При a=b=R уравнение (x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2 описывает окружность радиуса R с центром в точке O"(x_0,y_0) .

Параметрическое уравнение эллипса

Параметрическое уравнение эллипса в канонической системе координат имеет вид

\begin{cases}x=a\cdot\cos{t},\\ y=b\cdot\sin{t},\end{cases}0\leqslant t<2\pi.

Действительно, подставляя эти выражения в уравнение (3.49), приходим к основному тригонометрическому тождеству \cos^2t+\sin^2t=1 .

Пример 3.20. Изобразить эллипс \frac{x^2}{2^2}+\frac{y^2}{1^2}=1 в канонической системе координат Oxy . Найти полуоси, фокусное расстояние, эксцентриситет, коэффициент сжатия, фокальный параметр, уравнения директрис.

Решение. Сравнивая заданное уравнение с каноническим, определяем полуоси: a=2 - большая полуось, b=1 - малая полуось эллипса. Строим основной прямоугольник со сторонами 2a=4,~2b=2 с центром в начале координат (рис.3.39). Учитывая симметричность эллипса, вписываем его в основной прямоугольник. При необходимости определяем координаты некоторых точек эллипса. Например, подставляя x=1 в уравнение эллипса, получаем

\frac{1^2}{2^2}+\frac{y^2}{1^2}=1 \quad \Leftrightarrow \quad y^2=\frac{3}{4} \quad \Leftrightarrow \quad y=\pm\frac{\sqrt{3}}{2}.

Следовательно, точки с координатами \left(1;\,\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\!,~\left(1;\,-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) - принадлежат эллипсу.

Вычисляем коэффициент сжатия k=\frac{b}{a}=\frac{1}{2} ; фокусное расстояние 2c=2\sqrt{a^2-b^2}=2\sqrt{2^2-1^2}=2\sqrt{3} ; эксцентриситет e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2} ; фокальный параметр p=\frac{b^2}{a}=\frac{1^2}{2}=\frac{1}{2} . Составляем уравнения директрис: x=\pm\frac{a^2}{c}~\Leftrightarrow~x=\pm\frac{4}{\sqrt{3}} .

Линии второго порядка.
Эллипс и его каноническое уравнение. Окружность

После основательной проработки прямых на плоскости продолжаем изучать геометрию двухмерного мира. Ставки удваиваются, и я приглашаю вас посетить живописную галерею эллипсов, гипербол, парабол, которые являются типичными представителями линий второго порядка . Экскурсия уже началась, и сначала краткая информация обо всей экспозиции на разных этажах музея:

Понятие алгебраической линии и её порядка

Линию на плоскости называют алгебраической , если в аффинной системе координат её уравнение имеет вид , где – многочлен, состоящий из слагаемых вида ( – действительное число, – целые неотрицательные числа).

Как видите, уравнение алгебраической линии не содержит синусов, косинусов, логарифмов и прочего функционального бомонда. Только «иксы» и «игреки» в целых неотрицательных степенях.

Порядок линии равен максимальному значению входящих в него слагаемых.

По соответствующей теореме, понятие алгебраической линии, а также её порядок не зависят от выбора аффинной системы координат , поэтому для лёгкости бытия считаем, что все последующие выкладки имеют место быть в декартовых координатах .

Общее уравнение линии второго порядка имеет вид , где – произвольные действительные числа ( принято записывать с множителем-«двойкой») , причём коэффициенты не равны одновременно нулю.

Если , то уравнение упрощается до , и если коэффициенты одновременно не равны нулю, то это в точности общее уравнение «плоской» прямой , которая представляет собой линию первого порядка .

Многие поняли смысл новых терминов, но, тем не менее, в целях 100%-го усвоения материала сунем пальцы в розетку. Чтобы определить порядок линии, нужно перебрать все слагаемые её уравнения и у каждого из них найти сумму степеней входящих переменных.

Например:

слагаемое содержит «икс» в 1-й степени;
слагаемое содержит «игрек» в 1-й степени;
в слагаемом переменные отсутствуют, поэтому сумма их степеней равна нулю.

Теперь разберёмся, почему уравнение задаёт линию второго порядка:

слагаемое содержит «икс» во 2-й степени;
у слагаемого сумма степеней переменных: 1 + 1 = 2;
слагаемое содержит «игрек» во 2-й степени;
все остальные слагаемые – меньшей степени.

Максимальное значение: 2

Если к нашему уравнению дополнительно приплюсовать, скажем, , то оно уже будет определять линию третьего порядка . Очевидно, что общий вид уравнения линии 3-го порядка содержит «полный комплект» слагаемых, сумма степеней переменных в которых равна трём:
, где коэффициенты не равны одновременно нулю.

В том случае, если добавить одно или несколько подходящих слагаемых, которые содержат , то речь уже зайдёт о линии 4-го порядка , и т.д.

С алгебраическими линиями 3-го, 4-го и более высоких порядков нам придется столкнуться ещё не раз, в частности, при знакомстве с полярной системой координат .

Однако вернёмся к общему уравнению и вспомним его простейшие школьные вариации. В качестве примеров напрашивается парабола , уравнение которой легко привести к общему виду , и гипербола с эквивалентным уравнением . Однако не всё так гладко….

Существенный недостаток общего уравнения состоит в том, что почти всегда не понятно, какую линию оно задаёт. Даже в простейшем случае не сразу сообразишь, что это гипербола. Такие расклады хороши только на маскараде, поэтому в курсе аналитической геометрии рассматривается типовая задача приведения уравнения линии 2-го порядка к каноническому виду .

Что такое канонический вид уравнения?

Это общепринятый стандартный вид уравнения, когда в считанные секунды становится ясно, какой геометрический объект оно определяет. Кроме того, канонический вид очень удобен для решения многих практических заданий. Так, например, по каноническому уравнению «плоской» прямой , во-первых, сразу понятно, что это прямая, а во-вторых – элементарно просматривается принадлежащая ей точка и направляющий вектор .

Очевидно, что любая линия 1-го порядка представляет собой прямую. На втором же этаже нас ждёт уже не вахтёр, а гораздо более разнообразная компания из девяти статуй:

Классификация линий второго порядка

С помощью специального комплекса действий любое уравнение линии второго порядка приводится к одному из следующих видов:

( и – положительные действительные числа)

1) – каноническое уравнение эллипса;

2) – каноническое уравнение гиперболы;

3) – каноническое уравнение параболы;

4) – мнимый эллипс;

5) – пара пересекающихся прямых;

6) – пара мнимых пересекающихся прямых (с единственной действительной точкой пересечения в начале координат);

7) – пара параллельных прямых;

8) – пара мнимых параллельных прямых;

9) – пара совпавших прямых.

У ряда читателей может сложиться впечатление неполноты списка. Например, в пункте № 7 уравнение задаёт пару прямых , параллельных оси , и возникает вопрос: а где же уравнение , определяющее прямые , параллельные оси ординат? Ответ: оно не считается каноническим . Прямые представляют собой тот же самый стандартный случай , повёрнутый на 90 градусов, и дополнительная запись в классификации избыточна, поскольку не несёт ничего принципиально нового.

Таким образом, существует девять и только девять различных видов линий 2-го порядка, но на практике наиболее часто встречаются эллипс, гипербола и парабола .

Сначала рассмотрим эллипс. Как обычно, я акцентирую внимание на тех моментах, которые имеют большое значение для решения задач, и если вам необходим подробный вывод формул, доказательства теорем, пожалуйста, обратитесь, например, к учебнику Базылева/Атанасяна либо Александрова.

Эллипс и его каноническое уравнение

Правописание… пожалуйста, не повторяйте ошибок некоторых пользователей Яндекса, которых интересует «как построить эллибз», «отличие элипса от овала» и «эксцентриситет элебса».

Каноническое уравнение эллипса имеет вид , где – положительные действительные числа, причём . Само определение эллипса я сформулирую позже, а пока самое время отдохнуть от говорильни и решить распространённую задачу:

Как построить эллипс?

Да, вот взять его и просто начертить. Задание встречается часто, и значительная часть студентов не совсем грамотно справляются с чертежом:

Пример 1

Построить эллипс, заданный уравнением

Решение : сначала приведём уравнение к каноническому виду:

Зачем приводить? Одно из преимуществ канонического уравнения заключается в том, что оно позволяет моментально определить вершины эллипса , которые находятся в точках . Легко заметить, что координаты каждой из этих точек удовлетворяют уравнению .

В данном случае :


Отрезок называют большой осью эллипса;
отрезок – малой осью ;
число называют большой полуосью эллипса;
число – малой полуосью .
в нашем примере: .

Чтобы быстро представить, как выглядит тот или иной эллипс достаточно посмотреть на значения «а» и «бэ» его канонического уравнения.

Всё ладно, складно и красиво, но есть один нюанс: я выполнил чертёж с помощью программы . И вы можете выполнить чертёж с помощью какого-либо приложения. Однако в суровой действительности на столе лежит клетчатый листок бумаги, и на наших руках водят хороводы мыши. Люди с художественным талантом, конечно, могут поспорить, но мыши есть и у вас тоже (правда, поменьше). Таки не зря человечество изобрело линейку, циркуль, транспортир и другие нехитрые приспособления для черчения.

По этой причине нам вряд ли удастся аккуратно начертить эллипс, зная одни вершины. Ещё куда ни шло, если эллипс небольшой, например, с полуосями . Как вариант, можно уменьшить масштаб и, соответственно, размеры чертежа. Но в общем случае крайне желательно найти дополнительные точки.

Существует два подхода к построению эллипса – геометрический и алгебраический. Построение с помощью циркуля и линейки мне не нравится по причине не самого короткого алгоритма и существенной загроможденности чертежа. В случае крайней необходимости, пожалуйста, обратитесь к учебнику, а в реальности же гораздо рациональнее воспользоваться средствами алгебры. Из уравнения эллипса на черновике быстренько выражаем:

Далее уравнение распадается на две функции:
– определяет верхнюю дугу эллипса;
– определяет нижнюю дугу эллипса.

Заданный каноническим уравнением эллипс симметричен относительно координатных осей, а также относительно начала координат . И это отлично – симметрия почти всегда предвестник халявы. Очевидно, что достаточно разобраться с 1-й координатной четвертью, поэтому нам потребуется функция . Напрашивается нахождение дополнительных точек с абсциссами . Настукаем три смс-ки на калькуляторе:

Безусловно, приятно и то, что если допущена серьёзная ошибка в вычислениях, то это сразу выяснится в ходе построения.

Отметим на чертеже точки (красный цвет), симметричные точки на остальных дугах (синий цвет) и аккуратно соединим линией всю компанию:


Первоначальный набросок лучше прочертить тонко-тонко, и только потом придать нажим карандашу. В результате должен получиться вполне достойный эллипс. Кстати, не желаете ли узнать, что это за кривая?

Определение эллипса. Фокусы эллипса и эксцентриситет эллипса

Эллипс – это частный случай овала. Слово «овал» не следует понимать в обывательском смысле («ребёнок нарисовал овал» и т.п.). Это математический термин, имеющий развёрнутую формулировку. Целью данного урока не является рассмотрение теории овалов и различных их видов, которым практически не уделяется внимания в стандартном курсе аналитической геометрии. И, в соответствии с более актуальными потребностями, мы сразу переходим к строгому определению эллипса:

Эллипс – это множество всех точек плоскости, сумма расстояний до каждой из которых от двух данных точек , называемых фокусами эллипса, – есть величина постоянная, численно равная длине большой оси этого эллипса: .
При этом расстояния между фокусами меньше данного значения: .

Сейчас станет всё понятнее:

Представьте, что синяя точка «ездит» по эллипсу. Так вот, какую бы точку эллипса мы ни взяли, сумма длин отрезков всегда будет одной и той же:

Убедимся, что в нашем примере значение суммы действительно равно восьми. Мысленно поместите точку «эм» в правую вершину эллипса, тогда: , что и требовалось проверить.

На определении эллипса основан ещё один способ его вычерчивания. Высшая математика, порой, причина напряжения и стресса, поэтому самое время провести очередной сеанс разгрузки. Пожалуйста, возьмите ватман либо большой лист картона и приколотите его к столу двумя гвоздиками. Это будут фокусы . К торчащим шляпкам гвоздей привяжите зелёную нитку и до упора оттяните её карандашом. Гриф карандаша окажется в некоторой точке , которая принадлежит эллипсу. Теперь начинайте вести карандаш по листу бумаги, сохраняя зелёную нить сильно натянутой. Продолжайте процесс до тех пор, пока не вернётесь в исходную точку… отлично… чертёж можно сдать на проверку врачу преподавателю =)

Как найти фокусы эллипса?

В приведённом примере я изобразил «готовенькие» точки фокуса, и сейчас мы научимся добывать их из недр геометрии.

Если эллипс задан каноническим уравнением , то его фокусы имеют координаты , где – это расстояние от каждого из фокусов до центра симметрии эллипса .

Вычисления проще пареной репы:

! Со значением «цэ» нельзя отождествлять конкретные координаты фокусов! Повторюсь, что – это РАССТОЯНИЕ от каждого из фокусов до центра (который в общем случае не обязан располагаться именно в начале координат).
И, следовательно, расстояние между фокусами тоже нельзя привязывать к каноническому положению эллипса. Иными словами, эллипс можно перенести в другое место и значение останется неизменным, в то время как фокусы, естественно, поменяют свои координаты. Пожалуйста, учитывайте данный момент в ходе дальнейшего изучения темы.

Эксцентриситет эллипса и его геометрический смысл

Эксцентриситетом эллипса называют отношение , которое может принимать значения в пределах .

В нашем случае:

Выясним, как форма эллипса зависит от его эксцентриситета. Для этого зафиксируем левую и правую вершины рассматриваемого эллипса, то есть, значение большой полуоси будет оставаться постоянным. Тогда формула эксцентриситета примет вид: .

Начнём приближать значение эксцентриситета к единице. Это возможно только в том случае, если . Что это значит? …вспоминаем про фокусы . Это значит, что фокусы эллипса будут «разъезжаться» по оси абсцисс к боковым вершинам. И, поскольку «зелёные отрезки не резиновые», то эллипс неизбежно начнёт сплющиваться, превращаясь всё в более и более тонкую сосиску, нанизанную на ось .

Таким образом, чем ближе значение эксцентриситета эллипса к единице, тем эллипс более продолговат .

Теперь смоделируем противоположный процесс: фокусы эллипса пошли навстречу друг другу, приближаясь к центру. Это означает, что значение «цэ» становится всё меньше и, соответственно, эксцентриситет стремится к нулю: .
При этом «зелёным отрезкам» будет, наоборот – «становиться тесно» и они начнут «выталкивать» линию эллипса вверх и вниз.

Таким образом, чем ближе значение эксцентриситета к нулю, тем эллипс больше похож на … смотрим предельный случай , когда фокусы успешно воссоединились в начале координат:

Окружность – это частный случай эллипса

Действительно, в случае равенства полуосей каноническое уравнение эллипса принимает вид , который рефлекторно преобразуется к – хорошо известному из школы уравнению окружности с центром в начале координат радиуса «а».

На практике чаще используют запись с «говорящей» буквой «эр»: . Радиусом называют длину отрезка , при этом каждая точка окружности удалена от центра на расстояние радиуса.

Заметьте, что определение эллипса остаётся полностью корректным: фокусы совпали , и сумма длин совпавших отрезков для каждой точки окружности – есть величина постоянная. Так как расстояние между фокусами , то эксцентриситет любой окружности равен нулю .

Строится окружность легко и быстро, достаточно вооружиться циркулем. Тем не менее, иногда бывает нужно выяснить координаты некоторых её точек, в этом случае идём знакомым путём – приводим уравнение к бодрому матановскому виду:

– функция верхней полуокружности;
– функция нижней полуокружности.

После чего находим нужные значения, дифференцируем , интегрируем и делаем другие хорошие вещи.

Статья, конечно, носит справочный характер, но как на свете без любви прожить? Творческое задание для самостоятельного решения

Пример 2

Составить каноническое уравнение эллипса, если известен один из его фокусов и малая полуось (центр находится в начале координат). Найти вершины, дополнительные точки и изобразить линию на чертеже. Вычислить эксцентриситет.

Решение и чертёж в конце урока

Добавим экшена:

Поворот и параллельный перенос эллипса

Вернёмся к каноническому уравнению эллипса , а именно, к условию , загадка которого терзает пытливые умы ещё со времён первого упоминания о данной кривой. Вот мы рассмотрели эллипс , но разве на практике не может встретиться уравнение ? Ведь здесь , однако, это вроде бы как тоже эллипс!

Подобное уравнение нечасто, но действительно попадается. И оно действительно определяет эллипс. Развеем мистику:

В результате построения получен наш родной эллипс, повёрнутый на 90 градусов. То есть, – это неканоническая запись эллипса . Запись! – уравнение не задаёт какой-то другой эллипс, поскольку на оси не существует точек (фокусов), которые бы удовлетворяли определению эллипса.

Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух заданных точек F_1 , и F_2 есть величина постоянная (2a) , бо́льшая расстояния (2c) между этими заданными точками (рис.3.36,а). Это геометрическое определение выражает фокальное свойство эллипса .

Фокальное свойство эллипса

Точки F_1 , и F_2 называются фокусами эллипса, расстояние между ними 2c=F_1F_2 - фокусным расстоянием, середина O отрезка F_1F_2 - центром эллипса, число 2a - длиной большой оси эллипса (соответственно, число a - большой полуосью эллипса). Отрезки F_1M и F_2M , соединяющие произвольную точку M эллипса с его фокусами, называются фокальными радиусами точки M . Отрезок, соединяющий две точки эллипса, называется хордой эллипса.

Отношение e=\frac{c}{a} называется эксцентриситетом эллипса. Из определения (2a>2c) следует, что 0\leqslant e<1 . При e=0 , т.е. при c=0 , фокусы F_1 и F_2 , а также центр O совпадают, и эллипс является окружностью радиуса a (рис.3.36,6).

Геометрическое определение эллипса , выражающее его фокальное свойство, эквивалентно его аналитическому определению - линии, задаваемой каноническим уравнением эллипса:

Действительно, введем прямоугольную систему координат (рис.3.36,в). Центр O эллипса примем за начало системы координат; прямую, проходящую через фокусы (фокальную ось или первую ось эллипса), примем за ось абсцисс (положительное направление на ней от точки F_1 к точке F_2 ); прямую, перпендикулярную фокальной оси и проходящую через центр эллипса (вторую ось эллипса), примем за ось ординат (направление на оси ординат выбирается так, чтобы прямоугольная система координат Oxy оказалась правой).

Составим уравнение эллипса, пользуясь его геометрическим определением, выражающим фокальное свойство. В выбранной системе координат определяем координаты фокусов F_1(-c,0),~F_2(c,0) . Для произвольной точки M(x,y) , принадлежащей эллипсу, имеем:

\vline\,\overrightarrow{F_1M}\,\vline\,+\vline\,\overrightarrow{F_2M}\,\vline\,=2a.

Записывая это равенство в координатной форме, получаем:

\sqrt{(x+c)^2+y^2}+\sqrt{(x-c)^2+y^2}=2a.

Переносим второй радикал в правую часть, возводим обе части уравнения в квадрат и приводим подобные члены:

(x+c)^2+y^2=4a^2-4a\sqrt{(x-c)^2+y^2}+(x-c)^2+y^2~\Leftrightarrow ~4a\sqrt{(x-c)^2+y^2}=4a^2-4cx.

Разделив на 4, возводим обе части уравнения в квадрат:

A^2(x-c)^2+a^2y^2=a^4-2a^2cx+c^2x^2~\Leftrightarrow~ (a^2-c^2)^2x^2+a^2y^2=a^2(a^2-c^2).

Обозначив b=\sqrt{a^2-c^2}>0 , получаем b^2x^2+a^2y^2=a^2b^2 . Разделив обе части на a^2b^2\ne0 , приходим к каноническому уравнению эллипса:

\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1.

Следовательно, выбранная система координат является канонической.

Если фокусы эллипса совпадают, то эллипс представляет собой окружность (рис.3.36,6), поскольку a=b . В этом случае канонической будет любая прямоугольная система координат с началом в точке O\equiv F_1\equiv F_2 , a уравнение x^2+y^2=a^2 является уравнением окружности с центром в точке O и радиусом, равным a .

Проводя рассуждения в обратном порядке, можно показать, что все точки, координаты которых удовлетворяют уравнению (3.49), и только они, принадлежат геометрическому месту точек, называемому эллипсом. Другими словами, аналитическое определение эллипса эквивалентно его геометрическому определению, выражающему фокальное свойство эллипса.

Директориальное свойство эллипса

Директрисами эллипса называются две прямые, проходящие параллельно оси ординат канонической системы координат на одинаковом расстоянии \frac{a^2}{c} от нее. При c=0 , когда эллипс является окружностью, директрис нет (можно считать, что директрисы бесконечно удалены).

Эллипс с эксцентриситетом 0геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых отношение расстояния до заданной точки F (фокуса) к расстоянию до заданной прямой d (директрисы), не проходящей через заданную точку, постоянно и равно эксцентриситету e (директориальное свойство эллипса ). Здесь F и d - один из фокусов эллипса и одна из его директрис, расположенные по одну сторону от оси ординат канонической системы координат, т.е. F_1,d_1 или F_2,d_2 .

В самом деле, например, для фокуса F_2 и директрисы d_2 (рис.3.37,6) условие \frac{r_2}{\rho_2}=e можно записать в координатной форме:

\sqrt{(x-c)^2+y^2}=e\cdot\!\left(\frac{a^2}{c}-x\right)

Избавляясь от иррациональности и заменяя e=\frac{c}{a},~a^2-c^2=b^2 , приходим к каноническому уравнению эллипса (3.49). Аналогичные рассуждения можно провести для фокуса F_1 и директрисы d_1\colon\frac{r_1}{\rho_1}=e .

Уравнение эллипса в полярной системе координат

Уравнение эллипса в полярной системе координат F_1r\varphi (рис.3.37,в и 3.37(2)) имеет вид

R=\frac{p}{1-e\cdot\cos\varphi}

где p=\frac{b^2}{a} фокальный параметр эллипса.

В самом деле, выберем в качестве полюса полярной системы координат левый фокус F_1 эллипса, а в качестве полярной оси - луч F_1F_2 (рис.3.37,в). Тогда для произвольной точки M(r,\varphi) , согласно геометрическому определению (фокальному свойству) эллипса, имеем r+MF_2=2a . Выражаем расстояние между точками M(r,\varphi) и F_2(2c,0) (см. пункт 2 замечаний 2.8):

\begin{aligned}F_2M&=\sqrt{(2c)^2+r^2-2\cdot(2c)\cdot r\cos(\varphi-0)}=\\ &=\sqrt{r^2-4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2}.\end{aligned}

Следовательно, в координатной форме уравнение эллипса F_1M+F_2M=2a имеет вид

R+\sqrt{r^2-4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2}=2\cdot a.

Уединяем радикал, возводим обе части уравнения в квадрат, делим на 4 и приводим подобные члены:

R^2-4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2~\Leftrightarrow~a\cdot\!\left(1-\frac{c}{a}\cdot\cos\varphi\right)\!\cdot r=a^2-c^2.

Выражаем полярный радиус r и делаем замену e=\frac{c}{a},~b^2=a^2-c^2,~p=\frac{b^2}{a} :

R=\frac{a^2-c^2}{a\cdot(1-e\cdot\cos\varphi)} \quad \Leftrightarrow \quad r=\frac{b^2}{a\cdot(1-e\cdot\cos\varphi)} \quad \Leftrightarrow \quad r=\frac{p}{1-e\cdot\cos\varphi},

что и требовалось доказать.

Геометрический смысл коэффициентов в уравнении эллипса

Найдем точки пересечения эллипса (см. рис.3.37,а) с координатными осями (вершины зллипса). Подставляя в уравнение y=0 , находим точки пересечения эллипса с осью абсцисс (с фокальной осью): x=\pm a . Следовательно, длина отрезка фокальной оси, заключенного внутри эллипса, равна 2a . Этот отрезок, как отмечено выше, называется большой осью эллипса, а число a - большой полуосью эллипса. Подставляя x=0 , получаем y=\pm b . Следовательно, длина отрезка второй оси эллипса, заключенного внутри эллипса, равна 2b . Этот отрезок называется малой осью эллипса, а число b - малой полуосью эллипса.

Действительно, b=\sqrt{a^2-c^2}\leqslant\sqrt{a^2}=a , причем равенство b=a получается только в случае c=0 , когда эллипс является окружностью. Отношение k=\frac{b}{a}\leqslant1 называется коэффициентом сжатия эллипса.

Замечания 3.9

1. Прямые x=\pm a,~y=\pm b ограничивают на координатной плоскости основной прямоугольник, внутри которого находится эллипс (см. рис.3.37,а).

2. Эллипс можно определить, как геометрическое место точек, получаемое в результате сжатия окружности к ее диаметру.

Действительно, пусть в прямоугольной системе координат Oxy уравнение окружности имеет вид x^2+y^2=a^2 . При сжатии к оси абсцисс с коэффициентом 0

\begin{cases}x"=x,\\y"=k\cdot y.\end{cases}

Подставляя в уравнение окружности x=x" и y=\frac{1}{k}y" , получаем уравнение для координат образа M"(x",y") точки M(x,y) :

(x")^2+{\left(\frac{1}{k}\cdot y"\right)\!}^2=a^2 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{(x")^2}{a^2}+\frac{(y")^2}{k^2\cdot a^2}=1 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{(x")^2}{a^2}+\frac{(y")^2}{b^2}=1,

поскольку b=k\cdot a . Это каноническое уравнение эллипса.

3. Координатные оси (канонической системы координат) являются осями симметрии эллипса (называются главными осями эллипса), а его центр - центром симметрии.

Действительно, если точка M(x,y) принадлежит эллипсу . то и точки M"(x,-y) и M""(-x,y) , симметричные точке M относительно координатных осей, также принадлежат тому же эллипсу.

4. Из уравнения эллипса в полярной системе координат r=\frac{p}{1-e\cos\varphi} (см. рис.3.37,в), выясняется геометрический смысл фокального параметра - это половина длины хорды эллипса, проходящей через его фокус перпендикулярно фокальной оси ( r=p при \varphi=\frac{\pi}{2} ).

5. Эксцентриситет e характеризует форму эллипса, а именно отличие эллипса от окружности. Чем больше e , тем эллипс более вытянут, а чем ближе e к нулю, тем ближе эллипс к окружности (рис.3.38,а). Действительно, учитывая, что e=\frac{c}{a} и c^2=a^2-b^2 , получаем

E^2=\frac{c^2}{a^2}=\frac{a^2-b^2}{a^2}=1-{\left(\frac{a}{b}\right)\!}^2=1-k^2,

где k - коэффициент сжатия эллипса, 0

6. Уравнение \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 при a

7. Уравнение \frac{(x-x_0)^2}{a^2}+\frac{(y-y_0)^2}{b^2}=1,~a\geqslant b определяет эллипс с центром в точке O"(x_0,y_0) , оси которого параллельны координатным осям (рис.3.38,в). Это уравнение сводится к каноническому при помощи параллельного переноса (3.36).

При a=b=R уравнение (x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2 описывает окружность радиуса R с центром в точке O"(x_0,y_0) .

Параметрическое уравнение эллипса

Параметрическое уравнение эллипса в канонической системе координат имеет вид

\begin{cases}x=a\cdot\cos{t},\\ y=b\cdot\sin{t},\end{cases}0\leqslant t<2\pi.

Действительно, подставляя эти выражения в уравнение (3.49), приходим к основному тригонометрическому тождеству \cos^2t+\sin^2t=1 .

Пример 3.20. Изобразить эллипс \frac{x^2}{2^2}+\frac{y^2}{1^2}=1 в канонической системе координат Oxy . Найти полуоси, фокусное расстояние, эксцентриситет, коэффициент сжатия, фокальный параметр, уравнения директрис.

Решение. Сравнивая заданное уравнение с каноническим, определяем полуоси: a=2 - большая полуось, b=1 - малая полуось эллипса. Строим основной прямоугольник со сторонами 2a=4,~2b=2 с центром в начале координат (рис.3.39). Учитывая симметричность эллипса, вписываем его в основной прямоугольник. При необходимости определяем координаты некоторых точек эллипса. Например, подставляя x=1 в уравнение эллипса, получаем

\frac{1^2}{2^2}+\frac{y^2}{1^2}=1 \quad \Leftrightarrow \quad y^2=\frac{3}{4} \quad \Leftrightarrow \quad y=\pm\frac{\sqrt{3}}{2}.

Следовательно, точки с координатами \left(1;\,\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\!,~\left(1;\,-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) - принадлежат эллипсу.

Вычисляем коэффициент сжатия k=\frac{b}{a}=\frac{1}{2} ; фокусное расстояние 2c=2\sqrt{a^2-b^2}=2\sqrt{2^2-1^2}=2\sqrt{3} ; эксцентриситет e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2} ; фокальный параметр p=\frac{b^2}{a}=\frac{1^2}{2}=\frac{1}{2} . Составляем уравнения директрис: x=\pm\frac{a^2}{c}~\Leftrightarrow~x=\pm\frac{4}{\sqrt{3}} .

В вашем браузере отключен Javascript.
Чтобы произвести расчеты, необходимо разрешить элементы ActiveX!

Определение 7.1. Множество всех точек на плоскости, для которых сумма расстояний до двух фиксированных точек F 1 и F 2 есть заданная постоянная величина, называют эллипсом.

Определение эллипса дает следующий способ его геометрического построения. Фиксируем на плоскости две точки F 1 и F 2 , а неотрицательную постоянную величину обозначим через 2а. Пусть расстояние между точками F 1 и F 2 равно 2c. Представим себе, что нерастяжимая нить длиной 2а закреплена в точках F 1 и F 2 , например, при помощи двух иголок. Ясно, что это возможно лишь при а ≥ с. Натянув нить карандашом, начертим линию, которая и будет эллипсом (рис. 7.1).

Итак, описываемое множество не пусто, если а ≥ с. При а = с эллипс представляет собой отрезок с концами F 1 и F 2 , а при с = 0, т.е. если указанные в определении эллипса фиксированные точки совпадают, он является окружностью радиуса а. Отбрасывая эти вырожденные случаи, будем далее предполать, как правило, что а > с > 0.

Фиксированные точки F 1 и F 2 в определении 7.1 эллипса (см. рис. 7.1) называют фокусами эллипса , расстояние между ними, обозначенное через 2c, - фокальным расстоянием , а отрезки F 1 M и F 2 M, соединяющие произвольную точку M на эллипсе с его фокусами, - фокальными радиусами .

Вид эллипса полностью определяется фокальным расстоянием |F 1 F 2 | = 2с и параметром a, а его положение на плоскости - парой точек F 1 и F 2 .

Из определения эллипса следует, что он симметричен относительно прямой, проходящей через фокусы F 1 и F 2 , а также относительно прямой, которая делит отрезок F 1 F 2 пополам и перпендикулярна ему (рис. 7.2, а). Эти прямые называют осями эллипса . Точка O их пересечения является центром симметрии эллипса, и ее называют центром эллипса , а точки пересечения эллипса с осями симметрии (точки A, B, C и D на рис. 7.2, а) - вершинами эллипса .

Число a называют большой полуосью эллипса , а b = √(a 2 - c 2) - его малой полуосью . Нетрудно заметить, что при c > 0 большая полуось a равна расстоянию от центра эллипса до тех его вершин, которые находятся на одной оси с фокусами эллипса (вершины A и B на рис. 7.2, а), а малая полуось b равна расстоянию от центра эллипса до двух других его вершин (вершины C и D на рис. 7.2, а).

Уравнение эллипса. Рассмотрим на плоскости некоторый эллипс с фокусами в точках F 1 и F 2 , большой осью 2a. Пусть 2c - фокальное расстояние, 2c = |F 1 F 2 |

Выберем прямоугольную систему координат Oxy на плоскости так, чтобы ее начало совпало с центром эллипса, а фокусы находились на оси абсцисс (рис. 7.2, б). Такую систему координат называют канонической для рассматриваемого эллипса, а соответствующие переменные - каноническими .

В выбранной системе координат фокусы имеют координаты F 1 (c;0), F 2 (-c;0). Используя формулу расстояния между точками, запишем условие |F 1 M| + |F 2 M| = 2a в координатах:

√((x - c) 2 + y 2) + √((x + c) 2 + y 2) = 2a. (7.2)

Это уравнение неудобно, так как в нем присутствуют два квадратных радикала. Поэтому преобразуем его. Перенесем в уравнении (7.2) второй радикал в правую часть и возведем в квадрат:

(x - c) 2 + y 2 = 4a 2 - 4a√((x + c) 2 + y 2) + (x + c) 2 + y 2 .

После раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых получаем

√((x + c) 2 + y 2) = a + εx

где ε = c/a. Повторяем операцию возведения в квадрат, чтобы убрать и второй радикал: (x + c) 2 + y 2 = a 2 + 2εax + ε 2 x 2 , или, учитывая значение введенного параметра ε, (a 2 - c 2) x 2 /a 2 + y 2 = a 2 - c 2 . Так как a 2 - c 2 = b 2 > 0, то

x 2 /a 2 + y 2 /b 2 = 1, a > b > 0. (7.4)

Уравнению (7.4) удовлетворяют координаты всех точек, лежащих на эллипсе. Но при выводе этого уравнения использовались неэквивалентные преобразования исходного уравнения (7.2) - два возведения в квадрат, убирающие квадратные радикалы. Возведение уравнения в квадрат является эквивалентным преобразованием, если в обеих его частях стоят величины с одинаковым знаком, но мы этого в своих преобразованиях не проверяли.

Мы можем не проверять эквивалентность преобразований, если учтем следующее. Пара точек F 1 и F 2 , |F 1 F 2 | = 2c, на плоскости определяет семейство эллипсов с фокусами в этих точках. Каждая точка плоскости, кроме точек отрезка F 1 F 2 , принадлежит какому-нибудь эллипсу указанного семейства. При этом никакие два эллипса не пересекаются, так как сумма фокальных радиусов однозначно определяет конкретный эллипс. Итак, описанное семейство эллипсов без пересечений покрывает всю плоскость, кроме точек отрезка F 1 F 2 . Рассмотрим множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению (7.4) с данным значением параметра a. Может ли это множество распределяться между несколькими эллипсами? Часть точек множества принадлежит эллипсу с большой полуосью a. Пусть в этом множестве есть точка, лежащая на эллипсе с большой полуосью а. Тогда координаты этой точки подчиняются уравнению

т.е. уравнения (7.4) и (7.5) имеют общие решения. Однако легко убедиться, что система

при ã ≠ a решений не имеет. Для этого достаточно исключить, например, x из первого уравнения:

что после преобразований приводит к уравнению

не имеющему решений при ã ≠ a, поскольку . Итак, (7.4) есть уравнение эллипса с большой полуосью a > 0 и малой полуосью b =√(a 2 - c 2) > 0. Его называют каноническим уравнением эллипса .

Вид эллипса. Рассмотренный выше геометрический способ построения эллипса дает достаточное представление о внешнем виде эллипса. Но вид эллипса можно исследовать и с помощью его канонического уравнения (7.4). Например, можно, считая у ≥ 0, выразить у через x: y = b√(1 - x 2 /a 2), и, исследовав эту функцию, построить ее график. Есть еще один способ построения эллипса. Окружность радиуса a с центром в начале канонической системы координат эллипса (7.4) описывается уравнением x 2 + y 2 = а 2 . Если ее сжать с коэффициентом a/b > 1 вдоль оси ординат , то получится кривая, которая описывается уравнением x 2 + (ya/b) 2 = a 2 , т. е. эллипс.

Замечание 7.1. Если ту же окружность сжать с коэффициентом a/b

Эксцентриситет эллипса . Отношение фокального расстояния эллипса к его большой оси называют эксцентриситетом эллипса и обозначают через ε. Для эллипса, заданного

каноническим уравнением (7.4), ε = 2c/2a = с/a. Если же в (7.4) параметры a и b связаны неравенством a

При с =0, когда эллипс превращается в окружность, и ε = 0. В остальных случаях 0

Уравнение (7.3) эквивалентно уравнению (7.4), поскольку эквивалентны уравнения (7.4) и (7.2) . Поэтому уравнением эллипса является и (7.3). Кроме того, соотношение (7.3) интересно тем, что дает простую, не содержащую радикалов, формулу для длины |F 2 M| одного из фокальных радиусов точки M(x; у) эллипса: |F 2 M| = a + εx.

Аналогичная формула для второго фокального радиуса может быть получена из соображений симметрии либо повторением выкладок, в которых перед возведением в квадрат уравнения (7.2) в правую часть переносится первый радикал, а не второй. Итак, для любой точки M(x; у) на эллипсе (см. рис. 7.2)

|F 1 M | = a - εx, |F 2 M| = a + εx, (7.6)

и каждое из этих уравнений является уравнением эллипса.

Пример 7.1. Найдем каноническое уравнение эллипса с большой полуосью 5 и эксцентриситетом 0,8 и построим его.

Зная большую полуось эллипса a = 5 и эксцентриситет ε = 0,8, найдем его малую полуось b. Поскольку b = √(a 2 - с 2), а с = εa = 4, то b = √(5 2 - 4 2) = 3. Значит каноническое уравнение имеет вид x 2 /5 2 + y 2 /3 2 = 1. Для построения эллипса удобно изобразить прямоугольник с центром в начале канонической системы координат, стороны которого параллельны осям симметрии эллипса и равны его соответствующим осям (рис. 7.4). Этот прямоугольник пересекается с

осями эллипса в его вершинах A(-5; 0), B(5; 0), C(0; -3), D(0; 3), причем сам эллипс вписан в него. На рис. 7.4 указаны также фокусы F 1,2 (±4; 0) эллипса.

Геометрические свойства эллипса. Перепишем первое уравнение в (7.6) в виде |F 1 M| = (а/ε - x)ε. Отметим, что величина а/ε - x при а > с положительна, так как фокус F 1 не принадлежит эллипсу. Эта величина представляет собой расстояние до вертикальной прямой d: x = а/ε от точки M(x; у), лежащей левее этой прямой. Уравнение эллипса можно записать в виде

|F 1 M|/(а/ε - x) = ε

Оно означает, что этот эллипс состоит из тех точек M(x; у) плоскости, для которых отношение длины фокального радиуса F 1 M к расстоянию до прямой d есть величина постоянная, равная ε (рис. 7.5).

У прямой d есть " двойник " - вертикальная прямая d", симметричная d относительно центра эллипса, которая задается уравнением x = -а/ε. Относительно d" эллипс описывается так же, как и относительно d. Обе прямые d и d" называют директрисами эллипса . Директрисы эллипса перпендикулярны той оси симметрии эллипса, на которой расположены его фокусы, и отстоят от центра эллипса на расстояние а/ε = а 2 /с (см. рис. 7.5).

Расстояние p от директрисы до ближайшего к ней фокуса называют фокальным параметром эллипса . Этот параметр равен

p = a/ε - c = (a 2 - c 2)/c = b 2 /c

Эллипс обладает еще одним важным геометрическим свойством: фокальные радиусы F 1 M и F 2 M составляют с касательной к эллипсу в точке M равные углы (рис. 7.6).

Это свойство имеет наглядный физический смысл. Если в фокусе F 1 расположить источник света, то луч, выходящий из этого фокуса, после отражения от эллипса пойдет по второму фокальному радиусу, так как после отражения он будет находиться под тем же углом к кривой, что и до отражения. Таким образом, все лучи, выходящие из фокуса F 1 , сконцентрируются во втором фокусе F 2 , и наоборот. Исходя из данной интерпретации указанное свойство называют оптическим свойством эллипса .

Поделитесь статьей с друзьями:

Похожие статьи

• 

  Сонник мерить новые вещи
• 

  Толкование восковых фигур при гадании
• 

  Приснилось что подруга выходит замуж