Определение работы силы с помощью интеграла. Формула механической мощности Примеры формул работы сил
Сумма работ внутренних сил системы в общем случае отлична от нуля.
Если материальная система представляет собой абсолютно твердое тело, то сумма работ внутренних сил равна нулю.
Работа любой силы равна нулю, если сила приложена в неподвижной точке, скорость которой равна нулю в данный момент времени.
Работа внутренних сил натяжений гибких нерастяжимых тросов, канатов и т.п. равна нулю.
Работа силы тяжести равна произведению веса материальной системы на вертикальное перемещение центра масс, взятому со знаком «плюс», если центр масс опускается, и со знаком «минус», если центр масс поднимается: А=± Mgh c , где М – масса материальной системы, кг ; h c – вертикальное перемещение центра масс, м ; g – ускорение свободного падения, м/с 2 .
Работа силы, приложенной к вращающемуся вокруг оси абсолютно твердому телу , равна: А=± M П (φ-φ 0 ) , где M П - момент пары сил, приложенной к телу, Нм ; φ-φ 0 – значение конечного угла поворота тела.
Работа силы трения : А= - F тр · S , где S - перемещение, м . Работа силы трения всегда отрицательна.
Работа сил упругости пружины : А=0,5с∙(λ 2 0 - λ 2 1 ) , где с - коэффициент жесткости пружины; λ - удлинение пружины, м. Работа положительна при λ 0 > λ 1 и отрицательна при λ 0 < λ 1 .
5.3.3. Задание д -2. Применение теоремы об изменении кинетической энергии к изучению движения механической системы
Дано . Механическая система состоит из катков 1 и 2 (или катка и подвижного блока), ступенчатого шкива 3 с радиусами ступеней R 3 = 0,3 м, r 3 = 0,1 м и радиусом инерции относительно оси вращения ρ 3 = 0,2 м , блока 4 радиуса R 4 = 0,2 м и грузов 5 и 6 (рис. Д 2.0 – Д 2.9, табл. Д-2); тела 1 и 2 считать сплошными однородными цилиндрами, а массу блока 4 – равномерно распределенной по ободу. Коэффициент трения грузов о плоскость f =0,1 . Тела системы соединены друг с другом нитями, перекинутыми через блоки и намотанными на шкив 3 (или на шкив и каток); участки нитей параллельны соответствующим плоскостям. К одному из тел прикреплена пружина с коэффициентом жесткости с .
Под действием силы F = f ( s ), зависящей от перемещения s точки ее приложения, система приходит в движение из состояния покоя; деформация пружины в момент начала движения равна нулю. При движении на шкив 3 действует постоянный момент М сил сопротивления (от трения в подшипниках).
Все катки катятся по плоскостям без скольжения.
Если по заданию массы грузов 5 и 6 или массы катков 1 (рис. Д 2.0-2.4) и 2 (рис. Д 2.5-2.9) равны нулю, то на чертеже их можно не изображать.
Определить : значение искомой величины в тот момент времени, когда перемещение s станет равным s 1 = 0,2 м . Искомая величина указана в столбце «Найти» таблицы Д 2, где обозначено: ω 3 – угловая скорость тела 3 ; ε 4 – угловое ускорение тела 4 ; v 5 – скорость тела 5 ; а с2 - ускорение центра масс тела 2 и т.п.
Указания. При решении задачи учесть, что кинетическая энергия системы равна сумме кинетических энергий всех входящих в систему тел; эту энергию следует выразить через ту скорость (линейную или угловую), которую в задаче надо определить. При вычислении энергии для установления зависимости между скоростями точек тела, движущегося плоскопараллельно, или между его угловой скоростью и скоростью центра масс воспользоваться мгновенным центром скоростей. При вычислении работы необходимо все перемещения выразить через заданное перемещение s 1 , учитывая при этом, что зависимость между перемещениями здесь будет такой же, как между соответствующими скоростями.
Каждое тело, совершающее движение, можно охарактеризовать работой. Иными словами, она характеризует действие сил.
Работа определяется как:
Произведение модуля силы и пути пройденного телом, умноженное на косинус угла между направлением силы и движения.
Работа измеряется в Джоулях:
1 [Дж] = = [кг* м2/c2]
К примеру, тело A под действием силы в 5 Н, прошло 10 м. Определить работу совершенную телом.
Так как направление движения и действия силы совпадают, то угол между вектором силы и вектором перемещения будет равен 0°. Формула упроститься, потому что косинус угла в 0° равен 1.
Подставляя исходные параметры в формулу, находим:
A= 15 Дж.
Рассмотрим другой пример, тело массой 2 кг, двигаясь с ускорением 6 м/ с2, прошло 10 м. Определить работу проделанную телом, если оно двигалось по наклоненной плоскости вверх под углом 60°.
Для начала, вычислим какую силу нужно приложить, что бы сообщить телу ускорение 6 м/ с2.
F = 2 кг * 6 м/ с2 = 12 H.
Под действием силы 12H, тело прошло 10 м. Работу можно вычислить по уже известной формуле:
Где, а равно 30°. Подставляя исходные данные в формулу получаем:
A= 103, 2 Дж.
Мощность
Множество машин механизмов выполняют одну и ту же работу за различный промежуток времени. Для их сравнения вводится понятие мощности.
Мощность – это величина, показывающая объем работы выполненный за единицу времени.
Мощность измеряется в Ватт, в честь Шотландского инженера Джеймса Ватта.
1 [Ватт] = 1 [Дж/c].
К примеру, большой кран поднял груз весом 10 т на высоту 30 м за 1 мин. Маленький кран на эту же высоту за 1 мин поднял 2 т кирпича. Сравнить мощности кранов.
Определим работу выполняемую кранами. Груз поднимается на 30м, при этом преодолевая силу тяжести, поэтому сила, затрачиваемая на поднятие груза, будет равна силе взаимодействия Земли и груза(F = m * g). А работа – произведению сил на расстояние пройденное грузами, то есть на высоту.
Вы знаете, что такое работа? Вне всякого сомнения. Что такое работа, знает каждый человек, при условии, что он рожден и живет на планете Земля. А что такое механическая работа?
Это понятие тоже известно большинству людей на планете, хотя некоторые отдельные личности и имеют довольно смутное представление об этом процессе. Но речь сейчас не о них. Еще меньшее число людей имеют представление, что такое механическая работа с точки зрения физики. В физике механическая работа - это не труд человека ради пропитания, это физическая величина, которая может быть совершенно никак не связана ни с человеком, ни с другим каким-нибудь живым существом. Как так? Сейчас разберемся.
Механическая работа в физике
Приведем два примера. В первом примере воды реки, столкнувшись с пропастью, шумно падают вниз в виде водопада. Второй пример - это человек, который держит на вытянутых руках тяжелый предмет, например, удерживает надломившуюся крышу над крыльцом дачного домика от падения, пока его жена и дети судорожно ищут, чем ее подпереть. В каком случае совершается механическая работа?
Определение механической работы
Практически все, не задумываясь, ответят: во втором. И будут неправы. Дело обстоит как раз наоборот. В физике механическая работа описывается следующими определениями: механическая работа совершается тогда, когда на тело действует сила, и оно движется. Механическая работа прямо пропорциональна приложенной силе и пройденному пути.
Формула механической работы
Определяется механическая работа формулой:
где A - работа,
F - сила,
s - пройденный путь.
Так что, несмотря на весь героизм уставшего держателя крыши, проделанная им работа равна нулю, а вот вода, падая под действием силы тяжести с высокого утеса, совершает самую, что ни на есть, механическую работу. То есть, если мы будем толкать тяжелый шкаф безуспешно, то проделанная нами работа с точки зрения физики будет равна нулю, несмотря на то, что мы прикладываем много сил. А вот если мы сдвинем шкаф на некоторое расстояние, то тогда мы проделаем работу, равную произведению приложенной силы на расстояние, на которое мы передвинули тело.
Единица работы - 1 Дж. Это работа, совершенная силой в 1 ньютон, по передвижению тела на расстояние в 1 м. Если направление приложенной силы совпадает с направлением движения тела, то данная сила совершает положительную работу. Пример - это когда мы толкаем какое-либо тело, и оно двигается. А в случае, когда сила приложена в противоположную движению тела сторону, например, сила трения , то данная сила совершает отрицательную работу. Если же приложенная сила никак не влияет на движение тела, то сила, совершаемая этой работой, равна нулю.
English: Wikipedia is making the site more secure. You are using an old web browser that will not be able to connect to Wikipedia in the future. Please update your device or contact your IT administrator.
中文: 维基百科正在使网站更加安全。您正在使用旧的浏览器，这在将来无法连接维基百科。请更新您的设备或联络您的IT管理员。以下提供更长，更具技术性的更新（仅英语）。
Español: Wikipedia está haciendo el sitio más seguro. Usted está utilizando un navegador web viejo que no será capaz de conectarse a Wikipedia en el futuro. Actualice su dispositivo o contacte a su administrador informático. Más abajo hay una actualización más larga y más técnica en inglés.
ﺎﻠﻋﺮﺒﻳﺓ: ويكيبيديا تسعى لتأمين الموقع أكثر من ذي قبل. أنت تستخدم متصفح وب قديم لن يتمكن من الاتصال بموقع ويكيبيديا في المستقبل. يرجى تحديث جهازك أو الاتصال بغداري تقنية المعلومات الخاص بك. يوجد تحديث فني أطول ومغرق في التقنية باللغة الإنجليزية تاليا.
Français: Wikipédia va bientôt augmenter la sécurité de son site. Vous utilisez actuellement un navigateur web ancien, qui ne pourra plus se connecter à Wikipédia lorsque ce sera fait. Merci de mettre à jour votre appareil ou de contacter votre administrateur informatique à cette fin. Des informations supplémentaires plus techniques et en anglais sont disponibles ci-dessous.
日本語: ウィキペディアではサイトのセキュリティを高めています。ご利用のブラウザはバージョンが古く、今後、ウィキペディアに接続できなくなる可能性があります。デバイスを更新するか、IT管理者にご相談ください。技術面の詳しい更新情報は以下に英語で提供しています。
Deutsch: Wikipedia erhöht die Sicherheit der Webseite. Du benutzt einen alten Webbrowser, der in Zukunft nicht mehr auf Wikipedia zugreifen können wird. Bitte aktualisiere dein Gerät oder sprich deinen IT-Administrator an. Ausführlichere (und technisch detailliertere) Hinweise findest Du unten in englischer Sprache.
Italiano: Wikipedia sta rendendo il sito più sicuro. Stai usando un browser web che non sarà in grado di connettersi a Wikipedia in futuro. Per favore, aggiorna il tuo dispositivo o contatta il tuo amministratore informatico. Più in basso è disponibile un aggiornamento più dettagliato e tecnico in inglese.
Magyar: Biztonságosabb lesz a Wikipédia. A böngésző, amit használsz, nem lesz képes kapcsolódni a jövőben. Használj modernebb szoftvert vagy jelezd a problémát a rendszergazdádnak. Alább olvashatod a részletesebb magyarázatot (angolul).
Svenska: Wikipedia gör sidan mer säker. Du använder en äldre webbläsare som inte kommer att kunna läsa Wikipedia i framtiden. Uppdatera din enhet eller kontakta din IT-administratör. Det finns en längre och mer teknisk förklaring på engelska längre ned.
हिन्दी: विकिपीडिया साइट को और अधिक सुरक्षित बना रहा है। आप एक पुराने वेब ब्राउज़र का उपयोग कर रहे हैं जो भविष्य में विकिपीडिया से कनेक्ट नहीं हो पाएगा। कृपया अपना डिवाइस अपडेट करें या अपने आईटी व्यवस्थापक से संपर्क करें। नीचे अंग्रेजी में एक लंबा और अधिक तकनीकी अद्यतन है।
We are removing support for insecure TLS protocol versions, specifically TLSv1.0 and TLSv1.1, which your browser software relies on to connect to our sites. This is usually caused by outdated browsers, or older Android smartphones. Or it could be interference from corporate or personal "Web Security" software, which actually downgrades connection security.
You must upgrade your web browser or otherwise fix this issue to access our sites. This message will remain until Jan 1, 2020. After that date, your browser will not be able to establish a connection to our servers.
30.2.1. Работа силы тяжести на
конечном перемещении точки её приложения
Пусть материальная точка
перемещается из положения
в положение
по произволь-ной траектории
- см. рис.3.
Рисунок 30.3
.Принято называть:
- геодезическая высота начального
положения точки;
- геодезическая высота конечного
положения точки;
- разность геодезических высот.
Таким образом:
- работа, совершаемая силой тяжести,
не зависит от формы траектории точки
её приложения и равна произведению
модуля силы тяжести на разность
геодезических высот начального и
конечного положений этой точки.
30.2.2. Работа упругой силы на конечном перемещении точки её приложения
На рис.30.4:
-
тело, к которому приложена упругая сила
;
-
положение тела, соответствующее
недеформированному состоянию пружины;
К
выводу формулы для вычис-ления работы
упругой силы
- координ
.
В
соответствии с законом Гука
,
где
- жёсткость пружины,
- величина её деформации. Изображённый
на рис.30.4 треугольник называют эпюрой
упругой силы.
Работу упругой силы при перемещении
тела из некоторого деформированного
состояния, определяемого координатой
,
в недеформи-рованное (
),
называют полной работой упругой силы.
Рисунок 30.4
полная работа упругой силы (при переведении упругого элемента в недеформированное его состояние) определяется формулой
.
Неполная работа упругой силы (допустимо сокращение: «работа упругой силы») – это работа, совершаемая упругим элементом при переходе из одного своего деформированного состояния в другое. Ясно, что:
работа упругой силы равна площади той части треугольной своей эпюры, которая расположена между координатами, отличающими одно деформированное состояние упругого элемента от другого.
30.2.3. Работа гравитационной силы
Н
К
выводу формулы для вычисления работы
гравитационной силы
а
рис.30.5:
- притягивающий центр (Земля, Солнце и
т.д.);
- притягиваемая масса;
- сила притяжения, определяется по закону
Ньютона:
.
Ось
начинается в
,
- некоторое конечное значение координаты
.
Полная работа гравитационной силы
(
)
– это работа, которую она совершит при
перемещении притягиваемой массы из
бесконечности в положение, определяемое
расстоянием
.
Выведем формулу для её
Рисунок 30.5
вычисления:
полная
работа гравитационной силы (совершаемая
ею при перемещении притягиваемой массы
из бесконечности в положение, определяемое
расстоянием
от притягивающего центра) определяется
формулой
.
Самостоятельно получите результат:
работа
гравитационной силы, затрачиваемая на
перемещение притягиваемой массы из
положения
в
определяется формулой
.
30.3. Формулы для вычислений суммарных мощностей сил, действующих на твёрдые тела
30.3.1. Случай поступательного движения
Мощности, развиваемые отдельными силами:
Т.к. тело движется поступательно, то
просто
.
Поэтому суммарная мощность:
суммарная мощность сил, приложенных к поступательно движущемуся телу, определяется как мощность отдельной силы, равной главному вектору действующих на это тело сил и точка приложения которой перемещается со скоростью тела.
8.3.2. Случай сферического движения
суммарная мощность сил, приложенных к сферически движущемуся телу, определяется как мощность отдельной, приложенной к этому телу, пары сил, момент которой равен главному моменту действующих на тело внешних сил.
30.3.3. Случай вращательного движения
Вращательное движение – частный случай сферического.
Пусть осью вращения является
.
Тогда
суммарная мощность сил, приложенных к вращательно движущемуся телу, определяется как произведение главного момента внешних сил относительно оси вращения на проекцию угловой скорости на ту же ось.
При решении конкретных задач часто приходится иметь дело с постоянными моментами сил и, при этом, определять их работу на конечных перемещениях. Применительно к такому случаю имеем:
(после интегрирования)
,
т.е.:
суммарная работа сил на конечном повороте тела определяется как произведение главного момента внешних сил относительно оси вращения на произошедшее приращение угловой координаты.
