Решение уравнений с модулем через. Как решать уравнения с модулем: основные правила
Среди примеров на модули
часто встречаются уравнения где нужно найти корни модуля в модуле
, то есть уравнение вида
||a*x-b|-c|=k*x+m
.
Если k=0
, то есть правая сторона равна постоянной (m)
то проще искать решение уравнения с модулями графически.
Ниже приведена методика раскрытия двойных модулей
на распространенных для практики примерах. Хорошо разберите алгоритм вычисления уравнений с модулями, чтобы не иметь проблем на контрольных, тестах, и просто, чтобы знать.
Пример 1.
Решить уравнение модуль в модуле |3|x|-5|=-2x-2.
Решение:
Всегда начинают раскрывать уравнения с внутреннего модуля
|x|=0 <->
x=0.
В точке x=0
уравнения с модулем разделяется на 2
.
При x < 0
подмодульная функция отрицательная, поэтому при раскрытии знак меняем на противоположный
|-3x-5|=-2x-2.
При x>0
или равно, раскрывая модуль получим
|3x-5|=-2x-2
.
Решим уравнение
для отрицательных переменных (x < 0)
. Оно разлагается на две системы уравнений. Первое уравнение получаем из условия, что функция после знака равенства неотрицательна. Второе - раскрывая модуль в одной системе принимаем, что подмодульная функция положительная, в иной отрицательная - меняем знак правой или левой части (зависит от методики преподавания).
Из первого уравнения получим что решение не должно превышать (-1)
, т.е.
Это ограничение полностью принадлежит области в которой решаем. Перенесем переменные и постоянные по разные стороны равенства в первой и второй системе
и найдем решение
Оба значения принадлежат промежутку что рассматривается, то есть являются корнями.
Рассмотрим уравнение с модулями при положительных переменных
|3x-5|=-2x-2.
Раскрывая модуль получим две системы уравнений
Из первого уравнения, которое является общим для двух сиcтем, получим знакомое условие
которое в пересечении с множеством, на котором ищем решение дает пустое множество (нет точек пересечения). Итак единственными корнями модуля с модулем являются значения
x=-3; x=-1,4.
Пример 2.
Решить уравнение с модулем ||x-1|-2|=3x-4.
Решение:
Начнем с раскрытия внутреннего модуля
|x-1|=0 <=>
x=1.
Подмодульная функция меняет знак в единице. При меньших значениях она отрицательная, при больших - положительная. В соответствии с этим при раскрытии внутреннего модуля получим два уравнения с модулем
x |-(x-1)-2|=3x-4;
x>=1 -> |x-1-2|=3x-4.
Обязательно проверяем правую сторону уравнения с модулем, она должна быть больше нуля.
3x-4>=0 ->
x>=4/3.
Это означает, что первое из уравнений нет необхидноcти решать, поcкольку оно выпиcано для x< 1,
что не соответствует найденному условию. Раскроем модуль во втором уравнении
|x-3|=3x-4 ->
x-3=3x-4
или x-3=4-3x;
4-3=3x-x
или x+3x=4+3;
2x=1
или 4x=7;
x=1/2
или x=7/4.
Получили два значения, первое из которых отвергаем, поскольку не принадлежит нужному интервалу. Окончательно уравнение имеет одно решение x=7/4.
Пример 3.
Решить уравнение с модулем ||2x-5|-1|=x+3.
Решение:
Раскроем внутренний модуль
|2x-5|=0 <=>
x=5/2=2,5.
Точка x=2,5
разбивает числовую ось на два интервала. Соответственно, подмодульная функция
меняет знак при переходе через 2,5.
Выпишем условие на решение с правой стороны уравнения с модулем.
x+3>=0 ->
x>=-3
.
Итак решением могут быть значения, не меньше (-3)
. Раскроем модуль для отрицательного значения внутреннего модуля
|-(2x-5)-1|=x+3;
|-2x+4|=x+3.
Этот модуль также при раскрытии даст 2 уравнения
-2x+4=x+3
или 2x-4=x+3;
2x+x=4-3
или 2x-x=3+4;
3x=1; x=1/3
или x=7
.
Значение x=7
отвергаем, поскольку мы искали решение на промежутке [-3;2,5].
Теперь раскрываем внутренний модуль для x>2,5
. Получим уравнение с одним модулем
|2x-5-1|=x+3;
|2x-6|=x+3.
При раскрытии модуля получим следующие линейные уравнения
-2x+6=x+3
или 2x-6=x+3;
2x+x=6-3
или 2x-x=3+6;
3x=3; x=1
или x=9
.
Первое значение x=1
не удовлетворяет условие x>2,5.
Так что на этом интервале имеем один корень уравнения с модулем x=9,
а всего их два (x=1/3)
.Подстановкой можно проверять правильность выполненных вычислений
Ответ:
x=1/3; x=9.
Пример 4.
Найти решения двойного модуля ||3x-1|-5|=2x-3.
Решение:
Раскроем внутренний модуль уравнения
|3x-1|=0 <=>
x=1/3.
Точка x=2,5
делит числовую ось на два интервала, а заданное уравнение на два случая. Записываем условие на решение, исходя из вида уравнения с правой стороны
2x-3>=0 ->
x>=3/2=1,5.
Отсюда следует, что нас интересуют значения >=1,5
. Таким образом модульное уравнения
рассматриваем на двух интервалах
,
|-(3x-1)-5|=2x-3;
|-3x-4|=2x-3.
Полученный модуль при раскрытии делится на 2 уравнения
-3x-4=2x-3
или 3x+4=2x-3;
2x+3x=-4+3
или 3x-2x=-3-4;
5x=-1; x=-1/5
или x=-7
.
Оба значения не попадают в промежуток
, то есть не являются решениями уравнения с модулями. Далее раскроем модуль для x>2,5
. Получим следующее уравнение
|3x-1-5|=2x-3;
|3x-6|=2x-3
.
Раскрывая модуль, получим 2 линейные уравнения
3x-6=2x-3
или –(3x-6)=2x-3;
3x-2x=-3+6
или 2x+3x=6+3;
x=3
или 5x=9; x=9/5=1,8.
Второе значение из найденных не соответствует условию x>2,5
, его мы отвергаем.
Наконец имеем один корень уравнения с модулями x=3
.
Выполняем проверку
||3*3-1|-5|=2*3-3 3=3
.
Корень уравнения с модулем вычислено правильно.
Ответ:
x=1/3; x=9.
Этот математический калькулятор онлайн поможет вам решить уравнение или неравенство с модулями . Программа для решения уравнений и неравенств с модулями не просто даёт ответ задачи, она приводит подробное решение с пояснениями , т.е. отображает процесс получения результата.
Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.
Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.
|x| или abs(x) - модуль xВведите уравнение или неравенство с модулями
Обнаружено что не загрузились некоторые скрипты, необходимые для решения этой задачи, и программа может не работать.
Возможно у вас включен AdBlock.
В этом случае отключите его и обновите страницу.
Чтобы решение появилось нужно включить JavaScript.
Вот инструкции, как включить JavaScript в вашем браузере .
Т.к. желающих решить задачу очень много, ваш запрос поставлен в очередь.
Через несколько секунд решение появится ниже.
Пожалуйста подождите сек...
Если вы заметили ошибку в решении
, то об этом вы можете написать в Форме обратной связи .
Не забудте указать какую задачу
вы решаете и что вводите в поля
.
Наши игры, головоломки, эмуляторы:
Немного теории.
Уравнения и неравенства с модулями
В курсе алгебры основной школы могут встретится простейшие уравнения и неравенства с модулями. Для их решения можно применять геометрический метод, основанный на том, что \(|x-a| \) - это расстояние на числовой прямой между точками x и a: \(|x-a| = \rho (x;\; a) \). Например, для решения уравнения \(|x-3|=2 \) нужно найти на числовой прямой точки, удалённые от точки 3 на расстояние 2. Таких точек две: \(x_1=1 \) и \(x_2=5 \).
Решая неравенство \(|2x+7| 
Но основной способ решения уравнений и неравенств с модулями связан с так называемым
«раскрытием модуля по определению»:
если \(a \geq 0 \), то \(|a|=a \);
если \(a
Как правило, уравнение (неравенство) с модулями сводится к совокупности уравнений (неравенств), не содержащих знак модуля.
Кроме указанного определения, используются следующие утверждения:
1) Если \(c > 0 \), то уравнение \(|f(x)|=c \) равносильно совокупности уравнений:
\(\left[\begin{array}{l} f(x)=c \\ f(x)=-c \end{array}\right. \)
2) Если \(c > 0 \), то неравенство \(|f(x)|
3) Если \(c \geq 0 \), то неравенство \(|f(x)| > c \) равносильно совокупности неравенств:
\(\left[\begin{array}{l} f(x) c \end{array}\right. \)
4) Если обе части неравенства \(f(x) ПРИМЕР 1. Решить уравнение \(x^2 +2|x-1| -6 = 0 \).
Если \(x-1 \geq 0 \), то \(|x-1| = x-1 \) и заданное уравнение принимает вид
\(x^2 +2(x-1) -6 = 0 \Rightarrow x^2 +2x -8 = 0 \).
Если же \(x-1
\(x^2 -2(x-1) -6 = 0 \Rightarrow x^2 -2x -4 = 0 \).
Таким образом, заданное уравнение следует рассмотреть по отдельности в каждом из двух указанных случаев.
1) Пусть \(x-1 \geq 0 \), т.е. \(x \geq 1 \). Из уравнения \(x^2 +2x -8 = 0 \) находим \(x_1=2, \; x_2=-4\).
Условию \(x \geq 1 \) удовлетворяет лишь значение \(x_1=2\).
2) Пусть \(x-1
Ответ: \(2; \;\; 1-\sqrt{5} \)
ПРИМЕР 2. Решить уравнение \(|x^2-6x+7| = \frac{5x-9}{3} \).
Первый способ
(раскрытие модуля по определению).
Рассуждая, как в примере 1, приходим к выводу, что заданное уравнение нужно рассмотреть по отдельности при выполнении
двух условий: \(x^2-6x+7 \geq 0 \) или \(x^2-6x+7
1) Если \(x^2-6x+7 \geq 0 \), то \(|x^2-6x+7| = x^2-6x+7 \) и заданное уравнение принимает вид
\(x^2-6x+7 = \frac{5x-9}{3} \Rightarrow 3x^2-23x+30=0 \). Решив это квадратное уравнение, получим:
\(x_1=6, \; x_2=\frac{5}{3} \).
Выясним, удовлетворяет ли значение \(x_1=6 \) условию \(x^2-6x+7 \geq 0 \). Для этого подставим указанное значение
в квадратное неравенство. Получим: \(6^2-6 \cdot 6+7 \geq 0 \), т.е. \(7 \geq 0 \) - верное неравенство.
Значит, \(x_1=6 \) - корень заданного уравнения.
Выясним, удовлетворяет ли значение \(x_2=\frac{5}{3} \) условию \(x^2-6x+7 \geq 0 \). Для этого подставим указанное
значение в квадратное неравенство. Получим: \(\left(\frac{5}{3} \right)^2 -\frac{5}{3} \cdot 6 + 7 \geq 0 \), т.е.
\(\frac{25}{9} -3 \geq 0 \) - неверное неравенство. Значит, \(x_2=\frac{5}{3} \) не является корнем заданного уравнения.
2) Если \(x^2-6x+7 Значение \(x_3=3\) удовлетворяет условию \(x^2-6x+7 Значение \(x_4=\frac{4}{3} \) не удовлетворяет условию \(x^2-6x+7 Итак, заданное уравнение имеет два корня: \(x=6, \; x=3 \).
Второй способ.
Если дано уравнение \(|f(x)| = h(x) \), то при \(h(x)
\(\left[\begin{array}{l} x^2-6x+7 = \frac{5x-9}{3} \\ x^2-6x+7 = -\frac{5x-9}{3} \end{array}\right. \)
Оба эти уравнения решены выше (при первом способе решения заданного уравнения), их корни таковы:
\(6,\; \frac{5}{3},\; 3,\; \frac{4}{3} \). Условию \(\frac{5x-9}{3} \geq 0 \) из этих четырёх значений
удовлетворяют лишь два: 6 и 3. Значит, заданное уравнение имеет два корня: \(x=6, \; x=3 \).
Третий способ
(графический).
1) Построим график функции \(y = |x^2-6x+7| \). Сначала построим параболу \(y = x^2-6x+7 \).
Имеем \(x^2-6x+7 = (x-3)^2-2 \). График функции \(y = (x-3)^2-2 \) можно получить из графика функции \(y = x^2 \)
сдвигом его на 3 единицы масштаба вправо (по оси x) и на 2 единицы масштаба вниз (по оси y).
Прямая x=3 - ось интересующей нас параболы. В качестве контрольных точек для более точного построения графика удобно
взять точку (3; -2) - вершину параболы, точку (0; 7) и симметричную ей относительно оси параболы точку (6; 7).
Чтобы построить теперь график функции \(y = |x^2-6x+7| \), нужно оставить без изменения те части построенной параболы,
которые лежат не ниже оси x, а ту часть параболы, которая лежит ниже оси x, отобразить зеркально относительно оси x.
2) Построим график линейной функции \(y = \frac{5x-9}{3} \). В качестве контрольных точек удобно взять точки
(0; –3) и (3; 2).
Существенно то, что точка х = 1,8 пересечения прямой с осью абсцисс располагается правее левой точки пересечения
параболы с осью абсцисс - это точка \(x=3-\sqrt{2} \) (поскольку \(3-\sqrt{2}
3) Судя по чертежу, графики пересекаются в двух точках - А(3; 2) и В(6; 7). Подставив абсциссы этих точек
x = 3 и x = 6 в заданное уравнение, убеждаемся, что и при том и при другом значении получается верное числовое равенство.
Значит, наша гипотеза подтвердилась - уравнение имеет два корня: x = 3 и x = 6.
Ответ: 3; 6.
Замечание . Графический способ при всём своём изяществе не очень надёжен. В рассмотренном примере он сработал только потому, что корни уравнения - целые числа.
ПРИМЕР 3. Решить уравнение \(|2x-4|+|x+3| = 8 \)
Первый способ
Выражение 2x–4 обращается в 0 в точке х = 2, а выражение х + 3 - в точке х = –3. Эти две точки разбивают числовую
прямую на три промежутка: \(x
Рассмотрим первый промежуток: \((-\infty; \; -3) \).
Если x
Рассмотрим второй промежуток: \([-3; \; 2) \).
Если \(-3 \leq x
Рассмотрим третий промежуток: \( [ 3/2 ;
∞
)
Метод равносильных преобразований мы использовали и при решении уравнений | f (x )| = | g (x )|.
УРАВНЕНИЯ СО «СЛОЖНЫМ МОДУЛЕМ»
Еще один вид уравнений – уравнения со «сложным» модулем. К таким уравнениям относятся уравнения, в которых есть «модули в модуле». Уравнения данного вида можно решать, применяя различные методы.
Пример 1.
Решить уравнение ||||x| – |–2| –1| –2| = 2.
Решение.
По определению модуля, имеем:
Решим первое уравнение.
- ||| x |–2| –1| = 4
| x | – 2 = 5;
| x | = 7;
х = 7.
Решим второе уравнение.
- ||| x | –2| –1| = 0,
|| x | –2| = 1,
| x | –2 = 1 ,
| x | = 3 и | x | = 1,
х = 3; х = 1.
О т в е т: 1; 3; 7.
Пример 2.
Решить уравнение |2 – |x + 1|| = 3.
Р е ш е н и е.
Решим уравнение с помощью введения новой переменной.
Пусть | x + 1| = y , тогда |2 – y | = 3, отсюда
Выполним обратную замену:
(1) | x + 1| = –1 – нет решений.
(2) | x + 1| = 5
О т в е т: –6; 4.
Пример3 .
Сколько корней имеет уравнение | 2 | х | -6 | = 5 - х?
Решение. Решим уравнение, используя схемы равносильности.
Уравнение | 2 | х | -6 | = 5 -х равносильно системе:
Термин (module) в буквальном переводе с латинского означает «мера». Это понятие было введено в математику английским учёным Р. Котесом. А немецкий математик К. Вейерштрасс ввёл в обращение знак модуля - символ, которым это понятие обозначается при написании.
Впервые данное понятие изучается в математике по программе 6 класса средней школы. Согласно одному из определений, модуль - это абсолютное значение действительного числа. Другими словами, чтобы узнать модуль действительного числа, необходимо отбросить его знак.
Графически абсолютное значение а обозначается как |a| .
Основная отличительная черта этого понятия заключается в том, что он всегда является неотрицательной величиной.
Числа, которые отличаются друг от друга только знаком, называются противоположными. Если значение положительное, то противоположное ему будет отрицательным, а ноль является противоположным самому себе.
Геометрическое значение
Если рассматривать понятие модуля с позиций геометрии, то он будет обозначать расстояние, которое измеряется в единичных отрезках от начала координат до заданной точки. Это определение полностью раскрывает геометрический смысл изучаемого термина.
Графически это можно выразить следующим образом: |a| = OA.
Свойства абсолютной величины
Ниже будут рассмотрены все математические свойства этого понятия и способы записи в виде буквенных выражений:
Особенности решения уравнений с модулем
Если говорить о решении математических уравнений и неравенств, в которых содержится module, то необходимо помнить, что для их решения потребуется открыть этот знак.
К примеру, если знак абсолютной величины содержит в себе некоторое математическое выражение, то перед тем как раскрыть модуль, необходимо учитывать действующие математические определения.
|А + 5| = А + 5 , если, А больше или равняется нулю.
5-А , если, А значение меньше нуля.
В некоторых случаях знак может раскрываться однозначно при любых значениях переменной.
Рассмотрим ещё одни пример. Построим координатную прямую, на которой отметим все числовые значения абсолютной величиной которых будет 5.
Для начала необходимо начертить координатную прямую, обозначить на ней начало координат и задать размер единичного отрезка. Кроме того, прямая должна иметь направление. Теперь на этой прямой необходимо нанести разметки, которые будут равны величине единичного отрезка.
Таким образом, мы можем увидеть, что на этой координатной прямой будут две интересующие нас точки со значениями 5 и -5.
Модуль числа a — это расстояние от начала координат до точки А (a ).
Чтобы понять это определение, подставим вместо переменной a любое число, например 3 и попробуем снова прочитать его:
Модуль числа 3 — это расстояние от начала координат до точки А (3 ).
Становится ясно, что модуль это ни что иное, как обычное расстояние. Давайте попробуем увидеть расстояние от начала координат до точки А(3 )
Расстояние от начала координат до точки А(3 ) равно 3 (трём единицам или трём шагам).
Модуль числа обозначает двумя вертикальными линиями, например:
Модуль числа 3 обозначается так: |3|
Модуль числа 4 обозначается так: |4|
Модуль числа 5 обозначается так: |5|
Мы искали модуль числа 3 и выяснили, что он равен 3. Так и записываем:
Читается как: «Модуль числа три равен три»
Теперь попробуем найти модуль числа -3. Опять же возвращаемся к определению и подставляем в него число -3. Только вместо точки A используем новую точку B . Точку A мы уже использовали в первом примере.
Модулем числа —3 называют расстояние от начала координат до точки B (—3 ).
Расстояние от одного пункта до другого не может быть отрицательным. Поэтому и модуль любого отрицательного числа, будучи являясь расстоянием тоже не будет отрицательным. Модуль числа -3 будет число 3. Расстояние от начала координат до точки B(-3) равно также трём единицам:
Читается как: «Модуль числа минус три равен три»
Модуль числа 0 равен 0, та как точка с координатой 0 совпадает с началом координат, т.е. расстояние от начала координат до точки O(0) равно нулю:
«Модуль нуля равен нулю»
Делаем выводы:
- Модуль числа не может быть отрицательным;
- Для положительного числа и нуля модуль равен самому числу, а для отрицательного – противоположному числу;
- Противоположные числа имеют равные модули.
Противоположные числа
Числа, отличающиеся только знаками называют противоположными . Например, числа −2 и 2 являются противоположными. Они отличаются только знаками. У числа −2 знак минуса, а у 2 знак плюса, но мы его не видим, потому что плюс, как мы говорили ранее, по традиции не пишут.
Еще примеры противоположных чисел:
Противоположные числа имеют равные модули. Например, найдём модули для −2 и 2
На рисунке видно, что расстояние от начала координат до точек A(−2) и B(2) одинаково равно двум шагам.
Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках
