Τριγωνομετρία. Επικοινωνία τριγωνομετρία με πραγματική ζωή

Η τριγωνομετρία είναι ένα τμήμα των μαθηματικών, το οποίο μελετά τις τριγωνομετρικές λειτουργίες και τη χρήση τους στη γεωμετρία. Χρησιμοποιούνται τριγωνομετρικές λειτουργίες για να περιγράψουν τις ιδιότητες των διαφόρων γωνιών, των τριγώνων και των περιοδικών λειτουργιών. Η μελέτη της τριγωνομετρίας θα σας βοηθήσει να κατανοήσετε αυτές τις ιδιότητες. Τα μαθήματα στο σχολείο και στην ανεξάρτητη εργασία θα σας βοηθήσουν να μάθετε τη βάση της τριγωνομετρίας και να κατανοήσετε πολλές περιοδικές διαδικασίες.

Βήματα

Εξετάστε τα βασικά στοιχεία της τριγωνομετρίας

Ελέγξτε την έννοια ενός τριγώνου. Στην ουσία, η τριγωνομετρία ασχολείται με τη μελέτη διαφόρων αναλογιών σε τρίγωνα. Το τρίγωνο έχει τρεις πλευρές και τρεις γωνίες. Το άθροισμα των γωνιών οποιουδήποτε τριγώνου είναι 180 μοίρες. Όταν σπουδάζετε τριγωνομετρία, είναι απαραίτητο να εξοικειωθείτε με τα τρίγωνα και τις σχετικές έννοιες, όπως:

• hypotenuse - η μεγαλύτερη πλευρά του ορθογώνιου τριγώνου.
• ανόητη γωνία - γωνία άνω των 90 μοίρες.
• Οξεία γωνία - γωνία μικρότερη από 90 μοίρες.

1. Μάθετε να χτίζετε έναν ενιαίο κύκλο. Ένας ενιαίος κύκλος καθιστά δυνατή την κατασκευή οποιουδήποτε ορθογώνιου τριγώνου έτσι ώστε η υποτείνουσα ισούται με μία. Είναι βολικό όταν εργάζεστε με τριγωνομετρικές λειτουργίες, όπως ο κόλπος και η συνημία. Αφού μάθετε τον κύκλο μονάδας, μπορείτε εύκολα να βρείτε τιμές των τριγωνομετρικών λειτουργιών για ορισμένες γωνίες και να λύσετε προβλήματα στα οποία εμφανίζονται τα τρίγωνα με αυτές τις γωνίες.

   • Παράδειγμα 1. Η γωνία Sine των 30 βαθμών είναι 0,50. Αυτό σημαίνει ότι το μήκος του αντίθετου αυτής της γωνίας της κατηγορίας είναι ίσο με το ήμισυ του μήκους της υποτείνης.
   • Παράδειγμα 2. Χρησιμοποιώντας αυτόν τον λόγο, είναι δυνατόν να υπολογιστεί το μήκος του υποθέματος ενός τριγώνου, στο οποίο υπάρχει γωνία 30 μοίρες και το μήκος του ελέγχου αυτής της γωνίας της κατηγορίας είναι 7 εκατοστά. Στην περίπτωση αυτή, το μήκος της υποτείνης θα είναι 14 εκατοστά.

2. Εξοικειωθείτε με τριγωνομετρικές λειτουργίες. Υπάρχουν έξι κύριες τριγωνομετρικές λειτουργίες που πρέπει να γνωρίζουν κατά τη μελέτη της τριγωνομετρίας. Αυτές οι λειτουργίες είναι οι σχέσεις μεταξύ των διαφόρων πλευρών του ορθογώνιου τριγώνου και βοηθούν στην κατανόηση των ιδιοτήτων οποιουδήποτε τριγώνου. Αυτές είναι αυτές οι έξι λειτουργίες:

   • κόλπος (αμαρτία);
   • cosine (cos);
   • Εφαπτομένη (tg);
   • sec (sec);
   • cosnean (cosec).
   • coTangent (CTG).

3. Θυμηθείτε τις σχέσεις μεταξύ των λειτουργιών. Όταν η μελέτη της τριγωνομετρίας είναι εξαιρετικά σημαντική για να κατανοηθεί ότι όλες οι τριγωνομετρικές λειτουργίες διασυνδέονται. Παρόλο που ο κόλπος, η συνημία, η εφαπτομένη και άλλες λειτουργίες χρησιμοποιούνται με διαφορετικούς τρόπους, χρησιμοποιούνται ευρέως λόγω του γεγονότος ότι υπάρχουν ορισμένες σχέσεις μεταξύ τους. Αυτοί οι λόγοι είναι εύκολο να κατανοηθούν με έναν μόνο κύκλο. Μάθετε να χρησιμοποιείτε έναν μόνο κύκλο και με τη βοήθεια των αναλογιών που περιγράφονται από αυτό, μπορείτε να λύσετε πολλές εργασίες.

   Εφαρμογή της τριγωνομετρίας

   1. Μάθετε για τους κύριους τομείς της επιστήμης που χρησιμοποιούν τριγωνομετρία. Η τριγωνομετρία είναι χρήσιμη σε πολλά τμήματα των μαθηματικών και άλλων ακριβών επιστημών. Με τη βοήθεια της τριγωνομετρίας, μπορείτε να βρείτε τις αξίες των γωνιών και των ευθειών τμήματα. Επιπλέον, οποιαδήποτε κυκλική διαδικασία μπορεί να περιγραφεί με τριγωνομετρικές λειτουργίες.

      • Για παράδειγμα, οι ταλαντώσεις ελατηρίων μπορούν να περιγραφούν με μια ημιτονοειδή λειτουργία.

   2. Σκεφτείτε περιοδικές διαδικασίες. Μερικές φορές οι αφηρημένες έννοιες των μαθηματικών και άλλων ακριβών επιστημών είναι δύσκολο να κατανοηθούν. Ωστόσο, είναι παρόντες στον περιβάλλοντα κόσμο και μπορεί να διευκολύνει την κατανόησή τους. Κοντά σε περιοδικά φαινόμενα γύρω σας και προσπαθήστε να τα συνδέσετε με τριγωνομετρία.

      • Το φεγγάρι έχει έναν προβλέψιμο κύκλο, η διάρκεια του οποίου είναι περίπου 29,5 ημέρες.

   3. Φανταστείτε πώς να μάθετε φυσικούς κύκλους. Όταν καταλαβαίνετε ότι υπάρχουν πολλές περιοδικές διαδικασίες στη φύση, σκεφτείτε πώς μπορούν να μελετηθούν αυτές οι διαδικασίες. Φανταστείτε διανοητικά πώς μοιάζει η εικόνα τέτοιων διαδικασιών στο γράφημα. Χρησιμοποιώντας το γράφημα, μπορείτε να κάνετε μια εξίσωση που περιγράφει το παρατηρούμενο φαινόμενο. Στην περίπτωση αυτή, οι τριγωνομετρικές λειτουργίες θα είναι χρήσιμες.

      • Φανταστείτε τις παλίρροιες και τους αφρούς στην παραλία. Κατά τη διάρκεια της παλίρροιας, το νερό ανεβαίνει σε ένα ορισμένο επίπεδο και στη συνέχεια έρχεται η παλίρροια και η στάθμη του νερού πέφτει. Μετά την χαμηλή παλίρροια, η παλίρροια θα πρέπει να είναι και πάλι και η στάθμη του νερού αυξάνεται. Αυτή η κυκλική διαδικασία μπορεί να συνεχιστεί απείρως. Μπορεί να περιγραφεί από μια τριγωνομετρική λειτουργία, όπως η Cosine.

   Μάθετε το υλικό εκ των προτέρων

   1. Διαβάστε την κατάλληλη ενότητα. Μερικοί άνθρωποι είναι δύσκολο να μάθουν τις ιδέες της τριγωνομετρίας από την πρώτη φορά. Εάν εξοικειωθείτε με το κατάλληλο υλικό πριν από τις τάξεις, είναι καλύτερο να το αφομοιώσετε. Προσπαθήστε να επαναλάβετε το θέμα που μελετάτε πιο συχνά - με αυτόν τον τρόπο θα βρείτε περισσότερες σχέσεις μεταξύ των διαφόρων εννοιών και των εννοιών της τριγωνομετρίας.

      • Επιπλέον, θα σας επιτρέψει να αποκαλύψετε ασαφείς στιγμές εκ των προτέρων.

   2. Οδηγήστε μια περίληψη. Παρόλο που το εγχειρίδιο σήμανσης είναι καλύτερο από τίποτα, όταν μελετώντας την τριγωνομετρία, είναι απαραίτητη μια χαλαρή προσεγμένη ανάγνωση. Κατά τη μελέτη οποιουδήποτε διαμερίσματος, επηρέασε το λεπτομερές περίληψη. Θυμηθείτε ότι η γνώση της τριγωνομετρίας συσσωρεύεται σταδιακά και το νέο υλικό βασίζεται στο προηγουμένως μελετημένο, οπότε τα αρχεία έχουν ήδη περάσει για να σας βοηθήσουν να προχωρήσετε.

      • Μεταξύ άλλων, γράψτε τις ερωτήσεις σας για να τους ζητήσετε από τον δάσκαλο.

   3. Να αποφασίσει τις εργασίες που δίνονται στο εγχειρίδιο. Ακόμα κι αν δίνετε εύκολα τριγωνομετρία, οι εργασίες πρέπει να λυθούν. Για να βεβαιωθείτε ότι πραγματικά κατανοείτε το μελετημένο υλικό, προσπαθήστε να λύσετε διάφορες εργασίες πριν από την τάξη. Εάν αντιμετωπίζετε προβλήματα, θα ορίσετε τι πρέπει να μάθετε κατά τη διάρκεια της τάξης.

      • Πολλά εγχειρίδια στο τέλος είναι απαντήσεις σε εργασίες. Με τη βοήθειά τους, μπορείτε να ελέγξετε αν λύσατε σωστά τις εργασίες.

   4. Πάρτε όλα όσα χρειάζεστε για την τάξη. Μην ξεχνάτε τη σύνοψη και την επίλυση των προβλημάτων σας. Αυτά τα υλικά παραβάσεως θα σας βοηθήσουν να ανανεώσετε τη μνήμη που έχει ήδη ταξιδέψει και προχωρήσει περαιτέρω στη μελέτη του υλικού. Διευκρίνιση όλων των ερωτήσεων που έχουν προκύψει με την προκαταρκτική ανάγνωση του εγχειριδίου.

   ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ- (από τα ελληνικά. Trigwnon - Triangle και Metrow - Μέτρο) - Μαθηματική πειθαρχία, η οποία μελετά τη σχέση μεταξύ των γωνιών και των πλευρών των τριγώνων και των τριγωνομετρικών λειτουργιών.

   Ο όρος "τριγωνομετρία" που εισήχθη το 1595 Γερμανούς μαθηματικά και θεολογίες του Bartholomew Pitisk, του συγγραφέα του εγχειριδίου για τριγωνομετρία και τριγωνομετρικούς πίνακες. Μέχρι τα τέλη του 16ου αιώνα. Οι περισσότερες τριγωνομετρικές λειτουργίες έχουν ήδη γνωστοποιηθεί, αν και αυτή η ιδέα δεν έχει ακόμη υπάρξει.

   Στην τριγωνομετρία, διακρίνονται τρεις τύποι σχέσεων: 1) μεταξύ των ίδιων των τριγωνομετρικών λειτουργιών. 2) μεταξύ των στοιχείων του επίπεδου τριγώνου (τριγωνομετρία στο αεροπλάνο). 3) μεταξύ των στοιχείων ενός σφαιρικού τριγώνου, δηλ. Τα στοιχεία σκαλισμένα στη σφαίρα τριών αεροπλάνων που περνούν μέσα από το κέντρο του. Η τριγωνομετρία άρχισε με το πιο δύσκολο, σφαιρικό τμήμα. Προέρχεται κυρίως από πρακτικές ανάγκες. Η αρχαία παρακολούθησε την κίνηση των ουράνιων λαμπερών. Οι επιστήμονες χειρίστηκαν τα δεδομένα μέτρησης για να οδηγήσουν το ημερολόγιο και να καθορίσουν σωστά τον χρόνο της έναρξης της SEV και τη συγκομιδή, τις ημερομηνίες των θρησκευτικών διακοπών. Τα αστέρια υπολογίσουν τη θέση του πλοίου στη θάλασσα ή στην κατεύθυνση της κίνησης του τροχόσπιτου στην έρημο. Οι αστρολοολόγοι από τα αμνηματολόγια του χρόνου οδήγησαν στον αστρικό ουρανό.

   Φυσικά, όλες οι διαστάσεις που σχετίζονται με τη θέση του έλαμψου στον ουρανό είναι έμμεση. Οι ευθείες γραμμές θα μπορούσαν να πραγματοποιηθούν μόνο στην επιφάνεια της γης, αλλά και εδώ δεν ήταν πάντοτε δυνατό να προσδιοριστεί άμεσα την απόσταση μεταξύ ορισμένων σημείων και στη συνέχεια να καταφύγει και πάλι σε έμμεσες μετρήσεις. Για παράδειγμα, το ύψος του δέντρου υπολογίστηκε, συγκρίνοντας το μήκος της σκιάς του με μεγάλη σκιά από κάποιο πόλο, το ύψος του οποίου ήταν γνωστό. Ομοίως, υπολογίστηκε το μέγεθος του νησιού στη θάλασσα. Τέτοιες εργασίες μειώνεται σε ανάλυση τριγώνου, στην οποία τα στοιχεία του εκφράζονται μέσω άλλων. Αυτό ασχολείται με τριγωνομετρία. Και αφού τα αστέρια και οι πλανήτες φαινόταν να είναι ένα αρχαίο σημείο στην ουράνια σφαίρα, τότε η σφαιρική τριγωνομετρία άρχισε να αναπτύσσεται πρώτα. Θεωρήθηκε ένα τμήμα της αστρονομίας.

   Και όλα άρχισαν για πολύ καιρό. Οι πρώτες αποσπασματικές πληροφορίες σχετικά με την τριγωνομετρία διατηρούνται στα κλινικά σημάδια της αρχαίας Βαβυλώνας. Οι αστρονόμοι της Meternrech έχουν μάθει να προβλέπουν τη θέση της γης και του ήλιου και ήταν από αυτούς ότι το σύστημα μέτρησης των γωνιών σε μοίρες, λεπτά και δευτερόλεπτα ήρθε σε εμάς, επειδή οι Βαβυλωνοί υιοθέτησαν ένα σύστημα εξάμηνου αριθμού.

   Ωστόσο, τα πρώτα πραγματικά σημαντικά επιτεύγματα ανήκουν στον αρχαίο ελληνικό επιστήμονα. Για παράδειγμα, το 12ο και το 13ο του δεύτερου βιβλίου θεωρητών Ξεκίνησε EUCLIDEA (Τέλος 4-3 αιώνας. Π.Χ. Ε.) Εκφράζουν το σημαντικό θεώρημα συνημίας. Στο 2ο. ΠΡΟ ΧΡΙΣΤΟΥ. Ο αστρονόμος του Ιππάρχου από τη Νίκαια (180-125 π.Χ.) ήταν ένα τραπέζι για να καθορίσει τη σχέση μεταξύ των στοιχείων των τριγώνων. Τέτοιοι πίνακες χρειάζονται επειδή οι τιμές των τριγωνομετρικών λειτουργιών δεν μπορούν να υπολογιστούν με επιχειρήματα χρησιμοποιώντας αριθμητικές λειτουργίες. Οι τριγωνομετρικές λειτουργίες έπρεπε να υπολογιστούν εκ των προτέρων και να αποθηκευτούν με τη μορφή πινάκων. Η υπόθεση υπολογίζεται στον κύκλο μιας δεδομένης ακτίνας του μήκους της χορδής, που αντιστοιχεί σε όλες τις γωνίες από 0 έως 180 °, ένα πολλαπλάσιο 7,5 °. Ουσιαστικά, αυτό είναι ένα τραπέζι κόλπων. Οι διαδικασίες του Ιππορχείου δεν μας φτάνουν, αλλά πολλοί από αυτούς περιλαμβάνονται στο Αλμαγέστη (ΙΙ του αιώνα) - Το διάσημο δοκίμιο σε 13 βιβλία της ελληνικής αστρονόμας και των μαθηματικών του Claudia Ptolemy (OK.160 n. Ε.). Οι αρχαίοι Έλληνες δεν γνώριζαν τους κόλπους, της συνάλλης και των εφαπτομένων, αντί των πινάκων αυτών των αξιών, χρησιμοποίησαν πίνακες, οι οποίοι επέτρεψαν τη χορδή της περιφέρειας σε ένα σφιχτό τόξο. ΣΕ Almagesta Ο συγγραφέας αναφέρει τον πίνακα μήκους χορδών του κύκλου της ακτίνας 60 μονάδων που υπολογίζεται σε αυξήσεις 0,5 ° με ακρίβεια 1/3600 μονάδων και εξηγεί τον τρόπο με τον οποίο καταρτίστηκε αυτός ο πίνακας. Το έργο του Πτολεμαίου αρκετές αιώνες χρησίμευσε ως εισαγωγή στην τριγωνομετρία για τους αστρονόμους.

   Για να κατανοήσουμε πώς οι επιστήμονες των αρχαιοτήτων ήταν τριγωνομετρικοί πίνακες, είναι απαραίτητο να εξοικειωθεί με τη μέθοδο του Πτολεμαίου. Η μέθοδος βασίζεται στο θεώρημα - το προϊόν των διαγωνίων που είναι εγγεγραμμένες στην περιφέρεια του τετραγώνου είναι ίση με την ποσότητα έργων των αντίθετων πλευρών της.

   Ας είναι Α Β Γ Δ - Διαμπερμένο τετράγωνο , ΕΝΑ Δ - Διάμετρος κύκλου και σημείο Ο.- Το κέντρο της (εικ. 1). Αν ξέρετε πώς να υπολογίσετε τις χορδές, τις γωνίες σύσφιξης Έγγρ \u003d Ένα Ι. Dov \u003d. Β, δηλ. CD. και διαγώνιο ΣΙ,Ότι, σύμφωνα με το θεώρημα, το Πυθαγόρειο, από ορθογώνια τρίγωνα Adv. και ΔΙΑΦΗΜΙΣΕΙΣ Μπορεί να βρεθεί Ab και όπως, Και στη συνέχεια, στο θεώρημα του Πτολεμαίου, - ΠΡΟ ΧΡΙΣΤΟΥ. = (ΜΕΤΑ ΧΡΙΣΤΟΝ· CD - AV· CD.) /ΕΝΑ Δ.. χορδή Υπόλοιπο \u003d Β. - ένα. Ορισμένες χορδές, όπως οι πλευρές της πλατείας, το δεξί εξάγωνο και οκτάγωνο, που αντιστοιχούν στις γωνίες των 90, 60 και 45 °, είναι εύκολο να προσδιοριστούν. Μια πλευρά του δεξιού πεντάγωνου είναι επίσης γνωστή, η οποία σφίγγει το τόξο των 72 °. Ο ανωτέρω κανόνας μας επιτρέπει να υπολογίσουμε τις χορδές για τις διαφορές αυτών των γωνιών, για παράδειγμα για 12 ° \u003d 72 ° - 60 °. Επιπλέον, είναι δυνατόν να βρεθούν χορδές μισών γωνιών, αλλά αυτό δεν αρκεί για να υπολογίσει αυτό που είναι ίσο με τη χορδή ενός τόξου 1 °, - εάν μόνο επειδή όλες αυτές οι γωνίες είναι πολλαπλές 3 °. Για τη χορδή του 1 °, ο Πτολεμαίος βρήκε μια εκτίμηση, δείχνοντας ότι είναι πάνω από 2/3 χορδές (3/2) ° και λιγότερο από 4/3 χορδές (3/4) ° - δύο αριθμοί που συμπίπτει με επαρκή ακρίβεια για τους πίνακες του.

   Εάν οι Έλληνες στις γωνίες υπολογίσουν τις χορδές, τότε οι ινδοί αστρονόμοι σε γραπτά 4-5 αιώνες. Μεταβείτε σε ημιόρδες διπλής τόξου, δηλ. ακριβώς στις γραμμές του κόλπου (Εικ. 2). Χρησιμοποίησαν τις γραμμές του Κοσίνου - ή μάλλον, όχι δικές του, και ο "αντιμέτωπος" κόλπος, ο οποίος έλαβε το όνομα "Sinus-Verzus" αργότερα στην Ευρώπη, είναι τώρα αυτό το χαρακτηριστικό, ίσο με 1 - Cos Το Α δεν χρησιμοποιείται πλέον. Στη συνέχεια, η ίδια προσέγγιση οδήγησε στον ορισμό των τριγωνομετρικών λειτουργιών μέσω των σχέσεων των μερών του ορθογώνιου τριγώνου.

   

   Ανά μονάδα μέτρησης των τμημάτων Βουτώ, Op., Pa Λήφθηκε ένα λεπτό τόξο. Έτσι, γραμμή κόλπων Ab\u003d 90 ° είναι Ob. - Ακτίνα του κύκλου. τόξο Alίση με την ακτίνα περιέχει (στρογγυλεμένη) 57 ° 18 "\u003d 3438".

   Ινδικά τραπέζια κόλπων που έχουν καταρρεύσει σε εμάς (η παλαιότερη καταρτίζεται στον 4-5ο αιώνα μ.Χ.) δεν είναι τόσο ακριβείς με τον Πτολεμαία. Αποτελούνται από 3 ° 45 "(δηλ., Μέσω 1/24 μέρους του τόξου του τεταρτημορίου).

   Οι όροι "κόλπο" και "kosinus" ήρθαν από τους Ινδιάνους, δεν κοστίζουν και χωρίς περίεργη παρεξήγηση. Οι Ινδοί Ομοίφορου ονομάστηκαν "Ardhajti" (μεταφράστηκε από την Σανσκριτική - "το ήμισυ των δοκιμαστών του Λουκά"), και στη συνέχεια μείωσε αυτή τη λέξη στο "Jiva". Μουσουλμάνοι αστρονόμοι και μαθηματικοί που έχουν αποκτήσει γνώση σχετικά με την τριγωνομετρία από τους Ινδιάνους που τον πήραν ως "Jiba" και στη συνέχεια μετατράπηκαν σε "Jaib", η οποία στα αραβικά σημαίνει "διογκωμένος", "κόλπος". Τέλος, στον 7ο αιώνα. Το "Jaib" μεταφέρθηκε κυριολεκτικά στη λατινική λέξη "κόλπο" , Που δεν είχε καμία σχέση με την έννοια τους. Sanskrit "Cotigati" - Sinus R45 (έως 90 °), και στη Λατινική - Sinus Compleventi, δηλ. Συμπλήρωμα κόλπων, στον 17ο αιώνα. μειώθηκε στη λέξη "kosinus". Τα ονόματα της "εφαπτομενικής" και της "συνεδρίασης" (μεταφράστηκε από λατινική έννοια "εφαπτομένη" και "διαδοχική") που εισήχθη το 1583 από τον Γερμανό επιστήμονα Fincom.

   Αραβικοί επιστήμονες, για παράδειγμα, Al-Battani (περίπου 900 au), συνέβαλαν στην ανάπτυξη της τριγωνομετρίας. Στους 10 ° C. Ο επιστήμονας της Βαγδάτης Mohammed από το Budzhan, γνωστό ως Abu-Oufa (940-997), που συνδέεται με τις γραμμές των Singes και του Cosine των εφαπτομένων, των κιτοκινών, των σεξουαλικών και των βουλευτών. Τους δίνει τους ίδιους ορισμούς που περιέχονται στα εγχειρίδια μας. Το Abu-L-VEFA θεσπίζει τις βασικές σχέσεις μεταξύ αυτών των γραμμών.

   Έτσι, μέχρι το τέλος του 10ου αιώνα. Οι επιστήμονες του ισλαμικού κόσμου έχουν ήδη λειτουργήσει, μαζί με το Sine και Cosine, τέσσερις άλλες λειτουργίες - εφαπτομένη, kotangent, συνεδρία και sosken. ανακαλύφθηκε και αποδείχθηκε διάφορα σημαντικά θεωρήματα επίπεδης και σφαιρικής τριγωνομετρίας. χρησιμοποίησε την περιφέρεια μιας μόνο ακτίνας (η οποία επέτρεψε την ερμηνεία των τριγωνομετρικών λειτουργιών κατά την τρέχουσα έννοια). Εφευρέθηκε ένα πολικό τρίγωνο ενός σφαιρικού τριγώνου. Οι Αραβικοί Μαθηματικοί ανήλθαν σε ακριβείς πίνακες, όπως πίνακες κόλπων και εφαπτομένων σε 1 "και ακρίβεια σε 1/700.000.000. Ένα πολύ σημαντικό εφαρμοσμένο έργο ήταν τέτοιο: για να μάθετε πώς να καθορίσετε την κατεύθυνση της Mecca για πέντε ημερήσιες προσευχές, όπου και αν ο μουσουλμάνος είναι.

   Ιδιαίτερα μεγάλη επιρροή στην ανάπτυξη της παρεχόμενης τριγωνομετρίας Treathise σε πλήρη τετράπλευρη Αστομπή Nasir-Ed-Dean από την Tusa (1201-1274), επίσης γνωστή ως At-Tusi. Ήταν το πρώτο δοκίμιο στον κόσμο, στην οποία η τριγωνομετρία ερμηνεύτηκε ως μια ανεξάρτητη περιοχή των μαθηματικών.

   Στις 12 το. Μεταφράστηκε από τα αραβικά σε ένα λατινικό αριθμό αστρονομικών έργων, για πρώτη φορά οι Ευρωπαίοι συναντήθηκαν με τριγωνομετρία.

   Η πραγματεία του Nasir-Ed Dina έκανε μια μεγάλη εντύπωση στον γερμανικό αστρονόμο και τα μαθηματικά του Johann Muller (1436-1476). Οι σύγχρονοι τον γνώριζαν περισσότερο με το όνομα του Regomontan (έτσι μεταφράστηκε στο λατινικό όνομα της πατρίδας του Königsberg, τώρα - Καλίνινγκραντ). Ο Regiomontan αποτελούσε εκτεταμένους πίνακες κόλπων (μετά από 1 λεπτό με ακρίβεια του έβδομου ψηφίου). Για πρώτη φορά, υποχώρησε από το εξήντα έτος της ακτίνας και ανά μονάδα μέτρησης της γραμμής κόλπων έγινε αποδεκτή ένα δέκα εκατομμύριο τμήμα της ακτίνας. Έτσι, οι κόλποι εκφράστηκαν σε ακέραιους αριθμούς, όχι δεκαέξι κλάσματα. Πριν από την εισαγωγή δεκαδικών κλασμάτων, παρέμεινε μόνο ένα βήμα, αλλά ζήτησε περισσότερα από 100 χρόνια. Εργατική regionontana Σχετικά με τα τρίγωνα όλων των ειδών πέντε βιβλίων Έπαιξε στο Ευρωπαϊκό Μαθηματικό τον ίδιο ρόλο με το δοκίμιο του Nasir-Ed Din στην επιστήμη των μουσουλμανικών χωρών.

   Υπήρχαν αρκετοί άλλοι, ακόμη πιο λεπτομερέστεροι πίσω από τους περιφερειακούς πίνακες. Ένας φίλος Copernicus Rerik (1514-1576) μαζί με αρκετούς βοηθούς, για 30 χρόνια, εργάστηκε σε τραπέζια, ολοκληρώθηκε και δημοσιεύθηκε το 1596 ο φοιτητής του Otto. Οι γωνίες πέρασαν από 10 "και η ακτίνα χωρίστηκε σε 1.000.000.000.000 μέρη, οπότε οι κόλποι είχαν 15 πιστούς αριθμούς.

   Η περαιτέρω ανάπτυξη της τριγωνομετρίας πήγε κατά μήκος της διαδρομής της συσσώρευσης και τη συστηματοποίηση των τύπων, διευκρινίζοντας τις βασικές έννοιες, τον σχηματισμό ορολογίας και ονομασιών. Πολλοί Ευρωπαίοι μαθηματικοί εργάστηκαν στον τομέα της τριγωνομετρίας. Μεταξύ αυτών είναι τόσο μεγάλοι επιστήμονες όπως ο Nikolai Copernicus (1473-1543), ηρεμία (1546-1601) και ο Johann Kepler (1571-1630). Francois Vieta (1540-1603) συμπληρωμένο και συστηματοποιήθηκε διάφορες περιπτώσεις επίλυσης επίπεδων και σφαιρικών τριγώνων, άνοιξε το "επίπεδο" συνημίτη θεώρημα και τους τύπους για τριγωνομετρικές λειτουργίες από πολλαπλές γωνίες. Το Isaac Newton (1643-1727) διατύπωσε αυτές τις λειτουργίες στις τάξεις και άνοιξε το δρόμο για να τα χρησιμοποιήσει σε μαθηματική ανάλυση. Ο Leonard Euler (1707-1783) εισήγαγε την ίδια την έννοια της λειτουργίας και ο συμβολισμός έγινε δεκτός στις μέρες μας. Τιμές αμαρτίας Χ., COS. Χ. και τα λοιπά. Θεωρείται ως οι λειτουργίες του αριθμού Χ. - Τα ακτινικά μέτρα της αντίστοιχης γωνίας. Ο Euler έδωσε έναν αριθμό Χ. Αξία: Θετική, αρνητική και ακόμη και πολύπλοκη. Βρήκε επίσης μια σχέση μεταξύ τριγωνομετρικών λειτουργιών και ένα εκθετικό ολοκληρωμένο επιχείρημα, το οποίο κατέστησε δυνατή τη μετατροπή πολλών και συχνά πολύ περίπλοκων τριγωνομετρικών τύπων σε απλές συνέπειες από τους κανόνες προσθήκης και πολλαπλασιασμού πολύπλοκων αριθμών. Εισήγαγε επίσης αντίστροφα τριγωνομετρικά λειτουργίες.

   Μέχρι το τέλος του 18ου αιώνα. Τριγωνομετρία ως επιστήμη έχει ήδη αναπτυχθεί. Τριγωνομετρικές λειτουργίες Βρέθηκαν χρήσιμες στη μαθηματική ανάλυση, τη φυσική, τη χημεία, την τεχνική - όπου πρέπει να αντιμετωπίσετε περιοδικές διαδικασίες και διακυμάνσεις - είτε πρόκειται για ακουστική, οπτική είτε να κουνηθείτε το εκκρεμές.

   Το διάλυμα τυχόν τριγώνων, τελικά, μειώνεται στην επίλυση ορθογώνιων τριγώνων (δηλαδή εκείνων των οποίων οι γωνίες είναι άμεσες). Δεδομένου ότι όλα τα ορθογώνια τρίγωνα με μια δεδομένη αιχμηρή γωνία είναι παρόμοιες μεταξύ τους, οι σχέσεις των αντίστοιχων πλευρών τους είναι οι ίδιες. Για παράδειγμα, σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο αλφάβητο Τη στάση των δύο πλευρών του, όπως η κατηγορία αλλά Σε υποτινεία απόεξαρτάται από το μέγεθος μιας από τις αιχμηρές γωνίες, για παράδειγμα ΑΛΛΑ. Σχέσεις διαφόρων ζευγών των κομμάτων ενός ορθογώνιου τριγώνου και ονομάζονται τριγωνομετρικές λειτουργίες Την οξεία γωνία του. Όλες αυτές οι σχέσεις στο τρίγωνο είναι έξι, και αντιστοιχούν σε έξι τριγωνομετρικές λειτουργίες (ονομασίες των κομμάτων και τις γωνίες του τριγώνου στο Σχ. 3).

   

   Οπως και ΑΛΛΑ + ΣΕ \u003d 90 °, τότε

   αμαρτία. ΕΝΑ. \u003d Cos. ΣΙ. \u003d Cos (90 ° - ΕΝΑ.),

   ΕΝΑ. \u003d CTG. ΣΙ. \u003d CTG (90 ° - ΕΝΑ.).

   Από τους ορισμούς υπάρχουν πολλές ισοτιμίες που δεσμεύουν τις τριγωνομετρικές λειτουργίες της ίδιας γωνίας μεταξύ τους:

   Λαμβάνοντας υπόψη το θεώρημα Pythagoreo ΕΝΑ. 2 + ΣΙ. 2 = ΝΤΟ. 2 Μπορείτε να εκφράσετε και τις έξι λειτουργίες μέσω κάποιου. Για παράδειγμα, ο κόλπος και η συνημία συνδέονται με την κύρια τριγωνομετρική ταυτότητα

   sIN 2. ΕΝΑ. + COS 2. ΕΝΑ. = 1.

   Ορισμένες αναλογίες μεταξύ λειτουργιών:

   Αυτοί οι τύποι ισχύουν επίσης για τριγωνομετρικές λειτουργίες οποιασδήποτε γωνίας, αλλά πρέπει να χρησιμοποιηθούν προσεκτικά, αφού τα δεξιά και τα αριστερά μέρη ενδέχεται να έχουν διαφορετικούς τομείς ορισμού.

   Υπάρχουν μόνο δύο ορθογώνια τρίγωνα, στα οποία οι γωνίες είναι "καλές" (εκφράζονται από ένα ολόκληρο ή ορθολογικό αριθμό βαθμών) και τουλάχιστον μία από τις σχέσεις των μερών είναι λογική. Είναι ένα εξισωτικό τρίγωνο (με γωνία 45, 45 και 90 °) και το ήμισυ του ισόπλευρου τριγώνου (με γωνία 30, 60, 90 °) - ακριβώς εκείνες οι δύο περιπτώσεις όταν οι τιμές των τριγωνομετρικών λειτουργιών μπορούν να υπολογιστούν απευθείας εξ ορισμού . Αυτές οι τιμές εμφανίζονται στον πίνακα

   Ν.	0	1	2	3	4
   Γωνία	0	30 °	45 °	60 °	90 °
   αμαρτία.
   cos.
   tg.
   cTG.			Οι σχέσεις που περιλαμβάνονται στα θεώρηση του κόλπου έχουν μια απλή γεωμετρική έννοια. Εάν περιγράφετε την περιφέρεια κοντά στο τρίγωνο αλφάβητο (Εικ. 4) και περάστε τη διάμετρο BD., στο θεώρημα σχετικά με την εγγεγραμμένη γωνία p BCD. \u003d R. ΕΝΑ. Είτε η γωνία είναι ηλίθια, 180 ° - ΑΛΛΑ. ΤΕΛΟΣ παντων ΕΝΑ. = ΠΡΟ ΧΡΙΣΤΟΥ. = BD. αμαρτία. ΕΝΑ. = 2 R. αμαρτία. ΕΝΑ. ή Οπου R. - Ακτίνα του περιγραφόμενου κύκλου τριγώνου αλφάβητο. Πρόκειται για ένα "ενισχυμένο" θεώρημα κόλπων που εξηγεί γιατί τα δέντρα των δουλειών των αρχαίων ήταν ουσιαστικά τα τραπέζια κόλπων. Το θεώρημα Cosine αποδεικνύεται από 2 = αλλά 2 + ΣΙ. 2 – 2ab cos. ΑΠΟ. Επιτρέποντας να βρει την πλευρά του τριγώνου σε δύο άλλες πλευρές και τη γωνία μεταξύ τους, καθώς και τις γωνιές για τρία μέρη. Υπάρχουν για παράδειγμα ορισμένες άλλες σχέσεις μεταξύ των στοιχείων του τριγώνου, για παράδειγμα. Εφαπτομένη θεώρημα: πού cos (Α. + ΣΙ. ) = cos a cos b – Αμαρτία μια αμαρτία β, cos (Α. – σι) = cos a cos b + Αμαρτία μια αμαρτία Β. Γενικός ορισμός των τριγωνομετρικών λειτουργιών Αφήστε το σημείο να κινείται με μία μόνο ταχύτητα σε ένα μόνο κύκλο με το κέντρο στην αρχή των συντεταγμένων ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ αριστερόστροφα (Εικ. 5). Προς το παρόν Τ. \u003d 0 σημείο περάσει P 0 (10). Στη διάρκεια Τ.pOINT PASSES ARC LONG Τ.Και βαθμολογεί τη θέση P t, Έτσι, η γωνία στην οποία περιστρέφεται η ακτίνα σε αυτό το σημείο από ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ, Επίσης ίσο t. Έτσι, συγκρίνουμε κάθε χρόνο, δηλ. σημείο Τ.Ισχύει ευθεία, σημείο P tΕνιαίος κύκλος. Μια παρόμοια εμφάνιση του άμεσου κύκλου ονομάζεται μερικές φορές "winding". Εάν παρουσιάσετε έναν έγκυρο άξονα με τη μορφή απεριόριστου ανεπιτήδευτου νήματος, επισυνάψτε ένα σημείο t \u003d.0 στο σημείο P 0 Κύκλος και ξεκινήστε να περιέχει και τα δύο άκρα του νήματος στον κύκλο, τότε κάθε σημείο Τ.παίρνει ακριβώς στο σημείο P t. Εν: 1) Σημεία του άξονα, τα οποία αποτελούν μέρος του άλλου από έναν ακέραιο αριθμό μήκη περιφέρειας, T, Ε. Στις 2 pk.(Κ. \u003d ± 1, ± 2, ...), εμπίπτουν στο ίδιο σημείο περιφέρειας. 2) σημεία Τ. και -T. εμπίπτουν σε σημεία, συμμετρικά σχετικά ΒΟΔΙ.; 3) στο 0 Τ.Ј Π. γωνία Π. 0 Επιλέγω.αναβληθεί σε ένα μισό αεροπλάνο w.Ίση Τ.(Εικ. 8). Οι τρεις από αυτές τις συνθήκες συνιστούν το επίσημο καθοριστικό συναίσθημα. Λόγω της κατάστασης 3 στο 0 \u003d Τ.Ј Π. Οι συντεταγμένες του σημείου R είναι ίσες (COS Τ.αμαρτία. Τ.). Αυτή η παρατήρηση και προτρέπει τον ορισμό: Cosine και Sinus ενός αυθαίρετου αριθμού Τ.Τα τεταρτημόρια και τα τεταγμένα σημεία ονομάζονται αντίστοιχα. P t. Η εφαπτομένη μπορεί επίσης να οριστεί μέσω των συντεταγμένων. Διεξάγουμε την εφαπτομένη στον κύκλο μονάδας στο σημείο (1, 0) (Εικ. 7). Ονομάζεται άξονας εφαπτομένων. Σημείο Q t.οι διασταυρώσεις είναι άμεσες Επιλέγω. Ο άξονας των εφαπτομένων έχει συντεταγμένες (1, αμαρτία Τ./ Cos. Τ.), και ο τεταγμένος, εξ ορισμού, ίσος με το TG Τ.. Σε απόλυτη τιμή, αυτό είναι το μήκος ενός τμήματος μιας εφαπτομενικής που διεξάγεται από Q t. Στον κύκλο. Έτσι, το όνομα "εφαπτόμενο" είναι ακριβώς δικαιολογημένο. Με την ευκαιρία, όπως οι συνεδρίες: στο Σχ. 9 δευτερόλεπτα Τ. - Ενότητα Oq t, Η αλήθεια δεν είναι ολόκληρη η μονάδα, αλλά το μέρος του. Τέλος, οι Kothangens μπορούν να οριστούν ως σημείο τομής τετμίας Επιλέγω. Με τον άξονα των catangens - εφαπτόμενο στον κύκλο μονάδας στο σημείο (0, 1): CTG Τ. \u003d Cos. Τ. / ΑΜΑΡΤΙΑ Τ.. Τώρα οι τριγωνομετρικές λειτουργίες ορίζονται για όλους τους αριθμούς. Marina Fedosova

   Δημοτικό δημοσιονομικό εκπαιδευτικό ίδρυμα

   Δευτεροβάθμιο σχολείο №10

   με εμπεριστατωμένη μελέτη μεμονωμένων αντικειμένων

   Το έργο εκτελείται:

   Pavlov Roman

   Μαθητής 10b τάξη

   Ηγέτης:

   μαθηματικός δάσκαλος

   Boldyreva Ν. Α.

   yelets, 2012

   1. Εισαγωγή.

   3. Ο κόσμος της τριγωνομετρίας.

   · Τριγωνομετρία στη φυσική.

   · Τριγωνομετρία στην πλανητομετρία.

   · Τριγωνομετρία στην τέχνη και την αρχιτεκτονική.

   · Τριγωνομετρία στην ιατρική και τη βιολογία.

   3.2 Γραφικές παραστάσεις σχετικά με τον μετασχηματισμό "Μικρές ενδιαφέρουσες" τριγωνομετρικές λειτουργίες στις αρχικές καμπύλες (χρησιμοποιώντας το πρόγραμμα υπολογιστή και τα γραφικά).

   · Καμπύλες σε πολικές συντεταγμένες (υποδοχές).

   · Καμπύλες στις καρτεσιανές συντεταγμένες (καμπύλες Lissa).

   · Μαθηματικά στολίδια.

   4. Συμπέρασμα.

   5. Αναφορές.

   Στόχος του έργου - η ανάπτυξη ενδιαφέροντος για τη μελέτη του θέματος "τριγωνομετρία" γνωρίζει την άλγεβρα και την έναρξη της ανάλυσης μέσω του πρίσματος της εφαρμοσμένης αξίας του υλικού που μελετώνεται · επεκτείνοντας γραφικές παραστάσεις που περιέχουν τριγωνομετρικές λειτουργίες. Η χρήση τριγωνομετρίας σε τέτοιες επιστήμες ως φυσική, βιολογία. Χωρίς τον τελευταίο ρόλο, παίζει στην ιατρική, και, που είναι πιο ενδιαφέρον, χωρίς αυτό, ούτε καν στη μουσική και την αρχιτεκτονική.

   Αντικείμενο μελέτης - τριγωνομετρία

   Θέμα της μελέτης - εφαρμοσμένη κατεύθυνση της τριγωνομετρίας · Γραφικά ορισμένων λειτουργιών χρησιμοποιώντας τριγωνομετρικούς τύπους.

   Ερευνητικά καθήκοντα:

   1.Παρακαλώ το ιστορικό της εμφάνισης και της ανάπτυξης της τριγωνομετρίας.

   2. Καθορίστε σχετικά με συγκεκριμένα παραδείγματα Πρακτικές εφαρμογές τριγωνομετρίας σε διάφορες επιστήμες ..

   3. Οθόνη σε συγκεκριμένα παραδείγματα της δυνατότητας χρήσης τριγονομονομετρικών λειτουργιών, επιτρέποντας τις "λίγες ενδιαφέρουσες" λειτουργίες να μετατραπούν σε λειτουργίες των οποίων τα γραφήματα έχουν μια πολύ πρωτότυπη εμφάνιση.

   Υπόθεση - παραδοχές: Επικοινωνία Τριγωνομετρία με τον περιβάλλοντα κόσμο, η αξία της τριγωνομετρίας στην επίλυση πολλών πρακτικών προβλημάτων, οι γραφικές δυνατότητες των τριγωνομετρικών λειτουργιών σας επιτρέπουν να "υλοποιήσετε" τη γνώση των μαθητών. Αυτό καθιστά δυνατή την καλύτερη κατανόηση της ζωτικής ανάγκης της γνώσης που αγοράστηκαν όταν μελετώντας την τριγωνομετρία αυξάνει το ενδιαφέρον για την εκμάθηση αυτού του θέματος.

   Ερευνητικές μέθοδοι - ανάλυση της μαθηματικής λογοτεχνίας σε αυτό το θέμα · Επιλογή συγκεκριμένων εφαρμοσμένων εργασιών σε αυτό το θέμα. Προσομοίωση υπολογιστή με βάση ένα πρόγραμμα υπολογιστή. Ανοιχτά μαθηματικά "λειτουργίες και διαγράμματα" (Physicone).

   1. Εισαγωγή

   "Ένα πράγμα παραμένει σαφές ότι ο κόσμος είναι κανονισμένος

   Grozno και καλά. "

   Ν. Rubtsov

   Η τριγωνομετρία είναι ένα τμήμα των μαθηματικών, στο οποίο μελετώνται οι εξάρσεις μεταξύ των τιμών των γωνιών και των μέσων των κομμάτων των τριγώνων, καθώς και οι αλγεβρικές ταυτότητες των τριγωνομετρικών λειτουργιών. Είναι δύσκολο να φανταστούμε, αλλά με αυτή την επιστήμη αντιμετωπίζουμε όχι μόνο στα μαθήματα των μαθηματικών, αλλά και στην καθημερινή μας ζωή. Δεν θα μπορούσατε να το υποψιάζεστε, αλλά η τριγωνομετρία βρίσκεται στις επιστήμες όπως η φυσική, η βιολογία, παίζει επίσης στην ιατρική, και ότι το πιο ενδιαφέρον πράγμα χωρίς αυτό δεν κοστίζει ακόμη και στη μουσική και την αρχιτεκτονική. Ένας σημαντικός ρόλος στην ανάπτυξη των δεξιοτήτων της εφαρμογής στην πρακτική της θεωρητικής γνώσης που αποκτήθηκε στη μελέτη των μαθηματικών παίζεται από καθήκοντα με πρακτικό περιεχόμενο. Κάθε μαθηματικά που σπουδάζουν, τα ενδιαφέροντα πώς και πού ισχύει η γνώση. Την απάντηση σε αυτή την ερώτηση και δίνει αυτό το έργο.

   2. Ιστορία της ανάπτυξης της τριγωνομετρίας.

   Λέξη τριγωνομετρία Αντιμετωπίστηκε από δύο ελληνικά λόγια: Τρίγωνον (τρίγωνο Trigonon) και και με τίτλο (Μέτρο Μεξενίου) σημαίνει κυριολεκτικά Τρίγωνα μέτρησης.

   Είναι αυτό το καθήκον ότι η μέτρηση των τριγώνων ή, όπως είναι δυνατόν να μιλήσετε, η λύση των τριγώνων, δηλαδή ο ορισμός όλων των πλευρών και των γωνιών του τριγώνου σε τρία γνωστά στοιχεία (πλευρά και δύο γωνίες, δύο πλευρές και γωνίες ή τρία μέρη) - από την αρχαιότητα τη βάση των πρακτικών εφαρμογών της τριγωνομετρίας.

   Όπως κάθε άλλη επιστήμη, η τριγωνομετρία έχει εξελιχθεί από την ανθρώπινη πρακτική, στη διαδικασία επίλυσης συγκεκριμένων πρακτικών καθηκόντων. Τα πρώτα στάδια της ανάπτυξης της τριγωνομετρίας συνδέονται στενά με την ανάπτυξη της αστρονομίας. Μια μεγάλη επίδραση στην ανάπτυξη της αστρονομίας και της τριγωνομετρίας που συνδέεται στενά με την ανάγκη ανάπτυξης πλοήγησης, για την οποία η ικανότητα ήταν υποχρεωμένη να καθορίσει σωστά την πορεία του πλοίου στην ανοικτή θάλασσα στη θέση της ουράνιας που λάμπει. Σημαντικός ρόλος στην ανάπτυξη της τριγωνομετρίας έπαιξε από την ανάγκη για την προετοιμασία των γεωγραφικών χαρτών και της στενότερης σύνδεσης με αυτό, η ανάγκη να προσδιοριστούν σωστά τις μεγάλες αποστάσεις στην επιφάνεια της Γης.

   Η θεμελιώδης σημασία για την ανάπτυξη της τριγωνομετρίας στην εποχή της προέλευσής της ήταν το έργο ενός αρχαίου ελληνικού αστρονόμου Ιππότης(Μέσο ΙΙ αιώνα π.Χ.). Η τριγωνομετρία ως μια επιστήμη, με την τρέχουσα έννοια της λέξης δεν ήταν μόνο στο Hippark, αλλά και από άλλους επιστήμονες της αρχαιότητας, δεδομένου ότι δεν είχαν ιδέα για τις λειτουργίες των γωνιών και δεν έβαλαν ακόμη και το ζήτημα της εξάρτησης μεταξύ των γωνιών και τις πλευρές του τριγώνου. Αλλά ουσιαστικά, χρησιμοποιώντας τα μέσα στοιχειώδους γεωμετρίας που είναι γνωστή σε αυτούς, λύθηκαν τα καθήκοντα που ασχολούνται με τριγωνομετρία. Ταυτόχρονα, το κύριο μέσο για την απόκτηση των απαραίτητων αποτελεσμάτων ήταν η δυνατότητα να υπολογίσουν τα μήκη της κυκλικής χορδής με βάση τις γνωστές σχέσεις μεταξύ των μερών μεταξύ των σωστών τριών τεσσάρων τεσσάρων, πέντε και ενός δεκαδίου και της ακτίνας του περιγραφέντος κύκλου.

   Hippal ήταν οι πρώτοι πίνακες χορδών, δηλαδή, οι πίνακες που εκφράζουν το μήκος της χορδής για διάφορες κεντρικές γωνίες στον κύκλο μιας σταθερής ακτίνας. Αυτά ήταν ουσιαστικά ο πίνακας των διπλά συστατικών του μισού της κεντρικής γωνίας. Ωστόσο, οι πρωτότυπες πλάκες του Ιππάρκ (όπως σχεδόν τα γράμματα) πριν από εμάς δεν μας φτάνουν και μπορούμε να κάνουμε τον εαυτό τους την παρουσίαση κυρίως στη σύνθεση του "μεγάλου κτιρίου" ή (στην αραβική μετάφραση) "Almagest" του διάσημος αστρονόμος Claudia Ptolemyπου έζησε στη μέση του αιώνα του ΙΙ. μι.

   Ο Πτολεμαίος διαιρέθηκε ο κύκλος κατά 360 μοίρες και η διάμετρος είναι 120 μέρη. Θεωρήθηκε η ακτίνα ίση με 60 μέρη (60 ¢ ¢). Κάθε ένα από τα μέρη που διαχωρίσει 60 ¢, κάθε λεπτό έως 60 ¢, μια δεύτερη έως 60 δισεκατομμύρια (60 ¢ σημεία), κλπ., Εφαρμογή του καθορισμένου τμήματος, ο Πτολεμαίος εξέφρασε την πλευρά του δεξιού εγγεγραμμένου εξάγωνου ή της χορδής, σφίγγοντας ένα ARC 60 ° με τη μορφή 60 τμημάτων της ακτίνας (60 ώρες) και την πλευρά του εισαγόμενου τετραγωνικού ή χορδής, 90 ° ισοδυναμούσε με τον αριθμό 84ch51 ¢ 10². Horde 120 ° - η πλευρά του εγγεγραμμένου ισόπλευρου τριγώνου - εξέφρασε Ένας αριθμός 103H55 ¢ 232, κλπ. Για ένα ορθογώνιο τρίγωνο με υποτείνουσα ίση με τη διάμετρο του κύκλου, καταγράφηκε με βάση το θεώρημα Pythagora: (χορδή Α) 2+ (χορδή 180-α |) 2 \u003d ( Διάμετρος) 2, η οποία αντιστοιχεί στον σύγχρονο τύπο SIN2A + COS2A \u003d 1.

   Το "Almagest" περιέχει ένα τραπέζι χορδών μέσω μισών βαθμών από 0 ° έως 180 °, η οποία από τη σύγχρονη οπή μας αντιπροσωπεύει ένα τραπέζι κόλπων για γωνίες από 0 ° έως 90 ° κάθε τρίμηνο ενός βαθμού.

   Η βάση όλων των τριγονομονομετρικών υπολογισμών στους Έλληνες ήταν επίσης γνωστός στο διάσημο θεώρημα του Πτολολημένου: "Ένα ορθογώνιο που χτίστηκε στις διαγώνιες που είναι εγγεγραμμένες στον τετράπλευρο κύκλο είναι ίσο με την ποσότητα ορθογωνίων που χτίστηκαν στις αντίθετες πλευρές." (Ι.Ε., το προϊόν των διαγώνων ισούται με την ποσότητα έργων αντίθετων πλευρών). Χρησιμοποιώντας αυτό το θεώρημα, οι Έλληνες ήταν σε θέση να (χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Πυθαγόρου) για τη χορδή δύο γωνιών για να υπολογίσει τη χορδή του ποσού (ή της χορδής της διαφοράς) αυτών των γωνιών ή της χορδής του μισού αυτής της γωνίας, δηλαδή, ήταν Είναι σε θέση να πάρει τα αποτελέσματα που τώρα λαμβάνουμε σύμφωνα με τους τύπους των ποσοτήτων κόλπων (ή διαφορά) δύο γωνιών ή μισής γωνίας.

   Τα νέα βήματα στην ανάπτυξη της τριγωνομετρίας συνδέονται με την ανάπτυξη της μαθηματικής κουλτούρας των λαών Ινδία, Κεντρική Ασία και Ευρώπη (V-Xii).

   Ένα σημαντικό βήμα προς τα εμπρός στην περίοδο από το V έως το XII αιώνα έγινε από τους Ινδουιστές, ο οποίος, σε αντίθεση με τους Έλληνες, άρχισε να εξετάζει και να χρησιμοποιεί τους υπολογισμούς που δεν είναι πλέον χορδή mm ¢ (βλέπε το σχέδιο) της αντίστοιχης κεντρικής γωνίας, αλλά μόνο Το ήμισυ του κ., δηλαδή αυτό που ονομάζουμε τώρα τη γραμμή του κόλπου των ηλικιών της κεντρικής γωνίας.

   Μαζί με τον Σιντάν, οι Ινδουιστές εισήγαγαν μια συνάρτηση σε τριγωνομετρία, με μεγαλύτερη ακρίβεια, άρχισαν να χρησιμοποιούν τη γραμμή Cosine στους υπολογισμούς τους. (Ο όρος που ο ίδιος ο Cosine εμφανίστηκε πολύ αργότερα στα έργα των ευρωπαίων επιστημόνων για πρώτη φορά στο τέλος του αιώνα XVI. Από το λεγόμενο "συμπλήρωμα κόλπων", δηλαδή γωνία κόλπων, συμπληρώνοντας αυτή τη γωνία έως 90 °. "Σιντάνος Συμπλήρωμα "ή (λατινικό) κόλπο Compleventi για να καταγράψει τόσο το Sinus Co είτε το Co-Sinus).

   Επίσης, γνωστοποιούν τις σχέσεις COSA \u003d SIN (90 °) και SIN2A + COS2A \u003d R2, καθώς και ο τύπος για το ημιτονοειδές άθροισμα και τη διαφορά δύο γωνιών.

   Το επόμενο στάδιο της ανάπτυξης της τριγωνομετρίας συνδέεται με τις χώρες

   Κεντρική Ασία, Μέση Ανατολή, Transcaucasia (Vii-XV αιώνα)

   Ανάπτυξη σε στενή σχέση με την αστρονομία και τη γεωγραφία, τα μαθηματικά της Κεντρικής Ασίας είχαν έντονο "υπολογιστικό χαρακτήρα" και αποσκοπούσε στην επίλυση των εφαρμοζόμενων στόχων της μέτρησης της γεωμετρίας και της τριγωνομετρίας και η τριγωνομετρία σχηματίστηκε σε μια ειδική μαθηματική πειθαρχία σε μεγάλο βαθμό στα έργα του κεντρικού έργου Ασιατικοί επιστήμονες. Από τη σημαντικότερη επιτυχία, η εισαγωγή όλων των έξι τριγωνομετρικών γραμμών θα πρέπει να σημειωθεί κυρίως: ο κόλπος, η συνημία, η εφαπτομένη, οι κατατριβοί, οι συνεδρίες και οι κέρατα, εκ των οποίων μόνο οι δύο πρώτοι ήταν γνωστοί στο Grekam και των Ινδουιστών.

   https://pandia.ru/text/78/114/images/image004_97.gif "πλάτος \u003d" 41 "Ύψος \u003d" 44 "\u003e \u003d A × CTGJ πόλος ενός συγκεκριμένου μήκους (a \u003d 12) για J \u003d 1 ° , 2 °, 3 ° ......

   Abu-l-waf Από το Khoroshan, ο οποίος ζούσε στο 1340-998), συνέταξε ένα παρόμοιο "πίνακα εφαπτομένων", δηλαδή, υπολογίστηκε το μήκος της σκιάς b \u003d a × \u003d a × tgj, απορρίπτονται από ένα οριζόντιο έκτο από ένα συγκεκριμένο μήκος (a \u003d 60) στον κατακόρυφο τοίχο (βλ. Σχέδιο).

   Πρέπει να σημειωθεί ότι οι όροι "εφαπτόμενοι" (κυριολεκτικά μεταφρασμένοι - "σχετικά με") και "kotangenes" προέρχονται από τη λατινική γλώσσα και εμφανίστηκαν στην Ευρώπη πολύ αργότερα (XVI-XVIIIV). Οι επιστήμονες της Κεντρικής Ασίας κάλεσαν τις αντίστοιχες γραμμές "σκιές": η "πρώτη σκιά", εφαπτομένη - "δεύτερη σκιά".

   Το Abu-L-Wafa έδωσε έναν εντελώς ακριβή γεωμετρικό ορισμό μιας εφαπτομενικής γραμμής σε έναν τριγωνομετρικό κύκλο και προσαρτήθηκε στις γραμμές της εφαπτομένης και της κοκατηγορίας της γραμμής των δοκών και των σαβέρων. Εκφράζει επίσης (προφορικά) αλγεβρικές εξαρτήσεις μεταξύ όλων των τριγονομονομετρικών λειτουργιών και, ειδικότερα, για την περίπτωση όταν η ακτίνα του κύκλου είναι ίση με μία. Αυτή η εξαιρετικά σημαντική περίπτωση θεωρήθηκε από ευρωπαίους επιστήμονες για 300 χρόνια αργότερα. Τέλος, η Abu-L-Wafa συνέταξε έναν πίνακα rimes κάθε 10.

   Στα έργα των επιστήμονων της Κεντρικής Ασίας, η τριγωνομετρία έχει γίνει μια επιστήμη που εξυπηρετεί την αστρονομία, μια ειδική μαθηματική πειθαρχία που αντιπροσωπεύει ανεξάρτητο ενδιαφέρον.

   Η τριγωνομετρία χωρίζεται από την αστρονομία και γίνεται ανεξάρτητη επιστήμη. Αυτό το τμήμα συνδέεται συνήθως με το όνομα των μαθηματικών του Αζερμπαϊτζάν Nasiraddin tusi ().

   Για πρώτη φορά στην ευρωπαϊκή επιστήμη, μια λεπτή παρουσίαση της τριγωνομετρίας δίνεται στο βιβλίο "για τα τρίγωνα των διαφόρων ειδών" γραμμένο Johann muller, πιο διάσημο στα μαθηματικά με το όνομα Regomontane ().Συνοψίζει τις μεθόδους επίλυσης ορθογώνιων τριγώνων και δίνει στον πίνακα κόλπων με ακρίβεια 0,0000001. Είναι αξιοσημείωτο ότι πίστευε ότι η ακτίνα του κύκλου ισούται με, δηλ., Εξέφρασε τις τιμές των τριγωνομετρικών λειτουργιών σε δεκαδικά κλάσματα, ενώ στρέφεται στην πραγματικότητα από ένα σύστημα έξι δορυφορικών αριθμών έως δεκαδικό.

   Αγγλικά επιστήμονας XIV αιώνα Bradvardine () Το πρώτο στην Ευρώπη εισήγαγε σε τριγωνομετρικούς υπολογισμούς του Κοτογγέλου που ονομάζεται "άμεση σκιά" και εφαπτόμενη ονομάζεται "αντίστροφη σκιά".

   Στο κατώφλι του XVIIV. Στην ανάπτυξη της τριγωνομετρίας έχει προγραμματιστεί για μια νέα κατεύθυνση - αναλυτική. Εάν πριν από το κύριο σκοπό της τριγωνομετρίας θεωρήθηκε ότι η λύση των τριγώνων, ο υπολογισμός των στοιχείων γεωμετρικών στοιχείων και η διδασκαλία των τριγωνομετρικών λειτουργιών βασίστηκε σε γεωμετρική βάση, στη συνέχεια στους αιώνες XVII-XIX. Το τριγωνομετρία γίνεται σταδιακά ένα από τα κεφάλια της μαθηματικής ανάλυσης. Σχετικά με τις ιδιότητες της συχνότητας των τριγωνομετρικών λειτουργιών γνώριζαν περισσότερα Viet.Οι πρώτες μαθηματικές μελέτες των οποίων υποβλήθηκαν σε θεραπεία σε τριγωνομετρία.

   Ελβετικός μαθηματικός Johann Bernoulli () Που χρησιμοποιούνται ήδη σύμβολα τριγωνομετρικών λειτουργιών.

   Στο πρώτο μισό του XIX. Γάλλος επιστήμονας J. Fourier Αποδείχθηκε ότι οποιαδήποτε περιοδική κίνηση μπορεί να εκπροσωπείται ως το άθροισμα των απλών αρμονικών ταλαντώσεων.

   Το έργο του διάσημου ακαδημαϊκού της Αγίας Πετρούπολης ήταν τεράστιο στην ιστορία της τριγωνομετρίας Leonard Euler (), Έδωσε όλη τη σύγχρονη εμφάνιση τριγωνομετρίας.

   Στο έργο του "Εισαγωγή στην ανάλυση" (1748), ο Euler ανέπτυξε μια τριγωνομετρία ως επιστήμη τριγωνομετρικών λειτουργιών, της έδωσε μια αναλυτική παρουσίαση, να αντλήσει ολόκληρο το σύνολο τριγωνομετρικών τύπων από λίγους βασικούς τύπους.

   Το Euler ανήκει στην τελική λύση στο ζήτημα των σημείων τριγωνομετρικών λειτουργιών σε όλα τα τέταρτα του κύκλου, την παραγωγή του τύπου της παροχής γενικών υποθέσεων.

   Εισαγωγή νέων λειτουργιών στα μαθηματικά - Τριγωνομετρικά, έγινε σκόπιμο να αυξηθεί το ζήτημα της αποσύνθεσης αυτών των λειτουργιών σε μια απεριόριστη σειρά. Αποδεικνύεται ότι τέτοιες αποσύνθενες είναι δυνατές:

   SINX \u003d X-HTTPS: //Pandia.ru/TEXT/78/114/IMAGES/IMAGE008_62.GIF "Πλάτος \u003d" 224 "Ύψος \u003d" 47 "\u003e

   Αυτές οι σειρές καθιστούν δυνατή τη σημαντική διευκόλυνση της προετοιμασίας των πινάκων τριγωνομετρικών τιμών και να τα βρουν από οποιοδήποτε βαθμό ακρίβειας.

   Η αναλυτική κατασκευή της θεωρίας των τριγωνομετρικών λειτουργιών, που ξεκίνησε από το Euler, ολοκληρώθηκε στα έργα , Gauss, Cauch, Fourier και άλλοι.

   "Γεωμετρικές σκέψεις", γράφει ο Lobachevsky, είναι απαραίτητο μέχρι τότε στην αρχή της τριγωνομετρίας, εφόσον δεν θα χρησιμεύσουν ως διακριτικές ιδιότητες των τριγωνομετρικών λειτουργιών ... από εδώ, η τριγωνομετρία γίνεται εντελώς ανεξάρτητη από τη γεωμετρία και έχει όλα τα Πλεονεκτήματα της ανάλυσης. "

   Σήμερα, η τριγωνομετρία δεν θεωρείται πλέον ως ανεξάρτητος κλάδος των μαθηματικών. Το σημαντικότερο μέρος της διδασκαλίας σχετικά με τις τριγωνομετρικές λειτουργίες αποτελεί μέρος ενός γενικότερου, που χτίστηκε από μία μόνο άποψη του δόγματος των λειτουργιών που μελετήθηκαν στη μαθηματική ανάλυση. Το άλλο μέρος είναι η λύση των τριγώνων - θεωρείται ως επικεφαλής της γεωμετρίας.

   3. Η τριγωνομετρία.

   3.1 Εφαρμογή τριγωνομετρίας σε διάφορες επιστήμες.

   Οι τριγωνομετρικοί υπολογισμοί ισχύουν σε όλες σχεδόν τις περιοχές της γεωμετρίας, της φυσικής και της μηχανικής.

   Η τεχνική της τριγωνισμού έχει μεγάλη σημασία, η οποία επιτρέπει τη μέτρηση των αποστάσεων σε μη ζυμωμένα αστέρια στην αστρονομία, μεταξύ αναφορών στη γεωγραφία, συστήματα δορυφορικής πλοήγησης ελέγχου. Θα πρέπει να σημειωθεί η χρήση της τριγωνομετρίας στους ακόλουθους τομείς: τεχνική πλοήγησης, θεωρία της μουσικής, ακουστική, οπτική, την ανάλυση των χρηματοπιστωτικών αγορών, ηλεκτρονικά, θεωρία πιθανοτήτων, στατιστική, τη βιολογία, την ιατρική (συμπεριλαμβανόμενων των υπερήχων έρευνα (υπερηχογράφημα), αξονική τομογραφία, τα φαρμακευτικά προϊόντα, χημείας, θεωρία αριθμών, Σεισμολογία, μετεωρολογία, ωκεανολογία, χαρτογραφία, πολλά τμήματα της φυσικής, την τοπογραφία, γεωδαισία, την αρχιτεκτονική, φωνητική, την οικονομία, ηλεκτρονικές συσκευές, η μηχανολογία, γραφικά υπολογιστών, κρυσταλλογραφία.

   Τριγωνομετρία στη φυσική.

   Αρμονικές ταλαντώσεις.

   Όταν οποιοδήποτε σημείο μετακινείται σε μια ευθεία γραμμή εναλλάξ, τότε στην άλλη πλευρά, τότε λένε ότι το σημείο κάνει ταλαντώσεις.

   Ένας από τους απλούστερους τύπους ταλαντώσεων είναι να κινηθεί κατά μήκος του άξονα του σημείου προβολής m, το οποίο περιστρέφεται ομοιόμορφα γύρω από τον κύκλο. Ο νόμος αυτών των ταλαντώσεων έχει τη μορφή x \u003d.Rcos (https://pandia.ru/text/78/114/images/image010_59.gif "πλάτος \u003d" 19 "Ύψος \u003d" 41 SRC \u003d "\u003e.

   Συνήθως αντί αυτής της συχνότητας θεωρούνται Κυκλική συχνότηταw \u003d,Εμφάνιση ταχύτητας γωνιακής περιστροφής, εκφρασμένη σε ακτίνες ανά δευτερόλεπτο. Σε αυτή τη σημείωση έχουμε: x \u003d.R.cos (w.t +.ένα). (2)

   Αριθμός ΕΝΑ. Κλήση Αρχική ταλάντωση φάσης.

   Η μελέτη όλων των ειδών ταλαντώσεων είναι ήδη σημαντική για το ένα μετά το γεγονός ότι με ταλαντευόμενες κινήσεις ή κύματα αντιμετωπίζουμε αρκετά συχνά στον κόσμο γύρω μας και τα χρησιμοποιούμε με μεγάλη επιτυχία (ηχητικά κύματα, ηλεκτρομαγνητικά κύματα).

   Μηχανικές ταλαντώσεις.

   Οι μηχανικές ταλαντώσεις αναφέρονται στις κινήσεις των σωμάτων, επαναλαμβάνοντας ακριβώς (ή περίπου) μετά τα ίδια χρονικά διαστήματα. Παραδείγματα απλών δονητικών συστημάτων μπορούν να φορτωθούν στο ελατήριο ή το εκκρεμές. Πάρτε, για παράδειγμα, ένα gircuit αιωρήθηκε την άνοιξη (βλ. Εικ.) Και σπρώξτε το. Το βάρος θα αρχίσει να εξωτερικά κάτω και προς τα πάνω ..GIF "align \u003d" αριστερά "πλάτος \u003d" 132 Ύψος \u003d 155 "Ύψος \u003d" 155 "\u003e. GIF" πλάτος \u003d "72" Ύψος \u003d "59 SRC \u003d"\u003e. JPG «align \u003d "left" width \u003d "202 height \u003d 146" height \u003d "146"\u003e Το διάγραμμα διακύμανσης (2) λαμβάνεται από το χρονοδιάγραμμα ταλάντωσης (1) μετατοπίζεται προς τα αριστερά

   στο . Ο αριθμός Α ονομάζεται αρχική φάση.

   https://pandia.ru/text/78/114/images/image020_33.gif "πλάτος \u003d" 29 "Ύψος \u003d" 45 SRC \u003d "\u003e), όπου ΜΕΓΑΛΟ.- το μήκος του εκκρεμούς, και η αρχική γωνία της απόκλισης J0. Όσο μεγαλύτερο το εκκρεμές, το πιο αργό κούνημα. (Αυτό είναι σαφώς ορατό στην εφαρμογή 1-7. VIII). Στο Σχ. 8-16, οι εφαρμογές VIII είναι σαφώς ορατές, καθώς η αλλαγή στην αρχική απόκλιση επηρεάζει το πλάτος των ταλαντώσεων εκκρεμών, η περίοδος δεν αλλάζει. Μέτρηση της περιόδου ταλάντωσης του εκκρεμούς ενός γνωστού μήκους, είναι δυνατόν να υπολογιστεί η επιτάχυνση της τάξης γης g σε διαφορετικά σημεία της επιφάνειας της γης.

   Εκφόρτιση συμπυκνωτή.

   Όχι μόνο πολλές μηχανικές ταλαντώσεις εμφανίζονται σύμφωνα με τον ημιτονοειδή νόμο. Και σε ηλεκτρικά κυκλώματα υπάρχουν ημιτονοειδείς ταλαντώσεις. Έτσι, στην αλυσίδα που εμφανίζεται στην επάνω δεξιά γωνία του μοντέλου, η φόρτιση στις πλάκες συμπυκνωτή ποικίλλει ανάλογα με το νόμο Q \u003d Cu + (Q0 - Cu) COS, όπου ο πυκνωτής είναι η χωρητικότητα, u -nature στο ρεύμα Πηγή, L-επαγωγικότητα του πηνίου, https: //pandia.ru/text/78/114/images/image022_30.jpg "align \u003d" αριστερό "πλάτος \u003d" 348 "Ύψος \u003d" 253 SRC \u003d "\u003e Χάρη στο Το μοντέλο συμπυκνωτή που διατίθεται στο πρόγραμμα "Λειτουργία και διαγράμματα" μπορείτε να εγκαταστήσετε τις παραμέτρους του ταλαντούχου κυκλώματος και να δημιουργήσετε αντίστοιχα γραφήματα g (t) και i (t). Το πρόγραμμα 1-4 είναι σαφώς ορατό, επηρεάζει την τάση για την αλλαγή στο ρεύμα Και το φορτίο του πυκνωτή, μπορεί να φανεί ότι με θετική τάση, η φόρτιση λαμβάνει επίσης θετικές τιμές. Στο σχήμα 5-8, το παράρτημα IX δείχνει ότι κατά την αλλαγή της χωρητικότητας του πυκνωτή (όταν αλλάξει η επαγωγή πηνίου στο Σχ. 9 -14 του παραρτήματος IX) και η περίοδος συνεχούς αντοχής αλλάζει, δηλαδή η συχνότητα των διακυμάνσεων του κυκλώματος αλλάζει στην αλυσίδα και αλλάζει τη συχνότητα του πυκνωτή. (Βλέπε εφαρμοστεί Ix).

   Πώς να συνδέσετε δύο σωλήνες.

   Τα παραπάνω παραδείγματα μπορεί να εντυπωσιάσουν ότι τα ημιτοειδή βρίσκονται μόνο λόγω διακυμάνσεων. Ωστόσο, δεν είναι. Για παράδειγμα, χρησιμοποιούνται ημιτονοειδή όταν συνδέουν δύο κυλινδρικούς σωλήνες υπό γωνία μεταξύ τους. Για να συνδέσετε δύο σωλήνες με τέτοιο τρόπο, πρέπει να τους κόψετε τους ιστούς τους.

   Εάν αναπτύξετε ένα σωλήνα κοπής, θα περιοριστεί από το πάνω από το sinusoid. Σε αυτό μπορείτε να βεβαιωθείτε ότι τυλίγει το κερί με χαρτί, κόβοντας το από τα συντρίμμια και την ανάπτυξη χαρτιού. Επομένως, για να πάρετε μια ομαλή περικοπή του σωλήνα, μπορείτε πρώτα να κόψετε το μεταλλικό φύλλο πάνω από το sinusoid και να το ρίξετε στο σωλήνα.

   Θεωρία Rainbow.

   Για πρώτη φορά η θεωρία του ουράνιου τόξου δόθηκε μέσα 1637 René Descartes. Εξήγησε το ουράνιο τόξο ως ένα φαινόμενο που συνδέεται με την αντανάκλαση και την διάθλαση του φωτός στις βιοκαμάδες.

   Το ουράνιο τόξο προκύπτει λόγω του γεγονότος ότι το φως του ήλιου αντανακλάται στα σταγονίδια νερού που αιωρούνται στον αέρα σύμφωνα με το διαθλαστικό δίκαιο:

   Όπου n1 \u003d 1, N251,33 είναι αντίστοιχα οι διάθλιστοι δείκτες αέρα και νερού, α είναι η γωνία πτώσης και β είναι η γωνία διάθλασης του φωτός.

   Βόρειο σέλας

   Η διείσδυση στα ανώτερα στρώματα της ατμόσφαιρας των πλανητών των φορτισμένων ηλιακών αιολικών σωματιδίων καθορίζεται από την αλληλεπίδραση του μαγνητικού πεδίου του πλανήτη με τον ηλιακό άνεμο.

   Η δύναμη που ενεργεί στο φορτισμένο σωματίδιο που κινείται στο μαγνητικό πεδίο ονομάζεται δύναμη Lorentz. Είναι ανάλογο του φορτίου σωματιδίων και το προϊόν φορέα και την ταχύτητα του σωματιδίου

   Εργασίες σχετικά με την τριγωνομετρία με πρακτικό περιεχόμενο.

   https://pandia.ru/text/78/114/images/image026_24.gif "πλάτος \u003d" 25 "Ύψος \u003d" 41 "\u003e.

   Ορισμός του συντελεστή τριβής.

   Το σωματικό βάρος Ρ τοποθετεί το κεκλιμένο επίπεδο με γωνία κλίσης α. Το σώμα κάτω από τη δράση του δικού του βάρους πέρασε το επιταχυνόμενο μονοπάτι S σε τρί δευτερόλεπτα. Προσδιορίστε τον συντελεστή τριβής k.

   Δύναμη πίεσης σώματος στο κεκλιμένο επίπεδο \u003d kpcosa.

   Η δύναμη που τραβάει το σώμα προς τα κάτω ισούται με το f \u003d psina-kpcosa \u003d p (sina-kcosa). (1)

   Εάν το σώμα κινείται κατά μήκος του κεκλιμένου επιπέδου, τότε η επιτάχυνση a \u003d https: //pandia.ru/text/78/114/images/image029_22.gif "πλάτος \u003d" 20 "Ύψος \u003d" 41 "\u003e \u003d\u003d gf; επομένως ,. (2)

   Από τις ισοτιμίες (1) και (2) ακολουθεί ότι το g (sina-kcosa) \u003d https: //pandia.ru/text/78/114/21.gif "πλάτος \u003d" 129 "Ύψος \u003d" 48 "\u003e \u003d Gtga-.

   Τριγωνομετρία στην πλανητομετρία.

   Οι κύριοι τύποι στην επίλυση προβλημάτων γεωμετρίας με τη χρήση τριγωνομετρίας:

   sIN2A \u003d 1 / (1 + CTG2a) \u003d TG2Α / (1 + TG2a); COS2A \u003d 1 / (1 + TG2a) \u003d CTG2Α / (1 + CTG2a).

   sIN (α ± β) \u003d SINA * COSβ ± COSA * SINB; Cos (α ± β) \u003d cosa * cos + sina * sinb.

   Αναλογία διαστάσεων και γωνίες σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο:

   1) ρίζες Ένα ορθογώνιο τρίγωνο ισούται με το προϊόν μιας άλλης κατηγορίας στην εφαπτομένη της αντίπαλης γωνίας.

   2) Η κορδέλα του ορθογώνιου τριγώνου είναι ίση με το προϊόν της υποτείνης στον κόλπο της γειτονικής γωνίας.

   3) ρίζες Το ορθογώνιο τρίγωνο ισούται με το προϊόν της υποτείνης στην συνίνη της γειτονικής γωνίας.

   4) ρίζες Ένα ορθογώνιο τρίγωνο ισούται με το προϊόν μιας άλλης κατηγορίας στην καθοδήγηση της γειτονικής γωνίας.

   Εργασία1: Στο πλάι του AV και CD εξίσου τραπεζοειδούςABCD έλαβε σημεία m καιN με τέτοιο τρόπο ώστεMn παράλληλα με τις βάσεις του τραπεζοειδούς. Είναι γνωστό ότι σε κάθε ένα από τα διαμορφωμένα μικρά trapezMBCN I.Η AMND μπορεί να εισέλθει σε έναν κύκλο και οι ακτίνες αυτών των κύκλων είναι ίσεςr i.R, αντίστοιχα. Βρείτε βάσειςAd i.ΠΡΟ ΧΡΙΣΤΟΥ.

   Δεδομένος: ABCD TRAPEZIUM, AB \u003d CD, MєAB, NєCD, \u200b\u200bMN || Ad, στο Trapezium MBCN και AMN, μπορείτε να εισάγετε έναν κύκλο με ακτίνα R και R, αντίστοιχα.

   Να βρω: AD και BC.

   Απόφαση:

   Αφήστε τα Ο1 και O2 να είναι τα κέντρα που είναι εγγεγραμμένα σε μικρές τραπέζες των κύκλων. Direct O1K || CD.

   Σε δ Ο1Ο2k cosa \u003d O2K / O1O2 \u003d (R-R) / (R + R).

   Τ. Κ. ΔΟ2FD ορθογώνια, κατόπιν O2DF \u003d α / 2 \u003d\u003e Fd \u003d R * CTG (α / 2). Τ. Κ. Ad \u003d 2df \u003d 2R * CTG (Α / 2),

   Παρόμοια με την BC \u003d 2R * Tg (α / 2).

   cOS α \u003d (1-ΤG2α / 2) / (1 + ΤG2 (α / 2)) \u003d\u003e (RR) / (R + R) \u003d (1-Tg2 (α / 2)) / (1 + Tg2 (α / 2)) \u003d\u003e (1-R / R) / (1 + R / R) \u003d (1-ΤG2α / 2) / (1 + Tg2 (α / 2)) \u003d\u003e Tg (α / 2) \u003d √ (R / R) \u003d\u003e CTG (α / 2) \u003d √ (R / R), κατόπιν ad \u003d 2R * CTG (α / 2), BC \u003d 2R * Tg (α / 2), βρίσκουμε μια απάντηση.

   Απάντηση : Ad \u003d 2r √ (R / R), BC \u003d 2R√ (R / R).

   Εργασία2.: Σε ένα τρίγωνο Το ABC είναι γνωστό σι, c και γωνία μεταξύ διάμεσης και ύψους που προέρχονται από την κορυφή Α. Υπολογίστε την περιοχή του τριγώνου ΑΛΦΑΒΗΤΟ.

   Δεδομένος: Δ abc, Ύψος Ad-Ύψος, AE-MENDIAN, DAE \u003d α, ΑΒ \u003d C, AC \u003d β.

   Να βρω: SDABC.

   Απόφαση:

   Αφήστε το CE \u003d eb \u003d x, ae \u003d y, AED \u003d γ. Στο θεώρημα Cosine στο ΔΓΕΠ Β2 \u003d Χ2 + Υ2-2xy * Cosγ (1). Και σε δικό στο θεώρημα cosine C2 \u003d x2 + y² + 2xy * cosg (2). Από 1 ισότητα 2, λαμβάνουμε C2-B² \u003d 4xy * cosγ (3).

   T. K. SDABC \u003d 2Sδίδα \u003d XY * SING (4), στη συνέχεια διαχωρίζοντας 3 ισότητα σε 4, λαμβάνουμε: (C2-B2) / S \u003d 4 * CTGγ, αλλά CTGγ \u003d TGAB, επομένως, SDABC \u003d (C2-B²) / 4 * TGa.

   Απάντηση: (C²- Β ) / 4 * tg α .

   Τριγωνομετρία στην τέχνη και την αρχιτεκτονική.

   Η αρχιτεκτονική δεν είναι η μόνη σφαίρα της επιστήμης, στην οποία χρησιμοποιούνται τριγωνομετρικοί τύποι. Οι περισσότερες σύνθετες αποφάσεις και τα πρότυπα των σχεδίων πέρασαν με ακρίβεια χρησιμοποιώντας τη γεωμετρία. Αλλά τα θεωρητικά δεδομένα γνωρίζουν ελάχιστα. Θέλω να φέρει ένα παράδειγμα οικοδόμησης ένα γλυπτό του γαλλικού πλοιάρχου του χρυσού αιώνα της τέχνης.

   Ο αναλογικός λόγος στην κατασκευή του αγάλματος ήταν τέλεια. Ωστόσο, όταν πήρε ένα άγαλμα σε ένα υψηλό βάθρο, κοίταξε άσχημο. Ο γλύπτης δεν ελήφθη υπόψη ότι στο μέλλον, πολλές λεπτομέρειες μειώνονται στον ορίζοντα και στο κάτω μέρος της από κάτω προς τα κάτω τις εντυπώσεις της ιδεαλίας της. Έγιναν πολλοί υπολογισμοί έτσι ώστε το σχήμα με ένα υψηλό ύψος να φαινόταν αναλογικά. Βασίστηκαν κυρίως στη μέθοδο όρασης, δηλαδή μια κατά προσέγγιση μέτρηση, μάτι. Ωστόσο, η διαφορά στη διαφορά ορισμένων αναλογιών κατέστησε δυνατή την πραγματοποίηση ενός αριθμού πιο κοντά στο ιδανικό. Έτσι, γνωρίζοντας την κατά προσέγγιση απόσταση από το άγαλμα προς την άποψη, δηλαδή από την κορυφή του αγάλματος στο μάτι του ατόμου και το ύψος του αγάλματος, μπορείτε να υπολογίσετε τη γωνία της εμφάνισης της εμφάνισης χρησιμοποιώντας τον πίνακα ( Μπορούμε να κάνουμε το ίδιο με το κάτω μέρος της προβολής), έτσι βρίσκουμε μια άποψη σημείων (εικ. 1)

   Η κατάσταση αλλάζει (Εικ. Στη διαδικασία, είναι δυνατόν να υπολογίσετε ένα, καθώς και τη γωνία C, η οποία θα σας επιτρέψει να ελέγξετε τα αποτελέσματα χρησιμοποιώντας την κύρια τριγωνομετρική ταυτότητα cos 2.Α +.sIN 2.Α \u003d 1.

   Συγκρίνοντας τις μετρήσεις του πρώτου και στη δεύτερη περίπτωση, μπορείτε να βρείτε τον συντελεστή της αναλογικότητας. Ακολούθως, παίρνουμε ένα σχέδιο και στη συνέχεια γλυπτική, όταν σηκώθηκε η οποία μια οπτικά φιγούρα θα είναι κοντά στο ιδανικό.

   https://pandia.ru/text/78/114/images/image037_18.gif "πλάτος \u003d" 162 "Ύψος \u003d" 101 "\u003e. GIF" πλάτος \u003d "108 Ύψος \u003d 132" Ύψος \u003d "132"\u003e

   Τριγωνομετρία στην ιατρική και τη βιολογία.

   Μοντέλο Biorithm

   Το μοντέλο των βιορυθμών μπορεί να κατασκευαστεί χρησιμοποιώντας τριγωνομετρικές λειτουργίες. Για να δημιουργήσετε ένα μοντέλο biorhythms, πρέπει να εισαγάγετε την ημερομηνία γέννησης ενός ατόμου, την ημερομηνία αναφοράς (ημέρα, μήνα, έτος) και τη διάρκεια της πρόβλεψης (αριθμός ημερών).

   Κίνηση ψαριών στο νερό Εμφανίζεται σύμφωνα με το νόμο του Sinus ή της Cosine, εάν διορθώσετε το σημείο στην ουρά, και στη συνέχεια εξετάστε την τροχιά της κίνησης. Όταν κολυμπήστε, το σώμα των ψαριών παίρνει το σχήμα της καμπύλης, το οποίο μοιάζει με το γράφημα της λειτουργίας y \u003d tgx.

   Καρδιά τύπου

   Ως αποτέλεσμα μιας μελέτης που διεξήχθη από το Πανεπιστήμιο του Ιρανού Shiraz Vakhid-Cut Abbashi, Οι γιατροί έχουν πρώτα την ευκαιρία να εξορθολογήσουν τις πληροφορίες σχετικά με την ηλεκτρική δραστηριότητα της καρδιάς ή, με άλλα λόγια, ηλεκτροκαρδιογραφία.
   Ο τύπος που ονομάζεται Tehran, εκπροσωπήθηκε από την ευρεία επιστημονική κοινότητα στο 14ο Συνέδριο Γεωγραφικής Ιατρικής και στη συνέχεια στο 28ο συνέδριο σχετικά με την εφαρμογή της μηχανικής ηλεκτρονικών υπολογιστών στην Καρδιολογία, που πραγματοποιήθηκε στις Κάτω Χώρες. Αυτός ο τύπος είναι μια πολύπλοκη αλγεβρική τριγωνομετρική ισότητα που αποτελείται από 8 εκφράσεις, 32 συντελεστές και 33 των κύριων παραμέτρων, συμπεριλαμβανομένων αρκετών πρόσθετων υπολογισμών σε περιπτώσεις αρρυθμίας. Σύμφωνα με τους γιατρούς, αυτός ο τύπος διευκολύνει σε μεγάλο βαθμό τη διαδικασία περιγραφής των βασικών παραμέτρων της καρδιάς, επιταχύνοντας, συνεπώς, τη διαμόρφωση της διάγνωσης και την αρχή της ίδιας της θεραπείας.

   Η τριγωνομετρία βοηθά τον εγκέφαλό μας να καθορίσει τις αποστάσεις σε αντικείμενα.

   Οι Αμερικανοί επιστήμονες ισχυρίζονται ότι ο εγκέφαλος εκτιμά την απόσταση από αντικείμενα, μετρώντας τη γωνία μεταξύ του επιπέδου της γης και του επιπέδου προβολής. Η αυστηρά μιλώντας, η ιδέα των "γωνιών μέτρησης" δεν είναι καινούργια. Περισσότεροι καλλιτέχνες της αρχαίας Κίνας ζωγραφισμένα απομακρυσμένα αντικείμενα πάνω στον οπτικό πεδίο, κάπως παραμέληση των προοπτικών. Διατύπωσε τη θεωρία του προσδιορισμού της εξ αποστάσεως εκτίμησης των γωνιών αραβικός επιστήμονας του αλγεέζοντος του XI αιώνα. Μετά από μια μακρά λήθη στα μέσα του περασμένου αιώνα, η ιδέα αναζωογονεί τον ψυχολόγο James Gibson, ο οποίος έχτισε τα συμπεράσματά του με βάση την εμπειρία με πιλότους στρατιωτικής αεροπορίας. Ωστόσο, μετά τη θεωρία

   Ξεχάσατε και πάλι.

   Τα αποτελέσματα της νέας έρευνας, όπως μπορεί να υποτεθεί, δεν θα είναι απαραίτητο για τους μηχανικούς, την κατασκευή συστημάτων πλοήγησης για ρομπότ, καθώς και ειδικούς που εργάζονται για τη δημιουργία των πιο ρεαλιστικών εικονικών μοντέλων. Οι εφαρμογές στον τομέα της ιατρικής είναι δυνατές, με την αποκατάσταση ασθενών με ζημιά σε ορισμένες περιοχές του εγκεφάλου.

   3.2 Γραφικές παραστάσεις σχετικά με τον μετασχηματισμό "Μικρές ενδιαφέρουσες" τριγωνομετρικές λειτουργίες σε αρχικές καμπύλες.

   

   Καμπύλες στις πολικές συντεταγμένες.

   από. 16is. δεκαεννέα Πρίζες.

   Στις πολικές συντεταγμένες, επιλέγεται ένα μόνο τμήμα ΜΙ, Πόλο Ο και πολικός άξονας Ω. Η θέση οποιουδήποτε σημείου Μ προσδιορίζεται από την πολική ακτίνα και την πολική γωνία J που σχηματίζεται από τη δέσμη OHM και την δέσμη OH. Ο αριθμός R εκφράζει το μήκος του OM μέσω ΜΙ. (Om \u003d R) και η αριθμητική τιμή μιας γωνίας J, εκφρασμένη σε βαθμούς ή ακτίνες, ονομάζονται πολικές συντεταγμένες του σημείου Μ.

   Για οποιοδήποτε σημείο διαφορετικό από το σημείο o, μπορεί να θεωρηθεί 0≤J<2p и r>0. Ωστόσο, κατά την κατασκευή καμπυλών που αντιστοιχούν στις εξισώσεις της μορφής r \u003d f (j), η μεταβλητή j συνδέεται φυσικά τυχόν τιμές (συμπεριλαμβανομένων των αρνητικών και άνω των 2p) και το R μπορεί να είναι τόσο θετικό όσο και αρνητικό.

   Για να βρούμε ένα σημείο (J, R), θα πραγματοποιήσουμε από το σημείο της δέσμης, σχηματίζοντας τον άξονα της γωνίας J και αναβάλλεται σε αυτό (στο R\u003e 0) ή στη συνέχιση της προς την αντίθετη κατεύθυνση ( στο r\u003e 0) το τμήμα ½ r ½.

   Όλα θα απλουστευθούν σημαντικά εάν κατασκευάζετε πρώτα ένα πλέγμα συντεταγμένων που αποτελείται από ομόκεντρους κύκλους με ακτίνα Ε, 2Ε, 3Ε, κλπ. (Με το κέντρο του πόλου Ο) και τις ακτίνες για τις οποίες J \u003d 0 °, 10 °, 20 ° ..., 340 °, 350 °. Αυτές οι ακτίνες θα είναι κατάλληλες για το j<0°, и при j>360 °. Για παράδειγμα, σε J \u003d 740 ° και σε J \u003d -340 °, θα πέσουμε στη δέσμη για την οποία j \u003d 20 °.

   Η μελέτη αυτών των γραφημάτων βοηθάει Πρόγραμμα Υπολογιστών "Λειτουργίες και Χάρτες". Χρησιμοποιώντας τις δυνατότητες αυτού του προγράμματος, διερευνούμε μερικά ενδιαφέροντα γραφήματα τριγωνομετρικών λειτουργιών.

   1 . Εξετάζουμε τις καμπύλες που δόθηκαν από τις εξισώσεις:r \u003d.Α +.sIN3.Ι.

   I. r \u003d sin3j (τριφύλλι ) (Εικ.1)

   Ii. R \u003d 1/2 + sin3j (σχήμα 2), iii. R \u003d 1 + SIN3J (Σχήμα 3), R \u003d 3/2 + SIN3J (Σχήμα 4).

   Η καμπύλη IV είναι η μικρότερη τιμή του R \u003d 0,5 και τα πέταλα έχουν μια ημιτελή εμφάνιση. Έτσι, με ένα\u003e 1, τα πέταλα του τρίχρωσης έχουν μια ημιτελή εμφάνιση.

   2.Κατάρες καμπύλες σε ένα \u003d 0; 1/2; 1 · 3/2.

   Όταν ένα \u003d 0 (Σχήμα 1), σε Α \u003d 1/2 (Σχήμα 2), όταν ένα \u003d 1 (Εικ. 3), τα πέταλα έχουν τελικό τύπο, με ένα \u003d 3/2, θα υπάρχουν πέντε ημιτελή λοβούς., (Ρύζι.

   3. Γενικά, η καμπύληr \u003d https: //pandia.ru/text/78/114/images/image042_15.gif "πλάτος \u003d" 45 Ύψος \u003d 41 "Ύψος \u003d" 41 "\u003e), επειδή στον τομέα αυτό 0 ° ≤≤180 ° .. gif "πλάτος \u003d" 20 "Ύψος \u003d" 41 "\u003e gif" πλάτος \u003d "16" Ύψος \u003d "41"\u003e Για ένα πέταλο θα χρειαστεί ένας "τομέας" που υπερβαίνει τα 360 °.

   Στο Fig1-4 δείχνει τον τύπο των πετάλων στο \u003d https: //pandia.ru/text/78/114/images/image044_13.gif "πλάτος \u003d" 16 "Ύψος \u003d" 41 SRC \u003d "\u003e. GIF" πλάτος \u003d " 16 "Ύψος \u003d" 41 SRC \u003d "\u003e.

   4. EURASIES που βρέθηκαν από τη γερμανική μαθηματική-φυσιοδίφης HabenichtΓια γεωμετρικά σχήματα που βρίσκονται στον κόσμο των φυτών. Για παράδειγμα, οι εξισώσεις R \u003d 4 (1 + COS3J) και R \u003d 4 (1 + COS3J) + 4SIN23J αντιστοιχούν στις καμπύλες που απεικονίζονται στο ΣΧ. 1.2.

   Καμπύλες στις καρτεσιανές συντεταγμένες.

   Καμπύλες Lissa.

   Πολλές ενδιαφέρουσες καμπύλες μπορούν να κατασκευαστούν σε καρτεσιανές συντεταγμένες. Οι καμπύλες, οι εξισώσεις των οποίων δίδονται σε παραμετρική μορφή, φαίνονται ιδιαίτερα ενδιαφέροντα.

   Όπου η πιο βοηθητική μεταβλητή (παράμετρος). Για παράδειγμα, εξετάστε τις καμπύλες Lissa, που χαρακτηρίζονται από τη γενική περίπτωση με εξισώσεις:

   

   Εάν χρειάζεστε χρόνο για την παράμετρο T, τότε οι αριθμοί του Lissen θα είναι το αποτέλεσμα της προσθήκης δύο αρμονικών ταλαντωμένων κινήσεων που πραγματοποιούνται σε αμοιβαία κάθετες κατευθύνσεις. Γενικά, η καμπύλη βρίσκεται μέσα στο ορθογώνιο με τα μέρη 2Α και 2Β.

   Εξετάστε αυτό στα ακόλουθα παραδείγματα.

   I. x \u003d sin3t; y \u003d SIN 5T (Εικ.1)

   Ii. x \u003d SIN 3T; Y \u003d cos 5t (Εικ. 2)

   III. x \u003d SIN 3T; y \u003d SIN 4T (Εικ. 3)

   Οι καμπύλες μπορούν να κλείσουν και να ξεσπάσουν.

   Για παράδειγμα, η αντικατάσταση των εξισώσεων i με εξισώσεις: x \u003d SIN 3T; Y \u003d sin5 (t + 3) μετατρέπει μια μειωμένη καμπύλη σε μια κλειστή καμπύλη (Εικ.4)

   Ενδιαφέρουσα και ιδιόμορφη γραμμή που αντιστοιχεί στις εξισώσεις της φόρμας

   w.\u003d arcsin (sin k (x-ΕΝΑ.)).

   Από την εξίσωση Y \u003d Arcsin (SINX) ακολουθεί:

   1) και 2) siny \u003d sinx.

   Με τις δύο αυτές συνθήκες ικανοποιεί τη λειτουργία y \u003d x. Βρίσκεται στο πρόγραμμα διαστήματος (- https: //pandia.ru/text/78/114/images/image053_13.gif "πλάτος \u003d" 77 "Ύψος \u003d" 41 "\u003e Θα έχουμε y \u003d p-x, από την αμαρτία ( px) \u003d sinx και σε αυτό το διάστημα

   . Εδώ το χρονοδιάγραμμα απεικονίζεται από ένα τμήμα του αεροσκάφους.

   Δεδομένου ότι η σωματιδιακή-περιοδική λειτουργία με περίοδο 2Ρ, στη συνέχεια το σπασμένο ABC, που χτίστηκε στο διάστημα (), θα επαναληφθεί σε άλλους ιστότοπους.

   Η εξίσωση EQ \u003d Arcsin (Sinkx) θα αντιστοιχεί στη διακεκομμένη γραμμή με μια περίοδο https://pandia.ru/text/78/114/images/image058_13.gif "πλάτος \u003d" 79 Ύψος \u003d 48 "Ύψος \u003d" 48 "\u003e

   Ικανοποιήστε τις συντεταγμένες των σημείων που ταυτόχρονα πάνω από τα ημιτονοειδή (για αυτούς\u003e SINX) και κάτω από την καμπύλη y \u003d -sinx, δηλ. Το σύστημα "Περιοχή αποφάσεων" θα αποτελείται από ζωγραφισμένα στο σχήμα 1 περιοχές.

   2.Η ανισότητα

   1) (y-sinx) (y + sinx)<0.

   Για την επίλυση αυτής της ανισότητας, κατασκευάζουμε πρώτα γραφήματα λειτουργιών: y \u003d sinx; y \u003d -sinx.

   Στη συνέχεια, ζωγραφίστε περιοχές όπου y\u003e sinx και ταυτόχρονα y<-sinx; затем закрашиваем области, где y< sinx и одновременно y>-sinx.

   Αυτή η ανισότητα θα ικανοποιήσει περιοχές ζωγραφισμένα στο Σχ. 2

   2) (Y2-Arcsin2 (Sinx)) (Y2-Arcsin2 (SIN (X + (x +)))<0

   Ας στραφούμε στην ακόλουθη ανισότητα:

   (Y-Arcsin (Sinx)) (Y + Arcsin (Sinx)) (Y-Arcsin (SIN (X + (x +))) (Y + Arcsin (SIN (X +))}<0

   Για την επίλυση αυτής της ανισότητας, κατασκευάζουμε πρώτα γραφήματα λειτουργιών: y \u003d ± ± arcsin (sinx); y \u003d ± arcsin (SIN (X + )) .

   Θα κάνουμε έναν πίνακα πιθανών λύσεων.

   1 παράγοντας Έχει ένα σημάδι	2 παράγοντα Έχει ένα σημάδι	3 πολλαπλασιαστή Έχει ένα σημάδι	4 πολλαπλασιαστή Έχει ένα σημάδι

   Στη συνέχεια, θεωρούμε και ζωγραφίζουμε τις λύσεις των ακόλουθων συστημάτων.

   ) και | y |\u003e SIN (x-) |.

   2) Ο δεύτερος πολλαπλασιαστής είναι μικρότερος από το μηδέν, t...gif "πλάτος \u003d" 17 "Ύψος \u003d" 41 "\u003e) |

   3) Ο τρίτος πολλαπλασιαστής είναι μικρότερος από το μηδέν, δηλ. | Y |<|sin(x-)|, другие множители положительны, т. е. |y|>| SINX | και | Y |\u003e SIN (x + μαθησιακές κλάσεις "href \u003d" / κείμενο / κατηγορία / uchebnie_distciplini / "rel \u003d" σελιδοδείκτη\u003e

   Η χρήση του προγράμματος μοντελοποίησης και των γραφικών έχει επεκταθεί σημαντικά τις δυνατότητες διεξαγωγής έρευνας, κατέστησε δυνατή την υλοποίηση της γνώσης κατά την εξέταση των εφαρμογών τριγωνομετρίας στη φυσική. Χάρη σε αυτό το πρόγραμμα, πραγματοποιήθηκαν εργαστηριακές μελέτες ηλεκτρονικών υπολογιστών μηχανικών ταλαντώσεων στο παράδειγμα των ταλαντώσεων εκκρεμών, εξετάστηκαν ταλαντώσεις στο ηλεκτρικό κύκλωμα. Η χρήση ενός προγράμματος υπολογιστή επέτρεψε τη διερεύνηση ενδιαφερόντων μαθηματικών καμπυλών όπως ορίζεται χρησιμοποιώντας τριγωνομετρικές εξισώσεις και την κατασκευή γραφημάτων σε πολικές και απελπιστικές συντεταγμένες. Το γραφικό διάλυμα τριγωνομετρικών ανισοτήτων οδήγησε στην εξέταση των ενδιαφερόντων μαθηματικών στολίων.

   5. Χρησιμοποιείται βιβλιογραφία.

   1 .., Atanasov μαθηματικές εργασίες με πρακτικό περιεχόμενο: kn. για δάσκαλο.: Διαφωτισμός, σ.

   2 .. Vilenkin στη φύση και την τεχνολογία: kn. Για εξωσχολική ανάγνωση, ix-x kl.-m.: Διαφωτισμός, 5c (ο κόσμος της γνώσης).

   3. Εσωτερικό παιχνίδι και διασκέδαση. κατάσταση ed. Fiz Mat. Ανάβει. M, 9μμ.

   4 .. Λογότυπα τριγωνομετρίας για τεχνικές σχολές. κατάσταση ed. Τεχνική και θεωρητική λιθ. Μ., 1956.

   5. kn. Για εξωσχολική ανάγνωση στα μαθηματικά στο γυμνάσιο. κατάσταση Εκπαιδευτικό και PED. ed. Λεπτό. Πλεονεκτήματα. Rf, Μ., Σελ.

   6., Tarakanova τριγωνομετρία. 10 cl .. - m.: Drop, p.

   7. Σχετικά με την τριγωνομετρία και όχι μόνο για αυτό: Επίδομα για φοιτητές 9-11 κύτταρα .. -: Διαφωτισμός, 1996-80γ.

   8. Εργασίες Shapiro με πρακτικό περιεχόμενο στα διδακτικά μαθηματικά. Kn. για δάσκαλο. - Μ.: Διαφωτισμός, 1990-96c.

   Ευθυγράμμιση \u003d Κέντρο\u003e

   Τριγωνομετρία - Michematician Micro-site, στην οποία μελετώνται οι εξάρσεις μεταξύ των τιμών των γωνιών και των μέσων των πλευρών των τριγώνων, καθώς και αλγεβρικές ταυτότητες τριγωνομετρικών λειτουργιών.
   Υπάρχουν πολλές περιοχές στις οποίες εφαρμόζονται τριγωνομετρία και τριγωνομετρικές λειτουργίες. Οι τριγωνομετρικές ή τριγωνομετρικές λειτουργίες χρησιμοποιούνται στην αστρονομία, στη θάλασσα και την αεροναυτιλία, στην ακουστική, στην οπτική, στην ηλεκτρονική, στην αρχιτεκτονική και σε άλλες περιοχές.
   

   Η ιστορία της δημιουργίας τριγωνομετρίας

   Η ιστορία της τριγωνομετρίας, ως οι επιστήμες των σχέσεων μεταξύ των γωνιών και των πλευρών του τριγώνου και άλλων γεωμετρικών σχημάτων, καλύπτει περισσότερες από δύο χιλιετίες. Οι περισσότερες από αυτές τις σχέσεις δεν μπορούν να εκφραστούν χρησιμοποιώντας συμβατικές αλγεβρικές πράξεις και επομένως ήταν απαραίτητο να εισαχθούν ειδικές τριγωνομετρικές λειτουργίες, αρχικά καταρτίστηκαν με τη μορφή αριθμητικών πινάκων.
   Οι ιστορικοί πιστεύουν ότι η τριγωνομετρία δημιούργησε αρχαίους αστρονόμους, άρχισε να το χρησιμοποιεί λίγο αργότερα στην αρχιτεκτονική. Με την πάροδο του χρόνου, η περιοχή εφαρμογής της τριγωνομετρίας επεκτείνεται συνεχώς, σήμερα περιλαμβάνει σχεδόν όλες τις φυσικές επιστήμες, τον εξοπλισμό και έναν αριθμό άλλων τομέων δραστηριότητας.
   

   Αιώνας

   Από τα Μωβυλωνιακά Μαθηματικά, η συνήθης μέτρηση των γωνιών των βαθμών, των πρακτικών και των δευτερολέπτων (η εισαγωγή αυτών των μονάδων στα αρχαία ελληνικά μαθηματικά συνήθως αποδίδεται στον ΙΙ αιώνα π.Χ.).
   

   Το κύριο επίτευγμα αυτής της περιόδου ήταν η αναλογία των καθεθροιδίων και των υπογονόντων σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο, έλαβε αργότερα το όνομα του θεώρημα Pytagora.

   Αρχαία Ελλάδα

   Η γενική και λογικά συνδεδεμένη δήλωση τριγωνομετρικών αναλογιών εμφανίστηκε στην αρχαία ελληνική γεωμετρία. Οι Έλληνες μαθηματικοί δεν έχουν ακόμη απομακρυνθεί μια τριγωνομετρία ως ξεχωριστή επιστήμη, γι 'αυτούς ήταν μέρος της αστρονομίας.
   Το κύριο επίτευγμα μιας αντίκες τριγωνομετρικής θεωρίας ήταν η λύση στη συνολική μορφή του προβλήματος των "λύσεων των τριγώνων", δηλαδή η εξεύρεση άγνωστων στοιχείων του τριγώνου, με βάση τα τρία στοιχεία που δόθηκαν στα στοιχεία του (εκ των οποίων τουλάχιστον ένα είναι το πάρτι).
   Οι εφαρμοζόμενες τριγωνομετρικές εργασίες διακρίνονται από μια μεγάλη ποικιλία - για παράδειγμα, τα αποτελέσματα των ενεργειών πάνω από τις αναφερόμενες τιμές (για παράδειγμα, το άθροισμα των γωνιών ή ο λόγος των μήκους των πλευρών) μπορούν να καθοριστούν στην πράξη.
   Παράλληλα με την ανάπτυξη της τριγωνομετρίας του ελληνικού αεροπλάνου, υπό την επιρροή της αστρονομίας, η σφαιρική τριγωνομετρία ήταν πολύ προχωρημένη. Στην "αρχή" Euclidea σε αυτό το θέμα, υπάρχει μόνο το θεώρημα της θεραπείας των όγκων των μπάλες διαφορετικών διαμέτρων, αλλά οι ανάγκες της αστρονομίας και της χαρτογραφίας προκάλεσαν την ταχεία ανάπτυξη της σφαιρικής τριγωνομετρίας και περιοχών που σχετίζονται με αυτό - τα συστήματα Από τις ουράνιες συντεταγμένες, τη θεωρία της χαρτογραφικής προβολής, την τεχνολογία των αστρονομικών οργάνων.

   Μεσαίωνας

   Τον 4ο αιώνα, μετά το θάνατο της αρχαίας επιστήμης, το Κέντρο Ανάπτυξης Μαθηματικών μετακόμισε στην Ινδία. Αλλάζουν κάποια έννοια τριγωνομετρία, φέρνοντάς τα σε σύγχρονο: για παράδειγμα, εισήχθησαν για πρώτη φορά στη χρήση της συνάλτας.

   Η πρώτη εξειδικευμένη πραγματεία για την τριγωνομετρία ήταν ένα δοκίμιο του επιστήμονα της Κεντρικής Ασίας (X-XI αιώνα) "Βιβλίο κλειδιών της επιστήμης αστρονομίας" (995-996). Η όλη πορεία της τριγωνομετρίας περιείχε το κύριο έργο του Al-Biruni - "Canon Masday" (Βιβλίο III). Εκτός από τους πίνακες κόλπων (με αυξήσεις 15 "), ο Al-Biruni έδωσε πίνακες εφαπτόμενης (με βήματα 1 °).
   

   

   Μετά τις αραβικές μεταποιήσεις μεταφράστηκαν στα λατινικά στους αιώνες XII-XIII, πολλές ιδέες των ινδικών και των περσικών μαθηματικών έγιναν ιδιοκτησία της ευρωπαϊκής επιστήμης. Προφανώς, η πρώτη γνωριμία των Ευρωπαίων με τριγωνομετρία έλαβε χώρα λόγω του Zija, οι δύο μεταφράσεις των οποίων πληρούνται στον XII αιώνα.
   

   

   Η πρώτη ευρωπαϊκή σύνθεση, εξ ολοκλήρου αφιερωμένη στην τριγωνομετρία, συχνά αναφέρεται ως "τέσσερις γρασές σχετικά με τις άμεσες και αντιμετωπισμένες χορδές" της Αγγλικής Αστρονόμας Richard Wallingford (περίπου 1320). Τριγωνομετρικά τραπέζια, που συχνά μεταφράζονται από τα αραβικά, αλλά μερικές φορές πρωτότυπες, περιέχονται στα γραπτά πολλών συγγραφέων των αιώνων XIV-XV. Στη συνέχεια, η τριγωνομετρία πραγματοποιήθηκε ανάμεσα στα πανεπιστημιακά μαθήματα.

   Νέος χρόνος

   Η ανάπτυξη της τριγωνομετρίας στη νέα στιγμή έχει γίνει εξαιρετικά σημαντική όχι μόνο για την αστρονομία και την αστρολογία, αλλά και για άλλες εφαρμογές, κυρίως πυροβολικό, οπτική και πλοήγηση με απομακρυσμένους θαλασσούς. Ως εκ τούτου, μετά τον XVI αιώνα, πολλοί εξαιρετικοί επιστήμονες ασχολήθηκαν σε αυτό το θέμα, όπως το Nikolai Copernicus, Johann Kepler, Francois Viet. Copernicus αφιερωμένη τριγωνομετρία δύο κεφάλαια στην πραγματεία του "στην περιστροφή των σφαίρων του ουρανού" (1543). Σύντομα (1551) υπήρχαν 15ψήφια τριγωνομετρικά τραπέζια του Retik, ο φοιτητής του Copernicus. Η Kepler δημοσίευσε το έργο "οπτικό τμήμα της αστρονομίας" (1604).
   

   

   Το πρώτο μέρος του "μαθηματικού Canon" του (1579) έβαλε μια ποικιλία πινάκων, συμπεριλαμβανομένης της τριγμονομετρικής και στο δεύτερο μέρος έδωσε λεπτομερή και συστηματική, αν και χωρίς στοιχεία, την παρουσίαση της επίπεδης και σφαιρικής τριγωνομετρίας. Το 1593, η Viet προετοίμασε μια εκτεταμένη δημοσίευση αυτής της κεφαλαιακής εργασίας.
   Χάρη στα έργα του Albrecht Dürer, εμφανίστηκε ένας sinusoid στον κόσμο.

   Xviii αιώνα

   Ο σύγχρονος τύπος τριγωνομετρίας έδωσε. Στη θεραπεία "Εισαγωγή στην ανάλυση του άπειρου" (1748), ο Euler έκανε τον ορισμό των τριγωνομετρικών λειτουργιών που ισοδυναμεί με τη σύγχρονη και, κατά συνέπεια, εντόπισε τις αντίστροφες λειτουργίες.
   

   

   Το Euler θεωρείται ως επιτρεπτό αρνητικές γωνίες και γωνίες, μεγάλες 360 °, γεγονός που επέτρεψε την ταυτοποίηση τριγωνομετρικών λειτουργιών σε μια ολόκληρη πραγματική αριθμητική γραμμή και στη συνέχεια να τις συνεχίσει σε ένα πολύπλοκο επίπεδο. Όταν προέκυψε το ερώτημα σχετικά με τη διανομή τριγωνομετρικών λειτουργιών στις ηλίθιες γωνίες, τα σημάδια αυτών των λειτουργιών μέχρι το Euler συχνά εκλέχθηκαν εσφαλμένα. Πολλοί μαθηματικοί σκέφτονται, για παράδειγμα, συνΐνη και μια ανόητη γωνία. Ο Euler καθόρισε αυτά τα σημάδια για γωνίες σε διαφορετικά τεταρτημόρια συντονισμού, με βάση τους τύπους φέρνοντας.
   Η γενική θεωρία των τριγωνομετρικών σειρών Euler δεν ήταν αφοσιωμένη και η σύγκλιση των ληφθεισών σειράς δεν ερευνούσε, αλλά έλαβε πολλά σημαντικά αποτελέσματα. Συγκεκριμένα, έφερε την αποσύνθεση όλων των βαθμών του κόλπου και της συνάλτας.

   Εφαρμογή της τριγωνομετρίας

   Με τον τρόπο τους, εκείνοι που λένε ότι η τριγωνομετρία στην πραγματική ζωή δεν απαιτείται. Λοιπόν, ποια είναι τα συνηθισμένα εφαρμοσμένα καθήκοντά του; Μετρήστε την απόσταση μεταξύ των απρόσιτων αντικειμένων.
   Η τεχνική της τριγωνισμού έχει μεγάλη σημασία, η οποία επιτρέπει τη μέτρηση των αποστάσεων στα κοντινά αστέρια στην αστρονομία, μεταξύ των σημείων αναφοράς στη γεωγραφία, τα συστήματα δορυφορικής πλοήγησης ελέγχου. Θα πρέπει επίσης να σημειωθεί η χρήση τριγωνομετρίας σε περιοχές όπως η τεχνική πλοήγησης, η θεωρία μουσικής, η ακουστική, η οπτική, η ανάλυση της χρηματοπιστωτικής αγοράς, η ηλεκτρονική, η θεωρία πιθανοτήτων, τα στατιστικά στοιχεία, η βιολογία, η ιατρική (συμπεριλαμβανομένης της έρευνας υπερήχων (υπερηχογράφημα) και της φαρμακευτικής τομογραφίας) , η Θεωρία των Αριθμών (και, ως αποτέλεσμα, κρυπτογραφία), σεισμολογία, μετεωρολογία, ωκεανολογία, χαρτογραφία, πολλά τμήματα φυσικής, τοπογραφίας και γεωδαισίας, αρχιτεκτονικής, φωνητικής, οικονομίας, ηλεκτρονικός εξοπλισμός, μηχανική μηχανική, γραφικά υπολογιστών, κρυστάλλια , και τα λοιπά.
   Παραγωγή: Η τριγωνομετρία είναι ένας τεράστιος βοηθός στην καθημερινή μας ζωή.

   Mbou Virgin Sochh

   Έκθεση τριγωνομετρίας στην πραγματική ζωή

   Προετοιμασμένοι και δαπανώνται

   μαθηματικός δάσκαλος

   Κατηγορία προσόντων

   Ilina v.p.

   cenner Μάρτιος 2014.

   Πίνακας περιεχομένων.

   1. Εισαγωγή .

   2. Ιστορία της δημιουργίας τριγωνομετρίας:

   Πρώιμη αιώνα.

   Αρχαία Ελλάδα.

   Μεσαίωνας.

   Νέος χρόνος.

   Από την ιστορία της ανάπτυξης της σφαιρικής γεωμετρίας.

   3.Τροσεθνική και πραγματική ζωή:

   Τη χρήση τριγωνομετρίας στην πλοήγηση.

   Τριγωνομετρία στην άλγεβρα.

   Τριγωνομετρία στη φυσική.

   Τριγωνομετρία στην ιατρική και τη βιολογία.

   Τριγωνομετρία στη μουσική.

   Τριγωνομετρία στην επιστήμη των υπολογιστών

   Τριγωνομετρία στην κατασκευή και τη γεωδαισία.

   4. Συμπέρασμα .

   5. Αναφορές.

   Εισαγωγή

   Έχει εδραιωθεί στα μαθηματικά μια τέτοια πρακτική που, με μια συστηματική μελέτη των μαθηματικών, πρέπει να συναντηθούμε με τριγωνομετρία τρεις φορές. Κατά συνέπεια, το περιεχόμενό του φαίνεται να αποτελείται από τρία μέρη. Αυτά τα μέρη στην εκπαίδευση διαχωρίζονται μεταξύ τους και δεν είναι παρόμοιες μεταξύ τους, τόσο εντός της έννοιας στην εξήγηση των βασικών εννοιών όσο και για την ανεπτυγμένη συσκευή και στις επίσημες λειτουργίες (εφαρμογές).

   Και στην πραγματικότητα, για πρώτη φορά τριγωνομετρικό υλικό που συναντήσαμε στον βαθμό 8 όταν μελετάμε το θέμα "η σχέση μεταξύ των μερών και των γωνιών του ορθογώνιου τριγώνου". Έτσι μάθαμε τι ημιτονοειδές, συνημίωμα και εφαπτόμενη, έμαθαν να λύσουν επίπεδα τρίγωνα.

   Ωστόσο, περνάει λίγο και στην 9η τάξη επιστρέψαμε ξανά στην τριγωνομετρία. Αλλά αυτή η τριγωνομετρία δεν είναι παρόμοια με αυτή που μελετήθηκε νωρίτερα. Οι αναλογίες του προσδιορίζονται τώρα από την περιφέρεια (ενιαία ημικύκλες) και όχι ένα ορθογώνιο τρίγωνο. Αν και εξακολουθούν να ορίζονται ως οι λειτουργίες των γωνιών, αλλά αυτές οι γωνίες είναι ήδη αυθαίρετα μεγάλες.

   Πηγαίνοντας στην 10η τάξη, συναντήσαμε και πάλι την τριγωνομετρία και είδαμε ότι έγινε ακόμα πιο δύσκολη, η έννοια του γκολφ της ακτινοβολίας της γωνίας εισήχθη, διαφορετικά οι τριγωνομετρικές ταυτότητες φαίνονται και ο καθορισμός των καθηκόντων και η ερμηνεία των λύσεων τους. Γράφημα των τριγωνομετρικών λειτουργιών εισάγονται. Τέλος, εμφανίζονται τριγωνομετρικές εξισώσεις. Και όλο αυτό το υλικό εμφανίστηκε μπροστά μας ως μέρος της άλγεβρας και όχι ως γεωμετρία. Και έγινε πολύ ενδιαφέρον να μάθουμε το ιστορικό της τριγωνομετρίας, τη χρήση της στην καθημερινή ζωή, επειδή η χρήση των μαθηματικών εκπαιδευτικών ιστορικών πληροφοριών δεν είναι υποχρεωτική όταν παρουσιάζουν το υλικό μαθήματος. Ωστόσο, όπως υποδεικνύει ο Κ. Α. Malygin "... Εκδρομές στο ιστορικό παρελθόν αναζωογονούν ένα μάθημα, δίνουν απαλλαγή στην πνευματική ένταση, αυξήστε το ενδιαφέρον για το υλικό που μελετήθηκε και να συμβάλει στη διαρκή αφομοίωσή του." Επιπλέον, το υλικό για την ιστορία των μαθηματικών είναι πολύ εκτεταμένη και ενδιαφέρουσα, δεδομένου ότι η ανάπτυξη των μαθηματικών συνδέεται στενά με την επίλυση των επειγόντων καθηκόντων που προέκυψαν σε όλες τις περιόδους ύπαρξης πολιτισμού.

   Έχοντας μάθει για τις ιστορικές αιτίες της τριγωνομετρίας και εξετάζοντας τον τρόπο με τον οποίο οι καρποί των δραστηριοτήτων των μεγάλων επιστημόνων είχαν αντίκτυπο στην ανάπτυξη αυτού του τομέα των μαθηματικών και στην επίλυση συγκεκριμένων καθηκόντων, εμείς, στους μαθητές, αυξάνονται το ενδιαφέρον για το θέμα που μελετήθηκε, και Θα δούμε την πρακτική σημασία του.

   Στόχος του έργου - η ανάπτυξη ενδιαφέροντος για τη μελέτη του θέματος "τριγωνομετρία" γνωρίζει την άλγεβρα και την έναρξη της ανάλυσης μέσω του πρίσματος της εφαρμοσμένης αξίας του υλικού που μελετώνεται · επεκτείνοντας γραφικές παραστάσεις που περιέχουν τριγωνομετρικές λειτουργίες. Η χρήση τριγωνομετρίας σε τέτοιες επιστήμες ως φυσική, βιολογία κλπ.

   Επικοινωνία Τριγωνομετρία με τον περιβάλλοντα κόσμο, η αξία της τριγωνομετρίας στην επίλυση πολλών πρακτικών προβλημάτων, οι γραφικές δυνατότητες των τριγωνομετρικών λειτουργιών σας επιτρέπουν να "υλοποιήσετε" τη γνώση των μαθητών. Αυτό καθιστά δυνατή την καλύτερη κατανόηση της ζωτικής ανάγκης της γνώσης που αγοράστηκαν όταν μελετώντας την τριγωνομετρία αυξάνει το ενδιαφέρον για την εκμάθηση αυτού του θέματος.

   Ερευνητικά καθήκοντα:

   1.Παρακαλώ το ιστορικό της εμφάνισης και της ανάπτυξης της τριγωνομετρίας.

   2. Κατάλληλο για συγκεκριμένα παραδείγματα πρακτικές εφαρμογές τριγωνομετρίας σε διάφορες επιστήμες.

   3. Οθόνη σε συγκεκριμένα παραδείγματα της δυνατότητας χρήσης τριγονομονομετρικών λειτουργιών, επιτρέποντας τις "λίγες ενδιαφέρουσες" λειτουργίες να μετατραπούν σε λειτουργίες των οποίων τα γραφήματα έχουν μια πολύ πρωτότυπη εμφάνιση.

   "Ένα πράγμα παραμένει σαφές ότι ο κόσμος είναι τρομερός και όμορφος."

   Ν. Rubtsov

   Τριγωνομετρία - Αυτό το τμήμα των μαθηματικών, στο οποίο μελετώνται οι εξάρσεις μεταξύ των τιμών των γωνιών και των μέσων των πλευρών των τριγώνων, καθώς και οι αλγεβρικές ταυτότητες των τριγωνομετρικών λειτουργιών. Είναι δύσκολο να φανταστούμε, αλλά με αυτή την επιστήμη αντιμετωπίζουμε όχι μόνο στα μαθήματα των μαθηματικών, αλλά και στην καθημερινή μας ζωή. Δεν μπορούσαμε να το υποψιάζουμε, αλλά η τριγωνομετρία βρίσκεται στις επιστήμες όπως η φυσική, η βιολογία, παίζει επίσης στην ιατρική, και ότι το πιο ενδιαφέρον, χωρίς αυτό, δεν κοστίζει ούτε τη μουσική και την αρχιτεκτονική. Ένας σημαντικός ρόλος στην ανάπτυξη των δεξιοτήτων της εφαρμογής στην πρακτική της θεωρητικής γνώσης που αποκτήθηκε στη μελέτη των μαθηματικών παίζεται από καθήκοντα με πρακτικό περιεχόμενο. Κάθε μαθηματικά που μελετά, όπως και όπου η γνώση που αποκτήθηκε εφαρμόζεται. Την απάντηση σε αυτή την ερώτηση και δίνει αυτό το έργο.

   Η ιστορία της δημιουργίας τριγωνομετρίας

   Αιώνας

   Από τα Μωβυλωνιακά Μαθηματικά, η συνήθης μέτρηση των γωνιών των βαθμών, των πρακτικών και των δευτερολέπτων (η εισαγωγή αυτών των μονάδων στα αρχαία ελληνικά μαθηματικά συνήθως αποδίδεται στον ΙΙ αιώνα π.Χ.).

   Το κύριο επίτευγμα αυτής της περιόδου ήταν η αναλογία των καθεθροιδίων και των υποτινείων σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο, αργότερα έλαβε ένα όνομα.

   Αρχαία Ελλάδα

   Η γενική και λογικά συνδεδεμένη δήλωση τριγωνομετρικών αναλογιών εμφανίστηκε στην αρχαία ελληνική γεωμετρία. Οι Έλληνες μαθηματικοί δεν έχουν ακόμη απομακρυνθεί μια τριγωνομετρία ως ξεχωριστή επιστήμη, γι 'αυτούς ήταν μέρος της αστρονομίας.
   Το κύριο επίτευγμα μιας αντίκες τριγωνομετρικής θεωρίας ήταν η λύση στη συνολική μορφή του προβλήματος των "λύσεων των τριγώνων", δηλαδή η εξεύρεση άγνωστων στοιχείων του τριγώνου, με βάση τα τρία στοιχεία που δόθηκαν στα στοιχεία του (εκ των οποίων τουλάχιστον ένα είναι το πάρτι).

   
   Μεσαίωνας

   Τον 4ο αιώνα, μετά το θάνατο της αρχαίας επιστήμης, το Κέντρο Ανάπτυξης Μαθηματικών μετακόμισε στην Ινδία. Αλλάζουν κάποια έννοια τριγωνομετρία, φέρνοντάς τα σε σύγχρονο: για παράδειγμα, εισήχθησαν για πρώτη φορά στη χρήση της συνάλτας.
   Η πρώτη εξειδικευμένη πραγματεία για την τριγωνομετρία ήταν ένα δοκίμιο του επιστήμονα της Κεντρικής Ασίας (X-XI αιώνα) "Βιβλίο κλειδιών της επιστήμης αστρονομίας" (995-996). Η όλη πορεία της τριγωνομετρίας περιείχε το κύριο έργο του Al-Biruni - "Canon Masday" (Βιβλίο III). Εκτός από τους πίνακες κόλπων (με αυξήσεις 15 "), ο Al-Biruni έδωσε πίνακες εφαπτόμενης (με βήματα 1 °).

   Μετά τις αραβικές μεταποιήσεις μεταφράστηκαν στα λατινικά στους αιώνες XII-XIII, πολλές ιδέες των ινδικών και των περσικών μαθηματικών έγιναν ιδιοκτησία της ευρωπαϊκής επιστήμης. Προφανώς, η πρώτη γνωριμία των Ευρωπαίων με τριγωνομετρία έλαβε χώρα λόγω του Zija, οι δύο μεταφράσεις των οποίων πληρούνται στον XII αιώνα.

   Η πρώτη ευρωπαϊκή σύνθεση, εξ ολοκλήρου αφιερωμένη στην τριγωνομετρία, συχνά αναφέρεται ως "τέσσερις γρασές σχετικά με τις άμεσες και αντιμετωπισμένες χορδές" του αγγλικού αστρονόμου (περίπου 1320). Τριγωνομετρικά τραπέζια, που συχνά μεταφράζονται από τα αραβικά, αλλά μερικές φορές πρωτότυπες, περιέχονται στα γραπτά πολλών συγγραφέων των αιώνων XIV-XV. Στη συνέχεια, η τριγωνομετρία πραγματοποιήθηκε ανάμεσα στα πανεπιστημιακά μαθήματα.

   Νέος χρόνος

   Η λέξη "τριγωνομετρία" για πρώτη φορά βρίσκεται (1505 g) στα βιβλία τίτλου του Γερμανικού Θεολόγου και των Μαθηματικών του PITISCUS. Προτρέψτε αυτή τη λέξη ελληνική: Τρίγωνο, μέτρο. Με άλλα λόγια, η επιστήμη τριγωνομετρίας για τη μέτρηση των τριγώνων. Παρόλο που το όνομα προέκυψε σχετικά πρόσφατα, πολλές από τις έννοιες που αποδίδονται σήμερα στην τριγωνομετρία και τα γεγονότα έχουν ήδη γίνει γνωστά για δύο χιλιάδες χρόνια πριν.

   Η μακρά ιστορία έχει μια έννοια κόλπων. Στην πραγματικότητα, οι διαφορετικές αναλογίες των τμημάτων του τριγώνου και του κύκλου (και ουσιαστικά τριγωνομετρικές λειτουργίες) βρίσκονται ήδη σε ӏӏӏ in. προ ΧΡΙΣΤΟΥ Ε στα έργα των Μεγάλων Μαθηματικών της Αρχαίας Ελλάδας, της Ευκλειιδίας, του Αρχιμήδη, της Απολλωνίας Perga. Στη ρωμαϊκή περίοδο, αυτές οι σχέσεις έχουν ήδη μελετηθεί συστηματικά από το Menel (ӏ in. Π.Χ. Ε), αν και δεν απέχουν ένα ειδικό όνομα. Σύγχρονη γωνία μείον, για παράδειγμα, μελετήθηκε ως έργο του μισού άκρου, στην οποία βασίζεται η κεντρική γωνία μεγέθους, ή ως αμφιβολία τόξο.

   Κατά την επόμενη περίοδο, τα μαθηματικά για μεγάλο χρονικό διάστημα αναπτύσσονται πιο ενεργά από τους ινδικούς και τους αραβικούς επιστήμονες. Σε ӏV.- V. εκρηκτικός Εμφανίστηκε, ειδικότερα, ένας ειδικός όρος στα έργα της αστρονομίας του μεγάλου ινδικού επιστήμονα ariarabhat (476-ok 550), του οποίου το όνομα είναι ο πρώτος ινδικός δορυφόρος της γης.

   Αργότερα δόθηκε ένα πιο σύντομο όνομα του Jiva. Αραβικοί μαθηματικοί στο ΙΧ. σε. Η λέξη jiva (ή dzhiba) αντικαταστάθηκε από την αραβική λέξη jaib (διόγκωση). Όταν μεταφράζετε τα αραβικά μαθηματικά κείμενα στοXII. σε. Αυτή η λέξη αντικαταστάθηκε από τη λατινική κόλπο (Κόλπος.- Brace, καμπυλότητα)

   Η λέξη cosine είναι πολύ νεώτερη. Η Cosine είναι μια μείωση της λατινικής έκφρασηςΣυμμορφώνεται.Κόλπος., δηλ. "επιπλέον ημιτονοφόρο" (ή με άλλο τρόπο "επιπλέον arc κόλπο"; θυμηθείτεcos.ΕΝΑ.= αμαρτία.(90 ° - ΕΝΑ.)).

   Έχοντας αντιμετωπίσει τις τριγωνομετρικές λειτουργίες, αρχικά υπερβαίνουμε το καθήκον της "μέτρησης των τριγώνων". Σύμφωνα με αυτό, ο διάσημος μαθηματικός F. Klein (1849-1925) πρότεινε τη διδασκαλία σχετικά με τις "τριγωνομετρικές" λειτουργίες που ονομάζεται anach-goniometry (γωνία). Ωστόσο, αυτό το όνομα δεν υπέπεσε σε υπέροχο.

   Εγγυημένα προέκυψαν λόγω της λύσης του προβλήματος του προσδιορισμού του μήκους της σκιάς. Εφαπτομένη (καθώς και kotangenes, συνεδρία και costerans) που εισήχθησανΧ. σε. Αραβικά Μαθηματικά Abu L-Wafa, που ήταν οι πρώτοι πίνακες για την εξεύρεση εφαπτόμενων και κοτοφωνικών στοιχείων. Ωστόσο, αυτά τα ανοίγματα παρέμειναν άγνωστοι ευρωπαίοι επιστήμονες για μεγάλο χρονικό διάστημα, και τα εφαπτόμενα ανοίχτηκαν στοXIV σε. Πρώτον, αγγλικοί επιστήμονες Τ. Braverdin, και αργότερα από το γερμανικό μαθηματικό, έναν αστρονόμο των περιφερειακών (1467 g). Το όνομα "εφαπτομένη" που προέρχεται από τη λατινική γλώσσαtanger. (ενδιαφερόμενοι), εμφανίστηκε το 1583Πλέγμα. μεταφράστηκε ως "σχετικά με" (θυμηθείτε: η γραμμή των εφαπτομένων είναι εφαπτόμενη σε έναν μόνο κύκλο)

   Σύγχρονα σύμβολαarcsin. και arctg. Εμφανίζονται το 1772 στα έργα του Sherfer των μαθηματικών της Βιέννης και του διάσημου γαλλικού επιστήμονα J.L.L.L.L., αν και έχω ήδη εξετάσει λίγους νωρίτερα. Αλλά γενικά αποδεκτή αυτούς τους χαρακτήρες έγιναν μόνο στο τέλοςXviι. αιώνας. Το πρόθεμα "Κιβωτός" προέρχεται από τη ΛατινικήarcusΧ., για παράδειγμα, είναι μια γωνία (και μπορείτε να πείτε, το τόξο), του οποίου ο κόλπος είναι ίσοςΧ..

   Η παρατεταμένη τριγωνομετρία αναπτύχθηκε ως μέρος της γεωμετρίας, δηλ. Τα γεγονότα που διαμορφώνουμε τώρα από την άποψη των τριγωνομετρικών λειτουργιών διατυπώνονται και αποδεικνύονται με τη βοήθεια γεωμετρικών εννοιών και ισχυρισμών. Ίσως τα μεγαλύτερα κίνητρα για την ανάπτυξη της τριγωνομετρίας που προέκυψαν λόγω της λύσης των καθηκόντων της αστρονομίας, το οποίο ήταν εξαιρετικό πρακτικό ενδιαφέρον (για παράδειγμα, για την επίλυση των καθηκόντων καθορισμού της θέσης του σκάφους, τις προβλέψεις των εκλείψεων και του ε, )

   Οι αστρονόμοι ενδιαφέρονται για τη σχέση μεταξύ των πλευρών και των γωνιών των σφαιρικών τριγώνων που αποτελούνται από μεγάλους κύκλους που βρίσκονται στη σφαίρα. Και πρέπει να σημειωθεί ότι τα μαθηματικά της αρχαιότητας αντιμετώπισαν επιτυχώς με τα καθήκοντα, σημαντικά πιο δύσκολο από το έργο στην επίλυση επίπεδων τριγώνων.

   Σε κάθε περίπτωση, σε μια γεωμετρική μορφή, πολλοί από τους τύπους που είναι γνωστές σε εμάς, τριγωνομετρία άνοιξε και μετακινήθηκε ο αρχαίος ελληνικός, ινδός, αραβικοί μαθηματικοί (ωστόσο, οι τύποι της διαφοράς των τριγωνομετρικών λειτουργιών έγιναν γνωστές μόνο στοXvӀ V. - τα έφεραν στα αγγλικά μαθηματικά να μην απλοποιήσουν ποτέ τους υπολογισμούς με τριγωνομετρικές λειτουργίες. Και το πρώτο σχέδιο του sinusoid εμφανίστηκε το 1634)

   Της βασικής σημασίας ήταν η σύνταξη του K.Tolem του πρώτου πίνακα κόλπων (ονομάζεται πίνακας χορδής): εμφανίστηκαν ένα πρακτικό μέσο επίλυσης ορισμένων εφαρμοσμένων εργασιών και πρώτα απ 'όλα τα καθήκοντα της αστρονομίας.

   Όταν ασχολούνται με έτοιμα τραπέζια, ή χρησιμοποιώντας την αριθμομηχανή, συχνά δεν σκέφτομαι ποια ήταν η εποχή που οι πίνακες δεν έχουν ακόμη εφευρεθεί. Προκειμένου να ταρκείς, ήταν απαραίτητο να εκτελέσουμε όχι μόνο ένα μεγάλο αριθμό υπολογισμών, αλλά και να εφεύρει έναν τρόπο να συντάσσουν πίνακες. Τα τραπέζια του Πτολεμαίου είναι ακριβή σε πέντε δεκαδικά σημάδια συμπεριλαμβανομένων.

   Ο σύγχρονος τύπος τριγωνομετρίας έδωσε στον μεγαλύτερο μαθηματικόXvӀӏӏ Century L. Steeler (1707-1783), ελβετική από προέλευση, ο οποίος εργάστηκε στη Ρωσία εδώ και πολλά χρόνια και ήταν μέλος της Ακαδημίας Επιστημών της Αγίας Πετρούπολης. Ήταν ο Euler που εισήχθη για πρώτη φορά τους γνωστούς ορισμούς των τριγωνομετρικών λειτουργιών, άρχισαν να εξετάζουν τις λειτουργίες μιας αυθαίρετης γωνίας, που έλαβε έναν τύπο φέρνοντας. Όλα αυτά είναι ένα μικρό μερίδιο που ένα Euler έχει καταφέρει να κάνει στα μαθηματικά για μεγάλο χρονικό διάστημα: έφυγε πάνω από 800 έργα, αποδείχθηκε πολλές από τις κλασικές θεωρήσεις που σχετίζονται με τις πιο διαφορετικές περιοχές των μαθηματικών. Αλλά αν προσπαθείτε να λειτουργήσετε με τριγωνομετρικές λειτουργίες στη γεωμετρική μορφή, δηλαδή, καθώς πολλές γενιές μαθηματικών που έκαναν στο Euler, τότε θα είστε σε θέση να αξιολογήσετε τα πλεονεκτήματα του Euler στη συστηματοποίηση της τριγωνομετρίας. Μετά το Euler, η τριγωνομετρία απέκτησε μια νέα μορφή λογισμικού: διάφορα γεγονότα άρχισαν να αποδειχθούν με επίσημη χρήση των τύπων τριγωνομετρίας, τα αποδεικτικά στοιχεία έγιναν πολύ πιο συμπαγή, ευκολότερα.

   Από την ιστορία της ανάπτυξης της σφαιρικής γεωμετρίας .

   Είναι ευρέως γνωστό ότι η ευκλείδιδη γεωμετρία είναι μία από τις πιο αρχαίες επιστήμες: ήδηΙΙΙ αιώνα π.Χ. Υπήρχε μια κλασική εργασία Euclida - "αρχή". Είναι λιγότερο γνωστό ότι η σφαιρική γεωμετρία είναι λίγο μικρότερη. Η πρώτη συστηματική παρουσίασή του αναφέρεταιΕΓΩ.- Ii. αιώνες. Στο βιβλίο "Sferika", γραμμένο από το Ελληνικό Μαθηματικό Menel (ΕΓΩ. σε.), μελετήθηκαν οι ιδιότητες των σφαιρικών τριγώνων. Διαπιστώθηκε, ειδικότερα, ότι το άθροισμα των γωνιών ενός σφαιρικού τριγώνου είναι μεγαλύτερο από 180 μοίρες. Ένα μεγάλο βήμα προς τα εμπρός έκανε έναν άλλο ελληνικό μαθηματικό Claudius Ptolemy (Ii. σε.). Ουσιαστικά, ο πρώτος ήταν οι πίνακες των τριγωνομετρικών λειτουργιών, εισήγαγαν μια στενή προβολή.

   Εκτός από τη γεωμετρία του Ευκλείιδου, η σφαιρική γεωμετρία εμφανίστηκε στην επίλυση πρακτικών προβλημάτων και πρώτα απ 'όλα τα καθήκοντα της αστρονομίας. Αυτά τα καθήκοντα ήταν απαραίτητα, για παράδειγμα, οι ταξιδιώτες και οι πλοηγοί που επικεντρώθηκαν στα αστέρια. Και δεδομένου ότι σε αστρονομικές παρατηρήσεις είναι βολικό να υποθέσουμε ότι ο ήλιος και η Σελήνη, και τα αστέρια κινούνται κατά μήκος της "ουράνιας σφαίρας", είναι φυσικό ότι η γνώση της γεωμετρίας της σφαίρας έπρεπε να μελετήσει την κίνηση τους. Δεν είναι τυχαίο ότι δεν υπάρχει κανένας τρόπος που το πιο διάσημο έργο του Πτολεμαίου ονομάστηκε το "μεγάλο μαθηματικό κτίριο της αστρονομίας σε 13 βιβλία".

   Η σημαντικότερη περίοδος της ιστορίας της σφαιρικής τριγωνομετρίας συνδέεται με τις δραστηριότητες των επιστημόνων της Μέσης Ανατολής. Οι Ινδοί επιστήμονες επιλέγουν επιτυχώς τα καθήκοντα της σφαιρικής τριγωνομετρίας. Ωστόσο, η μέθοδος που περιγράφεται από το Ptolem και με βάση το θεώρημα του πλήρους τετράπλευρου θεώρου, δεν ισχύουν. Και σε σφαιρική τριγωνομετρία, χρησιμοποίησαν προβολικές μεθόδους που αντιστοιχούσαν στις μεθόδους από τον Πτολεμαίο "ανάλυσης". Ως αποτέλεσμα, έλαβαν ένα σύνολο ορισμένων υπολογιστικών κανόνων, οι οποίοι επέτρεψαν να λύσουν σχεδόν οποιοδήποτε έργο της σφαιρικής αστρονομίας. Με τη βοήθειά τους, ένα τέτοιο έργο τελικά μειώθηκε στη σύγκριση μεταξύ των παρόμοιων επίπεδων ορθογωνικών τριγώνων. Κατά τη διάρκεια των λύσεων, η θεωρία των τετραγωνικών εξισώσεων χρησιμοποιήθηκε συχνά και η μέθοδος διαδοχικών προσεγγίσεων. Ένα παράδειγμα αστρονομικού καθήκοντος, το οποίο οι Ινδοί επιστήμονες λύθηκαν με τη βοήθεια των κανόνων που αναπτύχθηκαν από αυτόν, εξυπηρετεί τα καθήκοντα που εξετάζονται στη σύνθεση του "Panga Siddhantik" Warachamihira (V.- Vi). Αποτελείται από το ύψος του ήλιου, αν το γεωγραφικό πλάτος του τόπου, η παρακμή του ήλιου και η γωνία της είναι γνωστή. Ως αποτέλεσμα της επίλυσης αυτού του προβλήματος, μετά από μια σειρά κατασκευών, δημιουργείται μια σχέση, η οποία ισοδυναμεί με ένα σύγχρονο θεώρημα συνημιών για ένα σφαιρικό τρίγωνο. Ωστόσο, ο λόγος αυτός και ένας άλλος ισοδύναμος θεώρημα κόλπων, δεν συνοψίστηκαν ως κανόνες που ισχύουν για οποιοδήποτε σφαιρικό τρίγωνο.

   Μεταξύ των πρώτων ανατολικών μελετητών που έκλεψαν τη συζήτηση του θεώρημα Menel, είναι απαραίτητο να ονομάσουμε τους αδελφούς Banu Moussa-Muhammed, Khasan και Ahmad, τους γιους του Mousse Ibn Shakira, ο οποίος εργάστηκε στη Βαγδάτη και κατέλαβε τη Μαθηματική, την αστρονομία και τη μηχανική. Αλλά το νωρίτερο από τα διατηρημένα γραπτά για το θεώρημα του menal είναι "Treatise σχετικά με το σχήμα της αλληλεπικάλυψης" του φοιτητή τους Sabita Ibn Korra (836-901)

   Η πραγματεία της Sabita Ibn Korra μας έφτασε στο αραβικό πρωτότυπο. Και στη λατινική μετάφρασηXii. σε. Αυτή η μετάφραση του Gerando Cremonian (1114-1187) ήταν ευρέως διαδεδομένη στη μεσαιωνική Ευρώπη.

   Η ιστορία της τριγωνομετρίας, ως οι επιστήμες των σχέσεων μεταξύ των γωνιών και των πλευρών του τριγώνου και άλλων γεωμετρικών σχημάτων, καλύπτει περισσότερες από δύο χιλιετίες. Οι περισσότερες από αυτές τις σχέσεις δεν μπορούν να εκφραστούν χρησιμοποιώντας συμβατικές αλγεβρικές πράξεις και επομένως ήταν απαραίτητο να εισαχθούν ειδικές τριγωνομετρικές λειτουργίες, αρχικά καταρτίστηκαν με τη μορφή αριθμητικών πινάκων.
   Οι ιστορικοί πιστεύουν ότι η τριγωνομετρία δημιούργησε αρχαίους αστρονόμους, άρχισε να το χρησιμοποιεί λίγο αργότερα στην αρχιτεκτονική. Με την πάροδο του χρόνου, η περιοχή εφαρμογής της τριγωνομετρίας επεκτείνεται συνεχώς, σήμερα περιλαμβάνει σχεδόν όλες τις φυσικές επιστήμες, τον εξοπλισμό και έναν αριθμό άλλων τομέων δραστηριότητας.

   Οι εφαρμοζόμενες τριγωνομετρικές εργασίες διακρίνονται από μια μεγάλη ποικιλία - για παράδειγμα, τα αποτελέσματα των ενεργειών πάνω από τις αναφερόμενες τιμές (για παράδειγμα, το άθροισμα των γωνιών ή ο λόγος των μήκους των πλευρών) μπορούν να καθοριστούν στην πράξη.

   Παράλληλα με την ανάπτυξη της τριγωνομετρίας του ελληνικού αεροπλάνου, υπό την επιρροή της αστρονομίας, η σφαιρική τριγωνομετρία ήταν πολύ προχωρημένη. Στην "αρχή" Euclidea σε αυτό το θέμα, υπάρχει μόνο το θεώρημα της θεραπείας των όγκων των μπάλες διαφορετικών διαμέτρων, αλλά οι ανάγκες της αστρονομίας και της χαρτογραφίας προκάλεσαν την ταχεία ανάπτυξη της σφαιρικής τριγωνομετρίας και περιοχών που σχετίζονται με αυτό - τα συστήματα Από τις ουράνιες συντεταγμένες, τη θεωρία της χαρτογραφικής προβολής, την τεχνολογία των αστρονομικών οργάνων.

   ΚΥΚΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ.

   Τριγωνομετρία και πραγματική ζωή

   Οι τριγωνομετρικές λειτουργίες που βρέθηκαν χρησιμοποιούν στη μαθηματική ανάλυση, τη φυσική, την επιστήμη των υπολογιστών, γεωδαιές, ιατρική, μουσική, γεωφυσική, πλοήγηση.

   Εφαρμογή της τριγωνομετρίας στην πλοήγηση

   Πλοήγηση (αυτή η λέξη προέρχεται από τα λατινικάnavigatio. - Χείρνισμα στο πλοίο) - μια από τις πιο αρχαίες επιστήμες. Τα απλούστερα καθήκοντα πλοήγησης, όπως ο ορισμός της μικρότερης διαδρομής, η επιλογή της κατεύθυνσης της κίνησης, στάθηκαν πριν από τους πρώτους πλοηγούς. Επί του παρόντος, τα ίδια και άλλα καθήκοντα πρέπει να λυθούν όχι μόνο από τους ναυτικούς, αλλά και τους πιλότους και τους αστροναύτες. Ορισμένες έννοιες και εργασίες πλοήγησης εξετάζουν λεπτομερέστερα.

   Μια εργασία. Οι γεωγραφικές συντεταγμένες είναι γνωστές - το γεωγραφικό πλάτος και το γεωγραφικό μήκος των αντικειμένων Α και στην επιφάνεια της Γης:, και,. Απαιτείται να βρούμε τη μικρότερη απόσταση μεταξύ σημείων Α και στην επιφάνεια της γης (η ακτίνα της γης θεωρείται γνωστή:R. \u003d 6371 χλμ.)

   Απόφαση. Θυμηθείτε πρώτα ότι το μέγεθος της γωνίας που σχηματίζεται από την ακτίνα Ομ ονομάζεται η τελευταία, όπου είναι το κέντρο της γης, με το επίπεδο του ισημερινού: ≤ και η πλοήγηση από τον ισημερινό γεωγραφικό πλάτος θεωρείται θετικό και προς τα νότια - αρνητικό (Σχήμα 1)

   Το γεωγραφικό μήκος του σημείου Μ είναι το μέγεθος της διηδρικής γωνίας μεταξύ των επιπέδων SOM και του ονείρου, όπου C - ο Βόρειος Πόλος της Γης και η H - το σημείο που αντιστοιχεί στο Παρατηρητήριο του Γκρήνουχου: ≤ (Ανατολικά του Γκρήνουιτς Meridian, το γεωγραφικό μήκος θεωρείται θετικό, προς τα δυτικά - αρνητικά).

   Όπως είναι ήδη γνωστό, η μικρότερη απόσταση μεταξύ σημείων Α και στην επιφάνεια της γης είναι το μήκος ενός μικρότερου τόξου ενός μεγάλου κύκλου που συνδέει το Α και Β (ένα τέτοιο τόξο ονομάζεται ορθοδρομίνη - μεταφρασμένη από ελληνικά μέσα »). Επομένως, το καθήκον μας μειώνεται στον ορισμό του μήκους της πλευράς του σφαιρικού τριγώνου AV (C - North Pole).

   Εφαρμόζοντας την τυποποιημένη ονομασία για τα στοιχεία του τριγώνου ABC και την αντίστοιχη τρίτη γωνία του Oauk, από την κατάσταση του προβλήματος που βρίσκουμε: α \u003d \u003d -, β \u003d (Εικ. 2).

   Η γωνία C δεν είναι επίσης δύσκολο να εκφραστεί μέσω των συντεταγμένων των σημείων Α και V. εξ ορισμού ≤, επομένως είτε μια γωνία C \u003d εάν ≤ είτε - εάν. Γνωρίζοντας \u003d χρησιμοποιώντας το θεώρημα Cosine: \u003d + (-). Γνωρίζοντας και, κατά συνέπεια, μια γωνία, βρίσκουμε την επιθυμητή απόσταση: \u003d.

   Τριγωνομετρία στην πλοήγηση 2.

   Για την τοποθέτηση του πορείας του πλοίου στον χάρτη, που κατασκευάστηκε στην προβολή του Gerhard Mercator (1569), ήταν απαραίτητο να προσδιοριστεί το γεωγραφικό πλάτος. Όταν κολυμπούν στη Μεσόγειο Θάλασσα στα δικαστήριαXvii σε. Το γεωγραφικό πλάτος δεν υποδείχθηκε. Για πρώτη φορά, εφαρμόζονται τριγωνομετρικοί υπολογισμοί στην πλοήγηση Edmond Gunter (1623).

   Η τριγωνομετρία βοηθά να υπολογίσει την επίδραση του ανέμου στην πτήση του αεροσκάφους. Το τρίγωνο των ταχυτήτων είναι ένα τρίγωνο που σχηματίζεται από φορέα ταχύτητας αέρα (V.), διάνυσμα αιολικής ενέργειας (W.), φορέα ταχύτητας ταξιδιού (V. Π ). PU - γωνία ταξιδιού, WC - γωνία αιολικής ενέργειας, Bub - Wind γωνία.

   Η εξάρτηση μεταξύ των στοιχείων του τριγώνου πλοήγησης των ταχυτήτων έχει τη μορφή:

   V. Π = V. cos. Μουστάκι W. cos. Hc; αμαρτία. Μουστάκι \u003d * αμαρτία. Uv, tg. Wc \u003d

   Οι ταχύτητες τριγώνου πλοήγησης επιλύονται χρησιμοποιώντας μετρήσιμες συσκευές, στη γραμμή πλοήγησης και κατά προσέγγιση στο μυαλό.

   Τριγωνομετρία στην άλγεβρα.

   Εδώ είναι ένα παράδειγμα επίλυσης μιας πολύπλοκης εξίσωσης χρησιμοποιώντας τριγωνομετρική υποκατάσταση.

   Η εξίσωση δίνεται

   Ας είναι , Λαμβάνω

   ;

   Τοποθεσία: ή

   Όσον αφορά τους περιορισμούς, παίρνουμε:

   Τριγωνομετρία στη φυσική

   Οπουδήποτε πρέπει να αντιμετωπίσετε περιοδικές διαδικασίες και ταλαντώσεις - είτε πρόκειται για ακουστική, οπτική ή κούνια του εκκρεμούς, έχουμε να κάνουμε με τριγωνομετρικές λειτουργίες. Τροποποιήσεις τύπων:

   Οπου ΕΝΑ. - το πλάτος των ταλαντώσεων - η γωνιακή συχνότητα των ταλαντώσεων, - η αρχική φάση της ταλάντωσης

   Ταλάντωση φάσης.

   Όταν βυθίζουμε τα αντικείμενα στο νερό, δεν αλλάζουν ούτε μορφές ή μεγέθη. Το όλο μυστικό είναι ένα οπτικό αποτέλεσμα που κάνει το όραμά μας να αντιληφθεί το αντικείμενο με διαφορετικό τρόπο. Οι απλούστεροι τριγωνομετρικοί τύποι και οι τιμές του ημιτονοειδούς της γωνίας πτώσης και διαθλαστικού στη δέσμη καθιστούν δυνατή τον υπολογισμό του σταθερού δείκτη διάθλασης κατά τη διάρκεια της μετάβασης της δέσμης φωτός από το μέσο την Τετάρτη. Για παράδειγμα, προκύπτει ουράνιο τόξο λόγω του γεγονότος ότι το φως του ήλιου αντανακλάται στα σταγονίδια νερού που αιωρούνται στον αέρα κάτω από το διαθλαστικό νόμο:

   αμαρτία. α / ΑΜΑΡΤΙΑ. β \u003d Ν. 1 / N. 2

   Οπου:

   n 1. - Δείκτης διάθλασης του πρώτου μέσου
   N 2. - Δείκτης διάθλασης του δεύτερου περιβάλλοντος

   α -γωνία πρόσπτωσης, β - Τρέχουσα διάθλαση φωτός.

   Η διείσδυση στα ανώτερα στρώματα της ατμόσφαιρας των πλανητών των φορτισμένων ηλιακών αιολικών σωματιδίων καθορίζεται από την αλληλεπίδραση του μαγνητικού πεδίου του πλανήτη με τον ηλιακό άνεμο.

   Η δύναμη που ενεργεί επί του φορτισμένου σωματιδίου που κινείται στο μαγνητικό πεδίο ονομάζεται δύναμη του Lorentz. Είναι ανάλογο του φορτίου σωματιδίων και το προϊόν φορέα του πεδίου και την ταχύτητα του σωματιδίου.

   Ως πρακτικό παράδειγμα, εξετάστε το φυσικό πρόβλημα, το οποίο επιλύεται με τη χρήση τριγωνομετρίας.

   Μια εργασία. Στο κεκλιμένο επίπεδο συστατικό με τη γωνία ορίζοντα 24,5 σχετικά με , Υπάρχει ένα σώμα που ζυγίζει 90 κιλά. Βρείτε, με ποια δύναμη αυτό το σώμα πιέζει στο κεκλιμένο επίπεδο (δηλαδή, τι σώμα έχει ένα σώμα σε αυτό το αεροπλάνο).

   Απόφαση:

   Υπενθυμίζοντας τον άξονα X και Y, ας αρχίσουμε να δημιουργήσουμε την προεξοχή των δυνάμεων στον άξονα, να ξεκινήσετε με τη χρήση αυτού του τύπου:

   ma. = Ν. + mg. , στη συνέχεια κοιτάξτε το σχέδιο,

   Η. : Ma \u003d 0 + mg sin245 0

   Y: 0 \u003d n - mg cos24.5 0

   Ν. = mg. cos. 24,5 0

   Αντικαθιστούμε τη μάζα, διαπιστώνουμε ότι η δύναμη είναι 819 Ν.

   Απάντηση: 819 n

   

   Τριγωνομετρία στην ιατρική και τη βιολογία

   Ενας από Θεμελιώδεις ιδιότητες Η άγρια \u200b\u200bφύση είναι η κυκλικότητα των περισσότερων διαδικασιών που συμβαίνουν σε αυτό.

   Βιολογικοί ρυθμοί, βιορυθμοί - Αυτές είναι περισσότερο ή λιγότερο τακτικές αλλαγές στη φύση και την ένταση των βιολογικών διεργασιών.

   Βασικός ρυθμός γης - καθημερινά.

   Το μοντέλο των βιορυθμών μπορεί να κατασκευαστεί χρησιμοποιώντας τριγωνομετρικές λειτουργίες.

   Για να δημιουργήσετε ένα μοντέλο biorhythms, πρέπει να εισαγάγετε την ημερομηνία γέννησης ενός ατόμου, την ημερομηνία αναφοράς (ημέρα, μήνα, έτος) και τη διάρκεια της πρόβλεψης (αριθμός ημερών).

   Ακόμα και μερικές από τις εγκεφαλικές περιοχές ονομάζονται κόλπο.

   Τα τείχη του κόλπου σχηματίζονται από ένα στερεό εγκεφαλικό κέλυφος με επένδυση με ενδοθήλιο. Λείπουν ο αυλός των κόλπων, βαλβίδων και μυϊκού κελύφους, σε αντίθεση με άλλες φλέβες, λείπουν. Στην κοιλότητα των Singes, τα ινώδη χωρίσματα καλύπτονται με ενδοθήλιο. Από τους κόλπους, το αίμα εισέρχεται στις εσωτερικές φωτεινές φλέβες, επιπλέον, υπάρχει ένας δεσμός μεταξύ των ιγμίας με τις φλέβες της εξωτερικής επιφάνειας του κρανίου μέσω αποθεματικών φλεβικών πτυχιούχων.

   Η κίνηση των ψαριών στο νερό εμφανίζεται σύμφωνα με το νόμο του κόλπου ή της συνημίσεως, εάν διορθώσετε το σημείο στην ουρά και στη συνέχεια εξετάστε την τροχιά της κίνησης.

   Όταν κολυμπά, το σώμα των ψαριών παίρνει το σχήμα μιας καμπύλης που μοιάζει με ένα γράφημα

   Λειτουργίες y.= tgx..

   Τριγωνομετρία στη μουσική

   Ακούμε μουσική σε μορφήmp3.

   Ένα μπιπ είναι ένα κύμα, εδώ είναι το "πρόγραμμα" του.

   

   Όπως μπορείτε να δείτε - αυτό είναι, αν και πολύ περίπλοκο, αλλά το Sinusoid, υπόκειται σε νόμους τριγωνομετρίας.

   Την άνοιξη του 2003, πραγματοποιήθηκε η παρουσίαση του άλμπουμ "τριγωνομετρία" της ομάδας Night Snipers, η σολίστ Diana Arbenina, πραγματοποιήθηκε. Το περιεχόμενο του άλμπουμ αποκαλύπτει την αρχική έννοια της λέξης "τριγωνομετρία" - η μέτρηση της γης.

   Τριγωνομετρία στην επιστήμη των υπολογιστών

   Οι τριγωνομετρικές λειτουργίες μπορούν να χρησιμοποιηθούν για ακριβείς υπολογισμούς.

   Με τριγωνομετρικές λειτουργίες, μπορείτε να φέρετε οτιδήποτε

   (Κατά την έννοια, η "καλή") λειτουργία, αποσύνθεση σε μια σειρά Fourier:

   ΕΝΑ. 0 + Α. 1 Cos x + b 1 SIN X + A 2 Cos 2x + b 2 SIN 2X + α 3 Cos 3x + b 3 Sin 3x + ...

   Επιλέγοντας έναν κατάλληλο αριθμόa 0, A 1, B 1, A 2, B 2, ..., Είναι δυνατόν με τη μορφή τέτοιας (άπειρου) ποσού να αντιπροσωπεύει σχεδόν οποιεσδήποτε λειτουργίες στον υπολογιστή με την απαιτούμενη ακρίβεια.

   Οι τριγωνομετρικές λειτουργίες είναι χρήσιμες όταν εργάζεστε με πληροφορίες γραφικών. Είναι απαραίτητο να τροποποιήσετε (να περιγράψετε στον υπολογιστή) την περιστροφή κάποιου αντικειμένου γύρω από κάποιο άξονα. Υπάρχει μια στροφή σε κάποια γωνία. Για τον προσδιορισμό των συντεταγμένων των σημείων θα πρέπει να πολλαπλασιάσουν τους κόμμους και τις συνήθειες.

   Justin Wyndel, προγραμματιστής και σχεδιαστής απόΠαρατετατώ Grafika. Εργαστήριο , Δημοσίευσε ένα demo που δείχνει παραδείγματα χρήσης τριγωνομετρικών λειτουργιών για τη δημιουργία δυναμικής κινούμενης εικόνας.

   Τριγωνομετρία στην κατασκευή και τη γεωδαισία

   Τα μήκη των πλευρών και οι τιμές των γωνιών ενός αυθαίρετου τριγώνου στο επίπεδο διασυνδέονται από ορισμένες σχέσεις, οι σημαντικότερες από τις οποίες ονομάζονται θεώρησε θεώρησε και τα κύματα.

   2 ab

   = =

   Σε αυτούς τους τύπους Α,ΣΙ., ΝΤΟ. - το μήκος των μερών του τρίγωνου ABS που βρίσκεται, αντίστοιχα, εναντίον των γωνιών Α, Β, Γ. Αυτοί οι τύποι επιτρέπουν τρία στοιχεία του τριγώνου - τα μήκη των μερών και τις γωνίες - να αποκατασταθούν τα άλλα τρία στοιχεία. Χρησιμοποιούνται στην επίλυση πρακτικών εργασιών, όπως η GeoDesy.

   Όλα τα "κλασικά" geodesy βασίζονται στην τριγωνομετρία. Δεδομένου ότι στην πραγματικότητα, από την αρχαιότητα, οι γεωδαιιστές ασχολούνται με το γεγονός ότι τα "στερεά" τρίγωνα.

   Η διαδικασία των κτιρίων κτιρίων, των δρόμων, των γέφυρων και άλλων δομών ξεκινά με την έρευνα και την εργασία σχεδιασμού. Όλες οι μετρήσεις στο εργοτάξιο πραγματοποιούνται χρησιμοποιώντας γεωδειστικά εργαλεία, όπως ένα θεοδολίτη και τριγωνομετρικό επίπεδο. Σε τριγωνομετρική ισοπέδωση, προσδιορίζεται η διαφορά ύψους μεταξύ αρκετών σημείων της επιφάνειας της Γης.

   συμπέρασμα

   Η τριγωνομετρία προκλήθηκε στη ζωή με την ανάγκη να εκτελέσει τις μετρήσεις των γωνιών, αλλά με την πάροδο του χρόνου αναπτύχθηκε στην επιστήμη των τριγωνομετρικών λειτουργιών.

   Η τριγωνομετρία συνδέεται στενά με τη φυσική, συμβαίνει στη φύση, τη μουσική, την αρχιτεκτονική, την ιατρική και την τεχνολογία.

   Η τριγωνομετρία αντανακλάται στη ζωή μας και οι σφαίρες στις οποίες διαδραματίζει σημαντικό ρόλο θα επεκταθεί, οπότε η γνώση των νόμων της είναι απαραίτητη για όλους.

   Η σύνδεση των μαθηματικών με τον περιβάλλοντα κόσμο σας επιτρέπει να "υλοποιήσετε" τη γνώση των μαθητών. Μας βοηθά να κατανοήσουμε καλύτερα τη ζωτικότητα των γνώσεων που αγοράστηκαν στο σχολείο.

   Σύμφωνα με το μαθηματικό έργο με το πρακτικό περιεχόμενο (καθήκον μιας εφαρμοσμένης φύσης), κατανοούμε το καθήκον, το οποίο αποκαλύπτει τις εφαρμογές των μαθηματικών σε σχετικούς αποδεκτούς κλάδους, τεχνική, στην καθημερινή ζωή.

   Η ιστορία των ιστορικών αιτιών της εμφάνισης της τριγωνομετρίας, η ανάπτυξή της και η πρακτική της χρήση ενθαρρύνει το ενδιαφέρον των μαθητών μας για το θέμα του θέματος, αποτελεί την κοσμοθεωρία μας και αυξάνει τη συνολική κουλτούρα.

   Αυτό το έργο θα είναι χρήσιμο για μαθητές γυμνασίου που δεν έχουν δει ακόμα όλη την ομορφιά της τριγωνομετρίας και δεν είναι εξοικειωμένοι με τους τομείς της χρήσης της στη γύρω ζωή.

   Βιβλιογραφία:

   

   Μοιραστείτε ένα άρθρο με φίλους:
   Παρόμοια είδη
   • 

     WOT BEST FRI 8 LEVEL
   • 

     Κόσμος δεξαμενής δεξαμενής "δεξαμενή τροχιάς v
   • 

     LBZ (προσωπικές αποστολές μάχης) κόσμο της περιγραφής της δεξαμενής LBZ