Hosszanti és keresztirányú deformációk. Hooke törvénye

Előadásterv

1. Alakváltozások, Hooke-törvény a rudak központi feszítése-nyomása alatt.

2. Központi feszítés és nyomás alatti anyagok mechanikai jellemzői.

Tekintsünk egy rúdszerkezeti elemet két állapotban (lásd 25. ábra):

Külső hosszanti erő F hiányzik, a rúd kezdeti hossza és keresztirányú mérete megegyezik lés b, keresztmetszeti terület A ugyanaz a teljes hosszon l(a rúd külső kontúrját folytonos vonalak jelzik);

A központi tengely mentén irányított külső hosszirányú húzóerő egyenlő F, a rúd hossza Δ növekedést kapott l, míg keresztirányú mérete Δ értékkel csökkent b(a rúd külső kontúrját deformált helyzetben szaggatott vonalak jelzik).

l Δ l

25. ábra Egy rúd hosszirányú-keresztirányú deformációja a központi feszítés során.

Rúdhossz-növekmény Δ l abszolút hosszirányú deformációjának, a Δ értéknek nevezzük b- abszolút keresztirányú deformáció. A mennyiség Δ l a rúd végkeresztmetszetének hosszirányú elmozdulásaként (a z tengely mentén) értelmezhető. Mértékegység Δ lés Δ b megegyezik a kezdeti méretekkel lés b(m, mm, cm). A mérnöki számításoknál a következő előjelszabályt alkalmazzuk Δ-re l: a rúd egy szakaszának nyújtásakor megnő a hossza és a Δ értéke l pozitív; ha a rúd kezdeti hosszúságú szakaszán l belső nyomóerő lép fel N, akkor a Δ mennyiség l negatív, mert negatív növekmény van a szakasz hosszában.

Ha az abszolút alakváltozások Δ lés Δ b lásd a kezdeti méreteket lés b, akkor megkapjuk a relatív alakváltozásokat:

- relatív hosszanti deformáció;

- relatív oldalirányú deformáció.

Relatív alakváltozások és mérettelenek (általában

nagyon kicsi) mennyiségek, általában e. o. - a relatív alakváltozás mértékegységeiben (pl. ε = 5,24 · 10 -5 egység. stb.).

A relatív hosszanti alakváltozás és a relatív keresztirányú alakváltozás arányának abszolút értéke az anyag nagyon fontos állandója, amelyet keresztirányú alakváltozási együtthatónak ill. Poisson-arány(egy francia tudós nevén)

Amint látható, a Poisson-arány mennyiségileg jellemzi a kapcsolatot a relatív keresztirányú deformáció értékei és a rúd anyagának relatív hosszirányú deformációja között, amikor egy tengely mentén külső erőket fejtenek ki. A Poisson-hányados értékeket kísérleti úton határozzák meg, és különféle anyagokhoz referenciakönyvekben adják meg. Az összes izotróp anyag esetében az értékek 0 és 0,5 közötti tartományban vannak (a parafa esetében közel 0, a gumi és a gumi esetében közel 0,5). Különösen a hengerelt acélok és alumíniumötvözetek esetében a mérnöki számításokban általában betonra veszik.

A hosszanti alakváltozás értékének ismerete ε (például a kísérletek során végzett mérések eredményeként) és egy adott anyagra vonatkozó Poisson-hányados (ami a referenciakönyvből vehető), kiszámíthatja a relatív keresztirányú deformáció értékét

ahol a mínusz előjel azt jelzi, hogy a hosszanti és keresztirányú alakváltozások mindig ellentétes algebrai előjelűek (ha a rúd Δ értékkel meghosszabbodik l húzóerő, a hosszirányú alakváltozás pozitív, mivel a rúd hossza pozitív növekedést kap, ugyanakkor a keresztirányú méret b csökken, azaz negatív Δ növekményt kap bés az oldalirányú deformáció negatív; ha a rudat erővel összenyomják F, akkor éppen ellenkezőleg, a hosszirányú deformáció negatív lesz, a keresztirányú pedig pozitív lesz).

A szerkezeti elemekben külső terhelés hatására fellépő belső erők és deformációk egyetlen folyamatot képviselnek, amelyben minden tényező összefügg. Mindenekelőtt a belső erők és az alakváltozások kapcsolatára vagyunk kíváncsiak, különösen a rúdszerkezeti elemek központi feszítésekor-nyomásakor. Ebben az esetben, mint fentebb, az irányadó a Saint-Venant-elv: a belső erők eloszlása ​​jelentősen függ attól, hogy a külső erőket milyen módszerrel fejtjük ki a rúdra csak a terhelés helye közelében (különösen, ha az erőket kis területen keresztül fejtik ki a rúdra), és olyan részeken, amelyek kellően távol vannak a helyektől

az erők alkalmazása, a belső erők eloszlása ​​csak ezen erők statikus egyenértékétől függ, vagyis húzó vagy nyomó koncentrált erők hatására feltételezzük, hogy a rúd térfogatának nagy részében a belső erők eloszlása az erők egységesek lesznek(ezt számos kísérlet és a működő szerkezetek tapasztalata igazolja).

Robert Hooke angol tudós még a 17. században megállapította az abszolút hosszirányú deformáció Δ egyenes arányos (lineáris) függését (Hooke törvénye). l húzó (vagy nyomó) erőtől F... A 19. században Thomas Jung angol tudós megfogalmazta azt az elképzelést, hogy minden anyagnak van egy állandó mennyisége (az anyag rugalmassági modulusának nevezte), amely jellemzi annak képességét, hogy ellenáll a külső erők hatására bekövetkező deformációnak. Ugyanakkor Jung volt az első, aki rámutatott arra, hogy a lineáris Hooke törvénye igazságos csak az anyag deformációjának egy bizonyos területén, nevezetesen - rugalmas alakváltozásaival.

A modern felfogás szerint a rudak egytengelyű központi feszítésére-kompressziójára alkalmazva a Hooke-törvényt kétféle formában alkalmazzák.

1) A normál feszültség a rúd keresztmetszetében központi feszültség alatt egyenesen arányos a relatív hosszirányú deformációjával

, (a Hooke-törvény első fajtája),

ahol E- az anyag rugalmassági modulusa hosszirányú deformáció esetén, amelynek értékeit különböző anyagokra kísérletileg határozzák meg, és referenciakönyvekbe írják be, amelyeket a műszaki szakemberek különféle mérnöki számítások elvégzése során használnak; tehát hengerelt szénacélokhoz, amelyeket széles körben használnak az építőiparban és a gépészetben; alumíniumötvözetekhez; rézhez; más anyagoknál az érték E mindig megtalálható a referenciakönyvekben (lásd például "Kézikönyv az anyagok szilárdságáról", a szerzők Pisarenko GS és mások). Rugalmas modulus egységek E megegyezik a normál feszültségek mértékegységeivel, azaz. Pa, MPa, N / mm 2 satöbbi.

2) Ha a Hooke-törvény fenti formájában a normál feszültség a szakaszban σ belső hosszirányú erővel fejezzük ki Nés a rúd keresztmetszete A, azaz és a relatív hosszirányú deformáció - a rúd kezdeti hosszán keresztül lés abszolút hosszirányú deformáció Δ l, azaz egyszerű átalakítások után képletet kapunk a gyakorlati számításokhoz (a hosszirányú alakváltozás egyenesen arányos a belső hosszirányú erővel)

(A Hooke-törvény 2. fajtája). (tizennyolc)

Ebből a képletből az következik, hogy az anyag rugalmassági modulusa értékének növekedésével E a rúd abszolút hosszirányú deformációja Δ l csökken. Így a szerkezeti elemek deformációkkal szembeni ellenállása (merevsége) növelhető olyan anyagok használatával, amelyeknél nagyobb a rugalmassági modulusuk. E... Az építőiparban és a gépészetben széles körben használt szerkezeti anyagok közül magas a rugalmassági modulus értéke E acélt birtokolnak. Az értékváltozás tartománya E kicsi a különböző acélminőségekhez: (1,92 ÷ 2,12) · 10 5 MPa... Az alumíniumötvözetek esetében például az érték E körülbelül háromszor kevesebb, mint az acéloké. Ezért azért

a fokozott merevségi követelményeket támasztó szerkezeteknél az acélok az előnyben részesített anyagok.

A szorzatot a rúd metszetének merevségi paraméterének (vagy egyszerűen merevségének) nevezik annak hosszirányú deformációi során (a metszet hosszirányú merevségének mértékegysége N, kN, MN). Nagysága c = E A / l a rúdhossz hosszirányú merevségének nevezzük l(a rúd hosszirányú merevségének mértékegységei val vel – N/m, kN/m).

Ha a sáv több részből áll ( n) változó hosszanti merevséggel és komplex hosszterheléssel (a belső hosszirányú erő függvénye a rúdszelvény z koordinátájából), akkor a rúd teljes abszolút hosszirányú alakváltozását az általánosabb képlet határozza meg.

ahol az integrációt a rúd minden szakaszán belül hajtják végre, és a diszkrét összegzést a rúd minden szakaszán végezzük i = 1 előtt i = n.

A Hooke-törvényt széles körben alkalmazzák a szerkezetek mérnöki számításaiban, mivel a legtöbb szerkezeti anyag működés közben igen jelentős feszültségeket képes érzékelni anélkül, hogy a rugalmas alakváltozások során összeomlana.

A rúd anyagának rugalmatlan (képlékeny vagy rugalmas-plasztikus) alakváltozásainál a Hooke-törvény közvetlen alkalmazása illegális, ezért a fenti képletek nem használhatók. Ezekben az esetekben más számított függőségeket kell használni, amelyeket az „Anyagellenállás”, „Szerkezeti mechanika”, „Szilárd deformálható test mechanikája”, valamint „A plaszticitás elmélete” kurzusok speciális szakaszaiban kell figyelembe venni. .

Tekintsünk egy állandó keresztmetszetű egyenes gerendát, amelynek egyik végébe beágyazott hossza, a másik végén pedig P húzóerő terhel (8.2. ábra, a). A P erő hatására a rúd egy bizonyos mértékben meghosszabbodik, amit teljes, vagy abszolút megnyúlásnak (abszolút hosszirányú deformációnak) nevezünk.

A vizsgált rúd bármely pontján ugyanaz a feszültségállapot van, és ezért a lineáris alakváltozások (lásd 5.1. pont) minden pontjában azonosak. Ezért az érték az abszolút nyúlás és az I rúd kezdeti hosszának arányaként definiálható, azaz. A gerendák feszültsége vagy összenyomása során bekövetkező lineáris alakváltozást általában relatív nyúlásnak vagy relatív hosszanti deformációnak nevezik, és jelölik.

Ennélfogva,

A relatív hosszanti alakváltozást absztrakt mértékegységekben mérjük. Egyetértünk abban, hogy a nyúlási deformációt pozitívnak tekintjük (8.2. ábra, a), és a kompressziós deformációt negatívnak (8.2. ábra, b).

Minél nagyobb a rudat feszítő erő nagysága, annál nagyobb a rúd megnyúlása, ha egyéb dolgok egyenlők; minél nagyobb a rúd keresztmetszete, annál kisebb a rúd nyúlása. A különböző anyagokból készült rudak különböző hosszúságúak. Azokra az esetekre, amikor a feszültségek a rúdban nem haladják meg az arányossági határt (lásd 6.1 §, 4. oldal), a kísérlet a következő függést állapította meg:

Itt N a hosszirányú erő a gerenda keresztmetszetein; - a fa keresztmetszete; E egy olyan együttható, amely az anyag fizikai tulajdonságaitól függ.

Figyelembe véve, hogy a normál feszültséget a rúd keresztmetszetében kapjuk

A rúd abszolút nyúlását a képlet fejezi ki

vagyis az abszolút hosszirányú alakváltozás egyenesen arányos a hosszirányú erővel.

Először 1660-ban fogalmazta meg az erők és az alakváltozások egyenes arányosságának törvényét. A (10.2) - (13.2) képletek a Hooke-törvény matematikai kifejezései a rúd feszültségében és összenyomódásában.

Általánosabb a Hooke-törvény következő megfogalmazása [lásd. (11.2) és (12.2) képletek]: a relatív hosszirányú alakváltozás egyenesen arányos a normálfeszültséggel. Ebben a megfogalmazásban a Hooke-törvényt nemcsak a rudak nyújtásának és összenyomódásának tanulmányozása során alkalmazzák, hanem a tanfolyam más szakaszaiban is.

A (10.2) - (13.2) képletekben szereplő E mennyiséget az első típusú rugalmassági modulusnak (rövidítve rugalmassági modulusnak) nevezzük. Ez a mennyiség egy anyag fizikai állandója, amely a merevségét jellemzi. Minél nagyobb az E értéke, annál kisebb, ha egyéb tényezők megegyeznek, a hosszirányú deformáció.

A termék neve a rúd keresztmetszetének merevsége feszítés és nyomás hatására.

Az I. függelék megadja az E rugalmassági modulus értékeit különböző anyagokra.

A (13.2) képlet egy hosszúságú rúdszakasz abszolút hosszirányú alakváltozásának kiszámítására csak akkor használható, ha a rúd ezen a szakaszon belüli metszete állandó, és az N hosszirányú erő minden keresztmetszetben azonos.

A hosszirányú deformáció mellett, amikor nyomó- vagy húzóerő hat a rúdra, keresztirányú deformáció is megfigyelhető. A fa összenyomásakor a keresztirányú méretei nőnek, nyújtáskor pedig csökkennek. Ha a rúd keresztirányú méretét a P nyomóerők kifejtése előtt b-vel jelöljük, majd ezen erők alkalmazása után (9.2. ábra), akkor az érték a rúd abszolút keresztirányú deformációját jelöli.

Az arány a relatív nyírófeszültség.

A tapasztalat azt mutatja, hogy a rugalmassági határt meg nem haladó feszültségeknél (lásd 6.1. §, 3. o.) a relatív keresztirányú alakváltozás egyenesen arányos a relatív hosszirányú alakváltozással, de ennek ellentétes előjele van:

Az arányossági együttható a (14.2) képletben a rúd anyagától függ. Ezt keresztirányú alakváltozási aránynak, vagy Poisson-aránynak nevezik, és a relatív keresztirányú alakváltozás és a hosszirányú alakváltozás aránya abszolút értékben, azaz.

A Poisson-hányados az E rugalmassági modulussal együtt az anyag rugalmassági tulajdonságait jellemzi.

A Poisson-hányadost kísérleti úton határozzuk meg. Különböző anyagok esetén ez nullától (parafa esetében) 0,50-hez közeli értékig (gumi és viasz esetén) terjed. Acél esetében a Poisson-arány 0,25-0,30; számos más fém (öntöttvas, cink, bronz, réz) esetében 0,23 és 0,36 között van. A különböző anyagok Poisson-arányának indikatív értékeit az I. függelék tartalmazza.

5. számú előadás

Téma: " Nyújtás és szorítás»

Kérdések:

1. Normál húzó- és nyomófeszültségek

2. Hosszanti és keresztirányú alakváltozás meghatározása. Hooke törvénye

4. Hőmérsékleti feszültségek

5. Telepítési feszültségek

1. Normál húzó- és nyomófeszültségek

Ha egy hasáb alakú rúd felületére a rúd tengelyével párhuzamos és merőleges vonalak rácsát alkalmazzuk, és húzóerőt fejtünk ki rá, akkor meggyőződhetünk arról, hogy a rácsvonalak egymásra merőlegesek maradnak az alakváltozás után is (lásd 1. ábra). ).

Rizs. 1

Minden vízszintes vonal, például a cd, lefelé mozog, vízszintes és egyenes marad. Feltételezhető az is, hogy a rúd belsejében is ugyanaz lesz a kép, pl. "a rúdnak a deformáció előtt lapos és a tengelyére merőleges keresztmetszete a deformáció után sík és a tengelyre merőleges metszetek maradnak." Ezt a fontos hipotézist lapos metszet hipotézisnek vagy Bernoulli hipotézisnek nevezik. Az e hipotézis alapján kapott képleteket a kísérleti eredmények igazolják.

Az alakváltozások ilyen képe azt ad okot, hogy a keresztmetszetekben csak normál feszültségek hatnak, amelyek a szelvény minden pontján azonosak, a nyírófeszültségek pedig nullával egyenlőek. Ha nyírófeszültségek jelennének meg, akkor szögdeformáció figyelhető meg, és a hossz- és keresztirányú vonalak közötti szögek megszűnnének egyenesek lenni. Ha a normál feszültségek nem lennének azonosak a szelvény minden pontján, akkor ahol nagyobbak a feszültségek, ott nagyobb az alakváltozás, ezért a keresztmetszetek nem lennének laposak és párhuzamosak. A síkszelvények hipotézisét elfogadva megállapítjuk, hogy
.

Mivel a hosszirányú erő a belső erők eredője
végtelenül kis területeken keletkezik (lásd 3.2. ábra), így ábrázolható:

Rizs. 2

A konstansok kivehetők az integráljelből:

ahol A a keresztmetszeti terület.

Megkapjuk a képletet a normál feszültség meghatározásához húzásban vagy összenyomódásban:

(1)

Ez az egyik legfontosabb képlet az anyagok szilárdságában, ezért ezt keretek között fogjuk kiemelni, és a jövőben is lépni fogunk.

Amikor kinyújtják pozitívan, tömörítés alatt  negatív.

Ha csak egy külső erő hat a rúdra F, azután

N= F,

és a feszültségek a következő képlettel határozhatók meg:

2. Hosszanti és keresztirányú alakváltozás meghatározása

A legtöbb szerkezeti anyag rugalmas szakaszában a feszültségek és az alakváltozások közvetlen összefüggésben állnak egymással, az úgynevezett Hooke-törvény:

(2)

ahol E a hosszirányú rugalmassági modulus vagy Young-modulus MPa-ban mérve az anyag merevségét jellemzi, azaz. a deformációnak ellenálló képesség, értékeit a referenciakönyv táblázatai tartalmazzák;

 relatív hosszanti alakváltozás, méretnélküli érték, mivel:

; (3)

 a rúd abszolút nyúlása, m;

l kezdeti hossz, m.

Minél nagyobb az E hosszirányú rugalmassági modulus értéke, annál kisebb az alakváltozás. Például acélnál E = 2,110 5 MPa, öntöttvasnál pedig E = (0,75 ... 1,6) 10 5 MPa, ezért az öntöttvasból készült szerkezeti elem azonos egyéb feltételek mellett nagyobb teljesítményt kap. deformáció, mint az acélnál. Itt nem szabad összetéveszteni azzal a ténnyel, hogy egy elszakadt acélrúd lényegesen nagyobb deformációval rendelkezik, mint az öntöttvasé. Nem végső alakváltozásról beszélünk, hanem a rugalmas szakaszban bekövetkező deformációról, azaz. képlékeny alakváltozások fellépése nélkül, és azonos terheléssel.

Átalakítjuk a Hooke-törvényt a (3.3) egyenletből helyettesítve:

Cserélje ki az értéket az (1) képletből:

(4)

Megkaptuk a rúd abszolút megnyúlásának (rövidülésének) képletét. Amikor kinyújtják
pozitív, összenyomva  negatív. Munka EA a fa merevségének nevezik.

Nyújtáskor a rúd elvékonyodik, összenyomva pedig vastagabbá válik. A keresztmetszet méreteinek megváltoztatását keresztirányú deformációnak nevezzük. Például egy téglalap alakú szakasznak a betöltés előtt szélessége volt bés szakasz magassága h, és betöltés után  b 1 és h 1 ... Relatív keresztirányú deformáció a szelvény szélességéhez:

a szakasz magasságához:

Az izotróp anyagok minden irányban azonos tulajdonságokkal rendelkeznek. Ezért:

Feszítésben a keresztirányú alakváltozás negatív, kompresszióban  pozitív.

A keresztirányú és a hosszirányú alakváltozás arányát keresztirányú alakváltozási aránynak vagy Poisson-aránynak nevezzük:

(5)

Kísérletileg megállapították, hogy bármely anyag rugalmas működési szakaszában az érték és folyamatosan. 0-on belül van 0,5, szerkezeti anyagoknál pedig a kézikönyv táblázataiban található.

Az (5) függésből a következő képlet kapható:

(6)

Nyújtáskor (összenyomva) a fa keresztmetszete hosszirányban elmozdul. Az elmozdulás az alakváltozás következménye, de a két fogalmat egyértelműen meg kell különböztetni. Egy rúd esetében (lásd a 3. ábrát) határozza meg az alakváltozás mértékét és ábrázolja az elmozdulási diagramot.

Rizs. 3

Amint az ábrán látható, az AB rúdszegmens nincs megfeszítve, de mozgást kap, mivel a CB szakasz megnyúlik. Megnyúlása egyenlő:

A keresztmetszetek elmozdulásait jelöljük ... A C szakaszban az elmozdulás nulla. A C szakasztól a B szakaszig az elmozdulás egyenlő a nyúlással, azaz. arányosan nő
A B-től A-ig terjedő szakaszok esetében az elmozdulások azonosak és egyenlőek
, mivel a rúdnak ez a szegmense nincs deformálva.

3. Statikailag határozatlan problémák

Azokat a rendszereket, amelyekben az erőfeszítéseket nem lehet pusztán a statika egyenleteivel meghatározni, statikailag határozatlannak tekintjük. Minden statikailag határozatlan rendszer rendelkezik "extra" csatlakozásokkal, kiegészítő rögzítések, rudak és egyéb elemek formájában. Az ilyen kapcsolatokat "feleslegesnek" nevezzük, mert a rendszer egyensúlyának, geometriai megváltoztathatatlanságának biztosítása szempontjából nem szükségesek, eszközük szerkezeti vagy működési célokat követ.

Az ismeretlenek száma és az adott rendszerre felállítható független egyensúlyi egyenletek közötti különbség a szükségtelen ismeretlenek számát vagy a statikus bizonytalanság mértékét jellemzi.

A statikusan határozatlan rendszereket bizonyos pontok eltolási egyenleteinek felállításával oldják meg, amelyek számának meg kell egyeznie a rendszer határozatlanságának mértékével.

Hagyja, hogy az erő a két végével mereven lezárt rúdra hatjon F(lásd a 4. ábrát). Határozzuk meg a támaszok reakcióit.

Rizs. 4

Irányítsuk a támaszok reakcióit balra, mivel az F erő jobbra hat. Mivel az erő súlya egy egyenes mentén hat, csak egy statikus egyensúlyi egyenlet állítható fel:

-B + F-C = 0;

Tehát a B és C hordozó két ismeretlen reakciója és egy statikus egyensúlyi egyenlet. A rendszer egyszer statikusan definiálatlan. Következésképpen a megoldáshoz egy további egyenletet kell összeállítani a C pont elmozdulásai alapján. A megfelelő támaszt gondolatban eldobjuk. Az F erőtől a VD rúd bal oldala megnyúlik, és a C szakasz jobbra tolódik el ennek a deformációnak a mértékével:

A C támasz reakciójából a rúd összenyomódik, és a szakasz balra mozog a teljes rúd deformációjának mértékével:

A támaszték nem teszi lehetővé a C szakasz elmozdulását sem balra, sem jobbra, ezért az F és C erőkből származó elmozdulások összege nullával egyenlő:

|

A C értéket behelyettesítve a statikus egyensúlyi egyenletbe, definiáljuk a második támaszreakciót:

4. Hőmérsékleti feszültségek

Statikailag határozatlan rendszerekben a hőmérséklet változásával feszültségek keletkezhetnek. A mindkét végén mereven lezárt rudat melegítse fel a hőmérsékletre
jégeső. (lásd az 5. ábrát).

Rizs. 5

Melegítéskor a testek kitágulnak, és a rúd hajlamos megnyúlni a következő mértékben:

ahol  lineáris tágulási együttható,

l eredeti hossz.

A támasztékok nem teszik lehetővé a bot meghosszabbodását, így a bot összenyomódik a következő mennyiséggel:

A (4) képlet szerint:

=
;

Amennyiben:

(7)

A (7) képletből látható, hogy a hőmérsékleti feszültségek nem függenek a rúd hosszától, hanem csak a lineáris tágulási együtthatótól, a hosszirányú rugalmassági modulustól és a hőmérsékletváltozástól.

A hőmérsékleti feszültségek magas értékeket is elérhetnek. Ezek csökkentésére a szerkezetek speciális hőmérsékleti hézagokat (például rések a sínkötésekben) vagy kompenzációs eszközöket (például csővezetékek íveit) biztosítanak.

5. Telepítési feszültségek

A szerkezeti elemek méretbeli eltéréseket mutathatnak a gyártás során (például hegesztés miatt). Az összeszerelés során a méretek nem egyeznek meg (például csavarlyukak), és erőt alkalmaznak a szerelvények összeszereléséhez. Ennek eredményeként a szerkezeti elemekben külső terhelés alkalmazása nélkül belső erők lépnek fel.

Két merev rögzítés közé iktassunk be egy rudat, melynek hossza érték szerint a nagyobb, mint a támasztékok közötti távolság (lásd 6. ábra). A rúd összenyomódik. Határozza meg a feszültségeket a (4) képlet segítségével:

(8)

Rizs. 6

A (8) képletből látható, hogy a rögzítési feszültségek egyenesen arányosak a mérethibával a... Ezért kívánatos, hogy legyen a = 0, főleg rövid botok esetében, hiszen fordítottan arányos a hosszával.

Statikailag határozatlan rendszerekben azonban kifejezetten a beépítési feszültségekhez folyamodnak a szerkezet teherbíró képességének növelése érdekében.

Tekintsük a rudak feszítéséből és összenyomódásából adódó alakváltozásokat. Nyújtáskor a rúd hossza megnő, és a keresztirányú méretek csökkennek. Éppen ellenkezőleg, az összenyomás során a rúd hossza csökken, és a keresztirányú méretek nőnek. A 2.7. ábrán a szaggatott vonal a feszített rúd deformált nézetét mutatja.

ℓ a rúd hossza a terhelés alkalmazása előtt;

ℓ 1 - rúdhossz a terhelés alkalmazása után;

b a keresztirányú méret a terhelés alkalmazása előtt;

b 1 - keresztirányú méret a terhelés alkalmazása után.

Abszolút hosszirányú deformáció ∆ℓ = ℓ 1 - ℓ.

Abszolút keresztirányú alakváltozás ∆b = b 1 - b.

A relatív lineáris alakváltozás ε értéke a ∆ℓ abszolút nyúlás és a rúd kezdeti hosszának ℓ arányaként határozható meg.

A keresztirányú deformációkat hasonló módon találjuk meg.

Feszítés hatására a keresztirányú méretek csökkennek: ε> 0, ε ′< 0; при сжатии: ε < 0, ε′ >0. A tapasztalat azt mutatja, hogy rugalmas alakváltozásoknál a keresztirányú mindig egyenesen arányos a hosszirányúval.

ε ′ = - νε. (2.7)

A ν arányossági együtthatót ún Poisson-arány vagy oldalirányú alakváltozási arány... Ez a keresztirányú és a hosszirányú deformáció arányának abszolút értéke axiális feszültség alatt

Nevét arról a francia tudósról kapta, aki először javasolta a 19. század elején. A Poisson-hányados egy állandó érték az anyag rugalmas alakváltozásain belül (vagyis olyan alakváltozásokon, amelyek a terhelés eltávolítása után eltűnnek). Különféle anyagok esetén a Poisson-arány a 0 ≤ ν ≤ 0,5 tartományban változik: acélnál ν = 0,28 ... 0,32; guminál ν = 0,5; a dugónál ν = 0.

A feszültségek és a rugalmas alakváltozások között kapcsolat van Hooke törvénye:

σ = Еε. (2.9)

A feszültség és az alakváltozás közötti E arányossági együtthatót normálrugalmassági modulusnak vagy Young-modulusnak nevezzük. Az E méret megegyezik a feszültség méretével. Akárcsak ν, E is az anyag rugalmassági állandója. Minél nagyobb az E értéke, annál kisebb, ha egyéb tényezők megegyeznek, a hosszirányú deformáció. Acél esetén E = (2 ... 2,2) 10 5 MPa vagy E = (2 ... 2,2) 10 4 kN / cm 2.

A (2.9) képletbe behelyettesítve a (2.2) képlet szerinti σ és a (2.5) képlet szerinti ε értékét, megkapjuk az abszolút alakváltozás kifejezését.

Az EF termék az ún a fa merevsége feszítésben és nyomásban.

A (2.9) és (2.10) képletek a 17. század közepén javasolt Hooke-törvény rögzítésének különböző formái. A fizika ezen alapvető törvényének megírásának modern formája jóval később - a 19. század elején - jelent meg.

A (2.10) képlet csak azokon a területeken érvényes, ahol az N erő és az EF merevség állandó. Lépcsőzetes és több erővel terhelt rúd esetén a nyúlásokat az állandó N és F szelvényekre számítjuk, és az eredményeket algebrailag összegezzük.

Ha ezek a mennyiségek egy folytonos törvény szerint változnak, ∆ℓ-t a képlet alapján számítjuk ki

Számos esetben a gépek és szerkezetek normál működésének biztosításához az alkatrészeik méreteit úgy kell megválasztani, hogy a szilárdsági állapot mellett a merevségi állapot is biztosított legyen.

ahol ∆ℓ az alkatrész méreteinek változása;

[∆ℓ] ennek a változtatásnak a megengedett mértéke.

Hangsúlyozzuk, hogy a merevségszámítás mindig kiegészíti a szilárdsági számítást.

2.4. A rúd kiszámítása saját súlyának figyelembevételével

A változó hosszúságú paraméterekkel rendelkező rúd nyújtásának problémájára a legegyszerűbb példa a prizmás rúd saját súlya alatti nyújtásának problémája (2.8. ábra, a). Az N x hosszirányú erő ennek a rúdnak a keresztmetszetében (az alsó végétől x távolságra) egyenlő a rúd alatti részének gravitációjával (2.8. ábra, b), azaz.

N x = γFx, (2.14)

ahol γ a rúd anyagának térfogati tömege.

A hosszanti erő és a feszültségek lineárisan változnak, a végpontban érik el a maximumot. Egy tetszőleges szakasz tengelyirányú elmozdulása megegyezik a rúd felső részének megnyúlásával. Ezért a (2.12) képlettel kell meghatározni, az integrációt az aktuális x értékről x = ℓ-re kell végrehajtani:

Kapott egy kifejezést a sáv egy tetszőleges szakaszára

Az x = ℓ esetén az elmozdulás a legnagyobb, egyenlő a rúd nyúlásával

A 2.8. ábra c, d, e az N x, σ x és u x grafikonokat mutatja

A (2.17) képlet számlálóját és nevezőjét megszorozzuk F-vel, és megkapjuk:

A γFℓ kifejezés egyenlő a G rúd megfelelő súlyával.

A (2.18) képlet azonnal megkapható a (2.10)-ből, ha emlékezünk arra, hogy a saját súlyának G eredőjét a rúd súlypontjában kell alkalmazni, és ezért csak a rúd felső felében okoz megnyúlást (ábra 2.8, a).

Ha a rudak a saját súlyukon kívül még koncentrált hosszirányú erőkkel vannak terhelve, akkor a feszültségeket és alakváltozásokat a koncentrált erőktől és saját súlyuktól elkülönített erőhatások függetlenségének elve alapján határozzák meg. , majd hozzáadjuk az eredményeket.

Az erők működésének függetlenségének elve rugalmas testek lineáris deformálhatóságából következik. Lényege abban rejlik, hogy egy erőcsoport hatásából bármely mennyiség (feszültség, elmozdulás, alakváltozás) megkapható az egyes erőkből külön-külön talált mennyiségek összegeként.

A feszítésben és összenyomódásban jelentkező feszültségek és alakváltozások lineáris összefüggésben állnak egymással, amit ún. Hooke törvénye , amelyet R. Hooke (1653-1703) angol fizikusról neveztek el, aki ezt a törvényt létrehozta.
A Hooke-törvény a következőképpen fogalmazható meg: a normál feszültség egyenesen arányos a megnyúlással vagy rövidüléssel .

Matematikailag ezt a függést a következőképpen írjuk le:

σ = E ε.

Itt E - arányossági együttható, amely a faanyag merevségét, azaz deformációval szembeni ellenálló képességét jellemzi; őt hívják hosszanti rugalmassági modulus , vagy az első típusú rugalmassági modulus .
A rugalmassági modulus, a feszültséghez hasonlóan, ebben van kifejezve pascal (Pa) .

Az értékek E Különféle anyagok esetében kísérleti úton állapítják meg, és értékük megtalálható a megfelelő referenciakönyvekben.
Tehát acélnál E = (1,96 ... 2,16) x 105 MPa, réznél E = (1,00 ... 1,30) x 105 MPa stb.

Meg kell jegyezni, hogy a Hooke-törvény csak a terhelés bizonyos határai között érvényes.
Ha a relatív nyúlás és feszültség korábban kapott értékeit behelyettesítjük a Hooke-törvény képletébe: ε = Δl / l ,σ = N/A , akkor a következő függőséget kaphatja:

Δl = N l / (E A).

A rugalmassági modulus és a keresztmetszeti terület szorzata E × A , amely a nevezőben áll, a szakasz merevségének feszítésben és összenyomódásban; egyszerre jellemzi a faanyag fizikai és mechanikai tulajdonságait és e fa keresztmetszetének geometriai méreteit.

A fenti képlet a következőképpen olvasható: a rúd abszolút meghosszabbítása vagy rövidülése egyenesen arányos a rúd hosszirányú erejével és hosszával, és fordítottan arányos a rúdszakasz merevségével.
Kifejezés E A / l hívják a fa merevsége feszítésben és nyomásban .

A Hooke-törvény fenti képletei csak állandó keresztmetszetű, azonos anyagból és állandó erővel készült gerendákra és szakaszaikra érvényesek. Egy olyan rúd esetében, amelynek több, anyagban, keresztmetszeti méretben, hosszirányú erőben eltérő szakasza van, a teljes rúd hosszának változását az egyes szakaszok meghosszabbításának vagy rövidülésének algebrai összegeként határozzuk meg:

Δl = Σ (Δl i)

Deformáció

Deformáció(eng. deformáció) egy test (vagy testrész) alakjának és méretének megváltozása külső erők hatására, hőmérséklet-, páratartalom-változással, fázisátalakulással és egyéb olyan hatásokkal, amelyek a testrészecskék helyzetében megváltoznak. Növekvő feszültség hatására az alakváltozás tönkremenetelhez vezethet. Az anyagok azon képességét, hogy ellenállnak a deformációnak és tönkremenetelnek különféle típusú terhelések hatására, ezen anyagok mechanikai tulajdonságai jellemzik.

Ennek vagy annak a megjelenésére deformáció típusa a testet érő igénybevételek jellege nagy befolyással bír. Egyedül deformációs folyamatok a stressz tangenciális komponensének túlnyomó hatásához kapcsolódnak, mások - normál komponensének hatásához.

A deformáció típusai

A testre kifejtett terhelés jellege szerint deformáció típusai a következőképpen oszlik:

• Szakító deformáció;
• Kompressziós deformáció;
• Nyírási (vagy nyírási) deformáció;
• Torziós deformáció;
• Hajlítási deformáció.

NAK NEK az alakváltozások legegyszerűbb fajtái idetartoznak: húzó alakváltozás, kompressziós alakváltozás, nyíró alakváltozás. Megkülönböztetnek még a következő alakváltozási típusokat: átfogó összenyomás deformáció, csavarás, hajlítás, amelyek a legegyszerűbb alakváltozási típusok (nyírás, összenyomás, feszítés) különféle kombinációi, mivel az alakváltozáson átesett testre kifejtett erő általában nem merőleges a deformációra. felülete, de szögben van irányítva, ami normál és nyírófeszültséget is okoz. Az alakváltozás típusainak tanulmányozásával olyan tudományokkal foglalkozik, mint a szilárdtestfizika, anyagtudomány, krisztallográfia.

Szilárd anyagokban, különösen fémekben, bocsátanak ki az alakváltozások két fő típusa- rugalmas és képlékeny alakváltozás, amelyek fizikai természete eltérő.

A nyírás az alakváltozás egy fajtája, amikor a keresztmetszetekben csak nyíróerők jelentkeznek... Ez a feszültségállapot két egyenlő, egymással ellentétes irányú és végtelenül közel elhelyezkedő keresztirányú erő hatásának felel meg a rúdra (2.13. ábra, a, b), nyírást okozva az erők között elhelyezkedő síkban.

Rizs. 2.13. Nyújtó- és nyírófeszültségek

A vágást deformáció előzi meg - két egymásra merőleges vonal közötti derékszög torzulása. Ebben az esetben a kiválasztott elem szélein (2.13. ábra, v) nyírófeszültségek keletkeznek. Az élek elmozdulásának mértékét ún abszolút váltás... Az abszolút eltolás értéke a távolságtól függ h az erők hatássíkjai között F... A nyírási deformációt jobban jellemzi az a szög, amellyel az elem derékszögei megváltoznak - relatív eltolódás:

. (2.27)

A korábban vizsgált metszésmóddal könnyen megbizonyosodhatunk arról, hogy a kiválasztott elem oldalsó felületein csak nyíróerők lépnek fel. Q = F, amelyek az eredő nyírófeszültségek:

Figyelembe véve, hogy a nyírófeszültségek egyenletesen oszlanak el a keresztmetszeten A, értéküket a következő arány határozza meg:

. (2.29)

Kísérletileg megállapítottam, hogy a rugalmas alakváltozások határain belül a nyírófeszültségek nagysága arányos a relatív nyírással (Hooke törvénye nyírásnál):

ahol G- nyírási rugalmassági modulus (második típusú rugalmassági modulus).

Összefüggés van a hosszirányú rugalmasság és a nyírási modulusok között

,

hol van a Poisson-féle arány.

A nyírási rugalmassági modulus hozzávetőleges értékei, MPa: acél - 0,8 · 10 5; öntöttvas - 0,45 · 10 5; réz - 0,4 · 10 4; alumínium - 0,26 · 10 5; gumi - 4.

2.4.1.1. Nyírószilárdsági számítások

Valós szerkezetekben rendkívül nehéz tiszta nyírást megvalósítani, mivel az összekapcsolt elemek deformációja miatt a rúd további elhajlása következik be, még az erők hatássíkjai közötti viszonylag kis távolság mellett is. Azonban számos szerkezetben a normál feszültségek a szakaszokon kicsik és figyelmen kívül hagyhatók. Ebben az esetben az alkatrész szilárdsági megbízhatóságának feltétele a következő:

, (2.31)

ahol a megengedett nyírófeszültség, amelyet általában a megengedett húzófeszültség értékétől függően rendelnek hozzá:

- statikus terhelés alatt álló műanyagoknál = (0,5 ... 0,6);

- törékenyeknél - = (0,7 ... 1,0).

2.4.1.2. Nyírási merevség számítások

Ezek a rugalmas alakváltozások korlátozásához vezetnek. A (2.27) - (2.30) kifejezés együttes megoldásával határozzuk meg az abszolút eltolódás nagyságát:

, (2.32)

hol van a nyírási merevség.

Csavarás

2.4.2.1. Nyomaték pillanatok ábrázolása

2.4.2.2. Torziós deformációk

2.4.2.4. Metszetek geometriai jellemzői

2.4.2.5. Csavarszilárdság és merevség számítások

Ezt a fajta alakváltozást torziónak nevezzük, amikor a keresztmetszetekben az egyetlen erőtényező - a nyomaték - lép fel..

Torziós deformáció akkor lép fel, ha a gerendát olyan erőpárokkal terheljük, amelyek hatássíkjai merőlegesek a hossztengelyére.

2.4.2.1. Nyomaték pillanatok ábrázolása

A rúd feszültségeinek és deformációinak meghatározásához egy nyomatékdiagramot ábrázolnak, amely a nyomatékok eloszlását mutatja a rúd hossza mentén. A metszetek módszerét alkalmazva és bármely egyensúlyi részt figyelembe véve nyilvánvalóvá válik, hogy a belső rugalmassági erők (nyomaték) nyomatékának ki kell egyensúlyoznia a külső (nyomaték) nyomatékok hatását a vizsgált gerenda részéről. Elfogadható, hogy a nyomaték akkor tekinthető pozitívnak, ha a megfigyelő a vizsgált szakaszt a külső normális oldaláról nézi, és látja a nyomatékot. Tóramutató járásával ellentétes irányban. Az ellenkező irányban egy mínuszjel van hozzárendelve a pillanathoz.

Például a rúd bal oldalának egyensúlyi feltétele a következőképpen alakul (2.14. ábra):

- szakaszban A-A:

- szakaszban B-B:

.

A metszetek határai a ábrázolás során a nyomatékok hatássíkjai.

Rizs. 2.14. Torziós rúd (tengely) tervezési diagramja

2.4.2.2. Torziós deformációk

Ha egy kör keresztmetszetű rúd oldalfelületére hálót helyezünk (2.15. ábra, a) egyenlő távolságú körökből és generátorokból, és a szabad végekre nyomatékos erőpárokat kell alkalmazni T a rúd tengelyére merőleges síkban, majd kis deformációnál (2.15. ábra, b) megtalálhatod:

Rizs. 2.15. Torziós alakváltozási diagram

· A henger generatricai nagy menetemelkedésű csavarvonalakká alakulnak;

· A rács által alkotott négyzetek rombuszokká alakulnak, azaz. keresztmetszetekben eltolódás van;

· A deformáció előtti kerek és lapos metszetek alakváltozás után is megtartják formájukat;

· A keresztmetszetek közötti távolság gyakorlatilag nem változik;

· Az egyik szakasz a másikhoz képest egy bizonyos szöggel elfordul.

Ezen megfigyelések alapján a gerenda torziós elmélete a következő feltevéseken alapul:

· A sík és a tengelyére merőleges keresztmetszetek a deformáció előtt laposak és a tengelyre merőlegesek maradnak és deformáció után is;

· Az egyenlő távolságra lévő keresztmetszetek egymáshoz képest egyenlő szögben forognak;

· A deformáció során a keresztmetszet sugarai nem hajlottak meg;

· A keresztmetszetekben csak érintőleges feszültségek keletkeznek. A normál feszültségek alacsonyak. A fa hossza változatlannak tekinthető;

· A rúd anyaga deformáció során nyírás közben engedelmeskedik a Hooke-törvénynek:.

E hipotéziseknek megfelelően egy kör keresztmetszetű rúd elcsavarodása a keresztmetszetek kölcsönös elforgatása által okozott nyírási elmozdulások eredményeként jelenik meg.

Kör keresztmetszetű, sugarú rúdon r egyik végén lezárva és nyomatékkal terhelve T a másik végén (2.16. ábra, a), oldalfelületén a generátort jelöljük HIRDETÉS, amely a pillanat hatása alatt elfoglalja a pozíciót Kr. u. 1... Távolról Z a beágyazásból válasszon ki egy hosszúságú elemet dZ... A csavarás eredményeként ennek az elemnek a bal vége egy szögben, a jobb vége pedig egy szögben (). Generálás Nap elem fogja elfoglalni a pozíciót B 1 C 1, a kiindulási helyzettől szöggel eltérve. Ennek a szögnek a kicsinysége miatt

Az arány a rúd hosszegységének csavarodási szögét jelenti, és ún relatív csavarodási szög... Azután

Rizs. 2.16. Számítási séma feszültségek meghatározásához
amikor egy kör keresztmetszetű rúd elcsavarodik

A (2.33) figyelembevételével a torziós Hooke-törvény a következő kifejezéssel írható le:

. (2.34)

Abból a hipotézisből kiindulva, hogy a körkeresztmetszet sugarai nem hajlottak meg, nyírófeszültségek keletkeznek a test bármely pontjának közelében, amely a középponttól távolabb helyezkedik el (2.16. ábra, b) egyenlőek a termékkel

azok. tengelytől való távolságával arányos.

A (2.35) képlet szerinti relatív csavarodási szög értéke abból a feltételből adódik, hogy az elemi kerületi erő () egy elemi méretű területre dA, amely a gerenda tengelyétől távol helyezkedik el, elemi nyomatékot hoz létre a tengelyhez képest (2.16. ábra, b):

A teljes keresztmetszetre ható elemi nyomatékok összege A, egyenlő a nyomatékkal M Z... Tekintve, hogy:

.

Az integrál tisztán geometriai jellemző, és ún a szakasz poláris tehetetlenségi nyomatéka.