Определения скалярного произведения евклидова пространства. Евклидовы пространства

§3. Размерность и базис векторного пространства

Линейная комбинация векторов

Тривиальная и нетривиальная линейная комбинация

Линейно зависимые и линейно независимые векторы

Свойства векторного пространства, связанные с линейной зависимостью векторов

п -мерное векторное пространство

Размерность векторного пространства

Разложение вектора по базису

§4. Переход к новому базису

Матрица перехода от старого базиса к новому

Координаты вектора в новом базисе

§5. Евклидово пространство

Скалярное произведение

Евклидово пространство

Длина (норма) вектора

Свойства длины вектора

Угол между векторами

Ортогональные векторы

Ортонормированный базис

§ 3. Размерность и базис векторного пространства

Рассмотрим некоторое векторное пространство (V, Å, ∘) над полем Р . Пусть – некоторые элементы множества V, т.е. векторы.

Линейной комбинацией векторов называется любой вектор, равный сумме произведений этих векторов на произвольные элементы поля Р (т.е. на скаляры) :

Если все скаляры равны нулю, то такая линейная комбинация называется тривиальной (простейшей), и .

Если хотя бы один скаляр отличен от нуля, линейная комбинация называется нетривиальной .

Векторы называются линейно независимыми , если только тривиальная линейная комбинация этих векторов равна :

Векторы называются линейно зависимыми , если существует хотя бы одна нетривиальная линейная комбинация этих векторов, равная .

Пример . Рассмотрим множество упорядоченных наборов четверок действительных чисел – это векторное пространство над полем действительных чисел. Задание: выяснить, являются ли векторы , и линейно зависимыми.

Решение .

Составим линейную комбинацию этих векторов: , где – неизвестные числа. Потребуем, чтобы эта линейная комбинация была равна нулевому вектору: .

В этом равенстве запишем векторы в виде столбцов чисел:

Если найдутся такие числа , при которых это равенство выполняется, и хотя бы одно из чисел не равно нулю, значит это нетривиальная линейная комбинация и векторы линейно зависимы.

Выполним действия:

Таким образом, задача сводится к решению системы линейных уравнений:

Решая ее, получим:

Ранги расширенной и основной матриц системы равны и меньше числа неизвестных , следовательно, система имеет бесконечное множество решений.

Пусть , тогда и .

Итак, для данных векторов существует нетривиальная линейная комбинация, например при , которая равна нулевому вектору, значит, эти векторы линейно зависимы.

Отметим некоторые свойства векторного пространства, связанные с линейной зависимостью векторов :

1. Если векторы линейно зависимы, то хотя бы один из них является линейной комбинацией остальных.

2. Если среди векторов имеется нулевой вектор , то эти векторы линейно зависимы.

3. Если часть векторов являются линейно зависимыми, то и все эти векторы – линейно зависимые.

Векторное пространство V называется п -мерным векторным пространством , если в нем найдется п линейно независимых векторов, и любой набор из (п + 1) векторов является линейно зависимым.

Число п называется размерностью векторного пространства , и обозначается dim(V) от английского «dimension» – размерность (измерение, размер, габарит, величина, протяженность и т.д.).

Совокупность п линейно независимых векторов п -мерного векторного пространства называется базисом .

(*)

Теорема (о разложении вектора по базису): Каждый вектор векторного пространства можно представить (и притом единственным образом) в виде линейной комбинации векторов базиса :

Формула (*) называется разложением вектора по базису , а числа – координатами вектора в этом базисе.

В векторном пространстве может быть более одного или даже бесконечно много базисов. В каждом новом базисе один и тот же вектор будет иметь разные координаты.

§ 4. Переход к новому базису

В линейной алгебре часто встает задача нахождения координат вектора в новом базисе, если известны его координаты в старом базисе.

Рассмотрим некоторое п -мерное векторное пространство (V, +, ·) над полем Р . Пусть в этом пространстве есть два базиса: старый и новый .

Задача: найти координаты вектора в новом базисе.

Пусть векторы нового базиса в старом базисе имеют разложение:

,

Выпишем координаты векторов в матрицу не строками, как они записаны в системе, а столбцами:

Полученная матрица называется матрицей перехода от старого базиса к новому.

Матрица перехода связывает координаты любого вектора в старом и новом базисе следующим соотношением:

,

где - искомые координаты вектора в новом базисе.

Таким образом, задача нахождения координат вектора в новом базисе сводится к решению матричного уравнения: , где Х – матрица-столбец координат вектора в старом базисе, А – матрица перехода от старого базиса к новому, Х * – искомая матрица-столбец координат вектора в новом базисе. Из матричного уравнения получим:

Итак, координаты вектора в новом базисе находятся из равенства:

.

Пример. В некотором базисе даны разложения векторов:

Найти координаты вектора в базисе .

Решение .

1. Выпишем матрицу перехода к новому базису, т.е. координаты векторов в старом базисе запишем столбцами:

2. Найдем матрицу А –1:

3. Выполним умножение , где – координаты вектора :

Ответ : .

§ 5. Евклидово пространство

Рассмотрим некоторое п -мерное векторное пространство (V, +, ·) над полем действительных чисел R . Пусть – некоторый базис этого пространства.

Введем в этом векторном пространстве метрику , т.е. определим способ измерения длин и углов. Для этого определим понятие скалярного произведения.

Рассмотрим линейное пространство L. Наряду с операциями сложения векторов и умножения вектора на число введем в этом пространстве еще одну операцию – операцию скалярного умножения.

Определение 1

Если каждой паре векторов а , b Î L по некоторому правилу поставить в соответствие действительное число, обозначаемое символом (а , b ) и удовлетворяющее условиям

1. (а , b ) = (b ,а ),

2. (а + с , b ) = (а , b ) + (с , b ),

3. (aа , b ) = a(а , b )

4. > 0 " а ¹ 0 и = 0 Û а = 0 ,

то это правило называется скалярным умножением , а число (а , b ) называется скалярным произведением вектора а на вектор b .

Число называют скалярным квадратом вектора а и обозначают , т. е. .

Условия 1) – 4) называют свойствами скалярного произведения : первое – свойством симметрии (коммутативности), второе и третье – свойствами линейности , четвертое – положительной определенности , а условие Û называют условием невырожденности скалярного произведения.

Определение 2

Евклидовым пространством называется действительное линейное пространство, на котором введена операция скалярного умножения векторов.

Евклидово пространство обозначают Е.

Свойства 1) – 4) скалярного произведения при этом называют аксиомами евклидова пространства.

Рассмотрим примеры евклидовых пространств.

· Пространства V 2 и V 3 являются евклидовыми пространствами, т.к. на них скалярное произведение, удовлетворяющее всем аксиомам, было определено следующим образом

· В линейном пространстве R п (x ) многочленов степени не выше п скалярное умножение векторов и можно ввести по формуле

Проверим выполнение свойств скалярного произведения для введенной операции.

2) Рассмотрим . Пусть , тогда

4) . Но сумма квадратов любых чисел всегда больше либо равна нулю, причем равна нулю тогда и только тогда, когда все эти числа равны нулю. Следовательно, , если многочлен не равен тождественно нулю (т.е. среди его коэффициентов есть отличные от нуля) и Û когда , что означает .

Таким образом, все свойства скалярного произведения выполняются, значит, равенство определяет скалярное умножение векторов пространства R п (x ), а само это пространство является евклидовым.

· В линейном пространстве R n скалярное умножение вектора на вектор может быть определено по формуле

Покажем, что в любом линейном пространстве может быть определено скалярное умножение, т.е. любое линейное пространство можно сделать евклидовым пространством. Для этого возьмем в пространстве L n произвольный базис {а 1 , а 2 , …, а п }. Пусть в этом базисе

а = a 1 а 1 + a 2 а 2 + …+ a п а п и b = b 1 а 1 + b 2 а 2 + …+ b п а п .

(а , b ) = a 1 b 1 + a 2 b 2 + …+ a п b п . (*)

Проверим выполнение свойств скалярного произведения:

1) (а , b ) = a 1 b 1 + a 2 b 2 + …+ a п b п = b 1 a 1 + b 2 a 2 + …+b п a п = (b , а ),

2) Если ,то

Тогда

(а + с , b ) =

= (а , b ) + (с , b ).

3. (lа , b ) = (la 1)b 1 + (la 2)b 2 + …+ (la п )b п = la 1 b 1 + la 2 b 2 + …+ la п b п =

L(a 1 b 1) + l(a 2 b 2) + …+ l(a п b п ) = l (а , b ).

4. " а ¹ 0 и тогда и только тогда, когда все a i = 0, т.е. а = 0 .

Следовательно, равенство (а , b ) = a 1 b 1 + a 2 b 2 + …+ a п b п определяет в L n скалярное произведение.

Заметим, что рассмотренное равенство (а , b ) = a 1 b 1 + a 2 b 2 + …+ a п b п для различных базисов пространства дает различные значения скалярного произведения одних и тех же векторов а и b . Более того, скалярное произведение может быть определено и каким-либо принципиально другим способом. Поэтому будем называть задание скалярного произведения с помощью равенства (*) традиционным .

Определение 3

Нормой вектораа арифметическое значение квадратного корня из скалярного квадрата этого вектора.

Норму вектора обозначают ||а ||, или [а ], или | а | . Итак, то определению,

||а || .

Имеют место следующие свойства нормы:

1. ||а || = 0 Û а =0 .

2. ||aа ||= |a|.||а || "a ÎR.

3. |(а , b )| £ ||а ||.||b || (неравенство Коши - Буняковского).

4. ||а +b || £ ||а || + ||b || (неравенство треугольника).

В евклидовых пространствах V 2 и V 3 с традиционным образом заданным скалярным умножением норма вектора `а есть его длина

||`а || = |`а |.

В евклидовом пространстве R n со скалярным умножением норма вектора равна

|| a || = .

Определение 4

Вектор а евклидова пространства называется нормированным (или единичным ), если его норма равна единице: || a || = 1.

Если а ¹ 0 , то векторы и – единичные векторы. Нахождение для заданного вектора а соответствующего ему единичного вектора (или ) называется нормированием вектора а .

Из неравенства Коши – Буняковского следует, что

Откуда ,

поэтому отношение можно рассматривать как косинус некоторого угла.

Определение 5

Угол j (0£ j углом между векторами а и b евклидова пространства.

Таким образом, угол между векторами а и b евклидова пространства определяется по формуле

j = = arccos .

Заметим, что введение скалярного умножения в линейном пространстве дает возможность производить в этом пространстве «измерения», подобные тем, которые возможны в пространстве геометрических векторов, а именно измерение «длин» векторов и «углов» между векторами, при этом выбор формы задания скалярного умножения аналогичен выбору «масштаба» для таких измерений. Это позволяет распространить на произвольные линейные пространства методы геометрии, связанные с измерениями, тем самым значительно усилив средства исследования математических объектов, встречающихся в алгебре и анализе.

Определение 6

Векторы а и b евклидова пространства называются ортогональными , если их скалярное произведение равно нулю:

Заметим, что если хотя бы один из векторов нулевой, то равенство выполняется. Действительно, т.к. нулевой вектор можно представить в виде 0 = 0.а , то (0 , b ) = (0.а , b ) = 0.(а , b ) = 0. Следовательно, нулевой вектор ортогонален к любому вектору евклидова пространства.

Определение 7

Система векторов а 1 , а 2 , …, а т евклидова пространства называется ортогональной , если эти векторы попарно ортогональны, т.е.

(а i , а j ) = 0 "i ¹ j , i , j =1,2,…,m .

Система векторов а 1 , а 2 , …, а т евклидова пространства называется ортонормированной (или ортонормальной ), если она ортогональная и каждый ее вектор – нормированный, т.е.

(а i , а j ) = , i , j = 1,2, …, m .

Ортогональная система векторов обладает свойствами:

1. Если – ортогональная система ненулевых векторов, то система полученная нормированием каждого из векторов данной системы, также является ортогональной.

2. Ортогональная система ненулевых векторов линейно независима.

Если всякая ортогональная, а значит, и ортонормированная система векторов линейно независима, то может ли такая система образовывать базис заданного пространства? На этот вопрос отвечает следующая теорема.

Теорема 3

Во всяком п -мерном евклидовом пространстве ( ) существует ортонормированный базис.

Доказательство

Доказать теорему – значит найти этот базис. Поэтому поступим следующим образом.

Рассмотрим в заданном евклидовом пространстве произвольный базис {а 1 , а 2 , …, а n }, по нему построим ортогональный базис {g 1 , g 2 , …, g n }, а затем нормируем векторы этого базиса, т.е. положим . Тогда система векторов {е 1 , е 2 ,…, е n } образует ортонормированный базис.

Итак, пусть Б:{а 1 , а 2 , …, а n } – произвольный базис рассматриваемого пространства.

1. Положим

g 1 = а 1 , g 2 = а 2 + g 1

и подберем коэффициент так, чтобы вектор g 2 был ортогонален вектору g 1 , т.е. (g 1 , g 2) = 0. Поскольку

,

то из равенства находим = – .

Тогда вектор g 2 = а 2 – g 1 ортогонален вектору g 1 .

g 3 = а 3 + g 1 + g 2 ,

и подберем и так, чтобы вектор g 3 был ортогонален и g 2 , и g 3 , т.е. (g 1 , g 3) = 0 и (g 2 , g 3) = 0. Находим

Тогда из равенств и находим соответственно и .

Таким образом, вектор g 3 = а 3 –` g 1 – g 2 ортогонален векторам g 1 и g 2 .

Аналогично построим вектор

g 4 = а 4 –` g 1 – g 2 – g 3 .

Нетрудно проверить, что (g 1 , g 4) = 0, (g 2 , g 4) = 0, (g 3 , g 4) = 0. 2 – … – g k –1 , k = 2, 3, …, n .

3) Нормировать полученную систему векторов {g 1 , g 2 , …, g п }, т.е. положить .

4) Записать ортонормированный базис {е 1 , е 2 , …, е n }.

В дальнейшем ортонормированный базис будем обозначать

Б 0:{е 1 , е 2 , …, е n }.

Отметим следующие свойства ортонормированного базиса .

1) В ортонормированном базисе скалярное произведение любых двух векторов пространства равно сумме произведений их соответствующих координат: (а , b ) = a 1 b 1 + a 2 b 2 + …+ a п b п .

2) Если в некотором базисе скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений их соответствующих координат, то этот базис – ортонормированный.

Таким образом, всякий базис евклидова пространства будет ортонормированным, если скалярное произведение определено как сумма произведений координат векторов в этом базисе .

3) В ортонормированном базисе норма вектора равна корню квадратному из суммы квадратов его координат.

|| a || = .

Определение 8.

Множество М называется метрическим пространством , если существует правило, по которому любым двум его элементам х и у поставлено в соответствие некоторое действительное число r(х ,у ) называемое расстоянием между этими элементами, удовлетворяющее условиям:

1. r(х ,у ) = r(у ,х );

2. r(х ,у )³0 для любых х и у , причем r(х ,у )=0 тогда и только тогда, когда х = у ;

3. r(х ,у ) £ r(х , z ) + r(у , z ) для любых трех элементов х , у , z ÎМ.

Элементы метрического пространства называются точками .

Примером метрического пространства является пространство R n , в нем расстояние между точками (векторами этого пространства) может быть определено по формуле r(х ,у ) = || х – у ||.

Соответствующее такому векторному пространству. В этой статье за исходное будет взято первое определение.

N {\displaystyle n} -мерное евклидово пространство обозначается E n , {\displaystyle \mathbb {E} ^{n},} также часто используется обозначение (если из контекста ясно, что пространство обладает евклидовой структурой).

Энциклопедичный YouTube

1 / 5

✪ 04 - Линейная алгебра. Евклидово пространство

✪ Неевклидова геометрия. Часть первая.

✪ Неевклидова геометрия. Часть вторая

✪ 01 - Линейная алгебра. Линейное (векторное) пространство

✪ 8. Евклидовы пространства

Субтитры

Формальное определение

Для определения евклидова пространства проще всего взять в качестве основного понятие скалярного произведения . Евклидово векторное пространство определяется как конечномерное векторное пространство над полем вещественных чисел , на векторах которого задана вещественнозначная функция (⋅ , ⋅) , {\displaystyle (\cdot ,\cdot),} обладающая следующими тремя свойствами:

Пример евклидова пространства - координатное пространство R n , {\displaystyle \mathbb {R} ^{n},} состоящее из всевозможных кортежей вещественных чисел (x 1 , x 2 , … , x n) , {\displaystyle (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}),} скалярное произведение в котором определяется формулой (x , y) = ∑ i = 1 n x i y i = x 1 y 1 + x 2 y 2 + ⋯ + x n y n . {\displaystyle (x,y)=\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}=x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+\cdots +x_{n}y_{n}.}

Длины и углы

Заданного на евклидовом пространстве скалярного произведения достаточно для того, чтобы ввести геометрические понятия длины и угла . Длина вектора u {\displaystyle u} определяется как (u , u) {\displaystyle {\sqrt {(u,u)}}} и обозначается | u | . {\displaystyle |u|.} Положительная определённость скалярного произведения гарантирует, что длина ненулевого вектора ненулевая, а из билинейности следует, что | a u | = | a | | u | , {\displaystyle |au|=|a||u|,} то есть длины пропорциональных векторов пропорциональны.

Угол между векторами u {\displaystyle u} и v {\displaystyle v} определяется по формуле φ = arccos ⁡ ((x , y) | x | | y |) . {\displaystyle \varphi =\arccos \left({\frac {(x,y)}{|x||y|}}\right).} Из теоремы косинусов следует, что для двумерного евклидова пространства (евклидовой плоскости ) данное определение угла совпадает с обычным . Ортогональные векторы, как и в трёхмерном пространстве, можно определить как векторы, угол между которыми равен π 2 . {\displaystyle {\frac {\pi }{2}}.}

Неравенство Коши - Буняковского - Шварца и неравенство треугольника

В данном выше определении угла остался один пробел: для того, чтобы arccos ⁡ ((x , y) | x | | y |) {\displaystyle \arccos \left({\frac {(x,y)}{|x||y|}}\right)} был определён, необходимо, чтобы выполнялось неравенство | (x , y) | x | | y | | ⩽ 1. {\displaystyle \left|{\frac {(x,y)}{|x||y|}}\right|\leqslant 1.} Это неравенство действительно выполняется в произвольном евклидовом пространстве, оно называется неравенством Коши - Буняковского - Шварца . Из этого неравенства, в свою очередь, следует неравенство треугольника : | u + v | ⩽ | u | + | v | . {\displaystyle |u+v|\leqslant |u|+|v|.} Неравенство треугольника, вместе с перечисленными выше свойствами длины, означает, что длина вектора является нормой на евклидовом векторном пространстве, а функция d (x , y) = | x − y | {\displaystyle d(x,y)=|x-y|} задаёт на евклидовом пространстве структуру метрического пространства (эта функция называется евклидовой метрикой). В частности, расстояние между элементами (точками) x {\displaystyle x} и y {\displaystyle y} координатного пространства R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} задаётся формулой d (x , y) = ‖ x − y ‖ = ∑ i = 1 n (x i − y i) 2 . {\displaystyle d(\mathbf {x} ,\mathbf {y})=\|\mathbf {x} -\mathbf {y} \|={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-y_{i})^{2}}}.}

Алгебраические свойства

Ортонормированные базисы

Сопряжённые пространства и операторы

Любой вектор x {\displaystyle x} евклидова пространства задаёт линейный функционал x ∗ {\displaystyle x^{*}} на этом пространстве, определяемый как x ∗ (y) = (x , y) . {\displaystyle x^{*}(y)=(x,y).} Это сопоставление является изоморфизмом между евклидовым пространством и

Евклидово пространство

Евкли́дово простра́нство (также Эвкли́дово простра́нство ) - в изначальном смысле, пространство, свойства которого описываются аксиомами евклидовой геометрии . В этом случае предполагается, что пространство имеет размерность 3.

В современном понимании, в более общем смысле, может обозначать один из сходных и тесно связанных объектов, определённых ниже. Обычно -мерное евклидово пространство обозначается , хотя часто используется не вполне приемлемое обозначение .

,

в простейшем случае (евклидова норма ):

где (в евклидовом пространстве всегда можно выбрать базис , в котором верен именно этот простейший вариант).

2. Метрическое пространство , соответствующее пространству описанному выше. То есть с метрикой, введённой по формуле:

,

Связанные определения

• Под евклидовой метрикой может пониматься метрика, описанная выше, а также соответствующая риманова метрика .

• Под локальной евклидовостью обычно имеют в виду то, что каждое касательное пространство риманова многообразия есть евклидово пространство со всеми вытекающими свойствами, например, возможностью (по гладкости метрики) ввести в малой окрестности точки координаты, в которых расстояние выражается (с точностью до какого-то порядка) в соответствии с описанным выше.

• Метрическое пространство называют локально евклидовым также если возможно ввести на нём координаты, в которых метрика будет евклидовой (в смысле второго определения) всюду (или хотя бы на конечной области) - каковым, например, является риманово многообразие нулевой кривизны.

Примеры

Наглядными примерами евклидовых пространств могут служить пространства:

Более абстрактный пример:

Вариации и обобщения

См. также

Ссылки

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое "Евклидово пространство" в других словарях:

Конечномерное векторное пространство с положительно определённым скалярным произведением. Является непосредств. обобщением обычного трёхмерного пространства. В Е. п. существуют декартовы координаты, в к рых скалярное произведение (ху)векторов х … Физическая энциклопедия

Пространство, свойства которого изучаются в евклидовой геометрии. В более широком понимании евклидовым пространством называется n мерное векторное пространство, в котором определено скалярное произведение … Большой Энциклопедический словарь

Евклидово пространство - пространство, свойства которого описываются аксиомами евклидовой геометрии. Упрощенно можно определить евклидово пространство, как пространство на плоскости или в трехмерном объеме, в которых заданы прямоугольные (декартовы) координаты, а… … Начала современного естествознания

Евклидово пространство - см. Многомерное (n мерное) векторное пространство, Векторное (линейное) пространство … Экономико-математический словарь

евклидово пространство - — [Л.Г.Суменко. Англо русский словарь по информационным технологиям. М.: ГП ЦНИИС, 2003.] Тематики информационные технологии в целом EN Cartesian space … Справочник технического переводчика

Пространство, свойства которого изучаются в евклидовой геометрии. В более широком понимании евклидовым пространством называют n мерное векторное пространство, в котором определено скалярное произведение. * * * ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО ЕВКЛИДОВО… … Энциклопедический словарь

Пространство, свойства к рого изучаются в евклидовой геометрии. В более широком понимании Е. п. наз. n мерное векторное пространство, в к ром определено скалярное произведение … Естествознание. Энциклопедический словарь

Пространство, свойства к рого описываются аксиомами евклидовой геометрии. В более общем смысле Е. п. конечномерное действительное векторное пространствоRn со скалярным произведением(х, у), х, к рое в надлежащим образом выбранных координатах… … Математическая энциклопедия

- (в математике) пространство, свойства которого описываются аксиомами евклидовой геометрии (См. Евклидова геометрия). В более общем смысле Е. п. называется n мepное Векторное пространство, в котором возможно ввести некоторые специальные… … Большая советская энциклопедия

- [по имени др. греч. математика Евклида (Eukleides; 3 в. до н. э.)] пространство, в т. ч. многомерное, в к ром возможно ввести координаты х1,..., хп так, что расстояние р (М,М) между точками М (х1 ..., х n) и М (х 1 , .... xn) может быть… … Большой энциклопедический политехнический словарь

Евклидовы пространства
Портабельные Windows-приложения на сайте Bodrenko.com

Глава 4
ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА

Из курса аналитической геометрии читатель знаком с понятием скалярного произведения двух свободных векторов и с четырьмя основными свойствами указанного скалярного произведения. В настоящей главе изучаются линейные пространства любой природы, для элементов которых каким-либо способом (причем безразлично каким) определено правило, ставящее в соответствие любым двум элементам число, называемое скалярным произведением этих элементов. При этом важно только, чтобы это правило обладало теми же четырьмя свойствами, что и правило составления скалярного произведения двух свободных векторов. Линейные пространства, в которых определено указанное правило, называются евклидовыми пространствами. В настоящей главе выясняются основные свойства произвольных евклидовых пространств.

§ 1. Вещественное евклидово пространство и его простейшие свойства

1. Определение вещественного евклидова пространства. Вещественное линейное пространство R называется вещественным евклидовым пространством (или просто евклидовым пространством ), если выполнены следующие два требования.
I. Имеется правило, посредством которого любым двум элементам этого пространства х и у ставится в соответствие вещественное число, называемое скалярным произведением этих элементов и обозначаемое символом (х, у).
П. Указанное правило подчинено следующим четырем аксиомам:
1°. (х, у) = (у, х) (переместительное свойство или симметрия);
2°. (x 1 + x 2, у) = (х 1 , у) + (х 2 , у) (распределительное свойство);
3°. (λ х, у) = λ (х, у) для любого вещественного λ ;
4°. (х, х) > 0, если х - ненулевой элемент; (х, х) = 0, если х - нулевой элемент.
Подчеркнем, что при введении понятия евклидова пространства мы абстрагируемся не только от природы изучаемых объектов, но и от конкретного вида правил образования суммы элементов, произведения элемента на число и скалярного произведения элементов (важно лишь, чтобы эти правила удовлетворяли восьми аксиомам линейного пространства и четырем аксиомам скалярного произведения).
Если же природа изучаемых объектов и вид перечисленных правил указаны, то евклидово пространство называется конкретным .
Приведем примеры конкретных евклидовых пространств.
Пример 1. Рассмотрим линейное пространство В 3 , всех свободных векторов. Скалярное произведение любых двух векторов определим так, как это было сделано в аналитической геометрии (т. е. как произведение длин этих векторов на косинус угла между ними). В курсе аналитической геометрии была доказана справедливость для так определенного скалярного произведения аксиом 1°- 4° (см. выпуск «Аналитическая геометрия», гл.2, §2, п.З). Стало быть, пространство В 3 с так определенным скалярным произведением является евклидовым пространством.
Пример 2. Рассмотрим бесконечномерное линейное пространство С [а, b ] всех функций x(t), определенных и непрерывных на сегменте а ≤ t ≤ b . Скалярное произведение двух таких функций x(t) и y(t) определим как интеграл (в пределах от а до b ) от произведения этих функций

Элементарно проверяется справедливость для так определенного скалярного произведения аксиом 1°-4°. В самом деле, справедливость аксиомы 1° очевидна; справедливость аксиом 2° и 3° вытекает из линейных свойств определенного интеграла; справедливость аксиомы 4° вытекает из того, что интеграл от непрерывной неотрицательной функции x 2 (t) неотрицателен и обращается в нуль лишь тогда, когда эта функция тождественно равна нулю на сегменте а ≤ t ≤ b (см. выпуск «Основы математического анализа», часть I, свойства 1° и 2° из п. 1 §6 гл. 10) (т.е. является нулевым элементом рассматриваемого пространства).
Таким образом, пространство С [а, b ] с так определенным скалярным произведением представляет собой бесконечномерное евклидово пространство .
Пример 3. Следующий пример евклидова пространства дает n-мерное линейное пространство А n упорядоченных совокупностей n вещественных чисел, скалярное произведение двух любых элементов х= (х 1 , x 2 ,...,х n) и у = (y 1 , y 2 ,...,y n) которого определяется равенством

(х, у) = x 1 y 1 + x 2 y 2 + ... + x n y n . (4.2)

Справедливость для так определенного скалярного произведения аксиомы 1° очевидна; справедливость аксиом 2° и 3° легко проверяется достаточно вспомнить определение операций сложения элементов и умножения их на числа:

(х 1 , x 2 ,...,х n) + (y 1 , y 2 ,...,y n) = (x 1 + y 1 , x 2 + y 2 ,...,x n + y n),

λ (х 1 , x 2 ,...,х n) = (λ х 1 , λ x 2 ,..., λ х n);

наконец, справедливость аксиомы 4° вытекает из того, что (х, х) = х 1 2 + x 2 2 + ...+ х n 2 всегда является неотрицательным числом и обращается в нуль лишь при условии х 1 = х 2 = ... = х n = 0.
Рассмотренное в этом примере евклидово пространство часто обозначают символом Е n .
Пример 4. В том же самом линейном пространстве А n введем скалярное произведение любых двух элементов х= (х 1 , x 2 ,...,х n) и у = (y 1 , y 2 ,...,y n) не соотношением (4.2), а другим, более общим, способом.
Для этого рассмотрим квадратную матрицу порядка n

Составим с помощью матрицы (4.3) однородный многочлен второго порядка относительно n переменных х 1 , x 2 ,...,х n

Забегая вперед, отметим, что такой многочлен называется квадратичной формой (порождаемой матрицей (4.3)) (квадратичные формы систематически изучаются в гл. 7 этой книги).
Квадратичная форма (4.4) называется положительно определенной , если она принимает строго положительные значения для всех значений переменных х 1 , x 2 ,...,х n , одновременно не равных нулю (в гл. 7 этой книги будет указано необходимое и достаточное условие положительной определенности квадратичной формы).
Так как при х 1 = х 2 = ... = х n = 0 квадратичная форма (4.4), очевидно, равна нулю, то можно сказать, что положительно определенная
квадратичная форма обращается в нуль лишь при условии х 1 = х 2 = ... = х n = 0.
Потребуем, чтобы матрица (4.3) удовлетворяла двум условиям.
1°. Порождала положительно определенную квадратичную форму (4.4).
2°. Была симметричной (относительно главной диагонали), т.е. удовлетворяла условию a ik = а ki для всех i = 1, 2,..., n и k = I, 2,..., n .
С помощью матрицы (4.3), удовлетворяющей условиям 1° и 2°, определим скалярное произведение двух любых элементов х= (х 1 , x 2 ,...,х n) и у = (y 1 , y 2 ,...,y n) пространства А n соотношением

Легко проверить справедливость для так определенного скалярного произведения всех аксиом 1°-4°. В самом деле, аксиомы 2° и 3°, очевидно, справедливы при совершенно произвольной матрице (4.3); справедливость аксиомы 1° вытекает из условия симметричности матрицы (4.3), а справедливость аксиомы 4° вытекает из того, что квадратичная форма (4.4), представляющая собой скалярное произведение (х, х), является положительно определенной.
Таким образом, пространство А n со скалярным произведением, определяемым равенством (4.5), при условии симметричности матрицы (4.3) и положительной определенности порождаемой ею квадратичной формы, является евклидовым пространством.
Если в качестве матрицы (4.3) взять единичную матрицу, то соотношение (4.4) перейдет в (4.2), и мы получим евклидово пространство Е n , рассмотренное в примере 3.
2. Простейшие свойства произвольного евклидова пространства. Устанавливаемые в этом пункте свойства справедливы для совершенно произвольного евклидова пространства как конечной, так и бесконечной размерности.
Теорема 4.1. Для любых двух элементов х и у произвольного евклидова пространства справедливо неравенство

(x, y ) 2 ≤ (x, x )(y, y ), (4.6)

называемое неравенством Коши-Буняковского.
Доказательство. Для любого вещественного числа λ , в силу аксиомы 4° скалярного произведения, справедливо неравенство (λ х - у, λ х - у) > 0. В силу аксиом 1°-3°, последнее неравенство можно переписать в виде

λ 2 (x, x) - 2 λ(x, y) + (y, y) ≤ 0

Необходимым и достаточным условием неотрицательности последнего квадратного трехчлена является неположительность его дискриминанта, т. е. неравенство (в случае (х, х) = 0 квадратный трехчлен вырождается в линейную функцию, но в этом случае элемент х является нулевым, так что (х, у) = 0 и неравенство (4.7) также справедливо)

(x, y ) 2 - (x, x )(y, y ) ≤ 0. (4.7)

Из (4.7) сразу же вытекает неравенство (4.6). Теорема доказана.
Наша очередная задача - ввести в произвольном евклидовом пространстве понятие нормы (или длины ) каждого элемента. Для этого введем понятие линейного нормированного пространства.
Определение. Линейное пространство R называется нормированным , если выполнены следующие два требования.
I. Имеется правило, посредством которого каждому элементу х пространства R ставится в соответствие вещественное число, называемое нормой (или длиной ) указанного элемента и обозначаемое символом ||х||.
П. Указанное правило подчинено следующим трем аксиомам:
1°. ||х|| > 0, если х - ненулевой элемент; ||х|| = 0, если х - нулевой элемент;
2°. ||λ х|| = |λ | ||х|| для любого элемента х и любого вещественного числа λ ;
3°. для любых двух элементов х и у справедливо следующее неравенство

||х + y || ≤ ||х|| + ||y ||, (4.8)

называемое неравенством треугольника (или неравенством Минковского) .
Теорема 4.2. Всякое евклидово пространство является нормированным, если норму любого элемента х в нем определить равенством

Доказательство. Достаточно доказать, что для нормы, определенной соотношением (4.9), справедливы аксиомы 1°-3° из определения нормированного пространства.
Справедливость для нормы аксиомы 1° сразу вытекает из аксиомы 4° скалярного произведения. Справедливость для нормы аксиомы 2° почти непосредственно вытекает из аксиом 1° и 3° скалярного произведения.
Остается убедиться в справедливости для нормы аксиомы 3°, т. е. неравенства (4.8). Будем опираться на неравенство Коши-Буняковского (4.6), которое перепишем в виде

С помощью последнего неравенства, аксиом 1°-4° скалярного произведения и определения нормы получим

Теорема доказана.
Следствие. Во всяком евклидовом пространстве с нормой элементов, определяемой соотношением (4.9), для любых двух элементов х и у справедливо неравенство треугольника (4.8).

Заметим далее, что в любом вещественном евклидовом пространстве можно ввести понятие угла между двумя произвольными элементами х и у этого пространства. В полной аналогии с векторной алгеброй, мы назовем углом φ между элементами х и у тот (изменяющийся в пределах от 0 до π ) угол, косинус которого определяется соотношением

Данное нами определение угла корректно, ибо в силу неравенства Коши-Буняковского (4.7") дробь, стоящая в правой части последнего равенства, по модулю не превосходит единицы.
Далее договоримся называть два произвольных элемента х и у евклидова пространства Е ортогональными, если скалярное произведение этих элементов (х, у) равно нулю (в этом случае косинус угла (φ между элементами х и у будет равен нулю).
Снова апеллируя к векторной алгебре, назовем сумму х + у двух ортогональных элементов х и у гипотенузой прямоугольного треугольника, построенного на элементах х и у.
Заметим, что во всяком евклидовом пространстве справедлива теорема Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. В самом деле, поскольку х и у ортогональны и (х, у) = 0, то в силу аксиом и определения нормы

||х + y || 2 = (x+y, x+y ) = (x, x ) + 2(x, y ) + (y, y) = (x,x) + (y, y) = ||х|| 2 + ||y || 2 .

Этот результат обобщается и на n попарно ортогональных элементов х 1 , x 2 ,...,х n: если z = х 1 + x 2 + ...+ х n , то

||х|| 2 = (х 1 + x 2 + ...+ х n ,х 1 + x 2 + ...+ х n) = (х 1 ,х 1) + (х 2 ,х 2) + .... + (х n ,х n ) = ||х 1 || 2 + ||х 1 || 2 +... +||х 1 || 2 .

В заключение запишем норму, неравенство Коши-Буняковского и неравенство треугольника в каждом из конкретных евклидовых пространств, рассмотренных в предыдущем пункте.
В евклидовом пространстве всех свободных векторов с обычным определением скалярного произведения норма вектора а совпадает с его длиной |а|, неравенство Коши-Буняковского приводится к виду ((a,b ) 2 ≤ |а| 2 |b | 2 , а неравенство треугольника - к виду |a + b| ≤ |а| + |b | (Если сложить векторы а и b по правилу треугольника, то это неравенство тривиально сводится к тому, что одна сторона треугольника не превосходит суммы двух других его сторон).
В евклидовом пространстве С [а, b ] всех непрерывных на сегменте а ≤ t ≤ b функций х = x(t) со скалярным произведением (4.1) норма элемента х = x(t) равна , а неравенства Коши-Буняковского и треугольника имеют вид

Оба эти неравенства играют важную роль в различных разделах математического анализа.
В евклидовом пространстве Е n упорядоченных совокупностей n вещественных чисел со скалярным произведением (4.2) норма любого элемента х = (х 1 , x 2 ,...,х n) равна

Наконец, в евклидовом пространстве упорядоченных совокупностей n вещественных чисел со скалярным произведением (4.5) норма любого элемента х = (х 1 , x 2 ,...,х n) равна 0 (напоминаем, что при этом матрица (4.3) симметрична и порождает положительно определенную квадратичную форму (4.4)).

а неравенства Коши-Буняковского и треугольника имеют вид