemcsak példákat és problémákat kell megoldani, hanem különféle figurákkal, sőt síkokkal is kell dolgozni. A matematikában az egyik leggyakrabban használt koordinátarendszer a síkon. A gyerekeket több mint egy éve tanítják, hogyan kell helyesen dolgozni vele. Ezért fontos tudni, hogy mi ez, és hogyan kell helyesen dolgozni vele.

Nézzük meg, mi ez a rendszer, milyen műveleteket hajthat végre vele, és ismerje meg főbb jellemzőit és jellemzőit.

Fogalom meghatározása

A koordinátasík egy olyan sík, amelyen egy adott koordinátarendszer van meghatározva. Egy ilyen síkot két derékszögben metsző egyenes határoz meg. Ezeknek az egyeneseknek a metszéspontja a koordináták origója. A koordinátasíkon minden pontot egy számpár ad meg, amelyeket koordinátáknak nevezünk.

Az iskolai matematika kurzuson a diákoknak meglehetősen szorosan együtt kell dolgozniuk egy koordinátarendszerrel - ábrákat és pontokat kell ráépíteniük, meg kell határozniuk, hogy egy adott koordináta melyik síkhoz tartozik, valamint meg kell határozni egy pont koordinátáit, és fel kell írni vagy elnevezni. Ezért beszéljünk részletesebben a koordináták összes jellemzőjéről. De először érintsük meg a teremtés történetét, majd beszélünk arról, hogyan kell dolgozni a koordinátasíkon.

Történeti hivatkozás

A koordinátarendszer létrehozására vonatkozó ötletek Ptolemaiosz idejében születtek. A csillagászok és matematikusok már akkor azon gondolkodtak, hogyan tanulják meg egy pont helyzetének beállítását a síkon. Sajnos akkor még nem volt ismert koordinátarendszer, és a tudósoknak más rendszereket kellett használniuk.

Kezdetben a szélességi és hosszúsági fokok megadásával határozzák meg a pontokat. Sokáig ez volt az egyik leggyakrabban használt módja ennek vagy annak az információnak a feltérképezésére. De 1637-ben Rene Descartes megalkotta saját koordináta-rendszerét, amelyet később „Cartesian”-ról neveztek el.

Már a XVII. század végén. a "koordinátasík" fogalma széles körben elterjedt a matematika világában. Annak ellenére, hogy több évszázad telt el a rendszer létrehozása óta, még mindig széles körben használják a matematikában, sőt az életben is.

Példák koordinátasíkra

Mielőtt az elméletről beszélnénk, adunk néhány szemléltető példát a koordinátasíkra, hogy el tudja képzelni. A koordinátarendszert elsősorban a sakkban használják. A táblán minden négyzetnek saját koordinátája van - egy betűkoordináta, a második - digitális. Segítségével meghatározhatja egy adott darab helyzetét a táblán.

A második legszembetűnőbb példa a "Battleship" szeretett játék. Ne feledje, hogyan ad meg játék közben egy koordinátát, például B3-at, így pontosan jelzi, hová céloz. Ugyanakkor a hajók elhelyezésekor pontokat ad meg a koordinátasíkon.

Ezt a koordinátarendszert nemcsak a matematikában, a logikai játékokban használják széles körben, hanem a katonai ügyekben, a csillagászatban, a fizikában és sok más tudományban is.

Koordinátatengelyek

Mint már említettük, a koordinátarendszerben két tengelyt különböztetünk meg. Beszéljünk egy kicsit róluk, mert jelentőségük van.

Az első tengely - az abszcissza - vízszintes. Ezt jelöli ( Ökör). A második tengely az ordináta, amely függőlegesen halad át a referenciaponton, és jelölése ( Oy). Ez a két tengely alkotja a koordinátarendszert, négy negyedre osztva a síkot. Az origó e két tengely metszéspontjában található, és felveszi az értéket 0 . Csak ha a síkot két merőlegesen metsző tengely alkotja, amelyeknek van referenciapontja, akkor az koordinátasík.

Vegye figyelembe azt is, hogy mindegyik tengelynek megvan a maga iránya. Általában a koordinátarendszer felépítésénél a tengely irányát szokás nyíl formájában jelezni. Ezenkívül a koordinátasík felépítésénél minden tengely előjelre kerül.

szállás

Most mondjunk néhány szót egy olyan fogalomról, mint a koordinátasík negyedei. A síkot két tengely osztja négy negyedre. Mindegyiknek saját száma van, míg a síkok számozása az óramutató járásával ellentétes.

Mindegyik negyednek megvannak a maga sajátosságai. Tehát az első negyedben az abszcissza és az ordináta pozitív, a második negyedben az abszcissza negatív, az ordináta pozitív, a harmadikban az abszcissza és az ordináta is negatív, a negyedikben az abszcissza pozitív, az ordináta pedig negatív.

Ha megjegyzi ezeket a jellemzőket, könnyen meghatározhatja, hogy egy adott pont melyik negyedhez tartozik. Ezenkívül ezek az információk hasznosak lehetnek az Ön számára, ha a Descartes-rendszer segítségével kell számításokat végeznie.

Munkavégzés a koordinátasíkkal

Ha foglalkoztunk a sík fogalmával, és beszéltünk a negyedeiről, akkor áttérhetünk egy olyan problémára, mint a munka ezzel a rendszerrel, és beszélhetünk arról is, hogyan lehet pontokat, ábrák koordinátáit feltenni rá. A koordinátasíkon ez nem olyan nehéz, mint amilyennek első pillantásra tűnhet.

Először is maga a rendszer épül fel, minden fontos jelölést alkalmaznak rá. Ezután közvetlenül pontokkal vagy figurákkal kell dolgozni. Ilyenkor az ábrák megalkotásakor is először pontokat viszünk fel a síkra, majd az ábrákat már meg is rajzoljuk.

A sík építésének szabályai

Ha úgy dönt, hogy elkezdi az alakzatok és pontok papíron történő megjelölését, szüksége lesz egy koordinátasíkra. Rajta van ábrázolva a pontok koordinátái. A koordinátasík felépítéséhez csak egy vonalzóra és egy tollra vagy ceruzára van szüksége. Először a vízszintes abszcisszát rajzoljuk, majd a függőleges ordinátát. Fontos megjegyezni, hogy a tengelyek derékszögben metszik egymást.

A következő kötelező elem a jelölés. Az egységek-szegmensek mindegyik tengelyen mindkét irányban meg vannak jelölve és aláírva. Ez azért történik, hogy maximális kényelemmel dolgozhasson a géppel.

Egy pont megjelölése

Most beszéljünk arról, hogyan ábrázoljuk a pontok koordinátáit a koordinátasíkon. Ezeket az alapokat tudnia kell, hogy sikeresen elhelyezhessen különféle alakzatokat a síkon, és még egyenleteket is megjelölhessen.

A pontok megalkotásakor emlékezni kell a koordináták helyes rögzítésére. Tehát általában egy pont beállításához két számot írunk zárójelbe. Az első számjegy a pont koordinátáját az abszcissza tengely mentén, a második az ordináta tengelye mentén jelzi.

A pontot így kell felépíteni. Először jelölje meg a tengelyen Ökör adott pontot, majd jelöljön ki egy pontot a tengelyen Oy. Ezután rajzoljon képzeletbeli vonalakat ezekből a jelölésekből, és keresse meg a metszéspontjuk helyét - ez lesz az adott pont.

Csak annyit kell tennie, hogy megjelöli és aláírja. Amint látja, minden nagyon egyszerű, és nem igényel különleges készségeket.

Alakzat elhelyezése

Most térjünk át egy olyan kérdésre, mint az ábrák felépítése a koordinátasíkon. Ahhoz, hogy bármilyen alakzatot a koordinátasíkra építhess, tudnod kell, hogyan kell pontokat elhelyezni rajta. Ha tudja, hogyan kell ezt megtenni, akkor nem olyan nehéz egy figurát egy síkra helyezni.

Először is szüksége lesz az ábra pontjainak koordinátáira. Ezekre alkalmazzuk az Ön által kiválasztottakat a koordinátarendszerünkben, fontoljuk meg egy téglalap, háromszög és kör rajzolását.

Kezdjük egy téglalappal. Alkalmazása meglehetősen egyszerű. Először négy pontot alkalmazunk a síkra, jelezve a téglalap sarkait. Ezután minden pont egymás után kapcsolódik egymáshoz.

A háromszög rajzolása nem más. Az egyetlen dolog, hogy három sarka van, ami azt jelenti, hogy három pont kerül a síkra, jelölve annak csúcsait.

Ami a kört illeti, itt két pont koordinátáit kell tudni. Az első pont a kör középpontja, a második a kör sugarát jelölő pont. Ez a két pont egy síkon van ábrázolva. Ezután iránytűt veszünk, megmérjük két pont távolságát. Az iránytű pontját a középpontot jelölő pontba helyezzük, és egy kört írunk le.

Mint látható, itt sincs semmi bonyolult, a lényeg, hogy mindig legyen kéznél egy vonalzó és egy iránytű.

Most már tudja, hogyan kell ábrázolni az alakzat koordinátáit. A koordinátasíkon ezt nem olyan nehéz megtenni, mint amilyennek első pillantásra tűnhet.

következtetéseket

Tehát átgondoltuk Önnel a matematika egyik legérdekesebb és legalapvetőbb fogalmát, amellyel minden diáknak meg kell küzdenie.

Megállapítottuk, hogy a koordinátasík az a sík, amelyet két tengely metszéspontja alkot. Segítségével beállíthatja a pontok koordinátáit, formákat rakhat rá. A sík negyedekre van osztva, amelyek mindegyikének megvannak a maga sajátosságai.

A fő készség, amelyet a koordinátasíkkal való munka során fejleszteni kell, az adott pontok helyes ábrázolásának képessége. Ehhez ismernie kell a tengelyek helyes elhelyezkedését, a negyedek jellemzőit, valamint azokat a szabályokat, amelyek alapján a pontok koordinátáit beállítják.

Reméljük, hogy az általunk közölt információk elérhetőek és érthetőek voltak, valamint hasznosak voltak az Ön számára, és segítettek a téma jobb megértésében.

• Két egymásra merőleges koordinátavonal, amelyek az O pontban metszik egymást - az origó, a forma derékszögű koordinátarendszer, más néven derékszögű koordinátarendszer.
• Meghívjuk azt a síkot, amelyen a koordinátarendszert választjuk Koordináta sík. A koordináta egyeneseket hívják koordináta tengelyek. Vízszintes - az abszcissza tengely (Ox), függőleges - az ordináta tengely (Oy).
• A koordinátatengelyek a koordinátasíkot négy részre - negyedekre - osztják. A negyedek sorszámát általában az óramutató járásával ellentétes irányban számolják.
• A koordinátasík bármely pontját a koordinátái adják meg - abszcissza és ordináta. Például, A(3; 4). A következőt olvasták: A pont 3 és 4 koordinátákkal. Itt a 3 az abszcissza, a 4 az ordináta.

I. Az A(3; 4) pont felépítése.

Abszcissza 3 azt mutatja, hogy az origótól - az O pontot jobbra kell tolni 3 egyetlen szegmenst, majd tedd félre 4 egyetlen szakaszt, és tegyen egy pontot.

Ez a lényeg A(3; 4).

B pont kiépítése (-2; 5).

Tegye félre nullától balra 2 egyszeri vágás, majd fel 5 egyetlen vágás.

Véget vetettünk NÁL NÉL.

Általában egyetlen szegmensnek tekintik 1 cella.

II. Pontok szerkesztése az xOy koordinátasíkban:

A(-3;1);B(-1;-2);

C(-2:4);D(2;3);

F(6:4);K(4; 0)

III. Határozzuk meg a megszerkesztett pontok koordinátáit: A, B, C, D, F, K.

A(-4; 3);IN 20);

C(3; 4);D(6;5);

F(0;-3);K(5;-2).

A síkon a téglalap alakú koordinátarendszert két egymásra merőleges egyenes adja. Az egyeneseket koordinátatengelyeknek (vagy koordinátatengelyeknek) nevezzük. Ezen egyenesek metszéspontját origónak nevezzük, és O betűvel jelöljük.

Általában az egyik vonal vízszintes, a másik függőleges. A vízszintes vonalat x (vagy Ox) tengelynek nevezzük, és abszcissza tengelynek, a függőlegest y (Oy) tengelynek nevezzük, ordináta tengelynek nevezzük. A teljes koordinátarendszert xOy jelöli.

Az O pont mindegyik tengelyt két féltengelyre osztja, amelyek közül az egyik pozitív (nyíl van jelölve), a másik negatív.

A sík minden F pontjához hozzá van rendelve egy számpár (x;y) - a koordinátái.

Az x-koordinátát abszcisszának nevezzük. Ez egyenlő a megfelelő előjellel vett ökörrel.

Az y koordinátát ordinátának nevezzük, és egyenlő az F pont és az Oy tengely távolságával (a megfelelő előjellel).

A tengelytávolságot általában (de nem mindig) ugyanabban a hosszegységben mérik.

Az y tengelytől jobbra lévő pontoknak pozitív abszcisszán vannak. Az y tengelytől balra eső pontok esetében az abszciszák negatívak. Az Oy-tengelyen fekvő bármely pont x-koordinátája nulla.

A pozitív ordinátájú pontok az x tengely felett, a negatív ordinátájúak alatta helyezkednek el. Ha egy pont az x tengelyen fekszik, akkor az y-koordinátája nulla.

A koordinátatengelyek négy részre osztják a síkot, amelyeket koordinátanegyedeknek (vagy koordinátaszögeknek vagy kvadránsoknak) neveznek.

1 koordinátanegyed az xOy koordinátasík jobb felső sarkában található. Az I. negyedben elhelyezkedő pontok mindkét koordinátája pozitív.

Az egyik negyedből a másikba való átmenet az óramutató járásával ellentétes irányban történik.

2. negyed a bal felső sarokban található. A második negyedben lévő pontok negatív abszcisszán és pozitív ordinátával rendelkeznek.

3. negyed az xOy sík bal alsó negyedében fekszik. A III koordinátaszögbe tartozó pontok mindkét koordinátája negatív.

4. koordinátanegyed a koordinátasík jobb alsó sarka. A IV negyed bármely pontjának pozitív első koordinátája és negatív második koordinátája van.

Példa a pontok elhelyezkedésére téglalap alakú koordinátarendszerben:

Két vagy három, egymásra merőleges, közös origóval (origióval) és közös hosszegységgel metsző tengelyből álló rendezett rendszert ún. derékszögű derékszögű koordinátarendszer .

Általános derékszögű koordinátarendszer (affin koordinátarendszer) tartalmazhat nem feltétlenül merőleges tengelyeket is. Rene Descartes (1596-1662) francia matematikus tiszteletére olyan koordinátarendszert neveznek el, amelyben minden tengelyen közös hosszegységet számolnak, és a tengelyek egyenesek.

Derékszögű derékszögű koordinátarendszer a síkon két tengelye van derékszögű derékszögű koordinátarendszer a térben - három tengely. A síkon vagy a térben minden pontot koordináták rendezett halmaza határoz meg – számok a koordinátarendszer egységhosszának megfelelően.

Vegyük észre, hogy a definícióból következik, hogy van egy derékszögű koordinátarendszer egy egyenesen, azaz egy dimenzióban. A derékszögű koordináták egyenesen való bevezetése az egyik módja annak, hogy az egyenes bármely pontjához egy jól meghatározott valós számot, azaz koordinátát rendeljünk.

A koordináták módszere, amely René Descartes munkáiban felmerült, az egész matematika forradalmi átstrukturálását jelentette. Lehetővé vált az algebrai egyenletek (vagy egyenlőtlenségek) geometriai képek (grafikonok) formájában történő értelmezése, és fordítva, a geometriai problémák megoldásának keresése elemző képletek, egyenletrendszerek segítségével. Igen, egyenlőtlenség z < 3 геометрически означает полупространство, лежащее ниже плоскости, параллельной координатной плоскости xOyés e sík felett helyezkedik el 3 egységgel.

A derékszögű koordinátarendszer segítségével egy pont adott görbéhez való tartozása megfelel annak, hogy a számok xés y kielégíteni valamilyen egyenletet. Tehát egy adott pontban középpontban lévő kör pontjának koordinátái ( a; b) teljesítik az egyenletet (x - a)² + ( y - b)² = R² .

Derékszögű derékszögű koordinátarendszer a síkon

Egy síkon két egymásra merőleges tengely alakul ki, amelyeknek közös origója és azonos léptékegysége van Derékszögű koordinátarendszer a síkon . Ezen tengelyek egyikét tengelynek nevezzük Ökör, vagy x tengely , a másik - a tengely Oy, vagy y tengely . Ezeket a tengelyeket koordinátatengelyeknek is nevezik. Jelölje Mxés My illetve egy tetszőleges pont vetülete M tengelyen Ökörés Oy. Hogyan szerezzünk előrejelzéseket? Menj át a ponton M Ökör. Ez a vonal metszi a tengelyt Ökör azon a ponton Mx. Menj át a ponton M tengelyre merőleges egyenes Oy. Ez a vonal metszi a tengelyt Oy azon a ponton My. Ez az alábbi ábrán látható.

xés y pontokat M az irányított szegmensek nagyságát rendre hívjuk OMxés OMy. Ezen irányszegmensek értékeit a következőképpen számítjuk ki x = x0 - 0 és y = y0 - 0 . Derékszögű koordináták xés y pontokat M abszcissza és ordináta . Az a tény, hogy a pont M koordinátái vannak xés y, a következőképpen jelöljük: M(x, y) .

A koordinátatengelyek négy részre osztják a síkot negyedkör , amelynek számozása az alábbi ábrán látható. Jelzi a pontok koordinátáinak jeleinek elrendezését is, attól függően, hogy hol helyezkednek el az egyik vagy másik negyedben.

A síkban a derékszögű derékszögű koordináták mellett gyakran figyelembe veszik a poláris koordináta-rendszert is. Az egyik koordinátarendszerből a másikba való átmenet módszeréről - a leckében poláris koordináta-rendszer .

Derékszögű derékszögű koordinátarendszer a térben

A térben a derékszögű koordinátákat a síkon lévő derékszögű koordinátákkal teljes analógiaként vezetjük be.

Három egymásra merőleges tengely a térben (koordinátatengelyek), amelyek közös origóval rendelkeznek Oés ugyanaz a skálaegységforma Derékszögű derékszögű koordinátarendszer a térben .

Ezen tengelyek egyikét tengelynek nevezzük Ökör, vagy x tengely , a másik - a tengely Oy, vagy y tengely , harmadik - tengely Oz, vagy alkalmazási tengely . Hadd Mx, My Mz- tetszőleges pont vetületei M terek a tengelyen Ökör , Oyés Oz illetőleg.

Menj át a ponton M ÖkörÖkör azon a ponton Mx. Menj át a ponton M tengelyére merőleges sík Oy. Ez a sík metszi a tengelyt Oy azon a ponton My. Menj át a ponton M tengelyére merőleges sík Oz. Ez a sík metszi a tengelyt Oz azon a ponton Mz.

Derékszögű derékszögű koordináták x , yés z pontokat M az irányított szegmensek nagyságát rendre hívjuk OMx, OMyés OMz. Ezen irányszegmensek értékeit a következőképpen számítjuk ki x = x0 - 0 , y = y0 - 0 és z = z0 - 0 .

Derékszögű koordináták x , yés z pontokat M ennek megfelelően nevezik el abszcissza , ordináta és rátét .

Párban véve a koordinátatengelyek a koordinátasíkban helyezkednek el xOy , yOzés zOx .

Feladatok a derékszögű koordinátarendszer pontjairól

1. példa

A(2; -3) ;

B(3; -1) ;

C(-5; 1) .

Keresse meg ezen pontok vetületeinek koordinátáit az x tengelyen!

Megoldás. A lecke elméleti részéből az következik, hogy egy pont x tengelyre vetítése magán az x tengelyen, azaz a tengelyen található. Ökör, ezért van egy abszcisszája magának a pontnak az abszcisszájával, és van egy ordinátája (a tengely koordinátája Oy, amelyet az x tengely a 0 pontban metszi), egyenlő nullával. Így az x tengely pontjainak a következő koordinátáit kapjuk:

Ax(2;0);

Bx(3;0);

Cx(-5;0).

2. példa A pontok a síkon a derékszögű koordinátarendszerben vannak megadva

A(-3; 2) ;

B(-5; 1) ;

C(3; -2) .

Keresse meg ezen pontok vetületeinek koordinátáit az y tengelyen!

Megoldás. A lecke elméleti részéből az következik, hogy egy pont y tengelyre vetítése magán az y tengelyen, azaz a tengelyen található. Oy, ezért van egy ordinátája megegyezik magának a pont ordinátájával, és van egy abszcisszája (a tengely koordinátája Ökör, amelyet az y tengely a 0 pontban metszi), egyenlő nullával. Így az y tengely pontjainak a következő koordinátáit kapjuk:

Ay(0; 2);

By (0; 1);

Cy(0;-2).

3. példa A pontok a síkon a derékszögű koordinátarendszerben vannak megadva

A(2; 3) ;

B(-3; 2) ;

C(-1; -1) .

Ökör .

Ökör Ökör Ökör, az adott pont abszcisszája lesz, az ordináta pedig abszolút értékben megegyezik az adott pont ordinátájával, előjelében pedig ellentétes vele. Így a következő koordinátákat kapjuk a tengely körüli pontokra szimmetrikusan Ökör :

A"(2; -3) ;

B"(-3; -2) ;

C"(-1; 1) .

Oldja meg a problémákat a derékszögű koordinátarendszeren, majd nézze meg a megoldásokat

4. példa Határozza meg, hogy mely negyedekben (negyedek, ábra kvadránsokkal - a "Téglalap derékszögű koordinátarendszer a síkon" bekezdés végén) található a pont M(x; y) , ha

1) xy > 0 ;

2) xy < 0 ;

3) x − y = 0 ;

4) x + y = 0 ;

5) x + y > 0 ;

6) x + y < 0 ;

7) x − y > 0 ;

8) x − y < 0 .

5. példa A pontok a síkon a derékszögű koordinátarendszerben vannak megadva

A(-2; 5) ;

B(3; -5) ;

C(a; b) .

Keresse meg a tengely körüli pontokra szimmetrikus pontok koordinátáit Oy .

Továbbra is közösen oldjuk meg a problémákat

6. példa A pontok a síkon a derékszögű koordinátarendszerben vannak megadva

A(-1; 2) ;

B(3; -1) ;

C(-2; -2) .

Keresse meg a tengely körüli pontokra szimmetrikus pontok koordinátáit Oy .

Megoldás. Forgassa el 180 fokkal a tengely körül Oy tengelyből irányított vonalszakasz Oy eddig a pontig. Az ábrán, ahol a sík kvadránsai vannak feltüntetve, azt látjuk, hogy az adott pontra a tengelyre szimmetrikus pont Oy, ugyanaz lesz az ordinátája, mint az adott pont, és egy abszcisszája abszolút értékű lesz az adott pont abszcisszájával, és ellentétes előjelű. Így a következő koordinátákat kapjuk a tengely körüli pontokra szimmetrikusan Oy :

A"(1; 2) ;

B"(-3; -1) ;

C"(2; -2) .

7. példa A pontok a síkon a derékszögű koordinátarendszerben vannak megadva

A(3; 3) ;

B(2; -4) ;

C(-2; 1) .

Keresse meg azoknak a pontoknak a koordinátáit, amelyek szimmetrikusak az origóhoz képest!

Megoldás. Az irányított szakasz origója körül 180 fokkal elforgatjuk az origótól az adott pontig haladva. Az ábrán, ahol a sík kvadránsai vannak feltüntetve, azt látjuk, hogy a koordináták origója szempontjából egy adott ponttal szimmetrikus pontnak az abszcisszája és az ordinátája abszolút értékű lesz az adott pont abszcisszájával és ordinátájával. , de velük szemben. Így az origó szempontjából ezekre a pontokra szimmetrikus pontok alábbi koordinátáit kapjuk:

A"(-3; -3) ;

B"(-2; 4) ;

C(2; -1) .

8. példa

A(4; 3; 5) ;

B(-3; 2; 1) ;

C(2; -3; 0) .

Keresse meg ezen pontok vetületeinek koordinátáit:

1) repülőn Oxy ;

2) a repülőre Oxz ;

3) a repülőre Oyz ;

4) az abszcissza tengelyen;

5) az y tengelyen;

6) a rátét tengelyén.

1) Egy pont síkra vetítése Oxy ezen a síkon helyezkedik el, ezért az abszcisszája és az ordinátája megegyezik az adott pont abszcisszájával és ordinátájával, és az applikációja nullával egyenlő. Így ezeknek a pontoknak a vetületeinek a következő koordinátáit kapjuk Oxy :

Axy(4;3;0);

Bxy (-3; 2; 0);

Cxy(2;-3;0).

2) Egy pont síkra vetítése Oxz ezen a síkon helyezkedik el, és ezért az adott pont abszcisszájával és aplikátjával egyenlő, ordinátája pedig nulla. Így ezeknek a pontoknak a vetületeinek a következő koordinátáit kapjuk Oxz :

Axz (4; 0; 5);

Bxz (-3; 0; 1);

Cxz(2;0;0).

3) Egy pont síkra vetítése Oyz magán ezen a síkon helyezkedik el, és ezért van egy ordinátája és egy applikációja, amely megegyezik egy adott pont ordinátájával és applikációjával, az abszcisszája pedig nullával egyenlő. Így ezeknek a pontoknak a vetületeinek a következő koordinátáit kapjuk Oyz :

Ayz (0; 3; 5);

Byz (0; 2; 1);

Cyz(0;-3;0).

4) A lecke elméleti részéből következően egy pont x tengelyre vetítése magán az x tengelyen található, vagyis a tengelyen Ökör, ezért az abszcisszája megegyezik magának a pontnak abszcisszájával, a vetület ordinátája és applikátuma pedig nulla (mivel az ordináta és az applikációs tengely a 0 pontban metszi az abszcisszát). Ezeknek a pontoknak az x tengelyen a vetületeinek a következő koordinátáit kapjuk:

Ax(4;0;0);

Bx(-3;0;0);

Cx(2;0;0).

5) Egy pont vetülete az y tengelyen magán az y tengelyen található, vagyis a tengelyen Oy, ezért ordinátája megegyezik magának a pontnak az ordinátájával, és a vetítés abszcisszája és applikátuma egyenlő nullával (mivel az abszcissza és az applikációs tengely a 0 pontban metszi az ordináta tengelyét). Ezeknek a pontoknak az y tengelyen a vetületeinek a következő koordinátáit kapjuk:

Ay(0;3;0);

By(0;2;0);

Cy(0;-3;0).

6) Egy pont vetülete az alkalmazási tengelyen magán az alkalmazási tengelyen található, vagyis a tengelyen Oz, és ezért magának a pontnak az applikátumával egyenlő, és a vetítés abszcissza és ordinátája egyenlő nullával (mivel az abszcissza és az ordináta tengelye a 0 pontban metszi az applikációs tengelyt). Az alkalmazási tengelyen ezeknek a pontoknak a vetületeinek a következő koordinátáit kapjuk:

Az(0; 0; 5);

Bz(0;0;1);

Cz(0; 0; 0).

9. példa A pontok a térben a derékszögű koordinátarendszerben vannak megadva

A(2; 3; 1) ;

B(5; -3; 2) ;

C(-3; 2; -1) .

Keresse meg azoknak a pontoknak a koordinátáit, amelyek szimmetrikusak ezekre a pontokra a következőképpen:

1) repülőgép Oxy ;

2) sík Oxz ;

3) sík Oyz ;

4) abszcissza tengely;

5) y tengely;

6) rátét tengely;

7) a koordináták origója.

1) "Lépje előre" a pontot a tengely másik oldalán Oxy Oxy, lesz egy abszcisszája és egy ordinátája, amely megegyezik az adott pont abszcisszájával és ordinátájával, valamint egy applikációja, amely nagyságrendileg megegyezik az adott pont applikációjával, de ellentétes előjellel. Így az adatokra a síkra vonatkoztatva szimmetrikus pontok alábbi koordinátáit kapjuk Oxy :

A"(2; 3; -1) ;

B"(5; -3; -2) ;

C"(-3; 2; 1) .

2) A tengely másik oldalán lévő pontot "előre" vinni Oxz ugyanarra a távolságra. A koordinátateret ábrázoló ábra szerint azt látjuk, hogy az adott pontra a tengelyre szimmetrikus Oxz, az adott pont abszcisszájával és applikátjával egyenlő abszcisszája és applikációja, valamint az adott pont ordinátájával nagyságrendileg megegyező, de azzal ellentétes előjelű ordinátája lesz. Így az adatokra a síkra vonatkoztatva szimmetrikus pontok alábbi koordinátáit kapjuk Oxz :

A"(2; -3; 1) ;

B"(5; 3; 2) ;

C"(-3; -2; -1) .

3) "Lépje előre" a pontot a tengely másik oldalán Oyz ugyanarra a távolságra. A koordinátateret ábrázoló ábra szerint azt látjuk, hogy az adott pontra a tengelyre szimmetrikus Oyz, lesz egy ordinátája és egy applikációja, amely megegyezik az adott pont ordinátájával és egy applikációjával, valamint egy abszcisszája, amely nagysága megegyezik az adott pont abszcisszájával, de ellentétes előjellel. Így az adatokra a síkra vonatkoztatva szimmetrikus pontok alábbi koordinátáit kapjuk Oyz :

A"(-2; 3; 1) ;

B"(-5; -3; 2) ;

C"(3; 2; -1) .

A síkon lévő szimmetrikus pontokhoz és a síkokhoz viszonyított adatokra szimmetrikus térbeli pontokhoz hasonlóan megjegyezzük, hogy a Descartes-féle koordinátarendszer térbeli tengelye körüli szimmetria esetén az a koordináta a tengelyen, amelyre a szimmetriát beállítjuk. megőrzi előjelét, a másik két tengely koordinátái pedig abszolút értékben megegyeznek az adott pont koordinátáival, de ellentétes előjellel.

4) Az abszcissza megőrzi jelét, míg az ordináta és az applikátum jeleket vált. Tehát az x tengelyre vonatkozó adatokkal szimmetrikus pontok alábbi koordinátáit kapjuk:

A"(2; -3; -1) ;

B"(5; 3; -2) ;

C"(-3; -2; 1) .

5) Az ordináta megőrzi jelét, míg az abszcissza és az applikát jelet vált. Tehát az y tengelyre vonatkozó adatokkal szimmetrikus pontok alábbi koordinátáit kapjuk:

A"(-2; 3; -1) ;

B"(-5; -3; -2) ;

C"(3; 2; 1) .

6) A kérvény megtartja jelét, az abszcisszán és az ordináta pedig jelet vált. Tehát a következő pontok koordinátáit kapjuk, amelyek szimmetrikusak az alkalmazási tengelyre vonatkozó adatokkal:

A"(-2; -3; 1) ;

B"(-5; 3; 2) ;

C"(3; -2; -1) .

7) A szimmetriával analóg módon síkban lévő pontok esetén az origóra vonatkozó szimmetria esetén egy adott pontra szimmetrikus pont összes koordinátája abszolút értékben egyenlő lesz egy adott pont koordinátáival, de ellentétes aláírva nekik. Így az adatokkal szimmetrikus pontok alábbi koordinátáit kapjuk az origó szempontjából.

Legyen adott egyenlet két változóval F(x; y). Ön már megtanulta, hogyan kell az ilyen egyenleteket analitikusan megoldani. Az ilyen egyenletek megoldásainak halmaza gráf formájában is ábrázolható.

Az F(x; y) egyenlet grafikonja az xOy koordinátasík azon pontjainak halmaza, amelyek koordinátái kielégítik az egyenletet.

Kétváltozós egyenlet ábrázolásához először fejezze ki az y változót az egyenletben szereplő x változóval.

Bizonyára már tudja, hogyan készíthet különféle egyenletgráfokat két változóval: ax + b \u003d c egy egyenes, yx \u003d k egy hiperbola, (x - a) 2 + (y - b) 2 \u003d R 2 egy kör, amelynek sugara R, középpontja pedig az O(a; b) pontban van.

1. példa

Ábrázoljuk az x 2 egyenletet - 9y 2 = 0.

Megoldás.

Tényezőzzük az egyenlet bal oldalát.

(x - 3y) (x+ 3y) = 0, azaz y = x/3 vagy y = -x/3.

Válasz: 1. ábra.

Különleges helyet foglal el az ábrák síkon történő hozzárendelése az abszolút érték előjelét tartalmazó egyenletekkel, amelyeken részletesen kitérünk. Tekintsük az |y| alakú egyenletek ábrázolásának szakaszait = f(x) és |y| = |f(x)|.

Az első egyenlet ekvivalens a rendszerrel

(f(x) ≥ 0,
(y = f(x) vagy y = -f(x).

Azaz a gráfja két függvény gráfjából áll: y = f(x) és y = -f(x), ahol f(x) ≥ 0.

A második egyenlet grafikonjának ábrázolásához két függvény grafikonját ábrázoljuk: y = f(x) és y = -f(x).

2. példa

Ábrázolja az |y| egyenletet = 2 + x.

Megoldás.

A megadott egyenlet ekvivalens a rendszerrel

(x + 2 ≥ 0,
(y = x + 2 vagy y = -x - 2.

Összeállítunk egy pontkészletet.

Válasz: 2. ábra.

3. példa

Ábrázolja az |y – x| egyenletet = 1.

Megoldás.

Ha y ≥ x, akkor y = x + 1, ha y ≤ x, akkor y = x - 1.

Válasz: 3. ábra.

A modul jele alatt változót tartalmazó egyenletek grafikonjainak összeállításakor kényelmes és ésszerű használni terület módszere, amely a koordinátasík olyan részekre való felosztásán alapul, amelyekben minden részmodul kifejezés megtartja előjelét.

4. példa

Ábrázolja az x + |x| egyenletet + y + |y| = 2.

Megoldás.

Ebben a példában az egyes részmodul-kifejezések előjele a koordinátanegyedtől függ.

1) Az első koordinátanegyedben x ≥ 0 és y ≥ 0. A modul kibontása után az adott egyenlet így fog kinézni:

2x + 2y = 2, és egyszerűsítés után x + y = 1.

2) A második negyedévben, ahol x< 0, а y ≥ 0, уравнение будет иметь вид: 0 + 2y = 2 или y = 1.

3) A harmadik negyedévben x< 0, y < 0 будем иметь: x – x + y – y = 2. Перепишем этот результат в виде уравнения 0 · x + 0 · y = 2.

4) A negyedik negyedévben x ≥ 0 és y esetén< 0 получим, что x = 1.

Ezt az egyenletet negyedekben ábrázoljuk.

Válasz: 4. ábra.

5. példa

Rajzoljunk egy olyan ponthalmazt, amelyek koordinátái kielégítik az |x – 1| egyenlőséget + |y – 1| = 1.

Megoldás.

Az x = 1 és y = 1 részmodul-kifejezések nullai négy részre osztják a koordinátasíkot. Bontsuk le a modulokat régiók szerint. Tegyük táblázatba.

Vidék	Almodul kifejezés jele	A kapott egyenlet a modul kiterjesztése után
én	x ≥ 1 és y ≥ 1	x + y = 3
II	x< 1 и y ≥ 1	-x+y=1
III	x< 1 и y < 1	x + y = 1
IV	x ≥ 1 és y< 1	x – y = 1

Válasz: 5. ábra.

A koordinátasíkon ábrák adhatók meg és egyenlőtlenségek.

Egyenlőtlenségi grafikon két változós a koordinátasík azon pontjainak halmaza, amelyek koordinátái ennek az egyenlőtlenségnek a megoldásai.

Fontolgat algoritmus egy kétváltozós egyenlőtlenség megoldására szolgáló modell felépítésére:

1. Írd fel az egyenlőtlenségnek megfelelő egyenletet!
2. Ábrázolja az egyenletet az 1. lépésből.
3. Válasszon egy tetszőleges pontot az egyik félsíkban. Ellenőrizze, hogy a kiválasztott pont koordinátái kielégítik-e az adott egyenlőtlenséget.
4. Rajzolja meg grafikusan az egyenlőtlenség összes megoldásának halmazát!

Tekintsük először az ax + bx + c > 0 egyenlőtlenséget. Az ax + bx + c = 0 egyenlet egy egyenest határoz meg, amely a síkot két félsíkra osztja. Mindegyikben az f(x) = ax + bx + c függvény jelmegőrző. Ennek az előjelnek a meghatározásához elegendő a félsíkhoz tartozó tetszőleges pontot venni, és ebben a pontban kiszámítani a függvény értékét. Ha a függvény előjele egybeesik az egyenlőtlenség előjelével, akkor ez a félsík lesz az egyenlőtlenség megoldása.

Tekintsünk példákat grafikus megoldásokra a leggyakoribb kétváltozós egyenlőtlenségekre.

1) ax + bx + c ≥ 0. 6. ábra.

2) |x| ≤ a, a > 0. 7. ábra.

3) x 2 + y 2 ≤ a, a > 0. 8. ábra.

4) y ≥ x2. 9. ábra

5) xy ≤ 1. 10. ábra.

Ha kérdései vannak, vagy gyakorolni szeretné a kétváltozós egyenlőtlenségek összes megoldásának halmazának matematikai modellezéssel történő modellezését, ingyenes 25 perces óra online oktatóval után . A tanárral való további munkához lehetősége lesz kiválasztani az Önnek legmegfelelőbbet.

Van kérdésed? Nem tudja, hogyan kell ábrát rajzolni a koordinátasíkra?
Segítséget kérni egy oktatótól -.
Az első óra ingyenes!

blog.site, az anyag teljes vagy részleges másolásakor a forrásra mutató hivatkozás szükséges.