Elipsin ana ekseninin uzunluğunu bulun. İkinci dereceden eğriler

Tanım 7.1. F 1 ve F 2 sabit noktalarına olan uzaklıkların toplamı belirli bir sabit olan düzlemdeki tüm noktaların kümesine denir. elips.

Bir elipsin tanımı verir sonraki yol onun geometrik yapısı. Düzlemde iki F 1 ve F 2 noktasını sabitliyoruz ve negatif olmayan bir sabit değeri 2a ile gösteriyoruz. F 1 ve F 2 noktaları arasındaki mesafe 2c'ye eşit olsun. 2a uzunluğunda uzamayan bir ipliğin, örneğin iki iğne yardımıyla F 1 ve F 2 noktalarında sabitlendiğini hayal edin. Bunun yalnızca a ≥ c için mümkün olduğu açıktır. İpliği bir kalemle çekerek, elips olacak bir çizgi çizin (Şek. 7.1).

Dolayısıyla, a ≥ c ise açıklanan küme boş değildir. a = c olduğunda, elips, F 1 ve F 2 uçlarına sahip bir segmenttir ve c = 0 olduğunda, yani. bir elipsin tanımında belirtilen sabit noktalar çakışırsa, yarıçap a olan bir dairedir. Bu yozlaşmış durumları göz ardı ederek, kural olarak a > c > 0 olduğunu varsayacağız.

Elipsin 7.1 tanımındaki sabit noktalar F 1 ve F 2 (bkz. Şekil 7.1) olarak adlandırılır. elips hileleri, aralarındaki mesafe, 2c ile gösterilir, - odak uzaklığı ve odakları ile elips üzerinde rastgele bir M noktası bağlayan F 1 M ve F 2 M segmentleri, - odak yarıçapı.

Elipsin şekli tamamen odak uzaklığı |F 1 F 2 | = 2с ve parametre a ve düzlemdeki konumu - bir çift F 1 ve F 2 noktası ile .

Bir elipsin tanımından, F 1 ve F 2 odaklarından geçen düz bir çizginin yanı sıra F 1 F 2 segmentini ikiye bölen ve ona dik olan düz bir çizgi hakkında simetrik olduğunu takip eder (Şek. 7.2, a). Bu satırlara denir elips eksenleri. Kesişmelerinin O noktası, elipsin simetri merkezidir ve buna denir. elipsin merkezi, ve elipsin simetri eksenleriyle kesişme noktaları (Şekil 7.2, a'daki A, B, C ve D noktaları) - elipsin köşeleri.

a sayısı denir bir elipsin yarı ana ekseni ve b = √ (a 2 - c 2) - onun yarı küçük eksen. c > 0 için, ana yarım eksen a'nın, elipsin merkezinden, elipsin odakları ile aynı eksende bulunan köşelerine olan uzaklığa eşit olduğunu görmek kolaydır (Şekilde A ve B köşeleri). 7.2, a) ve küçük yarım eksen b, merkez elipsin diğer iki köşesine olan uzaklığa eşittir (Şekil 7.2, a'da C ve D köşeleri).

Elips denklemi. Ana eksen 2a, F 1 ve F 2 noktalarında odakları olan düzlemde bir elips düşünün. 2c odak uzaklığı olsun, 2c = |F 1 F 2 |

Düzlemde bir dikdörtgen koordinat sistemi Oxy seçiyoruz, böylece orijini elipsin merkeziyle çakışıyor ve odaklar apsis(Şekil 7.2, b). Bu koordinat sistemi denir kanonik söz konusu elips için ve karşılık gelen değişkenler kanonik.

Seçilen koordinat sisteminde odaklar F 1 (c; 0), F 2 (-c; 0) koordinatlarına sahiptir. Noktalar arasındaki uzaklık formülünü kullanarak |F 1 M| koşulunu yazarız. + |F 2 M| = 2a koordinatlarda:

√((x - c) 2 + y 2) + √((x + c) 2 + y 2) = 2a. (7.2)

Bu denklem uygun değildir çünkü iki kare kök içerir. Öyleyse dönüştürelim. (7.2) denklemindeki ikinci radikali sağ tarafa aktarıyoruz ve karesini alıyoruz:

(x - c) 2 + y 2 = 4a 2 - 4a√((x + c) 2 + y 2) + (x + c) 2 + y 2 .

Parantezleri açıp benzer terimleri azalttıktan sonra,

√((x + c) 2 + y 2) = a + εx

burada ε = c/a. İkinci radikali çıkarmak için kare alma işlemini tekrarlıyoruz: (x + c) 2 + y 2 = a 2 + 2εax + ε 2 x 2 veya girilen parametrenin değeri verilen ε, (a 2 - c 2) x 2 / a 2 + y 2 = bir 2 - c 2 . a 2 - c 2 = b 2 > 0 olduğundan,

x 2 /a 2 + y 2 /b 2 = 1, a > b > 0. (7.4)

Denklem (7.4), elips üzerinde bulunan tüm noktaların koordinatları ile sağlanır. Ancak bu denklemi türetirken, orijinal denklemin (7.2) eşdeğer olmayan dönüşümleri kullanıldı - kare radikalleri ortadan kaldıran iki kare. Her iki taraf da aynı işaretli nicelikler içeriyorsa, bir denklemin karesini almak eşdeğer bir dönüşümdür, ancak bunu dönüşümlerimizde kontrol etmedik.

Aşağıdakileri göz önünde bulundurursak, dönüşümlerin denkliğini kontrol edemeyebiliriz. Bir çift nokta F 1 ve F 2 , |F 1 F 2 | = 2c, düzlemde bu noktalarda odakları olan bir elips ailesini tanımlar. Düzlemin her noktası, F 1 F 2 segmentinin noktaları hariç, belirtilen ailenin bazı elipslerine aittir. Bu durumda, odak yarıçaplarının toplamı belirli bir elipsi benzersiz şekilde belirlediğinden, iki elips kesişmez. Bu nedenle, kesişme noktası olmayan açıklanan elips ailesi, F 1 F 2 segmentinin noktaları hariç tüm düzlemi kapsar. A parametresinin belirli bir değeri ile koordinatları (7.4) denklemini karşılayan bir nokta kümesi düşünün. Bu küme birkaç elips arasında dağıtılabilir mi? Kümenin bazı noktaları, yarı ana ekseni a olan bir elipse aittir. Bu kümede bir elips üzerinde yarı ana ekseni a olan bir nokta olsun. O zaman bu noktanın koordinatları denkleme uyar

onlar. (7.4) ve (7.5) denklemleri genel çözümler. Ancak, sistemin doğruluğunu doğrulamak kolaydır.

ã ≠ a için çözüm yok. Bunu yapmak için, örneğin x'i ilk denklemden çıkarmak yeterlidir:

hangi dönüşümlerden sonra denkleme yol açar

ã ≠ a için hiçbir çözümü olmayan, çünkü . O halde (7.4), yarı büyük ekseni a > 0 ve yan yarı ekseni b = √ (a 2 - c 2) > 0 olan bir elipsin denklemidir. elipsin kanonik denklemi.

Elips görünümü. Yukarıda ele alınan bir elips oluşturmanın geometrik yöntemi, yeterli bir fikir verir. görünüm elips. Ancak bir elipsin formu, kanonik denklemi (7.4) yardımıyla da araştırılabilir. Örneğin, y ≥ 0 dikkate alındığında, y'yi x: y = b√(1 - x 2 /a 2) cinsinden ifade edebilir ve bu fonksiyonu inceledikten sonra grafiğini oluşturabilirsiniz. Bir elips oluşturmanın başka bir yolu daha var. Elipsin (7.4) kanonik koordinat sisteminin orijininde merkezlenen yarıçaplı bir daire (7.4) x 2 + y 2 = a 2 denklemi ile tanımlanır. a/b > 1 katsayısı ile sıkıştırılırsa y ekseni, sonra x 2 + (ya / b) 2 \u003d a 2, yani bir elips denklemi ile açıklanan bir eğri elde edersiniz.

Açıklama 7.1. Aynı daire a/b katsayısı ile sıkıştırılırsa

Elips eksantrikliği. Bir elipsin odak uzunluğunun ana eksenine oranına ne denir elips eksantrikliği ve ε ile gösterilir. Verilen bir elips için

kanonik denklem (7.4), ε = 2c/2a = с/a. (7.4)'te a ve b parametreleri a eşitsizliği ile ilişkiliyse

c = 0 için, elips bir daireye dönüştüğünde ve ε = 0. Diğer durumlarda, 0

Denklem (7.3), denklem (7.4)'e eşdeğerdir çünkü (7.4) ve (7.2) denklemleri eşdeğerdir. Bu nedenle (7.3) de bir elips denklemidir. Ek olarak (7.3) bağıntısı, |F 2 M| uzunluğu için kökten arındırılmış basit bir formül vermesi bakımından ilginçtir. elipsin M(x; y) noktasının odak yarıçaplarından biri: |F 2 M| = a + εx.

İkinci odak yarıçapı için benzer bir formül, simetri değerlendirmelerinden veya denklemin (7.2) karesini almadan önce, birinci radikalin ikinciye değil sağ tarafa aktarıldığı tekrar eden hesaplamalarla elde edilebilir. Böylece, elips üzerindeki herhangi bir M(x; y) noktası için (bkz. Şekil 7.2)

|F 1 M | = a - εx, |F 2 M| = a + εx, (7.6)

ve bu denklemlerin her biri bir elips denklemidir.

Örnek 7.1. Bulalım kanonik denklem yarı ana ekseni 5 ve eksantrikliği 0.8 olan elips ve onu inşa edin.

a = 5 elipsinin ana yarı eksenini ve ε = 0,8 eksantrikliğini bilerek, küçük yarım ekseni b'yi buluruz. b \u003d √ (a 2 - c 2) ve c \u003d εa \u003d 4 olduğundan, o zaman b \u003d √ (5 2 - 4 2) \u003d 3. Dolayısıyla kanonik denklem x 2 / 5 2 şeklindedir. + y 2 / 3 2 \u003d 1. Bir elips oluşturmak için, kenarları elipsin simetri eksenlerine paralel ve eşit olan kanonik koordinat sisteminin orijininde ortalanmış bir dikdörtgen çizmek uygundur. karşılık gelen eksenler (Şekil 7.4). Bu dikdörtgen ile kesişir

elipsin A(-5; 0), B(5; 0), C(0; -3), D(0; 3) köşelerindeki eksenleri ve elipsin kendisi buna yazılmıştır. Şek. 7.4 ayrıca elipsin F 1.2 (±4; 0) odaklarını da gösterir.

Bir elipsin geometrik özellikleri.(7.6)'daki ilk denklemi |F 1 M| olarak yeniden yazalım. = (а/ε - x)ε. a > c için a / ε - x değerinin pozitif olduğuna dikkat edin, çünkü F 1 odağı elipse ait değildir. Bu değer, bu doğrunun solundaki M(x; y) noktasından d: x = a/ε dikey çizgisine olan uzaklıktır. Elips denklemi şu şekilde yazılabilir:

|F 1 M|/(а/ε - x) = ε

Bunun anlamı, bu elipsin, F 1 M odak yarıçapının uzunluğunun düz çizgiye d uzaklığına oranının ε'ye eşit sabit bir değer olduğu düzlemin M (x; y) noktalarından oluştuğu anlamına gelir (Şek. 7.5).

D çizgisinin bir "çift" - bir dikey çizgi d" vardır, x \u003d -a / ε denklemi ile verilen elipsin merkezine göre d'ye simetriktir. D" ile ilgili olarak, elips d ile aynı şekilde tarif edilmiştir. Her iki satır d ve d" olarak adlandırılır elips dizinleri. Elipsin doğrultusu, odaklarının bulunduğu elipsin simetri eksenine diktir ve elipsin merkezinden a / ε \u003d a 2 / c mesafesi ile ayrılır (bkz. Şekil 7.5) .

Directrix'ten ona en yakın olan odağa olan p mesafesine denir. elipsin odak parametresi. Bu parametre eşittir

p \u003d a / ε - c \u003d (a 2 - c 2) / c \u003d b 2 / c

Elipsin bir başka önemli geometrik özelliği daha vardır: F 1 M ve F 2 M odak yarıçapları, M noktasında elipse teğet olanla eşit açılar yapar (Şekil 7.6).

Bu özelliğin açık bir fiziksel anlamı vardır. F 1 odağına bir ışık kaynağı yerleştirilirse, bu odaktan çıkan ışın, elipsten yansımadan sonra ikinci odak yarıçapı boyunca ilerleyecektir, çünkü yansımadan sonra, yansımadan önceki eğriyle aynı açıda olacaktır. . Böylece, F 1 odağından çıkan tüm ışınlar ikinci odak F 2'de yoğunlaşacaktır ve bunun tersi de geçerlidir. Bu yoruma dayanarak, bu özellik denir bir elipsin optik özelliği.

11.1. Temel konseptler

Mevcut koordinatlara göre ikinci dereceden denklemlerle tanımlanan çizgileri düşünün

Denklemin katsayıları gerçek sayılardır, ancak en azından A, B veya C sayılarından biri sıfırdan farklıdır. Bu tür çizgilere ikinci dereceden çizgiler (eğriler) denir. Aşağıda (11.1) denkleminin düzlemde bir daire, elips, hiperbol veya parabol tanımladığı belirlenecektir. Bu iddiaya geçmeden önce, numaralandırılmış eğrilerin özelliklerini inceleyelim.

11.2. Daire

İkinci derecenin en basit eğrisi bir dairedir. Bir noktada ortalanmış R yarıçaplı bir dairenin, düzlemin koşulu sağlayan tüm Μ noktalarının kümesi olduğunu hatırlayın. Dikdörtgen koordinat sistemindeki bir noktanın x 0, y 0 a - dairenin keyfi bir noktası koordinatlarına sahip olmasına izin verin (bkz. Şekil 48).

Sonra koşuldan denklemi elde ederiz

(11.2)

Denklem (11.2), verilen çember üzerindeki herhangi bir noktanın koordinatları ile sağlanır ve çember üzerinde yer almayan herhangi bir noktanın koordinatları ile sağlanmaz.

Denklem (11.2) denir çemberin kanonik denklemi

Özellikle, ve varsayarak, orijinde merkezli bir dairenin denklemini elde ederiz. .

Basit dönüşümlerden sonra daire denklemi (11.2) şeklini alacaktır. Bu denklemi ikinci dereceden bir eğrinin genel denklemi (11.1) ile karşılaştırırken, daire denklemi için iki koşulun sağlandığını görmek kolaydır:

1) x 2 ve y 2'deki katsayılar birbirine eşittir;

2) mevcut koordinatların xy çarpımını içeren üye yok.

Ters problemi ele alalım. (11.1) denklemini koyarak değerleri ve elde ederiz

Bu denklemi dönüştürelim:

(11.4)

Denklem (11.3), koşul altında bir daireyi tanımlar. . Onun merkezi noktada , ve yarıçap

.

Eğer , daha sonra denklem (11.3) formuna sahiptir

.

Tek bir noktanın koordinatları ile tatmin edilir . Bu durumda, "daire bir noktaya dönüşmüştür" derler (sıfır yarıçapa sahiptir).

Eğer , sonra denklem (11.4) ve dolayısıyla eşdeğer denklem (11.3), denklemin (11.4) sağ tarafı negatif olduğundan ve sol taraf negatif olmadığından (örneğin: “hayali daire”) herhangi bir çizgi belirlemeyecektir.

11.3. Elips

Bir elipsin kanonik denklemi

Elips düzlemin tüm noktalarının kümesidir, her birinden bu düzlemin verilen iki noktasına olan uzaklıklarının toplamı denir. hileler , odaklar arasındaki mesafeden daha büyük bir sabit değerdir.

Odakları şununla belirtin: F1 Ve F2, aralarındaki mesafe 2 C ve elipsin rastgele bir noktasından 2'ye kadar olan odaklara olan mesafelerin toplamı a(bkz. şekil 49). Tanım olarak 2 a > 2C, yani a > C.

Bir elipsin denklemini türetmek için bir koordinat sistemi seçiyoruz, böylece odaklar F1 Ve F2 eksen üzerinde uzanır ve orijin, segmentin orta noktası ile çakışır F1 F2. Ardından odaklar aşağıdaki koordinatlara sahip olacaktır: ve .

Elipsin keyfi bir noktası olsun. Daha sonra, göre bir elipsin tanımı, , yani

Bu aslında bir elipsin denklemidir.

(11.5) denklemini daha fazlasına dönüştürüyoruz düz görüş Aşağıdaki şekilde:

Çünkü a>itibaren, sonra . koyalım

(11.6)

Sonra son denklem biçimi alır veya

(11.7)

Denklemin (11.7) orijinal denkleme eşdeğer olduğu kanıtlanabilir. denir elipsin kanonik denklemi .

Elips, ikinci dereceden bir eğridir.

Bir elipsin şeklinin denklemine göre incelenmesi

Kanonik denklemini kullanarak elipsin şeklini oluşturalım.

1. Denklem (11.7) x ve y'yi yalnızca çift kuvvetlerde içerir, bu nedenle bir nokta bir elipse aitse, , noktaları da ona aittir. Bundan, elipsin eksenlere göre simetrik olduğu ve elipsin merkezi olarak adlandırılan noktaya göre simetrik olduğu sonucu çıkar.

2. Elipsin koordinat eksenleriyle kesişme noktalarını bulun. koyarak, eksenin elipsle kesiştiği iki nokta ve buluruz (bkz. Şekil 50). (11.7) denklemini koyarak, elipsin eksen ile kesişme noktalarını buluyoruz: ve . puan A 1 , A2 , B1, B2 isminde elipsin köşeleri. Segmentler A 1 A2 Ve B1 B2, uzunluklarının yanı sıra 2 a ve 2 B sırasıyla denir büyük ve küçük eksenler elips. sayılar a Ve B sırasıyla büyük ve küçük olarak adlandırılır. aks milleri elips.

3. Denklem (11.7)'den, sol taraftaki her terimin bir'i geçmediği sonucu çıkar, yani. eşitsizlikler var ve veya ve . Bu nedenle, elipsin tüm noktaları düz çizgilerin oluşturduğu dikdörtgenin içindedir.

4. Denklemde (11.7), negatif olmayan terimlerin toplamı ve bire eşittir. Sonuç olarak, terimlerden biri arttıkça diğeri azalır, yani artarsa ​​azalır ve bunun tersi de geçerlidir.

Söylenenlerden, elipsin Şekil 2'de gösterilen şekle sahip olduğu sonucu çıkar. 50 (oval kapalı eğri).

elips hakkında daha fazla bilgi

Elipsin şekli orana bağlıdır. Elips bir daireye dönüştüğünde, elips denklemi (11.7) şeklini alır. Bir elipsin şeklinin bir özelliği olarak oran daha sık kullanılır. Odaklar arasındaki mesafenin yarısının elipsin yarı ana eksenine oranına elipsin eksantrikliği denir ve o6o ε ("epsilon") harfi ile gösterilir:

0 ile<ε< 1, так как 0<с<а. С учетом равенства (11.6) формулу (11.8) можно переписать в виде

Bu, elipsin eksantrikliği ne kadar küçük olursa, elipsin o kadar az yassı olacağını gösterir; ε = 0 koyarsak, elips bir daireye dönüşür.

M(x; y), odakları F 1 ve F 2 olan elipsin keyfi bir noktası olsun (bkz. Şekil 51). F 1 M=r 1 ve F 2 M = r 2 segmentlerinin uzunluklarına M noktasının odak yarıçapları denir. Açıkça,

formüller var

Düz çizgiler denir

Teorem 11.1. Elipsin rastgele bir noktasından bazı odaklara olan uzaklığı ise, d aynı noktadan bu odağa karşılık gelen doğrultuya olan uzaklık ise, oran elipsin dışmerkezliğine eşit sabit bir değerdir:

(11.6) eşitliğinden çıkar. Eğer , denklem (11.7), ana ekseni Oy ekseni üzerinde ve yan ekseni Ox ekseni üzerinde bulunan bir elips tanımlar (bkz. Şekil 52). Böyle bir elipsin odakları noktalarda ve , nerede .

11.4. Hiperbol

Bir hiperbolün kanonik denklemi

abartma düzlemin tüm noktalarının kümesi denir, her birinden bu düzlemin verilen iki noktasına olan mesafelerdeki farkın modülü denir. hileler , odaklar arasındaki mesafeden daha küçük, sabit bir değerdir.

Odakları şununla belirtin: F1 Ve F2 aralarındaki mesafe 2s ve hiperbolün her noktasından odaklara kadar olan mesafelerdeki farkın modülü 2a. Tanım olarak 2a < 2s, yani a < C.

Hiperbol denklemini türetmek için bir koordinat sistemi seçiyoruz, böylece odaklar F1 Ve F2 eksen üzerinde uzanıyor ve orijin bölümün orta noktasıyla çakışıyor F1 F2(bkz. şekil 53). O zaman odakların koordinatları olacak ve

Hiperbolün keyfi bir noktası olsun. Sonra bir hiperbol tanımına göre veya , yani, basitleştirmelerden sonra, elips denklemi türetilirken yapıldığı gibi, hiperbolün kanonik denklemi

(11.9)

(11.10)

Hiperbol, ikinci dereceden bir çizgidir.

Denklemine göre hiperbol formunun incelenmesi

Kakonik denklemini kullanarak hiperbolün şeklini oluşturalım.

1. Denklem (11.9), x ve y'yi yalnızca çift kuvvetlerde içerir. Bu nedenle, hiperbol eksenlere göre simetriktir ve olarak adlandırılan noktaya göre olduğu kadar . hiperbolün merkezi.

2. Koordinat eksenleri ile hiperbolün kesişim noktalarını bulun. (11.9) denklemini koyarak, hiperbolün : ve ekseni ile iki kesişme noktası buluyoruz. (11.9) koyarak elde ederiz ki bu olamaz. Bu nedenle hiperbol, y eksenini kesmez.

noktalar ve denir zirveler hiperboller ve segment

gerçek eksen , Bölüm - gerçek yarım eksen abartma.

Noktaları birleştiren doğru parçasına denir. hayali eksen , numara b - hayali eksen . Kenarları olan dikdörtgen 2a Ve 2b isminde bir hiperbolün ana dikdörtgeni .

3. Denklem (11.9)'dan, eksi birden az olmadığı, yani şu veya olduğu sonucu çıkar. Bu, hiperbolün noktalarının çizginin sağında (hiperbolün sağ dalı) ve çizginin solunda (hiperbolün sol dalı) bulunduğu anlamına gelir.

4. Hiperbolün (11.9) denkleminden, arttığında arttığı da görülebilir. Bu, farkın bire eşit sabit bir değer tutmasından kaynaklanır.

Söylenenlerden, hiperbolün Şekil 54'te gösterilen şekle sahip olduğu sonucu çıkar (sınırsız iki daldan oluşan bir eğri).

Bir hiperbolün asimptotları

L doğrusuna asimptot denir. M noktası orijinden süresiz olarak K eğrisi boyunca hareket ederken, K eğrisinin M noktasından bu doğruya olan d mesafesi sıfır olma eğilimindeyse, sınırsız bir K eğrisinin Şekil 55, bir asimptot kavramını göstermektedir: L çizgisi, K eğrisi için bir asimptottur.

Hiperbolün iki asimptotu olduğunu gösterelim:

(11.11)

(11.11) doğruları ve hiperbol (11.9) birbirine göre simetrik olduğundan koordinat eksenleri, o zaman sadece ilk çeyrekte bulunan belirtilen çizgilerin noktalarını dikkate almak yeterlidir.

Bir hiperbol üzerindeki nokta ile aynı apsis x'e sahip bir N noktası düz bir çizgi üzerinde alın (bkz. Şekil 56) ve düz çizginin koordinatları ile hiperbolün dalı arasındaki ΜN farkını bulun:

Gördüğünüz gibi, x arttıkça kesrin paydası artar; pay sabit bir değerdir. Bu nedenle, segmentin uzunluğu ΜN sıfır olma eğilimindedir. ΜN, Μ noktasından doğruya olan d mesafesinden daha büyük olduğu için, d sıfıra daha da eğilimlidir. Böylece çizgiler hiperbolün (11.9) asimptotlarıdır.

Bir hiperbol (11.9) oluştururken, önce hiperbolün ana dikdörtgenini oluşturmanız (bkz. Şekil 57), bu dikdörtgenin zıt köşelerinden geçen çizgiler çizmeniz önerilir - hiperbolün asimptotları ve köşeleri işaretlemeniz ve , hiperbol .

Bir eşkenar hiperbolün denklemi.

asimptotları koordinat eksenleri olan

Hiperbol (11.9), yarım eksenleri eşitse () eşkenar olarak adlandırılır. kanonik denklemi

(11.12)

Bir eşkenar hiperbolün asimptotları denklemlere sahiptir ve bu nedenle koordinat açılarının bisektörleridir.

Bu hiperbolün denklemini, koordinat eksenlerini bir açıyla döndürerek eskisinden elde edilen yeni bir koordinat sisteminde (bkz. Şekil 58) düşünün. Koordinat eksenlerinin dönüşü için formülleri kullanıyoruz:

X ve y değerlerini denklemde (11.12) değiştiriyoruz:

Ox ve Oy eksenlerinin asimptot olduğu bir eşkenar hiperbol denklemi şu şekilde olacaktır.

Hiperbol hakkında daha fazla bilgi

eksantriklik hiperbol (11.9), odaklar arasındaki uzaklığın hiperbolün gerçek ekseninin değerine oranıdır ve ε ile gösterilir:

Bir hiperbol için hiperbolün eksantrikliği birden büyüktür: . Eksantriklik, bir hiperbolün şeklini karakterize eder. Gerçekten de, eşitlikten (11.10) şu sonucu çıkar: yani. Ve .

Bu, hiperbolün eksantrikliği ne kadar küçükse, yarı eksenlerinin oranı o kadar küçük olduğunu gösterir, bu da ana dikdörtgenin daha fazla uzatıldığı anlamına gelir.

Eşkenar hiperbolün eksantrikliği . Yok canım,

odak yarıçapları Ve hiperbolün sağ dalının noktaları için ve şeklindedir ve sol için - Ve .

Düz çizgilere hiperbolün doğrultusu denir. Hiperbol ε > 1 olduğu için, o zaman . Bu, sağ directrix'in hiperbolün merkezi ve sağ tepe noktası arasında yer aldığı, sol directrix'in merkez ile sol tepe arasında olduğu anlamına gelir.

Bir hiperbolün yön dizileri, bir elipsin yön dizileri ile aynı özelliğe sahiptir.

Denklemin tanımladığı eğri aynı zamanda gerçek ekseni 2b Oy ekseninde ve hayali eksen 2 üzerinde yer alan bir hiperboldür. a- Öküz ekseninde. Şekil 59'da noktalı bir çizgi olarak gösterilmiştir.

Açıkçası, hiperboller ve ortak asimptotları var. Bu tür hiperbollere eşlenik denir.

11.5. Parabol

kanonik parabol denklemi

Parabol, bir düzlemdeki her biri odak adı verilen belirli bir noktadan ve directrix adı verilen belirli bir çizgiden eşit uzaklıkta olan tüm noktaların kümesidir. F odağından directrix'e olan mesafeye parabolün parametresi denir ve p (p > 0) ile gösterilir.

Parabol denklemini türetmek için Oksi koordinat sistemini seçiyoruz, böylece Oxy ekseni, directrix'ten F'ye doğru olan doğrultuda directrix'e dik olarak F odak noktasından geçer ve O orijini odak ve directrix arasında ortada bulunur. (bkz. Şekil 60). Seçilen sistemde, odak F'nin koordinatları vardır ve directrix denklemi veya şeklindedir.

1. Denklem (11.13)'te, y değişkeni çift derecede dahil edilir, bu da parabolün Öküz ekseni etrafında simetrik olduğu anlamına gelir; x ekseni, parabolün simetri eksenidir.

2. ρ > 0 olduğundan (11.13)'den şu sonuç çıkar. Bu nedenle, parabol y ekseninin sağında bulunur.

3. y \u003d 0 olduğunda. Bu nedenle, parabol orijinden geçer.

4. x'deki sınırsız bir artışla, y modülü de süresiz olarak artar. Parabol, Şekil 61'de gösterilen forma (şekle) sahiptir. O noktasına (0; 0) parabolün tepe noktası denir, FM \u003d r segmentine M noktasının odak yarıçapı denir.

Denklemler , , ( p>0) ayrıca parabolleri tanımlar, bunlar Şekil 62'de gösterilmiştir.

B ve C'nin herhangi bir reel sayı olduğu bir kare üç terimlinin grafiğinin yukarıdaki tanım anlamında bir parabol olduğunu göstermek kolaydır.

11.6. İkinci mertebeden doğruların genel denklemi

Koordinat eksenlerine paralel simetri eksenleri ile ikinci dereceden eğrilerin denklemleri

Önce simetri eksenleri Ox ve Oy koordinat eksenlerine paralel ve yarım eksenleri sırasıyla eşit olan bir noktada merkezli bir elipsin denklemini bulalım. a Ve B. Eksenleri ve yarı eksenleri olan yeni koordinat sisteminin orijinini O 1 elipsinin merkezine yerleştirelim. a Ve B(bkz. şekil 64):

Ve son olarak, Şekil 65'te gösterilen parabollerin karşılık gelen denklemleri vardır.

denklem

Bir elips, hiperbol, parabol denklemleri ve dönüşümlerden sonra bir dairenin denklemi (parantezleri açın, denklemin tüm terimlerini bir yönde hareket ettirin, benzer terimleri getirin, katsayılar için yeni notasyon getirin) tek bir denklem kullanılarak yazılabilir. form

burada A ve C katsayıları aynı anda sıfıra eşit değildir.

Soru ortaya çıkıyor: (11.14) biçimindeki herhangi bir denklem, ikinci dereceden eğrilerden (daire, elips, hiperbol, parabol) birini belirler mi? Cevap aşağıdaki teorem ile verilmiştir.

Teorem 11.2. (11.14) denklemi her zaman şunları tanımlar: ya bir daire (A = C için) ya da bir elips (AC > 0 için) ya da bir hiperbol (AC için)< 0), либо параболу (при А×С= 0). При этом возможны случаи вырождения: для эллипса (окружности) - в точку или мнимый эллипс (окружность), для гиперболы - в пару пересекающихся прямых, для параболы - в пару параллельных прямых.

İkinci dereceden genel denklem

Şimdi iki bilinmeyenli ikinci derecenin genel denklemini düşünün:

Koordinatların çarpımı (B¹ 0) olan bir terimin varlığı ile (11.14) denkleminden farklıdır. Koordinat eksenlerini bir a açısı kadar döndürerek, bu denklemi, içinde koordinatların çarpımı olan terim olmayacak şekilde dönüştürmek mümkündür.

Eksenleri döndürmek için formülleri kullanma

Eski koordinatları yenileriyle ifade edelim:

x "y" deki katsayının kaybolması için a açısını seçiyoruz, yani eşitlik

Böylece eksenler (11.17) koşulunu sağlayan bir a açısı boyunca döndürüldüğünde, denklem (11.15) (11.14) denklemine indirgenir.

Çıktı: ikinci mertebeden (11.15) genel denklem (dejenerasyon ve bozunma durumları hariç) düzlemde şu eğrileri tanımlar: daire, elips, hiperbol, parabol.

Not: A = C ise, denklem (11.17) anlamını kaybeder. Bu durumda cos2α = 0 (bkz. (11.16)), daha sonra 2α = 90°, yani α = 45°. Yani A = C'de koordinat sistemi 45 ° döndürülmelidir.

Cebir ve Geometri üzerine dersler. 1. Dönem.

Ders 15. Elips.

15. Bölüm

madde 1. Temel tanımlar.

Tanım. Bir elips, bir düzlemin GMT'sidir ve düzlemin odak adı verilen iki sabit noktasına olan mesafelerinin toplamı sabit bir değerdir.

Tanım. Düzlemin keyfi bir M noktasından elipsin odağına olan mesafeye M noktasının odak yarıçapı denir.

Tanımlamalar:
elipsin odaklarıdır,
M noktasının odak yarıçaplarıdır.

Bir elipsin tanımına göre, bir M noktası, ancak ve ancak şu durumda elipsin bir noktasıdır:
sabit bir değerdir. Bu sabit genellikle 2a olarak gösterilir:

. (1)

dikkat, ki
.

Bir elipsin tanımı gereği odakları sabit noktalardır, dolayısıyla aralarındaki mesafe de verilen elips için sabit bir değerdir.

Tanım. Bir elipsin odakları arasındaki uzaklığa odak uzaklığı denir.

atama:
.

bir üçgenden
bunu takip eder
, yani

.

Eşit sayıyı b ile belirtin
, yani

. (2)

Tanım. Davranış

(3)

elipsin eksantrikliği denir.

Verilen düzlemde, elips için kanonik diyeceğimiz bir koordinat sistemi tanıtalım.

Tanım. Elipsin odaklarının bulunduğu eksene odak ekseni denir.

Elips için kanonik PDSC'yi oluşturalım, Şekil 2'ye bakın.

Apsis ekseni olarak odak eksenini seçiyoruz ve ordinat eksenini segmentin ortasından çiziyoruz.
odak eksenine dik.

Sonra odakların koordinatları var
,
.

2. öğe Bir elipsin kanonik denklemi.

Teorem. Bir elipsin kanonik koordinat sisteminde, elips denklemi şu şekildedir:

. (4)

Kanıt. Kanıtı iki aşamada gerçekleştireceğiz. İlk aşamada, elips üzerinde bulunan herhangi bir noktanın koordinatlarının (4) denklemini sağladığını kanıtlayacağız. İkinci aşamada, denklem (4)'ün herhangi bir çözümünün elips üzerinde bulunan bir noktanın koordinatlarını verdiğini kanıtlayacağız. Buradan, denklem (4)'ün, koordinat düzleminin elips üzerinde bulunan bu ve yalnızca bu noktaları tarafından karşılandığı izlenecektir. Buradan ve eğri denkleminin tanımından, denklemin (4) bir elips denklemi olduğu izlenecektir.

1) M(x, y) noktası elipsin bir noktası olsun, yani. odak yarıçaplarının toplamı 2a'dır:

.

İki nokta arasındaki uzaklık formülünü kullanırız. koordinat uçağı ve bu formülü kullanarak verilen bir M noktasının odak yarıçaplarını bulun:

,
, nereden alıyoruz:

Bir kökü eşitliğin sağ tarafına taşıyalım ve karesini alalım:

Azaltma, şunu elde ederiz:

Benzerlerini veriyoruz, 4 ile azaltıyoruz ve radikali izole ediyoruz:

.

Biz kare

Parantezleri açın ve kısaltın
:

nereden alıyoruz:

(2) eşitliğini kullanarak şunları elde ederiz:

.

Son eşitliği bölerek
, eşitliği elde ederiz (4), p.t.d.

2) Şimdi bir çift sayı (x, y) denklemi (4) karşılasın ve M(x, y) Oxy koordinat düzleminde karşılık gelen nokta olsun.

Sonra (4)'ten şu şekildedir:

.

Bu eşitliği M noktasının odak yarıçapı ifadesinde yerine koyarız:

.

Burada (2) ve (3) eşitliğini kullandık.

Böylece,
. Aynı şekilde,
.

Şimdi, eşitlikten (4) çıktığına dikkat edin:

veya
ve çünkü
, ardından aşağıdaki eşitsizlik gelir:

.

Bundan da şu sonuç çıkıyor:

veya
Ve

,
. (5)

Eşitliklerden (5) şu sonucu çıkar:
, yani M(x, y) noktası elipsin bir noktasıdır, vb.

Teorem kanıtlanmıştır.

Tanım. Denklem (4), elipsin kanonik denklemi olarak adlandırılır.

Tanım. Elipsin kanonik koordinat eksenlerine, elipsin ana eksenleri denir.

Tanım. Bir elipsin kanonik koordinat sisteminin orijine, elipsin merkezi denir.

öğe 3. Elips özellikleri.

Teorem. (Bir elipsin özellikleri.)

1. Elips için kanonik koordinat sisteminde, tüm

elipsin noktaları dikdörtgenin içindedir

,
.

2. Puanlar yalan

3. Bir elips, etrafında simetrik olan bir eğridir.

onların ana eksenleri.

4. Elipsin merkezi simetri merkezidir.

Kanıt. 1, 2) Elipsin kanonik denkleminden hemen çıkar.

3, 4) M(x, y) elipsin keyfi bir noktası olsun. O zaman koordinatları denklem (4)'ü sağlar. Ancak noktaların koordinatları da denklem (4)'ü karşılar ve bu nedenle, teoremin ifadelerinin takip ettiği elipsin noktalarıdır.

Teorem kanıtlanmıştır.

Tanım. 2a miktarına elipsin ana ekseni, a miktarına elipsin ana yarım ekseni denir.

Tanım. 2b miktarına elipsin küçük ekseni, b miktarına elipsin küçük yarım ekseni denir.

Tanım. Bir elipsin asal eksenleriyle kesiştiği noktalara elips köşeleri denir.

Yorum. Bir elips aşağıdaki şekilde oluşturulabilir. Bir uçakta, hilelere “çivi döveriz” ve onlara uzun bir iplik bağlarız
. Sonra bir kalem alıp ipliği germek için kullanıyoruz. Ardından, ipliğin gergin durumda olduğundan emin olarak kurşun kalem ucunu düzlem boyunca hareket ettiririz.

Eksantrikliğin tanımından şu sonuç çıkar:

Bir a sayısını sabitliyoruz ve c'nin sıfıra yönelmesine izin veriyoruz. sonra
,
Ve
. Aldığımız limitte

veya
daire denklemidir.

Şimdi çabalayalım
. O zamanlar
,
ve limitte elipsin bir doğru parçasına dönüştüğünü görüyoruz.
Şekil 3'teki gösterimde.

4. öğe Bir elipsin parametrik denklemleri.

Teorem. İzin vermek
keyfi gerçek sayılardır. Daha sonra denklem sistemi

,
(6)

elipsin kanonik koordinat sistemindeki parametrik denklemleridir.

Kanıt. (6) denklem sisteminin denklem (4)'e eşdeğer olduğunu kanıtlamak yeterlidir, yani. aynı çözüm kümesine sahipler.

1) (x, y) (6) sisteminin keyfi bir çözümü olsun. İlk denklemi a'ya, ikinciyi b'ye bölün, her iki denklemin de karesini alın ve şunu ekleyin:

.

Onlar. (6) sisteminin herhangi bir çözümü (x, y), denklem (4)'ü sağlar.

2) Tersine, (x, y) ikilisi (4) denkleminin bir çözümü olsun, yani.

.

Bu eşitlikten, koordinatlı noktanın
orijinde merkezlenmiş birim yarıçaplı bir daire üzerinde uzanır, yani. bir açıya karşılık gelen trigonometrik dairenin bir noktasıdır.
:

Sinüs ve kosinüs tanımından hemen çıkar ki

,
, nerede
, buradan (x, y) çiftinin sistem (6), vb. için bir çözüm olduğu sonucu çıkar.

Teorem kanıtlanmıştır.

Yorum. Bir elips, a yarıçaplı bir dairenin apsis eksenine düzgün bir şekilde "sıkıştırılmasının" bir sonucu olarak elde edilebilir.

İzin vermek
orijinde merkezli bir dairenin denklemidir. Dairenin apsis eksenine "sıkışması", aşağıdaki kurala göre gerçekleştirilen koordinat düzleminin dönüştürülmesinden başka bir şey değildir. Her M(x, y) noktasına aynı düzlemin bir noktasını denkleştiriyoruz
, nerede
,
"sıkıştırma" faktörüdür.

Bu dönüşümle, dairenin her noktası, düzlemde aynı apsise sahip, ancak daha küçük bir ordinata sahip başka bir noktaya "geçer". Noktanın eski koordinatını yenisi ile ifade edelim:

ve daire denkleminde yerine:

.

Buradan şunu elde ederiz:

. (7)

Bundan şu sonuç çıkar ki, "sıkıştırma" dönüşümünden önce, M(x, y) noktası çemberin üzerindeyse, yani. koordinatları daire denklemini sağladı, ardından "sıkıştırma" dönüşümünden sonra bu nokta noktaya "geçti"
, koordinatları elips denklemini (7) karşılayan. Küçük yarı ekseni b olan bir elipsin denklemini elde etmek istiyorsak, sıkıştırma faktörünü almamız gerekir.

.

madde 5. Bir elipse teğet.

Teorem. İzin vermek
- elipsin keyfi noktası

.

Daha sonra bu elipsin noktasındaki teğetin denklemi
şuna benziyor:

. (8)

Kanıt. Teğet noktasının koordinat düzleminin birinci veya ikinci çeyreğinde olduğu durumu dikkate almak yeterlidir:
. Üst yarı düzlemdeki elips denklemi şu şekildedir:

. (9)

Teğetin denklemini fonksiyonun grafiğine kullanalım
noktada
:

nerede
noktasında bu fonksiyonun türevinin değeridir.
. İlk çeyrekteki elips, (8) fonksiyonunun bir grafiği olarak görülebilir. Türevini ve temas noktasındaki değerini bulalım:

,

. Burada temas noktasının olması gerçeğinden yararlandık.
elipsin bir noktasıdır ve bu nedenle koordinatları elipsin (9) denklemini sağlar, yani

.

Türevin bulunan değerini tanjant denklemine (10) koyarız:

,

nereden alıyoruz:

Bu şu anlama gelir:

Bu denklemi ikiye bölelim
:

.

Şunu not etmek kalır
, Çünkü nokta
elipse aittir ve koordinatları denklemini sağlar.

Teğet denklemi (8), koordinat düzleminin üçüncü veya dördüncü çeyreğinde uzanan teğet noktasında benzer şekilde kanıtlanmıştır.

Ve son olarak, denklemin (8) noktalarda teğetin denklemini verdiğini kolayca görebiliriz.
,
:

veya
, Ve
veya
.

Teorem kanıtlanmıştır.

6. öğe Bir elipsin ayna özelliği.

Teorem. Elipsin teğeti, teğet noktasının odak yarıçapı ile eşit açılara sahiptir.

İzin vermek
- bağlantı noktası
,
teğet noktanın odak yarıçapları, P ve Q noktadaki elipse çizilen teğet üzerindeki odakların izdüşümleridir.
.

Teorem diyor ki

. (11)

Bu eşitlik, odağından çıkan bir elipsten gelen ışık huzmesinin gelme ve yansıma açılarının eşitliği olarak yorumlanabilir. Bu özelliğe elipsin ayna özelliği denir:

Elipsin aynasından yansıdıktan sonra, elipsin odağından yayılan bir ışık demeti, elipsin başka bir odağından geçer.

Teoremin kanıtı. Açıların (11) eşitliğini kanıtlamak için üçgenlerin benzerliğini kanıtlıyoruz
Ve
, hangi taraflarda
Ve
benzer olacaktır. Üçgenler dik açılı olduğu için eşitliği kanıtlamak yeterlidir.

İkinci dereceden eğriler bir düzlemde, değişken koordinatların olduğu denklemlerle tanımlanan çizgilere denir. x Ve y ikinci derecede yer alır. Bunlara elips, hiperbol ve parabol dahildir.

İkinci mertebeden eğri denkleminin genel formu aşağıdaki gibidir:

nerede A, B, C, D, E, F- sayılar ve katsayılardan en az biri A, B, C sıfıra eşit değildir.

İkinci dereceden eğrilerle ilgili problemleri çözerken, çoğunlukla bir elips, hiperbol ve parabolün kanonik denklemleri dikkate alınır. Onlara genel denklemlerden geçmek kolaydır, elipslerle ilgili problemlerin 1. örneği buna ayrılacaktır.

Kanonik denklem tarafından verilen elips

Bir elipsin tanımı. Bir elips, odak olarak adlandırılan noktalara olan uzaklıkların toplamının sabit olduğu ve odaklar arasındaki mesafeden daha büyük olduğu, düzlemdeki tüm noktaların kümesidir.

Odaklar aşağıdaki şekilde olduğu gibi işaretlenmiştir.

Bir elipsin kanonik denklemi:

nerede a Ve B (a > B) - yarım eksenlerin uzunlukları, yani koordinat eksenlerinde elips tarafından kesilen bölümlerin uzunluklarının yarısı.

Elipsin odaklarından geçen düz çizgi onun simetri eksenidir. Elipsin bir başka simetri ekseni, bu doğru parçasına dik olan doğru parçasının ortasından geçen düz bir çizgidir. Nokta HAKKINDA bu çizgilerin kesişimi, elipsin simetri merkezi veya sadece elipsin merkezi olarak işlev görür.

Elipsin apsis ekseni noktalarda kesişir ( a, HAKKINDA) Ve (- a, HAKKINDA) ve y ekseni ( B, HAKKINDA) Ve (- B, HAKKINDA). Bu dört noktaya elipsin köşeleri denir. Apsis eksenindeki elipsin köşeleri arasındaki segmente ana ekseni ve ordinat ekseninde - küçük ekseni denir. Elipsin tepesinden ortasına kadar olan bölümlerine yarım eksen denir.

Eğer a = B, daha sonra elipsin denklemi şeklini alır . Bu, yarıçaplı bir dairenin denklemidir. a, ve daire özel durum elips. Yarıçaplı bir daireden bir elips elde edilebilir a içine sıkıştırırsanız a/B eksen boyunca zamanlar Oy .

örnek 1 Genel denklem tarafından verilen çizginin olup olmadığını kontrol edin , bir elips.

Çözüm. Dönüşümler yapıyoruz genel denklem. Serbest terimin sağ tarafa transferini, denklemin terim terim bölünmesini aynı sayıya ve kesirlerin azaltılmasını uygularız:

Yanıt vermek. Ortaya çıkan denklem, elipsin kanonik denklemidir. Bu nedenle, bu çizgi bir elipstir.

Örnek 2 Yarım eksenleri sırasıyla 5 ve 4 ise bir elipsin kurallı denklemini yazın.

Çözüm. Elipsin kanonik denklemi için formüle bakıyoruz ve yerine koyuyoruz: yarı ana eksen a= 5 , küçük yarım eksen B= 4 . Elipsin kanonik denklemini elde ederiz:

Noktalar ve ana eksende yeşil ile işaretlenmiştir, burada

isminde hileler.

isminde eksantriklik elips.

Davranış B/a elipsin "basıklığını" karakterize eder. Bu oran ne kadar küçükse, elips ana eksen boyunca o kadar fazla uzar. Bununla birlikte, elipsin uzama derecesi, daha çok, formülü yukarıda verilen eksantriklik cinsinden ifade edilir. Farklı elipsler için eksantriklik 0 ile 1 arasında değişir ve her zaman birden az kalır.

Örnek 3 Odaklar arasındaki uzaklık 8 ve ana eksen arasındaki uzaklık 10 ise bir elipsin kurallı denklemini yazın.

Çözüm. Basit sonuçlar çıkarıyoruz:

Ana eksen 10 ise, yarısı yani yarım eksen a = 5 ,

Odaklar arasındaki mesafe 8 ise, o zaman sayı C odak koordinatlarının sayısı 4'tür.

Değiştirin ve hesaplayın:

Sonuç, elipsin kanonik denklemidir:

Örnek 4 Ana ekseni 26 ve eksantrikliği ise bir elipsin kurallı denklemini yazın.

Çözüm. Hem ana eksenin boyutundan hem de eksantriklik denkleminden aşağıdaki gibi, elipsin ana yarı ekseni a= 13 . Eksantriklik denkleminden sayıyı ifade ediyoruz C, minör yarım eksenin uzunluğunu hesaplamak için gerekli:

.

Küçük yarım eksenin uzunluğunun karesini hesaplıyoruz:

Elipsin kanonik denklemini oluşturuyoruz:

Örnek 5 Kanonik denklem tarafından verilen elipsin odaklarını belirleyin.

Çözüm. bir numara bulman gerek C elipsin odaklarının ilk koordinatlarını tanımlayan :

.

Elipsin odaklarını alıyoruz:

Örnek 6 Elipsin odakları eksen üzerinde bulunur Öküz orijine göre simetriktir. Aşağıdaki durumlarda bir elipsin kurallı denklemini yazın:

1) odaklar arasındaki mesafe 30 ve ana eksen 34

2) yan eksen 24'tür ve odaklardan biri (-5; 0) noktasındadır.

3) eksantriklik ve odaklardan biri (6; 0) noktasında

Elips üzerindeki sorunları birlikte çözmeye devam ediyoruz

Eğer - elipsin keyfi bir noktası (çizimde elipsin sağ üst kısmında yeşil ile işaretlenmiştir) ve - odaklardan bu noktaya olan mesafeler, o zaman mesafe formülleri aşağıdaki gibidir:

Elipse ait her nokta için odaklardan uzaklıkların toplamı 2'ye eşit sabit bir değerdir. a.

Denklemlerle tanımlanan düz çizgiler

isminde yönetmenler elips (çizimde - kenarlar boyunca kırmızı çizgiler).

Yukarıdaki iki denklemden, elipsin herhangi bir noktası için

,

bu noktanın doğrultmalara ve .

Örnek 7 Bir elips verildi. Dizinleri için bir denklem yazın.

Çözüm. Directrix denklemine bakarız ve elipsin dışmerkezliğini bulmanın gerekli olduğunu buluruz, yani. Bunun için tüm veriler. Hesaplıyoruz:

.

Elipsin directrix denklemini elde ederiz:

Örnek 8 Odakları nokta ve doğrultma çizgileri ise bir elipsin kurallı denklemini yazın.

İkinci dereceden çizgiler.
Elips ve kanonik denklemi. Daire

Kapsamlı bir çalışmadan sonra uçakta düz çizgiler iki boyutlu dünyanın geometrisini incelemeye devam ediyoruz. Bahisler ikiye katlandı ve sizi tipik temsilcileri olan elips, hiperbol ve parabollerden oluşan pitoresk galeriyi ziyaret etmeye davet ediyorum. ikinci dereceden hatlar. Tur çoktan başladı ve kısa bilgi tüm sergi hakkında farklı katlar müze:

Cebirsel doğru kavramı ve sırası

Uçakta bir çizgiye denir cebirsel, eğer içindeyse afin koordinat sistemi denklemi forma sahiptir, burada formun terimlerinden oluşan bir polinomdur ( gerçek bir sayıdır, negatif olmayan tam sayılardır).

Gördüğünüz gibi, cebirsel bir çizginin denklemi sinüsleri, kosinüsleri, logaritmaları ve diğer fonksiyonel beau monde'ları içermez. Sadece "x" ve "y" tamsayı negatif olmayan derece.

satır sırası içerdiği terimlerin maksimum değerine eşittir.

Karşılık gelen teoreme göre, cebirsel bir çizgi kavramı ve sırası, seçime bağlı değildir. afin koordinat sistemi, bu nedenle, varlık kolaylığı için, sonraki tüm hesaplamaların içinde gerçekleştiğini düşünüyoruz. Kartezyen koordinatları.

Genel Denklem ikinci dereceden satır forma sahiptir, burada keyfi gerçek sayılardır (çarpanla yazmak gelenekseldir - "iki"), ve katsayılar aynı anda sıfıra eşit değildir.

Eğer , o zaman denklemi basitleştirir ve katsayılar aynı anda sıfıra eşit değilse, bu tam olarak "düz" bir düz çizginin genel denklemi temsil eden ilk sipariş hattı.

Birçoğu yeni terimlerin anlamını anladı, ancak yine de malzemeyi %100 özümsemek için parmaklarımızı yuvaya sokarız. Satır sırasını belirlemek için yineleyin tüm terimler denklemleri ve her biri için bul güçlerin toplamı gelen değişkenler

Örneğin:

terim 1. derecede "x" içerir;
terim 1. kuvvete "Y" içerir;
terimde değişken yoktur, bu nedenle güçlerinin toplamı sıfırdır.

Şimdi denklemin neden doğruyu belirlediğini bulalım. saniye sipariş:

terim 2. derecede "x" içerir;
terim, değişkenlerin derecelerinin toplamına sahiptir: 1 + 1 = 2;
terim 2. derecede "y" içerir;
diğer tüm terimler - daha az derece.

Maksimum değer: 2

Denklemimize ayrıca eklersek, diyelim ki, o zaman zaten belirleyecektir. üçüncü mertebe hattı. Açıkçası, 3. mertebeden çizgi denkleminin genel formu " tam set» terimleri, üçe eşit olan değişkenlerin derecelerinin toplamı:
, burada katsayılar aynı anda sıfıra eşit değildir.

Aşağıdakileri içeren bir veya daha fazla uygun terimin eklenmesi durumunda , o zaman hakkında konuşacağız 4. sipariş satırları, vb.

Özellikle tanışırken 3., 4. ve daha yüksek derecelerin cebirsel satırları ile bir kereden fazla uğraşmak zorunda kalacağız. kutupsal koordinat sistemi.

Ancak, genel denkleme dönelim ve en basit okul varyasyonlarını hatırlayalım. Örnek olarak, denklemi kolayca şuna indirgenebilen parabol kendini gösterir. Genel görünüm ve eşdeğer denklemli bir hiperbol. Ancak, her şey o kadar pürüzsüz değil ....

Genel denklemin önemli bir dezavantajı, hangi çizgiyi tanımladığının neredeyse her zaman net olmamasıdır. En basit durumda bile, bunun abartı olduğunu hemen anlamayacaksınız. Bu tür düzenler sadece bir maskeli baloda iyidir, bu nedenle analitik geometri sırasında, tipik görev 2. mertebeden çizgi denkleminin kanonik forma indirgenmesi.

Bir denklemin kanonik formu nedir?

Bu, birkaç saniye içinde hangi geometrik nesneyi tanımladığı netleştiğinde, denklemin genel olarak kabul edilen standart biçimidir. Ek olarak, kanonik form birçok pratik problemin çözümü için çok uygundur. Yani, örneğin, kanonik denkleme göre "düz" düz, ilk olarak, bunun düz bir çizgi olduğu hemen anlaşılır ve ikincisi, ona ait nokta ve yön vektörü basitçe görülebilir.

Açıkçası, herhangi 1. sipariş satırı düz bir çizgiyi temsil eder. İkinci katta artık bizi bekleyen bir kapıcı değil, dokuz heykelden oluşan çok daha çeşitli bir şirket var:

İkinci dereceden hatların sınıflandırılması

Özel bir dizi eylemin yardımıyla, herhangi bir ikinci dereceden satır denklemi aşağıdaki türlerden birine indirgenir:

(ve pozitif gerçek sayılardır)

1) elipsin kanonik denklemidir;

2) hiperbolün kanonik denklemidir;

3) parabolün kanonik denklemidir;

4) – hayali elips;

5) - bir çift kesişen çizgi;

6) - çift hayali kesişen çizgiler (başlangıçtaki tek gerçek kesişme noktası ile);

7) - bir çift paralel çizgi;

8) - çift hayali paralel çizgiler;

9) çakışan bir çift çizgidir.

Bazı okuyucular listenin eksik olduğu izlenimini edinebilir. Örneğin, 7 numaralı paragrafta denklem çifti ayarlar. doğrudan, eksene paralel ve soru ortaya çıkıyor: y eksenine paralel doğruları belirleyen denklem nerede? Cevapla kanon sayılmaz. Düz çizgiler, 90 derece döndürülmüş aynı standart durumu temsil eder ve temelde yeni bir şey taşımadığından, sınıflandırmadaki ek giriş gereksizdir.

Yani dokuz ve sadece dokuz Çeşitli türler 2. dereceden çizgiler, ancak pratikte en yaygın olanı elips, hiperbol ve parabol.

Önce elipse bakalım. Her zamanki gibi, şu noktalara odaklanıyorum: büyük önem problemleri çözmek için ve ayrıntılı bir formül türevine, teorem kanıtlarına ihtiyacınız varsa, lütfen örneğin Bazylev / Atanasyan veya Aleksandrov'un ders kitabına bakın.

Elips ve kanonik denklemi

Yazım ... lütfen "elips nasıl yapılır", "elips ve oval arasındaki fark" ve "elebs eksantrikliği" ile ilgilenen bazı Yandex kullanıcılarının hatalarını tekrarlamayın.

Bir elipsin kanonik denklemi, pozitif gerçek sayıların olduğu ve şeklindedir. Bir elipsin tanımını daha sonra formüle edeceğim, ancak şimdilik konuşmaya ara vermenin ve ortak bir sorunu çözmenin zamanı geldi:

Bir elips nasıl inşa edilir?

Evet, al ve sadece çiz. Ödev yaygındır ve öğrencilerin önemli bir kısmı çizimle oldukça yetkin bir şekilde baş edemez:

örnek 1

Denklemde verilen bir elips oluşturun

Çözüm: önce denklemi kanonik forma getiriyoruz:

Neden getirsin? Kanonik denklemin avantajlarından biri, anında belirlemenize izin vermesidir. elips köşeleri, hangi noktalarda bulunmaktadır . Bu noktaların her birinin koordinatlarının denklemi sağladığını görmek kolaydır.

Bu durumda :


Bölüm isminde ana eksen elips;
Bölüm – küçük eksen;
numara isminde yarı büyük eksen elips;
numara – yarı küçük eksen.
örneğimizde: .

Bunun veya bu elipsin neye benzediğini hızlı bir şekilde hayal etmek için, kanonik denkleminin "a" ve "be" değerlerine bakmanız yeterlidir.

Her şey yolunda, düzgün ve güzel ama bir uyarı var: Çizimi programı kullanarak tamamladım. Ve herhangi bir uygulama ile çizebilirsiniz. Ancak, acımasız gerçeklikte, masanın üzerinde kareli bir kağıt parçası yatıyor ve fareler ellerimizin etrafında dans ediyor. Sanatsal yeteneğe sahip insanlar elbette tartışabilir, ancak fareleriniz de var (daha küçük olsalar da). İnsanlığın bir cetvel, bir pusula, bir iletki ve çizim için diğer basit cihazları icat etmesi boşuna değildir.

Bu nedenle, yalnızca köşeleri bilerek bir elips çizmemiz pek olası değildir. Yine de, elips küçükse, örneğin yarım eksenliyse. Alternatif olarak, ölçeği ve buna göre çizimin boyutlarını azaltabilirsiniz. Ancak genel durumda, ek noktalar bulmak oldukça arzu edilir.

Bir elips oluşturmak için iki yaklaşım vardır - geometrik ve cebirsel. Kısa algoritma ve çizimin önemli dağınıklığı nedeniyle pusula ve cetvelle inşa etmeyi sevmiyorum. Acil bir durumda lütfen ders kitabına bakın, ancak gerçekte cebir araçlarını kullanmak çok daha mantıklı. Taslaktaki elips denkleminden hızlıca şunu ifade ederiz:

Denklem daha sonra iki fonksiyona bölünür:
– elipsin üst yayını tanımlar;
– elipsin alt yayını tanımlar.

Kanonik denklem tarafından verilen elips, orijine göre olduğu kadar koordinat eksenlerine göre de simetriktir. Ve bu harika - simetri neredeyse her zaman bir bedavanın habercisidir. Açıkçası, 1. koordinat çeyreği ile ilgilenmek yeterlidir, bu yüzden bir fonksiyona ihtiyacımız var. . Apsislerle ek noktalar bulmayı önerir. . Hesap makinesinde üç SMS'e bastık:

Tabii ki, hesaplamalarda ciddi bir hata yapılırsa, inşaat sırasında bunun hemen ortaya çıkması da sevindiricidir.

Çizimdeki noktaları (kırmızı renk), kalan yaylarda simetrik noktaları işaretliyoruz ( Mavi renk) ve tüm şirketi bir hatla düzgün bir şekilde bağlayın:


İlk taslağı ince ve ince bir şekilde çizmek ve ancak bundan sonra kurşun kaleme baskı uygulamak daha iyidir. Sonuç oldukça iyi bir elips olmalıdır. Bu arada, bu eğrinin ne olduğunu bilmek ister misiniz?

Bir elipsin tanımı. Elips odakları ve elips eksantrikliği

Elips, ovalin özel bir halidir. "Oval" kelimesi, dar görüşlü anlamda anlaşılmamalıdır ("çocuk bir oval çizdi" vb.). Bu matematiksel terim, genişletilmiş bir formülasyona sahiptir. Bu dersin amacı, standart analitik geometri dersinde pratik olarak dikkat edilmeyen ovaller teorisini ve çeşitli türlerini ele almak değildir. Ve daha güncel ihtiyaçlara uygun olarak, hemen bir elipsin katı tanımına gidiyoruz:

Elips- bu, verilen iki noktadan her birine olan mesafelerin toplamı olarak adlandırılan düzlemin tüm noktalarının kümesidir. hileler elips, bu elipsin ana ekseninin uzunluğuna sayısal olarak eşit olan sabit bir değerdir: .
Bu durumda, odaklar arasındaki mesafe daha azdır. verilen değer: .

Şimdi daha netleşecek:

Mavi noktanın bir elips üzerinde "sürdüğünü" hayal edin. Bu nedenle, elipsin hangi noktasını alırsak alalım, bölümlerin uzunluklarının toplamı her zaman aynı olacaktır:

Örneğimizde toplamın değerinin gerçekten sekize eşit olduğundan emin olalım. Zihinsel olarak "em" noktasını elipsin sağ köşesine yerleştirin, ardından kontrol edilmesi gereken: .

Bir elips çizmenin başka bir yolu, bir elipsin tanımına dayanmaktadır. Zaman zaman yüksek matematik, gerilim ve stresin nedenidir, bu yüzden başka bir boşaltma seansına sahip olmanın zamanı geldi. Lütfen bir parça kağıt veya büyük bir karton alın ve iki çivi ile masaya sabitleyin. Bunlar hile olacak. Çıkıntılı tırnak uçlarına yeşil bir iplik bağlayın ve bir kurşun kalemle sonuna kadar çekin. Kalemin boynu, elipse ait bir noktada olacaktır. Şimdi yeşil ipliği çok gergin tutarak kalemi kağıt yaprağı boyunca yönlendirmeye başlayın. Başlangıç ​​noktasına dönene kadar işleme devam edin ... mükemmel ... çizim doktor tarafından öğretmene doğrulanması için gönderilebilir =)

Bir elipsin odağı nasıl bulunur?

Yukarıdaki örnekte "hazır" odak noktalarını tasvir ettim ve şimdi onları geometrinin derinliklerinden nasıl çıkaracağımızı öğreneceğiz.

Elips kanonik denklem tarafından verilirse, odaklarının koordinatları vardır. , nerede odakların her birinden elipsin simetri merkezine olan uzaklık.

Hesaplamalar buğulanmış şalgamdan daha kolaydır:

! "Ce" anlamında hilelerin belirli koordinatlarını belirlemek imkansızdır! tekrar ediyorum, bu Her odaktan merkeze MESAFE(genel durumda tam olarak orijinde bulunması gerekmez).
Bu nedenle odaklar arasındaki mesafe de elipsin kanonik konumuna bağlanamaz. Başka bir deyişle, elips başka bir yere taşınabilir ve odaklar doğal olarak koordinatlarını değiştirirken değer değişmeden kalır. Düşünün lütfen şu an konunun daha fazla çalışması sırasında.

Bir elipsin eksantrikliği ve geometrik anlamı

Bir elipsin eksantrikliği, içinde değerleri alabilen bir orandır.

Bizim durumumuzda:

Bir elipsin şeklinin eksantrikliğine nasıl bağlı olduğunu öğrenelim. Bunun için sol ve sağ köşeleri düzelt incelenen elipsin değeri, yani yarı ana eksenin değeri sabit kalacaktır. Daha sonra eksantriklik formülü şu şekilde olacaktır: .

Eksantrikliğin değerini birliğe yaklaştırmaya başlayalım. Bu sadece eğer mümkündür. Bunun anlamı ne? ...hatırlama hileleri . Bu, elipsin odaklarının apsis ekseni boyunca yan köşelere "dağılacağı" anlamına gelir. Ve "yeşil kısımlar kauçuk olmadığı için", elips kaçınılmaz olarak düzleşmeye başlayacak ve bir eksene dizilmiş daha ince ve daha ince bir sosis haline dönüşecektir.

Böylece, elipsin eksantrikliği bire ne kadar yakınsa, elips o kadar uzundur.

Şimdi ters işlemi simüle edelim: elipsin odakları merkeze yaklaşarak birbirlerine doğru gittiler. Bu, "ce" değerinin küçüldüğü ve buna bağlı olarak eksantrikliğin sıfıra yöneldiği anlamına gelir: .
Bu durumda, “yeşil segmentler” tam tersine “kalabalıklaşacak” ve elipsin çizgisini yukarı ve aşağı “itmeye” başlayacaklardır.

Böylece, eksantriklik değeri sıfıra ne kadar yakınsa, elips o kadar çok benziyor... odaklar başlangıç ​​noktasında başarılı bir şekilde bir araya geldiğinde, sınırlayıcı duruma bakın:

Daire, elipsin özel bir halidir.

Aslında, yarım eksenlerin eşitliği durumunda, elipsin kanonik denklemi, dönüşlü olarak, merkez "a" yarıçapının orijininde olan okuldan iyi bilinen daire denklemine dönüşen formu alır.

Uygulamada, “konuşma” harfi “er” olan gösterim daha sık kullanılır:. Yarıçap, parçanın uzunluğu olarak adlandırılırken, dairenin her noktası merkezden yarıçap mesafesi kadar uzaklaştırılır.

Bir elipsin tanımının tamamen doğru olduğuna dikkat edin: odaklar eşleşti ve daire üzerindeki her nokta için eşleşen bölümlerin uzunluklarının toplamı sabit bir değerdir. odaklar arasındaki uzaklık olduğundan herhangi bir dairenin eksantrikliği sıfırdır.

Bir daire kolay ve hızlı bir şekilde inşa edilir, kendinizi bir pusula ile donatmanız yeterlidir. Bununla birlikte, bazen bazı noktalarının koordinatlarını bulmak gerekir, bu durumda tanıdık yoldan gideriz - denklemi neşeli bir Matan formuna getiririz:

üst yarım dairenin işlevidir;
alt yarım dairenin işlevidir.

Sonra istenen değerleri buluyoruz, türevlenebilir, birleştirmek ve diğer iyi şeyleri yapın.

Makale elbette sadece referans içindir, ancak dünyada aşk olmadan nasıl yaşayabilirsiniz? için yaratıcı görev bağımsız çözüm

Örnek 2

Odaklarından biri ve yarı küçük ekseni biliniyorsa (merkez orijindeyse) bir elipsin kanonik denklemini oluşturun. Köşeleri, ek noktaları bulun ve çizime bir çizgi çizin. Eksantrikliği hesaplayın.

Dersin sonunda çözüm ve çizim

Bir eylem ekleyelim:

Bir elipsi döndürme ve çevirme

Elipsin kanonik denklemine, yani bilmecesi bu eğriden ilk söz edildiğinden beri meraklı zihinlere işkence eden duruma dönelim. Burada bir elips düşündük , ancak pratikte denklem olamaz ? Ne de olsa burada da bir elips gibi görünüyor!

Böyle bir denklem nadirdir, ancak rastlanır. Ve bir elips tanımlar. Gizemi ortadan kaldıralım:

Yapım sonucunda 90 derece döndürülmüş yerli elipsimiz elde edilmiştir. yani, - Bugün nasılsın kanonik olmayan giriş elips . Kayıt!- denklem eksen üzerinde bir elipsin tanımını karşılayacak hiçbir nokta (odak) olmadığından başka bir elips belirtmez.